Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Difrakcija
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
Lęšis kaip Furje prietaisas
Difrakcija
Startuosim nuo Gauso-Ostrogradskio teoremos:
SV
SdAdVAdiv
Įrašę
GGA
gauname
V S
dSn
Gn
GdVGG )( 22
čia Sdn
Ši formulė vadinama antrąja Grino formule.
Panagrinėsim difrakciją laisvoje erdvėje.
Difrakcija
C. F. Gauss
(1777-1855)
M. V. Ostrogradsky
(1801-1862)
G. Green
(1793-1841)
Difrakcija
Kaip žinome, monochromatinei bangai užrašoma Helmholtco lygtis.
Tegu funkcija tenkina šią lygtį:
022 k
čia ck /
Panagrinėkime kintamąjį tašką P1. Galima įsitikinti,
kad funkcija G
01011 /)exp()( rikrPG
tenkina šią lygtį visuose taškuose, išskyrus P0
(koordinačių pradžia). Šiame taške funkcija G
virsta begalybe. Todėl apgaubkime tašką P0
sfera, kurios tūris . Už jos ribų galime taikyti
Grino formulę. V
Difrakcija
Pritaikę Helmholtco lygtį, turime:
VV VV
dVGkGkdVGG 0)()( 2222
Iš antrosios Grino formulės seka:
0
SS
dSn
Gn
G
dSn
Gn
GdS
nG
n
G
SS
Difrakcija
Taškui P1 ant ploto S
),cos( 0101101 rnnrgradn
r
taigi
GrikrnnG )/1)(,cos(/ 0101
Taškui P1 ant plotelio S
GikGnGePG ik )/1(//,/)( 1
Taigi turime
)(441
0
0
2
0
Pike
n
edS
n
G
nG
ikik
S
Difrakcija
dSn
Gn
GdS
nG
n
G
SS
Taigi
dSr
e
nnr
eP
S
ikrikr
0101
0
0101
4
1)(
Turėjome:
Ši formulė vadinama Helmholtco – Kirkhofo teorema.
Difrakcija
H. van Helmholtz
(1821-1894) G. Kichhoff
(1824-1887)
Difrakcija
Spinduliavimo sąlyga.
n
n
S
1S0P
R
Panagrinėkime tipinę difrakcijos situaciją-
difrakcija per siaurą plyšį. Įvertinsim integralą
plotu S1, kai R
Kadangi taškams ant paviršiaus S1 galioja
R
e
Rik
R
e
Rr
e
n
ikRikRikr
1
01
01
tai
11
0101 1
0101 S
ikR
S
ikrikr
dSR
iknR
edS
r
e
nnr
eQ
Pažymėsim erdvinį kampą, tuomet dRdS2
Difrakcija
1
1
S
ikR dR
ikn
ReQ
Šis integralas riboje lygus nuliui, jei išpildoma spinduliavimo sąlyga: R
01
lim
Rik
nR
R
Iš tikrųjų, duotoje riboje, taškui P0 esant baigtiniame atstume nuo plyšio,
funkcija turi aprašyti sferinę bangą:
ReR ikR /)(
tuomet
)
1(
Rik
Rnir spinduliavimo sąlyga yra išpildoma.
Difrakcija
Kirkhofo artinys.
Funkcijos ir : n /
•Plyšyje turi tokią pačią reikšmę, lyg ekrano nebūtų
•Neskaidriose ekrano vietose lygios nuliui.
Taigi, Kirkhofo artinyje, kuris yra geras, kai ekrano matmenys daug didesni
už plyšio matmenis, lieka integralas palei plyšį.
Optinis artinys.
kr
01
1optiniame diapazone
tuomet
01
01
0101
01
01
010101
),cos()1
)(,cos(r
ernik
r
e
rikrn
r
e
n
ikrikrikr
Difrakcija
ir turime (iš HK teoremos)
S
ikr
dSrniknr
eP )],cos([
4
1)( 01
01
0
01
n
0P
1P
01r
2P
12r
Tegu į plyšį krenta sferinė banga, išeinanti
iš taško P2:
121 /)(12 rAeP
ikr
Kadangi ),cos(/ 1212 rnnr
tai 1212 /),cos(/12 rernAikn
ikr
ir gauname
0
1201
)],cos(),[cos(4
)( 01121201
)(
0
S
rrik
dSrnrnrr
eikAP
0S -plyšio plotelis. Ši formulė vadinama Frenelio – Kirkhofo difrakcijos formule.
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
A. Fresnel
(1788-1827) J. von Fraunhofer
(1787-1826)
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
Frenelio artinys.
),(0 yxP)','(1 yxP
X X’
Y Y’
Z, Z’
l
šaltinių plokštuma
difrakcinio vaizdo
ploštuma
r
Pažymime
12/)''.(12 rAeyx
ikr
turime
'
0112 ')],cos(),[cos()','(4
),(S
ikr
dSrnrnr
eyx
ikyx
Lėtai kintančios
funkcijos, lygios 1
'
'')','(2
),(S
ikr
dydxr
eyx
i
kyx
todėl
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
Frenelio artinys.
),(0 yxP)','(1 yxP
X X’
Y Y’
l
r
Mažų kampų atveju
l
yyxxlyyxxlr
2
)'()'()'()'(
22222
Ir Frenelio artinyje
'
22
''2
])'()'[(exp)','(
2),(
S
ikl
dydxl
yyxxikyx
l
e
i
kyx
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
Fraunhoferio artinys.
Toliau supaprastinsime gautą formulę, kuri aprašo Frenelio difrakciją.
Gausime formulę, kuri aprašo Fraunhoferio difrakciją.
Kadangi
l
yyxxik
l
yxik
l
yxik
l
yyxxik )''(
2
)''(
2
)(
2
])'()'[( 222222
tai
'
22
22
'')''(
exp2
)''(exp)','(
2
)(exp
2),(
S
ikl
dydxl
yyxxik
l
yxikyx
l
yxik
l
e
i
kyx
Šios funkcijos Furje atvaizdas!
'
22
22
'')''(
exp2
)''(exp)','(
2
)(exp
2),(
S
ikl
dydxl
yyxxik
l
yxikyx
l
yxik
l
e
i
kyx
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
Fraunhoferio artinys.
Dideliems atstumams l šios eksponentės galime nepaisyti. Įvertinsim
minimalų atstumą, nuo kurio prasideda Fraunhoferio difrakcija.
42
)''( 22
l
yxk222 ''' yx
/'4/'2 22min kll
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
/'4/'2 22min kll
cmlmmm 81.0',5.0 min
Taigi, pakankamai dideliuose atstumuose stebima Fraunhoferio difrakcija
ir nepaisydami daugiklių gauname
'
'')''(
exp)','(),(S
dydxl
yyxxikyxyx
Taigi difrakcija tolimajame lauke ‘atlieka’ Furje transformaciją.
Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija
Pavyzdys: kvadratinės apertūros difrakcija.
Lęšis kaip Furje prietaisas
Plonas lęšis.
Y’ Y
'
)','( yx
0
Z
Fazės postūmis spinduliui perėjus
nuo kairės plokštumos Y’ prie dešinės Y:
)','()1(
)]','([)','()','(
0
0
yxnkk
yxkyxknyx
lęšio pločio funkcija
)','()1()','( 0)','( yxnikikyxi eeeyx
lęšio pralaidumo koeficientas
Galioja sąryšis:
)','(')','()','( yxyxyx
Rasime lęšio pločio funkciją.
Lęšis kaip Furje prietaisas
0
Z
1 2
1R2R
01 02
Turime: 21
Pažymime:
02010
222 '' yx
Iš brėžinio matome:
)(
)(
22
22022
22
11011
RR
RR
Todėl
)/11()/11( 222
2
2
1
2
1021 RRRR
Lęšis kaip Furje prietaisas
Turėsim omeny tai, kad 2
2
2 RR
)/11()/11( 222
2
2
1
2
1021 RRRR
Plonam lęšiui pošaknį galime skleisti eilute ir gauname
21
22
0
11
2
''
RR
yx
Jeigu stiklinis lęšis, kurio lūžio rodiklis n patalpintas ore, kurio l.r. 1, tai
židinio nuotolis
21
11)1(
1
RRn
f
Taigi
)]1(2/[)''( 220 nfyx lęšio pločio funkcija
Lęšis kaip Furje prietaisas
Taigi lęšio pralaidumo koeficientas
)2/()''(exp)exp()','( 220 fyxikiknyx
Lęšio apertūrinė funkcija
0)','(
1)','(
yxP
yxP lęšio ribose
už lęšio
Taigi išėjimo plokštumoje
)]2/()''(exp[)','()','(')exp()','( 220 fyxikyxPyxiknyx
Buvo:
(Frenelio
artinys)
'
22
22
'')''(
exp2
)''(exp)','(
2
)(exp
2),(
S
ikl
dydxl
yyxxik
l
yxikyx
l
yxik
l
e
i
kyx
'')''(
exp)','()','('
2
)(exp
)](exp[
2),(
22
0
dydxf
yyxxikyxPyx
f
yxik
f
knkfi
i
kyx
Lęšis kaip Furje prietaisas
Taigi matome, kad lęšis židinio plokštumoje atvaizduoja Furje
transformaciją.
Erdviniai dažniai:
Difrakcinis vaizdas židinio ploštumoje l=f, aprašomas Frenelio artinyje:
Laboratorinis darbas
Suskaičiuoti su fft2() integralą:
Difrakcija už kvadratinės apertūros.
'
22
22
'')''(
exp2
)''(exp)','(
2
)(exp
2),(
S
ikl
dydxl
yyxxik
l
yxikyx
l
yxik
l
e
i
kyx
Su trapz() suskaičiuoti integralą vienmačiu atveju:
Laboratorinis darbas
Ruošinys 1 clear all
close all
a=10;
%===vektoriaus ilgis, turi buti N=2^n, n-sveikas teigiamas skaicius
N=128;
%====erdvinis zingsnis====
hx=2*a/N;
x=-a:hx:a-hx;
%====dazninis zingsnis====
hk=...;%pagal Nyquist teorema
k=-pi/(hx):hk:pi/hx-hk;
[x1,y1]=meshgrid(x,x);% sukuria (x,y) matrica
[kx1,ky1]=meshgrid(k,k);% sukuria (kx,ky) matrica - erdviniu dazniu
%===funcija==
f=0*x1;
for ix=1:length(x)
for iy=1:length(x)
if %... uzduoti vienetines ribas
f(ix,iy)=1;
end;
end;
end;
%======skaitmeniskai suskaiciuotas Furje vaizdas====
fk=fftshift(fft2(f));
%===============================================
====
eps1=0.001;
%=====teorine Furje vaizdo israiska=================
fk_teor=...% dvieju sinkusu sandauga
%===============================================
====
%======piesimas===================================
=
% skaitmeniskai suskaiciuoto Furje vaizdo piesimas
surf(kx1,ky1,abs(fk).^2)
view(2)
shading interp
% teorinio Furje vaizdo piesimas
figure
surf(kx1,ky1,abs(fk_teor).^2)
view(2)
shading interp
%===============================================
=====
Laboratorinis darbas
Ruošinys 1
Laboratorinis darbas
clear all
close all
ax=10;
xs=[-1:0.00005:1];
x=[-1:0.01:1]*ax;
lamda=0.5;% bangos ilgis mum
k=...;% banginis skaicius
a=...;% plysio matmuo mum
za=[5 10 50 100 200 500 1000 2000];% atstumai nuo aperturos
for iz=1:length(za)
z=za(iz)
for ix=1:length(x)
for ixs=1:length(xs)
Phi(ixs)=...;% integruojama funkcija
end;
Phi1(ix)=trapz(xs,Phi);
end;
plot(x,abs(Phi1).^2)
FFF=getframe(gcf);
end;
Phi1_teor=2*sin(k*x*a^2/za(end)+0.001)./(k*x*a^2/za(end)+0.001
);% teorine formule
hold on
plot(x,abs(Phi1_teor).^2,'ro')
Ruošinys 2
Vienmatis atvejis. Galima apibendrinti
dvimačiu atveju.