Digitales Ii Tema1 Sistemas De Numeracion

CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García

Tema 1:

Sistemas de Numeración


• Método para representar cantidades numéricas mediante símbolos (dígitos) y sus combinaciones.

• Utilizan un conjunto finito de símbolos o dígitos para representar un conjunto infinito de números, ya sean naturales, enteros, racionales o reales.

• Algunos son bastante conocidos...

SISTEMA UNARIO:

• Un solo dígito (palote). Se repite el dígito tantas veces como el valor de la cantidad representada: IIIIII=seis.

• Útil para números naturales pequeños.


SISTEMA ROMANO:• Dígitos: I, V, X, L, C, D, M (uno, cinco, diez, cincuenta, cien, quinientos, mil)

• El valor de los símbolos es aditivo, salvo si uno o más de menor valor se encuentran a la izquierda de uno de mayor valor, en cuyo caso se sustrae el valor, en cuyo caso se sustraeel valor de aquellos.

• No se escriben más de tres dígitos iguales consecutivos.• Pensado para números naturales no demasiado grandes.

• MMII: dos mil dos

• MIIM: mil novecientos noventa y ocho.

• MCMLXVII: mil novecientos sesenta y siete


SISTEMA DECIMAL (ÁRABE):• Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9.• Los dígitos representan el cero y los nueve primeros números naturales.• El valor de los símbolos es aditivo, pero su valor (peso) depende de la posición que ocupan: unidades, decenas, centenas...1975: mil novecientos setenta y cinco1975 = 1x103+9x102+7x101+5x100

• Pensando para números naturales, puede representar número enteros incorporando el signo (+ ó -) y números racionales si se incorpora el punto (, ó .)• Es un sistema en base 10:

10 son los dígitos10 es el peso relativo de cada cifra respecto de la que se

encuentra a la derecha.


• Generación de los números (cómo se cuenta):Los nueve primeros números naturales se representan por los

dígitos correspondientes:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,Acabadas las cifras, se pasa de nuevo al cero y se añade una

segunda cifra:10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19Incrementando esta primera cifra al terminar en 9:20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 2930, 31, 32, ...90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99Añadiendo más cifras cuando se acaban los dígitos (al llegar a número con todas sus cifras nueve):100, 101, 102, 103, ..., 109, 110, 111, ..., 999, 1000, 1001


SISTEMAS DE NUMERACIÓN CON BASE:• Base n: n dígitos

• Los dígitos representan el cero y los n-1 primeros números naturales.

• El valor de los símbolos es aditivo, pero su peso depende de laposición que ocupan en la cifra:

Numerando la posición (p) de los dígitos desde la derecha, comenzando por el cero.

El peso de cada dígito es su valor intrínseco multiplicado por np


SISTEMAS BINARIO NATURAL:• Dígitos: 0, 1 ((Cero, Uno)

Es un sistema en base 2:•2 son los dígitos.•2 es el peso relativo.

•Formato: AnAn-1...A7A6A5A4A3A2A1A0 Subíndice (n) el peso relativo (2n)

• Pensado para números naturales, puede representar números enteros incorporando el signo (+ ó -) y números racionales si se incorpora la coma o punto (, ó .)• Generación de los números (cómo se cuenta):0, 1 (0, 1) se acaban los dígitos, añadir:10, 11 (2, 3) se acaban los dígitos, añadir:100, 101, 110, 111 (4, 5, 6, 7)1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (8 a 15)


CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL:• Multiplicar cada dígito por su peso y sumar todos los valores:

(11110100101)2==(1x210+1x29+1x28+1x27+0x26+1x25+0x24+0x23+1x22+0x21+1x20)10=

=(1024+512+256+128+32+4+1)10=(1957)10

• Necesidad de conocer las potencias sucesivas de 2:1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ..., 64536, ..., 1048576

• Algunas potencias interesantes:24=16; 28=256; 210=1024=1K216=64536=26·210=64K; 220=1024K=1M

• Que se corresponden con los exponentes:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ......, 16, ........, 20


CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO:• Dividir sucesivamente por 2, anotando los restos

(desde el punto hacia la izquierda)

Cociente Resto1957/2 = 978 1978/2 = 489 0489/2 = 244 1244/2 = 122 0122/2 = 61 061/2 = 30 130/2 = 15 015/2 = 7 17/2 = 3 13/2 = 1 11/2 = 0 1

Utilizando los restos: 1957=11110100101


MAGNITUDES INFERIORES A LA UNIDAD:• De la mima forma que en decimal se incorpora un “punto decimal” entre la parte entera y la parte fraccionaria, se puedeincorporar un “punto binario”:

(1957.8125)10 = (1957)10 + (0.8125)10• El peso de cada dígito a la derecha del punto en el sistema decimal es una potencia negativa de 10, siendo el primero de ellos 10-1 (décimas), el segundo 10-2 (centésimas), etc.

• Se puede generalizar a otros sistemas con base diferente de 10,como el binario, de forma que los pesos de los dígitos son potencias negativas de 2, empezando por 2-1:

(11110100101.1101)2=(1957.8125)10


CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL:• Multiplicar cada dígito por su peso y sumar todos los valores:

CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO:•Multiplicar sucesivamente por 2 la parte fraccionaria, atendiendo a la parte entera generada, que va conformando el número:

(desde el punto hacia la derecha)

(0.1101)2 = (1x2-1+1x2-2+0x2-3+1x2-4)10 = = (1x0.5+1x0.25+0x0.125+1x0.0625)10 = (0.8125)10

Producto Parte entera0.8125 x2 = 1.625 10.625 x2 = 1.25 10.25 x2 = 0.50 00.50 x2 = 1.00 1

El número: (0.8125)10=(0.1101)2


SISTEMA HEXADECIMAL:• Sistema en base 16.• Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F• Los dígitos representan el cero y los 15 primeros números naturales: A diez B once C doce

D trece E catorce F quince• Debido a que la base (16) es una potencia de 2 (16=24), surge una relación especial entre los sistemas hexadecimal y binario natural.

• Generación:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, (0 al 15)10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, (16 al 31)20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2A, 2B, 2C, 2D, 2E, 2F, (32 al 47)

30, ..., 90, 91, 92, ..., 9F, A0, A1, A2, A3,...A9, AA, ...FF,


CONVERSIÓN HEXADECIMAL A DECIMAL:

• Multiplicar cada dígito por su peso y sumar todos los valores (recordar que los pesos son potencias de 16)

(7A5)16 = (7x162+10x161+5x160)10 = (1957)10

CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL:

• Dividir sucesivamente por 16, anotando los restos:

Cociente Resto1957/16 = 122 5122/16 = 7 10=A7/16 = 0 7

(1957)10=(7A5)16


CONVERSIÓN HEXADECIMAL A BINARIO:

• Convertir cada dígito hexadecimal en su equivalente binario)

(7A5)16 = (0111 1010 0101)2

CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL:

• Agrupar los bits de cuatro en cuatro desde el punto hacia la derecha y convertir cada grupo en su dígito hexadecimal:

(11110100101)2 = (111 1010 0101)2 = 7A5


SISTEMA BCD:

• BCD: decimal codificado en binario• Sistema en base mixta decimal y binaria (????)• Dígitos: 0, 1 (????)• Inspirado en el sistema decimal, pero pasado a binario para poder ser manejado en sistemas digitales.• Formato: A32A22A12A02 A31A21A11A01 A30A20A10A00

CONVERSIÓN DE DECIMAL A BCD:

• Convertir a binario cada uno de los dígitos decimales, empleando siempre 4 bits en la conversión:

(1957)10=(0001 1001 0101 0111)BCD


CONVERSIÓN DE BCD A DECIMAL:

• Agrupar los bits de cuatro en cuatro desde la derecha y convertir cada grupo en su dígito decimal:

(001100101010111)BCD=(001 1001 0101 0111)BCD=(1957)10

• ¡No pueden aparecer grupos de cuatro bits mayores que el nueve! (al agruparlos desde la derecha)

• Un cantidad binaria como 001010010111 representa cantidades diferentes si se asume que está en BCD o en binario natural ante un conjunto de bits se necesita conocer cual es el sistema de numeración (código) que se empleó al cifrarlo para poderlo interpretar.

• El peso de un bit Anm depende de la posición dentro de su grupo de 4 bits (n) y de la posición de su grupo en el número completo (m) siendo su valor Anmx2nx10m.


CÓDIGO DE GRAY O CÓDIGO REFLEJADO:• Sistema binario sin base• Dígitos: 0, 1• No Hay “pesos” porque no hay base• Generación:0, 1 1, 0 00, 01, 11, 1000, 01, 11, 10 10, 11, 01, 00 110, 111, 101, 100

Gray Decimal000 0001 1011 2010 3110 4111 5101 6100 7

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