DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI · 2015. 10. 5. · Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 2 Segnale analogico ( o tempo-continuo ) Segnale numerico (

1Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

DIGITALIZZAZIONE DEISEGNALI


Segnale analogico( o tempo-continuo )

Segnale numerico( o digitale )

A/DADC

Conversione analogico - digitale

xa(t) x(nT)

Campionamento Quantizzazione

x(nT)xa(t)

TQ

Due operazioni:

xc(nT)


segnalenumerico o digitale

segnaletempo-continuo

segnaletempo-discreto

Relazioni tempo-frequenza (Trasformata di Fourier)

[Cap. 1.6-1.8]Segnale continuo

spettro(T.F. diretta)

(T.F. inversa)

xa(t)

dfefXtx tfjaa

2)()(

dtetxfX tfjaa

2)()(

t f

Xa (f)


Segnale discreto

n

Tnfjcc enTxfX 2)()( T.F. diretta

(tempo-discreta)

n

nFjc enTx 2)(

)(FX c

cffTfF frequenza normalizzata

(è quella che conta nella ENS!)


T. F. inversadfefXTnTx TnfjT

Tcc

22/1

2/1

)()(

dFeFX nFjc

22/1

2/1

)(

dFeFX nFjc

21

0

)(|Xc( f )|xc(nT)

PERIODO

n-1 0 1 2 3 fT21

0T21

21

21 F1

6

T1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Banda utile del segnale campionato:

per definizione quella compresa fra:

21

2 Fovveroff c


Relazione fra Xc( f ) e Xa( f )

Teorema del campionamento

Xc( f ) è la somma di un numero infinitodi repliche dello spettro di xa(t),ciascuna traslata di un multiplo intero dellafrequenza fc

k

cac fkfXT

fX )(1)(


k=0

k=1

k=2

|Xa( f )|

N.B.: può presentarsi il fenomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale (distorsione spettrale)

fc

fc

2fc

9

|Xc( f )| N.B.: si sommano le funzioni complesse (non i moduli)


Condizione di assenza di distorsione spettrale(condizione di Nyquist)

1) segnale limitato in banda B

2) fc > 2B (frequenza di Nyquist)

(1 e 2) repliche disgiunte in frequenza

10

BffX a per 0)(


-B B f

B fc - B fc + Bfc

Banda di guardia: fc - 2B (necessaria in pratica)Se 1 o 2 non sono entrambe verificate:parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento)

2 fc

11

…....…....

|Xa( f )|

|Xc( f )|


12

D/ADAC

ya(t)y(nT)

Ricostruzione del segnale analogico


Osservazione: Se yc(nT)=xc(nT) i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico originario se le condizioni 1 e 2 sono verificate

B fcfc/2

1

fc /2filtro passa-basso ideale

(analogico)

yc (nT) ya (t)

-B B ff( a meno del fattore di scala 1/T )

f

13

|Yc( f )| |Ya( f )|

-B

Idealmente:


RICHIAMI DEL CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI

[per approfondimenti App. A)]

xa(t) segnale aleatorio• xc(nT) ha la stessa densità di probabilità di xa(t)

• segnali stazionari in senso lato

mediamnTxE xc )(

)()()( mTrmTnTxnTxE xcc autocorrelazione

rx(mT) corrisponde al campionamento dellaautocorrelazione continua )(r di xa(t)


• Spettro di potenza Gx( f ) di xc(nT)

Gx( f ) è la Trasformata di Fourier di rx(mT)

Se Ga( f ) è lo spettro di potenza di xa(t),cioè la trasformata di Fourier di

)(1)( cak

x fkfGT

fG

• Sequenze stazionarie ed ergodiche

Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme

)(r , si ha


)0( costante)( xx rfG

• Sequenze a spettro bianco

2x

)()0()( mTrmTr xx

• Potenza di una sequenza ( a media nulla)

)0()(2xcx rnTxES

che coincide con la varianza della sequenza


QUANTIZZAZIONE


Campionamento Quantizzazione

x(nT)xa(t)

TQ


Due operazioni:

xc(nT)

18

segnaletempo-continuo



QUANTIZZAZIONE

Qxc(nT) x(nT)

19




Quantizzazione uniformearrotondamento

q 2q 3q

2q

q

3q

q passo di quantizzazione

xc(nT)

x(nT)


Errore di quantizzazione

)()()( nTxnTxnTe c ovvero

)()()( nTenTxnTxc

entoarrotondamqnTe2

)(

otroncamentqnTe )(0

21

[ ] non usato in ENS


Modello dell’errore di quantizzazione( comunemente assunto)

e(nT) : segnale aleatorio indipendente da xc(nT) e quindi da x(nT)

densità di probabilità uniformemente distribuita: (arrotondamento)

2q

2q

q1

e0

bianco valor medio: 0 arrotondamento

[q/2 troncamento ]

varianza:12

1 22

2

22 qdeq

eq

qe


Densità spettrale di potenza:

12)(

12)(

22 qFGovveroqfG ee

Potenza dell’errore di quantizzazione:

12)(

221

21

qdFFGN eq


Rapporto segnale - rumore di quantizzazione

B bit (compreso il segno): 2B livelli

Bq22)1(2 Dinamica quantizzatore

(in uscita)

ionequantizzazdierrPotenza

segnaledelPotenzaNSSNR

qq .

BSq

S 22 23

12/

dBdBq SBSNR 77.402.6)( Ogni bit aggiunto fa aumentare SNRq di 6.02 dB

(dB)


Segnale sinusoidale (val. max = 1, S=1/2)

76.102.6)( BdBqSNR

Segnale gaussianoSemi-Dinamica quantizzatore: S441

510 3.64 )( Pr nTxob c

161

S

27.702.6)( BSNR dBq

(dB)

(dB)

25

Esempi particolari


Degradazione del rapporto segnale/rumore

Qxc(nT) x(nT)

segnale + rumore

segnale + rumore + err. quantizz.

S , Ni

)( qiuq

ii NN

SSNRNSSNR

S , Ni , Nq


Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati

qiuq SNRSNRSNR111

degradazione

dBuqdBidB SNRSNR )()(

Dati SNRi e B, si determina dB

Dati SNRi e dB si determina SNRq e quindi B.


28

TRASFORMATA Z


Trasformata Z

E’ una generalizzazione della Trasformata di Fourier per segnali tempo-discreti (sequenze)[come la Trasformata di Laplace è una generalizzazione della Trasformata di Fourier per segnali tempo-continui]

E’ uno strumento fondamentale per l’analisi e la rappresentazione di segnali discreti e per l’analisi e il progetto di sistemi discreti lineari tempo-invarianti Pre-requisiti: teoria delle variabili complesse


sequenza:

reale o complessa

Trasformata Z: ,)(

n

nznxzX

z variabile complessa

Definizione:

30

nnTxnx ,)(


Relazione con la Trasformata di Fourier

Se X(z) esiste sulla circonferenza unitaria, la Trasformata di Fourier X( f ) o X(F) della sequenza x[n] si ottiene per

FjTfj eez 22

TfjezzXfX 2)()(

ovvero

FjezzXFX 2)()(

[ Nota: per semplicità stesso simbolo X(·) per Trasformata Z e Trasformata di Fourier ]

piano z

Re[z]

Im[z]

F=0

1

F=1/2

F=1/4


Esistenza (convergenza della trasformata Z)

X(z) esiste per un certo valore di jerz

|)(| zX

Condizione sufficiente

n

nznx ||

ovvero

|| n

nrnx

se


Regione di convergenza (RdC)

Insieme di valori di z sul piano complesso per i quali X(z) esiste (la serie converge)


TRASFORMATA Z INVERSA

• La Trasformata Z inversa (o antitrasformata Z) ricostruisce la sequenza x[n] a partire da X(z)

Definizione generale

dzzzXj

nx n

c

1)(2

1

dove l’integrale è calcolato in senso antiorario su un contorno C, interno alla regione di convergenza che contiene l’origine (z=0)


Nell’elaborazione numerica dei segnali interessa principalmente l’inversione di funzioni X(z) razionali


Iniziamo da funzioni razionali elementari.

Abbiamo visto

azz

zazX

11

1)(

||||:,1

||||:,azRdCnua

azRdCnuanx

n

n


2)()(

azazzX

nuannx n

RdC: |z| > |a|

Generalizzazione:Applicando più volte il teorema della derivata rispetto a z si ottengono le trasformate Z di funzioni razionali con poli superiori al secondo ordine e le espressioni delle relative sequenze


38

Tabella delle più comuni trasformate Z


39

SISTEMI DISCRETI LINEARI


40

Esempi di segnali discreti (sequenze)

0 00 1

nn

n impulso unitario(o sequenza campione)

Alcuni esempi di segnali discreti

Per semplicità : x[n] = x(nT), T passo di campionamento costante

0 1 2 n

n


41

0 00 1

nn

nu sequenza gradino

0k

kn

0 1 2 n

u[n]

La sequenza

ha un numero finito (N) di campioni non nulli (sequenza di durata finita)

Nnununx


42

nang sequenza geometrica

0 1 2 3 n

… …reale , 10 aa

Caso particolare:

2 Fjea esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F


43

Segnale periodico (periodo L ) :

minimo il e LnLnxnx

Da notare che un segnale continuo periodico di periodo P non necessariamente generaun segnale digitale con periodo L=P/T !!

EsempioUna sinusoide a frequenza 30Hz campionata a 90Hz ha un periodo L=3=P/T.Campionata a 91Hz ha un periodo L=91.Campionata a 92Hz ha un periodo L=46.Che periodo ha se campionata a 70Hz?

Per esempio è periodica di periodo L se F=i/L (interi primi) Fnnx 2cos


44

In generale, per un qualunque segnale x[n], si può scrivere:

k

knkxnx

Interpretabile come la combinazione lineare di impulsi unitari traslati pesati da coefficienti costanti

kn kx


45

Sistemadiscreto

nx nxTrny

,2 nxny s.d. non lineare senza memoria

,123 nxnxny s.d. non lineare con memoria (finita)

Esempi di sistemi discreti (s.d.)


46

n

kkx

n

nyn

nnxn

ny

1][1

111 s.d. lineare tempo-variante (con memoria infinita)calcolo ricorsivo del valore medio dei valori di una sequenza da 1 a n

,1log nynxny s.d. non lineare con memoria (infinita)


47

Definizione

Dati nxTrny 11

e nxTrny 22

si ha

SISTEMI DISCRETI LINEARI


48

a1 , a2 costanti (reali o complesse) Si estende ad una combinazione lineare di un numero qualunque (anche infinito) di termini.

nxanxaTrny 2211

nxTranxTra 2211

nyanya 2211


49

Risposta impulsiva o indice

knTrnhk

risposta del sistema all’impulso applicato all’istante k.In generale è una famiglia di sequenze, una per ogni k

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei SegnaliRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

50

Proprietà fondamentale

k

knTrkxnxTrny

k

k nhkx

L’uscita è una combinazione lineare degli ingressi con coefficienti (generalmente) tempo varianti.


51

SISTEMI DISCRETI LINEARI TEMPO INVARIANTI(LTI)

Definizione ( x e k)

knyknxTr

knhknhnhk 0

quindi


52

L’uscita è data da:

kknhkxny

k

knxkh

nhnx (Convoluzione discreta)

Notare la proprietà commutativa della convoluzione discreta


53

Sistema discreto lineare tempo-invariante (LTI)

kk

knhkxknxkhnhnxny

h[n] risposta impulsiva del sistema [ risposta all’impulso unitario ]. caratterizza completamente il sistema

n

h[n]y[n]x[n]

LTI


54

Causalità

L’uscita al tempo m dipende solo dagli ingressi passati e presente, cioè per n m.

Equivale a:

Quindi:

0,0 nnh

0k

knxkhny


55

Due classi di sistemi discreti causali LTI

IIR (risposta impulsiva infinita)

0k

knxkhny

FIR (risposta impulsiva finita)

1

0

N

kknxkhny

durata della risposta impulsiva: N campioni.Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

56

Da notare che un sistema FIR non causale

1N

Mkknxkhny

può essere sempre trasformato in un sistema FIR causale (della stessa durata) ritardando l’uscita di M campioni e traslando di Mcampioni la risposta impulsiva:

1

0

MN

kknxMkhMnyny

1

0

MN

kknxkh


57

Stabilità (BIBO = Bounded Input Bounded Output)

Ogni ingresso limitato in ampiezza genera una uscita limitata in ampiezza.

Condizione necessaria e sufficiente:

kkh ||

FIR: sempre stabili

IIR: stabilità da verificareRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

58

EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE[Cap. 3.5]

Modo alternativo di definire un sistema LTI

Sistema di ordine N (causale)

0,10

nknyaknxbnyN

kk

M

kk

ak , bk coefficienti (costanti) del sistema e condizioni inizialiyi = y[i] , i = - N, ..., -1

FIR : tutti gli IIR : alcuni (salvo casi particolari, v. esempi)0ka

0ka


59

Esempio: sistema LTI, causale, stabile,

01,1 ynxnyany

che ha una risposta impulsiva (tipo IIR)

nuanh n

||1

1||0 a

nhn

stabilea 1||

stabilenona 1||


60

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

,)(

k

kzkhzH funzione di trasferimento del sistema (ROC)

x[n]

X(z)

h[n]

H(z) Y(z) = X(z) H(z)

nhnxny


61

Sistemi causali

FIR

1

0

)(N

k

kzkhzH

IIR

N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zP

zZb

za

zbzH

1

1

1

1

0

1

0

)1(

)1(

1)(

0k

kzkh


62

Ordine del sistema: N

Zk : zeri del sistema

Pk : poli del sistema

Stabilità : poli interni al cerchio unitario nel piano z.

Sistemi reali : zeri e poli reali o complessi coniugati

H(z) è la trasformata Z di h[n]h[n] è la trasformata Z inversa di H(z)[ modo alternativo di ottenere h[n]rispetto al calcolo diretto ]


63

RISPOSTA IN FREQUENZA

Sistema discreto LTI

Ingresso: esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F

nFjenx 2


64

k

knFjekhny )(2

k

FkjFnj ekhe 22

FjezFnj zHe

2|)(2

)(2 FHe Fnj Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

65

La funzione complessa

della frequenza normalizzata F

è la risposta in frequenza del sistema

H(F) è la trasformata di Fourier della sequenza h[n]

k

FkjekhFH 2)(


66

Risposta di ampiezza:

| H(F ) | simmetrica

Risposta di fase:H(F ) antisimmetrica

Ritardo di fase:

FFFf

2

)()( (campioni)

Per sistemi reali [ sequenze h[n] reali ]

H (-F ) = H* (F )

)(F


67

Ritardo di gruppo:

dFFdFg

)(21)(

(campioni)

Sistemi non distorcenti in ampiezza (o passa-tutto)

| H (F ) | = costante

Sistemi non distorcenti in fase (o a fase lineare)

cost)()( FF gf


68

TRASFORMATA DISCRETADI FOURIER

(DFT)


69

TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT)

Definita per sequenze periodiche (o finite)

N periodo (o durata) di x[n], n = 0, 1, ..., N -1

1

0

/2:N

n

NknjenxkXDFT 1,,1,0 Nk

1

0

N

n

knNWnx )( /2 Nj

N eW

1

0

1

0

/2 11:N

k

knN

N

k

Nknj WkXN

ekXN

nxIDFT


70

pNkXkX

pNnxnx

p intero qualsiasi

X[k] e x[n] sono due sequenze (generalmente complesse) periodiche di periodo N

Valori significativi: 10 Nn

10 Nk


71

Se x[n] è una sequenza di durata finita N essa va considerata come un periodo di una sequenza periodica

m

mNnxnx~

m intero


72

Relazione utile

npN

jN

n

eN

21

0

1

= 1 , p = m N m intero

= 0 , altrimenti


73

Dimostrazione IDFT

1

0

21 N

k

nkN

jekX

Nnx

moltiplicando entrambi i membri pernr

Nj

e2

e, sommando da n=0 a N-1, si ha

1

0

1

0

)(221

0

1 N

n

N

k

rknN

jnrN

jN

n

ekXN

enx


74

Scambiando l’ordine della sommatoria

1

0

1

0

)(221

0

1N

k

N

n

rknN

jnrN

jN

n

eN

kXenx

ed essendo

altrimentirkper

eN

N

n

rknN

j

,0,11 1

0

)(2

si ha

1

0

2N

n

nkN

jenxkX

periodica con periodo N


75

Teorema di Parseval

1

0

21

0

2 1 N

k

N

nkX

Nnx Energia di un periodo

della sequenza

1

0

22

1

0

2 11 N

k

N

nkX

Nnx

NPotenza della sequenza


76

Traslazione circolare

0 1 2 3 4 n

N=5x[n]

0 1 2 3 4 n

x[n-2]5

kmN

j

N ekXmnx2

rotazione di fase pari a: Nkm2


77

Analogamente (in modo duale)

nlN

j

N enxlkX2

modulazione con esponenziale complesso


78

Convoluzione circolare

Proprietà molto importante per le implicazioni applicative e realizzative

Definizione nxnxnyc 21

NN

m

mnxmx

21

1

0

kXkXkYc 21Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

79

Il prodotto X1[k] X2[k] è la DFT di una convoluzione circolare di due sequenze(e non di una convoluzione discreta tradizionale, detta per distinzione lineare o aperiodica)


80

Convoluzione lineare

m

l mnxmxnxnxny 2121

Per es. per sequenze di durata N :yc[n] è periodica con periodo N

yl [n] è aperiodica di durata L = 2N-1


81

In generale:se x1[n] e x2[n] sono due sequenze rispettivamente di durata L e M (L > M), la loro convoluzione lineare ha una durata

L + M – 1

Per la loro convoluzione circolare occorre definire un periodo N (> L), allungandole rispettivamente con N-L e N-Mcampioni nulli.

Caso 1Se N > L +M – 1, yl [n] = yc [n] per n=0,1,…..,L+M-2

Caso 2Se L < N < L +M – 1

yl [n] = yc [n] per n=L+M-1-N, L+M-1-N+1,……,N-1ovvero per gli ultimi 2N-(L+M-1) della convoluzione circolare


82

Per poter utilizzare la DFT per il calcolo della convoluzione discreta lineare [p.es. y[n] = x[n] h[n] ], occorre usare tecniche opportune:

Overlap and add Overlap and save


83

TRASFORMATA VELOCEDI FOURIER

(FFT)


84

TRASFORMATA VELOCE DI FOURIER (FFT)

La DFT

,1

0

N

n

nkNWnxkX N

j

N eW2

richiede

N2 moltiplicazioni complesse [ 4 N2 m. reali + 2 N2 s. reali ]

N (N-1) somme complesse [ 2N (N-1) s. reali ]


85

Algoritmi FFT

Radice-2 decimazione nel tempo

Radice-2 decimazione in frequenza

Estensioni di questi algoritmi base


86

FFT RADICE-2 DECIMAZIONE NEL TEMPO

vN 2

disparin

nkN

parin

nkN WnxWnxkX

1

2

0

21

2

0

2 122

N

p

pkN

kN

N

p

pkN WpxWWpx


87

)( 2/

222

NN

j

N WeW

1

2

02/

12

02/ 122

N

p

pkN

kN

N

p

pkN WpxWWpx

kBWkA kN

)1,.....,0( Nk


88

A[k], B[k] sono DFTN/2

camp.dispari

DFT

DFT

A[k]

B[k]

camp.pari X[k]

kNX

2

WNkWN

N/2+k = -

stadioN/2 m.c. + N s.c.

(farfalle)

WNk

N/2

N/2k=0,…,N/2 -1


89

Il procedimento può essere iterato fino ad arrivare a DFT2 .

Il numero di stadi : v = log2 N


DFT4

90

GrafoEsempio: N = 8

WN0

-1

WN0

-1

WN0

-1

WN0

-1

WN0

WN0

WN2

WN2

-1

-1

-1

-1

WN0

WN2

WN3

WN1 -1

-1

-1

-1

x[0]

x[4]

x[2]

x[6]

x[1]

x[5]

x[3]

x[7]

X[0]

X[1]

X[2]

X[3]

X[4]

X[5]

X[6]

X[7]


91

Complessità finale

2log

2 2NN

moltiplicazioni complesse

m.c. eliminando le moltiplicazioni del primo stadio

somme complesse

]NN

2log2

NN 2log


92

Ingressi: bit-reversed order (ordine a bit invertiti)

Gli ingressi non sono in sequenza. Devono essere ordinati come nell’esempio (N = 8):

Posizione0 = 000 1 = 001 2 = 010 3 = 011 4 = 100 5 = 101 6 = 110 7 = 111

Campionex[0] = x[000]x[4] = x[100]x[2] = x[010]x[6] = x[110]x[1] = x[001]x[5] = x[101]x[3] = x[011]x[7] = x[111]


93

Calcolo “in-place”

Gli ingressi e le uscite di ogni “farfalla” stanno sulla stessa linea orizzontale. Bastano N locazioni di memoria (complesse), perché a coppie subiscono una trasformazione e il risultato può essere rimemorizzato nelle stesse locazioni degli ingressi.

[p]

[q]

decim. nel tempo

[q]

[p]

-1WNr


94

N m.c. s.c. m.c. s.c.

32 1024 992 80 160

1024 1048576 1047552 5120 10240

DFT FFT


95

FFT RADICE - 2 DECIMAZIONE IN FREQUENZA

vN 2

Algoritmo duale

Scompone la sequenza di uscita X[k] in due parti, la prima relativa agli indici pari (k=2r), la seconda relativa agli indici dispari (k=2r+1), r = 0,1,….,N/2-1.


96

FFT: CONSIDERAZIONI FINALI

1

0

1 N

k

nkNWkX

Nnx

La IDFTN

può essere calcolata (a meno del fattore 1/N ) da un algoritmo FFT sul quale si operi la sostituzione

1 NN WW(FFT) (IFFT)


97

La divisione per il fattore N può essere eseguita mediante divisione per un fattore 2 ad ogni stadio.

In pratica per il calcolo della DFTconviene sempre impiegare un algoritmo di FFT, a meno che non interessino pochipunti della DFT.


98

STIME SPETTRALI


99

Si vuole stimare la densità spettrale di potenza(spettro di potenza) di un segnale con potenza finita a partire dalla sequenza generalmente di durata molto lunga (“infinita”) dei suoi campioni

Utilizzando la DFT (FFT) si può effettuare la stima spettrale per qualunque tipo di segnale (stima non parametrica) e non si richiede l’ipotesi di un “modello” del segnale (stima parametrica)

Poiché la DFT ha dimensione finita, come può essere impiegata? Iniziamo a considerare un segnale (a energia finita) che abbia la TF


100

1

0

N

n

knNWnxkX

NkFn

nFjenwnx

|2

altrove 0

101 Nnnw (finestra rettangolare)con

La sua DFTN (a N punti), per esempio sui primi N campioni,

x[n] sequenza di durata molto lunga con TF X(F)

Operazione di modifica dello spettro (filtraggio) della DFT


101

che ha come TF

)()(

11)( )1(

2

2

FsenFNsene

eeFW NFj

Fj

NFj

cffTfF /con frequenza normalizzata


102

)()(

FsenFNsen


103

TFenwnxkXNkFn

nFj la è|2

calcolata alle frequenze normalizzate Nk

cfNk

NTk

(ovvero alle frequenze fisiche )

della sequenza

nwnxnx il cui spettro è

21

21

)()()()()( duuFWuXFWFXFX


104

Spettro di un segnale e della funzione finestra rettangolare centrato in F.

F


105

in definitiva:

)(FXkX

ovvero il coefficiente k-esimo della DFT è il valore mediato dello spettro X(F) di x[n]pesato dalla funzione W(F) centrata sulla frequenza normalizzata k/N.

Generalmente la DFT non coincide con i valori desiderati di X(F) alle frequenze k/N.

NkF


106

Risoluzione algoritmica e risoluzione spettrale

Valori spaziati di

ovvero diNTN

ff c 1

La risoluzione spettrale è la minima distanza di due componenti spettrali che possono essere ‘risolte’: dipende dall’ampiezza del lobo principale della finestra. Generalmente si assume la risoluzione spettrale uguale all’ampiezza del lobo principale.

Tuttavia:

NF 1

Risoluzione algoritmica


107

Finestra Risoluzione Picco lobo laterale spettrale ( F) (dB)

Rettangolare 2/N - 13

Hanning 4/N - 31

Hamming 4/N - 41


108

Stime spettrali (Periodogramma)

È uno dei metodi di stima spettrale per segnali a potenza finita. Impiega la DFT (FFT). x[n] segnale aleatorio discreto di durata molto lunga ( L ), supposto stazionario (in senso lato) per tutta la sua durata.

Algoritmo si suddivide x[n] in M = L/N blocchi

di N campioni

10,10, MiNniNnxnxi


109

Si forma

finestraopportuna , nwnwnxn'x ii

Si calcola

n'xDFTk'X iNi

21 |k'|XNW

kA ii

,nwN

WN

n

1

0

21con potenza della finestra


110

Si calcola la media

1

0

1 M

iix kA

MkP

Il valore Px[k] è la stima dello spettro di potenza del segnale x[n] alla frequenza F = k/N ovverof = fc k/N.

Il fattore 1/NW è introdotto per avere una stima non polarizzata (per N )Modifica possibile: i blocchi xi[n] possono essere anche parzialmente sovrapposti (in genere di N/2 ) per migliorare le stime.


111

CONVOLUZIONE DISCRETA LINEARE

Convoluzione discreta lineare fra due sequenze (filtraggio FIR) effettuata mediante l’impiego della DFT.

h[n] di durata N (FIR)x[n] di durata >> N (generalmente)

x[n]h[n]

X(z) H(z) Y(z)=X(z) H(z)

nhnxny


112

Due tecniche

1. Sovrapposizione e somma (Overlap and add)

2. Sovrapposizione e selezione (Overlap and save)


113

quando le durate N e M non sono “troppo diverse” essa realizza direttamente la loro convoluzione

quando la durata del segnale di ingresso è >> N, la convoluzione lineare può essere realizzata con DFT di dimensioni opportune.

Prima di descrivere queste due tecniche occorre considerare la convoluzione lineare mediante DFT di due sequenze di durata finita ( N e Mrispettivamente) per due motivi:


114

Convoluzione lineare fra sequenze finite

Durata delle sequenze “non troppo lunga”

h[n], durata N

x[n], durata M

,nhnxny durata L = N + M - 1

nhnx 00


115

1010

0 LnNNnnh

nh

1010

0 LnMMnnx

nx

sequenze allungate con valori nulli (zeri)

kHkXkY La DFT dell’uscita è il prodotto delle DFT delle due sequenze di partenza allungate con valori nulli.

DFT a L punti


116

Schema realizzativo

x[n]

(M)

h[n]

(N)

x0[n]

(L)

h0[n]

(L)

Allungamentocon

N - 1 zeri

Allungamentocon

M - 1 zeri

DFT L IDFTL

H[k]

(L)

X[k]

(L)(L)(L)

Y[k] y[n]

DFT L

L=N+M-1


117

Osservazione

La parte dello schema racchiusa nel rettangolo tratteggiato può essere calcolata una sola volta se la stessa h[n] è usata per filtrare successivamente sequenze diverse aventi durata M.


118

Sovrapposizione e somma (Overlap and add)

i

ii

i nynhnxny

Nh[n]

x[n]

yi-1[n]

Mxi-1[n] xi+1[n]xi [n]

L=N+M-1

+yi [n]

yi+1[n]

y [n]

+

N-1 N-1 N-1


119

Schema realizzativo

Scelta di L : L N + M - 1

h[n]

x[n]BlocchiM camp.

DFTL IDFTL

DFT LH[k]

(RAM, ROM)

sovrap.e somma

y[n]Xi[k] Yi[k]

yi[n]xi[n]


120

Osservazione

- Per semplicità nello schema l’operazione di allungamento con zeri è inclusa nel blocco DFT

- La parte racchiusa nel rettangolo tratteggiato è calcolata una sola volta.


121

Overlap and addComplessità realizzativa

(algoritmo FFT radice-2)

L log2 L + L m.c.

L log2 L + L m.c./campioneL-N+1

da confrontare con N (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta

ovvero

4L (log2 L + 1) m.r./campioneL-N+1


122

Sovrapposizione e selezione (Overlap and save)

Osservazione:

nella convoluzione circolare ad L punti di una sequenza di N campioni con una di L ( > N ) campioni, i primi N -1 campioni sono diversi mentre i successivi L-N+1 sono identici a quelli della convoluzione lineare fra le stesse sequenze


123

h[n]

x[n]Lxi-1[n] xi+1[n]

xi [n]

N-1

N-1

N-1

N

A

B

C

A B Cy[n]

L-N+1

yi[n]


124

Schema realizzativo

x[n]BlocchiL camp.

DFTL IDFTL

H[k]

sovrap.e selez.

y[n]

L campioni

Xi[k] Yi[k]yi[n]xi[n]


125

Overlap and saveComplessità realizzativa

(algoritmo FFT radice-2)

L log2 L + L m.c.

L log2 L + L m.c./campioneL-N+1

da confrontare con N (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta. O&A e O&S hanno la stessa complessità

ovvero

4L (log2 L + 1) m.r./campioneL-N+1


126

CORRELAZIONE

Data h[n] di durata N e x[n] di durata > N ,sappiamo che la loro correlazione (lineare) può essere espressa mediante la convoluzione discreta (lineare)

nxnhmnxmhnvN

m

1

0


127

- usando h[-n] al posto di h[n], ovvero

usando H[L – k] al posto di H[k]

Si possono applicare tutte le tecniche precedenti (sequenze entrambe finite, sovrapposizione e somma, sovrapposizione e selezione):

(con L dimensione della DFT usata)


128

Convoluzione e correlazione veloce

Si chiamano così quando si impiega un algoritmo FFT per il calcolo della DFT negli schemi precedenti.


129

PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA FINITA

(FIR)


130

Considerazioni generali sul progetto di filtri numericiSpecifiche di progetto

_______________________________________________________________________

L’obiettivo è di progettare una funzione di trasferimento H(z) di un sistema LTI realizzabile (FIR o IIR) la cui risposta in frequenza H(F) approssimi (con criterio opportuno) la desiderata (ideale) Hd (F). In genere Hd(F) non può essere realizzata esattamente. Occorre stabilire delle tolleranze accettabili della approssimazione → Specifiche di progetto

)()()( FXFHFY d)(FX)(FHd

• Operazione di filtraggio di un segnale


131

Esempio: passa-basso

12δ

2δ

21 FF1 F2

1

21 FF0

1

F0

ideale)( FH d

progettareda )( FH

Il filtro ideale non è realizzabile (discontinuità):• si impone una banda di transizione F1÷F2 • si impongono una deviazione max in banda passante

e una deviazione max in banda attenuata• nessun vincolo nella banda di transizione (salvo ovvie anomalie)

2δ1δ


132

PROGETTO DI FILTRI FIR(Finite Impulse Response)

nx

1

0

N

k

knxkhny nh

Proprietà e caratteristiche principali:+ Filtri FIR sono fra i più usati+ Possono avere una risposta in fase

esattamente lineare (assenza di distorsione di fase e di gruppo)

Progettare h[n] che abbia una accettabile risposta in frequenza H(F)


133

+ Sempre stabili

+ Strutture più facili da realizzare

+ Minore sensibilità nei confronti di una realizzazione con aritmetica a precisione finita

- Possono richiedere un numero di operazioni anche elevato


134

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO e

RISPOSTA IN FREQUENZA

1

0

N

k

knxkhny

Funzione di trasferimento

1

0

)(N

n

nznhzH solo zeri (escludendo l’origine)


135

Risposta in frequenza

,)(1

0

2

N

n

nFjenhFH

cffF frequenza normalizzata

)()( FjeFA

,)(FA

,)(F

risposta di ampiezza

risposta di fase


136

da cui si ottengono:

,2

)()(F

FF

,)(21)(

dFFdF

ritardo di fase (campioni)

ritardo di gruppo(campioni)


137

Fase lineare

aFF )(

cost 2

)()(

aFF


138

FIR a fase lineare:

z-1

z-1 z-1

x[n]

h[0] h[1]

y[n]

z-1

z-1 z-1

N dispari

h[N-1 ]2

h[N-3 ]2


139

z-1

z-1 z-1

x[n]

h[0] h[1]

y[n]

z-1

z-1 z-1

N pari

h[N-1]2

h[N-2]2

z-1


140

Complessità

Moltiplicazioni :

Somme :

( N dispari)

( N pari)

21N

2N

1N


141

- Un FIR più N IIR del 1° ordine (complessi)

- Struttura conveniente quando pochi H[k] 0 (filtri a banda stretta)

- I filtri IIR hanno poli sul cerchio unitario: per evitare problemi di instabilità si spostano leggermente all’interno


142

PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA INFINITA

(IIR)


143

FILTRI IIR (Infinite Impulse Response)

Sistema causale

DOMINIO TEMPORALE (equazione alle differenze finite)

N

kk

M

kk knyaknxbny

10

Ordine del filtro: N


144

DOMINIO DELLA TRASFORMATA Z (funzione di trasferimento)

N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zP

zZb

za

zbzH

1

1

1

10

1

0

)1(

)1(

1)(

NM


145

Se M > N filtro IIR di ordine N + filtro FIR di ordine M - N

Zk zeri del filtro

Pk poli del filtro (interni al cerchio unitario per filtri stabili e causali)

ak e bk reali per ogni k : filtro realeak e/o bk complessi per qualche k : filtro complesso


146

DOMINIO DELLA FREQUENZA)()()()( 2

Fjez eFHzHFH Fj

Risposta impulsiva infinita

Eccellenti risposte di ampiezza ma risposte di fase non lineari (filtri causali)

È necessario verificare la stabilità dal filtro

CARATTERISTICHE

Progetto: determinare gli ak e bk in modo che H(F) soddisfi le specifiche


147

Caso particolare: N = 2

Sezione del 2° ordine (reale)

22

11

22

110

1)(

zazazbzbbzH

Due zeri complessi coniugati: 00 ZeZ

Due poli complessi coniugati: 00 PeP

e/o


148

Filtro passa - tutto (2° ordine)

)()(

)()(

1)(

12

22

11

2112

zDzDz

zDzN

zazazzaazH p

reali) (coeff. 1 )()(

)( 2

2

Fj

Fj

p eDeD

FH

0)( F

N(z) e D(z) sono polinomi speculari


149

Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase 0.25 ,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli


150

Sezione del 2° ordine con solo poli(filtro accordato)

jer Poli

221cos211)(

zrzr

zH

Im

Re

x

x

r

2

pF Frequenza naturale del polo

pFje 2


151

Si può verificare che

)(FH ha un max relativo se :21

2cosrr

per ,2

cos)1(2cos:2

00 rrFF

che valesenrr

HM )1(1

11

per r ≈1(<1) il max è in corrispondenza della frequenza naturale del polo e inversamente proporzionale alla distanza del polo dalla circonferenza unitaria


152

Per , la banda a - 3dB

rB dB

13

il filtro è tanto più selettivo quanto più il polo si avvicina al cerchio unitario

1r


153

Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con soli poliPoli: modulo 0.9, fase 0.25


154

IIR del 2° ordine con zeri sul cerchio unitario

Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con zeri e poli.Poli: modulo 0.9, fase 0.24 Zeri: modulo 1, fase 0.5


155

STRUTTURE REALIZZATIVE per IIR

STRUTTURE REALIZZATIVE CANONICHE

Sono quelle che impiegano il minimo numero di operatori (memorie, moltiplicatori, addizionatori) elementari


156

Struttura canonica diretta

N

k

kkN

k

kk

N

k

kk

N

k

kk

zbzaza

zbzH

0

11

0

1

1

1)(

N

kk

N

kk

N

kk

N

kk

knwbny

knwanxnw

knyaknxbny

0

1

10


157

z-1

x[n] y[n]

z-1

z-1

b0

b1

b2

bN

-a1

-a2

-aN

w[n]

)1/(1 kkkza k

kkzb


158

Struttura canonica trasposta

Si ottiene con le operazioni di trasposizione per reti lineari


159

z-1

x[n] y[n]

z-1

z-1

b0

b1

bN-1

bN - aN

- aN-1

- a1


160

Caratteristica

Ciascun campione attuale dell’ingresso x[n]e dell’uscita y[n] è moltiplicato per tutti i corrispondenti coefficienti in successione: può semplificare la realizzazione HW/SW.


161

Realizzazione con sezioni in cascata

Si decompone

,)()(1

)(21

1

)2(

1

)1(

1

0

K

ii

K

iiN

k

kk

M

k

kk

zHzHGza

zbzH

21 2KKN

Hi(1) (z), sistema del 1° ordine con poli e zeri reali

Hi(2) (z), sistemi del 2° ordine con poli e/o zeri

complessiRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

162

x[n]H1(z) H2(z) H3(z)

K1+K2 filtri realizzati con strutture del 1° e del 2° ordine

y[n])(

21zH KK


163

Problemi connessi con questa struttura

1. Associazione di zeri e poli per ogni sezione2. Ordinamento delle sezioni in cascata3. Fattore di scala fra una sezione e l’altra per

prevenire il generarsi di valori troppo grandi (overflow) o troppo piccoli (underflow).

Aritmetica esatta (a precisione “infinita”): 1, 2 e 3 non hanno conseguenze.

Aritmetica a precisione “finita”: necessità di soluzioni adeguate per 1, 2 e 3


164

Associazione zeri e poli

Per ridurre gli effetti della realizzazione con aritmetica a precisione finita, si segue in pratica la seguente procedura:

i) partire dal polo più vicino alla circonferenza unitaria ed associare ad esso lo zero più vicino

ii) continuare come in (i) fino ad esaurimento di tutti i poli restanti


165

Ordinamento delle sezioni

La procedura seguita in pratica per ridurre gli effetti di una realizzazione in aritmetica a precisione finita è la seguente:

- sezioni ordinate in ordine decrescente dei valori massimi delle loro risposte in ampiezza.


166

Struttura parallela

Si esprime (mediante scomposizione in fratti semplici [Cap. 2])

K

iiN

k

kk

M

k

kk

zHAza

zbzH

1

1

0 )(1

)(

con

K = intero opportunoA = bN / aN (M=N)

Hi (z) sezione del I o II ordine (a seconda del tipo di zeri e poli)


167

H1(z)

H2(z)

HK(z)y[n]

x[n]

A


168

FIR IIR Fase può essere

esattamente linearenon lineare

per filtri causaliStabilità sempre da controllare

Strutture realizzative

più facili e semplici più complicate

Numero di operazioni

maggiore minore

Precisione finita

effetti minori e più facili da analizzare

effetti maggiori e più difficili da analizzare

Procedure diprogetto

mediante calcolatore per filtri semplici procedura algebricain genere mediante

calcolatore

Confronto filtri FIR e IIR


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DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI · 2015. 10. 5. · Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 2 Segnale analogico ( o tempo-continuo ) Segnale numerico (