DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁLČíslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0232

Název projektu EU peníze středním školám Masarykova OA Jičín

Název školy MASARYKOVA OBCHODNÍ AKADEMIE, 17. listopadu 220, Jičín

Předmět Matematika

Tematický okruh Soustavy rovnic, nerovnice a soustavy nerovnic

Téma Řešení kvadratických nerovnic

Označení DUMU VY_42_INOVACE_128

Jméno autora Mgr. František Egrt

Datum vytvoření 7.4.2014

Anotace Materiál slouží k vysvětlení učiva o řešení kvadratických nerovnic.

SOUSTAVY ROVNIC, NEROVNICE,

SOUSTAVY NEROVNIC

ŘEŠENÍ

KVADRATICKÝCH NEROVNIC

Kvadratickou nerovnicí nazveme takovou nerovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na některý z tvarů :

02 cbxax02 cbxax

cbxax 2

cbxax 2> 0

< 00a,02 cbxax

definice:

Řešení neúplných kvadratických nerovnic

4. xx> 0

1. Neúplné kvadratické nerovnice bez absolutního členu

Příklad č.1: V R řešte nerovnici:

> 0

;40;P0 4

- . - + . - + . +

+ -

+

xx 42

)1.(/ 032 xx

Příklad č.2: V R řešte nerovnici:

3;0P

0 3

- . - + . - + . +

+ -

+032 xx

0)3.( xx

7.7 xx

492 x < 0

2. Neúplné kvadratické nerovnice bez lineárního členu

Příklad č.1: V R řešte nerovnici:

< 0

7;7P

-7 7

- . - - . + + . +

+ -

+

1. způsob:

2x

492 x < 0

2. způsob řešení:

7;7P

0-7

< 49

x < 7

7

odmocníme

xxRx 2;

12 x012 x

Příklad č.2: V R řešte nerovnici:

;P

druhá mocnina je vždy číslo nezáporné

Příklad č.3: V R řešte nerovnici:

012 x

12 x

P

Řešení úplných kvadratických nerovnic

9D

Příklad č.1: V R řešte nerovnici:

8132498.1.474 22 acbD

0872 xx1. Vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici.

0872 xx

82

16

2

971

x

0.. 21 xxxxa

1.2

97a

Dbx

22,1

12

2

2

972

x

2. Pomocí kořenů kvadratické rovnice rozložíme kvadratický trojčlen.

01.8 xx

3. Nerovnici v součinovém tvaru vyřešíme metodou nulových bodů.

;81;P

-1 8

- . - - . + + . +

+ -+

01.8 xx

4. Zapíšeme řešení kvadratické nerovnice.

Příklad č.2: V R řešte nerovnici:

Řešení:

> 0922 xx

323649.1.424 22 acbD

0922 xx

Pozn.: 1) Jestliže diskriminant kvadratické rovnice je číslo záporné, pak kvadratická nerovnice má nekonečně mnoho řešení nebo nemá žádné řešení.

RP ;

2) Zvolíme libovolné reálné číslo, které dosadíme do kvadratické nerovnice.

a) Jestliže vyjde pravdivé tvrzení, kvadratická nerovnice má nekonečně mnoho řešení. b) Jestliže vyjde nepravdivé tvrzení, kvadratická nerovnice nemá v reálných číslech řešení.

922 xx > 0

zvolíme např. x = 1 91.212 8 > 0

> 0

pravdivé tvrzení

Seznam použité literatury:

DYTRYCH, M.; DOBIASOVÁ, I.; LIVŇANSKÁ, L.

Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky víceletých

gymnázií a pro 2. stupeň základních škol.

2. vyd. Praha: Fortuna, 2003.

ISBN 80-7168-766-9.

s.174/1.b), 1.c), 1.e), 1.h), 1.m)

2 příklady libovolně zvolené