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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Prof. Éric Béchet
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Intro Éléments de conception Méthodes de calcul générales – arbres de manège Prise en compte de géométries complexes – arbres de
commande – SER Vibration transversales et vitesses critiques Exercices d’application
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Conception mécanique
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Conception mécanique
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Conception mécanique
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Conception mécanique
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Conception mécanique
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Conception mécanique
Intro
Dimensionnement des arbres
Un arbre est un élément de machine, tournant ou fixe, supportant engrenages, poulies, pignons, etc. Il a généralement une géométrie de révolution. C’est le cas que l’on considère dans la suite.Il sert à transmettre une puissance, mais peut aussi servir à positionner des éléments entre eux.Selon son usage, il peut porter plusieurs noms :- Arbre de transmission : transmet un couple, généralement d’un élément moteur vers un autre élément de machine- Essieu ou axe : rotatif ou non, ne transmet pas de couple mais seulement des efforts liés au positionnement.
C’est l’élément de machine - de loin - le plus courant !
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Un arbre en rotation est soumis à plusieurs sollicitations :
Certaines sont imposées par la fonction assurée par l’arbre dans le mécanisme, ce sont des sollicitations externes
- Transmettre un couple
- Supporter/positionner un élément interne au mécanisme
- Reprise d’efforts externes au mécanisme
D’autres sont des conséquences non voulues dues à la conception du mécanisme : sollicitations internes
- Efforts dues aux éléments participant à la/aux fonctions – engrenages (forces générées par le contact), poulies (tension de la courroie) etc.
- Efforts dus aux liaisons (frettage, clavettes), paliers (en particulier paliers à rouleaux coniques)
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Arbre = poutre : 6 sollicitations « macroscopiques » indépendantes qui se traduisent, en chaque point, par trois états de contraintes, locaux et indépendants :
Efforts normaux → Traction/compression dans l’axe de l’arbre
Exemple de cause : poids propre d’un arbre de turbine vertical Sous les hypothèses de Saint Venant → les efforts sont constants dans chaque
la section. Ils ne varieront pas en fonction de la rotation (sauf mécanisme complexe e.g.
arbre de perceuse à percussion)
x
HV
σ xx
σ xx
r
θ
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Flexion (deux directions possibles) → Moment fléchissant → Traction/compression dans l’axe de l’arbre
Exemple de cause : poids propre d’un arbre de turbine horizontal, couples exercés sur l’arbre dans un plan parallèle à l’axe
La répartition des efforts dépend de la section, mais ils sont globalement de signe opposés de part et d’autre du plan contenant la fibre neutre et perpendiculaire aux efforts (et parallèle à l’axe du couple induit !)
Si l’orientation des efforts est fixe et que l’arbre tourne, les efforts vus du point de vue matériau seront modulés par la rotation : ils varieront de façon sinusoïdale dans le temps : on parle de flexion rotative.
Moment fléchissant
σ xx
σ xx
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Torsion → couple de torsion → efforts de cisaillement dans chaque section
Exemple de cause : couple moteur transmis. La répartition des efforts de cisaillement dépend de la section. Elle est
proportionnelle à la distance à l’axe de torsion (qui est confondu avec l’axe de révolution pour une géométrie de révolution…)
Si la section est mince (arbre creux), c’est donc quasiment constant. En principe, ne varie pas avec l’angle de rotation de l’arbre, sauf
mécanismes complexes e.g. moteur à pistons qui génèrent des à-coups.
τθ z
τθ x
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Efforts tranchant → cisaillements et dans chaque section.
Exemple de cause : efforts provenant des liaisons, tout comme pour le moment fléchissant (sauf couples !)
La répartition des efforts dépend de la section, mais ils sont paraboliques dans la section.
Si l’orientation des efforts est fixe et que l’arbre tourne, les efforts vus du point de vue matériau seront modulés par la rotation au même titre que pour la flexion.
τ xz τ yz
Effort tranchant
τHx
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Matériaux les plus courants Aciers au carbone, laminés à chaud si pas de besoins de
résistance particuliers : 0.15 à 0.30 % de carbone : EN32B, DIN CK15, AISI 1015 …
Pour des arbres rapides ou fortement sollicités, aciers autorisant des traitements thermiques 0.30 à 0.60 %C ou aciers alliés type DIN CK35, 30CrNiMo16
Autres matériaux : Titane (aéronautique) TA6V : usinage plus difficile, coût élevé Aluminium : faible limite d’endurance → pas fait pour les fortes sollicitations
cycliques, donc plutôt pour du positionnement avec de faibles charges. Plus rarement composites
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
La rigidité d’un matériau ne dépend en pratique presque pas de la sa nuance : Aciers ~ 200-220 GPa ; seule la limite d’élasticité est fortement variable : de 235 à 1450 MPa
Même constat pour la masse volumique (aciers 7,8 g/cm³ ) Par conséquent, les caractéristiques d’élasticité des arbres
en acier (rigidité de torsion/flexion etc.) ne dépendent que de la géométrie.
Possibilité d’arbres creux si la rigidité est un paramètre important… à capacités de transmission égales, un arbre creux est bien plus rigide, pour un poids plus faible
Fréquent en aéronautique
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Éléments de conception But – construction la plus économique possible et la plus
sûre → arbre de diamètre le plus faible possible. Le facteur dimensionnant d’un arbre est un des 3 éléments
suivant :- Résistance (en fatigue ou ultime)
- Rigidité (pour diminuer la flèche)
- Stabilité (augmenter la vitesse critique)
Quelque soit le critère dimensionnant advenant en premier, le diamètre de l’arbre est grandement influencé par les moments fléchissants… or ceux ci dépendent directement du positionnement des éléments le long de l’arbre.
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Positionnement des éléments le long de l’arbre
Il est généralement préférable de positionner les éléments de machine près des liaisons...
L1 L2 L3
PalierPalier
Roue dentée
Poulie
Mauvais positionnement !
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Ou...
Bon positionnement
(mais plus faible raideur en torsion!)
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Diagramme de corps libre (DCL) Tout comme pour une poutre, il faut déterminer les efforts
internes à partir des éléments extérieurs Premièrement, faire un calcul des efforts extérieurs – c’est
un calcul similaire à ce qui se fait en résistance des matériaux…
Cas isostatique → les efforts sont déterminés directement (statique). Cas hyperstatique → utiliser les méthodes énergétiques pour s’en sortir
(Castigliano / Menabrea) On essaie habituellement de se retrouver dans le cas isostatique – plus
fiable par rapport à des variations de paramètres (e.g. dilatation thermique) Quand ce n’est pas possible, l’introduction de jeux permet de s’en sortir...
Une fois ceci calculé, toutes les interactions de l’arbre avec l’extérieur est résumé par un ensemble de forces Fi et de couples Ci, réduits à la fibre neutre de l’arbre.
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Conception mécanique
Exemple de calcul de réactions (isostatique)
Ici, R1 et R
2 sont à déterminer en fonction de F
1 et F
2
Bilan des forces = 0 Bilan des moments =0 Résultat : Système isostatique : les résultantes aux appuis ne
dépendent que le la géométrie (pas des prop. mécaniques)
200 mm 100 mm
R2
R1 F
1
F2
R1=−F 1
2−
F 2
2R2=−
F 1
2+
32
F 2
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Conception mécanique
Exemple de calcul de réactions (hyperstatique)
Ici : deux équations pour trois inconnues. Il faut tenir compte de la souplesse de la poutre, et supposer ,par exemple,
qu’elle est de section constante. Ensuite, plusieurs solutions
Supposer R1 comme étant un effort connu, puis calculer R
1 de façon à ce que
la déflexion soit nulle Calculer l’énergie de déformation de la poutre en fonction de toutes les
forces en éliminant n réactions hyperstatiques de façon à rendre le problème isostatique, et écrire que la dérivée de celle ci par rapport à aux réactions hyperstatiques est nulle (Castigliano-Menabrea)
200 mm 100 mm
R3
R2 F
1
F2
50 mm
R1
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Conception mécanique
Exemple de calcul de réactions (hyperstatique)
On suppose R1 hyperstatique (degré d’hyperstaticité de 1)
On résout pour R2 et R
3 (fonction de R
1, F
1, F
2), système désormais isostatique
On écrit l’énergie de déformation : on peut en général supposer qu’elle ne dépend que du moment fléchissant : il faut donc le calculer
200 mm 100 mm
R3
R2 F
1
F2
50 mm
R1
M f (x)=R1 x+R2(x−50)++F 1(x−150)
++R3(x−250)
+
E f =∫0
350 M f (x )2
2 EIdx
R2=−F 1
2−
F 2
2−
5 R1
4R3=−
F 1
2+
3 F 2
2+
R1
4
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Conception mécanique
Exemple de calcul de réactions (hyperstatique)
On dérive par rapport à R1, et annule l’expression obtenue ...
R2=−F 1
2−
F 2
2−
5 R1
4R3=−
F 1
2+
3 F 2
2+
R1
4
∂ E f
∂ R1
=0 → ∫0
350∂ M f (x)
2
∂ R1
dx=0 → ∫0
350∂ M f (x)
∂ R1
⋅M f (x)dx=0
E f =∫0
350 M f (x)2
2 EIdx
M f (x)=R1 x+(−F 1
2−
F 2
2−
5 R1
4)(x−50)
++F 1(x−150)
++(−
F 1
2+
3 F 2
2+
R1
4)(x−250)
+
∂ M f (x)
∂ R1
=x−54
(x−50)++
14
(x−250)+
∫0
50
R1 x2 dx+∫50
150
(R1 x+R2(x−50))(x−54
(x−50))dx+∫150
250
(R1 x+R2(x−50)+F 1(x−150))(x−54
(x−50))+
∫250
L
(R1 x+R2(x−50)+F 1(x−150)+R3(x−250))(x−54
(x−50)+14
(x−250))=0
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Conception mécanique
Exemple de calcul de réactions (hyperstatique)
En définitive :
D’où les autres réactions :
On a lors l’ensemble des données pour continuer...
∫0
50
R1 x2 dx+∫50
150
(R1 x+R2(x−50))(x−54
(x−50))dx+∫150
250
(R1 x+R2(x−50)+F 1(x−150))(x−54
(x−50))+
∫250
350
(R1 x+R2(x−50)+F 1(x−150)+R3(x−250))(x−54
(x−50)+14
(x−250))=0
−3 F 1−4 F 2+5 R1=0 → R1=3 F 1+4 F 2
5
R2=−5 F 1+6 F 2
4R3=
34 F 2−7 F 1
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Exemple de diagramme de corps libre
FaH Fa’H
FcH FrH
x
H
FaV Fa’V
FrVx
V
La
Ccx Crx
Lc Lr
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Diagrammes Mfx(x), Mfy(x),N(x),Tx(x),Ty(x), C(x) Correspondent aux efforts nécessaires pour maintenir l’arbre
à l’équilibre, si une coupure est faite à l’abscisse x Ici, N(x)=0 Tx(x) :
Ty(x)
FaV Fa’V
FrVx
FaH Fa’H
FcH FrH
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
MfV(x)
MfH(x)
C(x)
FaV Fa’V
FrV
FaH Fa’H
Ccx Crx
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Méthodes de calcul en prédimensionnement Arbre long (parfois appelé « arbre de manège »)
On va se mettre dans un cas le plus défavorable, soit un arbre relativement long, transmettant un couple moteur, associé à une force radiale.
Arbre court de section variable (tronçon de commande)
On devra tenir compte des éléments ajoutés à l’arbre et calculer plus précisément un état de contraintes section par section.
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Arbre long (parfois appelé « arbre de manège ») Soit une puissance P à transmettre (en kW), à une vitesse
de rotation N (en tr/min). La configuration la plus défavorable est qu’il existe une charge centrale pour un arbre en appui sur ses extrémités.
Cette charge peut être due à la tension d’une courroie, à l’angle de pression d’une roue dentée etc.
Les normes DIN proposent un entraxe maximal :
LR/2 R/2
CR
L<300√d [ unités en mm ]
d
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Arbre long : trois critères sont à valider ! Résistance en torsion-flexion combinée Raideur en flexion (flèche limitée) Raideur en torsion (stabilité de la chaîne cinématique)
La combinaison des trois critères nous donne la formule des arbres de manèges.
Cette formule est un outil de pré-dimensionnement.
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Critère de résistance aux efforts Bilan des efforts :
Moment fléchissant Mf , contraintes normales de valeur maximale au droit du
point d’application de la force F
Moment de torsion Mt , contrainte de cisaillement de valeur maximale à la
périphérie du profil.
Il existe dans la quasi-totalité des cas un facteur de proportionnalité k entre ces efforts !
Pour une roue dentée, le pression de contact est proportionnelle au couple à transmettre, et l’angle de pression est constant ~ 20°
Pour une courroie, idem, la tension est calculée pour éviter le glissement, et dépend donc du couple transmis
Sabot de freinage, même raisonnement ...
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
En pratique :
avec Mf=kM
t et 0.5<k<0.7 : ces valeurs sont issues de
l’expérience ! Dans la suite on va prendre k=0.7 par précaution. Unités pour la suite : mm, kW, MPa , etc...
P=M t⋅ω
M t=106 60⋅P2 π⋅N
N.mm
kW
tr/min
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Il s’agit donc d’une sollicitation composée. On va se ramener à une sollicitation équivalente simple...
En combinant les deux moments, flexion et torsion, on obtient un moment « idéal », qui nous permettra de comparer les contraintes avec une valeur issue d’essais expérimentaux (habituellement la contrainte limite en traction).
L’objectif est de simplifier le dimensionnement, même si l’état de contrainte est complexe.
On peut toujours revenir sur le calcul par la suite et affiner - par exemple avec des outils numériques tels que les éléments finis.
Ceux ci sont des outils de validation d’un design plus que des outils de conception !
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Critère utilisé pour les matériaux métalliques, et donc l’acier en général : rester dans le domaine élastique ET éviter la fatigue.
Calcul des contraintes dans la section (RDM)
Les contraintes sont maximales au mêmeendroit : en h=d/2 (r=d/2) !
σ=h⋅M f
I f
=h⋅M f
π d 4
64
τ=r⋅M t
I 0
=r⋅M t
π d 4
32
hI f =
π d 4
64
r I 0=π d 4
32σmax=
M f
π d 3
32
τmax=M t
π d 3
16
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
La notion de contrainte équivalente (cf cours RDM) permet de comparer avec un essai de traction simple ...
On va essayer de trouver un moment idéal (composé) tenant compte des deux sollicitations : flexion et torsion …
Prenons le cas de Tresca (plus conservatif que von Mises )
σ t=√M f
2
( π d 3
32 )2+
4⋅1
22
M t2
( π d 3
32 )2=
32
π d 3 √M f2+M t
2
Critère de Tresca (cisaillement max)
σ vm=√σ2+3 τ
2 Critère de von Mises (énergie de déformation)
σmax=M f
π d 3
32
τmax=M t
π d 3
16
=12
M t
π d 3
32
σ t=√σ2+4 τ
2
→
→ M i=√M f2+M t
2
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Avec von Mises, on obtient un critère plus faible (et donc moins sécurisant)
On constate que la formule utilisée pour définir le moment idéal dépend du matériau et in fine, du modèle utilisé pour ce matériau : ce n’est pas juste une question géométrique !
D’autres modèles existent…
σ vm=√M f
2
( π d 3
32 )2+
3⋅1
22
M t2
( π d 3
32 )2=
32
π d 3 √M f2+
34
M t2
→ M ivm=√M f2+
34
M t2
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Critère de Mohr-Caquot
Correspond à la tangence du cercle de Mohr avec une courbe caractéristique (c.c.) du matériau. Si le cercle de Mohr dépasse, il y a rupture. La courbe limite dépend du genre de matériau.
Cela reste un critère simple qui permet également unpré-dimensionnement raisonnable
Les modèles les plus simplesutilisent des droites.On peut caractériser cesdroites par deuxparamètres :
Rpg
: résistance pratique au cisaillement
Rpe : résistance pratique à la traction R
pe
Rpg
σ
τ
Cercle de Mohr (traction uniaxiale)
Cercle de Mohr (cisaillement pur)
c.c. mat.ductile
c.c. mat.fragilec.c. mat.
intermed.
c.c. mat.réel
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Le calcul du moment idéal donne dans ce cas la
Formule de Mohr-Caquot
Dans cette formule,
est un paramètre dépendant du matériau avec
Rpg
: résistance pratique au cisaillement (Mpa)
Rpe : résistance pratique à la traction (Mpa).
M i=(1−1
2λ )M f +1
2λ√M f
2+M t
2
λ=R pg
R pe
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Matériaux métalliques ductiles (e.g. acier)
Fontes (classe de matériaux fragiles)
Matériaux moulés (e.g. Zamak )
Rappel : matériaux obéissant au critère de von Mises :
M i=(1−1
2λ )M f +1
2λ√M f
2+M t
2=√M f
2+M t
2
λ=1
: Formule de Coulomb(ou Tresca !)
λ=R pg
R pe
=12
M i=12
M f +12 √M f
2+M t
2: Formule de Rankine
λ=45
M i=38
M f +58 √M f
2+M t
2: Formule de Saint-Venant
M i=√M f2+
34
M t2
40
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Les arbres de machines sont généralement en acier, donc on utilisera ici la formule de Coulomb/Tresca, qui donne :
ou
Calcul de la contrainte max : on suppose une section circulaire. On a donc- un moment quadratique :- une distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre :
d’où →
Donc,
M i=M f √1+( 10.7 )
2
≈1.75 M f
I =π d 4
64
d/2v=
d2
σ(h)=h⋅M i
Iσmax=v⋅
M i
I
M iσmax
=Iv
=π d 3
32
M i=M t √1+0.72≈1.225 M t
41
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Calcul d’un diamètre acceptable à la contrainte maximale :
d’où mm
avec N en tr/min, P en kW et en Mpa.
Pour un acier avec une limite de 50 Mpa, cela donne :
avec les mêmes unités.
M iσmax
<π d 3
32d >
3√ 32⋅106⋅60⋅P⋅1.225
2π2⋅N⋅σmax
d >3√ 32 M i
πσmax
d >500 3√ PN
⋅3√ 1
σmax
σmax
d >135 3√ PN
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Critère basé sur la flèche maximale Souvent, on ne peut accepter des écarts trop importants
(p.ex. les dentures doivent s’engrener correctement…)
On ne tient compte que du moment de flexion...
Mf=kM
t avec et k=0.7 .M t=103 60⋅P
2π⋅N
LR/2 R/2
R
f
f =M f L2
12 E I=
R L3
48 E I
43
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Tentons de trouver une relation entre la flèche relative et admissible …
On a également
d’où
Pour = 50 MPa et E =217500 MPa, on a :
, soit de l’ordre de 10-4 à 10-3 pour des
diamètres compris entre 50 et 200 mm
f =M f L2
12 E I
M f =M i
1.75=
π d 3
32⋅1.75σmax
12 E π d 4 f
64 L2=
π d 3
32⋅1.75σmax
M f =12 E π d 4 f
64 L2
σmax
I =π d 4
64
→ σmax=1.75⋅6⋅E⋅fL
⋅dL
→
σmax
fL
=6.57⋅10−3
√d
L=300√d
fL
44
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Une flèche relative de 10-3 est assez significative - on ne peut donc pas dépasser cette valeur.
Pour des diamètres inférieurs à 50mm, c’est même au-delà.
Il est en pratique inutile de considérer des résistances supérieures à 50 Mpa pour l’acier servant à fabriquer l’arbre. Si l’on se base sur un acier plus résistant, le dimensionnement ne sera pas correct car la flexion trop prononcée
N’oublions pas que le moment de flexion est supposé proportionnel au moment de torsion… et que le module de Young ne varie pas avec !
On peut également noter que la contrainte admissible pour une durée de vie supérieure à 10 cycles d’un acier mi-dur en flexion rotative vaut ⁶approximativement 50 MPa :
R0=500 MPa (contrainte ultime) Re = 280 MPa (limite élastique)d’où R1 ~ 1/3*280/1.8 = 52 MPa , avec un facteur de sécurité K=1.8 (méthode de Seefehlner pour la flexion alternée)
σmax
σmax
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Critère basé sur la raideur en torsion L’objectif est de garantir un fonctionnement hors fréquences
propres de la chaîne cinématique, donc que celles-ci soient assez élevées
On estime que la torsion ne doit pas dépasser environ 1/4 de degré d’angle par mètre de longueur d’arbre.
or, avec , et
θ= π4⋅180
10−3 rad/mm
θ=M t
G I p
G=E
2(1+ν)I p=
π d 4
32
θ=106 60⋅32(1+ν)
E π2 d 4
PN
M t=106 60⋅P2 π⋅N
→ d=4√106 60⋅32(1+ν)
E π2θ
4√ PN
46
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Avec les valeurs numériques choisies, le critère donne :
à comparer avec pour les deux précédents critères.
On choisit globalement la formule « composite » suivante :
Formule dite des « arbres de manèges ».
d=4√106 60⋅32(1+ν)
E π2θ
4√ PN
d >128 4√ PN
θ= π4⋅180
10−3 rad/mm
E=217500 MPa
ν=0.3
d >135 3√ PN
d >130 n√ PN
avec {n=3 si P / N ≥1n=4 si P / N ≤1
P en kWN en tr/mind en mm
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Que signifie cette formule ?
Elle n’est valable que pour des arbres pleins en acier.Si on l’utilise, - elle limite la contrainte équivalente
- elle limite la flèche relative à
- elle limite l’angle de torsion à En outre, connaissant les dimensions d’un arbre, le couple
maximal transmissible est :
P en kWN en tr/mind en mm
σmax≤55 MPa
L<300√d (en mm )
fL
≤6.57⋅10−3
√d
θ≤1162
d 4
PN
(rad/mm)
d >130 n√ PN
avec {n=3 si P / N ≥1n=4 si P / N ≤1
M tmax≤107( d130 )
n
N.mm avec {n=3 si d /130≥1n=4 si d /130≤1
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas des arbres courts de section variable (tronçons de commande)
Ils sont munis de poulies, roues, de ce fait le couple n’est pas constant le long de l’arbre.
Ils sont courts ! Les effets de flexion ne sont pas dominants, et le critère de la flèche n’est
pas pertinent dans un premier temps*.
Démarche : Calcul des résultantes des efforts extérieurs (immédiat si isostatique, par
itérations si hyperstatique) Calcul des moments de torsions (constants) dans chaque tronçon Calcul des moments fléchissants Calcul du moment idéal (idem arbre de manège) Calcul du diamètre local (même formule que arbres de manège, mais n=3 *)
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Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
En pratique : On calcule les efforts extérieurs :
Poulies : tension brin tendu T, brin mou t, effort périphérique Q
Roue dentées : efforts tangentiel Ft, radial F
r, axial F
x (si denture hélicoïdale)
On projette ces efforts dans deux plans perpendiculaires, notés V et H
Ensuite, calcul des réactions des appuis RV, R
H (R
x axial n’est pas considéré car
peu susceptible d’influence sur la géométrie de l’arbre, sauf cas particuliers)
Calcul des moments de flexion MfV, Mf
H
Calcul du moment résultant Calcul du moment de torsion (constant par tronçons)
(poulie) (roue dentée) Calcul du moment idéal (Tresca) ou v. Mises
Calcul du diamètre caractéristique du solide d’égale résistance :Ce diamètre varie en fonction de la position !On choisit souvent R=50 MPa comme point de départ.
Mf =√Mf V2+Mf H
2
Mt=Pω
Mt=F⋅D /2 F=T −t F=Ft
Mi=√Mf 2+Mt2 Mi=√Mf 2
+3 / 4 Mt 2
d SER=3√
32π
MiR
50
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
On obtient alors un SER, Solide d’Égale Résistance, de diamètre variable le long de l’arbre.
Ce SER est le noyau sur lequel vont se greffer les éléments de liaison aux roues, poulies, portées cylindriques ou coniques imposées par les roulements etc.
Il faut y rajouter un habillage… Le SER ne doit jamais être entamé (e.g. par une rainure de clavette) !
Portée conique
FiletPortées cylindriques
Gorge pour rondelle frein
Cale dormante Trou de lubrification radial et collet
Saignée pour jonc d’arrêt
Épaulement
Entretoise
51
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas de l’arbre hyperstatique Obligation d’itérer ! Considérer un arbre de section constante, puis calculer les
réactions aux appuis (hyperstatiques) Méthodes vues en RDM (théorème de réciprocité de Maxwell-Betti par
exemple)
Utiliser les réactions d’appui ainsi calculées pour déterminer le premier SER, constitué de sections de diamètre non constant
Ce SER conduit alors à des réactions hyperstatiques différentes (car sa raideur est différente ...)
On calcule donc ces réactions, qui mènent à un second SER, déjà très proche de la solution.
Toutes ces étapes peuvent être assez facilement automatisées
52
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Vitesse(s) critique d’un arbre Comme tout élément de machine, les arbres sont soumis à
des sollicitations cycliques. Celles ci sont susceptibles d’exciter un ou plusieurs modes vibratoires, et par conséquent, d’induire des niveaux de vibrations tels que la fonction de l’arbre n’est plus assurée, voire la destruction de l’arbre par fatigue.
Nous allons étudier cela en partant d’un cas simple, puis étendre aux cas plus courants.
53
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas simple : arbre sans masse pourvu d’un disque, tournant à vitesse constante
Soit I le moment d’inertie de l’arbre, M la masse du disque. Supposons qu’une flèche y apparaisse fortuitement
(perturbation infinitésimale)
L/2L/2
M
G
54
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Supposons qu’une flèche y apparaisse fortuitement (perturbation infinitésimale), on a alors une force centrifuge :
Pour que cette flèche soit due à F, il faut que :
(théorie des poutres) Éliminons F, il vient , d’où .
Il existe donc une vitesse unique, pour laquelle il y a équilibre entre la force centrifuge et la force de rappel élastique.
MG
F=Mω2⋅y
y=F L3
48EIMω
2=48EI
L3ω=√
48EI
M L3
y
55
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Vitesse critique, pour laquelle il y a équilibre entre la force centrifuge et la force de rappel élastique :
Que se passe-t-il si ? La force de rappel élastique est plus grande, donc l’arbre revient dans sa
position initiale, sans déformation, après amortissement des oscillations.
Et si ? Divergence et destruction de l’arbre… ou autocentrage !
Introduisons un léger balourd, ce qui revient à décaler le centre de gravité d’une distance e (excentricité) :
ωc=√48EI
M L3ω<ωc
ω≥ωc
M
G
e
56
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Avec un balourd : etd’où :
Posons , il vient
Ici, gros changement : à chaque valeur de vitesse correspond une valeur de flèche positive, proportionnelle à l’excentricité e.
Pour , le dénominateur s’annule et la flèche diverge. Pour , la flèche à l’équilibre est négative tend vers … -e !
(On parle d’autocentrage - c’est stable grâce aux effets gyroscopiques )
F=Mω2⋅( y+e) y=
F L3
48EI
y=ω2 e
48EIM L3
−ω2
ωc=√48EI
M L3y=
ω2e
ωc2−ω
2
ω=ωc
ω<ωc
ω>ωc
57
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Force centrifuge : Force de rappel :
F=Mω2⋅( y+e)
F=48EI
L3y
58
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Deux possibilités de design pour une application pratique:
1- Soit est très grand Dans ce cas on peut supposer que … Aucun risque d’instabilité, mais les efforts sont directement transmis au
bâti (pour le bonheur des voisins !)
- Cas le plus courant dans l’industrie
2- Soit est faible (liaison flexible) Dans ce cas, - mais grâce à l’autocentrage les efforts transmis au
bâti sont quasiment éliminés (et les voisins sont contents) Problème : avant d’atteindre cette vitesse, on passe par …
La seconde solution est parfois retenue malgré tout Mais il faut accélérer vite, et/ou s’assurer d’un amortissement suffisant. On retrouve parfois ce cas de figure sur de grandes installations industrielles
pour lesquelles les puissances en jeu font que l’on a . C’est le cas des machines à laver le linge en phase d’essorage !
ωc
ω≫ωc
ωc
ω≪ωc
ω=ωc
ω≫ωc
59
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Analogie avec le comportement vibratoire…
Écartons l’arbre au repos de l’équilibre, on a alors :
Force de rappel élastique :
Force due à l’amortissement :
Force d’inertie : Équilibre : soit
avec et
Solution générale :
Fk=48 EI /L3⋅y=ky
Fa=C y
Fi=M y
M y+C y+k y=0 y+2n y+ p2 y=0
2n=CM
p2=kM
=48 EI
ML3
y1(t)=A e−nt sin (√ p2−n2⋅t−ϕ)
Déterminéspar lesconditionsinitiales
60
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Supposons l’amortissement très faible : n → 0, alors on a :
et le mouvement est périodique de période
et de pulsation
On constate que !
y1(t)=A e−nt sin (√ p2−n2⋅t−ϕ)
y1(t)=A sin (p⋅t−ϕ)
τ=2π
p=2π √ ML
3
48EI
p=√48 EI
ML3
p=ωc
61
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas des vibrations forcées
Une solution particulière est :
La solution générale s’amortit, ne reste que la solution particulière après un certain temps. L’amplitude est alors
y+2n y+ p2 y=E sinω t
y2(t)=C1sinω t+C2 cosω t
C1=Ep2−ω
2
( p2−ω2)2+(2nω)
2
C2=−E2nω
(p2−ω2)2+(2nω)
2
y2(t)=E
( p2−ω2)2+(2nω)
2 [( p2−ω2)sinω t−2nωcosω t ]
|ymax|=E
(p2−ω2)2+(2nω)
2
62
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Si de plus l’amortissement est très faible, alors on a n → 0
donc
Si on pose (c’est un choix arbitraire!), alors on
retombe exactement sur
On voit donc une grande analogie entre le phénomène vibratoire et les phénomènes de stabilité en rotation de l’arbre.
L’analogie n’est pas totale : les contraintes générées ne sont pas identiques (flexion alternée vs. flexion ordinaire)
L’arbre doit être un solide de révolution ! (problème unidimensionnel)
|ymax|=E
p2−ω2=
E
ωc2−ω
2
E=ω2e
ω2e
ωc2−ω
2
63
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
La recherche des pulsations critiques peut donc se faire de trois façons différentes :
1- Équilibre dynamique indifférent, par imposition d’une déformation et vérification de l’égalité des force d’inertie et élastiques
2- Utilisation d’une excentricité due à un balourd, et recherche de la pulsation pour laquelle les déformations tendent vers l’infini
3- Recherche des pulsations propres du problème vibratoire associé
La condition habituellement choisie est que la raideur de l’arbre soit suffisante pour que la vitesse critique soit au moins 1,5 fois plus élevée que la vitesse de rotation prévue.
64
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas utiles Vitesse critique d’un arbre sans masse portant un seul
disque au milieu :
ici, est la flèche résultante de l’application d’une
force unitaire au droit du disque. C’est aussi le coefficient d’influence de la force.
La formule est valable pour n’importe quel cas comportant un seul disque, pour autant que la masse de l’arbre soit négligeable.
ωc=√48EI
M L3=√
1M L3
48EIL3
48EI=a11
ωc=√1
M a11
65
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
2 appuis simples, disque centré
2 appuis simples, disque excentré
2 appuis encastrés, disque centré
Console, disque à l’extrémité
L/2 L/2
L1 L2
a11=L3
48EI
a11=L12L2
2
3EI (L1+L2)
L/2 L/2
a11=L3
192EI
L
a11=L3
3EI
( I =π d 4
64 )
66
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Arbre réel : la masse est répartie !
Prenons le cas d’un arbre simplement appuyé
La force centrifuge (répartie) vaut :
L’équation de la déformée est :
Dérivons une fois :
Puis encore :
D’ou l’éq. diff. avec
L
∂2 y
∂ x2=MEI
∂3 y
∂ x3=
∂M∂ x
1EI
=TEI
f (x)=mdxω2 y
∂4 y
∂ x4=
∂T∂ x
1EI
∂4 y
∂ x4=m ω
2
EIy
∂4 y
∂ x4−a4 y=0 a4=
mω2
EI
∂T∂ x
=mω2 y
67
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
avec
Solution générale :
avec
Conditions aux limites :Ici, on a et d’une part (position fixée) et d’autre part (moment nul)
On obtient un système linéaire homogène, pour lequel la solution triviale est toujours sauf dans le cas ou le déterminant est nul. C’est ce qui nous intéresse ici.
L
∂4 y
∂ x4−a4 y=0 a4=
mω2
EI
y (x)=C1 f 1(a x)+C2 f 2(a x)+C3 f 3(a x)+C4 f 4(a x)
y (0)=0 y (L)=0y "(0)=0 y "(L)=0
Cn=0
Fonctions de Duncan
f 1(ξ)=sinh ξ+sin ξ
f 2(ξ)=sinh ξ−sin ξ
f 3(ξ)=cosh ξ+cosξf 4(ξ)=coshξ−cosξ
68
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Conditions aux limitesL
y (0)=0 y (L)=0y "(0)=0 y "(L)=0
f 1"(ξ)=sinh ξ−sin ξ=f 2(ξ)
f 2"(ξ)=sinh ξ+sin ξ=f 1(ξ)
f 3"(ξ)=coshξ−cosξ=f 4(ξ)
f 4"(ξ)=coshξ+cosξ=f 3(ξ)
y (x)=C1 f 1(a x)+C2 f 2(a x)+C3 f 3(a x)+C4 f 4(a x)
f 1(ξ)=sinh ξ+sin ξ
f 2(ξ)=sinh ξ−sin ξ
f 3(ξ)=cosh ξ+cosξf 4(ξ)=coshξ−cosξ
y "(x)/a2=C1 f 2(a x)+C2 f 1(a x)+C3 f 4 (a x)+C4 f 3(a x)
y (0)=0
y (L)=0
y "(0)=0
y "(L)=0
C3=0
C4=0
C1 f 1(aL)+C2 f 2(a L)+C3 f 3(a L)+C4 f 4(a L)=0
C1 f 2(a L)+C2 f 1(a L)+C3 f 4 (a L)+C4 f 3(a L)=0
69
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
L
det (0 0 1 00 0 0 1f 1 f 2 f 3 f 4f 2 f 1 f 4 f 3
)=0 det(f 1 f 2f 2 f 1)=0
(sinh a L+sin aL)2−(sinh a L−sin a L)
2=0
sinh2+sin2+2sinh sin−sinh2−sin2+2sinh sin=0sinh sin=0
sina L=0
a L=nπωcn=
(nπ)2
L2 √ EIm
a4=mω
2
EI
√mω2
EIL2=n2π2
f 12− f 2
2=0
(n>0)
y (0)=0
y (L)=0
y "(0)=0
y "(L)=0
C3=0
C4=0
C1 f 1(aL)+C2 f 2(a L)+C3 f 3(a L)+C4 f 4(a L)=0
C1 f 2(a L)+C2 f 1(a L)+C3 f 4 (a L)+C4 f 3(a L)=0
(C1+C2)(f 1+ f 2)=0 C1+C2=0
70
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
En définitive, on retrouve une infinité de vitesses critiques, correspondant à l’infinité de degrés de liberté dans le problème …
Ces vitesses critiques correspondent à des modes de déformation particuliers (v. modes propres) :
car
On peut encore montrer que ces modes propres sont identiques aux modes propres vibratoires « habituels » d’une poutre (avec symétrie de révolution) en flexion...
ωcn=n2π2
L2 √ EIm (n>0)
y (x)=C1 f 1(a x)+C2 f 2(a x)+C3 f 3(a x)+C4 f 4(a x)
a=nπ
L
y (x)=K sin(nπ
L) C1+C2=0;C3=C4=0
a4=mω
2
EI
71
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas utiles
ωcn=(μn)
2
L2 √EIm
libre – aucun déplacement imposéM=0, T=0
guidée – orientation fixée mais position librey’=0, T=0
articulée – position fixée mais orientation librey=0, M=0
encastrée – position et orientation fixéesy=0, y’=0
72
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Méthodes approchées de détermination des pulsations propres
Les géométries complexes empêchent de calculer analytiquement ces valeurs : en fait on n’a habituellement besoin de ne connaître que la première pulsation propre.
Il existe plusieurs approches :
Éléments finis
Méthode de Dunkerley ( généralement par défaut )
( Méthode de Rayleigh ( généralement par excès) )
( Méthode de Stodola )
...
73
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Éléments finis Pour une détermination exhaustive et relativement précise, à
condition de connaître précisément la géométrie.
Pour le dimensionnement préliminaire, on ne peut se baser sur cette technique car :
- Elle est bien trop coûteuse.
- On ne connaît pas précisément la forme de l’arbre et la position des roues
- Elle nous donne une analyse « ponctuelle » : pour une tendance, il faut faire plusieurs calculs en variant la géométrie !
74
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Approche de Dunkerley
Méthode « légère » donnant les tendances Vieille comme le monde : publiée en 1894, sur des bases expérimentales
Principe : déterminer la première pulsation propre du système complexe connaissant les 1ères pulsations propres d’éléments plus simples…
Le cas typique : arbre de section constante portant des masses ponctuelles correspondant à des poulies.
Il convient de calculer les (premières) pulsations propres de chaque cas indépendamment :
M1
M2
Mn
m
Arbre seul
ωc I=π2
L2 √ EIm
Mn
m Poulie n
a1n=L1n2 L2n
2
3EI (L1n+L2n)ωcn=√ 1
M na1navec
75
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Formule de Dunkerley
soit
Approximation d’autant plus précise que les pulsations propres d’indice 2 et 3 suivantes de l’ensemble du système sont éloignées de (première p.p.)
L’erreur est commise par défaut : et est de l’ordre de 3 à 4 % pour les applications envisagées → c’est donc une approche conservatrice (sécuritaire) si le but est de travailler en deçà de la valeur calculée.
Permet une estimation rapide et donne des indices sur ce qu’il faut faire pour atteindre un objectif donné...
1
Ωc12=
1
ωc I2+∑
1
n1
ωcn2
1
Ωc12=
1
ωc I2+∑
1
n
M na1n
Ωc 1
Ωc 1<Ωc1exact
76
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Que faire si l’arbre envisagé a une forme plus complexe ?
Déterminer les modes propres (et autres grandeurs) à l’aide d’un logiciel de calcul par éléments finis …
77
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas des arbres courts (pas de torsion) Arbre courts, points d’application des efforts proches des
appuis : deux cas selon le type d’assemblage !
Cas 1Dimensionnementen cisaillement
Cas 2dimensionnementà la flexion
jeu
point decontact
reel
F
F/2 F/2
l
L
d
jeu
T =F2
Effort tranchant maxi
Moment fléchissantmaxi
M f =FL4
M f =3 FL16
bi-appuyé
encastrementimparfait
M f =FL4
M f =FL8
bi-encastré
78
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas 1 : encastrement et cisaillement prépondérantOn calcule l’effort de cisaillement maxi
Formule de Jourawski → répartition parabolique descontaintes
Pour une section circulaire :
τ(x , y )=(d 2
−4 y2)
32 T
12 I x √d 2−4 y2
=d 2
−4 y2
12 I x
m( y)=∫y
ymax
t b(t)dt
b(y)
x
yG
m( y)
m( y)=∫y
ymax
t √d 2−4 t2 dt
b( y )=√d 2−4 y2
m( y)=(d 2
−4 y 2)
32
12
τ(x , y)=m( y)TI x b( y )
I x=π d 4
64
τ(x , y)=16(d 2
−4 y2)
3 πd 4τmax=
16(d 2−4 y2
)
3π d 4 |y=0
=16 T
3πd 2
79
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Si l’on connaît la contrainte de cisaillement limite, on peut alors déterminer le diamètre mini :
En général, est déterminée à l’aide d’essais en traction en utilisant la formule des contraintes équivalentes (e.g. von Mises):
Comme dans la formule des arbres de manège, dépend de la fatigue, du coefficient de sécurité etc. Dans les mèmes conditions, il vaut environ 50 Mpa - efforts alternés (bielle), 100 Mpa (efforts non alternés), 150 Mpa (statique)...ou plus si les alliages utilisés le permettent.
d min>√16T
3π τmax*
τmax*
σeq=√σ2+3 τ
2τmax
*=
σmax*
√3
d min>√16 T
√3πσmax*
σmax*
80
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Cas 2 : Flexion dominante Contraintes telles que :
D’où le diamètre minimal :
σmax=y⋅M f
π d 4
64 |y=
d2
=32 M f
π d 3σ=
y⋅M f
I f
=y⋅M f
π d 4
64
d min>3√ 32
πM f
σmax*
81
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Vérification : pression de contact aux appuis Cas 1
Cas 2
p=Td l
<σmax*
ld
>√3π
16=0.34
d =√16T
√3πσ max*
En général vérifié : l > d pour des raisons pratiques
p=F
2 d l<σmax
*d =
3√ 32π
M f
σ max*
d 3=
32π
F L
4σmax*
d 2=
16 T
√3 πσmax* T =
√3π d 2σmax
*
16
F=4π d 3
σmax*
32 L
L l
d 2> π
16=0.19 En général vérifié : l > d (cf plus haut)
L > d (même raisonnement)
82
Conception mécanique
Dimensionnement des arbres
Exercice
Un arbre transmet un mouvement d’une poulie vers une roue dentée droite ( α : 20° ). La roue dentée en entraîne une autre située en dessous (non dessinée).
L=200 mm 100 mm
50 mm
M=100 Kg
xV
H
N=1000 tr/minP=20 kW
100
mm
1) Calculer le diamètre de l’arbre à l’aide de la formule des arbres de manèges.2) Calculer toutes les réactions, les moments fléchissants, les couples, et en déduire un SER (calculer les diamètres pour x=25,50,100,150,200,250). Qu’en concluez vous par rapport à la formule des arbres de manèges ? 3) En considérant un diamètre de l’arbre constant = 40mm, calculer les pulsations propres des éléments séparés (arbre sans masse + engrenage, puis poulie, enfin arbre pesant sans les éléments de machine. Calculer la pulsation de l’ensemble. Conclusion ?( 4) Calculer les flèches au droit de la roue et de la poulie )Note : tous les éléments sont en acier, ρ=7,8 g/cm³, contrainte limite 50 Mpa, g=9.81 m.s-2 selon V
83
Conception mécanique
Suite et fin du projet Date de remise : après la dernière séance de suivi (19/05
17h) Calcul d’arbre tel que dans l’exercice Assemblages des différents éléments Plan d’ensemble de la chaîne cinématique Calcul de la masse de l’ensemble cinématique
Vous indiquerez cela sur le formulaire suivant :
Je mettrai en ligne les résultats (masse fonction de puissance etc...)
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeSmPl5FdCzd1p7jym0n8OnQOuBk4mojcAkzrPAFxk6XORg-Q/viewform?usp=sf_link