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ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil1
DINÂMICA DE ESTRUTURAS E
AEROELASTICIDADE
Prof. GIL
Aeroelasticidade Estática – Asas Enflechadas
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil3
Aeroelasticidade estática de asas enflechadas.
� Objetivo
� Determinar como a flexão, não somente a torção como se
viu antes, muda o carregamento em asas enflechadas;
� Apresentação de modelos aerodinâmicos e estruturais
simples.
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil4
Considerações iniciais
� Asas podem ter o seu enflechamento positivo (“para trás”), ou negativo (“para frente”)
� Para que enflechar para frente ?
�Tentar diminuir a distância entre o centro aerodinâmico e o centro de gravidade da aeronave;
�Melhorar características de controlabilidade longitudinal para o caso de aeronaves com pouco volume de cauda, uma vez que a eficiência de sustentação aumentada;
�Diminuir efeito de arrasto de onda no regime transônico, aumento Mach de cruzeiro...
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil5
Teoria das Faixas
� Técnica para resolver um problema tridimensional empregando soluções
bidimensionais conhecidas;
� Não é restrito apenas ao cálculo de carregamento estacionário para
aeroelasticidade;
� A idéia é subdividir uma dada superfície de sustentação em faixas dispostas
ao longo da envergadura:
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil6
Teoria das Faixas
� Esta teoria é limitada a casos de asas onde os efeitos tridimensionais do
escoamento podem ser desprezados, por exemplo, asas de grande
alongamento;
� Não são considerados efeitos de influência aerodinâmica entra as faixas,
lembre que a solução empregada para cada faixa é uma solução
bidimensional
� As faixas devem estar preferencialmente alinhadas com o escoamento, porém
é bastante usual adotar-se faixas perpendiculares ao eixo elástico.
� Neste caso, deve-se decompor o escoamento para um sistema de coordenadas
local da asa onde para a envergadura, o eixo "y" deve coincidir com o eixo
elástico.
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil8
Teoria das Faixas Modificada I
� Enflechamento:
� Método das componentes de
velocidade
� Usualmente, a asa é
discretizada em faixas, cuja
corda de cada seção típica
é perpendicular ao seu eixo
elástico;
� Entretanto, se a asa é
enflechada, o eixo elástico
também será;
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil9
Teoria das Faixas
� Cada faixa possui uma largura finita, a partir da qual pode-se calcular o
carregamento por faixa multiplicando:
Note que o carregamento obtido através da teoria do carregamento
estacionário sobre um perfil, é por unidade de comprimento de
envergadura.
� Para o cálculo do carregamento, emprega-se os movimentos referentes
aos graus de liberdade de uma determinada faixa.
1
,nfaixas
total
i i i
i
L l dy L L=
= ⋅ = ∑
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Efeitos de “Wash in” e “Wash Out”
São resultantes do acoplamento de um movimento de flexãoque induz uma torção
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Efeito do Enflechamento
� Quando a asa é enflechada, deve-se observar que as seções típicas, definidas perpendiculares ao eixo elástico, não estão alinhadas com o escoamento;
� Emprega-se a solução aerodinâmica bidimensional para resolver o problemas por faixas (aproximação);
� Entretanto, alguns “termos novos”surgirão nas relações de sustentação e momento, pois existirá um acoplamento do movimento de flexão que induzirá uma torção nas faixas alinhadas com o escoamento não perturbado;
� O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo sistema de eixos, onde um deles é coincidente com o eixo elástico da asa.
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil13
Efeito do Enflechamento
� Sendo “s”o eixo alinhado com a direção da envergadura e coincidente com o eixo elástico; e “r” perpendicular a “s”, um deslocamento Z escrito neste novo sistema de coordenadas é uma função: Z = Z(r,s,t) . (na figura, y’ = s)
� E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela superfície da asa é:
onde a coordenada ξξξξ é paralela com o escoamento não perturbado. Define-se o normalwash (ou downwash) como sendo a velocidade normal induzida pelo deslocamento da asa sujeita ao escoamento V0.
0( , ) ( , )Z
W r s V r sξ
∂= −
∂
0//Vξ ⇒ cos sinZ Z r Z s Z Z
r s r sξ ξ ξ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = Λ + Λ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
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Efeito do Enflechamento
� Condição de contorno:
� Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como uma
função de h(s) e αααα(s), graus de liberdade da seção típica :
onde se considerou que e
� Substituindo esta última relação na condição de contorno:
( ) 0 0, cos sinZ Z
W r s V Vr s
∂ ∂ = − Λ + Λ
∂ ∂
( ) ( ) ( ),Z r s h s r sα= − ⋅
cos 1.0α ≅ sin α α≅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
, cos sin
, cos sin
W r s V h s r s V h s r sr s
hW r s V s V s r s
s s
α α
αα
∂ ∂ = Λ − ⋅ + Λ − ⋅ ⇒ ∂ ∂
∂ ∂ ⇒ = − Λ + Λ − ⋅ ∂ ∂
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Efeito do Enflechamento
� Portanto, sobre o eixo elástico (r = 0) temos a expressão final para o ângulo
de ataque no sistema rotacionado, a partir da expressão para o downwash:
� Como Vn = V0cos(Λ), o ângulo de ataque observado pela seção típica com
corda normal ao eixo elástico é dado por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
0 0
0 0
, cos sin
, cos sin
hW r s V s V s r s
s s
h sW r s V s V
s
αα
α
∂ ∂ = − Λ + Λ − ⋅ ∂ ∂
∂ ⇒ = − Λ + Λ ∂
( )( ) ( )
( )
0
,, tan
coss
W r s h sr s s
V sα α
∂− = = − Λ
Λ ∂
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Efeito do Enflechamento
� Mudando a notação, temos:
( )( )
( )0
,, tan
coss
W r sr s
V
h s
s
α θ φ
φ
− = = − ΛΛ
∂= →
∂
Inclinação local do eixo elástico deformado em flexão
Ou seja, fica claro agora que o ângulo de ataque efetivo naseção típica é composto por uma componente devido a torção(θθθθ) e uma componente devido a flexão (φ.φ.φ.φ.tanΛΛΛΛ), que depende do enflechamento. Note que se o ângulo de enflechamento forpositivo (para trás), temos o fenômeno de “wash out”. Por outroLado, se ΛΛΛΛ for negativo, (para frente) temos o “wash in”.
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Exemplo simplificado:
�Asa rígida com engastes flexíveis:
�Vamos estudar um primeiro modelo
simplificado, cujo propósito é entender o
efeito do enflechamento;
�Supõem-se que a asa é rígida e engastada
através de molas que restringem movimento
de corpo rígido que em flexão e torção.
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Sistemas de eixos
K 2
K 1
d f
V
V cos Λ
b
A
A
B
B
α o
C
C
c
Λ
A
B D
C
V
Λ
1
1
1
V s e c t i o n
1 - 1 φ s i n Λ
φ
2
Molas que resistem a deslocamentos verticais
A letra “N” Flexão gera sustentação?
sr
Cuidado! “b” aqui é envergadura....
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Acoplamento tipo flexo-torção
Os segmentos CD e AB acompanham o movimento vertical devido a flexãosem torcer. Por outro lado o segmentoCB desloca-se verticalmente, porém ele torce, pois o ponto B desloca-se mais no sentido vertical que o ponto C. O segmento CB representa a seção da asa alinhada com o escoamento.
Pela figura abaixo, pode-se entender com funciona o acoplamento entre o modo de flexão e a torção induzida a uma seção deasa enflechada, alinhada com o escoamento aerodinâmico.
A
B D
C
V
Λ
1
1
1
V section
1-1 φ sin Λ
φ
2
φ φ φ φ sinλλλλ
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil20
Sustentação na asa flexível
2cosnq q= Λ
tancos
o
n LL q cbC α
αθ φ
= + − Λ
Λ
Para calcular o carregamentoaerodinâmico na seção típica, que por razões estruturais éperpendicular ao eixo elástico, leva-se em conta a componente de escoamento não perturbado normal a este eixo.
K 2
K 1
d f
V
V cos Λ
b
A
A
B
B
α o
C
C
c
Λ
sr
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil21
Λ−Λ+== sincos φθαα ofreestreamV
v
cos sin
cos cos cos cos
oc corda
v
V
α θ φα α
Λ Λ= = = + −
Λ Λ Λ Λ
tanestruturalα θ φ= − Λ
Ângulo de ataque efetivo
(a expressão acima obtivemos da condição de contorno a pequenasPerturbações – expressão para o downwash)
Entretanto, queremos o ângulo de ataque “percebido” pela seção típica.
Estrutural ouna direção dacorda...
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil22
2cosn
q q= Λ
tancos
on LL q cbC α
αθ φ
= + − Λ
Λ
Componente de velocidade normal ao eixo elástico da asa.
Sustentação da asa flexível
Note que esta sustentação é calculada com relação a seçãotípica, ou seja empregando o ângulo de ataque “estrutural”, maisA contribuição de um ângulo de ataque inicial αααα0
Portanto, para o cálculo da sustentação na asa assumindo a teoriaDas faixas, devemos calcular a sustentação em cada faixa empregando a pressão dinâmica equivalente.
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil23
Modelo estrutural simplificado
� Assumiu-se que as molas que restringem os movimentos de
corpo rígido da nossa asa enflechada são representadas pelas
molas K1 e K2, dispostas com uma excentricidade “f” e “d”,
respectivamente;
� Estas molas podem ser representadas por molas que restringem
os graus de liberdade em flexão na forma da derivada da
deformação ao longo da envergadura e no sentido vertical, e o
grau de liberdade em torção da asa.
( ) 2
1 1K f f K f Kθθ θ= =2
2K K dφ =
A mola K1 resiste ao a torção da asa gerando a forçaPor outro lado, promove um torque restaurador:
1K f θ
Analogamente:
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil24
Carregamento aerodinâmico
� O carregamento aerodinâmico para o nosso problema pode ser
aproximado por:
( )2
0tan
2 cos
bo
n l
bl s ds q cC
α
αθ φ
⋅ = + − Λ
Λ ∫
( )0
tancos
bo
n ll e ds q cC ebα
αθ φ
⋅ = + − Λ
Λ ∫
Onde:2 2 2 21 1
cos cos2 2
n nq V V qρ ρ= = Λ = Λ
Note que na realidade são momentos resultantes da distribuiçãodo carregamento aerodinâmico ao longo da envergadura b, nosentido deste e no sentido da corda.
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Equilíbrio em flexão (φφφφ)
( )2
tan2 cos
b
o
on l
K l s ds
bK q cC
φ
φ α
φ
αφ θ φ
= ⋅ ⇒
= + − Λ
Λ
∫
Equilíbrio estático
( )
tancos
on l
K le dy
K q cC eb
θ
θ α
θ
αθ θ φ
= ⇒
= + − Λ
Λ
∫
Equilíbrio em flexão (θθθθ)Chegamos a umsistema de duas equações e duas incógnitas.
Momentos associados à flexão e torção
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n lq cQ bCα
=tant = Λ
Equações para o equilíbrio estático supondo ângulo de ataque inicial
02 2 2
0 cos
o
b b bK
tQ
Kete
Q
e
φ
θ
φ φα
θ θ
− = + ⇒ Λ −
02 2 2
0 cos
o
b b bK
Ke e
tQ
Q
t e
φ
θ
φ α
θ
− ⇒ − = Λ −
“Parametrizando” o problema
Note que a matriz de rigidez estrutural é desacoplada, porém amatriz aeroelástica representará um acoplamento de naturezaaerodinâmica.
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil27
( ) ( )
Λ=
−
−
+
e
bQ
QeKQte
QbQtbK o
2cos
22α
θ
φ
θ
φ
[ ]
Λ=
e
bQK o
ij2
cos
α
θ
φou
Sistema aeroelástico
Resultando em :
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil28
Resposta aeroelástica
� Resolve-se o sistema de equações para obter φφφφ e θ θ θ θ :
( ) ( )( ) ( )
1
2 2 2cos
o
bQtb QbKQ
Qte K Qe e
φ
θ
φ α
θ
− + − = Λ −
0 1
2 cos tan
2
Qb
KbK Q e
K
φφ
θ
αφ
= Λ Λ
+ −
0 1
cos tan
2
Qb
K bK Q e
K
θθ
φ
αθ
= Λ Λ + −
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil29
( )22
2 betQQeK
QbtKK +−
+==∆ θφ
−+=∆ eK
btKQKK φθφθ
2
Estabilidade do sistema
Utilizamos o critério de estabilidade de Euler para estudar a estabilidade do sistema, chegando a uma equação parao parâmetro “Q” (não confundir “Q” com “q” de pressãodinâmica!)
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil30
2
btKeK
KKQD
θφ
φθ
−
=0=∆
2 tancos 1
2
LD
KSeC
qKb
e K
θ
α
θ
φ
= Λ
Λ −
n LQ q cbC α=
Condição de divergência
Ou agora, isolando a pressão dinâmica associada à velocidadede escoamento não perturbado temos:
O que acontecese ΛΛΛΛ for igual a zero?
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil31
Fazendo o denominador igual a zero:
02
tan1 =
Λ
− critical
K
K
e
b
φ
θ
≥Λ
=Λ
−
θ
φ
θ
φ
K
K
b
c
c
e
K
K
b
c
c
ecrit
2tan
2tan
1
Sem divergência:
Análise do enflechamento
Implica em umapressão dinâmicade divergênciainfinita.
ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil32
Exemplo
6,5,4=c
b1.0=
ce
4.03.53.02.52.01.51.00.50.00
2
4
6
8
10
Critical sweep anglevs.
stiffness ratio
Kφ/Kθ
sw
eep
angle
for
div
erg
ence
suppre
ssio
n(d
eg
rees)
aspect ratiob/c=4
aspect ratiob/c=5
aspect ratiob/c=6
Se a razão entre asrigidezes em flexãoe torção for 3, temosΛΛΛΛcr= 5.71º. Ou seja
se asa for enflechadamais de 5.71o, nuncateremos divergência.