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Dinamica del punto
Argomenti della lezione: • 1° legge di Newton (principio di inerzia)
• 2° legge di Newton
• 3° legge di Newton (principio di azione e reazione)
• Quantità di moto
• Risultante delle forze / Equilibrio / Reazioni vincolari
Dinamica: Forze e Moto
Principio d’inerzia
prima legge di Newton
Principio d’inerzia L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema Internazionale
(SI) viene impiegato il chilogrammo. Tale grandezza è una grandezza scalare. Dati due corpi, di massa diversa, che si trovano sottoposti alla
medesima forza esterna, avranno accelerazioni diverse.
Forze
Esempi di Forze
Seconda Legge di Newton La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando
su di esso agisce una forza non nulla. Se le forze in gioco sono più di una, va considerata la loro somma ossia la risultante delle
forze, o forza risultante.
Ricordando le relazioni viste in cinematica, l’espressione vista può anche così essere riscritta: 2
2
dtdm
dtdmm rvaF ===
L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale
alla sua massa.
Fris = min·a
Se una forza F viene applicata ad un corpo, esso sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso verso di F.
Seconda Legge di Newton
F F F
F F’
Dimensioni e unità di misura
Le dimensioni per la formula sono le seguenti:
[F] = [M][L]/[T][T]
e le corrispondenti unità di misura sono:
F = kg·m/s·s = N
(dove N indica Newton. La forza di 1N è quella che, agendo su una massa di 1 kg, ne causa un'accelerazione di 1 m/s2)
aF inris m=
La quantità di moto La grandezza vp m= si definisce quantità di moto
Ricordando 2
2
dtdm
dtdmm rvaF === è possibile scrivere
( )dtmd
dtd vpF ==
pF ddt = ppppFJ Δ=−=== ∫∫ 000
p
p
t
tddt
Teorema dell’impulso
(forma integrale della legge di Newton)
11
cost
cost
=⇒=
⇒=
amFa
F
!!
!
"
Applicazioni dei principi della dinamica..
Moto uniforme
F = 0 ⇒ a = 0v=cost
Moto uniform. accelerato
• Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.
• Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera
Forza Peso
Massa e Peso
221
rmmGF ×
=
Massa gravitazionale
Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere attratta da un'altra massa, secondo la legge di gravitazione universale.
Se indichiamo con m1 e m2 le due masse gravitazionali e con r la distanza fra i loro centri e G la costante di gravitazione universale si ha:
Massa inerziale-massa gravitazionale
Massa inerziale-massa gravitazionale
Massa inerziale-massa gravitazionale
maF = 221
rmmGF ×
=
mgP = 2RmMGP ×
=
2RmMGmg ×
=
2RMGg =
Dalla e dalla
si ha si ha
Per cui
Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha
Accelerazione di gravità
2RMGg =
L’accelerazione di gravità non dipende dalla massa dell’oggetto!
L’accelerazione di gravità dipende dalla massa terrestre
L’accelerazione di gravità dipende dal raggio terrestre
Peso e accelerazione di gravità
poli raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore
spiaggia raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore
equatore raggio maggioreaccelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minorepeso minore
vetta raggio maggioreaccelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minorepeso minore
accelerazione di gravitàe raggio terrestre
luna massa minoreaccelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minorepeso minore
terra massa maggioreaccelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore
accelerazionedi gravitàe massa del corpo celeste
2RMGg =m
gP=
g = Newtonkg
g esprime l’intensità del campo gravitazionale, cioè i Newton associati ad un kg
Forza normale (o reazione vincolare)
Coppie di Azione e Reazione
Terza Legge di Newton principio di azione e reazione
Reazioni vincolari Esempi
N
P
0=+NPN
P
y
x
0=− yPN
N
P
Vincoli • Un vincolo e` una qualunque limitazione dell’ambiente al
moto del corpo • Questa limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo • Esempi:
– una fune
– una superficie d’appoggio o rotaia
– un asse fisso
– un punto fisso
Reazioni vincolari
• Il contatto tra corpo e vincolo produce un’interazione che si manifesta sotto forma di forza
• Per il 3o principio la forza con cui il corpo agisce sul vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo
• Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma si possono dedurre a posteriori esaminando il
comportamento del sistema
Reazioni vincolari • Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico
• Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R diversa da zero
• Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la risultante di tutte le forze, compresa quella di vincolo, dev’esser nulla:
• Da questa relazione possiamo calcolare, a posteriori, la forza di vincolo:
0≡+= VRRtot!!!
RV!!
−=
Carrucole
• Le considerazioni svolte possono essere estese al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi direzione
Oggetti in equilibrio
= 0
Equilibrio Esempio
Un corpo è sottoposto all’azione di una forza F1 = 30 N diretta verso l’asse negativo delle x e a quella di una seconda forza F2 =70 N che forma un angolo di 60° con l’asse positivo delle x, determinare modulo direzione e verso della forza F3 necessaria affinché il corpo sia in equilibrio.
yx
x
uuF
uF
θθ sin70cos70
30
2
1
+=
−=
F2 F’3
x
y
60°
F1 F3
30
NNNFFF BxAxRx 2.52)37cos(30)45cos(40 =+=+=
NNsenNsenFFF ByAyRy 3.10)37(30)45(40 =−=+=
oRx
Ry
NN
FF
5.11)2.0arctan(
2.02.523.10)tan(
==
===
θ
θ
Esercizio
amF !!=∑
kgmb 500=
NFFF RyRx 5122 =+=!
2m/s1.0kg500N51
==a
Fili e funi
• Sono oggetti che trasmettono la forza solo in trazione
• Al contrario le barre possono trasmettere la forza sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo di taglio
Fili e funi: Tensione
Esercizio: Equilibrio
Esercizio: Equilibrio
Oggetti sottoposti a una Ftot non nulla
Esempio (senza attrito)
Esempio: Macchina di Atwood
Esempio: Macchina di Atwood
Esempio 2: Oggetti Multipli
Esempio 2: Oggetti Multipli
Esercizio
-mgsinα
αl
mg
x
Per piccole oscillazioni lo spostamento sull’arco è approssimabile con lo spostamento sulla corda
x = l sinα
L’unica forza a cui è soggetto il pendolo è la forza Peso che può essere scomposta in due componenti
L’altra componente, perpendicolare alla direzione del filo, pari a
sinα = x/ l
lx
F = -mg sinα = -mg x /l
Pendolo: piccole oscillazioni
-m g l x F = = -k x
Il moto del pendolo, per piccole oscillazioni, è un moto armonico
Si dimostra che l’equazione che descrive questo moto è
X(t) = A sin (ω t + φ)
Dove ω =
√ gl
Al sito http://www.walter-fendt.de/html5/phit/pendulum_it.htm
potete simulare il moto di un pendolo al variare dei suoi parametri
Pendolo: piccole oscillazioni
Piano Inclinato
Forza di attrito
Attrito Statico e Attrito Dinamico
Modello Macroscopico dell’ Attrito
Coefficienti di attrito
Esercizi con attrito e legge di Newton
Coefficiente di attrito statico
Un corpo è lanciato su un piano scabro inclinato di un angolo a=30° rispetto all’orizzontale, con velocità iniziale Vo=3 m/s, verso l’alto Il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e il corpo è kd=0,3. Si calcoli l’accelerazione del corpo, dopo
quanto tempo il corpo si ferma e la quota raggiunta.
Esercizio
Moto Circolare Uniforme
Moto Circolare Uniforme
Forza centripeta
Forza centripeta e centrifuga
Moto di un automobile
Curva orizzontale piatta
Pendolo Conico
Moto in un fluido
Moto in un fluido: esempio
Moto in un fluido: soluzione
Esercizio
Giro della morte
Giro della morte II
Forza elastica Oggetticheprincipalmentedannoorigineaforzeelastiche:lemolle.Caratteristiche:a)lunghezzaariposox0,(lunghezzadellamollaquandolarisultantedelleforzeapplicatesudiessaènulla)b) k,dettacostanteelasticadellamolla.Siosservasperimentalmentechel'allungamento/compressionediunamollaèproporzionaleallaforzaapplicata:
leggediHooke, F=-kDxDx=(x-x0)=entitàdelladeformazionedellamolla.Taleleggevalesolamenteseladeformazioneavvieneentrouncertolimite:superatoessolamollaperdelapropriaelasticità.Laforzahasegnonegativopoichéèsempreoppostaallospostamento.
Legge di Hooke
• In termini vettoriali:
( ) xkxxkF !!!!Δ−=−−= 0
Fe FT
Δx
Fe FC
Δx
Ancora sul moto armonico • Ponendo y=x-x0 e sfruttando il fatto ovvio che
• l’equazione del moto diviene
• Dividendo i membri per m e ponendo • Otteniamo
• Cioe` l’equazione che individua il moto armonico • Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e` causato dalla
forza elastica
kydtydm −=2
2
2
2
2
2
dtxd
dtyd=
mk
=2ω
yadtyd 22
2
ω−==
Forza elastica
dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e f è la fase. Sia A che f dipendono dalle condizioni iniziali del moto.
( )φω += tAtx sen)(
La legge oraria sarà quindi:
Andando a studiare il moto, si osserva che: → nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto)
→ nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)