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I)II\T Ah{IC A ES TRI-I CTLTRAL
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ESPBRANZA I\'TALDONADO RONDON
GI-]STAVO CHIO CHO
L]N TVERSIDAD INL)TIST'RIAL DE SANTANDER
rei t, lrrr" D DE tl IEN cIAs FIS ICo- h'IEcANIcA's
ESCT,g -q DE INGENIERI¡\ CIVIL
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION
1. GRADOS DE LIBERTAD
2. LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON
REFERENCIAS
PRIMERA PARTE
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
5
5
6
8
8
9
10
l1ilt213
l3
1. ECUACTON DE MOVIMIENTOI.I.DEBIDO A T]NA FUERZA EXTERNA
I.2.FUERZA DEBIDO A UN SISMO
2. RESPUESTA A LA VIBRACION UBRE
2.I. SISTEMAS SIN AMORTIGUACION2.1 .l.Frecuencia Y Pt rícxlo
2. l.2.Amplitud de movimiento
2.2. SISTEMAS AMORTIGUADOS2.2.1 -Ecuación de movimiento2.2. l.l.Sistcma con amoliguación crítica
2.2. I .2.Sistema sobreamortiguado
2.2. I . 3.Sistcma subamortiguado
3. RESPUESTA A LA EXCITACION ARMONICA
3.I. SISTEMAS SIN AMORTÍGUACION3.2. SISTEMAS AMORTTGUADOS3.3. EXCTTACION PROVENIENTE DEL MOVIMIENTO DEL SOPORTE
3.4.FUEP(ZA TRANSMITIDA AL CIMTENTO
4. INSTRUMENTOS STSMICOS
5, RESPUESTA A LAS EXCITACIONES DTNAMICAS GENERALES
6. EXCITACTON IMPULSTVA E INTEGRAL DE DUHAMEL
6.1. FUERZA CONSTANTE6.2. FUERZA RECTANGULAR6.3. FUERZA TRIANGULAR6.4.CALCULO NUMERICO DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL
ó.4. 1. Sistema sin anortiguación
6.4.2.Sistema amortiguado
15
16
t718
t9
20
2l
2l232425262628
TERCERA PARTE,
ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL
ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSTONAI-
1. PROPIEDADES DE MASA
IDEALIZAcIoN J"'Ñó'IFRAGMA nÍclno
2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE TODO FT' EDIFICIO
IDEALIZACION DE DIAFRAGMA RIGIDO
3. ANALISIS DE CARGAS HORIZONTALES DE TODA LA ESTRIJCTI]RA
- iñü¡,iizl.rox DIAFRAGMA RIGID.
4. EIERCICIOS RESt]ELTOS
o. t nÑ"utls TRIDIMENSToNALUtilizando cl espectro del C'C'C'S'R/84
¿.2. eÑer-rsls TRIDIMENSIoNAL' l'-
ü,iiiá"¿o el acelcrograma de EL cENTRo
5. EIERCICIOS PROPUESTOS
REFERENCIAS
95
95
101
108
109109
130
145
r46
METODO DE LA
CUARTA PARTE
METODO MODAL Y
FUERZA HORIZONTALEQUIVALENTE
1. METODO MODAL PLANO
I.I. BASE TEORICA
i.r.ñiióósnIMIENro DE DESARR.LL.
2. METODO DE LA FUERZA HORIZONTAL
;.i;;óóEDIMIENT. DE DESARR.LL.
3. EIERCICIOS RESUELTOS
¡.r. rtAErOnO MODAL PLANO
;.;. ilERtA H.RIZ,NTAL EQUI,ALENTE
¡.¡. bilftlnucloN DE FUERZAS SISMICAS
4. ETERCICIOS PROPUESTOS
REFERENCIAS
EQUIVALENTE
t47t47150
153
153
155
156
161
167
200
2A2
7
7. RESPUESTA ESPECTRALT.I.CONSTRUCCION DE LA RESPUbSTA ESPECTRAL7.2. RESPUESTA ESPECTRAL PARA EXCITACIONsrsMICo DEL TERRENO)7.3. ESPECTRO DE RESPUESTA
8. EIERCICIOS RESUELTOS
9. EIERCICIOS PROPUESTOS
REFERENCIAS
303l
DEL APOYO (MOVIMIENTO33
35
38
50
53
ESTRUCTURAS
SEGUNDA PARTEDE MULTIPLES GRADOS DE
LIBERTAD
ECUACTON DE MOVIMIENTO
I. SISTEMA CON VIBRACION LTBRE
I.I.FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIONI.2.PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS NORMALES
1.3.CALCULO DE FRECUENCIAS NATURALES YMODOS NORMALES
EL METODO DE JACOBI
2, MOVIMIENTO FORZADO2.I.METODO DE SUPERPOSICION MODAL
3. RESPUESTA AL MOVIMIENTO DE LA BASE
3.I. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
4. REDUCCION DE MATRICES DINAMTCAS4.I.CONDENSACION ESTATTCA
5. RESUMEN: SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
6. EIERCICIOS RESUELTOS
7. EIERCICIOS PROPUES'IOS
REFERENCIAS
55
575759
UTILIZANDO59
6060
6264
6565
66
68
93
94
...
.-
I
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x:t\j
3
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INTRODUCCION
1. GRADOS DE LIBERTAD
2.LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON
REFERENCTAS
I
(
I
\_
i
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INTRODUCCION
[.as respucstas ostructurales en un análisis dinárnico varían con el tiempo' existiendo soluciones
tlistintas para cada instante dc ticmpo, a diferencia ctel análisis estiítico' el cual prosenta una sola
solución.
Mirando una viga sometida a un problema estático y a uno dinámico, como se ilustra a
continuación, se pue<le ejemplarizar mejor la comparación:
[)r r,,ir]rrna e5t.il co Pr rf rbrna dr¡itttr co
En el caso en que la viga esta somctida a una cafga estiítica, p, las fuerzas internas y las
«leformaciones que se producen sc calculan por simple estiítica' Ahora bien' si le aplicamos la carga
cn forma dinánrica, las ileformaciones las cuales varían con el tiempo prulucen aceleraciones' y
las acclcraciones inducon fuerzas de inercia que resisten el movimiento dc la viga' Es así como' la
viga queda somctida a dos cargas:
. Una fuerza extema P(t), la cual causa el movimiento'
. l_as fuer¿as de incrcia, Fi(t), que resiste la acelaración inducida.
Siendo las fuerzas internas las rcsponsables de cquilibrar esta combinación de cargas' por lo tanto
es necesario determinar las fuerzas cle inercia, antes de calcular los esfuerzos interiores'
l-a manigtud cle las fuer¿as dc incrcia dependen de su fleribilidad y masa, estas fuerzas son
¡requenas cuando las cargas dinámicas son aplicadas a la estructura lentamento (en estos caso§
pu"a"n ser tratadas como si fueran estáticas), y son conciclerables en aquellos casos donde son
aplicadas subitamente.
Da¿o que las ¿eformaciones ante un efecto din¿ímico estan provrrando las fuerzas de inercia, y
estas a su vez afeclan las dcforrnaciones, el problema de análisis se convierte en uno de
car¿cterísticas cíclicas, cuya forma de resolver es formular el problema en términos de ecuaciones
diferenciales, expresando a su vez, las fuerz¿s de inercia, en términos de derivadas de la
deformación en función del tiempo'
+lt... i lrrl
I
I
-i
t
-1
-t-{-t-l-t-dI*t-(
MALDONADO & CHIO
I. GRADOS DE LTBERTAT)
Grado de libertad es la posibilidad que tiene un nodo de rnoverse en forma inde¡rndiente, cncierta dirección. En los rrrxlos <Ie los ¡xírticos los movimientos que se presentan son giros ydesplazamientos, y en l's de las armaduras, desplazamientos solamente.
En diruímica estructural, el númcro de coordcnadas independientes necesario para espccificar laconfiguración de un sistema en cualquier instante de tiempo se conoce como el número de gra«losde liberta<I- En general t«xla estructura cuenta con un número infinito <Ic grados de liberta¿. sinembargo, Ia adeacuada idealización de una estructura permite retlucir los grados de libertacl a unnúmero discreto y en algunos casos a uno solo.
A continuación se mucstran algunos ejemplos:
Es[r¡cfura de varlosgradas de l¡bertad
I P(t)
f---;: -_--lu
Pít)
EsÍuctura do un grado
de libertad
Podemos ver que las estructuras modcladas como sistemas de un solo grado de libertad, cuentancon-espondienternente cc)n un solo desplazamiento, y pueden ser representados convenientemcntepor el modelo matemático que tiene un elemento masa, m, que representa Ia propiedad de masao de inercia de la estructura, un elenrento resorte, k, que representa las fuerzas internas del sistemay la ca¡mcidad de la estructura de almacenar energía ¡xrtencial, un elernento de arnortiguación, c,que equivale a las características friccionales y a la perdida <Ie energía de la estructu ^ y,l^ fu"onde excitación, P(t), que corresponde a las fuerzas exteriores que actuan sobrc el sistema estructuralcn función del tiernpo.
2. LÉY DE MOYIMIENTO DE NEWTON
Describir el movimiento de un oscilador simple (sin amortiguamiento), es ¡nedecir eldesplazamiento o la velocidad de la masa, m, en cualquier instante de tiern¡xr, t, a partir tle lascondiciones iniciales da<Ias en cl instantc de tiempo t:0. Esla relación entre el dcspltnriento yel tiempo t estií dada por la segunda lcy de Newton:
MALDONADO & CHIO
&,-
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PRIMERA PARTE
SISTEMAS DE UN GRADO DE LTBERTAD
I. ECUACION DE MOVIMIENTOI.I.DEBIDO A UNA FUERZA EXTERNAI.2. FUERZA DEBIDO A UN SISMO
2. RESPUESTA A LA. VIBRACTON LIBRE
2. I. SISTEMAS SIN AMORTIGUACION2.1.l.Frccucncia Y Periodo2. 1.2.Amplitud dc movi¡niento
2.2. SISTEMAS AMORTTGUADOS2.2.1 . Ec'uación dc ltlovi¡¡ticnttr2.2.1 .l.sistema con amortiguacitín crítica
2.2. I .2.Sistc¡na sobrcamortiguado2.2. I .3.Sistema subamortiguado
3 RESPUESTA A LA EXCITACION ARMOMCA3.I. SISTEMAS SIN AMORTIGUACION3.2. SISTEMAS AMORTIGUADOS3.3. EXCITACION PROVENIENTE DEL MOVIMTENTO DEL SOPORTE
3.4. FUERZA TRANSMITIDA AL CTMIENTO
4, INSTRUMENTOS SISMICOS
5. RESPT'ESTA A I-AS EXCITACIONES DINAMICAS GENERALES
6. EXCITACION IMPULSIVA E INTECRAL DE DUTIAMELó.1. FUERZA CONS'TANTE6.2. FIJEp.ZA RECTANGULAR6.3. FUERZA TRIANGULAR6.4, CALCULO NUMERICO DE LA INTEGRAT, DE DUHAMEL6.4. l - Sistcma sin amoliguación6.4.2. Sistema amortiguado
7. RESPUESTA ESPECTRALT.I.CONSTRUCCION DE LA RESPUESTA ESPECTRAL7.2. RESPUESTA ESPECTRAL PARA EXCTTACION DEL APOYO
SISMTCO DEL TERRENO)7.3.ESPECTRO DE RESPUESTA
8. EIERCTCIOS RESUELTOS
9. E.IERCICIOS PROPUESTOS
REFERENCIAS
(MOVTMIENTO
d
DINAMICA ESTRUCTURAL 3
'F=flI á
donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m y a es laaceleración resultante definida como la segunda derivada son respecto al tiempo del vectorposición.
R.EFERENCIAS
UIPAZ, M. "Dinrímica Estructur¿I". España: Reverté. 1992.
[2] CLOUGH, Ray W. and PENZIEN, Joseph. "Dynamics of Structures". Singapore: McGraw-Hill.1975.
[3] SARRIA, Alherto. "Ingeniería Sísmica". Bogoüí: Uniandes. 1990.
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MALDONADO & CHIO
SISTEMAS DE, IJN GRADO DE LIBE,RTAD
Elaborando un diagrama dc cuerpo libre del sistema, se obserya varias fuerzas actuando:
.l,a fuerza extema P(t),- La fuerza clástica fe,
. L¿ fuerza de amortiguamiento fa,
. La tue¡za de inercia fi-
[-as fucrzas elásticas y de amofiguamiento actúan hacia la izquierda porque resisten la deformación
y la velocitla{ res¡rcctivamente. Actuando de igua-l forfna la fuerza de inercia' hacia la izquierda'
ilpucsta a la dirección de la aceleración positiva'
-!l
-1
-'lt
-t
-t
-t-l
I. ECUACION DE MOVIMIENTO
El movimiento de una estructura itlealizada como uo sistema cle un grado dc libertad debida a una
excitacitín dinámica estará gobernada por una ecuación tliferencial' tlenominada ecuacitín de
movimient., la cr¡al puetle Jonur con tlos tipos ¿e excitación, -,,1" yu sea debido a una fuerz¿
exlernadinámicayotraenelcaso<lounanrovimientosísmicodelsuclo.
I.I.DEBIDO A UNA FUERZA EXTERNA
particndo de la estructura lineal <Ie masa m, rigidcz later¿l k, y amortiguamiento viscoso c' sujeta
a una fuerz.a ¿inámica p(t), la parte ,,,¡*rio, |le la estructur¿ se clesplaza en la ¿irección later¿l
unacarrtirla<lu(t),el.uul.o..",pontlealdesplazamienttltlelaestructura.
fa
MALDONADO & CHIO
6 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
I-a condición <Ic equilibrio dinánrico dcl diagrama tle cuerpo litrrc cs:
fr+f^*f.-P(t)
En una estructura lineal la fuerza elástica es:
f"=ku
donde k es igual a la rigidez lateral de la estructura y u es el desplazamiento relativo.La fuerza de amortiguamiento es:
f =Clt
donde c corresponde al coef,rciente de amortiguamiento para la estructura y úes la velocidad relativa.La fuerza de inercia esta asociada con Ia nlasa m y con Ia aceleración del suelo ü:
t. = m Li
Reemplazando cada uno de las dehniciones de fuerzas internas, obtenemos a ecuación de laestructura idealizada:
mü+cú+ku=p(t)
Ecuación que esta gobernada por el desplazamiento u(t) sujeta a la fuerza externa dinárnica p(t).
I.2.FUF,PZ.A DEBIDO A UN SISMO
I-a excilación en el caso de un movimiento inducido por un sismo en la base de una estructura,presume la existencia de únicamente una componente horizontal de movimiento en el terreno, con
desplazamiento ur(t), velocidad ¿j ,(t) y aceleración ü*(t).
Ante la acción del sismo, la base de la estructura se desplaza una cantidad ur(t) si el suelo es rígidoy, la estructura a su vez se deforma una cantidad u(t) (desplazamiento en el techo, relativo a labase de la estructura. Por l<¡ tanto, el desplazamiento total en el punto superior (techo) sení:
u'(t) =un(t) +u(t)
MALDONADO & CHIO
{ -j ustl
De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, la ecuación de equilibrio dinámico es:
fr+f.*f.=0
La fuer¿a «le amortiguamiento y la elástica son respectivamente iguales a las que mencionamos en
el numeral antcrior. Pero la fuer¿a ,Je inercia en este caso esta en función dc la aceleración üt:
ft = In ti"
f , = fr ( ün t ü)
Recmplaizando en la ecuación de movimiento de la estructura idealizada:
m ti + c tJ + k ti = - m ün(t)
Ecuación que esla gobernada por el desplazamiento u(t) sujeta a la aceleración del suelo debido
a un movimicnto sísmico.
ttttll'4G)
BASE FIJA
Comparando las ecuaciones de movimientopara un sistema dc un grado de libefad bajo
una ftrer¿a externa igual a -miin(t) y a una
excitación debida a un sismo cuya aceleración
del terreno es ür(t); son iguales. Ya que el
sistema bajo movimiento sísmico puede ser
reemplazado por un sistema de base hia con
una fuer¿a externa -mü*(t).
MAI-DONADO & CHIO
8 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
2. RESPUESTA A LA VIBRACION LIBRE
l¿ vibración libre toma importancia cuando la estructura vibra baio la acción de fuer¿as inerciales
en el mismo sistema y en ausencia de luer¿as extcmas o movimiento en el tcrrcno.
Sien«lo la scuaci<ín dc movimicnto:
mti+ctl+ku=O
2- T. SISTEMAS SIN AMOR'IIGUACION
En estas condiciones, el sistema en movimiento estaría gobernado sólo por la influencia de las
llamadas condiciones iniciales, es decir la vclo,oidad y desplazamiento es¡rcilicados en el instantet:0.Este sistema con un grado de Iiberlad se conoce como Oscilador simple sin amortiguamiento,representado habitualmente como:
Fl-r
..ku+jjum
ku*Gl-"Diagrama de orerpo llbre
Modelo matemático
[¿ ecuación de movimiento para este sistema se reduce a:
mti+ku=0
tlebido a que su variable independiente u y su segunda derivada ü aparecen en primer grado en
la ecuación, esta se clasihca como lineal y de segundo orden. El hecho de que los coeficiente deu y ü (k y m) sean constantes y que el término tle la derecha de la ecuación sea cero, clasifican estaecuación corno homogénea, con coeficientes constantes. Para esta simplc ecuación diferencial desegundo orden, tenemos un reordenamiento dividiéndola por m:
-0
MALDONADO & CHIO
k,
Introduciendo el término wz=k/m (frecuencia natural del sistema):
ti+wtu=O
[.a solución gcneral para la ecuación diferencial de seguntlo orden:
u = Acos(I4lt) n B sin(wt)
Para hallar las constantes A y B se introducen las con«liciones iniciales:
' g¿ra t:0' u:ltu' Para t=0' ú:v'
obteniéntlose:ur=Avr:Bw
Finalmente, la aplicación ile A y B en la ecuación nos da:
ti = úocos(wt) + ! sin(wt)
Quceslaecuación<leldesplazamientou<lelosciladorsimplccnfuncióndelavariabletiempot.
2. l -l -Frecuencia Y Pedodo
El movimiento dcscrito en la anterior ecuación es armónico y por lo ta:to pT*ico, es decir, que
puedeserexpresadoporunafunciónseaSenoocosenodclamismafrccuenctaw.
siendo el período natural de vibración T de la estructura como el tiem¡ro requeritlo para realiiar
il "i.f"t":" una vibración libre' y el cual se expresa como:
wT=2fi
2rt---
w
Expresando en scgundos por ciclo o seucillamente segundos;
scgundos ¡xlr ciclo'
El valor inverso del período es la frecuencia natural f:
w'=T-fr
Espresado en hercios o cicltls por segundo (cps)'
entendiéndose que sc tr¿ta de
MALDONADO & CHIO
par¿ diferenciar las frecuencias f de w, la frecuencia w es llamada "frecuencia angular" expresada
en radianes por segundo (ratllseg). No olvidando que a su vez:
2 -1.2 - Amplitud de movimient«r
[¿ ecuación de movimiento vibratorio del oscilador simple sin amortiguación puede ser
transformado a:
ü = C I sina cos(wt) + coso sin(rt) ]
donde:
(v-/w)'
corresponcte a la amplitud o desplazamiento máximo dcl movimiento. El ángulo rv y R se conoce
como iíngulo de fasel. La solución del desplazamiento del oscilador se ilustra gníficamente a
continuación:
I]1
i_l3
I5
Dlforen{os posldones do la ostnrctura
I Para mayor aclaraci<in ver PAZ, M. "Dinámica Estructural'
Reverté, 1992, p" 16-17.
MALDONADO & CHÍO
Flespuesta en übracion libre sln amortlguación
C-{uo2+(vo^ñr)1--{1
4l"i. vo/w:C AngulocYB/
ct'
Tcoría y Cálculo". Barceltlna:
2.2. SISTEMAS AMORTIGUADOS
En el numeml anterior se ha estudiado el movimiento de un oscilador simple sin amortiguación'
el cual una vez exitado vibra intlefinidamente con una amplitud constante a su frecuencia natural'
Este caso en realida¿ no es posible. dc encontrarse, ya que fuerzas llamadas de lricción o de
amofiguación es!ín siempre prescntes en cualquiei sistema ¿e movimiento' Estas fuerzas
inevitables constituyen un mecanismo por el coai la energía mecánica del sistenia' la energía
cinética o potencial, se disipan, transformándose en otros tipos de energía (como puede ser calor)-
Cuando se consideran las luer¿as de amortiguación en dinlínlica estructur¿l se asume que éstas son
proporcionales"to*ug,,it.,adelavekrci<ladyopuestasa.-ladireccióndelmovimiento.conocién¿ose este tipo <ie fricción como "amortiguacián viscosa" y es el tipo de fricción que se
prrxlucc en un medi<-l viscoso'
En algunas situaciones la suposición de amofiguación viscosa es realista' sin embargo' la su¡xlsición
¿e amofiguación viscosa se hace, u ,rr"Ñu, sin tener presente las diversas características
tlisipatorias de los sistemas reales- Siendo la justiñcación de este uso generalizado' la simplif,rcación
cn cl manejo matemático'
2 -2 -l -Ecuacién de movimiento
Suponiendo como punto <le pafida un oscilador simple con amortiguación viscosa; donde m y k
correslxrnden a la masa y a la rigidez respectivamente- y c al coeficiente rle amortiguación viscosa'
il-rkur\urum,ú
,HjDiagrama de cüBrpo l¡bre
Modelo matemático
Observando el diagrama de cuerpo libre:
mti rcú+ku=o
MALDONADO & CTTIO
Siendo la solución a esta ecuación:
u(t) =C,e"'+C,e"t
dontle C, y C, son constantes tle integración que se dcterminan a partir de las condiciones iniciales'
Pr y Pz corresponden a las raíces:
Pr,, =
I¿ forma hnal de la solución de la ecuación de movimiento depende del signo cle la e'xpresión bajo
el radical. pudiéndose present.ar tres casos diferentes en la canüdad bajo el radical, igual a cero,
positiva o negativa:
1. Puede ser cero y es llamado sistema con amortiguación crítica.
2. Puede ser positiva y se conoce como Sistema sobreamortiguado'
3. Puede ser negativa y se llama Sistema subamortiguado'
Veamos:
2-2. 1 - l -Sistema coÍ amortiguación crítica
Cuan¿o la canti«Iad bajo el radical cs igual a ccro, el sistema oscila con anrortiguación crítica (c..):
( C.. ), - k = O' 2 m' m
c2m
, = ,lk/;
2km=-w
rfit'
c.. = 2 'E;
En función de la frecuencia del sistema sin amortiguación
el coeficiente de amortiguación cítica:
[¿ solución general esta dada ¡xrr:
=.2w
u(r) = (C, + C, t) g (c'r'lza)t
MALDONADO & CHIO
2 -2. I -2 -sistema sotrreamortiguado
se presenta cuando el coeficiente de amortiguación es mayor que el coeficiente de amortiguación
crítica: c ) c..
[-a solución esta dada directamente por:
u(t) = Cr e"t + Cr en"
su representación gnífica es muy similar a la del sistema de amortiguación crítica' pero el regreso
a la posición ,1" "quitit.io
,"qui"r. más tiempo, a me<li¿a que la amortiguación aumenta'
2-2. l - 3.Sistcma sutramortiguado
Sepresentacuandoelcoeficientedeamortiguaciónesmenorqueelvalorcrítico:c (c".
Siendo la expresión para el movimiento de un sistema subamortiguado:
u(t) = s-(c /2a ,t' [A cos(w.-t) + B sin(wo t) ]
{onile A y B son constantes {e integración Y wr es la frecuencia del sistema con amofiguación que
esta dada Por:
ikW-= l-" \m - t c \2' 2Á'
sustituyendo um por la frecuencia natural del oscilador sin amortiguación y € como la razón de
amortiguación del sistema c/c"., tenemos:
Wo=W
MALDONADO & CHIO
14 STSTEMAS DE UN GRADO DE UBERTAD
y el pE:riodo de vibr4ción con amortiguación T¡, es igual a:
2r
Finalmente, calculando los valores .Je A y B después de introducir las condiciones iniciales, la
ecuación de movimiento esta dada:
u(t) = e t't [u. cos (wrt) + v' + :"
E w sin(wot) ]wD
u(L) = C,e-[rt eoS ( w, t - a)
siendo:
+u.Ew)'
tano =v +u Ewoo_
Wo uo
Representando gráficamente el movimiento de uft oscilador simple bajo movimiento
subamortiguado con desplazamiento inicial uu y velocidad vu-
En estructuras reales el coeficiente de amortiguación es considerablemente menor que el
coeficiente crítico; generalmente vaúa entre |Vo y 20% del valor cítico.
L-E'
MALDONADO & CHTO
t
I&-
Si tomatnos una estructu* *1.u". "*fi-"]::i: i:,:H*'iJ:"111,iT;H"::il:'"ft:#'Si tomarnos una estructuru con -u1 "*u"l:l rl a la frccuencia natural
amofiguación crítica (' :ZOrt;,) la irecucncia cs prácticamento tgrtt
de lade un
wD : u'Yo w ín igual
Por tal raztin, es común en la práctic' T:.t::,ai;"n"iu de un sistema con amortrguactc
u-iu irou"r"ia de un sistema sin amortiguamiento'
3. RESPUESTA A LA EXCITACIÓN ARMóNICA'
una cstructura con excitación armónica es un sistema sometido a f'uerzas o tesplazamientos cuyas
nragnitudes pueden scr t"pret"ntadas por una función seno o cos€no' del tiempo'
Porejemploenaquelloscasosdon<leuna.estftlcturaesüísujetallaaccióndeunamáquinaenrotación, que pruluce';"i;;;"s armónicas debido a la presenciu d" *u'ut excéntricas en las
pafles rcxlantes'
I-aexcitaciónarnrónicarepresenta-olo.l"losmovimientosmásimportantesenelcstudiodelasvibraciones mecánicas, y * tu dinárnica "rr*;;i-;
teona tt" 'i'ttn'u' de osciladores simples
annónicos es usualmenrá aplicada "n p*"UuJ:al';;;' 'it"u'innui"s
sobre edificaciones y en el
discño de acclorogramas'
lncluso aquellos casos donde ra oscilación no es armónica, - ra respuesla tle
-la estnlctura p*ede
obtenerse mediante ;-;;r*h ¿" nouri"r,";- "*l trabaja ton lu suErsición de respuestas
individuales2'
ü ccuación gcncral para este tipo dc excitación es:
mii + c tJ + k t7 =P- sin(ñ ü)
sistenra sin amortiguación:
' PAZ, M. oP cit', P' 104'
MALDONADO & CIilO
w» : 0'98 w
-'1
16 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
3.I. SISTEMAS SIN AMORTIGUACIÓN
l
Tomando al oscilador sirnple le aplicamos una función armónica F, scn( fr t), donde Po cs Ia
máxima arnplitud y w cs la frccuencia de la fuerza,en radianes ¡ror segundo. Su representación
equivalente es:
Lu rl¡A k
=------ lqr Pos¡nYYrffi"*ffi
Modelo matsmático
[¿ ecuación de movitniento es:
mti+ku=r.sin(hrt)
[¿ solución a la e,cuación puede ser expresada:
u(t) =Acos(r+t) +Bsin(wt) * =''/n, sin(r+t)L-r'
Siendo r la razón de frecuencias:
r=Yw
Aplicando las condiciones inicialcs ¡mra el cálcul<l de las constantes A y B, tendremos:
u(t) = =''/k, tsin(wt) -rsin(wt)lI-r-
El primer término es conocido como respuesta permanente y el segundo corno respuesta transitoria.
Puede llegar a suceder que la frecuencia forzada w sea igual a Ia frecuencia natural w, hacicndo
que la amplitud del movimiento tienda a aumentar hacia infinito; en estos casos se dice que elsistema cstá cn resonancia.
¡
a-
.
:
§.,
MALDONADO & CHIO
3.2. SISTEMAS AMORTIGUADOS
El caso de un sistema vibra6o bajo la influencia de una amorliguación viscosa la podemos ilustrar
conlo:
f__ >u F9i
ffi po sín wr ku <_-----'--1 Po sin wt
.,i-+----- ,f:-)'*"rsn ' rg-n i¡"so
"d"o'rerPolibre
Moddo rnatomáüco
La ccuación diferencia correspondiente es:
m ii + c tl + k tt =P. sin(ilt)
[-a resPuesta total es:
U(t) =e r-' [A cos(w"t) + B sin(w"t) +[/=. sin(ft - 0l
(t - v')' * ( 2rl)'
sicndo:
It lu .uzón de Amortiguamiento = clc
'
r es la razón tle flrccuencia : w tw
U,,cseldesplazarnientooflechaestríticaderesorteproducidaporlafuerzaP":P'/k
tano -;*
Elprimertérminodelarespuestatotal-correspondealcomPonentetransitorioyelsegundoeselcomponente *r-un"ril.';i;,;.. "-'*
¿" iá componente transitorio harií que esta desaparezca
con el ticmP,o.
MALDONADO & CHIO
18 SISTEMAS DE UN CRADO DE UBERTAD
La razón entre la amplitud de la componente permanente y la deformación est¡ítica U,. se conoce
como amoliñcación dinánúca D.
Ust
n-Wu_- W
3.3.EXCITACION PRO\rENIENTE DEL MOVIMIENTO DEL SOFORTE
En oportunidades el cimiento o el apoyo de la estructura está sujeta a un movimiento que varía
con el tiempo, como es el caso de estrucfuras afectadas por movimientos del suelo debidos a
explosiones o acciones dinárnicas producidas por equipos mec¡ínicos.
Tomando un oscilador sirnple cuyo apoyo está sujeto a un movimicnto armónico; donde u, es la
máxima amplitud y ñ es la frecuencia del movimiento del apoyo:
u,(t) = u, sin(wt)
, Us(tluo sin úl | , u
Akffi,u, u
Modelo matomál¡<»
m'ü Diagráma do cr¡erpo libre
La ecuación de movinriento resultalte de la suma de las fuerzas presentes es:
m ü + c (ri - d") + k (u - u,) = o
Reemplazando el valor de u,(t) tendremos:
mti + c ú + k u =k u- sin(ñt) + c w u. cos(I1lt)
MALDONADO & CHIO
&.
uT - -l
tlondc la solución permanetttc esta tlada por3:
u(t) =P./k sín(wt + B - 0):tfrr-r')'*(zrE)'
u"x$-*-(lrÜzreemplazando P, Por:
tenemos:
sin(wt+B-0)
3-4. FUERZA TRANSMITIDA AL CIMTENTO
considcremos el problema de hallar la fuer¿a transmitida al c'imiento tomando nucvarncnte el
osciladorsimpleconamortiguación,excitadoporlafuerzaarmónicaP(t)=Psinwt
Siendo la ecuación de movimiento:
mii+cú+kti={sinñt
dontle la solrrción Permanente es:
u=Ysin(wt-0)
3 Esta solución es equivalente a la de un oscilador bajo la acción de una ft¡erza armónica
p. sin(wt + B) y salió del reordenamiento de los términos armónicos en la ecuación
general m tj + c tl + k u = { sin(ilt + B) siendo:
P.=u. =lf k
tanB=+=ZtE
u(t) =
uo
1 + ( 2rE)'(-- r' )' * ( 2rE)'
(2rE)'
MALDONADO & CHIO
h
donde:
l= P./k
tan0= 2rEL-r'
La fuerza transmitida
amortiguarnierrto (c):al apoyo; esta dada a través del resofe (ku) y a través dcl elemento de
Ír=kl;l+cú
Realizando los debidos reemplazos llegamos a la fuerza máxima A1 trarrsmitida al cimiento:
1 + ( 2rl)'Ar=P" TT--TY + (ZrE)'
4. TNSTRUMENTOS SÍSUTCOS
En la elaboración de instrumentos para medir vibraciones' como es el caso de sisrnógr¿fos' el cual
puJ" *rai, el desplazamiento o la aceleración del soporte; se utiliz-a un sistema:
I"a respuesta relativa máxilna Y/u., esta dada por
I=u
r2
MALDONADO & CHIO
5. REsPuEsrA A LAs ExcrrAcIoNEs nrxÁurces GENERALES
Esmuyfrecuenteencontrarquelasestructurasenmuchoscasoseslanesstrmetitlasacxcitacionesoue no son armónic"r.;;.i,,r, "uro,
11 ,:;;';',1*" *t:"*"iffi:."::"rt'ff,'f -:::
ht*;. ;;[** H:§:rffi ;H*"i,ffi5; i,ii:4i'L;;;;*",on En. cs'e numera,
se analizañí la respuesra .o un sistem" """;;';;;; á" iif'"tt'¿ """*¿""
por una fuerza de tipo
genoral.
6- ExcITActÓN IMPuLsrvA E TNTEGRAL DE DUEAMEL
Unaexcitaciónaplicadaduranteuncofointervalodetiempoesunaexcitaciónimpulsiva,correspondientlo el
'*""t-"' nt*t"'" ¿" i"^t""o" po' tl ti"*po de su duración'
Enlasiguientelrguraseilustrapormediodeláreasombreadaelimpulsotlelafuer¿aP(I.)enel;;;i', siendo igual a P(f)6I'
Cuan<l. estc irnptrlso actúa sobre un cuery,n de masa m, produce un cambio <Ie velocidad óv que
**pr"rua" mediante la lcy do Nowton cs:
**=P(r)dT
dv = P(r) dr
Este incremento de velocidad óv' a su vez puetle ser consider¿do
masa m en el instante I''
cotno la velcrciilad inicial de la
P0)óT
/7//A'
ruir. -- 1t+61,67
MALDONADO & CHIO
22 STSEMAS DE UN GBADO DE UBERTAD
Ahor¿ si al oscilador simple sin amortiguamiento le aplicamos el impulso P(I)áf, el oscilador cnel instante l- exp'erimentará un canrbio de velocidad áv, intro«fi¡ciendo este cambio tle velocidad
como yo y el desplazanüento inicial u. como cero en la ecuación de respuesta al movimiento:
u = uo cos(Iyt) + ! sin(rr't)
en el instante l'se produciní un despla:zamiento en el tiempo t:
du (t) , P(r) 3(r) sin w( t - r)mw
Esto será lo quc p«xlucc un solo inrpulso, pcro si dcscamos vcr quc succdc anto la cxcitación tohl,<Iebemos entonccs, consi<Ierar la [uncirín de la oscilaci<ín como una sgrie de impulsos cortos, los
cualcs se presentan a increnrentos de tiempo ó[', catla uno de los cualcs prtxluce una respuesta
dife¡enoial en cl tiempo t de la forma dada por la anterior ecuación.
Por lo que prxlemos concluir que el dcsplazamiento total en el insüante t dcbidtl a la acci<ín
coütinua de P(I) csta dada por la suma o integral de los desplazamientos diferenciales óu(t) desdc
el instante l':0 al instante I':t, esto es:
sin r,r( t - r) dr1 i o,,,nw ,lu(t) =
Esta integral es conrrcida corno Intesral de Duharnel.
Para incluir las condiciones uo y vu en el tiempo t:0, tan solo es necesario incluir en la ecuación
estos efectos así:
u(t) = u- cos(rt) sin(wt) + sinh/(t - r) Ar
De esta manera obtenemos el desplazamiento total de un sistema de un grado de litrertad sin
amortiguamiento producido por una fuerz-a arbitraria. Si la expresión analítica de esta fuerz-a
arbitraria no es conocida, la integral puede ser calculada aproximadamentc, usando un métrxlo
numérico apropiado.
A continuación se estudian aplicaciones de.la ecuación para funciones simples de fuerz¿s.
v+o
w1 I p(r)
nw ¿
i
!
!
I
i
:
F,
MALDONADO & CHIO
.i.
\,i'
6.I. FUERZA CONSTANTE
T'mando un oscila.or simple sin amortiguamiento bajo la acción de una [ucr¿a constantc de
magnitud P, aplicada '"p"i"'*""t" "' ; ;;;; t=ó; como se ilusra a continuación:
P(t)
Po
Siendo el desplazamiento inicial y la velocidad
Duhamel, tenemos:
u(t) =
e integrando
Pu
rF
u(t) =
donde U,,=\/kRepresentando gráitcamente
t"rr
la solución se obtiene:
inicial igual a cero, la aplicación de la integral de
{ sinw( t - r) dr
[cosw (t - r) f lt
- cosh/t) = ú,. (t - coswt)
tlrI
mw ¿
P-o. (1mw'
u(t) =
MALDONADO & CHIO
6.2.FIÜERZA RECTANGULAR
Variando en el problema anterior la aplicación de la fuer¿a. Consideremos una fuerza constante
P., aplicada repentinamente, pero sólo dúrante un tiempo limitado de duración t,¡ como se ilustra:,:hHasta el insüante t¡ la solución del problema anterior es váli{a, de manera quc el desplazamiento
y velocidad en el instante t,l son:
(1 - coswto)
que puede reducirse a:
u (t) [cos w(t - té) - cos I{t]
Puo=f
Pdo = # I{, sin (wtu)
Para conocer la respuesüa después del instante tu es necesario volver a la ecuación de
desplazamiento de un oscilador simple, asumiendo como condiciones iniciales el desplazamiento
u¿ y la velocidad do ,
P P^ -: - t.,¡- r --i -u(ü) =+ (1 -coswtu) cosI4'(t -td) + f sin (wt,) sinw(t -t')
P_o_T
MALDONADO & CHIO
l¡
I,i
:
{
i/t---
{
6.3. FUERZA TRIANGULAR
consider¿ndo nuevamcnte un oscilador simplc sin amortigttu"ión'. pero bajo una fucr¿a con un
valor inicial p, que disrninuye lentamente hasta cero "n un tiimpo t¿' como se ilustra a
continuación: ¡-u respuesta de forma similar al
anterior Problema Puede ser
P(t) 't' calculada aplicando para en un- t
I l¿ la ecuación o integral de
Duhimel Y Para el tramo t > to la
""uu"ión
- á" movimiento del
oscilador simPle'
Para el Primer intervalo la fuer'a
está dada Por:
P(r) = P. (t - á,
RccmPlaz.antlo cn la intcgral de f)uhamcl
u(t) Po1
mw
t¿
t15
con con«liciones u,,:0 Y v,=0 tenofnos:
(r - +) sin w(t - r) drL"o
Rcsolviendo:
u(t) = + (1 - cos wt + ;Zpar¿ el seguntlo intervalo t >'t¿ se procede primero calculando las condiciones iniciales a partir de
la anterioi ecuación pañr un tiempo t:(¡:
P^ ' =ll "5 - cos r/td)uo = f (-, to
cos wt., 1 \(w sin wtu + ---E- - T;'
y luego recmplazando en la ecuación de movimiento:
u = h[sin wt - sinw(t-t,)1 - ] """
, sin wtItId - t)
U.P
= _k
wt
MALDONADO & CHIO
6.4. CALCULO NUMERICO DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL
6-4- l - Sistema sin amortiguación
La respuesta para excitaciones cuyas funciones no permiten una solución numérica de la integralde Duhamel, debe ser calculada mediante métodos numéricos. Es por esto que introduciremos enla integral la identidad trigonométrica:
sin w(t - r) = sin wt g,oswr - cos wt sínwr
además asumiendo condiciones iniciales iguales a cero tenemos:
t
u(ü) - sin r¿t I p(, ) cos wr armw J
haciendo:
wr Ar
B(t) = sin wr 0r
la ecuacion se reduce a:
u(t) _ A(t) sin wt - B(t) cos rlltmw
El cálculo de A(t) y B(t) requiere el utilizar un métodométodo de la regla del trapecio o Ia regla de simpson.
sín wr 0r
numérico. Uno de ellos es utilizar el
_ cos r./tmhl J
,.,,
nA(t)=lP(r)cos¿
J ,,,,
MALDONADO & CHIO
il-
,"-,'J
.t..-
\-:
\-
it:i.-
i!J
IlJt
it'"II.-IIf-tt_Ift-tIIr
i,r-I
*.-§
tit
[-F
If-tI!Itt-¡It-tI(f
II-fIt-IIiJ
l_-¡IIt-It-I..-f&t*t¡t-t,i_r
IN-Irñt-II;-fit!_tf:i-tc.t-h-
,.-
I
.
Otro métrxlo consiste en suponer que la excilación esta rcprcsentada por segmcntos lineales
succsivos como se muestra en la figura:
P(t i+1)
P(t i)
P(r i-1)
't i+1
Para determinar la respuesta a lo largo del tiempo es conveniente expresar A(t) yB(Q en forma
incrcmental:
Li
" f P t) cos wr ArJ
t ¡-t
ti
B(ti) = B(ti-L) - Í P(t) sin u¡r 0tt¡-t
Además suponiendo que la función de la fuerza P(l), puede aproximarse a una función de
segmentos lineales tenemos:
P(r) = P(ti-,.I . ft (r - t,-,) i
A(ti) = A (t¡-t
ür.(f(t,
donde:
AP, =P(tr) -P(tr.)
At.=tr-t=
MALDONADO & CHIO
28 SISTEMAS DE UN GRADO DE LTBERTAD
La aplicación <Ie esta expresión de fuerza en A(t) y B(t) nos dan:
. AP, - (sin wt, - sin nt..)A(tr)=A(t1,) +[P(t,,)-t,,TEf
w
AP,r- -t lcos wt, * cos l./ti,1 + w (t, sin wt, - t. sin wtr-') Iw' Lt.
a(t,) = B(tl ') + [p(t' ') - tr-' ffi r (cos wt, '- cos rt')
AP,+ -t lsin wt, - sin rt. a - w (t, cos wt, - t* cos wt-, ') ]w' Lt,
6.4.2- Sistcma amortiguado
El procedimiento para obtener la respuesta en un sistema amortiguado utilizando la integral de
Duhamel es similar al análisis del sistema no antortiguado.
Re.emplazando las con<Iiciones iniciales u.:0 y v,:P(I)DI/m y t por t*I', en la ecuación del
movimiento de un sistema amortiguado, obtenemos el desplazamiento diferencial:
áu(t) = e tu(t ?' ";';'
sin wo( t - r)
por lo tanto el desplazamiento total en un insüante t debi<Io a la fuetza P(l') esta dada en funci<ín
de la integral de Duhamel por:
u(r) = #, ir,r) e-t'tt-') sin wo(t - r) 0rutb
Para su cálculo numérico se realiza el mismo tr¿tamiento como en el caso sin amortiguación y
obtenemos:
a {wtu(t) = I-A"(t) sin wot - B"(t) cos rotl ...-" frwo
MALDONADO & CHIO
I
t_(.-
('_
t
\-
t_
(,(
\--
L(
\_(_
\-
(
\-
(
L\-LL
U
L
\-
I
\-
I
ti
4(t) = Ao(tr ') . I P(r) eE*' cos ly'or
tY-r
ti
B"(t) = Bo(üi ,) . I P(r) et" sin In¡or
tY- r
ParaP(l)utilizarnoslamismaexpresiónincrementaldelsistemasinamortiguamiento.
Para el cálculo de A,(t) Y Bo(t) es necesario realizat el calculo de I1,I,'I3,Ia que equivalen
integrales, donde su solución esta indicada como:
donde:
T = "l-' = ([wcos(lw)' + wi
r- = ,o "r'-'' aa, ({w sin-2 (lw)' + wi
/, = (, - *frJ;qt rl F
rn = (, - al;\u"; f:)
En donclc Il'Y Iz'corresponden a las respeclivas
límites indicados.
wDr + wo sin wor ) lf-.
Wrr * Irro cos nror ) I I-,
(Ew)' + wiTIII'
" t -a
dr
0r
,wo'-a
' (lw)'+wi
integrales ,I, Y I, antes
!iT/ I Llz lf .-i-1
de ser calculadas en los
MALDONADO & CHIO
30 STSTEMAS DE UN GRADO DE LTBERTAD
En función de los anteriores valores obtenemos Ao(t') Y Bo(tt):
.ftr.AP.¡rT+É=
*'
De esta forma llegamos a la ecuación de desplazamiento para un instante t,:
- Bo(tr) cos wotrlu(t,) = # t¿D(tr) sin not'
7. RESPUESTA ESPECTRAL
Expresado brevemente, la respuesta espectral es un diagrama de la máxima respuesta (máximo
6esplazamiento, rnáxima veloci.lad o acelcración o el ináximo dc cualquier otra nragnitud de
interés) a una función esp'-cíhca de la excitación' para todos los sistemas posibles con un grado de
libertad.
En un diagrama <Ie respuesta espectral, la abscisa del diagrama es la frecuencia natural (o ¡»rícxlo)
del sistema y la ordenada, la respuesta márinla. Un áiagrama de este tipo se muestra en la
siguiente hgura, en el cual cl ertificio de un piso estií sometido a un desplazamiento tle su cimiento
indicado Por la función u"(t).
lu - uslmáx
Para determinar la respuesta máxima
es¡recífica, es necesario saber solamente
t- - uslt¡(b)
tlisponientlo del diagrarna espectral para una excilación
la frecuencia natural del sistema o el períulo'
u),.'t-,
(a)
MALDONADO & CHIO
7-I.CONSTRUCCION DE LA RESPUESTA ESPECTRAL
par¿ ilustrar la construcción dc un gnífico tlc rcspuosta "troltl,. consideremos la figura de un
«rsciladilr sint¡rle sin anlortiguacirin stimetido a la fuerza sinusoidal de medio ciclo como sc mucstra
en la figura. La «luración aJl imputso sinusoidal se denota por t¿.A«lemás se su[»ne que el sistema
csüí inicialmente en re[nso. Latuación diferencial de movimienttl se obtiene igualand<l a cer«r la
suma de las fuerzas eri "l
co.r"spondiente diagrama de cuerpo libre' esto es:
en la que:
mü+kLt=F(t)
sin wtF(t\ = Fo
F(t) - 0
o<tstd
t2ta
IIW=- r_
[-a solución ¿e la ecuación diferencial pue<le obtenerso con cualquiera dc los nrétotlos estudiados
cn los capítulos prece<lontes, por cjempl<l por me<lio de la integral de Duhamel u otro método
propuesto.
(c)
MALDONADO & CHIO
I-a solución de la ecuación diferencial es:
t1lsinrcf--srnLd ¿ ud
2r+) pafa 0<Lu"t r- - ( T ),'aF
¿' L-d
T/ ta :+) para t>td2. T'cos san 2\ (+n'o
Tusc ( T )2-t2td
se pue<le observar que la solución cle la ecuación diferencial y/y", está en fiunción de la razón de
duración de la excitación y el período natural del sistema t¡iT y del tiernpo expresado como t/T'
De ella podemos obtener io Ápu"rtu máxima para cualquiet razón tu/T, que se representa en la
figura.
Debido a la sirnplicidacl de la fuerza externa ha sido posible, en este caso, obtener una soluci«ín
analítica y reprcsentar la respuesta espectral en función de razones adimensionales, lo que hacc
valida est¿ representación f!.ara cualquier fuerza irnpulsiva sinusoidal dc medio ciclo' Sin embargo'
en general, ,to po.l"n o. esperar tal iepresentación de la respuesta espectral para cualquier fuerza
imp-"ulsil a, y nolmaknente tendremos que contentarnos con un diagrama dc respucsta es¡rcctral
preparado para una excitación externa totalmente específtca'
ñE,=u)3
MALDONADO & CHIO
7-2.RESPUESTAESPECTRALPARAEXCITACIONDELAPoYo(M0VIMIENToSISMICO DEL TERRENO)
Unproblcnrairnportanteendinámicaestructuralesclanálisisdeunsistemasometidoaunaexcitación aplicada en el cimiento o u*r,r"J"*lu-"*t""tu*' La ecuación de movimiento del
oscilador amortiguado^ "*"iiJ" u unu
"*"itución externa en el alnyo es:
m ü + c (¿i - Lis) + k (¿1 - LI") = §
una formulación más conveniente dc la ecuación de movimiento del problema es en función del
movimiento relativo d" ru *uru "un
,.rrorf-"i'*"rl*i.nto del a-f'oy;' esto es' en función de la
«lof'rmación ¿"t ."roi". Bt desplazamiento relativo se define como:
Y=U-Us
quedando la ercuación de movimiento:
y*2Ewi+w2Y=-üs(t)
[,a solución de csta ecuación con<luce a la respuesta de deformación y(t), la cual delrnde de las
caraoterísticas delaaceleración delmovimiento ün(t) 'lafrecuencia natural devibración (o
equivalentcmente el príodo natural de vibración) de la estructura' \v=!6</m)' y la raz'ón de
amortiguamiento E d" la cstructura'
Lasolucióndclaecuacitindifcrencialpuetleserescritacomo:
y (t) e- ( * (t - r) Sin lwut - r)1 dr,
[-a accleración sísmica del terreno varía irregularmente por tanto una extensión de una evaluación
analítica de esta integJ-aetre ser sacada- »" to' varios enfoques disponibles' la implementación
delosproccdirnientosnumé.i"oseircomputa<loresdigitalessonlasmásefectivas.
El acclcrograma sísmico se tligitaliza y filtra apropiatlamente ?ara.controlar aceler¿ciones erróueas
y distorsio.cs iniciales i 1", Já**"1án"' ¿"i'i*n*duct.r dei acclerograma son introducidas para
ábt"n". el correcto acelerograma del terreno'
l,a función ü u ( t) en la ecuación anterior es luego <tefinida glr las coonlenadas numéricas
del acelerograma corregido en los espacios de intervalos tle tiem¡ro suficientemente cerrados para
deñnir precisamente el acelerograma'
MALDONADO & CHIO
L [ ,"t")wo Jo
i
1
Con la aceler¿ci<ín del terreno ü, ( r ) ctetinitla en esta manefa y sustituycndo los valtlres
numéricos de w y { ,la respuesta pdría ser determinada Err cvaluación numérica de la intcgral
cleDuhamel.Elenf<quemáscomún,sinembargo,essolucionardirectamentelaecuacióndemovimiento po, p..oái*ientos numéri.rr. cr""i, son apropiadainente itnplementados' ambos
onfoques la evaluación numérica .te ta irrt"grii¿" Outto*"i yia soluciírn numérica de la ecuación
tle movimiento- provecn resultados equivalentes'
I-a hgura ,,dehnición de espectro" se muestra los resultados de tres estructuras suiet¿s al nrismo
movimiento del terreno. La razón de amortiguamiento E = 2% es la misma para las trcs
estructuras, glr lo tanto las diferencias cn sus respuestas dc deformaciones son asociadas con su
períuJo natural de vibración'
Unavezqueladetbrmacióndelarespuesray(t)hasidoevaluada,elcortanteyelnromentoenlabase de la edificación puede ser convenrer¿;;";
- Jttermina¿os intrqlucientlo el concepto de
fuerza horizontal equivalente. Esta es ,rru fr"* externa f, que, si se aplica como una fuerza
estática, causaría una defonnación y. gnton"o,- "n
cualquier instante de tiempo la fucrza latcral
equivalente es:
fs,ma){
--->,
Vo(t) 1a:a-- ---'----;1 iIs(t¡
En el tiemPo t
Vo,má¡(--..- .--;l Mo,ma¡(
Máximo
= k ¿r(t)
= m w2 u(t)
f"(t)
f"( r)
MALDONADO & CHTO
DINAMICA ESTRUCTURAL J§
El cortante basal V, Y cl rnomento
estructura sujcta a la fuerza lateralbasal Mu puetle ser determinado plr análisis cstiítico de la
equivalente. Entonces,
V"(t\ = f s(t)
Mo(t) = h fs(t)
donile h es la altur¿ desde la raíz encima de la base'
Despuéssustituyendo((t),elcorlartcbasalyclmomentobasalpue<leserexpresadocomo:
V"(t) =mw2u(t\
M.(t\ = h vo(t)
Un cliagrama del máximo valor de la respuesta cuantitativa "t*" Ll,-litj:: ::"liiT:::1"::;;#'ffi#áu; ; la estructura, o como una tunción de una cantidad en la cual se relaciona
¿^l ^^-ri,l^.1 El
fffiffi;.}]'.oi; el período naturat; constituye el espectro de respuesta para tal cantidad' Elr^l ¡nmn rt. rliromma de laes tal como un diagrama de la
7.3. ESPECTRO DE RESPUESTA
[¿ historia completa de cualquicr rcspuesta cuantitativa, llamada deformación' velocidad'
acsleración, cortante basal,omomento uurut,pu"a. serdeterminado porprcredimientos numéricos
anteriormente descritos. Sin embargo, pu* propósitos. de.diseño' es generalmente sultciente
con(rcer únicamente el valor máxiÁ a" lu ,"rpu"sta debido al sismo (sin considerar el signo
algebraico).
Sd = /*t*
la l-rgura mucsrr¿ el concepto básico calculado del es¡rectro de respuesta o" 'i-u"j1T::itín
l-as
variaciones de la respuesta de las deformaciénes de las tres estructuras por un movimiento del
terreno seleccionado §on presentadas. Para ca{a estructura cl máximo valor <Ie la de formación' sin
consi{crar el signo utg"t*i"o, durante el sismo es determinado de su respuesta' El Y'o'
dcterminado ¡rara cada estructura provee un punto sohrc el. espectro de respuesta de la
deformación. Repitiendo tal calculo par¿ un rango de valores T, micntr¿s mantenemos la r¿zón de
Eamofiguamiento constante, provee cl espectro de respuesta de la deformación para el
movimiento del terreno. El espectro tle rcrpuesta completo incluye curvas de esFctro para varios
valores de amortiguamiento-
MALDONADO & CHIO
cantidad S, dehnida corno:
Alternativamente la máxima deformación puede ser expresada en términos cle la velocidad S"
definida como:
Sv=wSd
o equivalentemente comol
,,= # ro
donde w es la frecuencia natural circular de vibración de la estructura y T es el período natural
de vibr¿ción de la estructura.
I¿ cantidad S, tiene unidades de velocidad y se relaciona a la energía máxima de deformación E*'*
almacenacla en la estructura dur¿nte el sismo ¡xlr la ecuación:
4o'*= *^t'"
el cual puede ser derivatlo como sigue:
E.* = * u "k= L k ú = + u'+)' = + ms;
El espe,ctro de respuesta de la pseudo-velocidad es un diagrama de S" como una función de la
frecuencia natural n *l p.rf,¡u de vibr¿ción tlcl sistema (El prefrjo pseudo es con la intcncitín dc
ejemplarizar el hecho de que este espectro no es el mismo del espectro de respuesta tle la velocidad
relativa).
otra me<lida conveniente tle la máxima deformación es la cantidad s,, deltnida como:
Su=wsu=wzSa
o equivalentemente como:
s-=3] s-=(+)2sa-A T V T
I¿ canti¿ad Sa tiene unidades tle aceleración y se relaciona al valor ¡náximo del corlante basal
como sigue:
Vr,^* = k Sa = Íl w2 So = In Su
M.ALDONADO & CHIO
DINAMICA ESTRUCTURAL - T-
El rnáximo cofante basal puerle ser escrito en la ftrrma:
Vo,n ^
d
='Wg
ilondc w es el peso «lel sistema y g es la aceleración dc la gravedad' cuando escribimos en la
forma, Sa/g pue<lc ,"rinr"rpr"oáo-"nmo el iirt*¿" coeficieite ¿e cortante basal (o coeltciente
sísmico) en los códigos de áificaciones, El espectro de respuesta de e§ un
diagrama de Sa como una función d" lu fr""iñ"iá- nutt'á o el período de vibr¿ción del sistema
(El prehjo pseudo ", uru¿o para distinguir este espectro del espectro de respuesta de aceleración
absoluta).
La rospuesta es¡rctral de la deformación, la pseudo-velocitlad.y la pseudo-aceleración para un
movirnicnto sísmico del terreno esUín interrelacionados' Cualquiora de estos espectros puede ser
obtcnitlo de uno de los otros dos, y cada uno de estos tres espectros contiene la misma
información, no más y no menos. Los tres espectros son simplemente diferentes formas de
;;;;;; la misma inflrmación sobre la respuesta tle la estructura'
A causa de que las cantidades S<1, Sv y Sa esüín simplemente relacionadas a través tlel púodo dc
vibración T, el espectro de respuesta puede ,", t"pá*ado, sobre un llamado diagrama tripa*ita
o diagrama logarítmico de cuatro formas en el cual todas las cantidades espectrales pueden ser
leídas. Los datos sv-T en el dibujo lineal es r.-dibujado con escala logarítmica para sv y T como
se muestra cn la Figura. Los valores d" S,l y SJ puetlen ser leí¿o de las escalas logaítmicas
oricntadas a 45 grados a la escala periódica. Urá aiug**a de cuatro-fornas es una represenkción
compacta de lostres espectros de respuesta, fu* oíúnico-diagrama de esta forma reemplaza los
tres dibuios lineales. l¿i curvas de espectro iu* \nu'io' valores de amortiguación son usualmente
dibujados sobre el mismo gnífico'
1
i
t
tt
MALDONADO & CHIO
8. E.IERCICIOS RESUELTOS
8.1-EIERCICIO No- I
Determinar la frecuencia natural y el perítxlo del sistema que consiste eo un anuncio de peso
p:200 kg, el cual eslá sostenido p.r. ,rru viga en voladiz.o a través de un cable- l-a viga, con un
extremo empotrado, cuenta con una altura h=20cm,y un ancho b:20cm, un míxlulo de elasticidad
<l E=1.8x1ü k{cmz, y una longitutl L:lm- El cable tiene un diámetro de 2cnl y cucnla con un
mtí<lulo cle elasücidad E:2.1x1Ú kg/cm2 y una longitud de 30cm'
Solución: para ¿cterminar cl 1rcrítxlo o Ia frecuencia dcl sistcma cs ncccsario calcular la rigiclcz' (k)
y la masa (m), una vez idealizado el sistema.
1. ldealiz-ación
o
,rf-(
:-- Ú.)
a{,,?,
I
r;t I
ll,l-l
Lz/_zI
.,J<l.ri(_
f.2 --> i r-r-i-
L.f'^/, ] i rr
aLt-=-+-i(, kL kz
I
I+
- --- -t_l l ^ '-'rI ('¿ -_I nnrcün i Iltt v l,l
Finalmente se ha llcga<lo a un siste-ma en sene
2. Deternúnación de propiedades de rigidez y ma§a
*k"*
MALDONADO & CHIO
P=kL=*k= *+A = ?
PL3 pafa A =1 * , 3ETK- ----rll)3EI
siendo: E: l.8x1d kglcmzI = (1 / 12X20X20) 3 : 13333'33cma
L:100cmcntonces:
. Cálculo de
llllltlJp
1)
- L=4kL=4L_
A.E;
Pafa A =1 '+ k=Af
kr:7200 kgicm
del cable)
P =kA
como
\,l
I
i
I
\-11rl
. Cálculo de k, (aporte en rigidez de la viga)
A-
k2 (aporte
llltuia
siendo: A:r(1)2:3- 141ócm2
E:2.1x1Ú kg/cm2
L=30cmentonces: *=219911.50kg/cm
i
I
i
i
I
. Cálculo de k" (rigidez tlel sistema)
1-L+Lk. Lt kz
k"=697 L '7 kg/ cn
. Determinación de la masa (m)- Suponemos aporte solamente del anuncio
2oOko 2AOkgm=- g 1000 kg/ seg2
fit=o .2 lcg seg2 / cm
MALDONADO & CHIO
$l51iiI
. Detennitración de la frecuencia angular ( {,) )
o =187 rad/ seg
. Determinación del período natural (T)
2n2n=lrlT:+
1-87 radl seg
T=O .034 seg
. Determinación de la frccue,ncia natural
0 .034 seg
f=30c.p.s
8.2- EIERCICIO No. 2
El pórtic<l {e la figura es de concreto y esta destinado a la aplicaci<ín de una carga dinánúca
horizontal en el. nivel superior. El peso <Ie la placa se estima en 300kg/m; las dimensi<lnes clc las
columnas son {e 30x30cln- Como parte del diseño dc esla estructura se requiere determinar su
frecuencia natural, y para ello se ha considerado que el coeficiente de amortiguación sea del orden
del 57o tle la amortiguación crítica-
L_
2nf=-
ü)
(r)
1
T
-t-
I
l=I+
A.
+
t' -*- II lr.I l:| | ;;;Jütnt
Corle A A
MALDONADO & CÚTO
;ltt
lirilii
Solución: Sc resolvení primcro clesconcrientlo cl amortiguamiento y luego' el sistema con
amortiguanricnto.
l. ItlealizaciónEs nccesario suponcr: ^r ^r-^ .rrmr'. I¿ masa de columnas y muros es insignificante comparada con la masa en el piso superror
. I_a viga superior es Juficientemente ígida como para impedir la rotación en los ertremos
superiores de las columnas
lil \-->\-
. Determinación tlc la propieda<l de rigidez dcl sistema (k")
Cada columna aPrlrta una rigidez k,
I
k¡-
II
donde: E:2xld kg/cm2I: (l /12X30)(30) 3 :6750O cma
L:50O cm
F-5
1.28If,3
i/j
ent()nces: k¡:1296 kg/cm
siendo: (:2hcnt()nces: k" : 2592 kg/cm
MALDONADO & CHIO
&r
#tÉ,
. Determinación de la masa (m)
m=
. Análisis dcl sistema sin amortiguación
Frecuenciaangular
Frecuencianatural
Períodonatural
. Anrílisis del sistema
Frecuencia angular
Frecuencia natural
Período natural
Si sc dcsca conoccr
amortiguamiento
(B) (300) kg =2.4kgsegz/cm1-000 cm/ segz
25s2 kg/ cn_ =32 . 86 rad/ se'2.4kgseg'/cm
IIt-[-fl.-t
It-!r(iSJ
I
\-ll(
-(r)=al-=\m- 2tc 32.86L =
- = -------=-- =5 . 23 C. P. S
fJ} 21Í,
r=1=-+- =o.1-9seg- f 5.23
con amortiguamiento
- «¡ 32.86f= - = =5.22c.p.s" 2¡ 2¡t
- t 5.22
C"r=2{Fm=2
c"r=L57 .7 4kgseg/ cn
c=|c.,= (0.05) ( :.57 .7 4) =7 .87 kgseg/cn
G¡= o ,h:e =32 .86 /r- ( 0 . osF =32 . 86 rad"/ s
f¡.a*..
MALDONADO & CHIO
l1
i!1
8-3.IIJERCICIO No- 3
Dentro dcl sistema estructural tle una fabrica c's preocupación, dcl ingeniero dc diseño urra viga de
longitud I_:3m y uno-r*.rlon transversal "";;iii w sxa0 rle
.acoro A 36' L-a viga sc cncuentra
apoyacla en sus "*,rr-o, sobre muros ,t, *uJrpo.t"ía y soporta una már¡uina en el centro de su
luz, la cual p:sa 5 tonela<las. El mirtor de ésta maqui.,u opefa a una vel<¡cidad dc 300 revoluciones
por minuto y ,r, ,.rtn, ii"* una excentricidad estimada eo un peso de 50kg a un radio e:0-30m'
^Srrp,rn", amortiguación del sistcma lO%
tI
é-.r-}lr( ' )'
!!
--r]
*i 3[]ll crn v¡
Solucitin:
Preocu7a-cion deL l
ingeniero
l. Idealiz-ación
2.
trL^.-cllE^oo= *-T- pero ¡'1= f (A)
E= 2'1Ll{100Ükglcm2
d..2'lcm
Fy=252urlkg/cm2
névisa-r los esftteÍ zos prodLtcidos
sean menores a los admisibles
oR o adn
ü[estáticos+ codiga
dinamicos
1
I¡I
I
iI
II
Ilt
üer-borsenc, & cHIo
entonces requiero calcular la deflexión 0:u
u ( t) = g*("r t IAcostooü +B,sent»oL] +L)*sen(6 r -CI
sen(rot-0)
excitacion armonic¿
cuando ü-oo +
siendo urr= *
E=á
no conocemos Po ni
3- Esfuerzos admisibles
4. Comparar esfuerzos reales 'vs' esfuerzos admisibles
Desarrollando catla uno tlc los errterioros pasos:
l. ldealización
oü)
k
. Despreciando
tm uJ
[nr m']ü
la viga
OI!JC()ñEa)OJ1Jo
ts.r-0c)
.Il
-( J
CU
t* ¡.L ,t)*ku
rl
Diagrama de cuerpo liore
u, =u' + ¿¿ = u+ e Sen6t
úr=U+ e«¡CoS6ü
ür=U-e62sen6ü
el peso de
MALDONADO & CHIO
!r
*:IIIt¡I
:l-L
Ii.:i: I1itii
Por equilibrio dinámico
f i= (m-m' ) ü+m' (ü-e62cos6t)
f i=mü- m' ü +mt ü-m' etc_z cosñ t
f ,= mü - m' elJz seno t
fa=cú
f "=ku
\
==+mü * mt ela.¡Z senl1¡ t + cú + ku = 0
¡n1i + cú + ktL= m' eÚ)af 2 sento t
Por amalogía con la ecuación de movitniento de un sistema sirnple excitado armónicamente por una
fuer¿a de amPlitud P"
¡¡77i+ cú+ku= Posenat
' tenemosi ' Po=ril' ei.l-z
Evaluación numérica dc P, ,
Po=Ifit e62E0 =0.05'kgsegz/cmsiendoz IÍlt = *oo
e=3O cm
t¡ = 3oo 2x =31, - 4L rad/ seg50
- Po=1-4Bo kg
Evaluan<lo la ng¡dez del sistema k
P--? *A=1 *k=+(resorte elastica\
MALDONADO & CHIO
La deflexión de la viga en l-12 es:
:
1
I
l.-_II
!
i
I!J
:.
)-_
i:
\
i
A
k
PL3 + 1= kL34BET48EI='=-¡3
L
48EI
siend.o: E=2.Lx1-06 kg/ cm2I=6077 cmaL=3OA cm
=+ k=22687 -5kg/cm
Evaluando la frecuencia angular o)
,=^l 3 donde: k=22687 -5kg/cn\m
m=5ooo/ looo =5 kgtseg'/ cm
* é = 67 .36 rad/ seg
. Evaluando la razón
Evaluando el u-* dinámico
de frecuencia
ñL = ' STendoi
(ü
+ r=O.46
6 = 31 .41- rad/ seg
.t) =67 .36 rad/ seg
ust,l'1nax
siendoi urt= Pr/ kr=O.46E=0'l-
* 4r-.:< =O.OB cm
MALDONADO & CHIO
illi'
(_
l-
PL348EI
I
i
\*
\*\-\-\_
\-
'v¡I1
-1,
. Evaluanclo el momento máximo dinámico
siendoi A**=E=2I =6tL=3t'
- (u*=1-351
. Evaluantlo el esfuerzo
. Evaluando el esfuer¿o
- Evaluando el esfuer¿o total
a^--.= 4 A L*=lltó^ Aa
*+ p= n'.!Jo^^*
L2EI ¡- M^u*= 17 u^u*
i
máximo dinárnico
Mr*.*co*u* = -' Isiendoz M*^*= 136 \24 = B kg-cn'
c=1-O '5 cmI=6O'77 cnl
* o*"* =235.2kq/cmz
máximo estático
¡fiaxcOmu*=- I pr. (5000) (300)siendoi M^u*= i =
----l--M^u*= 37 5ooo kg-cm
c=!O -5 cmI=6O7'l cmL
* o*"x =648 kg/cmz
O¡naxr= omaxdjna * o*"r,a"¿a
o;;,'= aB3 ks/ cmz
MALDONADO & CHIO
48 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
.Evaluando el esf'uerzo admisible
Furlrr=O '6 FyF"&n= (0.6) (2520\ =1-5L2kg/cm2
. Comparando
Ordrn ) o*u.*
1,51,2 > BB3 Córrecto
8.4- EIERCICIO No. 4
Una torrc quc Soporla un tanque de agua, c.sta sometido a una fuerza pr«lucida por una cxplosión
en su vecindad. La f,¡nción de la carga ideali:,¿da se muestra en la hgura. Es de interés conoccr
el movimiento que sufre la estructura, teniendo cotno conocida la rigidcz dcl sistema
k:50000kg/cm y peso del tanque de l20OOkg. Por facilidad ignorar el amortiguamicnto dcl sistema.
.1 t at rrt _) t_.]l ]
ltlttttIUUr_.1
r_. f-) t-l-,r L_l [J
Solución:. Concrcer el movimiento que sufre la estructura es determinar la respuesta del sistcma
- El sistema esta bajo una excitacicín que no es armónica, por lo tanto se resolverá utiliz¿ndo Ia
integral de Duhamcl. Suponiendo u, y v, iguales a cero para t:0, la integral tendní la siguiente solución
u(t) =lA(t) sen{'¡ t-B(t) cosr¡ ül
m<n
. Neccsitanros calcular ú) , m, A(t), B(t)
' 1 .' (t | 1ll 'l l. ll, rl (
r- f-L l^ I
-l--I l,L\I -
MALDONADO & CHIO
I
I
DINAMICA ESTRUCTURAL 49
. Idealiiación
Determinación dc m
A,----)A'U
P
I
I
l*L
L2oa0 kgIIt=
--------=1-000 cm/ seg'tn=12 kg segz f crn
siendo: k=5000okg/cm
m=1-2 kgseg'/ cm
- G) = 64.5 rad/ seg
U
f-+
1
(
i
i
.-l
l;viI\l-L
(
Determinación de (r)
MALDONADO & CHTO
50 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
9.EIERCICIOS PROPUESTOS
9-I.EIERCICIO No-l.Determine, del sistema mostrado en la figura constituido por una viga
<le lorrgitu<I L:2lOcrn con un m<í<lulo de clasticidad E:2xld kglcmz e inercia I=ld cma, y dos
resortes de constante k:l000kg/cm que sostienen un peso W:500kg:a. El período del sistema sin consi{erar la masa de la viga o de los resortcs-
b. El desplazarniento y la velmidad del peso W si tiene un desplazamiento inicial Y.: I cm y una
velocidad inicial vu= l0 cm/seg.
c. El pcríodo, el desplazamiento y la velrcidad del sistema suponiendo una amortiguación cn el
sistema igual al 15% de la arnortiguación críüca.
A,l
A/,1
it
I
+
fiLr] VV I'
-L1- l,fI
9.2-EIERCICIO No.2. Dcl ¡xírtico mostrado en la figura detennine:
a. La frecuencia del sistema si se considera el miembro horizontal inhnitamente rígido y se
desprecia la masa de las columnas.b. La frecuencia tlcl sistema si el miembro horizontal es flexible y üene una inercia I:120O0 cma.
c. La amplitud permanente del movimiento horizontal del pórtico sometido a una fuerz¿ armírnica
F(t¡:1569 sin 101 (kg). Considera¡do el miernbro superior in{initamente rlgidoy despreciando la
masa de las columnas y la amortiguación del sistema.d. El problcma anterior c()mo sc vc afectado cuando sc considcra la nrztín tlc amortiguación dclsistema igual al 87o.
e. Cu:il es el valor de la fuerza máxima transmitida a los cimientos en el problema anterior?f. I-a transmisión del movimiento del miembro horizontal del pórtico, la fuerz¿ cortante en las
columnas y el momento de flexión máximo y su correspondiente fatiga máxima en las columnas
si el pórtico es someüdo a un movimiento sinusoidal del terreno igual a y":0.5sin 5.3 t (cm).
g. El desplazamiento horizontal en el instante t:5 seg y el márimo desplaz-amiento horizontal si
el pórtico es sometido a una fuerza horizonlal a la altura de su elemento horizontal, que decrece
linealmente, en O.óseg, desde un valor inicial de 250 kg hasta cero. Ignore la masa dc las columnas,
suponga el elemento horizontal ígido y desprecie la amortiguación del sistema.
MALDONADO & CHIO
h. Ctimo sc ven af'cctados los resultados del numer¿l anterior si se considera que el
amortiguamiento del sistema es un 15% del amortiguamiento crítico del sistema?
i. El máximo esf'uctzo cortante eu las columnas si;l ptírtico sufre en §u cimiento una repentitla
acclcración de 0.5g.Considcrc una raztín «lc amortiguamiento igual a lO%'
F:(fl
w.3Uü00 kg
[= 1l'Lll],. n r-]
9.3- EIERCICIO No-3- Dctcrmino paru cada uno de los casos m«rstrados a continuación' lrna
expresión dcl pcrí<xlo del sistema, <lel desplazamiento y la velcridad al cabo de un scgundo' de la
viga unitrlrme con un momento de inercia I y un mcxlulo de elasticidad E' Desprecie la masa de
la viga y de los resorlcs.
+*u)'bt
MALDONADO & CHIO
52 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
9-4-EIERCICIO No-4-Un motor eléctrico de peso W:l000kgesta anclado en el centro de unavigade longitud L=300cm, simplemente apoyada, <Ie momento <Ie inercia l:ld cma y modulode elasticidad uniforme E=2x1d kg/cm2. Determine:a" la frecuencia del sistema despreciando la masa de la viga.b. la amplitud del movimiento permanente en el centro de Ia viga si el motor tle peso W o¡rra a
una velocidad de 300 rpm y su rotor tiene una excentricidad estimada en un peso P:3 kg a unradio e,=!9 cm del eje de rotación. Suponga que la amortiguación es igual al lOVo de laamortiguación crítica. No considere la masa de la viga.c. el desplazamiento, velocidad y aceleración en el inslante t:2 seg.
d. la amplitud de la fuerza transmitida al cimiento.
9-S-EIERCICIO No-5.Un de¡xísito de agrn esta sometido al movimiento del terrcno producidopor un tren que pasa en la cercanía. El movimiento del terreno es idealizado corno una aceleraciónarmónica dcl cimiento de la torrc con una amplitud dc 0-lga una frecucncia dc 1O cps- Detcrnrincel urovimiento de la torre con relación a su cimiento. Suponga que la amortiguación efectiva es delOTo de la amortiguación crítica del sistema.
W= 5000tlkg
K=4 5 0Ll0L:qicnt
MALDONADO & CHIO
REFERENCIAS
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[2lcLouGH, Ray w.and PENZIEN, Joseph. "Dynamics of structures"' singapore: Mccraw-Hill'
1975.
l3l SARRIA, Alberto. "Ingcniería Sísmica"'Bogotá: Uniandes' 1990'
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Research Institute' 1980'
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Lngin"ering Research Institutc' 1982'
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ITICoDIGoCoLoMBIANoDECONSTRUCCIoNESSISMO-RESISTENTES.1984.
[8] HoUSNER, G. w., JENNINGS, P. C.,,Earthquake design criteria''. Berkeley: Earthquake
Angincering Research Institute' 1980'
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México:Limusa. 1983.
MALDONADO & CHIO
