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Dinamica Dinamica Lavoro di un forza costante
Joule
dyFdxFWB
A
B
A
Y
Y
Y
X
X
X
6032
2
21 WW
x
y
A(0,0)
2 1
P (3,0)
B(3,3)
xF
2
Joule
ssdFWB
A
6)23/3(26
cos232cos21
Se la forza è costante (modulo, direzione e verso),
il lavoro non dipende dal percorso!!!
Dinamica Dinamica
Più in generale, se F costante
F
sd
A
B 1r
2r
B
A
sdFW
)( 12 rrFrFsdFW
B
A
r
Il lavoro dipende solo dal punto di partenza e dal
punto di arrivo ed è indipendente dalla traiettoria
Lavoro di un forza costante
090cos
0cos
PBPB
ABAPAP
mgW
yymgmgW
ABPBAPAB yymgWWW
1
Dinamica Dinamica Il lavoro della forza peso
A
AB
B
A
B
A
rgmsdgmsdFW
)())(( ABAB yymgymgrgmW B mg
1r
2r
r
2
ymgF ˆ
x
y
P
A
B
Dinamica Dinamica Energia potenziale
ABAB mgymgyW
mgyU
UUUW ABAB
Finale Iniziale
Esiste una funzione della posizione del punto materiale P
U(P) = U(x,y,z)
UWAB
Legge della conservazione dell’energia
B
A
B
A
AB sdFsdFW2,1,
02,1,
B
A
B
A
AB sdFsdFW
02,1,
A
B
B
A
AB sdFsdFW
0 sdFWAB
Il lavoro effettuato da una forza conservativa su
un percorso chiuso è nullo
Dinamica Dinamica Forze conservative
L’energia potenziale U(x,y,z) viene sempre definita a meno di
una costante iniziale, che risulta legata alla scelta del sistema
di riferimento e che in ogni caso non va a modificare il calcolo
di U.
WP1P2 U U(P1)U(P2 )
WPoP U U(Po)U(P)
Considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:
P
PoPPo
oo
sdFPUWPUPU
)()()(
Po punto punto dello spazio a cui viene assegnato un valore
arbitrario dell’energia potenziale. La funzione U (P) definito
rispetto alla costante U(P0)
costante
Dinamica Dinamica Forze conservative
Le forze centrali sono conservative
F sempre nella direzione ed in
generale può dipendere da ru
r
B
A
B
A
drrFsdrFW )()( La soluzione di questo
integrale dipende solo da BA rr
,
)(BA
rr UUW
rU Energia potenziale
ru)dr/dU(F
Dinamica Dinamica
Esempio: Energia elastica
Calcoliamo il lavoro svolto per spostare il corpo da xi ad una x generica
22
2
1
2
1kxkxdxkxdxFL
i
x
x
x
x
e
ii
Definisco quindi l’Energia Potenziale Elastica come:
CkxxUe
2
2
1 xUxUUL
eiee
Se scelgo come posizione iniziale l’origine del sistema di riferimento ovvero:
0i
x 0ie
xU 2
2
1kxxU
e
e assumo
Esempio: Energia potenziale gravitazionale
Calcoliamo il lavoro svolto per spostare il corpo da yi ad una y generica
mgymgydymgdyFLi
y
y
y
y
G
ii
Definisco quindi l’Energia Potenziale Gravitazionale come:
CmgyyUG yUyUULGiGG
Se scelgo come posizione iniziale l’origine del sistema di riferimento ovvero:
0i
y 0iG
yU mgyyUG
y
e assumo
Dinamica Dinamica Piano inclinato
La forza spostamento
non produce lavoro
N
ET si conserva !!
Punto di partenza
Punto di arrivo
Punto generico
EK = 0 U=mgho
EK = ½ mVf2
U = 0
EK = ½ mV 2 U = mgh
mgh0 = ½ mVf
2 Vf = 02gh
V = 02gh V = 02ghV = 02gh1t 21 tt 32 tt
Dinamica Dinamica Piano inclinato
Z Zi
Zf
)( if UUL
)(*)( ijij ZZmgmghmghL
Conta solo la differenza di quota !!
01 mghL
02 L Forza peso allo spostamento
mgFest
mg?3 L
oh
mghdzmgL0
03 )(
rdgmLLL
321
Sistema Corpo + Molla
Per l’energia potenziale e la forza vale:
kxFkxU 2
2
1
Con accelerazione
xm
k
dt
xda
2
2
e se definisco
m
k si ha
22
2
1xmU
Potenziale parabolico con concavità verso l’alto
Il MOTO ARMONICO SEMPLICE avviene sempre in presenza di Potenziale Parabolico... e viceversa se (con concavità
verso l’alto) avremo un moto armonico
2xU
Vediamo ora di seguire l’alternanza delle energie in funzione di x anziché di t (cioè in base a “dove” si trova il punto materiale
L’energia potenziale assume valore massimo agli estremi di oscillazione dove
l’energia cinetica è nulla Mentre nel centro di oscillazione
l’Energia potenziale è nulla e l’energia cinetica assume valore massimo
Da )(2
1
2
1 22 costanteEmvkx
ricavo 22
2
1
2
1kxEmvK
)( 22
maxxx
m
kv e
La seconda equazione mi dice che v=0 negli estremi di oscillazione (x= ±xmax), mentre assume valore massimo per x=0
2
2
1kxEK
2
2
1kxU Quindi si ha:
E sono entrambi descritti da parabole
K
Queste considerazioni energetiche discendono dalla forma delle energie e della legge oraria e possono essere estese anche ad
altri casi di MOTO ARMONICO SEMPLICE, come ad esempio il moto del pendolo
U e K sono in “controfase”. La loro somma è sempre
costante. L’energia si alterna tra potenziale (Molla) e
Cinetica (massa in moto )
Conservazione dell’Energia
nel moto Elastico In questo caso le forze sono di tipo conservativo (FORZA ELASTICA).
Dunque l’energia totale E si conserva nel tempo (in ogni
configurazione del sistema)
La legge oraria è:
m
kcontxx Max cos
tkxtkxtU Max
222 cos2
1
2
1
Ora si ha che txdt
dxtv Max sin
Quindi tkxtmxtmvtK MaxMax
222222 sin2
1sin
2
1
2
1
Dunque: 22222
2
1sin
2
1cos
2
1MaxMaxMax kxtkxtkxtKtUE
Conservazione dell’Energia
nel moto del Pendolo
Dinamica Dinamica Il pendolo
gm
T
Forza conservativa
Forza non conservativa,
ma non compie lavoro
ET Si conserva !
U=0
0
0l
Z0=l(1-cos0
Punto più alto
Punto più basso
Punto generico
)cos1(
0
00
mglmgzU
Ek
0
2
1 2
0
U
mvEk
)cos(
2
1 2
mglmgzU
mvEk
(Ek + U) punto generico = (Ek + U) punto più alto
Nel punto più basso, la velocità è massima:
)cos(cos2v 0 gl
)cos1(2v 0 glo
E
0
)cos)(cos2(2
1v
2
10
2 glmmEk
U=mgl(1-cos )
Ek + U = costante
0
2 cos1v2
1cos1 mglmmgl
Dinamica Dinamica Il pendolo
0
Dinamica Dinamica Il giro della morte
Da quale altezza si deve partire
per fare correttamente il giro?
ghvB 2mghmvB 2
2
1
mghmvE BkB 2
2
1
0BU22/1 ckc mvE
gRmUc 2
Dinamica Dinamica Il giro della morte
h
0cv
0N Altrimenti il corpo si stacca!!
Fcentr. = mg+N
mg+N=(mv2C )/R
In C : mg+N= (mv2C )/R Condizione limite: N
diventa nullo in C
mg=(mv2C )/R gRvc
Conservazione dell’energia tra A e C
mgh=1/2 mv2C+2gRm h=5/2R
Dinamica Dinamica Il giro della morte
0cv
Ancora sull’energia potenziale
)()( UdWd
UW
dUsdF
dUdW
dUcosFds dUdsFT
ds/dUFT La componente della forza nella direzione dello spostamento,
si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata
relativa
Dinamica Dinamica
Ancora sull’energia potenziale
In generale U(x,y,z) xX uxUF ˆ)/(
yY uyUF ˆ)/(
zZ uzUF ˆ)/( )/( xU Significa derivare
solo rispetto a X
Dinamica Dinamica
mgudzdUF xX ˆ)/(
mgzU
Ancora sull’energia potenziale
Percorso 1 : W = 0
Percorso 2 : W = mg(h2-h1)
Percorso 3 : W = mg(h2-h1)
Superficie “equipotenziale”
La forza è sempre diretta
perpendicolarmente alla superficie
equipotenziale diretta nel verso in
cui essa decresce.
gm
zz udZdUF ˆ)/(
Dinamica Dinamica
mgzU
Le curve di energia potenziale
Forza elastica
KxdxdUF )/(
Dinamica Dinamica
Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica Generale Prof. G. Iaselli
2
02
1KxU
00 1 FxSe
00 2 FxSe
Le curve di energia potenziale
In generale
Dinamica Dinamica
)/( dxdUF
MinMaxUdxdUSe /0/
Curve dell’energia potenziale
x
U(x)
Emec
K=Emec-U
A
Regione
proibita
(K<0)
Equilibrio stabile
(U minima)
B D
C
Equilibrio instabile
(U massima)
E
Equilibrio indifferente
(U costante)
Forze Conservative, Sistema Isolato
costante KU 0 KU
Forze Conservative + Dissipative, Sistema Isolato
0Int
EKU
Ad Es. Riscaldamento per frizione
[Se consideriamo come sistema: il blocco più il piano
inclinato, che si scaldano durante il processo]
Sistema non Isolato
A) Agiscono Forze dall’esterno sul sistema (Lavoro fatto sul sistema)
B) Il sistema agisce sull’ambiente con una Forza (Lavoro fatto dal Sistema)
extInt
LEKU
Ad Es. dFEKUextInt
Fext
Se agiscono anche forze non conservative:
kEW
UWc cnc WWW
nck WUE L’energia meccanica non resta costante e la sua variazione
è pari al lavoro delle forze non conservative.
Dinamica Dinamica
33
forze non conservative?
è sempre valida
FaTinTfin WEE
Sistema non Isolato, con attrito dinamico
Nfkk
mgddFLLEkAttrF
Valgono le seguenti formule:
Se cambio la definizione di sistema si ha:
dFEKUInt
Con: mgdEkInt
E quindi ExtInt
LEE )(
Più in generale si ha:
...)( ElettrMagnChimIntExt
EEEEL
In un sistema ISOLATO l’Energia (in senso “ampio”) si conserva
Un esempio
)sin/(cos hmgW dFa
)sin/(cos2/1 2 hmgmghmv df
)/1(2 tgghv df
Senza attrito sarebbe ghv f 2
Dinamica Dinamica
?
0
f
i
v
v
02/1
0
2
ffkfin
ikin
UmvE
mghUE
FaTinTfin WEE