Dinamica(2014).pdf

Prof. Dr. Emilio M. Becerra C.

Dinámica

[email protected]

Física General

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Física General Dinámica

2 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

El legado de Newton

Experimentación

Tycho Brahe (1546-1601)

Johanes Kepler (1571-1630)

Galileu Galilei (1564-1642)

El legado de Newton es posiblemente la creación mas importante

y bien sucedida de la historia del pensamiento humano

100 años

Isaac Newton

(1642-1727)

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Física General Dinámica


Fuerza y movimiento

La Dinámica es la rama de la mecánica que se ocupa de estudiar el

movimiento de los cuerpos y las propiedades del mismo en relación con las

causas (fuerzas) que lo producen.

La dinámica se basa en las leyes naturales que rigen el movimiento de una

partícula bajo la acción de una fuerza dada.

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Concepto de Fuerza

La fuerza es una cantidad física vectorial, la cual resulta de la interacción entre

dos cuerpos y como consecuencia de ello podemos observar el estado de

movimiento o reposo de los mismos.

Dinámica

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Cuatro tipos de fuerzas comunes

Fuerza normal 𝑛.

Cuando un objeto descansa o se empuja sobre una superficie, ésta ejerce un

empujón sobre el objeto que es perpendicular a la superficie.

Fuerza de fricción 𝑓 𝑟.

Además de la fuerza normal, una superficie puede ejercer una fuerza de fricción

sobre un objeto, la cual es paralela a la superficie.

Dinámica

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Fuerza de tensión 𝑇.

Una fuerza de tirón ejercida sobre un objeto por una cuerda, un cordón, etc.

Cuatro tipos de fuerzas comunes

Peso 𝑤.

El tirón de la gravedad sobre un objeto es una fuerza de largo alcance (una fuerza

que actúa en una distancia).

Dinámica

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Las leyes de Newton del movimiento

Primera ley de Newton y marco inerciales

Hemos visto algunas propiedades de las fuerzas, pero no hemos dicho cómo

afectan al movimiento.

¿Qué sucederá si la fuerza neta es cero y actúa sobre un cuerpo en movimiento?

Dinámica

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Primera ley de Newton


Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad

constante (que puede ser cero) y aceleración cero.

Un marco de referencia inercial es aquel que se mueve a velocidad

constante o permanece en reposo.

Otro enunciado de la Primera ley de Newton

En ausencia de fuerzas externas, y cuando se ve desde un marco de referencia

inercial, un objeto en reposo se mantiene en reposo y un objeto en movimiento

continúa en movimiento con velocidad constante (esto es, con rapidez constante

en una línea recta).

Dinámica

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La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez iniciado su movimiento o

la tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo es el resultado de

una propiedad llamada inercia.

Lo que importa en la primera ley de Newton es la fuerza neta.

Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante (en línea

recta con rapidez constante), decimos que el cuerpo está en equilibrio. Para que

esté en equilibrio, sobre un cuerpo no deben actuar fuerzas, o deben actuar

varias fuerzas cuya resultante – es decir , la fuerza neta – sea cero.


𝐹 = 0 (cuerpo en equilibrio)

Dinámica

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1. Una caja con muestras de rocas de 100 kg, es empujada hacia arriba a

velocidad constante sobre un tablón, para subirlo a la caja de un camión. El tablón

tiene 30° con respecto a la horizontal. a)¿qué fuerza horizontal F es requerida?.

b) ¿cuánto vale la fuerza ejercida por el tablón sobre la caja?.

Ejercicios de Aplicación

Dinámica

30°

F

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2. Un gimnasta de 55 kg de masa está suspendido de manera vertical de un par

de cuerdas de argollas paralelas (figura a).

a) Si las cuerdas que soportan las argollas son verticales y están fijas al techo

que están directamente arriba, ¿cuál es la tensión en cada cuerda?.(figura b)

b) Si las cuerdas están fijas de modo que formen un ángulo de 45° con el techo,

¿cuál es la tensión en cada cuerda. (figura c)


Dinámica

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Masa y Fuerza


Dinámica

Nuestros resultados indican que para un cuerpo dado, el cociente de la magnitud

𝐹 de la fuerza neta entre la magnitud 𝑎 = 𝑎 de la aceleración es constante,

sin importar la magnitud de la fuerza neta.

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Masa y Fuerza

Llamamos a este cociente masa inercial, o simplemente masa, del cuerpo y la

denotamos con 𝑚. Es decir,


Dinámica

𝑚 = 𝐹

𝑎 o 𝐹 = 𝑚𝑎 o 𝑎 =

𝐹

𝑚

La masa es una medida cuantitativa de la inercia. La unidad de masa en el S.I es

el kilogramo.

Un Newton es la cantidad de fuerza neta que proporciona una aceleración de

1 metro por segundo al cuadrado a un cuerpo de 1 kilogramo.

𝟏 N = 1 kg. m/𝒔𝟐

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Enunciado de la segunda ley de Newton

En símbolos


Dinámica

Segunda ley del movimiento de Newton: Si una fuerza externa neta actúa sobre

un cuerpo, éste se acelera. La dirección de la aceleración es la misma que la

dirección de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo

multiplicada por su aceleración.

𝐹 = 𝑚𝑎 (segunda ley del movimiento de Newton)

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Uso de la segunda ley de Newton

Hay al menos cuatro aspectos de la segunda ley de Newton que merecen

atención especial.

1. La ecuación que define la segunda ley de Newton, es una ecuación vectorial.

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

2. El enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a fuerzas externas, es

decir , fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su entorno.

3. Las ecuaciones anteriores son válidas si la masa 𝑚 es constante.

4. Por último, la segunda ley de Newton sólo es válida en marcos de referencia

inerciales, al igual que la primera ley.


Dinámica

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Tercera ley de Newton

Una fuerza que actúa sobre un cuerpo siempre es el resultado de su interacción

con otro cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen en pares.

Los experimentos muestran que, al interactuar dos cuerpos, las fuerzas que

ejercen mutuamente son iguales en magnitud y opuestas en dirección.


Dinámica

Tercera ley del movimiento de Newton: si el cuerpo A

ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una “acción”),

entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una “reacción”).

Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección

opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos. 𝐹 𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 = −𝐹 𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴

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1. Para el siguiente sistema mecánico, calcular la aceleración de las masas y la

tensión de la cuerda.


Dinámica

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2. En el sistema mostrado el dinamómetro D de masa insignificante registra una

fuerza de 20 N. Determine las masas m y M (en Kg). Considere g= 10 m/s2


Dinámica

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3. Un joven de 75 Kg se arroja desde un precipicio con paracaídas de 5 Kg

accionándolo 10 segundos después. Si después de 10 s de desaceleración

empieza a moverse con rapidez constante de 1 m/s. Determine la fuerza que

actúan sobre el paracaídas:

a) Durante la desaceleración.

b) Cuando empieza a moverse con rapidez constante. Considere g=10 m/s2


Dinámica

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4. El carrito se mueve con una aceleración 𝑎 = 4𝑔 y el dinamómetro marca una

lectura de 4𝑚𝑔. Hallar el ángulo “𝜃”.


Dinámica

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Aplicaciones de las leyes de Newton

que implican fricción

Hasta ahora hemos ignorado la fricción; sin embargo, debe tomarse en cuenta en

la mayoría de los casos prácticos.

La fuerza de rozamiento, se define como la fuerza tangencial que actúa en la

superficie de contacto entre dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de

uno de ellos con respecto al otro.

La fuerza de fricción cinética 𝑓 𝑘

Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. En

muchos casos prácticos, la magnitud de la fuerza de fricción cinética 𝑓𝑘 experimental

es aproximadamente proporcional a la magnitud N de la fuerza normal.

Dinámica

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 (magnitud de la fuerza de fricción cinética)

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La fuerza de fricción estática 𝑓 𝑠

La fuerza de fricción también puede actuar cuando no hay movimiento relativo. La

fuerza de fricción estática entre superficies en contacto actúa en la dirección que

se opone al inició de un movimiento relativo entre las superficies.. La magnitud

tiene diferentes valores, tales que

La fuerza de fricción estática mayor, o máxima, se ejerce antes de que el cuerpo

comience a deslizarse y, en tal caso, la ecuación anterior da el valor máximo de

fricción estática.

Dinámica

𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑠𝑁 (condiciones estáticas)

𝑓𝑠 = 𝜇𝑠𝑁

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Dinámica

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1. El plano inclinado mostrado en la figura tiene una aceleración “a” hacia la

derecha. Si el coeficiente de fricción estático entre el plano y el bloque es ,

encontrar la condición para que el bloque resbale. (g= 10 m/s2).


Dinámica

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2. Un esquiador de 60 kg de masa, desciende por una pendiente de 37o sin

impulsar con los bastones. El coeficiente de fricción entre el esquí y la nieve es de

0,5. Existe una fuerza de resistencia del aire paralela a la pendiente y es de la

forma 𝐹 = 1,6 𝑣2 , donde 𝑣 es la velocidad máxima que obtiene durante su

movimiento. Calcule “𝑣”. (g= 10 m/s2).


Dinámica

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Dinámica

3. Los bloques m1 y m2 de 20 y 60 kg respectivamente, están unidos por una

cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. El

coeficiente de rozamiento cinético entre las masas y la superficie es de 0,3.

Determinar la velocidad del sistema 4 segundos después de partir del reposo

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Dinámica

4. Un bloque de masa m1 =30 kg está apoyada sobre un plano inclinado que

forma un ángulo de 30º con la horizontal, este bloque está unido mediante un

hilo inextensible sin masa, que pasa por una polea sin fricción (masa

despreciable), a un segundo bloque de masa, m2 =50 kg que cuelga

verticalmente. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y el plano es

µc =0.4, calcular:

a) La aceleración de cada bloque.

b) La tensión en la cuerda que vincula ambos bloques

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Dinámica del movimiento circular Dinámica

En el movimiento circular uniforme mostramos que, cuando una partícula

se mueve en un círculo con rapidez constante, su aceleración siempre es hacia el

centro del círculo (perpendicular a la velocidad instantánea). La magnitud de la

aceleración es constante y está dada en términos de la rapidez y el radio del

círculo por:

También podemos expresar la aceleración centrípeta 𝑎𝑟𝑎𝑑 en términos del

periodo T, el tiempo que tarda una revolución: 𝑇 =2𝜋𝑅

𝑣.

En términos del periodo, la aceleración centrípeta es:

𝑎𝑟𝑎𝑑 =𝑣2

𝑅

𝑎𝑟𝑎𝑑 =4𝜋2𝑅

𝑇2

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Dinámica del movimiento circular

Dinámica

El movimiento circular uniforme, como

todos los movimientos de una partícula, se rigen

por la segunda ley de Newton. Para hacer que la

partícula acelere hacia el centro del círculo, la

fuerza neta 𝐹 sobre la partícula debe ser dirigida

siempre hacia el centro. La magnitud de la

aceleración es constante, así que la magnitud 𝐹𝑛𝑒𝑡

de la fuerza neta también debe ser constante.

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Dinámica del movimiento circular

Dinámica

La magnitud de la aceleración radial está

dada por: 𝑎𝑟𝑎𝑑 =𝑣2

𝑅, así que la magnitud 𝐹𝑛𝑒𝑡 de la

fuerza neta sobre una partícula de masa 𝑚, en

movimiento circular uniforme, debe ser

𝐹𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑎𝑟𝑎𝑑 = 𝑚𝑣2

𝑅 (movimiento circular uniforme)

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Dinámica

1. En el extremo de un plano inclinado (ángulo 𝛼) descansa un cuerpo. El plano

gira uniformemente alrededor de un eje vertical con una velocidad angular 𝜔.

La distancia del cuerpo al eje de giro del plano es igual a “R”. Encontrar el

valor mínimo del coeficiente 𝜇, para que el cuerpo se mantenga sobre el

plano inclinado que gira.

𝛼

R

𝜔

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Dinámica

2. Se tiene una barra doblada en “L” (b=0,57 m) en su extremo hay una cuerda de

longitud “𝑙" = 0,83 𝑚 y está unida a una masita m = 4,74 kg y 𝜃 = 50°. Calcular:

La velocidad angular con que debe girar el eje de la barra; y la tensión de la

cuerda.

a) Si la tensión máxima que puede soportar la cuerda es de 98 N; encontrar el

ángulo “𝛼” que se inclinara la cuerda.

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Dinámica

3. El sistema de la figura gira con velocidad angular constante alrededor del eje

vertical. Si la rapidez del bloque A es de 2 m/s, halle la tensión de la cuerda,

𝑚𝐴 = 0,5 𝑘𝑔 (longitud de la cuerda 5 m)

.

53°

A

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Dinámica

4. Una esfera pequeña de masa “m” se desliza en una trayectoria circular en el

interior de una superficie cónica y la generatriz del cono forma un ángulo de 30°

con la vertical. Suponga que no hay fricción entre la superficie y la esfera, y que

ésta se desliza con 5 rad/s de velocidad angular. ¿ A que altura vertical sobre el

vértice del cono se desliza el bloque?

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Dinámica

5. Un collarín gira a rapidez angular constante. Determine cuánto es la

deformación máxima del resorte de 20 cm de longitud natural si ocurre cuando su

rapidez angular es de 5 2 red/s y el collarín está a punto de deslizar. g= 10 m/s2

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Hasta ahora hemos estudiado el movimiento traslacional de un objeto en términos

de las tres leyes de Newton del movimiento. En ese análisis, la fuerza ha jugado un papel

fundamental como la cantidad que determina el movimiento. En esta parte del curso,

veremos un análisis alternativo del movimiento traslacional, el nuevo método que vamos a

presentar usa las ideas de trabajo y energía. Estas dos cantidades son escalares, por

consiguiente, no tienen una dirección asociada a ellas, lo cual las hace más fácil de tratar

que las cantidades vectoriales como la aceleración y fuerza. La importancia del concepto

de energía surge del principio de conservación de la energía. La energía es una cantidad

que se puede convertir de una forma a otra, pero no puede crearse ni destruirse. Las leyes

de conservación de la energía son especialmente valiosas al tratar con sistemas de

muchos objetos, donde una consideración detallada de las fuerzas implícitas sería difícil o

imposible. Estas leyes son aplicables a una amplia gama de fenómenos, incluyendo los

mundos atómicos y subatómicos, donde no son aplicables las leyes de Newton.

Trabajo y Energía Trabajo y Energía

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La palabra trabajo tiene diversos significados en el leguaje cotidiano:

vamos al trabajo, trabajamos en proyectos, trabajamos en nuestros escritorios o

con computadoras, trabajamos en problemas. Sin embargo en física trabajo tiene

un significado muy específico. Mecánicamente, el trabajo implica fuerza y

desplazamiento, y usamos la palabra trabajo para describir cuantitativamente lo

que se logra cuando una fuerza mueve un objeto cierta distancia. En el caso más

sencillo de una fuerza constante que actúa sobre un objeto, el trabajo se define

como sigue:

Trabajo realizado por una fuerza constante

Trabajo y Energía

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El trabajo efectuado por una fuerza constante que actúa sobre un objeto

es igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y el componente de la

fuerza paralelo a ese desplazamiento.

Podría aplicarse, una fuerza, como el de la figura, pero si no hay movimiento (no

hay desplazamiento), no se efectúa trabajo.


Trabajo y Energía

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Para una fuerza constante 𝐹 que actúa en la misma dirección que el

desplazamiento 𝑑 (figura b), el trabajo 𝑊 se define como el producto de sus

magnitudes:


𝑊 = 𝐹𝑑

El trabajo tiene la unidad S.I de newton-metro (N.m).

Esta unidad recibe el nombre de joule (J):

𝑁.𝑚 = 𝐽

Trabajo y Energía

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En general lo único que efectúa trabajo es una fuerza, o componente de fuerza,

paralela a la línea de movimiento o desplazamiento del objeto (figura c). Es decir,

si la fuerza actúa con ángulo 𝜃 con respecto al desplazamiento del objeto,

𝐹∥ = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 será la componente de la fuerza paralelo al desplazamiento. Por lo

tanto la ecuación más general para el trabajo efectuado por una fuerza constante

es:


𝑊 = 𝐹∥𝑑 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑

trabajo realizado por una fuerza constante

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑

Trabajo y Energía

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Ejemplo:

Esteban ejerce una fuerza constante de 210 N (aproximadamente 47 libras) sobre el

automóvil averiado (ver figura), mientras lo empuja una distancia de 18 m. Además, un

neumático se desinfló, así que, para lograr que el auto avance al frente, Esteban debe

empujarlo con un ángulo de 30° con respecto a la dirección del movimiento. ¿ Cuánto

trabajo efectúa Esteban? (b) Con ánimo de ayudar, Esteban empuja un segundo

automóvil averiado con una fuerza constante 𝐹 = 160 𝑁 𝑖 − 40 𝑁 𝑗 . El desplazamiento

del automóvil es 𝑑 = 14 𝑚 𝑖 + 11 𝑚 𝑗 . ¿cuánto trabajo efectúa Esteban en este caso ?

Respuesta:

(a) 3.3 × 103 𝐽

(b)1.8 × 103 J

Trabajo y Energía

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Trabajo: Positivo, negativo o cero

Recordemos que el trabajo es una cantidad escalar y, como tal, puede tener un

valor positivo negativo o cero. Ésta es la diferencia esencial entre la definición de

trabajo y la definición “cotidiana” del mismo.

Trabajo y Energía

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El trabajo gráficamente

Suponga una fuerza constante 𝐹 en la dirección 𝑥 actúa sobre un objeto mientras

éste se mueve una distancia 𝑥.

Trabajo consumido por una fuerza variable

W = lim∆𝑥→0

𝐹𝑥∆𝑥 = 𝐹𝑥𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

= á𝑟𝑒𝑎

𝑥𝑓

𝑥𝑖

Trabajo y Energía

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Potencia

La potencia es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene como el cociente entre

el trabajo realizado por una fuerza y el intervalo de tiempo empleado. Esta

magnitud nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo.

Este término esta asociado con máquinas, una máquina es más potente que otra,

si hace el mismo trabajo en menos tiempo o más trabajo en el mismo tiempo.

𝑃 =∆𝑊

∆𝑡=𝐹∆𝑑

∆𝑡= 𝐹𝑣

Unidades:

1 𝑤𝑎𝑡𝑡 = 𝐽

𝑠

Trabajo y Energía

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Eficiencia

Es el grado de aprovechamiento de la energía en una máquina. Toda máquina se

usa para realizar trabajo, esta máquina se alimenta y también pierde energía en

forma de calor. Por lo tanto tenemos:

𝑃𝑠= potencia suministrada o consumida por la máquina.

𝑃𝑢 = Potencia útil o potencia desarrollada por la máquina.

𝑃𝑝 = potencia perdida o disipada por la máquina.

𝜂 =𝑃𝑢𝑃𝑠

Trabajo y Energía

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Ejercicio

1. Un estudiante sostiene su libro de psicología, que

tiene una masa de 1.5 kg, afuera de una ventana del

segundo piso de su dormitorio hasta que su brazo se

cansa; entonces lo suelta (ver figura)

(a)¿ Cuánto trabajo efectúa el estudiante sobre el libro

por el simple hecho de sostenerlo fuera de la ventana?

(b) ¿Cuanto trabajo efectúa la fuerza de gravedad

durante el tiempo en el que el libro cae 3.0 m?

Trabajo y Energía

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Física General


Ejercicio

2. Un disco de 2 kg se suelta sobre un plano inclinado rugoso (𝜇𝑘 = 0.4) que

hace 37° con la horizontal. Encuentre el trabajo total sobre el disco cada vez

que el disco se desplace en 10 m.

Trabajo y Energía

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Ejercicio

3. Un tejo de Hockey de 0.20 kg y se suelta sobre un plano inclinado rugoso

(𝜇𝑘 = 0,5 ) observándose que el tejo desciende aceleradamente. Halle el

trabajo por efecto de la fricción en 4 s de descenso por el plano cuya

inclinación es de 37°. Usar g= 10 m/s2.

Trabajo y Energía

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Energía cinética y el teorema

de trabajo-energía

El trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el

desplazamiento de éste (los cambios en su posición ), pero también está

relacionado con los cambios en la rapidez.

Trabajo y Energía

𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝐹𝑑 =1

2𝑚𝑣22 −1

2𝑚𝑣21

Definición de energía cinética

𝐾 =1

2𝑚𝑣2

El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de la energía

cinética de la partícula.

𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝐾2 − 𝐾1 = ∆𝐾 (teorema de trabajo−energía)

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Física General


Ejercicio

Una jugadora (ver figura) empuja un disco de 0.25 kg que inicialmente está en

reposo, de manera que una fuerza horizontal constante de 6.0 N actúa sobre él

durante una distancia de 0.50 m. (Despreciaremos la fricción).

a) ¿Qué energía cinética y rapidez tiene el disco cuando se deja de aplicar la

fuerza?

b) ¿Cuánto trabajo se requeriría para detener el disco?

Trabajo y Energía

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Energía potencial gravitacional

Trabajo y Energía

Un objeto en movimiento tiene energía cinética.

Sin embargo, sea que un objeto esté o no en

movimiento, podría tener otra forma de energía:

energía potencial. Como su nombre sugiere, un

objeto con energía potencial tiene potencial

para efectuar trabajo.

La energía potencia es la energía asociada a la

posición de un sistema respecto a un nivel de

referencia, no a su movimiento.

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Energía potencial gravitacional

Trabajo y Energía

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝐹𝑑 = 𝑚𝑔 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑚𝑔𝑦1 −𝑚𝑔𝑦2 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑚𝑔𝑦

(energía potencial gravitacional)

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2 = − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2 − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣

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Física General


Conservación de la energía mecánica

Trabajo y Energía

Las leyes de conservación son las piedras angulares de la física, tanto en la teoría

como en la práctica. La mayoría de los científicos probablemente diría que la

conservación de la energía es la ley más importante y la que tiene mayor alcance de

las leyes. Cuando decimos que una cantidad física se conserva, queremos decir

que es constante, o que tiene un valor constante. Dado que tantas cosas cambian

continuamente en los procesos físicos, las cantidades que se conservan son

extremadamente útiles para entender y describir el universo.

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Física General



(sólo fuerzas gravitacionales)

Trabajo y Energía

Vamos a suponer que el peso del cuerpo es la única fuerza que actúa sobre el

sistema mostrado en la figura, es decir: 𝐹 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 = 0. Entonces, el cuerpo cae

libremente sin resistencia del aire.

Teorema de trabajo−e𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎

Si la gravedad es la única fuerza que actúa,

𝑊𝑡𝑜𝑡 = ∆𝐾 = 𝐾2 − 𝐾1

𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 − 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2

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(sólo fuerzas gravitacionales)

Trabajo y Energía

Que podemos reescribir como

1

2𝑚𝑣12 +𝑚𝑔𝑦1 =

1

2𝑚𝑣22 +𝑚𝑔𝑦2 (si sólo la gravedad realiza trabajo)

Definimos la energía mecánica total del sistema .

𝐸 = 𝐾 + 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conserva. Si

sólo la fuerza de gravedad efectúa trabajo, la energía mecánica total es constante, es

decir se conserva.

𝐸 = 𝐾 + 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣

Por “sistema ” nos referimos al cuerpo de masa 𝑚 y la tierra considerados juntos,

por que la energía potencial es una propiedad compartida de ambos cuerpos.

3

Física General


Cuando realizan trabajo otras fuerzas

distintas de la gravedad

Trabajo y Energía

Si otras fuerzas actúan sobre el cuerpo además de su peso, entonces 𝐹 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 ≠ 0

𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 +𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = 𝐾2 − 𝐾1

El trabajo total realizado por todas las fuerzas es:

Además, tenemos que:

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑞𝑣 = 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 − 𝑈𝑔𝑟𝑞𝑣,2

De estas dos ecuaciones tenemos:

𝑊𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 = (𝐾2+𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,2) − 𝐾1 + 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣,1 = ∆𝐸𝑀

El significado de la ecuación anterior, es que el trabajo realizado por todas las fuerzas distintas de la fuerza gravitacional es igual al cambio en la energía mecánica total del sistema.

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Física General


Energía potencial gravitacional para movimiento

en una trayectoria curva

Trabajo y Energía

¿Qué sucede si la trayectoria es inclinada o curva?.

Para calcular el trabajo efectuado por la fuerza

gravitacional durante este desplazamiento, dividimos la

trayectoria en segmentos pequeños ∆𝑑

En términos de vectores unitarios tenemos :

𝑤 = 𝑚𝑔𝑗

∆𝑑 = ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗

Fuerza gravitacional:

el vector desplazamiento ∶

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Energía potencial gravitacional para movimiento

en una trayectoria curva

Trabajo y Energía

El trabajo efectuado por la fuerza gravitacional es

𝑤 ∙ ∆𝑑 = −𝑚𝑔𝑗 ∙ ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗 = −𝑚𝑔∆𝑦

El trabajo efectuado por la gravedad es el mismo que si el cuerpo se hubiera

desplazado verticalmente una distancia ∆𝑦, sin desplazamiento horizontal.

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −𝑚𝑔 𝑦2 − 𝑦1 = −∆𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣

Este resultado es igual al mostrado anteriormente, donde se supuso una trayectoria

completamente vertical. Así que, aun si la trayectoria de un cuerpo entre dos puntos

es curva, el trabajo efectuado por la gravedad depende sólo de la diferencia de

altura entre esos dos puntos.

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Energía potencial elástica

Trabajo y Energía

Consideremos la energía potencial asociada con materiales elásticos.

𝑊𝑒𝑙 =1

2𝑘𝑥12 −1

2𝑘𝑥22

Trabajo efectuado por un resorte

Trabajo por la fuerza elástica

𝑈𝑒𝑙 =1

2𝑘𝑥2

𝑊𝑒𝑙 = −∆𝑈𝑒𝑙

Energía potencial elástica:

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Fuerzas conservativas y no conservativas

Trabajo y Energía

Es importante que clasifiquemos las fuerzas en dos tipos: Conservativas y no

conservativas.

Fuerzas conservativas: Decimos que una fuerza que ofrece oportunidad de

conversión bidireccional entre las energías cinética y potencias es una fuerza

conservativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene estas

propiedades:

1. Puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función

de energía potencial.

2. Es reversible.

3. Es independiente de la trayectoria seguida por el cuerpo y depende sólo de los

puntos inicial y final.

4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.

3

Física General


Fuerzas conservativas y no conservativas

Trabajo y Energía

Muchas fuerzas como la fricción, el empuje o el jalón por una persona, son

fuerzas no conservativas por que el trabajo que realizan depende de la

trayectoria.

El trabajo realizado por una fuerzas no conservativas no puede

representarse con una función de energía potencial.

Las fuerzas no conservativas que actúan dentro de un sistema causan un

cambio en la energía mecánica total del sistema.

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Física General


Trabajo y Energía


Bloques conectados en movimiento. En la figura se muestran dos bloques

conectados entre sí por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin

fricción.

El bloque de masa m1 descansa sobre una superficie horizontal y está conectado

a un resorte de constante de fuerza k. El sistema se libera desde el reposo

cuando el resorte no está deformado. Si m2 cae una distancia h antes de quedar

en reposo, calcule el coeficiente de fricción cinética entre m1 y la superficie.

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Física General


Trabajo y Energía


Una esfera es soltada desde el punto “A”. ¿Cuál debe ser el valor de “H” para

que cuando la esfera pase por el punto “B”, la reacción normal tenga el mismo

valor que el peso de la esfera? (R = 2m).

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Física General


Trabajo y Energía


Un niño se deja caer desde el punto “A” a través de la esfera. ¿Cuánto vale el

ángulo “𝜃 ”, sabiendo que el niño se desprende en el punto “B”, no hay

rozamiento

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Trabajo y Energía


Un bloque de 200 g se presiona contra un resorte con 1.40 k N/m de constante

de fuerza hasta que el bloque comprime el resorte 10.0 cm. El resorte descansa

en la parte baja de una rampa inclinada 60 ° con la horizontal. Mediante

consideraciones de energía, determine cuánto se mueve el bloque (distancia)

hacia arriba del plano inclinado antes de detenerse a) si la rampa no ejerce

fuerza de fricción en el bloque y b) si el coeficiente de fricción cinética es de 0.4.

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Física General


Trabajo y Energía


Se suelta una pequeña esfera en el punto “A”. En el punto “O” existe un clavo.

¿Cuánto debe valer el ángulo para que cuando pase por el punto “B”; la

tensión en la cuerda sea cero?

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Una teja de 10N de peso se libera sobre una concavidad lisa, al descender incide

y comprime el muelle (K=260 N/m) sobre el piso rugoso (𝜇𝑘 = 0.2), si el radio de

la concavidad es 0.15 m, halle la máxima deformación del muelle.

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Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

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Ejercicios de Repaso

Un profesor de física hacia acrobacias audaces en

su tiempo libre. Su ultima acrobacia fue un intento

por saltar un rio en motocicleta (figura 3.51). La

rampa de despegue esta inclinada a 53.08, el rio

tiene 40.0 m de ancho y la ribera lejana esta a

15.0 m bajo el tope de la rampa. El rio esta a 100

m abajo de la rampa. Puede despreciarse la

resistencia del aire. a) .Que rapidez se necesita

en el tope de la rampa para alcanzar apenas el

borde de la ribera lejana? b) Si su rapidez era solo

la mitad del valor obtenido en a), .donde cayo?

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Se lanza una pequeña piedra con una velocidad

de 10 m/s en la forma mostrada en la figura. Si la

piedra se introduce en un tubo que se orienta 45°

respecto a la vertical, de modo que el movimiento

de la piedra coincide con el eje del tubo, se pide

calcular los valores de x e y en el instante que la

piedra penetra en el tubo

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Hállese la máxima velocidad angular alrededor del poste vertical, de modo que el

collarín no se desprenda del brazo rugoso. El coeficiente de rozamiento estático

entre el collar y el brazo es de 0,5 . (g=10 m/s2).

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Si la partícula se soltara en la posición mostrada ésta resbalaría, por ello es

necesario que la concavidad rugosa gire en torno al eje vertical, ¿cuál debe ser

la mínima velocidad angular de la concavidad de modo que la partícula no

resbale sobre la concavidad?

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En el instante que se muestra en la figura el pequeño bloque posee una

aceleración centrípeta de módulo 12 m/s2 . Determine el módulo de la fuerza de

rozamiento que actúa sobre el bloque. Datos:𝑚 = 100 𝑔; 𝜇𝑘= 0,2; g=10 m/s2

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En la figura la esfera de 0,2 kg gira con rapidez angular constante.

Determinar la deformación en el resorte de constante K = 200 N/m. Despreciar

rozamiento. (g = 10 m/s2 )

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Hallar la mínima velocidad angular con la cual puede girar el sistema sin que el

bloque “m” resbale.

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Dinamica(2014).pdf