-
11 VIBRACIJE KONTINUIRANIH SUSTAVA11 VIBRACIJE KONTINUIRANIH
SUSTAVA
Sustavi s distribuiranom (raspodjeljenom) masom i krutosti;
Beskonano mnogo stupnjeva slobode; Jednadbe matematikog modela su
parcijalne diferencijalne
jednadbe; Pretpostavke rjeenja:
materijal je homogen, elastian i Hookeov, materijal je
izotropan;
Analitiko zatvoreno rjeenje mogue je samo za relativno
jednostavne kontinuirane sustave s jasno definiranim rubnim
uvjetima.
-
11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE 11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE
JEDNOLIKIH GREDAJEDNOLIKIH GREDA
Bernoulli Eulerova greda
- zanemarimo inercijska svojstva pri rotaciji:
x
MVdxx
MVdx
M O
=
==
0
2
2
2
2
2
2
. ,0
t
yAdxdxx
Mt
yAdxdxx
V
zakonNewtonovIIuzFy
=
=
=
-
11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE 11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE
JEDNOLIKIH GREDAJEDNOLIKIH GREDA
Bernoulli Eulerova greda
AEI
cjegdjet
ycx
yt
yAx
yEI
t
yAx
yEIx
x
yEIM
==
=+
=
=
,
1
0
2
2
24
4
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
-
11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE 11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE
JEDNOLIKIH GREDAJEDNOLIKIH GREDA
Metoda separacije varijabli: y(x,t) = f(x) g(t)
Da bi dvije nezavisne funkcije bile jednake, one moraju biti
jednake do na konstantu. Pretpostavimo da je odabrana konstanta:
-n2
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )2
2
4
42
2
2
2
2
4
4
4
4
1
,
dttgd
tgdxxfd
xfc
xfdt
tgdt
ytg
dxxfd
x
y
==
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 0
1 0
2
2
4
4
22
2
=
=+
xfcdx
xfdtg
dttgd
n
n
-
11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE 11.1 SLOBODNE POPRENE VIBRACIJE
JEDNOLIKIH GREDAJEDNOLIKIH GREDA
Rjeenja su prethodnih jednadbi:
Ukupno je rjeenje
Konstante se odreuju iz rubnih i poetnih uvjeta.
( ) ( )( ) ( )
2
24
4321
cossincoshsinh 2cossin 1
cjegdje
xCxCxCxCxftBtAtg
n=+++=
+=
( ) ( )( xCxCxCxCtBtAtxy ++++= cossincoshsinhcossin, 4321 )
-
11.2 UZDUNE VIBRACIJE JEDNOLIKOG 11.2 UZDUNE VIBRACIJE
JEDNOLIKOG TAPATAPA
2
2
2
2
)(
x
uEAx
F
Hookex
uEAF
t
uAdxFdxx
FF
xmFx
=
=
=
+= &&
Jednadba vala:
. ,
1 2
2
22
2
2
2
2
2
brzinavalnaEcjegdjet
u
cx
u
x
uEt
u
==
=
-
11.2 UZDUNE VIBRACIJE JEDNOLIKOG 11.2 UZDUNE VIBRACIJE
JEDNOLIKOG TAPATAPA
Metoda separacije varijabli: u(x,t) = f(x) g(t)
Nakon separacije varijabli, parcijalne derivacije vie nisu
potrebne; Jedino je mogue rjeenje da su obje funkcije konstante;
Odaberimo da je to konstanta oblika -( /c) :
( ) ( )( ) ( )tg
x
xfx
u
xft
tgt
u
2
2
2
2
2
2
2
2
=
= ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )2
2
22
2
2
2
22
2
111
1
t
tgtgcx
xfxf
xft
tgc
tgx
xf
=
=
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
11
1
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+=
+
=
=
tgdt
tgdixfcdx
xfdcdt
tgdtgc
icdx
xfdxf
-
11.2 UZDUNE VIBRACIJE JEDNOLIKOG 11.2 UZDUNE VIBRACIJE
JEDNOLIKOG TAPATAPA
Rjeenja su prethodnih diferencijalnih jednadbi
Ukupno je rjeenje
za proizvoljne konstante odreene iz poetnih i rubnih uvjeta.
( )( ) tBtAtg
xc
Cxc
Cxf+=
+=cossin
cossin 21
( ) ( )tBtAxc
Cxc
Ctxu +
+= cossincossin, 21
-
12 ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE 12 ENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIKRUNIH FREKVENCI
Rayleigheva metodaRayleigheva metoda
Temelji se na zakona ouvanja energije: Vmax = Tmax.
Rayleighev kvocijent za pretpostavljenu funkciju y
( )
==
=
==
=
ll
l
dxyIEdxyyIEV
dxydxdxdy
dxddyEIM
MdV
0
2
0max
0max
21
21
,
21
==
=ll
l
dxydxyT
dmyT
02
2
022
max
02
max
2
2121
( ) = ll dxyIEdxy 0 20 22
21
2
( )
= ll
dxy
dxyIE
02
0
2
2
-
12 ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE 12 ENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIKRUNIH FREKVENCI
Rayleigheva metodaRayleigheva metoda
Metoda je pogodna kod kontinuiranih sustava s promjenjivim
poprenim presjekom :
0 a b cl d e
I II
m mm
1,2,
3,
12
3
( ) ( ) ( ) ( )
++
++++=
a e
d
e
d
b
a
c
b
a
dxydxy
dxyIdxyIdxyIdxyIE
02
12
1
21
23
220
21
2
-
ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE
KRUNIH FREKVENCIKRUNIH FREKVENCI
Rayleigheva metodaRayleigheva metoda
Ako osim kontinuirane, postoje i koncentrirane mase, primjenjuje
se sljedei modificirani izraz :
gdje je Mi koncentrirana masayi ordinata ispod mase Mi
(pomak).
( ) ( )( )
+= l
ii
l
yMdxyx
dxyxIE
022
0
2
2
-
ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE
KRUNIH FREKVENCIKRUNIH FREKVENCI
Ritzova metodaRitzova metoda
Temelji se na Rayleighevom kvocijentu:
Pretpostavljamo da je priblino rjeenje suma niza priblinih
rjeenja:
Tako je na primjer za i=2:
( ) ( )( )
= ll
dxyx
dxyxIE
02
0
2
2
funkcijebazneayay in
iii
n
iii , ,
11==
==
22112211 , +=+= aayaay
-
ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE
KRUNIH FREKVENCIKRUNIH FREKVENCI
Ritzova metodaRitzova metoda
Uvjet minimuma potencijala:
Sustav od n linearnih homogenih jednadbi
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
0
22211
2
0
22211
022
0
2
=++=
ll
ll
dxaaxdxaaxEI
dxyxdxyxEI
0 22 == TVTV
( ) 02 = iaTV
-
ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE
KRUNIH FREKVENCIKRUNIH FREKVENCI
Ritzova metodaRitzova metoda
Pojednostavljeni zapis
Matrini zapis
Rjeenje:
0
0
0 222
20 212
10 2220 211
0 212
20 112
10 2120 111
=+=+
llll
llll
dxadxadxEIadxEIa
dxadxadxEIadxEIa
( ) ( )( ) ( ) 0
0
22
22122
121
122
12212
11
=+=+
wuawua
wuawua
( ) ( )( ) ( ) { }02122212212 122
1212
1 =
a
a
wuwu
wuwu
[ ] { } 2 0 det =
11 VIBRACIJE KONTINUIRANIH SUSTAVA11.1 SLOBODNE POPRECNE
VIBRACIJE JEDNOLIKIH GREDA11.1 SLOBODNE POPRECNE VIBRACIJE
JEDNOLIKIH GREDA11.1 SLOBODNE POPRECNE VIBRACIJE JEDNOLIKIH
GREDA11.1 SLOBODNE POPRECNE VIBRACIJE JEDNOLIKIH GREDA11.2 UZDUNE
VIBRACIJE JEDNOLIKOG TAPA11.2 UZDUNE VIBRACIJE JEDNOLIKOG TAPA11.2
UZDUNE VIBRACIJE JEDNOLIKOG TAPA12 ENERGETSKE METODE ZA ODREIVANJE
KRUNIH FREKVENCIRayleigheva metoda12 ENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIRayleigheva metodaENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIRayleigheva metodaENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIRitzova metodaENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIRitzova metodaENERGETSKE METODE ZA
ODREIVANJE KRUNIH FREKVENCIRitzova metoda
