CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ CUỐI CÙNG CỦA FEC-MA

Định lí Fec-ma: pt xn + yn = zn (1) (n≥3,n∈ℕ) không có nghiệm nguyên khác 0

Bài chứng minh:

1/ Chứng minh: pt xn + yn = zn (1) (n≥3,n∈ℕ) không có nghiệm tự nhiên.

Giả sử x,y,z ∈ℕ,đề bài tương đương với việc chứng minh pt trên chỉ có nghiệm khi n=1,2

Dễ thấy với n=1 thì pt (1) có vô số nghiệm tự nhiên {x, y, z=x+y }

Trường hợp n>1:

+ Nếu x=y=a (a∈ℕ) thì (1) ⇔ 2an =zn

⇔ ( a)n =zn

⇔ z = a (không thỏa vì z ∉ ℕ )

+ Vậy x≠y, giả sử x<y và dễ thấy z>y>x.

vì x,y đóng vai trò như nhau trong phương trình trên nên việc giả sử x<y hay x>y không ảnh hưởng gì đến việc chứng minh.

Đặt y = x+a

z = y+b = x+a+b , (a,b∈ℕ)

(1) ⇔ xn + (x+a)n = (x+a+b)n

⇔ xn + (x+a)n = (x+a)n + (x+a)n-1b +…+ bn

⇔ xn = (x+a)n-1b + (x +a)n-2b2 +…+ bn

n số hạng

⇔ xn = (x+a)n +

⇔ = +

Với n>1 (n=2,3,4…) thì vế phải có từ 2 số hạng trở lên,mà mỗi số hạng đều >0 nên suy ra:

Mỗi số hạng <

⇔ <

⇔ b < x

Mà z = y+b < y+x

⇒ z < x+y

Như vậy ta có 2 điều kiện quan trọng để (1) có nghiệm tự nhiên là

Từ đó nhận thấy (x,y,z) là tập hợp những tam giác có số đo 3 cạnh là số tự nhiên,trong đó z là cạnh dài nhất góc nhìn z⇒ : 600< <1800

Định lí cosin: z2 = x2 + y2 - 2xy cos

Đối với 900,1200 thì cos không nguyên

z ∉ ℕ khi x,y ℕ, pt (1) không có nghiệm tự nhiên khi n>1

Đối với =900, x,y,z chỉ có duy nhất một mối liên hệ theo công thức:

z2 = x2 + y2 (định lí pi-ta-go)

z < x + y

z > y > x

pt (1) chỉ có nghiệm (trong đó có nghiệm tự nhiên) với n=2

Đối với =1200 ⇒ 00< 600 ( là góc nhìn x)

Định lí cosin: x2 = y2 +z2 - 2yz cos

Vì 00< <600 ⇒ cos ∉ℤ ⇒ x∉ℕ khi y,z ℕ pt (1) không có nghiệm tự nhiên khi n>1

Kết luận:

n=1,pt (1) có nghiệm tự nhiên

n>1,pt (1) chỉ có nghiệm tự nhiên khi n=2

⇒ pt (1) không có nghiệm tự nhiên với n≥3.

2/ Chứng minh định lí Fec-ma: pt xn +yn = zn (1),n≥3, x,y,z là số nguyên 0,vô nghiệm.

ở phần 1 ta đã chứng minh pt xn +yn = zn (n≥3) vô nghiệm với x,y,z ℕVới n chẵn, tổng quát cn = (-c)n

xn + yn = zn, n≥3, x,y,z \{0}

⇔ xn + yn = zn, n≥3, x,y,z ℕ đã chứng minh vô nghiệm

Với n lẻ:

Nếu x,y ⇒ z

(1) ⇔ (-x)n + (-y)n = (-z)n (-x,-y,-z ) vô nghiệm với n≥3

Nếu x,y ℕ ⇒ z ℕ(1) vô nghiệm với n≥3 (bổ đề 1)

Nếu xy<0 , x,y ℤ (x>0,y<0 hay x<0,y>0 là 2 trường hợp như nhau trong pt (1) )

Giả sử x>0, y<0 (tức x , y )

Đặt u = -y ℕ

(1) ⇔ xn - un = zn (2)Trường hợp 1: x>u ⇒ z ℕ

(2) ⇔ xn = zn + un, pt vô nghiệm với n≥3

Trường hợp 2: x<u ⇒ z

(2) ⇔ xn + vn = un (v=-z ) ,pt vô nghiệm với n≥3

Vậy định lí đúng với n lẻ.

Kết luận: phương trình xn + yn = zn ,n≥3, x,y,z là số nguyên khác 0 vô nghiệm.

Định lí Fec-ma đã được chứng minh!

Phụ lục :

1/ Cách trình bày khác:

Trong bài chứng minh trên ta chỉ làm việc trong phạm vi tập số nguyên nên để đơn giản cho việc trình bày, ngay ban đầu ta có thể xác định trước là : “ trong toàn bộ bài này chỉ xét n ℕ và x,y,z . Lập luận như vậy sẽ giúp người đọc đỡ bối rối.

2/ Về mặt câu chữ có 1 câu không chính xác :

Câu đầu tiên của bổ đề 1 nên viết lại là: “Giả sử x,y,z , đề bài tương đương ℕvới việc chứng minh phương trình trên vô nghiệm khi n≥3 ” . Viết như vậy để dễ hình dung hơn

3/ Giải thích 600< <1800

00< ≤ 600 thì chắc chắn không phải là góc lớn nhất ⇒ z không phải cạnh dài nhất.

600< <900 thì có những trường hợp không lớn nhất (z dài nhất), nhưng cũng có chứa những trường hợp lớn nhất (z dài nhất)

900≤ <1800 thì chắc chắn là góc lớn nhất (z là cạnh dài nhất)

⇒ Để không bỏ sót trường hợp ta chọn 600< <1800

( Một tam giác bất kì luôn nội tiếp trong 1 đường tròn nào đó, góc của tam giác là các góc nội tiếp của đường tròn, cạnh tam giác là dây cung ⇒ góc càng lớn dây cung càng lớn. Nên nhớ thêm là ở đây x ≠ y ≠ z ,tức là 3 góc không được bằng nhau)