Dinàmica de Gasos i Transmissió de Calor i Massa Col·lecció …...DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I MASSA (gener 2008) COGNOMS I NOM: SIGNATURA: Normes d’examen:

Edifici TR4, ETSEIAT C/ Colom, 11 08222 Terrassa (Barcelona) Tel. 93 739 81 92 Fax 93 739 81 01 [email protected] http://www.cttc.upc.edu

Dinàmica de Gasos i Transmissió

de Calor i Massa Curs 3rA d’Enginyeria Aeronàutica

Col·lecció d’exàmens de

l’assignatura

Gener 2013

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR (novembre 2007)

COGNOMS I NOM: SIGNATURA:

Normes d'examen: i) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen;ii) no està permès l'ús de calculadores programables;iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació;

1. Preguntes teoria:

a) Explica la llei de Kirchoff. Qué es un cos gris difús? Com és la llei de Kirchoff en aquest cas?

b) Imagina un intercanvi radiatiu en la banda tèrmica en un recinte tancat format per N superfícies de temperatura i emisivitats conegudes. Dedueix la equació de la irradiació per la superfície k.

c) Dedueix l 'equació de conservació de la massa en la seva forma diferencial en dos dimensions a partir de la seva formulació integral:

∂∂ t∫V.C.

d V∫S.C.

v ·nd S =0

2. Tenim una barra massisa composta amb dos materials 1 i 2 tal i com s 'indica a la figura. El material interior té fonts internes de calor qv1 . La zona exterior de la barra està formada pel material 2 i té soldades 8 aletes de secció transversal constant. Tot el conjunt està rodejat d 'un fluid a una temperatura Tg i amb un coeficient de transferència de calor per convecció g. Calcula la calor dissipada per les aletes i també per la zona de la barra no aletejada.

Són dades del problema: Tg = 20 ºC; qv1 = 50000 W/m3; g = 20 W/m2ºC; 1 = 80 W/m ºC; 2 = 20 W/mºC; a = 200 W/m ºC; ea = 0.002 m; La = 0.2 m; D1 = 0.08 m; D2 = 0.2 m.

Nota 1: la distribució de temperatura en un cilindre és: T=−qv4r 2C1 ln rC 2

Nota 2: la distribució de temperatura en una aleta és: T−T g=C1 emxC 2e

−mx on m2=

2ga ea

Nota 3: per fer els càlculs assumeix que la profunditat és de 1 m.

(Sol. T1=27.66 C, T2=25.83 C, Qa=179.91 W/m, Qna=71.42 W/m)

3. Observa el semicilindre foradat de paret gruixuda (a la pàgina següent) Dintre té un fluid, a temperatura (Tg, int) coneguda amb un coeficient de transferència de calor per convecció també conegut (int). Fora intercanvia calor amb l´ aire exterior a una temperatura Tg,ext i coeficient de transferència de calor per convecció també conegut (ext). Aquest cilindre (d 'emisivitat ) també intercanvia calor per radiació a l'exterior que es pot considerar un cos negre a temperatura coneguda Tcel. El terra és isoterm a una temperatura coneguda Tw.

a) Formula les hipòtesis a assumir en la resolució.

b) Fes una proposta de discretització del cilindre.

c) Obté les equacions de discretització de: i) un node interior qualsevol; ii) un node del contorn interior (en contacte amb el terra); iii) un node exterior qualsevol però que no estigui en contacte amb el terra.

d) Fes una proposta d 'algorisme global de resolució

D2

D1

La

e a qv11

2

Tg,

g

a

Tg, int

, int

cp,

terra isoterm a Tw

5. A la següent figura tenim una placa horitzontal de e = 1 cm de gruix i de conductivitat tèrmica = 0.6 W/m ºC. Aquesta placa és transparent a la radiació solar. A la zona exterior intercanvia calor per radiació en la banda tèrmica contra l 'ambient considerat com un cos negre a Tcel = -5ºC (emissivitat exterior de la placa ext=0.9) i per convecció amb l 'aire ambient a Text = 15ºC. Considera un coeficient de transferencia de calor per convecció ext = 50 W/m2 ºC. Per l 'interior intercanvia també calor per radiació a la banda tèrmica amb una emissivitat int=0.8. Entre la placa i el terra tenim aire a temperatura Tint = 20 ºC. Calcula la temperatura del terra (Tw) tenint en compte que és adiabàtic, que li arriba una radiació solar de qsol = 500 W/m2 i que es pot considerar com un cos negre. El coeficient de transferència de calor per convecció entre el terra i l 'aire i entre l 'aire i la placa (per la part interior) és de int= 20 W/m2 ºC. Considera que la reflectivitat del terra a la banda solar és de 0.4.

Nota: la constant de Stefan-Bolzmann és de 5.67·10-8 W/m2K4

int

intq

sol

Tw?adiabàtic

Text

, ext

Tcel

ext

int

Tint

e

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I MASSA (gener 2008)


Normes d’examen: i) no es pot utilitzar cap mena d’informació en aquest examen ii) no està permès l’ús de calculadores programables

iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació iv) apagueu i guardeu els mòbils v) feu l’examen en bolígraf

1. Respon breument a les següents preguntes teoria:

a) Explica la diferència entre la temperatura de paret, la temperatura adiabàtica de paret i la temperatura d’estancament.

b) Considera el canal convergent del problema 3 amb entrada en règim subsònic. Imagina que la pressió pin i temperatura Tin a l’entrada són valors coneguts i fixats. Explica que passa si la pressió a la sortida l’anem baixant progressivament des de pout=pin fins a pout=0. Dibuixa el flux màssic davant de pout. Per un cabal determinat, explica com variarà (i.e., si augmenta o disminueix) la velocitat, la pressió i la temperatura al llarg del canal.

c) Per quina raó un cos a 1.500ºC es fa visible a l’ull humà? Recorda que l’espectre visible és aproximadament de 0.4 a 0.7 m. Llei de Wien: (T)max=2900 mK.

d) Explica el sentit físic dels diferents termes de l’equació: vvpTDt

DTcv

: .

2. Imagina una situació en la que tenim una vareta cilíndrica horitzontal massissa amb focus interns qv1 i rodejada d’aire a una temperatura coneguda Text. Sota la vareta, i a una certa distància, tenim una placa isoterma a temperatura Tw2. El contorn exterior es comporta com un cos negre a una temperatura donada Tcel. Són també dades del problema les propietats termofísiques del cilindre (1, cp1,1), i les emissivitats del cilindre (1) i de la placa (2).

3

Tw2, 2

Tcel

3=1

D

Text

H

W

1

2

L

1vq , 1,

cp1, 1

a) Troba els grups adimensionals característics d’aquest problema. Per fer aquest apartat no cal que

consideris la transferència de calor per radiació.

b) Calcula la temperatura del cilindre al centre i a la superfície. Cal fer càlculs concrets amb les següents dades: D= 0.03 m; L= 0.5 m; H= 0.5 m; W= 0.5 m; qv1= 6·105 W/m3; Text= 25ºC; Tw2= 5ºC; Tcel= 10ºC; 1= 80 W/mK; 1= 0.6; 2= 0.8. Assumeix conegut el factor de vista F12= 0.22. Si resulta un procés iteratiu fes tant sols la primera iteració prenent com a temperatura inicial estimada el valor de 80ºC.

Nota: per resoldre aquest cas assumirem que la temperatura al cilindre només varia amb la direcció radial i que els extrems són adiabàtics.

c) Imagina que de sobte els focus interns deixen d’actuar (qv1= 0 per t ≥ 0). Desenvolupa un algoritme numèric que permeti calcular l’evolució de temperatures al cilindre assumint que la temperatura varia únicament amb el radi i el temps. Utilitza preferentment l’esquema de Crank-Nicolson (com a

segona opció s’accepta l’esquema implícit).

Notes: especifica clarament el problema plantejat (hipòtesis, discretització, condicions inicials); troba les equacions de discretització només del node central i del node situat al contorn; no cal que tornis a repetir la metodologia de càlcul del coeficient de transferència de calor i de la radiació si ja han quedat indicades en l’apartat anterior; cal explicitar clarament l’algoritme global de resolució.

3. Tenim un canal de secció variable de gran profunditat on passa un flux d‘aire a molt elevada velocitat. A la secció d‘entrada són conegudes les condicions de pressió pin, temperatura Tin i número de Mach Min.

La paret esquerre és adiabàtica. La paret dreta està inclinada un angle i està constituïda per una placa metàl·lica de gruix ep i un aïllant de gruix ea. A l‘exterior de l‘aïllant tenim aire ambient a una temperatura Text. Les conductivitats tèrmiques de la placa p i de l’aïllant a són constants. Les dades geomètriques són: H=0.5 m; Lout=0.01 m; =3º; ep=0.003 m; ea=0.04 m. Fes l’anàlisi per unitat de profunditat, W= 1m.

a) Imagina que al centre del canal i a l’alçada y=3H/4 el flux d’aire te una temperatura, pressió i número de Mach promigs de 250ºC, 5.5 bar i 1.9 respectivament. Calcula la temperatura de l’aire en contacte amb la placa adiabàtica vertical. Si resulta un procés iteratiu fes només la primera iteració.

b) Per a la situació indicada en l’apartat anterior, calcula el coeficient local de transferència de calor a la placa inclinada. Utilitza les expressions per plaques assumint que la capa límit arranca com a turbulenta. Suposa que la temperatura de la placa inclinada en aquest punt és de 550ºC. Si resulta un procés iteratiu fes només la primera iteració.

c) Imagina que discretitzem el flux d’aire dins del canal. Considera que el primer volum de control va des de y=0 a y=H/10. Dedueix les equacions de conservació de la massa, momentum i energia per aquest VC.

d) Planteja un algoritme numèric que permeti obtenir la distribució de temperatures en el fluid i en els sòlids.

Notes: fes una proposta de discretització en el fluid i en els sòlids; considera el flux de calor axial a la placa metàl·lica. Obté les equacions discretes dels sòlids únicament en dos nodes característics (un a la zona de contacte dels dos materials i l’altre en un node en contacte amb el fluid exterior). No cal que tornis a escriure les equacions del fluid. Planteja clarament l’algoritme global de resolució.

pin, Tin, Min superficie adiabàtica

Text

Lout

H

ep ea

W

y

x

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (novembre 2008; 1 de 2)


Normes d'examen: i) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen; ii) no està permès l'ús de calculadores programables; iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació;

1. Respon breument a les següents preguntes:

i. Considera un recinte tancat format per N superfícies. Què vol dir físicament l’expressió 11

N

ikiF ?

ii. Imagina que l’expressió que determina la intensitat especifica de radiació en funció de la longitud

d'ona, en la direcció determinada pel vector unitari kis

10/310/1 és: 32 8.02 eyI .

Calcula el fluxe radiant específic sobre la superfície de normal kjin 14/314/214/1

.

iii. Defineix la conductivitat tèrmica () i explica el seu sentit físic.

iv. Comenta les hipòtesis emprades al formular matemàticament el tema d ‘aletes, és a dir, perquè es tracta el problema amb equacions diferencials ordinàries quan el flux de calor és clarament bi o tridimensional?

v. Explica el sentit físic de la equació indicada així com el de cadascun dels seu termes.

gvvvvpvpDt

Dec :

2. Tenim dos cilindres concèntrics de paret gruixuda (vegeu figura). A la part interna del cilindre interior tenim un fluid a una temperatura TA=30ºC. Aquest cilindre té fonts internes de valor qvA=50000 W/m3. El cilindre exterior està en contacte amb un segon fluid a una temperatura TB=20ºC. Són també dades d’aquest problema: R1=0.02 m, R2=0.08 m, R3=0.12 m, A=20 W/mK, B=0.2 W/mK A=700 W/m2K, B=10 W/m2K.

a) Resol aquest cas numèricament utilitzant tant sols 3 nodes de discretizació. Resol aquestes equacions amb un TDMA.

Nota: recorda que la resolució de sistemes d’equacions del tipus aiTi=biTi+1+ciTi-1+di amb TDMA es realitza amb Ti = PiTi+1 + Qi, on

1

iii

ii Pca

bP i

1

1

iii

iiii Pca

QcdQ .

(R. T1=40.074C, T2=45.387C, T3=27.467C)

b) Resol de nou el sistema d’equacions anterior amb un Gauss-Seidel i partint d’una temperatura inicial estimada de 25ºC. Fes tant sols 3 iteracions.

(R. T1=36.918C, T2=42.273C, T3=26.551C)

c) Imagina que a partir d’un determinat moment els focus interns deixant d’actuar qvA= 0. Planteja la resolució transitòria del problema (sense limitació de nodes de discretització), indicant les condicions inicials, deduint les equacions discretes (fes tant sols l’equació del node situat en el punt de contacte dels dos materials i el node en contacte amb el fluid B) i explicita l’algoritme global de resolució.

R3 R2

R1

B A qvA

T B

B

TA

A

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (novembre 2008; 2 de 2)

3. Considera una paret plana amb focus intern qv. Per una banda (x=0) és adiabàtica. Per l’altre banda (x=e) es troba amb un ambient a temperatura Tg. En aquesta part, la paret porta adossades un conjunt d’aletes cilíndriques (vegeu figura). Calcula la temperatura de la paret a x=0 i x=e i a l’extrem de les aletes. Calcula també la potència calorífica cedida per la placa a l’exterior (a través de la zona no aletejada) i la potència cedida per les aletes. Són dades del problema: Tg = 20ºC, m = 50 W/mK, a = 400 W/mK, g = 40 W/m2K, e= 0.05 m, W = 0.5m, H = 1.0 m, La = 0.3 m, da = 0.005 m, qv = 50000 W/m3, nº aletes per unitat de superfície: Na=50 aletes/m2.

Nota: les expressions analítiques de distribució de temperatures son 212

2CxCx

qT v

, per la

placa i mxmxg eCeCTT 21 per l’aleta, on m2 = gP/(aA) (P: perímetre de la secció transversal de

l’aleta i A: àrea de la secció transversal de la mateixa).

m

qv

a

Tg g

La

W

H

e

da

Adiabàtic

(R. Qplaca=1149.9 W; Qaletes+placa=1250.0 W; Tx=e+La=27.83C)

4. Imagina una situació com la de la figura: tenim una placa absorbent adiabàtica de gran longitud i profunditat (L i W molt grans) d ‘emissivitat 1 on li arriba un intensitat de radiació solar de qs = 600 W/m2. A sobre té un doble acristallament de dos vidres molt prims (pots assumir que la temperatura no varia amb el gruix, Tw2=Tw3 i Tw4=Tw5). Fora tenim aire a una temperatura de Tamb = 15 ºC. A efectes de radiació tèrmica, considera l‘exterior com un cos negre a Tcel = 0ºC. Entre els dos vidres i entre el vidre interior i el terra hi ha també aire. Escriu les equacions que permeten calcular les diferents temperatures (Tw1, Tw23, Tw45, TgA, TgB) i indica un possible algoritme de resolució.

Dades: 12 = 20 W/(m2ºC), 34 = 15 W/(m2ºC), amb = 10 W/(m2ºC), 1 = 0.9, 2 = 3 = 4 = 5 = 0.8, L=W = 10.0 m, e1 = 0.10 m, e2 = 0.01m. La constant de Stefan-Boltzman és de = 5.67·10-8 W/(m2K4).

Tcel

L

TgB 34

Tamb

TgA 12

amb

2

3 4

5

1 (sup. adiabàtica)

qs

W

e2

e1

(R. Tw1=398.24 K; Tw23=367.25 K; Tw45=323.64 K; TgA=382.75 K; TgB=345.44 K)

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÊNCIA DE CALOR I MASSA (gener 2009; 1 de 2)


Normes d'examen: i) no es pot utilitzar cap mena d’informació en aquest examen ii) no està permès l’ús de calculadores programables iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació

1. El recinte de la figura, de dimensions , conté aire en convecció natural. La paret vertical esquerra 1 és isoterma a . Les parets inferior i superior, 2 i 3 respectivament, són adiabàtiques. La paret de la dreta, 4-5, està formada per un material de gruix i te fonts internes de valor . Per la part de la dreta, la paret manté una temperatura uniforme .

a) Troba els grups adimensionals característics d’aquest problema. Consulta el dossier per trobar les equacions governants.

b) Calcula els fluxes de calor (, , ) a les parets verticals ( 0, respectivament) i la temperatura mitja de l’aire (). Suposa règim permanent, flux de calor unidimensional a la paret, i menysprea la radiació. Són dades: 40 °, 50 °,

0.3 , 0.5 , 0,02 . Per a la paret: 10 /, 30 /; recorda la

llei de temperatures en aquest cas:

. Consulta el dossier per trobar les

propietats termofísiques de l’aire. Si resulta un procés iteratiu, arranca amb temperatures suposades de 50 ° i fes tant sols una iteració.

c) A partir d’un cert moment les fonts internes es van reduint paulatinament d’acord amb la funció , on són les fonts internes del cas permanent anterior, t és el temps i k és una constant coneguda. Proposa un algoritme numèric de tipus implícit per resoldre aquest problema. Considera la radiació tèrmica a l’interior del recinte. Mira de seguir els següents passos: i) planteja primerament un organigrama amb l’algoritme global de resolució; comenta quines serien les condicions inicials; indica el criteri de finalització de la simulació transitòria; ii) escriu el balanç d’energia de l’aire dins del recinte; iii) planteja les equacions per resoldre la radiació indicant com calcularies els factors de vista; iv) planteja les equacions discretes pel càlcul del sòlid; v) indica com calcularies les temperatures del terra i del sostre.

aire 1

2

3

4 5

H e

V

T1

T5

x

y

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I MASSA (gener 2009; 2 de 2)


Normes d'examen: i) no es pot utilitzar cap mena d’informació en aquest examen ii) no està permès l’ús de calculadores programables iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació

2. Considera una placa de L=0.5 m de llarg i W=0.3 m de profunditat, per la que circula un flux d’aire a

unes condicions de velocitat (número de Mach), pressió i temperatura de: Mext=1.5, pext=2 bar, Text=300

K. Per tal de mantenir la placa a una certa temperatura uniforme Tw és necessari extreure una potència

calorífica total de Q 6000 W. Calcula primerament la pressió i temperatura d’estacament de l’aire i

comenta breument el sentit físic d’aquestes quantitats. Calcula també la temperatura de la placa tenint

en compte que: i) la placa intercanvia energia radiant amb els cossos que l’envolten, que es comporten

com a cossos negres a una temperatura Tb=350 K; l’emissivitat de la placa és εw=0.7; ii) la capa límit

arranca com a capa límit turbulenta; iii) en cas de que resulti un procés iteratiu, inicia el càlcul amb

temperatures suposades de 300 K i fes tan sols una iteració.

3. Tenim un canal de secció rectangular pel que circula aire a gran velocitat. Les parets del canal són

adiabàtiques excepte la superior, que dissipa calor a l’exterior amb l’ajut de Na aletes rectangulars de

secció transversal constant. Imagina que la pressió i la temperatura a l’entrada són conegudes (pin i Tin).

Explica breument què succeirà si la pressió de sortida (pout) l’anem baixant progressivament des de pout=

pin, fins a valors molt baixos (pout≈ 0) (fes un gràfic que mostri com variarà el cabal que circula a mida

que es baixa la pressió de sortida; comenta l’efecte que té en la refrigeració del flux d’aire). Indica

també, com variaran la pressió, la velocitat i la temperatura al llarg del canal.

4. Proposa un algoritme de càlcul pel problema anterior que permeti calcular les distribucions de velocitats, pressions i temperatures de l’aire al llarg del canal. Són dades d’entrada: la geometria (canal, placa i aletes); velocitat, pressió i temperatura de l’aire a l’entrada del canal (vin, pin, Tin); condicions exteriors de convecció natural d’aire (Text, pext); propietats termofísiques dels sòlids (placa i aletes) i de l’aire. Explica el problema seguint els passos següents: i) proposa una discretització del conjunt i fes un organigrama d’algoritme global de resolució; ii) per a un volum de control de fluid genèric “i”, dedueix les equacions que ens permetrien calcular la velocitat, la pressió, la temperatura i densitat del gas a la sortida del volum de control (node i+1); iii) indica com calcularies el coeficient de transferència de calor del flux d’aire dins del canal; iv) dedueix l’equació de discretització d’un volum de control del sòlid (el que lliga la placa amb l’aleta).

L

Tb

Mext, pext, Text

x

y

La ep

V

Text, pext

pin, Tin H

ea Na

W

DINÀMICA DE GASOS I TRANSMISSIÓ DE CALOR I MASSA (gener 2010)



1. Tenim una cavitat amb forma d‘un quart de cilindre on hi ha oli en convecció natural (vegeu figura). La paret vertical (1) té com a condició de contorn un flux de calor donat , el terra (2) és adiabàtica, i la paret cilíndrica (3) és metàl·lica i està aletejada exteriorment (4). A la part exterior tenim aire ambient a temperatura .

a) Troba els grups adimensionals d‘aquest problema. Podeu assumir propietats termofísiques constants i no considereu la radiació.

b) Calcula les temperatures de l’oli i dels elements sòlids. Aplica mètodes analítics per a les parts sòlides (cilindre i aletes) i considera la radiació dins del recinte ocupat per l’oli. Planteja el problema seguint els següents punts:

i. Indica de forma clara l’algoritme global de resolució. Pels següents punts fes els càlculs que es demanen amb les dades indicades més avall i assumint Tw1=90ºC, Tw2= 50ºC i Tw3 = 50ºC.

ii. Calcula la calor neta de radiació a cada una de les parets dins del recinte.

iii. Calcula la temperatura de l’oli assumint α1=400 W/m2K; α2=70 W/m2K i α3=300 W/m2K.

iv. Calcula la temperatura de les diferents superfícies (1, 2, 3 i 4). Per fer aquest exercici suposa que el coeficient de convecció a l’exterior és α4=400 W/m2K.

Dades: R=0.5 m, e=0.02 m, W=1.0 m, ea=0.002 m, La=0.03 m, qw1=1500 W/m2, Tamb=15ºC, ε1=0.8, ε2=1, ε3=0.8, ρoli= 889 kg/m3; μoli=0.1 kg/ms; cp,oli=1850 J/kgK; λoli=0.146 W/mK; λcilindre= λaleta=120 W/mK.

Nota: la llei de temperatures per parets cilíndriques (encara que pots assumit que T4≈T3) i en aletes de secció transversal constant les tens al dossier que es facilita amb l’examen.

c) Imagina que en un determinat moment la font de calor deixa d’actuar ( 0). Planteja un algoritme numèric que permeti avaluar la distribució de temperatures de l’oli i de les superfícies sòlides. Per fer aquest exercici cal seguir als següents passos: i) proposa una discretització (pots assumir que a la paret 3 les temperatures varien amb l’angle però molt poc amb el radi –tractament com aleta-) i planteja l’algoritme global de resolució (esquema implícit); ii) fes el balanç d’energia a l’oli; iii) obté l’equació de discretització d’un parell de nodes significatius a la paret aletejada (un d’ells a la zona de contacte cilindre-aleta).

oli

Tamb

Terra adiabàtic

R

e

ea

W 1

2

3

4

La

2. Tenim una placa d’acer de 80 / que separa dos fluxos d’aire. Les dimensions de la placa són: 6 de gruix, 1.3 de longitud i 0.5 de profunditat. A la zona superior tenim una convecció forçada d’aire a elevada velocitat ( 1.5, 0.8 ,

270 ). A la zona inferior tenim una convecció d’aire que manté una temperatura constant 300 . Calcula la temperatura que adquiriria la placa (a la part superior e inferior) i la calor

intercanviada entre les dues zones.

Per fer l’exercici considera que la capa límit d’aire exterior arranca com turbulenta. Considera també que el coeficient de transferència de calor en la part inferior és conegut i de valor 500 / .

Si resulta un procés iteratiu fes només la primera iteració assumint temperatures (de la placa, de recuperació, de referència,...) de 400 K.

(Sol. primera iteració: , 340.6 , , 342.1 , 13190

3. Tenim un conducte de secció transversal variable amb una vareta en el seu interior. Entre el conducte i la vareta circula aire a elevada velocitat. Imagina que hem discretitzat per trams per calcular les variables del flux.

a) Dedueix les equacion discretizades de la massa, momentum lineal i energia per trobar les variables del flux a la sortida del VC. Dedueix també l’equació discretitzada per trobar l’entropia generada. Assumirem que la temperatura de la vareta i del conducte en el VC d’estudi són conegudes (les suposades o últimes calculades): , .

b) Imagina que la pressió a l’entrada del conducte, , es manté i que baixem progressivament la pressió de sortida, des de fins pressions molt baixes. Explica breument que passa i ajuda’t amb gràfiques i .

, ,

d

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (abril 2010)



1. Dedueix l ‘equació de conservació de la massa en coordenades cilíndriques (r, z) (no cal que consideris la variació en la direcció angular). Fes l ‘exercici a partir de l ‘equació en la seva forma integral:

0

2. Imagina un cilindre de radi interior RA, radi exterior RB, i amb fonts internes vq , com el de la figura. Fixa ‘t que té els extrems

inferior i superior adiabàtics. Per tal de refrigerar-lo, es fa servir dues aletes iguals: barra massisa de secció circular i de diàmetre da, en forma d ‘arc (de radi Ra) i que comença i acaba en el mateix cilindre. Les aletes estàn formades de dos materials de conductivitat tèrmica λa1 i λa2, respectivament (vegeu figura). Calcula:

a) El valors de les temperatures en r = RA (Tw1), r = RB (Tw2) i en el punt de contacte dels dos materials de l ‘aleta (Tw3). b) La posició del punt de màxima temperatura i el seu valor. c) La calor cedida al fluid a TgA a la part interior del cilindre

( A), la calor cedida a la part externa del cilindre a l ‘ambient exterior a la zona no aletejada ( B amb) i la calor que dissipa per les aletes massises ( B aletes).

d) Comprova el càlcul fent un balanç global d ‘energia a tot el sistema (cilindre + aletes).

Dades: RA = 0.02 m, RB = 0.025 m, Ht = 0.5 m, da = 0.005 m, Ra = 0.20 m, λt = 15 W/(m K), λa1 = 250 W/(m K), λa2 = 400 W/(m K), vq = 350000 W/m3, TgA = 25 ºC, αA = 500 W/(m2K), TgB = 15 ºC, αB = 10 W/(m2K).

Notes: i) Tracta les aletes com si fosin cilindres rectes (menysprea la curvatura). ii) En parets cilíndriques, règim

permanent, 1D, i constants: . Iii) En aletes de secció transversal constant, règim permanent,

λa constant: , on m2=Paα/(λaSa), on Pa és el perímetre de l ‘aleta i Sa és la seva secció transversal.

Sol. 28.4 ; 28.7 ; 20.5 ; 0.02445 ; 109.3 ; 10.7 ; 3.6 ; 123.7 .

3. Tenim una peça de forma d ‘un quart de cilindre com la de la figura. Consta de dos materials, la frontera dels quals divideix la peça amb un angle de valor θAB conegut. Aquesta peça està rodejada, interior i exteriorment, de dos fluïds a temperatura Tgint i Tgext, respectivament. Per l ‘extrem inferior de la peça la condició de contorn és fluxe de calor conegut ( 0q ) i per l’altre extrem (part

superior) tenim un contorn adiabàtic. Inicialment (t=0) la temperatura de tot el conjunt (peça i fluids) és única i de valor T0. A partir d ‘un cert instant (t>0) la temperatura dels fluids varia de forma coneguda: Tgint(t) i Tgext(t), i comencen a actuar les fonts internes de calor vAq i vBq . Resol numèricament la distribució de

temperatures a la peça i al llarg del temps.

a) Fés una proposta de discretització. b) Dedueix les equacions discretes dels quatre nodes que consideris més representatius. Fés servir un

esquema numèric de tipus implícit. c) Proposa un algorisme global de càlcul.

Nota: a part de les dades indicades a la figura, són obviament conegudes les propietats termofísiques d ‘ambdós materials: λA, ρA, cpA, λB, ρB, cpB.

Tgint

αint

Tgext αext

vBq

vAq

Rint

Rext

0q

adiabàtic

θAB

TgA, αgA

λa1

RA

RB

λt

vqHt

TgB, αgB

λa2

da

Ra

λa1

λa2

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (juny 2010)


Normes d'examen: i) posar en un lloc visible un document d 'identificació; ii) no està permès l'ús de calculadores programables; iii) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen, a excepció del formulari

d’examen facilitat (si us plau, no escriviu al formulari; recorda de retornar-lo amb l’examen)

1. Tenim una esfera massissa de diàmetre amb aire ambient al seu voltant. Inicialment ( 0) l’aire està en repòs, a pressió atmosfèrica i el conjunt, aire i esfera, a temperatura uniforme . A partir d’un cert instant ( 0), comenca a actuar una generació interna d’energia a l’esfera. Avalua els grups adimensionals característics d’aquest problema i defineix un número de Nusselt per la superfície de l’esfera i indica de què grups adimensionales depèn.

Apart de les dades ja indicades ( , , , ), són també dades del problema les propietats termofísiques de l’esfera ( , , ) i de l’aire ( , , , , ). Pots assumir que tant com les propietats termofísiques són constants. Per les equacions bàsiques consulta l’apartat A2 del formulari d’examen.

2. Considera una esfera massissa de radi 10 . L’esfera es d’acer (carbon steel C≈0.5%). Al voltant de l’esfera circula un flux d’aire en les següents condicions en las zones allunyades de l’esfera: 400 / ,

40 , 0.8 . L’esfera intercanvia també calor per radiació amb el medi exterior que es comporta com un cos negre a una temperatura 10 . Calcula: i) la temperatura en el centre de l’esfera i en la zona en contacte amb l’aire ambient; indica també la temperatura d’estancament i la de recuperació; ii) la calor cedida per convecció a l’ambient i per radiació al medi exterior. (Sol. 384.2 ; 383.1 ;

837.3 ; 837.3 ).

Notes: Per realitzar aquest exercici pots consultar els apartats A3, C5 i les Taules B-1 i B-4 (apartat D del formulari d’examen). Utilitza l’expressió del número de Nusselt de C5 encara que estem fora de rang. Ull: les propietats de l’aire (Tabla B-4) són a pressió atmosfèrica.

3. Considera el bescanviador de la figura format per un tub dividit en dues parts mitjançant una placa. Pel seu interior circulen a contracorrent els fluids A i B. Per l’exterior tenim aire ambient. La transferència de calor entre els fluids A i B és a través de la placa i també a través del propi tub (vegeu proposta de discretització).

Presenta un algoritme numèric (en règim permanent) per calcular la distribució de velocitats, pressions i temperatures d’ambos fluids, així com les temperatures del tub i la placa. Realitza l’exercici seguint els següents passos: i) a partir de la discretització proposada a la figura, explica l’algoritme global de resolució amb breus comentaris dels mètodes de resolució dels fluids i dels sòlids; ii) dedueix les equacions de discretització del fluid B (massa, momentum i energia) (nota: fixat que el fluid es mou en la direcció contraria a l’eix y); iii) dedueix l’equació de discretització del node situat en el punt de contacte placa-tub.

Són dades d’aquest problema: les condicions d’ambos fluids a l’entrada de l’equip: , , , , , ; condicions de l’ambient exterior: ; les propietats termofísiques del fluid A ( , , , ) i del fluid B

( , , , ); les conductivitats tèrmiques del tub i de la placa ( i ); el diàmetre interior ( ), exterior ( ), gruix de la placa ( ) i longitud de l’intercanviador ( ). Pots suposar flux incompressible i propietats termofísiques constants.

4. Del problema anterior: i) generalitza l’equació de discretització del node situat en el punt de contacte placa-tub amb un mètode transitori de tipus Crank-Nicolson; ii) calcula el coeficient de transferència de calor del fluid A

per les següents dades: aigua, 50 , 3 , 1.5 / , 1 , 92 , temperatura mitja sòlids (placa+tub) 30 . Per fer l’exercici revisa l’apartat B3 i utilitza les expressions dels apartats B2 o de C2 del formulari d’examen i les taules de l’aigua (taula B-3 de l’apartat D).

5. Dedueix l‘equació de conservació l’energia total ( ) en coordenades cilíndriques ( , ). Parteix de la formulació integral (equació 1c de l’apartat A1 del formulari d’examen).

6. El sistema de la figura consta d’una placa isoterma 1, de longitud 2 , temperatura 400 i emissivitat 0.8, i d’una placa isoterma 2 de

0.75 , 150 i 0.6. Les plaques estàn separades una distància 1 . L’ambient exterior es comporta com un cos negre a temperatura 20 . Calcula la calor neta de radiació entre las diferents superfícies i comprova el principi de conservació de l’energia a tot el sistema.

7. Questions curtes:

7.1) Considera el flux d’un gas a elevada velocitat sobre una placa isoterma a temperatura . El gas es troba a velocitat, pressió i temperatura , , en les zones allunyades de la placa. Indica cóm calcularies la temperatura d’estancament, la de recuperació i la de referència (pel càlcul de propietats), i comenta el sentit físic d’aquestes quantitats. Consulta l’apartat C4 del formulari d’examen.

7.2) Dibuixa de forma aproximada la distribució de velocitats, pressions i temperatures en conductes convergents-divergents i en el cas de tovera sobre-expansionada.

7.3) Explica com calcularies el flux de calor radiant total entre les longituds d’ona 1 i 100 , emesa per una superfície negre en una direcció que forma 30° amb la normal. Indica també com calcularies la calor hemisfèrica total en el rang de longituds d’ona indicades. Consulta l’apartat A4 del formulari d’examen.

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (novembre 2010)


Notes: i) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen, a part del dossier que es facilita amb l’examen; ii) no està permès l'ús de calculadores programables; iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació amb foto; iv) en el cas de que la resolució d’algun exercici impliqui un procés iteratiu, i si no es diu expressament el contrari, fes la primera iteració indicant com es continua.

1. Dedueix l’equació de conservació de la massa en coordenades polars , . Fes l’exercici a partir de l’equació en la seva forma integral (vegeu apartat A1 del Formulari) i sobre el volum de control corresponent.

Demostra també que · · , on és una variable arbitrària ( , , … .

2. Respon breument a les següents qüestions: i) Defineix la conductivitat tèrmica d’una substància; ii) Avantatges i desavantatges de discretitzacions explícites, implícites i de Crank-Nicolson; iii) Descriu (breument) les diferents zones del flux de capa límit sobre una placa.

3. Resol per Gauss-Seidel (fes tan sols les quatre primeres iteracions arrancant de 30) el següent sistema d’equacions explicant breument el procés de resolució i el criteri de convergència.

100 52 11250 110 45 60 10000

150 35 30000

(Sol. a la quarta iteració: 293.53, 364.39, 285.02)

Fes el mateix per TDMA. Recorda que 1 , i .

(Sol.: 306.34, 372.76, 286.98)

4. Considera el flux sobre una placa isoterma a temperatura . La placa és d’un material porós. Per transpiració entra

el mateix fluid a una velocitat i temperatura . A la zona exterior (zona potencial), les condicions de velocitat, pressió i temperatura del flux són , i respectivament. Avalua els grups adimensionals característics d’aquest cas. A part de les condicions de contorn ja indicades, són dades del problema les propietats termofísiques del fluid ( , , , ), que es consideren constants.

5. Considera una esfera massissa composta de dos materials i . La part interna té un radi de 5 i unes fonts internes de calor de . El radi del segon material és 6 . Avalua el valor màxim de les fonts internes per tal que la temperatura a la zona de contacte dels dos materials no superi els 250 . Avalua també la temperatura al centre de l’esfera, 0, i la temperatura en la zona banyada per convecció natural pel fluid extern, , que està a temperatura 25 . Altres dades del problema són: 30 / , 40 / i 80 / .

(Sol.: 1.52 10 / ; 271.30 ; 244.9 )

6. Imagina que en el problema anterior de l’esfera deixen d’actuar en un instant donat, 0, les fonts internes d’energia. Explica la resolució d’aquest cas seguint els següents apartats: i) especificació del problema indicant les dades físiques i numèriques; ii) discretització del domini amb nodes centrats (especifica els detalls geomètrics); iii) equacions de discretització amb esquema de Crank-Nicolson (fes amb detall dos nodes, el primer, el últim); iv) algorisme global de resolució. Considera que les propietats termofísiques dels materials i són conegudes i que la conductivitat tèrmica està en funció de la temperatura: i . Considera que la temperatura de l’ambient exterior es manté constant durant el procés de refredament, però que

, on i són valors coneguts.

, ,

,

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MAS SA (gener 2011)


Notes: i) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen, a part del formulari que es facilita amb aquest; ii) no està permès l'ús de calculadores programables; iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació amb foto; iv) en el cas de que la resolució d’algun exercici impliqui un procés iteratiu, i si no es diu expressament el contrari, fes tan sols la primera iteració, indicant com es continua.

1. Problemes curts:

1.1 Considera un cilindre isoterm horitzontal de 20 de diàmetre que està a una temperatura superficial de 30. L’ambient exterior és aigua a 80 i 5 . Calcula el coeficient superficial de transferència de calor.

1.2 La intensitat específica de radiació d’un cos negre és: ,

/ , on 1.191 10 / i

1.439 10 . i) Calcula la intensitat específica màxima pel cas de 5800 ; ii) Per a la mateixa temperatura, calcula la intensitat hemisfèrica entre les longituds d’ona 0.4 i 0.7 (integra numèricament agafant només dos ∆).

1.3 La placa de la figura consta de dos materials i . Les propietats termofísiques dels materials són conegudes (, , !, , , !). La discretització proposades és de nodes centrats.

i) Obté l’equació de discretització del node " en un cas transitori i amb un esquema implícit.

ii) Dedueix l’expressió de la conductivitat tèrmica a la cara “#” on tenim el contacte dels dos materials (mitja harmònica).

2. Es tracta d’un satèl·lit artificial localitzat a una distància de 1.49 10 del sol. La superfície exterior orientada al sol té un gruix de 1.5 , una àrea de 1.3 , i una conductivitat tèrmica 110 /. Aquesta superfície metàl·lica és selectiva i presenta una absortivitat a la radiació solar de 0.2 i una emissivitat a la radiació infraroja de 0.85. Per la part interior s’ha situat un material aïllant de 40 de gruix i conductivitat tèrmica 0.04 /. Els raigs del sol arriben a la placa metàl·lica amb un inclinació de 15° respecte la normal a la superfície.

Per la zona interior del satèl·lit tenim un gas a 300 i el coeficient superficial de transferència entre el gas i la superfície aïllant és 20 /.

A la zona exterior considera que la convecció és nul·la. Per avaluar la radiació que arriba al satèl·lit considera que el sol es comporta com una esfera de diàmetre 1.39 10 i que emet com un cos negre a 5762 . D’altra banda, considera que l’espai es comporta com un cos negre a 2.7 .

Calcula la temperatura a la part exterior, a la part interior i a la part de contacte de les dues superfícies. Calcula també la calor que arriba a la part interna del satèl·lit.

Quan acabis l’exercici, raona què implicaria pel que fa a la calor que li arriba al gas, utilitzar una superfície selectiva d’absortivitat a la radiació solar de 0.85 i emissivitat a l’infraroig de 0.2. No cal fer càlculs en aquest punt.

∆

∆ ∆

mat. A mat. B

P

3. Per un conducte de secció rectangular de dimensions & ' (0.35 0.2 2 ) circula un flux d’aire a unes condicions conegudes a l’entrada: ( 15 /, ) 3 , 25 . En el seu interior s’ha col·locat una resistència elèctrica cilíndrica en forma de bateria de * 3 files i * 7 columnes (vegeu la figura, on +

12 , + 16 ). La resistència és de Nichrome, amb una longitud total igual a , **W 10.8 m, un diàmetre d 4 mm, una conductivitat tèrmica 11 /, y una resistivitat elèctrica 0 (vegeu més avall). L’emissivitat del canal i de les resistències és 1 0.6 i 1=0.2, respectivament. Considerem que el conducte està perfectament aïllat tèrmicament. Calcula la temperatura al centre de les resistències, la temperatura mitja del canal, i les condiciones de l’aire a la sortida ((, ), ) quan circula per la resistència una intensitat de corrent 130 .

3.1) Resol primerament el problema amb càlculs concrets però sense considerar la radiació.

3.2) Després escriu les noves equacions necessàries (i modifica les que calguin) si considerem la radiació. No cal càlculs en aquest apartat.

Comentaris addicionals:

• 02Ω4 1.68 10 51 6 0.00392 7 2048 ( en ). Relació entre la resistència elèctrica d’un conductor i la seva resistivitat: 9 0,/:, on , i : representen la longitud i secció del conductor. Llei d’Ohm i potència calorífica dissipada per les resistències: ; 9, " ;.

• Pel coeficient de transferència de calor entre les resistències i l’aire utilitza les correlacions més adequades del formulari (es tracta d’una única resistència on el tub es doblega formant un banc de tubs “staggered”). Entre les parets del canal i l’aire utilitza < 70 /.

• Calcula la pressió de sortida de l’aire sense considerar les resistències, és a dir, com si fos un canal sense obstacles interns. Considerar que les superfícies del canal són llises. No oblidis de considerar en l’anàlisi la variació de momentum.

• A efectes de radiació considera únicament dos superfícies, la del canal i la de les resistències. Considera que el factor de vista resistències-canal és = 0.9 (la resta de factors de vista, = , = , = , s’obtenen de la forma usual; indica els seus valors en l’apartat 3.2).

• Si resulta un procés iteratiu, suposa inicialment que les resistències estan a 300 i que les condicions de l’aire a la sortida són de 50 i 3 . Fes tant sols la primera iteració.

4. Considera la tovera de la figura de perfil intern, 2>4, i gruix, +, conegut. A l’entrada tenim un gas a unes condicions ), . El gas descarrega a un ambient a pressió ) constant i coneguda. La tovera es troba refrigerada externament per un fluid amb unes condicions conegudes a l’entrada: , ,, ),.

4.1 Explica de forma qualitativa com es comportaria el gas si la pressió a l’entrada, ), es va augmentant paulatinament. Fes la gràfica , 7 ). També mira de fer les gràfiques ) 7 > i ( 7 > en condicions de flux subsònic i de flux transònic.

4.2 Fes un organigrama de com seria l’algoritme global de resolució d’aquest cas per tal d’avaluar la distribucions de velocitats, pressions i temperatures del gas al llarg de la tovera.

4.3 Dedueix les equacions de discretització d’un volum de control genèric “i” del gas i del volum sòlid corresponent de la tovera.




1. Respon breument a les següents qüestions: i) Què vol dir que el rendiment d’una aleta circular és 0.75?; ii) Què vol

dir que el coeficient superficial de transferència de calor és 30 W/m ? Escriu aquest valor en kW/m K; iii) Comenta les diferències entre un esquema implícit, explícit i Crank-Nicolson; iv) Considera un flux d’aire sobre una placa isoterma: explica el concepte de zona-potencial/capes-límits i en quines parts es divideix la capa límit.

2. Dedueix l’equació de conservació del moment lineal en coordenades cartesianes ( , ) i en la direcció . Fes l’exercici a partir de l’equació en la seva forma integral (la tens a l’apartat A del formulari). Utilitza la llei de la

viscositat de Stokes: .

3. Per dissipar una potencia calorífica generada per un equip elèctric, s’han col·locat aletes de secció transversal constant (vegeu figura). Calcula la temperatura a la base del dissipador ( 0) i a l’extrem de les aletes. Calcula també l’energia calorífica dissipada per les aletes i per la zona no aletejada a . Resol el problema per les dades que s’indiquen a continuació:

Geometria: 0.005 0.01, 0.04 , 0.04

0.03 , 0.002 , 18, 0.036

Materials: λA 40 W/mK, λB 80 W/mK, λ 200 W/mK.

Altres dades: q 2 10 W/m , T 25 , 15 / , contorns laterals adiabàtics.

Sol. 603.1 ; 578.1 ; 553.1 ; 534.8 ; 317,6 ; 2.4; 320 .

4. Per dissipar una potencia calorífica generada per un equip elèctric s’ha dissenyat un sistema constituït per canals (vegeu figura). Per l’interior dels canals circula aigua a una temperatura mitjana . La potència calorífica indicada varia amb el temps segons una funció coneguda . Són dades del problema:

Geometria: , , , , , .

Temperatura inicial ( 0) del dissipador: , .

Propietats termofísiques: , , , , , .

Altres dades: , , , , , cont. later. adiabàtics.

Planteja un algoritme numèric amb cares centrades per calcular la distribució de temperatures i fluxos calorífics al dissipador. Fes un anàlisis 2D (pla: x,y) i utilitza un esquema implícit. Per a la resolució del problema segueix els següents passos: i) discretitza el domini i indica els volums de control; ii) dedueix l’equació de discretització de tres nodes (els indicats pels punts A, B i C); iii) fes un algoritme de resolució amb Gauss-Seidel.

5. El dipòsit de la figura te un diàmetre intern , un gruix , i està format d’un material de propietats termofísiques constants , ,

. Diàmetres tubs entrada/sortida: i . A l’exterior tenim un ambient a temperatura coneguda . Els coeficients de transferència de calor interiors i exteriors són dades: i . El dipòsit es carrega amb un gas de propietats conegudes ( , ) i a unes condicions controlades de cabal i temperatura: i

. Simultàniament, aquest gas és estret del dipòsit de forma controlada a unes condicions de cabal i a la temperatura mitja del gas en aquell instant. Les condicions inicials ( 0 són conegudes ( , ). Proposa un algoritme numèric

CB

ec

A

de tipus implícit que permeti calcular l’evolució transitòria de temperatura, pressió i densitat del gas dins del dipòsit ( , , ).

Tenim una tuberia on entra oli Therminol 66 (vegeu apartat D del formulari) a 40º , 1.5 / i 1 . La paret de la tuberia és a una temperatura constant i coneguda 100 . El diàmetre és de 20 i la llargària és 1 . Calcula: i) El coeficient mig de transferència de calor a la tuberia; ii) La temperatura de sortida ( ); iii) La calor total intercanviada entre el fluid i la tuberia.

Sol.

Anàlisis fluid amb un sol VC Discretització fluid en VC (solució exacta)

Cas de l’enunciat (cas de referència) 41.43 1096 41.43 17960 Cas ref. amb 62.95 1096 62.61 17960 Cas ref. amb aigua 55.18 29634 55.09 29458 Cas ref. amb aigua i 153.89 !! 224125 100.00 118075

Tin, vin, pin Tout

Tw

L

D

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MAS SA (juny 2011a)



1. Questions diverses:

1.1 Considera un flux d’aire sobre un placa isoterma a temperatura 300 . Les condicions exteriors són: 2, 3 , 300 . Calcula les condiciones d’estancament (pressió, velocitat, densitat, temperatura) i la temperatura de recuperació. Comenta el sentit físic d’aquestes dues temperatures.

1.2 Comenta el sentit físic del terme de dissipació viscosa i la restricció que imposa el postulat de Plank.

1.3 Determina la temperatura a la paret, w, i els fluxos de calor sobre les superfícies 1 i 2 del recinte que es mostra en la figura, tenint en compte que:

- La geometria del recinte és coneguda: L1=6m, H1=2m, e=0.05m, H2=3.5m, W>>H1,2.

- En el recinte A les parets verticals són adiabàtiques i amb una emissivitat εa=1, la superfície 1 està a una temperatura T1=12ºC i té una emissivitat ε1=0.8. L’aire de l’interior del recinte està a una temperatura TgA= 17ºC i el coeficient de transferència de calor per convecció amb totes les parets és αA=5W/m2K.

- En el recinte B les parets inclinades estan a una temperatura T2=22ºC i tenen una emissivitat ε2=0.8. L’aire de l’interior del recinte està a una temperatura TgB= 25ºC i el coeficient de transferència de calor per convecció amb totes les parets és αB=8W/m2K.

- La paret que separa els dos recintes té un gruix de paret prou petit i una conductivitat tèrmica λw prou elevada per a considerar que la temperatura es manté constant. L’emissivitat de la paret és εw=1.

1.4 Explica com obtindries la potència emissiva hemisfèrica total del tungstè emetent difusament a

2500 i amb una emissivitat funció de la longitud d’ona segons la llei: 3 0.4, i per 3 0.1.

1.5 Considera una placa isoterma vertical a 130 i en contacte amb aire ambient a temperatura

20. L’alçada de la placa és de 3 . Calcula el coeficient de transferència de calor en el punt mig de la placa i la calor que per unitat de superfície intercanvia l’aire amb la placa.

1.6 Tenim un conducte de secció transversal variable amb una vareta en el seu interior. Entre el conducte i la vareta circula aire a elevada velocitat. Obté l’equació discretitzada de massa, momentum i energia en aquest cas en el volum de control “i” de la figura.

1.7 Dedueix l’equació general de conservació de la massa en coordenades cilíndriques , , , a partir de la

seva formulació integral:

·

0.

e

H2

H1

W

L1

L1/2 L1/2

Ad

iab

àti

c,

εa

εw,Tw αB , TgB

αA , TgA ε1,T1

Adiabàtic,εa

ε2,T2

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MAS SA (juny 2011b)



2. La placa de la figura separa una corrent d’aire amb unes condicions conegudes en la zona potencial (, , ), d’un corrent d’aigua que circula en la zona interior a unes condicions d’entrada donades (, , ). La placa de separació està constituïda per tres materials (A, B i C). A efectes de radiació, considera que sobre la placa incideix una radiació solar de valor !. A efectes de radiació a l’infraroig considera que l’exterior es comporta com un cos negre a temperatura .

1.1 Troba els grups adimensionals característics d’aquest problema assumint " 0.1 i sense considerar els efectes de la radiació (solar i infraroja).

1.2 Calcula la calor de conducció per unitat de superfície a la placa en el punt # $ % 0.8$ ; ( ) %

) % ) i per les dades següents: $ 0.5 , $ 3 , * 0.75 , 3.5, 0.6 , -30, -15, ! 650 */. Resol el cas considerant la calor de radiació (emissivitat a l’infraroig de 0.8 i absortivitat a la solar de 0.3) i per a una temperatura suposada de la placa en aquest punt de 400. Si resulta un procés iteratiu fes tant sols la primera iteració amb una temperatura d’arrencada de 600. Reynolds crític: /) 5 0 10.

1.3 Pel cas anterior, presenta un procés de resolució que permeti avaluar la distribució de temperatures a la placa i al fluid refrigerant que circula en la zona interior. Mira de seguir el següents passos en la teva explicació: i) hipòtesis generals i proposta de discretització del conjunt (nodes centrats pel cas de la placa); ii) obtenció de les equacions de discretització a la placa (fes només els tres nodes característics sobre la línia # $); iii) discretització del fluid interior en un volum de control genèric “i” indicant com és el càlcul dels coeficients de fregament i de transferència de calor; iv) per la zona de l’aire exterior fes tant sols referència a l’explicació de l’apartat 1.2; v) algoritme global de resolució.

, ,

$ $

) ) )

*

!

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (novembre 2011)

COGNOMS i NOM: SIGNATURA:


1. Explica breument el fenomen físic de la conducció de calor en un sòlid i en un gas (comenta semblances i diferències). Després, explica com es defineix la conductivitat tèrmica d’un sòlid i com l’avaluaries.

2. Dedueix l’equació diferencial de l’aleta de la figura assumint que la temperatura depèn únicament del radi i del temps. Explica clarament les hipòtesis assumides.

3. Explica que representa la següent equació, comenta el sentit físic de cadascun dels seus termes, i digues quines són les seves unitats.

· · λ · · · · ·

4. Tenim una placa isoterma de longitud L 4 m i amplada W 1.5 m. En les zones allunyades de la placa circula un flux d’aire a les següents condicions: v 20 m/s, p 7 bar, T 300 . La placa es troba a una temperatura de T 40 . Calcula la calor que per unitat de superfície intercanvia la placa i l’aire circulant a una distància x 1 m des de l’inici de la placa. Calcula també la calor total intercanviada a la zona turbulenta. Considera que la capa límit arranca laminar i que el Reynolds crític és 5 10 .

5. Considera el problema anterior i totes les dades donades excepte la velocitat, que ara és v 650 m/s. Calcula per aquest cas la temperatura i la pressió d’estancament (justifica les expressions utilitzades; recorda

que per a un gas semi-perfecte ds cT

TR ). Calcula també la temperatura de recuperació en el punt

x 1 m i explica el seu sentit físic.

6. Per un conducte de secció circular circula un flux d’aigua a una temperatura, cabal màssic i pressió conegudes a l’entrada: , , . Les propietats de l’aigua pots considerar-les constants i de valor: ρ , c , µ , λ . El tub és de material metàl·lic de propietats termofísiques conegudes: ρ , c , λ . La zona exterior del tub està envoltada d’un aïllant de propietats: ρ , c , λ . L’aire exterior es troba a temperatura i pressió conegudes: , , sent les seves propietats termofísiques: ρ , c , µ , λ . Les dimensions del tubs són: , , (gruix material metàl.lic) i (gruix aïllant). Troba els grups adimensionals característics d’aquest problema. Després, defineix un flux de calor adimensional entre l’agua i la paret del tub i explicita de quins grups adimensionals depèn.

7. En l’interior d’un dipòsit tenim un gas que experimenta un procés transitori segons l’equació T 200 180e . (T en i t en s). Inicialment (t0 ) tot el dipòsit es troba a una temperatura de 20 . La temperatura de l’ambient exterior és T 20 . Explica el procés numèric que permeti calcular l’evolució de les temperatures a la part metàl·lica (m) i a l’aïllant (a) del dipòsit al llarg del temps utilitzant un esquema explícit i una discretització de nodes centrats. Calcula les temperatures en els tres primers instants de temps utilitzant 2 nodes per la part metàl.lica, 3 nodes per l’aïllant i un increment de temps de 0.5 s. Calcula també l’energia transferida entre el gas i la paret interior del dipòsit durant aquests primers tres instants, així com l’energia acumulada en la paret metàl·lica.

Dades: D 0.7 m , e 0.02 m , e 0.04 m ,H 1.2 m , ρ 7800 , c 490J

K, λ W/mK

49.5 0.03T , ρ 15 , c 1700 J/kgK, λ 0.04W/mK , α 850 W/m K i α70 W/m K.

g, Tg

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (gener 2012)



1. En una superfície asfaltada li arriba una radiació solar de valor 700 / . La temperatura ambient és de 25 . La temperatura del terra a una certa distància és de 15 . L’atmosfera es comporta com un cos negre a una temperatura 10 . Calcula la temperatura superficial de l’asfalt i en la zona de contacte amb el terra assumint règim permanent.

Gruixos: 5 , 2 . L’absortivitat de l’asfalt a la radiació solar és de 0.9 i l’emissivitat a la banda de l’infraroig 0.95. La conductivitat tèrmica de l’asfalt i del terra són: 0.7 / i 1.8 / . El coeficient de transferència de calor aire-asfalt s’ha de calcular. Si resulta un procés iteratiu arranca amb una temperatura de 40 i fes tant sols una iteració. Explica molt breument com plantejaries el problema anterior en el cas real de règim transitori, on , i són dades del problema. No cal deduir cap equació.

2. Per un conducte de diàmetre interior 22 i longitud 2.5 circula un flux d’aigua a 1.5 / i a una temperatura i pressió d’entrada 20 i 2 . Per la part exterior, una resistència elèctrica enrotllada a la tuberia dóna a l’aigua una potència calorífica constant per unitat de longitud de 15000 / . Planteja el problema amb un sol volum de control i calcula la temperatura i pressió de l’aigua a la sortida del volum de control i la temperatura mitja de la paret. Considera tuberia llisa. Altres dades: 1000 / , 4180 / , 0.6 / , /

. . . · , en .

3. Preguntes curtes: 1) Explica el concepte de cos negre i comenta breument les seves característiques més rellevants. 2) Dedueix la potència emissiva hemisfèrica del cos negre, , , a partir de la intensitat radiant específica , ; comenta el sentit físic i unitats d’ambos termes ( , i , ). 3) Quines característiques radiants (banda solar i banda infraroig) hauria de tenir el receptor d’un col·lector solar per aconseguir màxima eficiència tèrmica? 4) Defineix el coeficient de transferència de calor del flux d’un gas a elevada velocitat (M>0.5) sobre una placa isoterma; dibuixa una possible distribució de temperatura per dos números de Mach diferents.

4. Considera l’aleta circular de la figura composta de dos materials de propietats ( , , ) i ( , , ). Troba l’equació de discretització del node de contacte ( 1) pel cas de règim transitori i utilitzant un mètode implícit. Apart de la geometria ( , , , ), són també dades del problema les condicions exteriors ( , ).

5. Tenim una placa isoterma de longitud L 4 m i amplada W 1.5 m. En les zones allunyades de la placa circula un flux d’aire a les següents condicions: v600 m/s, p 7 bar, T 40 . La placa es troba a una temperatura uniforme de T 40 . Calcula la calor total intercanviada entre la placa i l’aire. Considera que la capa límit arranca com a flux turbulent.

6. Considera el conducte quadrat de la figura per on circula un líquid a velocitat, pressió i temperatura coneguda a l’entrada ( , , ). Les quatre parets exteriors del conducte són adiabàtiques. Per la zona interior tenim una vareta circular amb fons internes conegudes. La geometria és òbviament coneguda, així com les propietats termofísiques del fluid ( , , , ) i de la vareta ( , , ).

1. Troba els grups adimensional característics d’aquest problema

2. Planteja un algoritme que ens permeti avaluar la velocitat, pressió i temperatura del líquid al llarg del conducte (tractament unidimensional), així com les temperatures a la vareta (tractament 2D amb el radi i la longitud axial). Considera règim permanent.




1. Preguntes curtes:

a) Tenim un material amb 5 / i sabem que el mapa de temperatures és de la forma:

2ln , on , , . Calcula en el punt ( 3 , 2 ) el flux de

calor en la direcció x, en la direcció y i en la direcció del vector jia

2 .

b) Partint de l’equació següent: · , dedueix l’equació indicada abaix i comenta

el seu sentit físic i el de cadascun dels seus termes:

· · · · : ·

c) Comenta breument la utilitat de l’anàlisi dimensional i la metodologia explicada a classe per obtenir els grups adimensionals d’un problema (e.g. el flux d’un fluid incompressible en una placa).

d) Calcula la calor intercanviada entre un corrent d’aire a velocitat 50 / , temperatura 25 i pressió

1 i un cilindre isoterm a temperatura 800 , de diàmetre 20 i longitud 3 .

2. Observa la situació de la figura. Es tracta d’un semicilindre foradat, on la part inferior, en contacte amb el terra, és adiabàtica. Consta de dos materials, on el més interior té fons internes . A la part interior té un fluid a temperatura Tg1 i a la part exterior té un altre a temperatura Tg2. El conjunt està en règim permanent. Planteja el càlcul de les temperatures del sòlid T1, T12 i T2, tot deixant indicat clarament el sistema d’equacions numèric a resoldre sense necessitat de trobar la solució concreta.

Dades: Tg1 = 80ºC, Tg2 = 15ºC, αg1 = 400 W/m2, αg2 = 20 W/m2, λ1 = 30 W/mºC, λ2 = 0.03 W/mºC, R1 = 0.02 m, R12 = 0.03, R2 = 0.10 m, = 500000 W/m3.

3. Imagina que de sobte canvia la condició de contorn del contacte cilindre-terra. Ara la temperatura és fixe i igual a Tw. Explica el procediment del càlcul transitori en el següents passos: i) Fés una proposta de discretització. Utilitza el mètode de les cares centrades; ii) Obté l’equació de 3 nodes que consideris més rellevants. Fès servir un esquema de càlcul de tipus implícit; iii) Explica un algoritme de càlcul per tot el conjunt.

4. Considera un recinte de forma cúbica de costat . Les parets es mantenen a una temperatura uniforme . Inicialment, 0, dins del recinte tenim un gas a unes condicions uniformes de temperatura ( ) i pressió ( ). A partir d’un cert instant, 0, es comença a introduir més gas dins del recinte a unes condicions de temperatura i cabal coneguts: i . El tub d’entrada del gas al recinta té una secció coneguda . Explica com avaluaries la distribució de temperatures, pressions i densitats del gas dins del recinte al llarg del temps i assumint que la temperatura de les parets no varia al llarg del procés d’entrada del gas. Considera que la pressió d’entrada del gas, , és igual a la pressió mitja del gas dins del recinte. Indica també com calcularies l’energia intercanviada entre el gas i les parets del recinte entre l’instant inicial, 0, i un instant arbitrari .

Utilitza un mètode implícit. Considera que són dades del problema el coeficient superficial de transferència de calor gas-parets, , i les propietats termofísiques del gas: i .

Vg, Tg, pgTw

D

L

T g2, αg2

T g1, αg1

λ1

λ2

R2

R12 R1

T 1 T 12

T 2

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (juny 2012)



1. Considera un corrent d’aire a velocitat 50 / , temperatura 25 i pressió 1 al voltant d’un cilindre de diàmetre 20 , longitud 1.5 , una emissivitat 0.8 , i unes

fonts internes 10 / (vegeu figura). A efectes de radiació, l’exterior es comporta com un cos negre a una temperatura 10 . Calcula la calor intercanviada entre el cilindre i l’aire exterior, així com també la temperatura al centre del cilindre i a la superfície (zona contacte cilindre-aire). Explica les hipòtesis que s’han d’assumir per resoldre aquest problema utilitzant solucions analítiques. Arranca el procés iteratiu amb una temperatura del cilindre de 200 . La conductividat tèrmica del cilindre és λ = 230 W/mK.

2. El recinte triangular de la figura, de costats 2 , 3 i de gran profunditat, està format per dues parets isotermes a temperatura

120 i 80 , i una paret amb un flux de calor per conducció entrant a la paret conegut, 10 / . L’emissivitat de les parets és: 0.7 i 1. Dins del recinte tenim un fluid que intercanvia calor per convecció amb uns valors coneguts dels coeficients de transferència de calor de la paret 1 i 3: 45 / i 20 / . El coeficient de transferència de calor per convecció natural de la paret vertical s’ha de calcular. Calcula la temperatura de l’aire i de la paret 3, i , així com el flux de calor per conducció a les parets 1 i 2, i . Arranca el procés iteratiu amb una temperatura de la paret 3 de 0 .

3. Troba els grups adimensionals característics del problema anterior (sense considerar la radiació).

4. Considera un flux d’aire a 25 , 0.8 i 1.8 sobre una placa isoterma de longitud 3 , amplada 1 i temperatura 25 . i) calcula la temperatura de recuperació i la

temperatura d’estancament i explica físicament la diferència entre una i l’altre (arranca el procés iteratiu amb una temperatura de referència de 400 ); ii) calcula el coeficient local de transferència de calor al final de la placa (i.e. en 3 ) amb l’expressió Prandtl-Schlichting i el flux d’energia en aquesta posició; iii) explica com calcularies la calor total intercanviada entre la placa i l’aire exterior.

5. Considera un dipòsit cilíndric de parets metàl·liques de diàmetre interior , alçada i gruix , i propietats , , . El dipòsit està recobert lateralment i en la tapa superior per un aïllant de gruix , i propietats , , (considera que la base del dipòsit és perfectament adiabàtica). L’exterior és aire que es troba a

una temperatura constant . A efectes de radiació, l’exterior es comporta com un cos negre a una temperatura coneguda i la superfície del dipósit té una emissivitat ε.

Inicialment, 0, dins del dipòsit tenim un gas a unes condicions uniformes de pressió ( ) i temperatura ( ). A partir d’un cert instant, 0, es comença a introduir més gas dins del dipòsit a unes condicions de temperatura i cabal coneguts: i . El tub d’entrada del gas al dipòsit té una secció coneguda .

Proposa un model numèric que permeti calcular la temperatura, la pressió i la densitat del gas dins del dipòsit, així com les temperatures de la part metàl·lica i de l’aïllant a la part lateral i la tapa superior del dipòsit.

Utilitza un mètode implícit. Considera que són dades del problema el coeficient superficial de transferència de calor gas-parets i aïllant-aire ambient, i , i les propietats termofísiques del gas: i . Nota: resol la paret lateral i la tapa superior assumint flux calorífic unidimensional.

3 2

1

T2

T1

Tg

Text

vg, Tg, pg Tw

D

Lεb =1

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MASSA (setembre 2012)


Notes: i) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen, a part del formulari que es facilita amb aquest; ii) no està permès l'ús de calculadores programables; iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació amb foto; iv) en el cas de que la resolució d’algun exercici impliqui un procés iteratiu, i si no es diu expressament el contrari, fes tan sols la primera iteració, indicant com es continua, iv) pel càlcul de propietats termofísiques fés servir taules i agafa valors més propers sense interpolar..

1. Preguntes curtes:

a) Explica el concepte de conductivitat tèrmica en sòlids i la diferència entre materials aillants i materials conductors. Raona les unitats d'aquesta magnitud a partir de la llei de Fourier.

b) Dedueix l’equació de continuitat per un fluid compressible i en coordenades cartesianes.

c) Explica la llei de Kirchoff. Qué es una superfície gris difossa? Com és la llei de Kirchoff en aquest cas?

d) Determina la calor neta de radiació en cada una de les tres superfícies que conformen el recinte buït (mig cilindre i paret vertical) de la figura. Comprova que es compleix el balanç global d'energia. Les temperatures i emissivitats de cadascuna de les superfícies són: T1=27ºC, ε1=0.6, T2=77ºC, ε2=0.4, T3=127ºC, ε3=1.0. Geometria: L1=L2=R=1.3 m.

e) Pel exercici anterior, imagina que dins del recinte tenim un aire confinat. Determina la calor neta de convecció i de radiació en cada una de les superficies i la temperatura mitja de l'aire dins del recinte. Utilitza les mateixes dades i supposa que el coeficients superficials de transferència de calor són: 1=40 W/m2K,2=25 W/m2K,3=60 W/m2K.

f) Pel exercici anterior, dedueix l'expressió matemàtica de la radiositat i la irradiació de la superfície 3, això és, i .

2. Considera un corrent d’aire a velocitat 10 / , temperatura 25 i pressió 1 al voltant d’una esfera de diàmetre 20 , una emissivitat 0.7, i unes fonts internes 10 / (vegeu figura). A efectes de radiació, l’exterior es comporta com un cos negre a una temperatura

10 . Calcula la calor intercanviada entre l’esfera i l’aire exterior, així com també la temperatura al centre del’esfera i a la superfície (zona contacte esfera-aire, ). Explica les hipòtesis que s’han d’assumir per resoldre aquest problema utilitzant solucions analítiques. Arranca el procés iteratiu amb una temperatura del’esfera de 200 . Nota: conductivitat tèrmica de l’esfera: λ = 230 W/mºC.

3. En el problema anterior, imagina que inicialment (t = 0) tot està a una temperatura uniforme de To = Tg i que a partir aquest instant, t > 0, entren en funcionament les fonts internes q . Proposa un algoritme de càlcul per aquesta situació. Fes servir una discretització basada en cares centrades i un esquema de càlcul de tipus implícit.

4. Troba els grups adimensionals característics del problema anterior (no cal que consideris la radiació).

5. Considera un flux d’aire a 35 , 1.2 i 1.6 sobre una placa isoterma a 20 , de longitud 2.5 i amplada 1.5 . Calcula: i) la temperatura de recuperació i la temperatura d’estancament i explica físicament la diferència entre una i l’altre (arranca el procés iteratiu amb una temperatura de referència de 400 ); ii) el coeficient local de transferència de calor al final de la placa (i.e. en

2.5 ) amb l’expressió Prandtl-Schlichting i el flux d’energia en aquesta posició; iii) explica com calcularies la calor total intercanviada entre la placa i l’aire exterior, (per aquest apartat no cal fer calculs concrets).

Text

vg, Tg, pg Tw

D

εb =1

1

R

L2

L1

3

2

DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I DE MAS SA (gener 2013)


Notes: i) no es pot utilitzar cap mena d'informació en aquest examen, a part del formulari que es facilita amb aquest; ii) no està permès l'ús de calculadores programables; iii) posar en un lloc visible un document d 'identificació amb foto; iv) en el cas de que la resolució d’algun exercici impliqui un procés iteratiu, i si no es diu expressament el contrari, fes tan sols la primera iteració, indicant com es continua, iv) pel càlcul de propietats termofísiques fés servir taules i agafa valors més propers sense interpolar..

1. Preguntes curtes: 1) Explica el concepte de cos negre i comenta breument les seves característiques més rellevants. 2) Explica com es defineix i el sentit físic de la intensitat radiant específica , i la diferència respecte a la calor radiant específica que incideix o abandona un cos. 3) Quines característiques radiants (banda solar i banda infraroig) hauria de tenir el receptor d’un col·lector solar per aconseguir màxima eficiència tèrmica? 4) Defineix el coeficient de transferència de calor del flux d’un gas a elevada velocitat (M>0.5) sobre una placa isoterma; dibuixa una possible distribució de temperatura per dos números de Mach diferents.

2. Dedueix l’equació de conservació del moment lineal en coordenades cartesianes (, ) i en la direcció . Fes l’exercici a partir de l’equació en la seva forma integral (la tens a l’apartat A2 del formulari). Utilitza la llei de la viscositat de Stokes:

.

3. Tenim una esfera massissa de diàmetre amb aire ambient al seu voltant. Inicialment ( 0) l’aire està en repòs, a pressió atmosfèrica i el conjunt, aire i esfera, a temperatura uniforme . A partir d’un cert instant ( 0), comenca a

actuar una generació interna d’energia a l’esfera. Avalua els grups adimensionals característics d’aquest problema. Després, defineix un número de Nusselt per la superfície de l’esfera i indica de què grups adimensionals depèn.

Apart de les dades ja indicades (, , , ), són també dades del problema les propietats termofísiques de l’esfera

(, , ) i de l’aire (, , , , ). Pots assumir que tant com les propietats termofísiques són constants. Per

les equacions bàsiques consulta l’apartat A2 del formulari d’examen.

4. Considera una esfera massissa formada per dos materials A i B. La part interna és de material A (carbon steel C≈0.5%), amb un radi de 15 i on actuen unes fons internes de calor de valor 2 10 /. El recobriment exterior és del material B amb una conductivitat tèrmica 0.6 /$ i gruix % 1 . Al voltant de l’esfera tenim aire ambient a un temperatura 20 & i 1 '(). L’esfera intercanvia també calor per radiació amb el medi

exterior que es comporta com un cos negre a una temperatura 5 &. Calcula: i) la temperatura en el centre de l’esfera, en la zona de contacte dels dos materials i en la zona en contacte amb l’aire ambient; ii) la calor cedida per convecció a l’ambient i per radiació al medi exterior.

Notes: Per realitzar aquest exercici pots consultar els apartats A3 (pàg. 3), C1 (pàg. 14; utilitza l’expressió de Churchill encara que estiguis fora del rang) i les Taules B-1 (pàg. 18) i B-4 (pàg. 20) del formulari d’examen.

5. En el problema anterior, imagina que inicialment (t = 0) tot està a una temperatura uniforme de To = Tg i que a partir aquest instant, t > 0, entren en funcionament les fonts internes q . Proposa un algoritme de càlcul per aquesta situació. Fes servir una discretització basada en cares centrades i un esquema de càlcul de tipus implícit.

6. Considera un flux d’aire a 35&, 6 '() i , 1.6 sobre una placa isoterma a 20&, de longitud - 2.5 i amplada 1.5 . Calcula: i) la temperatura de recuperació i la temperatura d’estancament i explica físicament la diferència entre una i l’altre (arranca el procés iteratiu amb una temperatura de referència de 400&); ii) el coeficient local de transferència de calor al final de la placa (i.e. en 2.5 ) amb l’expressió Prandtl-Schlichting i el flux d’energia en aquesta posició; iii) explica com calcularies la calor total intercanviada entre la placa i l’aire

exterior, / (per aquest apartat no cal fer calculs concrets). Per les propietats termofísiques de l’aire utilitza la taula B-4

del formulari d’examen. Per la densitat recorda que la constant de l’aire és 287 2/34$.

Documents

Dinàmica de Gasos i Transmissió de Calor i Massa Col·lecció …...DINÀMICA DE GASOS I TRANSFERÈNCIA DE CALOR I MASSA (gener 2008) COGNOMS I NOM: SIGNATURA: Normes d’examen: