Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Un cuerpo rígido es aquelconstituido por un sistemade partículas, tal que al seraplicada una fuerza
A BF1F2
aplicada una fuerzaexterna, la distancia entredos de ellas permanececonstante. Está sometido ados tipos de movimientos:traslación y rotación.
1Física I Mg. José Castillo Ventura
Ri
Z
iωr
ivr3
2
1
iiii
iiiiii
iiii
ii
vxrmL
vmxrpxrL
Rsenrv
rxv
=
==
===
ωθωω
rrr
rrrrr
rrr( )ω
ω2iiiz
iiiiz
RmL
RRmL
=
=
Ri
Ai
irr
2
π
iLr
izLr
iθ4
2cos
iiiiz
iiii
iiiiiz
iiii
vRmL
senvrm
vrmL
=⇒
=
−=
θ
θπ
2Física I Mg. José Castillo Ventura
Si deseamos hallar el momentumangular total a lo largo del eje Z, debemos sumar las contribuciones de las otras partículas:
( )ω2233
222
211
1321
...................
.................
nn
n
iizznzzz
RmRmRmRm
LLLLLLz
++++=
=++++= ∑=
51
2∑=
=n
iiiRmI
I: momento de inercia
6ωILiz = 7αωI
dt
dI
dt
dLiz ==
Para determinar el momentumangular de todo el cuerpo:
∑=+++= iLLLLLrvrrr
.....................321
3Física I Mg. José Castillo Ventura
X0
Y0
z0
z
Existen por lo menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para los que el momentumangular es paralelo al eje de rotación; estos
X0
Y0
z0
Y0
z0
X0
eje de rotación; estos reciben el nombre de ejes principales de inercia (x0, y0, z0 ), y sus momentos omento principales de inercia. (Ix, Iy, Iz)
4Física I Mg. José Castillo Ventura
En forma general cuando un cuerpo rota alrededor de un eje principal de inercia, el momentum angular total es paralelo a ω
r
8ωrr
IL =
( ) αω rrr
IIdt
d
dt
Ld ==⇒
9αrr
IM =
Rv ω=Para una partícula que se encuentra rotando con velocidad vi, la expresión para la energía cinética es:
ii Rv ω=
102
1
2
1
2
1
2
1
2
22222
ω
ωω
IE
RmRmEvmE
k
i i iiiiikiik
=
==⇒=∑ ∑ ∑
5Física I Mg. José Castillo Ventura
Para un conjunto discreto de partículas:
12∑=i
ii RmI
( ) 322
222
dmyxI
yxR
z
i
∫ +=⇒
+=
De la figura:
Z
PR
Si del cuerpo anterior se toma una placa
Consideremos un cuerpo rígido que gira alrededor del eje Z, tomemos un dm en el punto P.
X
Yx
P
y
R
dm
5
2
2
yxz
y
x
III
dmxI
dmyI
+=⇒
=
=
∫
∫
X
Y
Z
xy
R
4
se toma una placa delgada, los momentos de inercia respecto a X é Y son:
6Física I Mg. José Castillo Ventura
Este teorema relaciona el momento de inerciaalrededor de un eje que pasa por el centro de masas yotro paralelo al mismo
Zc
Z
a = separación entre
los ejes Z y Zc
P
X
Y Yc
a
CM
RCM
P’
x
yR
los ejes Z y Zc
CM = origen del CM
Zc, eje paralelo que
pasa a través del CM
del cuerpo
7Física I Mg. José Castillo Ventura
De la figura: ( )
yaaRR
yaayxayxR
yxR
Cm
CM
2
2222
222222
222
++=⇒
+++=++=
+=
Luego el momento de inercia respecto del eje Z es:
( )( )∑∑ ∑
∑∑++=
++==
yamamRm
yaaRmRmI
CM
CM
2
2
22
222
∑++= ymaMaI 22 ∑++= ymaMaICM 22
La cantidad
puede ser evaluada de la posición del CM:
, pero yCM= 0
∑ ym
∑∑=
m
ymYCm
6:;0 2∑ +==⇒ aMIIluegoym CM8
Física I Mg. José Castillo Ventura
Ejemps.
1.- Hallar el momento deinercia del sistemamostrado para la rotaciónalrededor de un ejeparalelo que pasa a travésde las dos masas. m
m
m
m
2b
2a
1
2
3
4
2
24
23
22
21
24
1
8
)2()2()0()0(
amI
amammmrmI ii
i
=
+++==∑=
9Física I Mg. José Castillo Ventura
m1 m2
m3m4
z
x
y2.- Cuatro partículas están en los vértices deun cuadrado unidas por varillas sin masa, demodo que m1=m3= 3 kg y m2=m4= 4 kg. Lalongitud del lado del cuadrado es L = 2m. (a)Hallar el momento de inercia respecto a uneje perpendicular al plano de las partículas yque pasa a través de m4. (b)¿Cuánto trabajo senecesita para producir una rotación de 2rad/s alrededor de este eje?
∑∑
=+=+==
=+=+==
+=
28)4(3)4(4)2()2(
28)4(4)4(3)2()2(
23
22
2
22
21
2
mmxmI
mmymI
III
iiy
iix
yxz(a)
256 mkgIz =
( ) Js
radmkgIEEw kk 112456
2
1
2
12
222
0 =
==−= ω(b)
10Física I Mg. José Castillo Ventura
3.- Calcular el momento de inercia de una varilla delgada homogénea con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a través de (a) un extremo; y (b) al centro.
dx
xx
y
dx
xx
y yc
x
L
x
L/2L/2
(a)
2
0
3
0
2
0
2
2
3
1
3LM
L
MxI
dxxL
Mdx
L
MxI
dxL
MdmperodmxI
L
y
LL
y
y
=
=
=
=
==
∫∫
∫(b)
2
2
2
2
2
32
12
1
3
LMI
x
L
Mdx
L
MxI
CM
L
L
L
LCM
=
=
= ∫−−
2
222
2
12
1
23
1
2
LMI
LMLMaMII
LaaMII
CM
CM
Cm
=
−=−=
=+=Usando el teorema de Steiner:
11Física I Mg. José Castillo Ventura
r
dr
y
z
4.- Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo con respecto a(a) Un eje perpendicular que pasa por su centro; (b) Un eje que coincidecon un diámetro.
( )
( )
[ ] 20
42
0
3
02
2
22
2
1
4
2
22
;2;
RMIrR
MI
drrR
Mdrr
A
MrI
rAdrrA
MdmdmrI
R
RR
=⇒
=
=
=
=
==
∫∫
∫
πππ
ππ(a)
Rx
y
(b) En este caso Ix = Iy
2
4
1
2
1
2
RMIII
IIIIIIPara
xx
xyxz
=⇒=
=⇒+==
12Física I Mg. José Castillo Ventura
5.- Emplear el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia de una esfera maciza alrededor de un eje tangente a la esfera.
2aMII +=
Según el teorema de Steiner:
R 2aMII CM +=
2RMIIRa CM +=⇒=
R
13Física I Mg. José Castillo Ventura
R
r
x
dx
CM
De la figura:
Consideremos un conjunto de discos de espesor dx yradio r, que cubren el volumen de la esfera.
( ) ( ) 3222
3
4RVdxxR
V
Mdxr
V
Mdm πππ =−==
Para un disco dmdiscodelmasaRMI == ,2
1 2
( )( )
−−==⇒= ∫ dxxRxRM
rdmdIdIIR
CM22222 11 π
CM ( )( )
−−==⇒= ∫−
dxxRxRV
MrdmdIdII
R
CM22222
2
1
2
1 π
( )
( )2
222
222
5
2
2
2
1
RMI
dxxRMVI
dxxRMVdI
CM
R
R
CM
=
−=
−=⇒
∫−
π
π
222
5
7
5
2RMRMRMI =+=⇒
14Física I Mg. José Castillo Ventura