Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Departament d’Estadística
Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Convergències estocàstiques
Diplomatura d’EstadísticaEstadística Matemàtica IJordi Ocaña Rebull
Convergències estocàstiques
2
Punts que tractarem:
Concepte de successió de v.a. i límit.Convergència en distribució.Convergència de funcions característiques.Convergència en probabilitat. Lleis febles dels grans nombres. Convergència quasi segura. Lleis fortes dels grans nombres.Convergència en mitjana d’ordre k.
Convergències estocàstiques
3
Repàs: convergència d’una successió de nombres reals
Concepte de successió de nombres reals: an: una aplicació
Límit d’una successió de nombres reals “convergència segura”
nn a→
0 0
lim (o ) :
sii, per tot 0,
existeix , t.q. n n
n n nn
n
a a a a
n a a
ε
ε
→∞→∞= ⎯⎯⎯⎯→
>
∈ ≥ ⇒ − <
Convergències estocàstiques
4
Concepte de successió de variables aleatòries
Sigui F del conjunt de les v.a. definibles sobre un espai de probabilitat Una successió de v.a. és una aplicació
Normalment on les Yi són dades, observacions d’una mateixa v.a Y.En quin sentit podem dir que
( ), ,PΩ A
nn X→ F
( )1, ,n nX g Y Y= …
?nX X→
Convergències estocàstiques
5
Convergència en distribució (o en llei)
Concepte: suposem que Xn té distribució Fn, per tot n, i que X té distribució F,
També direm en aquest cas que F és la distribució asimptòtica de Xn.
(o )
sii lim ( ) ( )
en tot punt de continuïtat de
dn n
nn
X X X X
F x F x
F→∞
⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
=
L
Convergències estocàstiques
6
Convergència de funcions característiques.
Sigui Xn una successió de v.a. iCn(t) la corresponent successió de f. característiques. Si
i C(t) és contínua a t = 0, aleshores és funció característica d’una v.a. X i la successió Xn convergeix en distribucióa X.
lim ( ) ( )nnC t C t
→ ∞=
Convergències estocàstiques
7
Relació amb la convergència de funcions característiques
Sigui Cn la funció de característica de Xnamb funció de distribució Fn. Tenim que:
dnX X F⎯⎯→ ∼
( ) ( )per tot , lim
amb funció característica (la de )
nnt C t C t
C F→∞
=
Convergències estocàstiques
8
Convergència en probabilitat
Concepte:
És un concepte “local”: no diu res del límit de tota la successió Xn(ω), només assegura que, per n prou gran, “és molt probable” que els valors de Xns’assemblin als de X.
( )sii 0, lim 1
Pn
nn
X X
P X Xε ε→∞
⎯⎯⎯→
∀ > − < =
Convergències estocàstiques
9
Relació amb la convergència de funcions característiques
Sigui Xn una successió de v.a. iCn(t) la corresponent successió de funcions característiques. Si
on c∈ , aleshores la successió Xn convergeix en probabilitat al valor c.
l im ( ) i t cnn
C t e→ ∞
=
Convergències estocàstiques
10
Lleis febles dels grans nombres
Enunciat general (i imprecís): la mitjana aritmètica convergeix en probabilitat cap a l’esperança.Direm que Xn verifica la ll.f.g.n. siiquan
existeixen successions an i bn t.q.
( )1
1,n
ni ii
E X X Xn =
< ∞ = ∑
0Pn nX a− ⎯⎯⎯→nb
Convergències estocàstiques
11
Lleis febles dels grans nombres: casos particulars
– Teorema de Bernouilli (primera formulació de la llei feble dels grans nombres):
– Teorema de Txebytxev: suposem
aleshores
( )Si ,
aleshores
nn n
Pn
XX b n p Yn
Y p
=
⎯⎯⎯→
∼
( )
( )
2 2var , lim 0
, =0 per tot ,
n n nn
i j
X
X X i j
σ σ
ρ→∞
= < ∞ =
( ) 0Pn nX E X− ⎯⎯⎯→
Convergències estocàstiques
12
Lleis febles dels grans nombres: casos particulars (i II)
– Teorema de Khintxine: si les Xn són iid no cal que existeixin els moments de segon ordre per que
– Conseqüència del teorema de Khintxine: sota les condicions anteriors, si
– i també pels moments centrals, com
( )Pn nX E X µ⎯⎯⎯→ =
( )knE X < ∞
( )1
1 nPk k
nii
X E Xn =
⎯⎯⎯→∑
( )2 varPn nS X⎯⎯⎯→
Convergències estocàstiques
13
Convergència quasi segura
Concepte:
És un concepte “global”, la definició afirma que, amb tota seguretat, el límit de les successions numèriques Xn(ω) és el valor X (ω).
sii : lim ( ) ( ) 1
qsn
nn
X X
P X Xω ω ω→∞
⎯⎯⎯→
∈ Ω = =
Convergències estocàstiques
14
Lleis fortes dels grans nombres
Concepte similar a les lleis febles però amb convergència quasi segura.Teoremes de Kolmogorov: si
aleshores
(i si són iid: )
( )
( )
1
22
21
, , est. independents, ,
var ,
n i
ni i
n
X X E X
Xnσσ
∞
=
< ∞
= < ∞ < ∞∑
…
( ) . . 0q sn nX E X− ⎯⎯⎯→
( ). .q sn nX E X µ⎯⎯⎯→ =
Convergències estocàstiques
15
Convergència en mitjana d’ordre k
Concepte:
Casos més importants:– k=1, convergència en mitjana d’ordre 1 o L1
– k=2, convergència en mitjana quadràtica:
sii lim 0
per i finites
kn
knn
k kn
X X
E X X
E X E X→∞
⎯⎯→
− =
2 lim ( ) i lim var( ) 0n n nn nX c E X c X
→∞ →∞⎯⎯→ ⇔ = =
Convergències estocàstiques
16
Relació entre els diversos tipus de convergències estocàstiques
quasi segura
en mitjana d'ordre k
en mitjana d'ordre s(s<k)
en probabilitat
en distribució
“implica”