19
CHAPTER 4 DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 536 4.1 INTRODUCTION The behavior of many dynamic systems undergoing time-dependant changes (transients) can be described by ordinary differential equations. When the solution to the differential equation(s) of motion of a dynamic system cannot be obtained in closed form, a numerical procedure is warranted. Many numerical integration methods are available for the approximate solution of such equation(s) of motion. All the numerical integration methods have two basic characteris- tics. First, they do not satisfy the differential equation(s) at all time t, but only at discrete time intervals, say t apart. Secondly, within each time interval t , a specific type of variation of the displacement X, velocity X , and acceleration X is assumed. Thus several numerical inte- gration schemes are available depending on the type of variation assumed for X, X and X within each time interval t . In this chapter we discuss several widely used step-by-step numerical integration schemes for solutions of both single and multi degree of freedom systems. A brief description of these methods is presented for linear dynamic response analysis and their application is illustrated by several examples. 4.2 SINGLE DEGREE OF FREEDOM SYSTEM The general equation of a viscously damped single degree of freedom dynamical system, which is linear, can be expressed in the following general form: MX CX KX Ft () + + = (4.1) where M, C and K are the mass, damping and stiffness of the system; F (t) is the applied force; and X X X , and are the displacement, velocity and acceleration of the system. 4.2.1 Finite Difference Method If the equilibrium relation (4.1) is regarded as an ordinary differential equation with constant coefficients, it follows that any convenient finite difference expressions to approximate the velocities and accelerations in terms of displacements can be used. The central idea in the finite difference method is to use approximations to derivatives. Hence, the general differen- tial equation such as (4.1) and the associated boundary conditions, if any, are replaced by the corresponding finite difference equations. The continuous variable t is replaced by the discrete

Direct Time Integration Methods

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Direct Time Integration Methods

CHAPTER 4

DIRECT NUMERICALINTEGRATION METHODS

536

��� ����������

��������������� ���� �������������� ���� ����������� �� ����� ������� ��� ������

����������������� ��������� ����������� ������� ���������� ������������� ����������� ���

����� ������� �������������� ��������� ���� ������������� ��������������� ��

��� ������� �� ��������� ������ ������������������������������ ����������� ��

����������� ��������� ��!������� ��������� ������ ��������������������������������

������"������������ �������������������� ����������� ����������������������� ������������������

� ������������ ∆� �������#�� ���������� ������������ ������ ∆� �������������������������� ���������������� ������������ �� ��� ����������� � ��� ������������������������� ��������� ���

���� �������������������������� �� �� � ���� ������������� ��������� �� �� �� �� �� ���

����� ������������ ������∆� �$ �������������������������������������������������������� ��������� ������ ��������

������� ���������� ����� �������������������������������!�������������� ��������

�������������� �������� ����� �������� ���� �������� ���������������� ��������������

����������� �������

��� ���������������������� � ���

������ ���������� ����������������������� �������������������� ��������������������

����� ������ ����� �������� ���������� ���� ������%

�� �� �� � ��� � � �+ + = �&�'�

����������� ���������������������� ��� ������� ����������������(�������������������������(

� �� � � �� � ��� � ����������������� ������������ ����������� ��������������

4.2.1 Finite Difference Method

$���������������������� ��&�'���������������� ��� ��������� ����������� ������� ��� �

�������� ���� ��� ������ ������ �� � �� �� �� ���� �������� � ����� �� �� ��� ������ ���

����������� ����������� �� � � ����������������� ��� �� �������������� �� ���� ����� � � ���

���� �������������������������� ����� ����������������)� ���������� ���������� �

����������� ����������&�'��� ������������������ ����� ���� ������� ��������������������

���� �� ���� ���������� ��������� �������� �� ���������������������������������������

Page 2: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 537

����������� ������������ ����������� ���������������������� ������� ���� ���� �= ∆ �����

� �����* � �� ������� ���� ������������ ����� ��������� �����������������������������

� ������������ ���� ������������������������� ��� �����������

$ �������������������������������� ����� ���������� ���� ��������� ����* � ���

������ ������ ���� � �� ���� � ���� ����� ���� �������� ������������� � ������ ��� ��

�� ������ �������� ������� �� �� ���� � ���� �� �� ��� ���� ��� ��� � � �"���� &�'��+� ���

������ ��������� ��������� ���������,��������� �� �� ��� � � + −' '� � �������������

�� ���

x(t)

Xi-2Xi-1

i – 1 i – 2 i i + 1 i + 2 i + 3

h h h h

Xi

Xi+1

Xi+2

Xi+3

x(t)

t0 ti–2 ti–1 ti ti+1 ti+2 ti+3

�t = h

Fig. 4.1

� � ���

��

� + = + + + + …'-

.

- /� �� ��� ��&�-�

� � ���

��

� − = − + − + …'-

.

- /� �� ��� ��&�.�

����� � � � � = =� ��� ������� ������� � � � = − =+' ∆ ��0����*� ������������������� ���� �

�������� ��1����&�.������&�-����������

� � ���

� � = −+ −'

-' ' ���&�&�

!��� ��1�����&�.��� ���&�-���������

�� � ���

� � � = − +− +'

-- ' ' ���&�2�

!������������� ������ ��������� ���������� �������������������� ����� �����

������������������������������������������������� ���������� ���������� ������3� ���

4�����������

Page 3: Direct Time Integration Methods

538 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

4.2.2 Central Difference Method

5������������ �������������� ������������� ���1����&�'������������������������ ��

�������������� ������� �= ∆ ������������ ������� ���� ���������������������� ���

� � � � � ��� � � � � � �= = = =6 6 6� �

����������������������� ������������ ��� �������7������������������������������

����������������� ����∆��� = τ π8 �������τ �������� �������������������������$��∆� ������������������������ � ∆��� �������������������� ���������������������� ���� �����������

������� �� ������ ���������������������������� ����*��������� �������� ��

��������� ����� � �������9������������������������������������������������� t∆ ������

��� � ������������ ���������� ∆��� � ��� ����� ����� � ���� ����� ��������!� ����� ���� ������ ��� �

����� ≤ τ 8 �'6 �#��������� ��1�����&�2��� ���&�&���� ��� �� ���� �������������� �1����&�'����

������������ �������

�� � �

��

� �

��� �

+ − + −− +RST

UVW+

−RSTUVW + =' '

-

' '-

-� �∆ ∆�&�/�

����� � � � = � � �� ��� � � = � � ��#��� ��1����&�/���� �+'������

��

�� �

�� � + −=

+

RS||

T||

UV||

W||

−RST

UVW+ −RST

UVW+

LNM

OQP'

-

- - '

'

-

-

-

� �

� �: ;

� �

∆ ∆∆ ∆ ∆

�&�<�

���������* � ������������ ���������

������������������� �������������� �+'���� ������������������ ��1����&�<��������* �

��������������������� ���� � � � −' �� ���������� ��� �� ������� ���3�����������������

��1����&�<������������������ �����������������������������������������#� ������������

����'����� �� �1����&�<����������� ���������������������� ���

����� �� �1����&�/�������� ���

���� �����������* � ����� �� �������� ������ ��������9��������� ������������

�'�������

��� ���

='�������������������� ������� ���� �������� �����������������

��� �� ��� �

������������� ���������� ������������ ������������ ���)�������������������−'��� ���

���� ������1�����&�&��� ���&�2������������"�������������������������� ���� �������������� �����

���� ����������� �� �� � � �� �1����&�'�����������

�� > � � � ?��

� � �� ��� � �= = − −'6 ���&�@�

�������������='������� ����� ������������������� ���1�����&�&��� ���&�2������A�6�

� � � ��

�� � �− = − +'

-

-∆ ∆

�� �

�� ���&�B�

Page 4: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 539

4.2.3 Runge-Kutta Method

$ �����3� ���4������������� ���� ����� ���� � �� �+∆ �������� ���������� ����������������

��������������� �� �� ���������� ����� ��� �������������������������� ����� �∆� �

� ����������� ������∆� ������������������������������ �� �� ������C�∆���� ��������∆� �������������������� ������������� ���������������������������� ��������� ����������

����3� ���4������������������������ ��� �������������� ���������� �� ������������

��� ��������� �����������������������!�������������� ��������������������� ���������$

����3� ���4������������������ ����������� ����������� ��������������������������

��������� ���+ ����� ���������� ����������� � �� ������ ������������ ������������

���� �� �1����&�'���1����� ��&�'���� ���������� ���

�� > � � � ? � � � � ���

� � �� �� � � � �= − − ='�&�'6�

0������� ��� � � �' -= =� � � ��1����&�'6���� ���������������������� ������������

������ �%

�� �' -=

� � � ��� � � � �- ' -= �&�''�

0������ � �

� �� �

� �� �

� �

� �= RST

UVW'

-

� � � ��

� � � �� �

� � � �= RST

UVW-

' -

��������� ������ ���������������� ������� ���������������� �� � ����������������� ��

������� ����������������3� ���4�������������������������������������������� ��

����������

� � � � � � + = + + + +' ' - . &

'

/- -> ?

����� � �� � � ' = � � �

� �� � � � � - '

'

-

'

-= + +� � �

� �� � � � � . -

'

-

'

-= + +� � � �&�'-�

� � � �� � � � & . '

'

-= + +� � �

!�����������3� ���4��������������� �������������������� �����������������

� ������������ ������������������������� ����������������� �������������������������

���� ������� ��������������������������� ������������������& ��#� �����������

���3� ���4��������������� �� �������������������� ����������������������������� ��

Page 5: Direct Time Integration Methods

540 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

�������������� ������� ���������� ���� ������������� ������������������ ���������� ������

�� ��� ���� ��������������� ����� ����������� �� ��� ������������������������� �����

���*���������������������������������������������������������� ���������� ��� �

����� � ����� �������������� ������������3� ���4����������� ��������������� ��� �� ��

������������������������ ����������� ��

��� ��������������������� � ���

������ ������������������� ������� ����������������������������������������

��

> ? : ��; > ? : � ; > ? : ; : � �;� � � � � � � �+ + = ��&�'.�

����� > ?� > ?� > ?� � �� � ���� ���������� ����� �� � �� ����� ������������ �� ���� �������� �

> ��?� > � ?� > ?� � �� � � ���� �� ������������� �� ��������� � ������������ �� ������� ������������

: � �;� � � ��� ���� ���� ������ #������ �������� ������ � ������ �� �������� ��� ���������� �

������ ��������� ����������� �������������������� ������� ��"����� ����� ����

���������������� > ?� > ? > ?� � �� � ����� ���� �� ���������� ������������� �� ��� ���

��� �� ���� � ������ ����������������������� ��������� ����� �� �� �� ����� ����

�������� ��������������������� ������� ������ ��������� ������� ��"���������� ��

������ ������� ������� ����� ����������������������� ����������������� ������

���� ������ �������������� �������� � ������ ���������� ����������)������ �� ���

����� ��� �� ��������� ������� �������� ��������� ������ ������������� �����

����� ����

$ ���������� ������ ��������������������������� ������� ����� ���������������

������������� ���� ������������� � ����������������9� �� ������ ��� ���������� ���

��� ���� ������������ ������ �� ����� �������� ���������������� ����� �����

� ���� ��������������������� ������������������������0���������������������� �����

��������������� ������������ ������ ������%�� �������� ��������������������$ �� �� ������

�������� ���� ��� ������ ���������� � ������� � � ���������������������� ���������� �

���������� ������������ ����������� �� $ �� � ����������������� ���������� ��������� ����

���� ������������������ ������� ��� ���������������� ��������������������������������

� ������������ ��

$ ����������� �� ������������ ��������� ������ ������������������������� ���� �

�� ����� ������ ����������� �������������� �������� ��������������������� ������

������������ ��� ����!�������������� ������������������������ ����� ����������������

��� ���������������� � ������� ������������ ������� ���� �� ���� ������ ���������� ��������

������ ����������7����������� ����������3� ���4���������������������������� �����

����)���������� ��������9���*�0������ ��D�*�#���������������������������������������

��������� ��������� ����������������������� ��� ����������� �������������������������

�����

��� ��������� �����

!���� �� ��� ������� � � � � � ������� ������� �� ���� ��� ������ ������� ��� � ������� �

���������������������� ���������������������� ������������ ����������� �

Page 6: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 541

4.4.1 Central Difference Method

����������� � �������� �� ���� ����� �� �� �� ���� ������ �� ������������� �� �����������

� �� �����������������+ ����������������� ������������������������ �� �"����&�-��!�����

������������������� ������∆� ��������������������� ���

��� �

++=

−'

-

'

∆��������&�'&�

� � ��� �

−−=

−'

-

'

∆�����&�'2�

xi–1 xi xi+1

�t �t

Fig 4.2

������������� ���

����A�

� �� �

+ −−'

-

'

-

∆�&�'/�

#��������� �� ��+

'

-

�� �� ��− '

-

��������1�����&�'&��� ���&�'2��� ��1����&�'/���������

��� �A�1

∆�-���

C'�=�-�

�C��

='� �&�'<�

���������� ����������� ������� ���������� �������������������� �����������

�������� �� ������������������ ����

: � ;�� �A�'

-∆��>:�

�C∆�;�=�:��=∆�;? �&�'@�

: �� ; >: ; : ; : ;?��

�� � �� � � � � �= − ++ −∆ ∆ ∆-

- ��&�'B�

#��������� �� : � ; : �� ;� �� �� � ����1�����&�'@��� ���&�'B���������������� ��1����&�'.�����

���

> ? : ; : ;� � �� � �+ =∆ ��&�-6�

�����> ?� ������������������������� ��� ��> ?�� ��������������������������������� ���

> ? > ? > ?��

���=

' '

--∆ ∆�&�-'�

> ? : ; �> ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;� � ��

� ��

��� �� � � � �= − − − − −

- ' '

-- -∆ ∆ ∆ ∆ �&�--�

Page 7: Direct Time Integration Methods

542 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

!�������� �+ ∆ ���������������� ���: ;�� �+∆ ��� ������������������� ��1����&�-6���� �����

����������� ����������� ���������� ����������� ���������������� ����������������� : ;�� �+∆

� ��1���� �&�'@�� � �� �&�'B���9��� ����� ���� ��������� � �� : ;�� �+∆ � � ������ : ;�� �� �� : ;�� �− ∆ �

)� ����� ���������� ���������� ���������∆� ����������������� ������������ ������������&�'�������7������������� ������ ������������������������� ������ �� ������������

��������

!�������������� ������� ���������� ��������

��� $ ������ �������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?��� ������� ��>�?���������

-� $ ������7��:�6;� : � ;�6 ��� �� : �� ;�6 �

.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ����%

�6�A�

' '

--

'- ' - 6 .

-∆ ∆��

�� � �

�( ( (= = = �

&��+��������� : ; : ; : � ; : �� ;�� � � � � ��− = − +∆ ∆6 6 . 6

2� "��������������������� � � � � � �= +6 '> ? > ?�

/� ��� �����7�� > ? % > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

��� "���������������%

'� +������������������������������������ �%

: ; : ; �> ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;� � � � � � � � � � �� � � �= − − − − −- 6 ' ∆

-� #���������������� ����������� � �+ ∆ �%� � � �� � �: ;+ =∆

.� +��������� : � ; : �� ;� �� � ����������%

: � ; � : ; : ;�� � � �� � � � �= − −− +' ∆ ∆

: �� ; �: ; : ; : ;�� � � � �� � � � � �= − +− +6 -∆ ∆

����������� ���� ������������������������������∆�- ��! ������ ��� ������

�� �� ����������������� ���������� ���������������������� ������ ������������������

��������������∆� ����������� ������������������∆��� ��������������������������������������� ����

�������������������ω�� ������

∆��≤�∆����≤�

-

ω��

����&�-.�

$�������������������� ������ �∆��� ������� ������ ����� ����������� � �������� ����

������ �� ��� ���� �������� � ������ � �� � �� ��� � � ���� ������� ���� ����*�� ���

�� �������� ������������ �������� �����

4.4.2 Two-Cycle Iteration with Trapezoidal Rule

���������� ������� ����� ������������� �������� ������ ���� ���������

> ? : �� ; : ; > ? : ; > ? : � ;� � � � � � �� � � �∆ ∆ ∆ ∆= − − �&�-&�

Page 8: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 543

���� � ���� ��� � � ���� ���������� � ������������ ��� ��� ������������� �������� �� ���

����� ������� ������� ���������������� ������%

"�������������������%

: � ; : �� ;∆ ∆ ∆� � �� � �= − �&�-2�

"���������������%

: � ; : �� ; : � ;∆ ∆ ∆∆ ∆� � � �� � � � �= −− −- �&�-/�

: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�-<�

: ; >: �� ; : � ;?∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'

-���&�-@�

0������������ ����������� ��: � ; : ;∆ ∆� �� �� � ����1�����&�-/��� ���&�-@��� ��1����&�-&�

������� ������ ���� ���� �������������� ����

: �� ; > ? �: ; > ? : ; > ? : � ;�∆ ∆ ∆ ∆� � � � � � �� � � �= − −−' �&�-B�

������������ ��������������� ����������������������������� �������������

: �� ; : �� ; : �� ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�.6�

$ �������� �������� ������������� ���� ���� ���������������� ��������������� ����

��� �����

: � ; �: �� ; : �� ;�∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'

-�&�.'�

: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�.-�

: ; �: � ; : � ;�∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'

-�&�..�

"� ��������������� ���� : � ; : ;∆ ∆� �� �� � �� �1�����&�.'��� ���&�..������������������ �

1��� �&�-B�� �� ������� ���� ��� � ���� ��� � � ������������� ������������ ��� ������ � �1��

�&�.6��������������������������� ������������������������� ����������������� �����������

���������7���� �������&�-�

��������

!������������� ���������������� ����������7��������

'��"������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-��$ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� �

.��#���������������� ∆ ��� ���������������������������������� ���������������� ������%

: � ; : �� ;∆ ∆ ∆� � �� � �= −

&��"���������������%

: � ; : �� ; : � ;∆ ∆ ∆∆ ∆� � � �� � � � �= −− −-

: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆

: ; �: � ; : � ;�∆ ∆∆�

�� �� � � �= −−

-

Page 9: Direct Time Integration Methods

544 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

2��+������ : �� ; : � ;∆� �� �� � ��������� �%

: �� ; > ? �: ; > ? : ; > ? : � ;�∆ ∆ ∆ ∆� � � � � � �� � � �= − −−'

: �� ; : �� ; : �� ;� � �� � � �= +−∆ ∆/��#�� �������� ������%

: � ; �: �� ; : �� ;�∆ ∆∆�

�� �� � � �= +−

-

�: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆

: ; �: � ; : � ;�∆ ∆∆�

�� �� � � �= +−

-

<��+������ :�� ;∆�� �� ������2���� �� :

� ;� : � ; : ;∆ ∆� � �� � �� � ���������/�

@��"� ������������� :�� ;�� ���������2����� �� :

�� ; : �� ;� �� �� � ∆ ���������<�

4.4.3 Fourth Order Runge-Kutta Method

$ �������������3� ���4���������������������������� ����������� �����1����&�'.����

� ������� ����������������������������������������������� ���� ���������������������

���� * � ��:�;����� �����

:�;�A�: ;

: � ;

RSTUVW �&�.&�

E�� ��1����&�..���1���&�'.���� ���������� ���

: �� ;� �A�=�>�?='�>�?�:F;�=�>�?='�>�?�: � ;� �C�>�?='�:����; �&�.2�

E�� ��������� ����

: �; : �;� �= �&�./�

������� ����1�����&�.2��� ���&�./�

: �;: � ;

: ��;

>6?

> ? > ?

> ?

> ? > ?

: ;

: � ; > ? : � �;�

� � �

� �

� � � �=RS|T|

UV|W|

=−LNM

OQP −LNM

OQPRST

UVW+RST

UVW− − −' ' '

6�&�.<�

: �; > ? : ; : G � �;� � � � �= + �&�.@�

������� : �; : � � �;� � � �= �&�.B�

$ �����3� ���4������������� ���� ����� ���: ;�� �+∆ �������� ������:��;�� �������

������������������������ �� �� ���������� ����� ��� �����������������������������

����∆����� ����������� ������∆������������������������������� �� �� ������C�∆���� �������∆�������������������������� ���������� �� �������������������������� ��������������

���������� ������������������������������ ����������������

:���∆�;�A�:��;�C�∆����'

�C���-�C���

.�C� �

&� �&�&6�

�������������� �� ����� ��� ���� ���'���

-���

.��� ���

&������������ ����������������������

��������� ������ ������ ���H� ��H� �

��∆���#������������������������������� �������

��������� �����������3� ���4������ ������������� �� ��������������������������� �

Page 10: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 545

:���C∆��;�A�:��;�C�

∆�/�>�

'�C�-�

-�C�-�

.�C��

&? �&�&'�

� ������

�'�A�������

��

�-�A�����C�

∆�-���

��C��

'�∆�-�

�.�A�����C�

∆�-���

��C��

-�∆�-�

�&�A�����C�∆����

��C��

.∆�� �&�&-�

����3� ���4����������������� ��������������������� �������������������������

����������������������������� ��� �������������7���� ������� ����������������� ������� �

� ���� ��� ���������� �� ���� � ������� � ��� ���� ������������ �� ���� ��� te �� ���

��������3� ���4�����������������������

���A���∆��2 �&�&.�

����������� ��� ������������� ��� � ��������� ����������������������������������3� ���

4������������� ������� ���������������� �������� ����������������������������������

��� ��������� ������������������� �� ��

��� ��������� �����

$ �� � ��������������������������� ��������� ��������� ������������������ ������� �

� ���������������� �������������������������������� ������������ ��

4.5.1 Houbolt Method

����)�������������������� ���������� ������� ������������� �������� ���������������

������������������ � ��� �� �� � �������� ���� ����������������� �����*���������� ����

���������� �������������������7���� ���������� ����������� �����"����&�.��0�

� ����� ���� ������ ����� ������������ ������ ���� ��� ����������� �� ������ ���� ����� �

������ ���� �������� ��%

xt–2 t� xt– t� xt xt+ t�

�t �t �t

Fig. 4.3

� � ���

��

�� � � � � � � � �= − + −− + + +∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆

� �� ���

- .

- /�&�&&�

Page 11: Direct Time Integration Methods

546 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

� � � ��

��

�� � � � � � � � � �− + + + += − + −∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆� � �

� ���

� ����-

-

-

-

/

- .

�&�&2�

� � � ��

��

�� � � � � � � � � �− + + + += − + −-

- .

..

-

.

/∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆

� � � � � �� � � ��� �&�&/�

#��� ��1�����&�&&�����&�&/���� �� �� �� � � �+ +∆ ∆� � �������

�� � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

- 2 &- - �&�&<�

� � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'' '@ B - - �&�&@�

���������� ����������� �����)��������������������������� ���

: �� ; > : ; : ; : ; : ;?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

- 2 &- - �&�&B�

: � ; > : ; : ; : ; : ;?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'' '@ B - - �&�26�

0������������ �� ����� ����� �� �� : �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� � � ��� �&�&B��� �� �&�26��� ������

���������� ���&�'.���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�2'�

����� � ��������������������������� �� ��: ;�� �+∆ ���������������������������

�> ? > ? > ? > ?��

��� �= + +

- ''

/-∆ ∆ �&�2-�

: ; : ; � > ? > ?� : ;� ��

��� �� � � � �+ += + +∆ ∆ ∆ ∆

2 .-

− + + +− −� > ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;& .

-

' '

.- - -∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆�

��� �

��

�� �� � � � ��&�2.�

9��� ����� ���� ����������������� ���� ����� �� C� ∆�� ��1��� �&�2'�� �������� � � �� �� �� �������� ���:�

��C�∆�;��"��������� ������������������������ ����������� ������ ��������$����

������ ��������������������� ����������� ���������� �� C� ∆��������� ���������������� ���:�

�C∆�;�� ��&�26��� ���&�&B���������������!����������* ��������������

�=∆���� �����-∆����� �������

�� ������� ���:��C∆�;��#� ����������� ��������������������������� �� : ; : ;� �� � � �− −∆ ∆� � - �

� ��������������������� ���������� ������������� ������� ���������∆ ∆� �� � - ���������*��

���������� ����������� ��� ���������� ���� ������� ����� ������� ������ �� ���

���������� ��������������������������������������������������������������� �����)����

���������������7���� �������&�.��!������������� ��������� �����)������������ ������

&�.�� �������� ���������� ���������� �������&�-�������������� �������������� �������� ��

��������������������������������� ����� �+∆ �������������� �+∆ ����������������������������

�������� �����������������C�∆��� �� ���������������� ������� ���������� �����������������

��������������������������� ��∆�� �� �� ��� ����������������������������� ���������� ��

������ ���������� ���������

Page 12: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 547

���������

!������������� �)����������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #���������������� ∆��� ������������� ������ �� ��� ��%

��

���

��

�� � �

�6 - ' - - . & 6 2

.- ''

/

2 .-

-= = = = = − = −

∆ ∆ ∆ ∆( ( ( ( ( (

��

��

/6

<.

- B= =( �

&� E���������������� �������������������� ���������� ��������������������

: ; : ;� �� �∆ ∆� � -�

2� +������������������������ �������� %

� � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '

/� ��� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; : ; > ? � : ; : ; : ;�� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= + + +∆ ∆ ∆ ∆- & / -

+ + +− −> ? � : ; : ; : ;�� � � � � � �� � � � �. 2 < -∆ ∆

-� #���������������� �������������C ∆�

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆

.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%

: � ; : ; : ; : ; : ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= − − −∆ ∆ ∆ ∆' . 2 < -

: � ; : ; : ; : ; : ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= − − −∆ ∆ ∆ ∆6 - & / -

4.5.2 Wilson Theta Method

�������� ��������������������������������������� ���������������������� �����������

���� ��� �����������3���� ����"����&�&��������������� ������������������� ������������

������ � ��A� ∆�� ������� � � � + = +θ θ∆ ������� θ ≥ '�6��0��������� �������� �� ���������� ��

* � ������������ �������������

$��τ �������� ������� �������������� ���� ����C�θ∆� (0 ≤ τ ≤ θ∆�)����� ��������� ���������

��C�θ∆��������� ����������������

�� �� � �� �� �� ��� �� � � � �+ += + −τ θ∆

τθ∆

�&�2&�

Page 13: Direct Time Integration Methods

548 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

Xt

..Xt+ t�

..Xt+ t�

..

t

t + t� t + t�

Fig. 4.4

#����������� ������ ���1����&�2&����������������� ��� ����� ���� ��� �� �+ +τ τ� � %

� � �� � �� �� �� � ��� �� � � � � �+ += + + −τ θ∆τ τ

θ∆

-

-�&�22�

� � � ��� �� � � � � � �+ += + + + −τ θ∆τ τ

τθ∆

� �� � �� �� �'

- /

-.

��&�2/�

#��������� ��τ A θ∆��� �����������1�����&�22��� ���&�2/���������� ���������� ��� ������ ���� �� � ������������ ��C θ∆��%

� � � �� �� �� ��� �� � � � � �+ += + +θ∆ θ∆

θ∆-

�&�2<�

� � � ��

� �� � � � � � �+ += + + +θ∆ θ∆θ∆θ

� � �� �� �- -

/-

∆�&�2@�

#��� ��1�����&�2<��� ���&�2@���� �� �� �� � � �+ +θ∆ θ∆� � � �������� �� �+θ∆ ��������

�� � � � � � � �� ���

� ��� �� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ θ∆

/ /-

- -∆

� � � � ����� � �

��� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ∆

θ∆.-

-�&�2B�

���������� ����������� ��������� ��������������������� ����� ���

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��

� ��� �� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ θ∆

/ /-

- -∆�&�/6�

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��

� � ���� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ∆

θ∆.-

-�&�/'�

���������1����&�'.����������τ + ∆�������� �������� ������������� ������������� �

��������� �����������C�∆���#� ������������ �������� ���������� ����I�������������������������������

> ? : �� ; > ? : � ; > ? : ; : ;� � � � � � �� � � � � � � �+ + + ++ + =θ∆ θ∆ θ∆ θ∆ �&�/-�

Page 14: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 549

����� : ; : ; �: ; : ;�� � � � �� � � � � �+ += + −θ∆ θ∆θ∆ �

0������������ ������� ����� ���� : �� ; : � ;� �� � � �+ +θ∆ θ∆� � ����1����&�/6��� ���&�/'�����

������������� ��1���&�/-���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=θ∆ ∆ �&�/.�

���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���

> ? > ? > ? > ?��

��� �= + +

/ .- -θ θ∆∆

�&�/&�

: ; : ; � > ? > ?� : ;� ��

��� �� � � � �+ += + +θ∆ θ∆ θ θ∆

/ .- -∆

+ + + +� > ? > ?� : � ; � > ? > ?� : �� ;/

- --θ∆

θ∆�� � � �

�� �� � ��&�/2�

��������� ���1����&�/.��������:��Cθ∆�;������������� �������������� ����������� ������

�� ������������ ��������������� ���������������� ����������� ������������C�∆��

: �� ; �: ; : ;� : � ; � � : �� ;��

� ��� �� � � � � � �+ += − − + −∆ ∆ ∆

/ /'

.- - -θ θ θθ∆ �&�//�

: � ; : � ; �: �� ; : �� ;�� ��

� �� � � � � �+ += + −∆ ∆∆-

�&�/<�

: ; : ; �: � ; : �� ; : �� ;�� � � ��

� �� � � � � � �+ += + + −∆ ∆∆∆ -

/- �&�/@�

��� � θ� A� '�6�� ���������� ������� �� ���� �� ������������ � ������������������ ��

� � ���� ���������������� ����� ���������������� �θ ≥�'�.<��� ������������θ�A�'�&������� ������� �� ����� ��������������$������������� ��������� �������������� ���������

��� ��������� ����� � ��� �� � ����� ���������������∆ C ∆��� �������������������� ���������

������� ������������������������������ ��������� �������������������� �� �������&�&�

���������

!������������� ����� ������������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ; : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ���θ�A�'�&������%

��

��� � �

��

��

�6 - ' - ' . &

62

-/ --

-= = = = = = −� �

( ( ( ( ( (θ∆ θ∆

θ∆θ θ

� ���

�/ < @

-

'.

- /= − = =

θ( (

∆ ∆

&����"����������������� �������� %� � � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '

2����� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

Page 15: Direct Time Integration Methods

550 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; : ; �: ; : ;� > ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � � � � � �� � � � � � � � �+ += + − + + +θ∆ θ ∆ 6 - -

+ + +> ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � �� �' ' .-

-� �#���������������� �������������C�θ ∆��%

� � �� � � �: ; : ;+ +=θ∆ θ∆

.� +���������� : ;� : � ; : ��;� � �� � �����������C�∆�� %

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − + +∆ & 2 /θ∆

: � ; : � ; �: �� ; : �� ;�� � � � �� � � � � �+ += + +∆ ∆<

: ; : ; : � ; �: �� ; : �� ;�� � � � � � �� � � � � � �+ += + + +∆ ∆∆ @ -

4.5.3 Newmark Beta Method

����9����*�0����� ������ �������������������� ������������� �������������������

�������� ����������� ����� ��� ����������������������� � and � ��������� ������������

�������� ������� ���������������������� ���������������������������� ����� ���

��������� ������������ ���������� ���

� � >� � �� �� ?� � � �� �� � � � � �+ += + − +∆ ∆ ∆' α �&�/B�

� � � � � � �� � � � � � �+ += + + − +LNM

OQP∆ ∆∆ ∆� � � �� ��

'

-

-β β �&�<6�

������������� � and � � ���������������������������� �� ����� ��������������� �

���������� �������� ���������� ��������� ������∆����������� � and � ������� ������� ����

������� � ������ ���������� ���������������� � � �A'8/�� �� � A'8-��1���� �&�/B��� �� �&�<6�

���� ���������� ������������ ���������������� ������������ ������ ��θ�A�'�� �����

����������� �� A�'8-�� ��� A�6��������������� ����� ��� ��� ���������� ������� �����������

� ������ ∆� ��$�� � A'8-�� �� � A�'8@��������������� ����� ��� ������������� � ����� ���� �� �

��� ���� ������ ���� �+∆ � � � ������������� ���� ����� � ������ ∆������ � � A'8-�� �� � A�'8&�� ����

���� ����������������� ������������������� ����� ��� ��� ������ ���������������

� �� �� � 8� �� � �+ +∆ - �������� ���������� ����������������9����*�0�������������

: �� ; �: ; : ;� : � ; � � : �� ;��

� ��� �� � � � � � �+ += − − − −∆ ∆

' ' '

-'

-β∆ β∆ β �&�<'�

: � ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��

� � � � �� � � � � � �+ += − − −FHG

IKJ − −

FHG

IKJ∆ ∆ ∆'

'-

'β∆

αβ

αβ �&�<-�

Page 16: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 551

1����� � �&�'.�� �� ������������ ������ ��� ����� � ������������ ������������� �

��������� ���������� ��C�∆������������������������ ������� ����� ���� : �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� �

���1�����&�<'��� ���&�<-����������������� ��1����&�'.���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�<.�

���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���

> ? > ? > ? > ?��

��� �= + +

'-β∆

αβ∆ �&�<&�

: ; : ; � � > ? � � > ? : �� ;� � � � � �� � � � �+ += + − + −LNM

OQP∆ ∆ ∆'

-'

-'

βαβ

+ + −LNM

OQP

''

β∆αβ�

� � ��> ? � � > ? : � ;

+ +LNM

OQP

'-β∆

αβ∆�

��� ��> ? > ? : ; �&�<2�

#���� ���1����&�<.�������� : ;�� �+∆ �������������� �������������� ���&�<'��� ���&�<-���

��������� �������������� ��� ����������������������C�∆���J ������������������9����*

0���������������������� ����������������������������� ������� ��������� ������� � �

���� �������������������������α β α≥ ≥ +'

-

'

&

'

-

-� � � � ��"����������α β= ='

-

'

&� � ���������

������ ���� ��������� ���������� ������������ ������������������� ���������$����

��������� ���� ��������� �����β = '

-������������������������ ��� ������������ ��

�� � �β − '

-��$�� 0� = ���� ������������� ��������(������� �������������� ������������ ����� �

������������� ����������������$ �����*�������� ������ � ������������� �'

-�����������

����� ������ ��������������������������� ��������������� ������ �����������������

� ��� ������������"������������������������������ ��������� ������������� ����

����������������� �����������*��������������� ���������������������������������� �

����9����*�0����� ������ �������������� �� �������&�2�

���������

!������������� �9����*�0���������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #����������������∆������������α�� ��β��� ������������� ������ �� ��� ���β�≥�6�2(�α�≥�6�-2�6�2�C�β�-

Page 17: Direct Time Integration Methods

552 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

��

���

�� � �6 - ' - . . &

' ' '

-

'

-' '= = = = = − = −

βα

β∆ β∆ β βαβ� �

( ( ( ( ( (∆

��

� � � �2 / <-

- '= −FHG

IKJ = − =∆ ∆α

ββ β∆( � �(

&� "����������������� �������� %

� � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '

2� ��� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; : ; > ? � : ; : � ; : � ; : �� ;�� � � � � � � � � � �� � � � � � � �+ += + + + +∆ ∆ 6 - - .

+ + +> ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � � �� � �' & 2

-� #���������������� ����������� ��C∆�

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆

.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − − −∆ ∆6 - .

: � ; �: ; : ; : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − − −∆ ∆' & 2

4.5.4 Park Stiffly Stable Method

����D�*�#�������#���������������� ������������������������� ���� ����� ����������

��������������� ������ � ����E�� ������ ������� ��� ������������ ����������� ��

��������������������������� �����D�*�#�������#�����������%

� > ?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'' '@ B - - �&�</�

� > ?��

� � �� � � � � � �+ + −= − +∆ ∆ ∆∆'

-- & �&�<<�

������ ������� ��� ����&�</��� ���&�<<�������

� >. ���

� � �� � � � � � �+ + −= − +∆ ∆ ∆∆'

&&

+ − + −+ − −'

'-'' '@ B - -∆ ∆ ∆ ∆

�� � � �� � � � � � �� � ��&�<@�

� � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'6 '2 / - �&�<B�

#������������������������ ��������

�� � � � � � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'6 '2 / - �&�@6�

Page 18: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 553

���������� ����������� �����D�*�#�������������������� ���

: �� ; > : � ; : � ; : � ; : � ;?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'6 '2 / - �&�@'�

{ } { } { } { } { }[ ]t2t��tt��t��t XX6X15X10t6

1X ∆−−++ −+−

∆=� �&�@-�

��� � ����� 1��� �&�'.�� �� ���� � ����� � �� ���� ���������� ���� ���������� � �

��������� ������������C�∆���0������������ ������� ����� ����: �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� � �����&�@'�

� ���&�@-����������������� ���&�'.���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�@.�

���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���

> ? > ? > ? > ?��

��� �= − +

'66

./

'6

/-∆ ∆ �&�@&�

: ; > ? : � ; > ? : � ; > ? : � ;��� �

�� �

�� �� � � � � � �+ − −= − +∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

'2

/

' '

/-

�+ + − + −� > ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;'26

./

'2

/

'6

/

'- -∆ ∆ ∆ ∆ ∆�

��� �

��

�� �� � �

�+ + −� > ? > ?� : ;'

./

'

/- -∆ ∆ ∆�

��� �� � �&�@2�

��������� ���1���&�@.��������:��C∆�;�������������� �������������� �1���&�@-��������

������������������������: �� ;�� �+∆ ������� ����� ����������������1���&�@'���9��������� �����D�*

#���������������������������������� ���:��C∆�;���������������������� ���� ��������������� ��

��=�∆��� ����=�-∆������������ ���������� ���������� ���������∆��� ��-∆������������������ ����������� ���������������*������������� ����������� ����������������������������

�D�*�#�������������������������� ������ ������ �������� �� �������&�/������������������

�������������������� ������������������������ ���� ���������������������������

�����������

��������

!������������� �D�*�#�������������������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?��� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ;� : � ;� : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ��%

�6�A�'6

/

'2

/

' '

/' - .∆ ∆ ∆ ∆��

��

��

�( ( (= − = = −

&� "����������������� �������� %

� � � � � �= − +6-

6> ? > ? > ?

2� ��� �����7��> ?% > ?� � �A�>�?�>�?�>�?�

Page 19: Direct Time Integration Methods

554 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; � : � ; : � ; : � ; : ; : ;� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �+ − − −= − − − − −∆ ∆ ∆ ∆' - . - 6 ' 6 -

+ − + +− − −� � � � � � � � � �� � � � � � �.-

- ' - . -: ;� > ? � : ; : ; : ;� > ?∆ ∆ ∆

-� #���������������� �������������C ∆�

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆

.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%

: � ;� �� �+ =∆ 6 �:��C∆�;�C��'�:��;�C��

-�:�

�=∆�;�C��.�:��=-∆�;

: �� ; : � ; : � ; : � ; : � ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= + + +∆ ∆ ∆ ∆6 ' - . -

��� �����

$ � ����� ���������������������� �������� ���������� �������� � ������ �������� �� ���

����� ������� �������������������� ����������� ����� ��� ���������������������������

����������� ����������� ������� ��������������������������������������������������

������������� �������� � ������ �������� �� �� ��� �� ����� ��� ��� � ��������!� ����

�������� ���������� ������ ��������������� ����� ���������������� �������������������

� ������ ���������� ����������������� �������� ����� ����������������������������

� ������� �������� ����� �� ���������� ���������� ��������� � ������ ������ ����7����� ���

� ����������3� ���4������������� �����������������������)���������������� ������

�������9����*�0����������� ������D�*�#����������������������!�������� ��������������

�������� � ������ �������� ��� ���������������� ��������� ������� ���� �� ����� ����

�������

��������������������� � ������ ������������� ������� �� �� ����� ����������

������� �������� ����������������������������� ���������

��� ��������������� ���� ������ � ����������

������������� ���������������������� �!�� ���� ��"!�� �"����������� ���������

� �#���� �����������

�����A��$�% �

&�$−

FHG

IKJ

π

'���������!!�'"� ���(��$�)�&�*��

$)���� �*���)�&�+"*���)�$,-����.��� �+�)�%��.�,����

��! ���������� ��!�������� ���!����������������������)�$�����/���,�0������������!� �������

����� ,��������∆��)�%*�$,%�� �$,1����� ��� ���������������� !������������

������������ ����������������������������������������� ������� ���� ��7������

����� ���!�5!0���������� ������������� ������������

% INITIAL VALUES