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Disciplina: Processamento Estatıstico de Sinais(ENGA83) - Aula 08 / Extracao de Caracterısticas

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica/PPGEEUniversidade Federal da Bahia

ENGA83 - Semestre 2012.1

Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 08 / Extracao de Caracterısticas ENGA83 - Semestre 2012.1 1 / 48

[email protected]

Conteudo

1 Introducao

2 Analise de Componentes Principais

3 Analise de Componentes Independentes


Introducao

Em muitos problemas de processamento de sinais multidimensionais 1 deseja-se encontrar uma transformacao que, de algummodo, torne a estrutura essencial dos dados mais acessıvel.

Entre as tecnicas lineares que buscam, atraves de premissas distintas,uma nova representacao para os sinais multi-dimensionais, pode-semencionar:

- Analise de Componentes Principais (PCA - Principal ComponentAnalysis).

- Analise de Componentes Independentes (ICA - IndependentComponent Analysis).

- Componentes Principais de Discriminacao (PCD - PrincipalComponents for Discrimination).

1Sinais multi dimensionais sao, em geral, produzidos por sistemas de medicao commultiplos sensores, mas tambem podem surgir a partir da aplicacao de transformacoes(como a transformada de Fourier ou Wavelet) a sinais uni-dimensionais.


Introducao

Exemplos de sinais multidimensionais comuns:

- Sinais de audio (musica, voz) gravados com mais de um microfone;

- Sinais de imagem (fotografias, video);

- Series Temporais de Bolsas de Valores;

- Sistemas sem fio com multiplos usuarios;

- Sinais de inspecao acustica de maquinas;

- Sinais de instrumentacao de exames medicos (ECG, EEG, Ultra-som,etc);

- Sinais temporais unidimensionais “transformados” para domıniosdiferentes (Fourier, wavelet, etc).


Introducao - Extracao de Caracterısticas para Classificacao

Sabe-se que sistemas de classificacao sofisticados (como as redesneurais artificiais) podem, essencialmente, realizar quaisquermapeamentos nao-lineares.

Entretanto, pode-se observar experimentalmente que, o uso direto dosdados brutos (do modo como foram medidos) como entradas para osclassificadores geralmente produz um desempenho pior do que quandoalgum pre-processamento e aplicado.

Porque isso acontece ?

Da teoria da informacao, considerando x (vetor de caracterısticas) e c(os rotulos de classes), para qualquer transformacao determinısticaT (·), a informacao mutua (I ) entre T (x) e c e:

I (T (x); c) ≤ I (x; c),

ou seja, nenhuma transformacao e capaz de acrescentar informacao arespeito das classes c ao conjunto de caracterısticas x.



Sabe-se que sistemas de classificacao sofisticados (como as redesneurais artificiais) podem, essencialmente, realizar quaisquermapeamentos nao-lineares.

Entretanto, pode-se observar experimentalmente que, o uso direto dosdados brutos (do modo como foram medidos) como entradas para osclassificadores geralmente produz um desempenho pior do que quandoalgum pre-processamento e aplicado.

Porque isso acontece ?

Da teoria da informacao, considerando x (vetor de caracterısticas) e c(os rotulos de classes), para qualquer transformacao determinısticaT (·), a informacao mutua (I ) entre T (x) e c e:

I (T (x); c) ≤ I (x; c),

ou seja, nenhuma transformacao e capaz de acrescentar informacao arespeito das classes c ao conjunto de caracterısticas x.



Considerando o resultado anterior, o que justifica o melhordesempenho dos classificadores apos a etapa de pre-processamento,uma vez que ela nao e capaz de adicionar informacao a respeito doproblema?

A resposta pode ser encontrada considerando-se que os sistemas declassificacao sao projetados, em geral, a partir de um processoiterativo de treinamento.

Entao, um pre-processamento capaz de revelar caracterısticasdiscriminantes pode se tornar decisivo para a obtencao de umclassificador com melhor desempenho.

Todas as informacoes utilizadas para a discriminacao estao presentesnos dados brutos. O pre-processamento (extracao decaracterısticas), e responsavel apenas por uma transformacao quetorna as caracterısticas discriminantes mais acessıveis.



Considerando o resultado anterior, o que justifica o melhordesempenho dos classificadores apos a etapa de pre-processamento,uma vez que ela nao e capaz de adicionar informacao a respeito doproblema?

A resposta pode ser encontrada considerando-se que os sistemas declassificacao sao projetados, em geral, a partir de um processoiterativo de treinamento.

Entao, um pre-processamento capaz de revelar caracterısticasdiscriminantes pode se tornar decisivo para a obtencao de umclassificador com melhor desempenho.

Todas as informacoes utilizadas para a discriminacao estao presentesnos dados brutos. O pre-processamento (extracao decaracterısticas), e responsavel apenas por uma transformacao quetorna as caracterısticas discriminantes mais acessıveis.


Introducao - A maldicao da dimensionalidade

Um outro aspecto a ser analisado e a chamada “maldicao dadimensionalidade” (do ingles curse of dimensionality).

Sabe-se que a utilizacao de um numero elevado de entradas para osistema classificador acaba dificultando o processo de treinamento.

Quanto maior a dimensao dos dados de entrada, maior acomplexidade do problema.

A solucao adotada, na maioria dos casos, e pre-processar os sinaiscom uma transformacao que reduza a dimensionalidade do problema,e consequentemente a redundancia e o ruıdo (informacoes naorelevantes) para a classificacao.

Porem, e preciso escolher adequadamente a informacao a serdescartada para minimizar a chance da perda de caracterısticasrelevantes para a discriminacao das classes.


Introducao

A transformacao otima deve, entre outras coisas:

- mapear os atributos disponıveis num numero reduzido decaracterısticas;

- eliminar a redundancia;

- manter toda a informacao discriminante para o problema.


Introducao

A extracao de caracterısticas pode tambem ser aplicada em problemasque nao envolvem a classificacao do sinais.

Neste caso, o objetivo e encontrar informacoes ou estruturasimportantes no conjunto de sinais para a melhor caracterizacao doproblema.

Entre as principais tarefas pode-se destacar:

- Selecao da informacao relevante;

- Reducao do ruıdo;

- Remocao da interferencia em sistemas de instrumentacao commultiplos sensores;

- Etc.


Analise de Componentes Principais



A analise de componentes principais (PCA - Principal ComponentAnalysis) e uma tecnica estatıstica de processamento de sinaisdiretamente ligada a transformacao de Karhunen-Loeve.

O objetivo da PCA e encontrar uma transformacao linear tal que ossinais projetados sejam nao-correlacionados (ortogonais) e grandeparcela da energia (variancia) esteja concentrada num pequenonumero de componentes.

Para isso, sao exploradas informacoes estatısticas de ate segundaordem (medias e variancias).

A ideia da PCA foi proposta inicialmente por Pearson em 1901.

Rotacao do eixo de coordenadas para um novo eixo no qual asdirecoes das coordenadas sao ortogonais e ordenadas em termos daquantidade da variacao do sinal que elas “explicam”.



Considerando-se um vetor x = [x1, ..., xN ]T aleatorio com Nelementos, assume-se que ele tenha media zero:

E{x} = 0,

Se x tem media nao nula, faz-se x← x− E{x}.

A projecao zi de x na direcao de vi pode ser expressa por:

zi = vTi x =N∑

k=1

vkixk .

Na transformacao por PCA, os componentes zi (i = 1, ...,N) devemser ortogonais e ordenados (de modo decrescente) pela variancia dasprojecoes, sendo, entao, z1 a projecao de maxima variancia.



Para tornar a variancia independente da norma de vi , faz-se:

vi ←vi‖vi‖

Fazendo-se com que ||vi || = 1, torna-se a variancia funcao apenas dadirecao das projecoes.

Como E{x} = 0, entao E{zi} = 0, logo a variancia da projecao zi ecalculada por E{z2

i }.

Seguindo a definicao da PCA, z1 tem maxima variancia; logo, v1

pode ser encontrado pela maximizacao de:

JPCA1 (v1) = E{z2

i } = E{(vT1 x)2} = vT1 E{xxT}v1 = vT1 Cxv1,

onde Cx e a matriz de covariancia de x.



A solucao para o problema de maximizacao de JPCA1 pode ser

encontrada na algebra linear, em funcao dos autovetores e1, e2, ..., eNda matriz Cx .

A ordem dos autovetores e tal que os autovalores associadossatisfazem d1 > d2 > ... > dN . Desta forma, tem-se:

vi = ei , 1 ≤ i ≤ N

A transformacao por PCA pode ser expressa na forma matricial:

z = Vx

sendo z = [z1, z2, . . . , zN ]T e V = [v1, v2, . . . , vN ]T


PCA - Curva de Carga

A curva de carga e utilizada para possibilitar uma visualizacao daconcentracao da energia (variancia) em funcao do numero decomponentes.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Componentes

Ene

rgia

Acu

mul

ada

(%)


Reducao da Dimensao de um PA Multivariado por PCA

Alem da descorrelacao, a principal aplicacao da PCA e a compactacaoda informacao.

A reducao de dimensao e obtida utilizando-se para a reconstrucao dosinal N-dimensional original x um numero K de componentesprincipais, sendo K < N.

O numero de componentes e escolhido visando a preservar umaparcela Ve da energia total, de modo que x ≈ x.

A variancia explicada Ve (em %) de um conjunto de componentespode ser calculada usando-se:

Ve(K ) = 100×K∑i=1

di

/ N∑i=1

di ,

sendo di o autovalor da matriz Cx de covariancia do processocorrespondente ao componente i .

x x

y

Nx1

Kx1

Nx1

PCA PCA-1


Reducao da Dimensao de um PA Multivariado por PCA

Diagrama do processo de compactacao da informacao utilizando PCA.

O sinal de informacao x e substituıdo por sua versao compactada apartir da projecao nos k componentes principais mais energeticos y.

x x

y

Nx1

Kx1

Nx1

PCA PCA-1


Estimacao da PCA por redes neurais

Limitacoes computacionais na estimacao da PCA a partir da decomposicaoem valores singulares aparecem quando a dimensao N do vetor x aumenta.

Uma solucao e utilizar metodos iterativos como as redes neurais:

No modelo auto associativode Kramer, a rede e treinadacom entrada e saıda alvoiguais a y (sinal a sercompactado).

Os componentes principaissao estimados nas saıdas Ti

dos neuronios da camada degargalo (bottleneck).

Este modelo pode ser usadopara PCA e NLPCA(conforme sera mostrado aseguir).


PCA Nao Linear

A PCA nao-linear (NLPCA - Non-linear PCA) e uma extensao naolinear da PCA.

Enquanto o objetivo da PCA e minimizar o erro medio quadratico dereconstrucao do sinal projetando os componentes numa baseortonormal, a NLPCA pode ser definida de modo simples atraves dafuncao-objetivo a ser minimizada:

J(w1,w2, ...,wn) = E{||x−n∑

i=1

gi (wTi x)wi ||2},

onde g1(.), g2(.), ..., gn(.) e um conjunto de funcoes escalares enao-lineares, e os vetores wi formam a base de um novo espaco.

Quando o mınimo de J(w1,w2, ...,wn) for encontrado, o produtowT

i x dara os componentes principais nao-lineares. Se gi (y) = y paratodo i , entao equacao acima se reduz a funcao objetivo da PCA.


Compactacao por PCA em Sistemas de Classificacao

A transformacao por PCA e otima no sentido de representacao dosinal nas primeiras componentes, mas nao ha garantia de que acompactacao facilite o processo de classificacao.

Quando as direcoes de maior variancia coincidem com as de melhordiscriminacao das classes, entao a PCA e tambem util para oreconhecimento de padroes.

Caso contrario, a reducao de dimensao pode dificultar a separacao.

Entretanto, em problemas de classificacao onde a dimensao daentrada e excessivamente grande a compactacao por PCA reduz ocusto computacional e consequentemente o tempo de processamento.


Compactacao por PCA em Sistemas de Classificacao

−60 −40 −20 0 20 40 60−30

−20

−10

0

10

20

30Original Data Base

X

Y

Pattern 1

Pattern 2

−60 −40 −20 0 20 40 60−10

−5

0

5

10Patterns After PCA Projection

PCA 1

PC

A 2

Pattern 1

Pattern 2

−60 −40 −20 0 20 40 600

10

20

30

40

50Projection onto the First PCA (96% of Variance)

Projection Value

Counts

Pattern 1

Pattern 2

−10 −5 0 5 100

20

40

60

80Projection onto the Second PCA ( 4% of Variance)

Projection Value

Counts

Pattern 1

Pattern 2


Aplicacoes da PCA - Compactacao de Imagens


Aplicacoes da PCA - Compactacao de Imagens

No caso de processamento de imagens os componentes podem serinterpretados como uma “linha” ou “coluna” da imagem.

E possıvel manter uma boa qualidade da imagem mesmo com altacompactacao da informacao.

Neste exemplo (foto de Lena), reduzindo-se de 512 componentes paraapenas 64 (compactacao de 87,5%) ainda e possıvel obter umaqualidade “aceitavel”.

E importante destacar que, neste caso, a compactacao e feita comperda de informacao (diferente dos softwares de compactacao dearquivos *.zip, *.rar, *.tar-gz, nos quais nao ha perdas).


Aplicacoes da PCA - Remocao da Redundancia

Num problema de classificacao utilizando informacoes das transformadasdiscretas de Wavelet (DWT) e de cossenos (DCT), foi observada altacorrelacao entre os coeficientes estimados:

Coeficientes da DWT

Co

efie

nte

s a

DC

T

50 100 150

20

40

60

80

100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Eficiencia do classificador com: DWT = 99,67% e DCT = 99,46%

Eficiencia alimentando o classificador com os coeficientes das duastransformadas: sem PCA = 99,35% e apos a PCA = 99,85%.


Aplicacoes da PCA - Remocao da Redundancia

A existencia de forte correlacao entre as variaveis de entrada produziuuma maior confusao no sistema de classificacao.

A reducao da redundancia (correlacao) favoreceu o processo detreinamento do classificador.

Neste caso, hove tambem a compactacao da informacao,mantendo-se os componentes que representam aproximadamente 95%da energia total do sinal.

A compactacao possibilita a eliminacao de componentes quecarregam predominantemente ruıdo.


Analise de Componentes Independentes



A analise de componentes independentes (ICA - IndependentComponent Analysis) busca por uma transformacao linear onde oscomponentes na saıda sao mutuamente independentesestatisticamente.

A ICA vem sendo aplicada na solucao de diversos problemas na areade processamento de sinais como:

- cancelamento de ruıdo

- sonar passivo

- telecomunicacoes

- reconhecimento facial

- biomedica


Independencia Estatıstica

Quando duas VAs y1 e y2 sao independentes, entao o conhecimentode uma nao traz nenhuma informacao a respeito da outra.

Matematicamente, y1 e y2 sao independentes estatisticamente se esomente se:

py1,y2(y1, y2) = py1(y1)py2(y2),

onde py1,y2(y1, y2), py1(y1) e py2(y2) sao respectivamente as funcoesde densidade de probabilidade conjunta e marginais.

Pode-se obter uma expressao equivalente se, para todas as funcoesg(y1) e h(y2) absolutamente integraveis em y1 e y2, vale a igualdade:

E{g(y1)h(y2)} = E{g(y1)}E{h(y2)}


Independencia Estatıstica

A estimacao das funcoes de densidade de probabilidade e umproblema de difıcil solucao (em geral os componentes independentessao desconhecidos).

Uma vantagem da segunda expressao e que as pdfs nao saonecessarias.

A definicao de independencia pode ser facilmente estendida para maisde duas variaveis aleatorias.

O conceito de independencia envolve o conhecimento de toda aestatıstica dos dados, sendo assim muito mais abrangente que adescorrelacao (utilizada pela PCA), que somente utiliza estatıstica desegunda ordem (variancia).


Modelo Basico da ICA

Na ICA, considera-se que um sinal multi-dimensionalx(t) = [x1(t), ..., xN(t)]T observado (ou medido) e gerado a partir dacombinacao linear das fontes independentes s(t) = [s1(t), ..., sN(t)]T : x1(t)

...xN(t)

=

a11 . . . a1N...

. . ....

aN1 . . . aNN

︸︷︷︸

A

×

s1(t)...

sN(t)

,

Na forma matricial e omitindo o ındice temporal:

x = As ,

onde A e a matriz de mistura.



O objetivo final da ICA e encontrar uma aproximacao y das fontesindependentes, utilizando apenas os sinais observados x.

O vetor y e definido por:

y = Wx,

sendo W a matriz de separacao.

Se W = A−1 → y = s, entao o problema foi completamentesolucionado.



Diagrama do problema considerado pelo modelo basico da ICA2:

2O modelo basico da ICA consideram que o meio de propagacao dos sinais e linear enao introduz atrasos temporais aos sinais.



Um problema classico que pode ser solucionado usando-se a ICA econhecido como cocktail-party problem.

Considerando que numa sala existem duas pessoas falandosimultaneamente e dois microfones em diferentes posicoes, os sinaisgravados x1(t) e x2(t), omitindo atrasos temporais e outrosfenomenos fısicos, como a existencia de multiplas reflexoes, podemser considerados como uma soma ponderada das fontes s1(t) e s2(t):

x1(t) = a11s1(t) + a12s2(t)x2(t) = a21s1(t) + a22s2(t);

os coeficientes aij dependem das distancias dos microfones aspessoas, e sao os elementos da matriz de mistura A, sendo:

A =

[a11 a12

a21 a22

].



Diagrama do cocktail-party problem mostrando a propagacao dossinais das fontes ate os sensores.

Fontes

Sensores


ICA - Exemplo de Aplicacao

As fontes s1(t) e s2(t) foram misturadas linearmente, gerando ossinais medidos x1(t) e x2(t).

0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo (s)

s1(t

)

0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo (s)

s2(t

)

(Fontes)

0 20 40 60 80 100−5

0

5

Tempo (s)

x1(t

)0 20 40 60 80 100

−2

0

2

Tempo (s)

x2(t

)

(Medidos)


ICA - Exemplo de Aplicacao

Apos a aplicacao de um algoritmo de ICA:

0 20 40 60 80 100−2

−1

0

1

2

Tempo (s)sr

ec1(

t)

0 20 40 60 80 100−2

−1

0

1

2

Tempo (s)

srec

2(t)

(Recuperados)

Os sinais recuperados sao copias dos originais, a menos de fatoresmultiplicativos (limitacao inerente ao modelo da ICA, nao ha comogarantir o fator de escala ou a ordem de extracao dos componentes).


Princıpios para Estimar o Grau de Dependencia

O princıpio basico para a extracao dos componentes independentes eobtido do teorema do limite central:

A soma de duas variaveis aleatorias independentes e sempre maisproxima de uma distribuicao normal do que as variaveis originais.

Sabando que os sinais misturados xi sao gerados a partir dosomatorio ponderado das fontes si , entao xi tem distribuicoes deprobabilidade mais semelhantes a Gaussiana se comparados a si .

Ou seja, as fontes si podem ser obtidas entao pela maximizacao danao-Gaussianidade.


Estimando a Gaussianidade - Curtose

A curtose (kurt) e o cumulante de quarta ordem, e para uma variavely de media zero e variancia unitaria e definida por:

kurt(y) = E{y 4} − 3(E{y 2})2

Variando no intervalo [−2,∞), a curtose e igual a zero para umavariavel gaussiana, os valores negativos indicam sub-gaussianidade eos positivos super-gaussianidade.


Estimando a Gaussianidade

Nas Figuras a seguir pode-se visualizar exemplos dos 3 tipos dedistribuicoes, gaussiana ou normal, sub-gaussiana (mais achatada) ousuper-gaussiana (mais concentrada em torno da media).

O menor valor da curtose ocorre para variaveis uniformementedistribuıdas.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Variável Aleatória

Dis

trib

uiçã

o

gaussianasub−gaussiana

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Variável Aleatória

Dis

trib

uiçã

o

super−gaussianagaussianana


Estimando a Gaussianidade - Curtose

A curtose e um parametro estatıstico facilmente calculado a partir dasrealizacoes da variavel aleatoria.

Porem seu valor pode ser bastante influenciado por um pequenoconjunto de pontos na cauda da distribuicao, sendo, nesse caso,pouco robusta para a estimativa da nao-gaussianidade.

Conhecidos como intrusos (ou outliers) esses pontos podemrealmente pertencer a variavel aleatoria ou ter sido artificialmenteintroduzidos por algum fenomeno desconhecido, como:

- erro de medida;

- erro de digitacao;

- ruıdo impulsivo.

→ Para mais detalhes sobre a curtose consulte a apresentacao especıficasobre o tema.


Estimando a Gaussianidade - Entropia

Uma estimacao alternativa da nao-gaussianidade pode ser obtida apartir da negentropia, que e calculada por

J(y) = H(ygauss)− H(y),

onde H(.) e a entropia e ygauss e uma variavel aleatoria gaussianacom a mesma media e variancia de y .

A entropia e um dos conceitos da teoria da informacao e pode serinterpretada como o grau de informacao contido numa variavel.

Para uma variavel aleatoria discreta, a entropia e definida como:

H(Y ) = −∑i

P(Y = ai )logP(Y = ai )

onde os ai sao os possıveis valores da variavel Y , e P(Y = ai ) e aprobabilidade de Y ser igual a ai .



Um resultado importante obtido a partir da teoria da informacao eque uma variavel gaussiana tem a maxima entropia entre todas asvariaveis de mesma variancia.

Considerando a equacao anterior, a negentropia e sempre naonegativa e zero quando a variavel e gaussiana, servindo como uma“medicao” da gaussianidade.

O grande problema no calculo de J(.) e a necessidade de se estimaras probabilidades para o calculo da entropia.

Para evitar esse problema utilizam-se aproximacoes da negentropiaconforme mostradas a seguir.



Aproximacoes da negentropia usando cumulantes:

J(Y ) ≈ 1

12E{Y 3}2 +

1

48kurt(Y )2,

ou utilizando funcoes nao polinomiais:

J(Y ) ≈ [k1(E{G1(Y )})2 + k2(E{G2(Y )} − E{G2(ν)})2],

onde ν e uma variavel aleatoria gaussiana de media zero e varianciaunitaria. As funcoes nao-lineares recomendadas na literatura saoG1(y) = y exp(−y 2/2) e G2(y) = |y | ou G2(y) = exp(−y 2/2).

O uso de cumulantes traz de volta o problema da pouca robustez aoutliers.

→ Para mais detalhes sobre a entropia consulte a apresentacaoespecıfica sobre Teoria da Informacao.


ICA atraves da Descorrelacao Nao-Linear

A igualdade da equacao:

E{g(x)h(y)} = E{g(x)}E{h(y)}

garante que as variaveis x e y sao independentes quando todasfuncoes g(.) e h(.),integraveis em x e y sao descorrelacionadas.

A ICA pode ser obtida testando-se a correlacao entre todas as funcoesnao-lineares g(.) e h(.) (o que nao e um procedimento pratico).

Existem alguns algoritmos propostos na literatura para o problema dadecorrelacao nao-linear, como o de Herault-Jutten e oChichocki-Unbehauen

Como nao e possıvel testar a descorrelacao entre todas as funcoesnao-lineares o algoritmo Herault-Jutten, por exemplo, aconselha o usode f (y) = y 3 e g(y) = tan−1(y), ja o Chichocki-Unbehauen sugereuma funcao polinomial e a tangente hiperbolica.


Pre-Processamento dos Sinais para ICA

Os algoritmos de extracao dos componentes independentes tem seutrabalho simplificado quando os sinais sao centralizados, ou seja, temsua media removida fazendo-se:

x← x− E{x}

E importante tambem realizar:

- normalizacao (xi ← xi/σxi );

- descorrelacao (usando por exemplo a PCA)

- reducao de ruıdo.


Principais Algoritmos para ICA

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Aplicacoes da ICA

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