저작자표시-비영리-변경금지 2.0 대한민국

이용자는 아래의 조건을 따르는 경우에 한하여 자유롭게

l 이 저작물을 복제, 배포, 전송, 전시, 공연 및 방송할 수 있습니다.

다음과 같은 조건을 따라야 합니다:

l 귀하는, 이 저작물의 재이용이나 배포의 경우, 이 저작물에 적용된 이용허락조건을 명확하게 나타내어야 합니다.

l 저작권자로부터 별도의 허가를 받으면 이러한 조건들은 적용되지 않습니다.

저작권법에 따른 이용자의 권리는 위의 내용에 의하여 영향을 받지 않습니다.

이것은 이용허락규약(Legal Code)을 이해하기 쉽게 요약한 것입니다.

Disclaimer

저작자표시. 귀하는 원저작자를 표시하여야 합니다.

비영리. 귀하는 이 저작물을 영리 목적으로 이용할 수 없습니다.

변경금지. 귀하는 이 저작물을 개작, 변형 또는 가공할 수 없습니다.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/kr/legalcodehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/kr/

교육학박사학위논문

조선산학의 교수학적 분석

2013년 8월

서울대학교 대학원

수학교육과

최 은 아

조선산학의 교수학적 분석

지도교수 이 경 화

이 논문을 교육학 박사학위논문으로 제출함

2013년 4월

서울대학교 대학원

수학교육과

최 은 아

최은아의 박사학위논문을 인준함

2013년 6월

위 원 장 (인)

부위원장 (인)

위 원 (인)

위 원 (인)

위 원 (인)

-i-

국 문 초 록

조선시대 수학,이른바 조선산학에 대한 연구가 최근 들어 활발하게 진행되어 왔

다.그러나 조선산학이 수학교육에 왜,그리고 어떻게 활용되어야 하는가에 대한 논

의는 부족한 실정이다.본 논문은 조선산학에 대한 교수학적 분석을 수행하고,이를

바탕으로 조선산학을 수학교육에 활용하는 목적과 그 구체적인 방안을 탐색하였다.

조선산학에 대한 교수학적 분석결과는 다음과 같다.먼저 사회·문화적 배경 분석에

서는 조선산학 형성에 전통산학의 계승,중국산학의 활발한 유입,서양수학의 수용이

라는 외적 요인이 작용하였음을 확인하였다.그러나 조선산학의 본격적인 발달을 가

능하게 한 배경은 조선정부 차원의 필요성 인식과 지원이었다.산학이 양전,천문역

법 등의 국가의 긴요한 업무에 소용되는 분야라는 인식과 산학청에서의 산학교육의

실시,산학규정의 지속적인 시행은 조선산학이 발달할 수 있었던 배경이었다.일반

백성들은 서당이나 가숙에서,또는 가학의 형태로 기본적인 산술을 공부하였으며,일

부 산원들과 유학자들은 산학서를 집필할 정도로 깊이 있는 산학연구를 수행하였다.

수학적 분석에서는 1차 사료의 탐구를 통하여 조선산학의 수학적 특징을 도출하였

다.먼저 산대조작이 수 표기,사칙계산,방정식의 표기와 계산,음수 개념의 발달을

가져온 것을 근거로 산본작산의 의미를 살펴보았다.또한 기하학적 대수에서 벗어나

점차 대수로 발전해가는 것과 비의 개념으로 다양한 현상을 조직하는 것이 대수 영

역의 대표적인 특징임을 확인하였다.반면에 도형이 탐구대상이 아니라 측정 맥락에

서 다루어졌다는 것과 퇴타의 이미지를 제공하고 구고술이 대수화되는 등 기하 맥락

을 이용하여 대수를 전개했다는 것,점차 조선산학이 정당화와 이론적 기하에 주목했

다는 것이 기하 영역의 두드러진 특징이었다.이상의 수학적 분석을 바탕으로 산대셈

과 천원술,조선산학자들의 고유하고 비판적인 수학 활동을 조선산학의 수학유산으로

제시하였다.

교육적 분석에서는 학교수학의 교육과정에 상응하는 조선산학의 교육과정 요소들

을 추출하여 비교분석을 시도하였다.조선산학과 오늘날 교육과정의 수학교육 목적과

목표에서 공통적인 요소를 발견할 수 있었다.특히 흐트러진 마음을 바로잡는다는 ‘수

방심(收放心)’은 심성함양으로서의 수학교육이 우리 선조들에 의해서도 추구되었다는

근거로 볼 수 있다.한편 조선산학서의 체계에서 위계성을 발견할 수 있었으며,대수

-ii-

위주의 편성에서 벗어나 점차 기하의 비중을 높여갔다는 것과 조선산학에서 일반화,

추상화,표현,귀납의 사고가 부분적으로 나타난다는 것을 알 수 있었다.또한 교육

과정 내용영역과 조선산학 주제,조선산학서 차원에서 학교수학과 조선산학의 연계

가능성을 분석하였다.

이상의 교수학적 분석결과를 바탕으로 조선산학의 교육적 활용가능성을 탐색하였

다.먼저 수학사 활용을 주장하는 논의들을 토대로 조선산학을 활용하는 목적을 인

지적 목적,사회·문화적 목적,정의적 목적으로 제시하였다.이에 따른 조선산학 활

용유형으로는 문제해결활동,학교수학과 비교하는 활동,오류 찾기 활동,1차 사료에

대한 탐구,역사적 단편의 탐구,스토리텔링과 STEAM 관점에 따른 탐구 등을 제안

하였다.마지막으로 수학교육에서 조선산학을 활용하는 구체화 방안을 모색하였다.

조선산학을 활용한 교수·학습자료의 개발 절차를 제시하고,이에 따라 ‘연립일차방정

식 풀이’와 ‘수열의 합 계산’을 주제로 한 조선산학을 활용한 교수·학습자료를 개발

하여 제시하였다.

주요어 :조선산학,교수학적 분석,조선산학의 활용 목적,조선산학의 활용 방안

학 번 :2008-30429

-iii-

목 차

국문초록··························································································································ⅰ

Ⅰ.서론···························································································································1

Ⅱ.조선산학 발달의 사회·문화적 배경·························································8

1.조선산학의 형성·······································································································8

1.1전통산학의 계승··································································································9

1.2중국산학의 유입································································································11

1.3서양수학의 수용································································································16

2.국가적인 필요성 인식과 지원················································································18

2.1통치의 과학화와 효율화 추구··········································································19

2.2산학자의 사회적 위상·······················································································24

2.3산학연구의 방식과 연구결과의 보급·······························································27

3.논의··························································································································37

Ⅲ.조선산학의 수학적 분석···············································································39

1.대수 영역·················································································································39

1.1산본작산(筭本作算)으로서의 산대조작·························································39

1.1.1산대조작을 통한 계산·················································································40

1.1.2산대조작과 수 개념·····················································································43

1.2기하학적 대수에서 대수로의 발전····································································46

1.2.1방정식 해법의 기하학적 접근·····································································47

1.2.2방정식 해법의 대수적 접근········································································49

1.3비의 개념으로 현상의 조직···············································································51

-iv-

1.3.1실생활 맥락과 비례식·················································································51

1.3.2비례식으로 접근한 방정식··········································································55

2.기하 영역·················································································································57

2.1측정 맥락에서의 도형························································································57

2.1.1이잉보허의 원리와 근사적 접근·································································58

2.1.2원주율의 근삿값과 복수의 공식·································································62

2.2기하의 대수적 해석···························································································65

2.2.1기하 맥락을 이용한 대수 전개···································································65

2.2.2구고술의 대수화··························································································68

2.3정당화와 이론적 기하의 등장···········································································70

2.3.1조선산학의 증명과 정당화··········································································71

2.3.2삼각법의 등장과 이론적 접근·····································································75

3.논의··························································································································77

Ⅳ.조선산학의 교육적 분석···············································································79

1.조선산학과 학교수학의 교육과정 비교·································································79

1.1수학교육 목적과 목표·······················································································80

1.2내용 비교···········································································································84

1.2.1체제와 구성·································································································84

1.2.2용어··············································································································94

1.2.3수학적 사고·································································································98

2.학교수학과의 연계성·····························································································110

2.1초등수학 관련내용···························································································111

2.2중등수학 관련내용···························································································116

2.3연계성 분석결과······························································································122

3.논의························································································································125

-v-

Ⅴ.조선산학의 교육적 활용가능성 탐색···················································128

1.조선산학의 교육적 활용 방법············································································128

1.1조선산학의 교육적 활용 목적·······································································128

1.2조선산학의 교육적 활용 유형·······································································135

1.3조선산학의 교육적 활용 원리·······································································158

2.조선산학 활용의 구체화·····················································································167

2.1조선산학을 활용한 자료개발 방안·······························································168

2.1.1Radford의 수학적 지식 형성과 수학사 연계 모형·······························168

2.1.2조선산학을 활용한 교수·학습자료의 개발 절차····································170

2.2조선산학을 활용한 교수·학습자료 개발의 예시 ········································175

2.2.1조선산학을 활용한 ‘연립일차방정식의 풀이’교수·학습자료 개발·······175

2.2.2조선산학을 활용한 ‘수열의 합 계산’교수·학습자료 개발····················181

3.논의······················································································································188

Ⅵ.결론·······················································································································191

참고문헌··························································································································201

조선산학을 활용한 교수·학습자료 ·································································213

Abstract···························································································································225

-vi-

표 목 차

조선산학과 학교수학 교육과정의 비교 항목 ············································80

2009개정 교육과정의 중학교 수학의 내용체계의 일부····························84

《산학계몽》의 체제와 학교수학의 학교급 대응·········································86

《구일집》의 체제와 학교수학의 학교급 대응············································88

조선산학서와 수학교과서의 전개 체계·······················································90

조선산학서와 중학교 수학교과서의 영역별 비중·······································92

《묵사집산법》과 《구일집》의 세부 주제의 비중·····································93

조선산학서와 학교수학의 용어 비교(대수 영역)········································95

조선산학서와 학교수학의 용어 비교(기하 영역)········································96

《산학입문》의 삼각형과 사각형 설명·····················································102

초등학교 수학과 조선산학의 연계(수와 연산 영역)·······························112

초등학교 수학과 조선산학의 연계(도형,측정,규칙성 영역)················113

중학교 수학과 조선산학의 연계(수와 연산,문자와 식 영역)···············116

중학교 수학과 조선산학의 연계(기하 영역)···········································117

고등학교 수학과 조선산학의 연계···························································120

초등수학에서 활용가능한 조선산학 활용 유형과 예시····························155

중학교 수학에서 활용가능한 조선산학 활용 유형과 예시······················156

고등학교 수학에서 활용가능한 조선산학 활용 유형과 예시···················157

‘연립일차방정식 풀이’자료의 교수·학습활동 개요··································180

‘수열의 합 계산’자료의 교수·학습활동 개요···········································187

-vii-

그 림 목 차

[그림 Ⅱ-1]《구장산술》과 《구일집》의 체제 비교 ···················································15

[그림 Ⅱ-2]《구수략》에 제시된 하도와 낙서·······························································23

[그림 Ⅲ-1]《묵사집산법》의 종횡법과 수 표기방식···················································40

[그림 Ⅲ-2]85×67산대···································································································42

[그림 Ⅲ-3]소수 산대표기······························································································45

[그림 Ⅲ-4]개방술과 의 전개식에 대한 기하학적 해석····························48

[그림 Ⅲ-5]《습산진벌》의 개입방술의 도해·································································49

[그림 Ⅲ-6]《구일집》의 제곱근 풀이············································································50

[그림 Ⅲ-7]도량형 기구··································································································52

[그림 Ⅲ-8]《산학입문》의 삼각형 그림········································································58

[그림 Ⅲ-9]삼각형의 이잉보허의 원리··········································································59

[그림 Ⅲ-10]《산학입문》의 사각형 그림·······································································60

[그림 Ⅲ-11]사다리꼴의 이잉보허의 원리·····································································61

[그림 Ⅲ-12]《산학입문》의 여러 가지 도형 그림························································61

[그림 Ⅲ-13]《산학입문》의 규와 규타··········································································67

[그림 Ⅲ-14]《산학입문》의 삼각타,사각타,규타,제타··············································67

[그림 Ⅲ-15]현도의 시각적 증명···················································································71

[그림 Ⅲ-16]《유씨구고술요도해》의 구고술 도해(1)···················································73

[그림 Ⅲ-17]《유씨구고술요도해》의 구고술 도해(2)···················································73

[그림 Ⅳ-1]《구일집》의 종횡승제문············································································89

[그림 Ⅳ-2]조선산학에서 다룬 사다리꼴·····································································103

[그림 Ⅳ-3]산대를 통한 수 표기와 다항식 표기························································106

[그림 Ⅳ-4]직각삼각형과 내접원 문제에 대한 남병길의 도해··································106

[그림 Ⅳ-5]정다각형의 이등변삼각형 분할·································································108

[그림 Ⅳ-6]《산학입문》의 사각타················································································109

[그림 Ⅳ-7]중학교 수학과 조선산학의 연계성에 대한 삼원분석틀···························111

[그림 Ⅴ-1]《구수략》,《습산진벌》,《간이사칙문제집》,《근이산술서》수 표기····133

-viii-

[그림 Ⅴ-2]《묵사집산법》의 구구합수········································································140

[그림 Ⅴ-3]조선시대 궁궐의 정전에 나타난 비례······················································153

[그림 Ⅴ-4]조선산학서의 원문이 제공되는 DB사례·················································154

[그림 Ⅴ-5]Radford의 수학적 지식 형성과 수학사 연계 모형··································168

[그림 Ⅴ-6]조선산학을 활용한 교수·학습자료의 개발 절차······································172

-1-

Ⅰ.서론

수학교육에서 수학사 활용의 가치와 중요성은 거듭 강조되고 있다(Fauvel,1991:3;

Fauvel& VanMaaven,1997:ⅹⅲ;Furinghetti2007:132).DeMorgan,Poincaré,

Klein,Lakatos등은 수학교육에 수학사를 통합하는 것을 옹호한 대표적인 학자들이

며(Tzanakis& Arcavietal.,2000:202),미국,네덜란드를 비롯한 세계 각국의 교

육과정에는 수학사 내용을 반영하고자 하는 노력이 엿보인다(Fasanellietal.,2000:

1-2).최근 이십여 년 동안 수학사에 대한 관심은 더욱 높아져 수학사 관련 연구물

들을 쉽게 찾아볼 수 있으며(Barbinetal.,2000;Schubring,2011;Jankvist,2011),

학술지들은 수학사를 특별 주제로 채택하여 집중적으로 다루기도 하였다.1)또한 국

제수학교육위원회(ICMI)산하의 HPM2)에서 발표된 논문들이 정리되어 발간된 바

있다.3)

수학사 활용 연구의 양적인 팽창과 더불어 수학교육에 수학사를 활용하는 목적을

체계화하는 연구들이 수행되었다.Fauvel(1991:4)은 수학사 활용 목적을 15가지로

제시한 바 있다.그는 학습동기 부여와 수학의 인간적 면모 제시,교육과정의 배열·

조직의 근거,옛 방식과의 비교를 통한 현대적 방법의 가치 인식,다문화적 접근의

개발,탐구와 해석의 경험 제공,학생들의 오개념을 설명해줄 수 있는 역사적 장애물

파악,수학의 사회적 기능 설명 등을 언급하였다.또한 Tzanakis& Arcavietal.(

2000:204-207)은 수학의 학습,수학과 수학적 활동의 본성에 대한 관점의 개발,교

사들의 교수학적 배경,수학에 대한 정의적 성향,문화적·인간적 노력으로서 수학의

인식 측면으로 나누어 수학사 활용을 주장하는 논의들을 살펴보고 있다.이 5가지의

주요 아이디어는 다시 17가지의 하위 주제로 좀 더 구체화되어 설명되었다.

1) For the learning of mathematics, 11 no. 2(1991); Mathematical gazette 76, no.

475(1992); Educational Studies in Mathematics, 66(2007) 등이 있다.

2) International Study Group on the Relations Between History and Pedagogy of

Mathematics.

3) Swetz, F., Fauvel, J., Bekken, O., Johansson, B., & Katz, V., (Eds.)(1995), Learn

from the masters; Calinger, R. (Ed.)(1996), Vita mathematica—historical research and

integration with teaching; Fauvel, J., & van Maanen, J. (Eds.)(2000), History in

mathematics education—the ICMI study; Katz, V. (Ed.)(2000), Using history to teach

mathematics—An international perspective.

-2-

Gulikers& Blom(2001)과 Jankvist(2009)의 연구는 기존의 수학사 연구를 대상으

로 수학사 활용 목적에 대한 범주화를 시도한 경우이다.Gulikers& Blom은 수학사

활용 목적을 크게 세 가지로 범주화한다.역사적 발생 원리에 따른 교수·학습과 수

학개념의 발전과정에 대한 이해를 목표로 하는 개념적 논의,문화적 관점의 개발과

수학의 사회적 기능,인간활동으로서의 수학의 발전에 대한 이해를 목표로 하는 문

화적 논의,학생들의 학습동기 유발을 목표로 하는 동기적 논의이다(Gulikers&

Blom,2001:225-231).반면에 Jankvist는 수학사 활용 목적을 도구로서의 수학사와

목적으로서의 수학사로 범주화한다.수학적 개념,이론,아이디어,방법,알고리즘,논

증방법,증명 등을 가르치고 학습하기 위해 수학사를 활용하는 것이 도구로서의 수

학사이며,수학발전의 인간적,문화적 측면과 발전과정 자체를 가르치는 것을 목표로

하는 것이 목적으로서의 수학사이다(Jankvist,2009:237-239).

이와 같이 수학교육에 수학사를 활용하는 목적에 대해서는 학자들마다 조금씩 차

이를 보이고 있지만,수학사가 교육적으로 효과가 있다는 생각에는 별다른 이견이

없어 보인다.다만 수학사를 교육적으로 활용하는 방법에 대한 논의와 그 교육적 효

과들을 경험적으로 확인하는 연구들이 요청되고 있다.실제로 수학교실에서의 수학

사 활용방식을 12가지로 제시한 Fauvel(1991:5),13가지의 활용 방법과 예시를 보여

준 Tzanakis&Arcavietal.(2000:214)을 비롯한 다수의 연구들이 수학사를 활용하

는 방법에 대한 논의를 진행하였다.

한편 ICMIStudy104)은 수학교육에서의 수학사 활용 효과를 여러 가지 측면에서

확인하고자 하는 연구문제들을 제시한 바 있다(Fauvel& VanMaaven,1997).이

중에는 학생들이 자국의 선조로부터 물려받은 수학유산을 이해하는 것과 다양한 문

화가 현대수학의 형성에 기여했다는 사실을 이해하는 것의 이점을 탐색하는 것이 포

함되어 있다.그러나 그동안 국내·외에서 이루어진 수학사 연구는 서양수학사를 대

상으로 수행되었다고 볼 수 있다.Swetz(1972,1996)와 Siu(1993,2000),Dauben

(1998),Chemla(2009)등이 동양수학사를 소재로 연구를 수행하였지만,이 연구들 역

시《구장산술》로 대표되는 고대 중국산학에 대한 논의에 머물러 있다.이러한 연구

동향은 서양수학사뿐 아니라 다양한 문화의 수학사를 활용한 연구가 활성화될 필요

4) ICMI Study 10(1998)의 주제는 수학 교수·학습에서의 수학사의 역할(The Role of the

History of Mathematics in the Teaching and Learning of Mathematics)이었다.

-3-

가 있음을 시사한다.

현재 우리나라 교육과정의 구성과 지도의 실제에서 수학사 활용은 깊게 뿌리를

내리지 못한 상태이다(우정호,1998:39).우리나라의 수학사 활용방식은 대부분 읽기

자료를 제공하는 방식으로,다소 소극적인 차원에 머물러 있다고 말할 수 있다.더군

다나 교과서에서 수학사 관련 내용이 차지하는 비율은 결코 높지 않다.특히 수학사

내용 중에서 한국수학사가 차지하는 비중은 극히 작다.양성호,이경언(2010:26)에

따르면,2007개정 중학교 1학년과 고등학교 1학년 수학교과서의 수학사 내용 중에

서 동양수학사가 차지하는 비율은 10% 안팎에 불과하다.2009개정 교육과정의 교

과서는 이전에 비해 동양수학사나 한국수학사의 비중을 늘렸다고 하지만(정해남,

2012:148),한국수학사의 사례는 여전히 손으로 꼽힐 정도이다.

이러한 현실은 교육과정의 교육목표 실현과 최근에 국가차원에서 주도되고 있는

수학교육 선진화 방안과 관련하여 몇 가지 아쉬운 점을 남긴다.먼저 2009개정 초·

중등교육과정에는 ‘우리 문화의 이해와 향유’라는 학교급별 교육목표가 제시되어 있

다.5)수학과 관련한 우리 문화라 함은 바로 한국수학사일 것이고,그 중에서도 대표

적인 것이 조선시대 수학,즉 산학(算學)6)이다.학생들에게 우리 선조들의 수학유산

의 존재를 알리고,수학적 탐색의 기회를 제공하는 것은 전통학문에 대한 자긍심이

나 문화적 정체성을 신장할 수 있다는 점에서 교육적으로 의미 있는 일로 보인다.

그럼에도 불구하고 수학과 교육과정에서 조선산학을 적극 활용하지 못하고 있는 현

실은 수학 과목 목표의 상위 목표인 학교급별 교육목표를 실현한 기회를 놓치고 있

다는 점에서 문제가 있다.

한편 교육과학기술부(2012b)는 수학교육 선진화 방안의 주요방향에 ‘쉽게 이해하

고 재미있게 배우는 수학’을 포함시킨 바 있다.이를 실현하기 위한 과제로 스토리텔

링 요소를 가미한 수학교과서의 개발을 제시하고 있다.스토리텔링 교과서 유형 중

에는 수학사 탐구형이 있으며,그 예시가 바로 조선산학자 최석정의 조합론이다.실

5) 초등학교 교육목표에는 ‘우리 문화에 대해 이해’, 중학교 교육목표에는 ‘다양한 문화와 가

치에 대한 이해’, 고등학교 교육목표에는 ‘우리 문화의 향유’라고 제시되어 있다(교육과학

기술부, 2012a).

6) 산학이라는 용어는 중국 뿐 아니라 통일신라와 고려에서도 사용된 용어이다. 조선에서는

‘산학에서 산학을 교육했다’는 표현이 가능하다. 그 이유는 후자의 산학이 산술과 관련된

분야를 의미하고, 전자의 산학이 후자를 교육하고 연구하는 기관을 지칭하기 때문이다. 전

자의 산학은 산학청, 주청이라고 불리기도 하였으며, 후자의 산학은 사용맥락에 따라 주

학, 산술, 산법 등의 용어와 혼용되어 사용되었다.

-4-

제로 조선시대에는 최석정뿐 아니라 다수의 수학자들이 존재하였으며,이들의 수학

적 업적은 현존하는 조선산학서를 통해 확인할 수 있다.우리 선조들의 수학적 활동

에 대한 풍부한 스토리의 원천인 조선산학은 스토리텔링 교과서 개발자들이 주목해

야 할 소재이다.

그동안 국내에서 이루어진 한국수학사 연구는 문헌고증이 가능한 조선산학을 중심

으로 이루어졌다.눈에 띠는 성과로는 조선시대의 산학서 원본과 산학 관련 원자료

들을 데이터베이스로 구축한 것7)과 다수의 조선산학서를 번역하여 출판한 것을 들

수 있다.이러한 기초 작업 위에서 주로 조선산학이 다루는 개념과 원리,알고리즘을

현대수학에 비추어 분석하는 연구(유인영,2001,2003;허민,2005;장혜원,2009;김

창일·윤혜순,2009)와 중국수학과 연계하여 조선산학의 수학적 내용을 분석하는 연구

(홍성사·홍영희,2008;허민,2008;윤혜순,2009;홍성사·홍영희·이승온,2012)가 수행

되었다.

그런데 국내에서 수행된 조선산학 관련 연구와 국외에서 수행된 수학사 활용 연구

의 흐름 사이에는 상당한 간극이 존재한다.가장 큰 차이는 조선산학 관련 연구가 1

차 사료에 대한 분석 수준에 머물러 있을 뿐,교육적 활용을 논의하는 수준에는 이

르지 못했다는 것이다.물론 1차 사료의 분석과 활용의 중요성은 Bruckheimer&

Arcavi(2000:28),Jahnkeetal.(2000:291)을 비롯한 여러 연구자들에 의해서 강조된

바 있다.그러나 지금까지의 조선산학 연구는 장혜원(2003),허민(2009),심상길

(2009),정해남(2011,2012)등 소수의 연구를 제외하면,대부분 1차 사료 중심의 수

학적 분석에 머무르고 있어,수학교육에서 조선산학을 어떻게 활용할 것인가에 대한

교육적 논의가 매우 부족하다고 볼 수 있다.

수학교육에서의 수학사 활용을 연구하는 Arcavi(1991),Barbin(1991),Fauvel&

vanMaanen(1997,2000),Furinghetti(1997), Schubring(2000),Jankvist(2012)는 수

학사 도입을 옹호하는 일반적 논의에서 벗어나 활용방식에 대한 구체적인 논의가 있

어야 함을 강조한다.Tzanakis& Arcavietal.(2000:208,214)에 따르면,수학사 활

용방식은 크게 수학교육에 수학사를 통합하는 방식과 수학교실에서의 구체적인 적용

방식으로 나누어 볼 수 있다.전자가 수학사를 직접 배우는 방식,역사발생적 원리와

7) 조선시대 산학서 원본은《한국과학기술사자료대계》의 수학편에서 확인할 수 있다.

www.krpia.co.kr 참조.

-5-

같은 교수·학습 원리로 활용하는 방식,수학적 인식을 전환하기 위해 사회·문화적 맥

락을 활용하는 방식을 의미한다면,후자는 수학사의 일부 내용을 제시하거나 프로젝

트,활동지,수학사 문제를 활용하는 등 수학수업에서 적용할 수 있는 구체적인 활동

을 의미한다.Jankvist(2009:245-247)는 그동안의 수학사 관련 연구의 분석을 통해

수학사 활용방식 ‘How’에는 세 가지 범주가 존재한다고 주장하였다.그에 따르면,

수학사는 일화나 역사적 사실을 조명하는 방식,2·3차시 분량의 활동지 또는 한 학

기 분량의 수학사 교재를 활용하는 모듈 방식,역사발생적 원리를 교육과정의 배열

준거로 삼는 역사기반 접근 방식으로 활용될 수 있다.실제로 Jankvist(2012)는 모듈

방식을 선택하여 수학사를 활용한 교수설계를 하고 있다.그는 Niss에 의해 주도되

었던 KOM-project8)와 이후의 덴마크 교육개혁이 수학의 역사적 발전과 실제적 응

용에 초점이 맞추어져 있음을 지적하고,수학사를 활용한 교수설계의 고려요인으로

수학사 활용 목적과 활용방법의 상호작용,1차 사료의 활용,교수자료와 학생들의 과

제활동을 제안하였다(Jankvist,2012;7-9).9)이상의 고려요인들은 수학교육에서 조

선산학을 어떻게 활용할 것인가를 모색하는 과정에서 적극적으로 고려해야 하는 요

소라고 판단된다.

지금까지 수행된 조선산학 연구와 국외에서 수행된 수학사 연구의 또 다른 간극

은 1차 사료에 대한 연구가 사회·문화적 맥락과 수학적 맥락을 통합하지 못했다는

것이다.그동안의 조선산학 연구에서 두 맥락은 서로 분리된 채 별도의 연구로 진행

된 경향이 있다.수학적 맥락에서 조선산학을 분석하는 연구가 주류를 형성한 가운

데,조선의 산학규정과 산원조직을 기술하거나(박형빈,방주현,2005;홍성사,홍영희,

2006;구만옥,2007),조선산학의 연구 실태를 살펴보는 연구(전용훈,2004;구만옥,

2009;이상구,이재화,2011;Ying,2011)가 일부 수행되었다.

Tzanakis& Arcavietal.(2000)을 비롯한 다수의 수학사 활용 연구들(Zaslavsky,

1991;Katz,1997;Radford,1997;Gulikers& Blom,2001;Boero& Guala,2008)은

수학의 역사에 대한 수학적 접근과 사회·문화적 접근의 통합을 주장한다.사회·문화

적 접근은 수학의 역사를 통해서 다양한 문화의 수학을 경험할 수 있게 하며

8) KOM-project는 덴마크에서 수행된 ‘수학적 역량과 수학학습’ 프로젝트를 말하며 그 결과

보고서가 2002년에 출간되었고, 2011년에 영어판이 출간되었다.

9) Jankvist(2012)는 교수설계를 위해 수학사, 응용, 철학 차원 각각에 대해 논의하고 다시

이들을 통합하여 논의하였다.

-6-

(Gulikers& Blom,2002:228),수학의 사회적 기능을 설명할 수 있고,수학이 다른

사회·문화적 요인에 영향을 받는 인간적이고 역동적인 활동임을 인식시키기에 유용

하다(Fauvel,1991;Ofir,1991;Gulikers& Blom,2002).Jahnkeetal.(2000:292)은

1차 사료의 분석을 통해서 수학의 발전이 당시의 사상사와 사회,과학,기술의 맥락

에서 이루어졌음을 인식하는 문화적 이해가 가능하다는 입장이다.Jankvist(2009)는

수학사에 대한 사회·문화적 접근이야말로 학생들에게 수학의 역사적인 발달과정과

수학발전의 인간적이고 문화적인 면모를 가르치는 것을 의미하는 목적으로서의 수학

사를 구현하는 실질적인 방법이라고 주장한다.이상의 연구들은 사회·문화적 접근이

필요한 이유를 조금씩 다르게 주장하고 있지만,수학사 연구가 사회·문화적 맥락을

포함해야 한다는 점에서는 일치된 입장을 보이고 있다.조선산학 활용에 대한 연구

에서도 1차 사료를 대상으로 사회·문화적 맥락과 수학적 맥락을 통합한 접근이 이루

어진다면 이상에서 언급한 교수학적 이점들을 기대할 수 있을 것이다.

이상의 논의는 수학교육에서 조선산학을 활용하기 위해서는 조선산학의 1차 사료

를 수학적으로 분석하는 것 이상으로 교수학적 차원의 다차원적이고 체계적인 연구

가 필요함을 시사한다.따라서 본 연구는 앞에서 살펴 본 Bruckheimer &

Arcavi(2000)와 Jankvist(2012)의 수학사를 활용한 교수설계를 모델로 하여 몇 가지

연구방향을 설정하였다.먼저 본 연구는 조선산학을 활용하는 구체적인 방법들을 제

시하고자 하며,이에 따라 조선산학을 활용한 교수·학습자료를 개발하고자 한다.조

선산학을 활용한 교수·학습자료는 수학적 맥락뿐 아니라 사회·문화적 맥락을 반영하

며,교육과정과 밀접하게 연결되는 수학주제에 초점을 맞추어 읽기자료와 탐구활동

으로 구성된 활동지 형태로 개발할 것이다.

본 연구의 목적은 조선산학의 교수학적 분석을 수행함으로써 조선산학을 수학교육

에 활용하는 방안을 탐색하는 것이다.먼저 조선산학의 특징을 파악하기 위해서 교

수학적 분석을 수행한다.교수학적 분석이란 역사와 인식론,학습과 인지,현상학,교

수와 교육과정 연구,사회·문화적 측면 영역에서 특정 수학주제에 관한 정보를 통합

하고 관련시키는 질적 메타분석이다(González,1999:253).우정호(2004:16)는 교수

학적 분석에 수학적,인식론적,역사발생적,심리학적,언어학적,실용적,교육학적 분

석을 포함시킨다.두 경우 모두 수학지식을 다양한 관점에서 분석하고,분석의 결과

로 도출된 정보를 통합하여 그 지식의 본질을 이해하고,그에 기초하여 수학교육의

-7-

개선에 도움이 되는 방안을 제시하는 것을 지향한다(우정호 외,2006:35).따라서 본

연구는 조선산학을 주제로 사회·문화적 배경 분석,수학적 분석,교육적 분석을 수행

하고,이 결과를 바탕으로 수학교육에서 조선산학의 교육적 활용가능성을 탐색할 것

이다.이를 위해 본 연구는 다음과 같은 세 가지의 연구문제를 설정하였다.

1.조선산학의 사회·문화적 배경 그리고 수학적 특징은 무엇인가?

2.학교수학과의 교육과정 비교를 통해 도출되는 조선산학의 특징은 무엇이며,

조선산학과 학교수학의 연계방안은 무엇인가?

3.조선산학의 교육적 활용방안은 무엇인가?

먼저 연구문제 1에 답하기 위해서 Ⅱ장,Ⅲ장에서는 조선산학에 대한 사회·문화적

배경 분석과 수학적 분석을 수행한다.Ⅳ장에서는 조선산학 관련 문헌을 토대로 조

선산학과 학교수학 교육과정을 비교분석한다.또한 수학과 교육과정에 비추어 조선

수학과의 연계성을 분석한다.이 장은 연구문제 2에 답하는 장이다.Ⅴ장에서는 조선

산학을 교육적으로 활용하는 목적과 방법을 제시하고 구체적인 교수·학습자료의 개

발 사례를 제시함으로써 연구문제 3에 답할 것이다.

-8-

Ⅱ.조선산학 발달의 사회·문화적 배경

수학사 활용에 있어서 수학적 접근뿐 아니라 사회·문화적 접근이 병행되어야 한

다는 논의가 계속되어왔다(Zaslavsky,1991;Katz,1997;Radford,1997;Tzanakis

& Arcavietal.,2000,Boero& Guala,2008).수학사 활용에 있어 사회·문화적 접

근을 주장하는 이유는 세 가지 정도로 압축될 수 있다.첫 번째 이유는 수학의 발

전이 당시의 사상,사회,다른 문화와의 상호작용의 맥락에서 이루어졌음을 인식하

는 문화적 관점을 개발하는데 도움을 줄 수 있다는 것이다(Katz,1997;Tzanakis&

Arcavietal.,2000).두 번째 이유는 사회 속에서 수학이 담당한 역할을 설명할 수

있으며,수학이 철학,예술,물리학,천문학 등의 다른 학문과 어떻게 관련을 맺고

있는지를 설명할 수 있다는 점이다(Tzanakis& Arcavietal.,2000).마지막 이유

로는 인간적 활동으로서의 수학,과정 중에 있는 수학의 면모를 드러내며,수학이

발전해가는 인간적인 모습을 보여준다는 것을 들 수 있다(Ofir,1991;Siu,2000;

Swetz,2000;Tzanakis& Arcavietal.,2000;Furinghetti,2004;Jankvist,2009).

이 장에서는 이상의 논의를 염두에 두고 조선산학에 대한 사회·문화적 배경을 살펴

보고자 한다.먼저 조선산학의 형성에 기여한 외적 요인을 세 가지로 나누어,각 요

인들이 조선산학에 미친 영향을 살펴본다.이어서 조선산학의 본격적인 발전을 가

져온 조선사회의 내적 요인을 살펴보고,산학연구의 방식과 그 결과를 파악한다.

1.조선산학의 형성

수학은 오랜 시간에 걸쳐 형성된 다양한 문화집단의 아이디어와 노력의 집적물이

며 역동적으로 발달해온 지식체계이다(Bishop,1988;Ascher,1991;D'Ambrosio,

1985).또한 각 문화집단의 수학유산은 다른 문화집단의 수학지식을 유입하고 동화

하는 과정을 거쳐서 형성되어왔다.현대의 수 표기법과 산술의 기원인 인도의 숫자

와 셈법이 아라비아를 거쳐 유럽으로 전해진 것(Eves,1953:200)과 17세기 초반에

Euclid의 《원론》이 MatteoRicci에 의해 중국에서 한역되어 소개된 것(김용운,김

용국,1996:287)은 이에 해당하는 사례들로 잘 알려져 있다.역사적으로 우리나라

교육과정은 주로 불가,유가 등의 외국문화가 교과내용의 중심을 이루다가 점차 우

-9-

리 전통으로 동화되어 흡수되었다는 특징을 가진다(장상호,1997:106).조선산학 역

시 전 왕조의 산학을 계승하였을 뿐 아니라 전 시기에 걸쳐 중국산학을 활발하게 유

입하였고,18세기 이후에는 서양수학을 부분적으로 수용하는 모습을 보인다.이 절에

서는 전통산학의 계승,중국산학의 유입,서양수학의 수용으로 나누어 각 요인들이

조선산학의 형성에 어떠한 영향을 미쳤는지를 살펴보고자 한다.

1.1전통산학의 계승

조선산학은 전 왕조인 통일신라와 고려의 산학 일부를 계승하여 형성되었다고 볼

수 있다.산학이라는 용어가 최초로 등장하는 문헌은 김부식에 의해서 편찬된 《삼

국사기》이다.《삼국사기》에는 신문왕 2년(682)에 설치한 최고교육기관인 국학의

관직명이 다음과 같이 등장한다.

산학박사(算學博士) 또는 조교(助敎) 한 명을 두어 철경(綴經), 삼개(三開), 구장

(九章), 육장(六章)을 가르치게 한다.10)

위 규정은 산학박사와 조교라는 관직명을 가진 국가관리가 국학에서《구장》을 비

롯한 산학교재를 가르쳤음을 말해준다.11)원문의 전후 맥락을 통해 볼 때,산학은 선

택과목의 성격이었으며(신용국,1997:56),15세 이상 30세 이하의 국학생도들은 9년

의 재학기간을 통해 산학을 선택하여 학습하고 있었음을 알 수 있다.미래의 국가관

리의 양성을 목표로 한 국학에서 산학이 교수되었다는 사실은 당시 사회에 산학지식

이 일부 관리의 업무에 필수적이라는 인식이 있었음을 시사한다.특히 주교재인《구

장산술》의 내용으로 보아 관리들의 산학관련업무가 조세,부역,양전 등이었음을 짐

작할 수 있다.

산학이라는 용어가 다시 등장하는 사료는 《고려사》이다.《고려사》의 학교조항

에는 국자감에 ‘산학’이라는 분과가 설치되어 있었다는 기록과 산학박사가 산술을 맡

10) 三國史記, 卷第三十八 雜志 第七, 職官上, 或差算學博士若助敎一人 以綴經三開九章六章敎

授之.

11) 《구장》과《철경》은 중국산학서《구장산술》과《철술》을 의미한다. 《삼개》와 《육

장》은 정확한 내용이 전해지지 않는다(김용운, 김용국, 2009: 141-143).

-10-

아 가르쳤다는 기록이 실려 있다.12)이 조항에 의하면,고려의 최고교육기관인 국자

감에서 유학뿐 아니라 산학 등의 잡학을 설치하여 교육하였음을 알 수 있다.산학의

입학자격은 유학보다 낮게 책정되어 8품 이상 관리의 자제와 일반 백성이었으며,7

품 이상 관리의 자제도 입학이 가능하였다.또한 통일신라의 산학박사 관직이 고려

에도 여전히 남아있음을 알 수 있다.주목을 끄는 것은 모든 학생들이《논어》와

《효경》을 읽은 다음에 여러 경서와 산술을 학습한다는 부분이다.이 조항으로부터

《논어》와 《효경》 등의 유학과목 이외에 산술이 필수교양과목이었음을 알 수 있

다(신용국,1997:69).이는 일반 유학생도들에게도 적용되는 조항으로,산술이 관리

의 일반적 소양으로서 교수되었음을 말해주는 근거이다.

산학관련 기록은 《고려사》의 과거 과목에서도 찾아볼 수 있다.고려에는 산학관

리를 선발하는 과거시험인 명산업이 잡과 중의 하나로 실시되고 있었다.13)고려사

관련 문헌에 따르면 명산업을 통해 선발된 산학관리는 산사(算士)라 불리었는데,14)

이들 산사들은 장차 조세,양전 등의 행정실무를 담당하게 된다.또한 과거조항으로

부터 통일신라의 국학에서 가르친 《구장》과 《철술》등이 명산업의 고시과목으로

채택되었음을 알 수 있다.명산업의 시험은 산학서의 일부 문구를 제시하고 이에 해

당되는 전체 내용을 구술하도록 하는 일명 첩경(貼經)방식으로 실시되었다.

이와 같이 통일신라와 고려의 최고교육기관에서 산학을 가르친 것은 산학지식이

조세,양전 등의 행정실무에 소용된다고 보았기 때문이다.그런데 당시 사회에서 산

학지식이 활용된 업무는 비단 조세,양전만은 아니었다.대표적인 분야가 바로 천문

역법과 건축 분야이다.천문역법은 역대 왕조에서 왕조 개창의 정당성을 확보해주고

농시(農時)를 정확하게 측정하여 알려준다는 측면에서 중요시되었다.일식과 월식의

계산,농시와 관련된 역(曆)의 제작에 산학계산이 기본적으로 소용되었던 것이다.또

한 현재까지 전해 내려오는 당시 건축물의 구조를 수학적으로 분석해보면 건축물 곳

곳에서 대칭 개념이나 비 개념을 확인할 수 있다.특히 석굴암과 첨성대,다보탑,부

석사 무량수전 등의 다양한 건축물의 구조에서 동양의 황금비라 일컬어지는 금강

12) 高麗史 卷 74, 志 28, 選擧 2, 學校, 其律學·書學·筭學 皆肄國子學 律·書·筭及州縣學生 並

以八品以上子及庶人爲之 七品以上子情願者聽 律·書·學 只置博士 筭學 掌敎筭術 皆先讀孝

經論語 次讀諸經幷筭 習時務策.

13) 高麗史 卷 73, 志 27, 選擧 1, 科目 1, 其科擧有筭 凡明筭業式 貼經二日內 初日 貼九章

十條 翌日貼綴術四條 三開三條 謝家三條.

14) 高麗史節要, 卷 5, 文宗仁孝大王二, 정유 11년, 職掌固算士 皆許登仕.

-11-

비15)를 찾아볼 수 있다(정주영,2007;김용운,김용국,2009).

요컨대 통일신라와 고려는 산학을 예비관리교육의 선택과목 또는 교양필수과목으

로 가르침으로써,장차 산학관련 업무를 담당할 국가관리의 양성과 선발을 도모하고

자 하였던 것이다.또한 천문역법과 건축 등의 다른 분야에서도 산학지식이 활용되

고 있었다.이러한 통일신라와 고려의 전통은 부분적으로나마 조선에 계승되어 조선

산학의 형성에 기여하게 된다.

1.2중국산학의 유입

조선산학의 문화적 원류가 중국수학임은 부인할 수 없는 사실이다.조선산학이

계승한 통일신라,고려의 산학 역시 중국산학을 유입했다고 볼 수 있으며,중국으로

부터 새로운 수학지식의 유입은 조선시대 내내 지속된 현상이었다.먼저 고대 중국

부터 17세기 예수회 선교사들이 서양수학을 전래하기 전까지의 중국산학의 발달과정

을 간단하게 살펴보면 다음과 같다.

중국산학의 역사는《주비산경》과 《구장산술》로 시작된다.두 산학서 모두 이전

시기의 수학적 연구성과를 모아 놓은 것으로,편찬시기를 정확히 알 수 없어 대략적

인 추정만이 가능하다.16)《주비산경》은 사실 천문학 책으로 분류되지만,도입부에

피타고라스의 정리를 나타내는 그림인 현도가 실려 있다는 점과 이어지는 주공과 상

고의 대화가 구고술 내용이라는 점에서 산학서로 분류되기도 한다.이후 1500년 동

안 중국산학서의 원형이 된《구장산술》은 중국의 모든 산학서 중에서 가장 중요하

다고 평가받는다((Siu,2000;Needham,1959;Boyer& Merzbach,1968).《구장산

술》은 총 9개의 주제로 나누어져 있으며,토지의 측량,토목공사,세금 징수,공물의

수송 등 관리의 행정실무와 관련된 문제들을 많이 찾아볼 수 있다.각 장에서는 같

은 유형의 문제들이 답과 함께 제시된 후에,동일 범주 문제에 대한 일반적인 해법

이 주해 형식으로 제시된다.《구장산술》에 대해서 많은 이들이 주해를 시도했다고

알려져 있으나,그 중에서 劉徽의 주해본(263년)이 가장 대표적으로 거론된다.

15) 1:를 뜻하는 금강비는 실제 건축물에서 1: 1.41, 1: 1.41, 1: 1.414 등의 근삿값으로 나타난다.

16) 《주비산경》은 B.C 100년경(Siu, 2000)으로, 《구장산술》은 기원후 1세기 후한 초기

(김용운, 김용국, 1996), 또는 2세기나 3세기 초(Needham, 1959)로 짐작하고 있다.

-12-

Swetz(1996)는 《주비산경》과 《구장산술》의 분석을 통해 중국이 발달된 십진법

체계를 가지고 있었다는 것과 피타고라스의 정리와 그 활용에 익숙했다는 것,제곱

근과 세제곱근을 정확하게 구할 수 있었다는 것,행렬을 이용하여 연립일차방정식을

풀었다는 것,계산과정에서 음수를 다루고 이차방정식의 양수 해를 구했다는 것,부

정방정식에 능하였다는 것을 고대 중국산학의 특징으로 들고 있다.

중국산학의 역사를 기술하는 대부분의 연구들((Needham, 1959; Boyer &

Merzbach,1968;김용운,김용국,1996)이 중국수학의 절정이라고 말하는 송대 이전

에는《구장산술》의 영향력을 넘어서는 산학서를 찾아보기 힘들다.굳이 이 기간 동

안의 수학적 성과를 꼽는다면,4세기 경의《손자산경》에 실린 연립합동식 문제의

해법인 ‘중국인의 나머지 정리(Chinese RemainderTheorem)’를 들 수 있다.17)

Swetz(1996:89)에 의하면,이 정리는 19세기 중반 영국선교사 Wylie에 의해 서방세

계에 전해지게 된다.한편 원주율 에 대한 연구는 중국산학의 주요 관심사 중의 하

나였다.5세기의 수학자 祖沖之는 의 근삿값을 《구장산술》에서 사용한 고법 3보

다 좀 더 정밀한 값으로 구했다고 한다(Boyer& Merzbach,1968:331-332)18)이후

1000년 동안 祖沖之 부자의 원주율의 정밀도를 넘어선 수학자는 전 세계적으로 찾아

볼 수 없다고 한다(Needham,1959:55).당(唐,618-907A.D.)대의 李淳風은 高宗의

명에 따라 《구장산술》,《손자산경》을 포함한 10권의 산학서에 주해를 단《산경

십서》19)를 편찬하게 된다.또한 《산경십서》는 656년 국자감에 산학을 전문적으로

가르치는 분과인 산학이 설치되면서 주교재로 채택되었다(Swetz,1996:89).당의 산

학 역시 고려의 산학과 마찬가지로 양전,조세 등 행정실무를 담당할 국가관리를 양

성하는 교육기관이었다.

이후 송(宋,960-1279A.D.)대 말,원(元,960-1368A.D.)대 초는 중국산학의 가장

의미 있는 수학적 성과를 이룬 시기이다.13세기의 수학자들인 秦九韶,李冶,楊輝,

朱世傑은 어떠한 학파를 형성하거나 서로 연계하지 않은 상태로 독립적인 연구를 한

17) ‘개수를 모르는 물건이 있다. 3개씩 세면 2가 남고, 5개씩 세면 3이 남고, 7개씩 세면 2

가 남는다. 이 물건의 개수는 모두 몇 개인가?’라는 문제로, 제시된 해법은 오늘날의 연립

합동식에서 최소의 해를 구하는 해법과 일치한다.

18) Boyer & Merzbach(1968)에 따르면, 祖沖之의 원주율은 Archimedes의 보다 더 정밀

한 였으며, 이 값은 다시 과 사이의 값으로 정밀하게 제시되었다.

19) 10권의 책은《주비산경》,《구장산술》,《해도산경》,《손자산경》,《오조산경》,《장구

건산경》,《하후양산경》,《오경산술》,《수술기유》,《집고산경》을 말한다.

-13-

것으로 보인다(Needham,1959:22).이들의 수학적 업적을 Needham(1959), Boyer

&Merzbach(1968),Swetz(1996)의 저술을 중심으로 살펴보면 다음과 같다.

秦九韶의 《수서구장》은 연립합동식과 제곱근의 해법을 다루고 있으며,李冶의

《측원해경》은 직각삼각형의 내접원 문제에서 반지름과 변의 길이 사이의 관계를

다룬다.楊輝의 《양휘산법》은 분모가 10인 분수를 소수로 표현하는 등 소수를 자

유롭게 계산하고 있으며,음수계수의 이차방정식,다양한 유한급수,파스칼의 삼각형

등을 다루고 있다.朱世傑의 《산학계몽》은 천원술20)과 고차방정식이 포함되어 있

어 전체적인 수학수준이 쉽지는 않은 책이다.각 문의 명칭인 이승동제,구차분화,

차분균배,귀천반율,지분제동,영부족술,방정정부,개방 등의 용어들은 각 문의 문

제를 해결하는데 적용되는 계산술 이름이기도 하다.21)반면에 고무해세,창돈적속,

상공수축 등의 용어는 각 문이 다루는 문제의 맥락과 관계가 있다.22)한편 이 책은

동양산학에서 가장 중요한 방정식론과 구고술,퇴타술 등의 발전에 큰 기여를 하였

다고 평가받는다(홍성사·홍영희,2009:1).朱世傑의 또 다른 책인《사원옥감》은 여

러 가지의 유한급수와 파스칼의 삼각형,14차에 이르는 고차방정식,사원술을 다룬

다.이 시기의 파스칼의 삼각형은 이항정리 자체보다는 이를 활용한 방정식의 해를

찾는 것에 있었다(Boyer&Merzbach,1968:336-337).

송말,원초의 중국산학의 전성기를 지나고 16세기 말,17세기 초 예수회선교사들이

서양수학을 전래하기까지,명(明,1368-1644A.D.)대에서 程大位의《산법통종》을

제외하고는 특별한 수학적 업적을 찾아보기 힘들다.Needham(1959:26)은 선교사들

이 중국에 도착함과 동시에 중국 고유의 산학 시대가 종말을 고했다고 표현하고 있

다.이후에는 중국산학이 서양수학의 영향권에 들면서 서양수학과의 통합이 일어나

는 시기로 전환된다.명대 말,청(淸,1636-1912A.D.)대 초에는 정밀한 역법 개정을

위해서 삼각법을 비롯한 서양수학지식 수용에 적극적인 모습을 보인다.

Siu(2000:76-77)는 중국산학의 특징으로 주제 면에서는 사회적 관련성과 실용지

20) 천원술은 다항식의 계수를 산대로 표기하고 다항식의 계산을 수행하는 방법을 말한다.

21) ‘이승동제’는 같은 것끼리 곱하고 다른 것끼리 나눈다는 의미이고, ‘차분’은 차를 두어 나

눈다는 뜻이다. ‘귀천반율’은 비싼 물건과 싼 물건의 단가나 물건 개수가 1 차이가 난다는

의미이며, ‘지분제동’은 분수의 분모를 가지런하게 같게 한다는 의미이다. ‘영부족’은 남고

모자란다는 뜻이며, ‘방정정부’는 사각형모양의 배열에서 양수, 음수를 다룬다는 의미이며,

‘개방’은 사각형을 잘라낸다는 의미이다.

22) ‘고무해세’는 창고업무와 세금 , ‘창돈적속’은 창고에 쌓인 곡식, ‘상공수축’은 공사와 축

성의 의미를 가진다.

-14-

향성을,방법적인 면에서는 계산과 알고리즘 지향성을 든다.산학업무를 담당할 행정

관리의 교육을 국가가 관리한 점과 정밀한 역법제작과 관련하여 산학이 연구된 점은

중국산학의 실용적 특성을 잘 드러내준다고 할 수 있다.그러나 이론적 수학보다는

실용적 수학의 면모를 지니고 있는 중국산학이 각종 계산법에 대해서 수학적 성과를

이루어 낸 것은 분명하다.Needham(1959:78)은 중국산학이 그리스 수학의 특징인

추상적이고 연역적인 전개를 보이지는 않았지만,대수학 분야에 있어서는 확실히 그

리스 수학을 앞서고 있었다고 주장한다.Needham(1959),Boyer& Merzbach(1968),

Swetz(1996)는 중국산학의 업적으로 음수의 조기 도입,제곱근과 세제곱근 풀이,삼

수법,방정식의 해법,구고술의 증명과 발전,원주율과 원의 넓이,부정방정식의 해

법,파스칼의 삼각형,유한급수론 등을 공통적으로 거론하고 있다.

이러한 중국산학은 조선사회로 활발히 유입되어 조선산학으로의 동화과정을 거치

게 된다.조선의 각종 문헌을 보면 중국산학이 조선산학에 미친 영향을 확인할 수

있다.먼저《구장산술》에 대한 언급은 최석정의 《구수략》등 다수의 문헌에서 찾

아볼 수 있다.특히 황윤석은《산학입문》을 구장명수로 시작하고 있는데,여기에서

《구장산술》의 ‘구장’의 의미를 간단히 설명하고 있다.23)산학서의 원형이라 할 수

있는《구장산술》은 이후의 중국산학서뿐 아니라 조선산학서의 구성에도 결정적인

영향을 미쳤다고 볼 수 있다.조선산학서의 각 문(門)의 명칭에서 여전히 구장의 흔

적을 찾아볼 수 있으며,다루고 있는 주제 역시 구장에서 좀 더 세분화된 경우가 대

부분이다.다만 한두 가지 주제가 더 추가되었고 전체적인 문항수가 증가하였다고

볼 수 있다.《구장산술》이 구체적으로 조선산학서의 구성에 어떤 영향을 미치고

있는지를 확인하기 위하여 [그림 Ⅱ-1]과 같이《구장산술》과 조선산학서《구일집》

의 체제를 비교하였다.

23) 속미를 속포(粟布)로, 쇠분을 충분(衷分), 영부족을 영비(盈朏)로 다르게 이름붙이고 있

다. 방전은 밭의 넓이를 측정하는 방법, 속포는 물건을 서로 사고 바꾸는 것, 충분은 귀하

고 천한 녹이나 세금 계산, 소광은 넓이, 부피, 제곱, 정사각형, 원을 다루는 장, 상공은

토목공사의 공정이나 부피, 균수는 원근수송의 비용, 영비는 감추어진 것과 보이는 것이

서로 뒤섞인 것, 방정은 어지럽게 뒤섞여있는 양수와 음수로 행렬을 만들어서 구하는 장,

구고는 높이, 깊이, 폭, 먼 거리를 다루는 장이라고 설명하고 있다.

-15-

[그림 Ⅱ-1] 《구장산술》과 《구일집》의 체제 비교

예를 들어,《구장산술》방전장은 《구일집》의 평면도형의 넓이를 다루는 전무형

단문과 분수의 계산에 관한 지분제동문과 관련된다.소광장은 구의 부피문제를 다루

는 구척해은문과 개방술 등의 방정식의 해법을 다루는 개방각술문과 관련된다.유한

급수에 관한 내용인 부병퇴타문은《구장산술》에 직접적인 관련내용이 없어 연결에

서 제외하였다.《구장산술》에서 다룬 계산술과 그 문제를 활용하는 것은 《구일

집》만의 사례에 그치는 것이 아니라,다수의 조선산학서와 중국산학서에서 일반적

으로 나타나는 특징이다.

한편 조선산학자 남병길은《해도산경》전체와《수서구장》의 일부를 《측량도해》

에서 도해하였다.《오조산경》24)은 최소한 세종대 산학취재의 고시과목중의 하나였

으며,25)고려후기에 우리나라로 들여온 것으로 보이는 《양휘산법》,《산학계몽》,

《상명산법》은 조선시대의 산학취재 고시과목이었다.특히 이 세 권의 산학서들은

유학자들의 문집에서도 언급되고 있다.숙종대의 학자 윤증은《양휘산법》을 직접

필사한 경험을 남기고 있으며,26) 대유학자 이황은 朱子의《역학계몽》을 주해한

24) 전조․병조․집조․창조․금조 각 기관의 업무에 필요한 토지측량, 군대급여, 곡물교환, 조세·창

고부피, 부역 상황의 문제들을 다루고 있다(김용운, 김용국, 1996: 282-283).

25) 世宗實錄, 12년 3월 18일, 詳定所啓 諸學取才 經書諸藝數目 算學 詳明算·啓蒙算·揚輝算·五曹算·地算.

-16-

《계몽전의》에서《상명산법》과《양휘산법》을 인용하고 있다.27)이와 같이《양휘

산법》,《산학계몽》,《상명산법》모두가 황윤석의 《산학입문》을 비롯한 조선산학

서에서 자주 인용되고 있으나,특히《산학계몽》의 영향력은 절대적이었던 것으로

보인다.홍정하의《구일집》을 비롯한 조선산학서가 체제 구성에 있어서 전체적으로

《산학계몽》을 모델로 하고 있음은 분명하다.각 문의 명칭과 순서를 비교해보면,

《구일집》과 《산학계몽》간의 유사점을 발견할 수 있다.28)또한《산학계몽》은 세

종이 당시 부제학이었던 정인지로부터 직접 강의를 받은 책이며,29)이익 등의 유학

자들조차도 《산학계몽》을 읽고 공부했다는 기록을 남기고 있다.30)

이상에서 살펴본 바와 같이 중국산학서들은 조선사회에 수학지식의 원천을 제공하

는 역할을 하였다.조선의 산학자들은 이 책들을 해석하고 재조직함으로써 새로운

조선산학서를 저술하게 된다.그런데 대략적으로 18세기를 기준으로 그 이전에는 중

국산학 고유의 산학지식이 조선으로 유입되었다면,그 이후에는 서양수학의 영향을

받아 통합된 중국산학이 조선으로 유입되었다고 볼 수 있다.다음 절에서는 조선산

학 형성의 또 다른 요인인 서양수학의 수용에 대해서 살펴볼 것이다.

1.3서양수학의 수용

18세기 이후의 조선산학은 삼각법을 다룬다거나 기하문제에 대한 증명을 시도하는

등 새로운 면모를 띠게 된다.이러한 변화는 서양수학의 수용에 기인한다.그런데

조선사회가 서양수학을 수용한 방식은 서양선교사들이 서양수학을 직접 전래한 중국

의 경우와 다르게 나타났다.주로 사신업무 등으로 중국을 왕래한 조선인들이

Euclid《원론》을 비롯한 서양수학책의 한역본이나 서양수학이 반영된 중국산학서를

26) 윤증, 明齋先生遺稿 卷之十九, 書, 昔在癸巳年間六月 寫楊揮算法一冊.

27) 이황, 啓蒙傳疑, 四象變數, 詳明算法. 五音司日, 見矣 卽曆家所用以配日 陰陽家所用以推

數者 其法 詳楊輝算法 亦取于左以明之.

28) 그러나 두 산학서간의 차이도 발견할 수 있다. 《구일집》의 문은 총 18개로 《산학계

몽》의 20개보다 작으며, 《산학계몽》에는 《구일집》이 다루고 있는 연립합동식, 중차

술 문제가 보이지 않는다. 또한《구일집》에서는 구고술 문제를 다수 다루고 있는 반면에

《산학계몽》에는 방정정부문에 2문제가 실려 있을 뿐이다.

29) 世宗實錄, 12년 10월 23일, 上學啓蒙算 副提學鄭麟趾入侍待問.

30) 星湖先生全集 卷之五十五, 題跋, 跋數學啓蒙 筭學啓蒙書 初學驟看.

-17-

조선으로 유입하는 방식을 취하였다.비록 중국을 통한 서양수학의 유입이기는 하지

만,이 책들에 실린 수학지식의 원류가 중국이 아니라 서양임에 틀림없다.이 시기에

중국과 조선으로 유입된 서양수학은 기존의 중국산학에서 찾아보기 힘든 새로운 수

학적 내용과 형식을 가지고 있었다.따라서 18세기 이후의 조선산학 형성에 가장 큰

영향을 미쳤던 외적 요인은 서양수학의 수용이라고 말할 수 있다.

조선사회로의 서양수학의 유입을 확인할 수 있는 문헌기록들을 다수 찾아볼 수 있

다.먼저 최석정이 1700년에 쓴《구수략》의 인용목록에는 《천학초함》31)이 들어있

다.《천학초함》은 Euclid《원론》의 한역본인《기하원본》32)과 서양산술서의 한역

본인《동문산지》33)가 포함되어 있는 총서이다(김용운,김용국,1996:330).두 책 모

두 16세기 말 중국에 들어온 MatteoRicci가 구술하였으며,《기하원본》은 徐光啓,

《동문산지》는 李之藻가 필록하였다.비록 《구수략》이 두 책의 구체적인 내용을

인용하고 있지는 않지만,당시 조선사회로의 서양수학의 유입을 확인할 수 있는 자

료라고 볼 수 있다.

《기하원본》에 대한 기록은 18세기 중반의《성호사설》에서도 찾아볼 수 있다.

이익은《기하원본》의 서문에서 원근법에 관한 내용을 읽었다는 사실을 밝히고 있

다.34)18세기 말,19세기 초의 서유본이 식사 후나 늦은 밤,이른 아침을 막론하고

항상 마음을 딴 곳에 쓰지 않고 집중하여 읽었다는 책도《기하원본》이다(전용훈,

2004:301).서유본은 기하학과 역학,상수학을 연구한 인물로 알려져 있으며,《임원

경제지》의 저자 서유구의 형이기도 하다.황윤석은 《기하원본》뿐 아니라 《수리

정온》,《동문산지》까지도 《산학입문》에서 인용하고 있다.19세기 중엽의 이상혁

은 《산술관견》의 서문에서《수리정온》의 일부 내용의 미흡함을 지적하며,이를

교정하겠다는 말로 《수리정온》을 언급하기도 하였다.

이상이 단순히 서양수학책을 언급하는 정도의 기록이라면,홍대용의《주해수용》

31) 명나라 말기에 예수회 선교사들이 저술한 글을 모아 李之藻가 편찬한 학술총서이다(김

용운, 김용국, 2009: 330).

32) 1607년에 번역되어 출간된 것은 원서의 전반부 6권이었고, 1866년 영국의 선교사

Wylie의 도움을 받아 李善蘭이 나머지 9권을 모두 번역하였다. 이 때 선택된 원서는

Clavius가 교정하고 두 권을 추가한 《Euclidis elementorum libri》 총 15권이었다(장혜

원, 2006b: 137).

33) Clavius의 《Epitome of Practical Arithmetic》을 번역했다고 알려져 있다(장혜원,

2006b: 139).

34) 성호사설 제4권, 萬物門, 畫像坳突.

-18-

과 이상혁의 《산술관견》,남병길의 《유씨구고술요도해》등은 서양수학의 내용을

적극적으로 반영하고 있는 산학서들이다.이 중에서《주해수용》과 《산술관견》에

서는 서양 삼각법을 수용한 경우이다.사인값인 정현(正弦)과 코사인값인 여현(餘

弦)을 포함한 삼각비와 각과 각도,삼각형의 구성요소의 관계,구면삼각형을 다루고

있다.《익산》과《차근방몽구》는 서양대수 아이열팔달(阿爾熱八達,Algebra의 가

차)을 뜻하는 차근방(借根方)을 전통적인 방정식 표기방법인 천원술과 비교하기도

한다.특히 《차근방몽구》는 서양의 방정식 해법인 차근방술을 이용하여 방정식의

해를 구하고 있다.《유씨구고술요도해》,《측량도해》에서는 서양수학의 영향을 받

은 용어를 사용하고 도해를 통한 증명을 전개하고 있다.이외에도 최석정이 저술한

《구수략》의 부록편의 문산,최한기가 저술한 《습산진벌》에서도 서양식 수 표기

와 계산법을 확인할 수 있다.또한 갑오경장기를 즈음해서는 《간이사칙문제집》과

《근이산술서》 등의 인도·아라비아 숫자와 필산을 도입한 새로운 수학교과서들이

편찬되었다.

이상에서 살펴본 삼각법이나 차근방술,도해를 통한 증명,새로운 수 표기법 등은

기존의 중국산학에서 찾을 수 없는 내용으로,조선산학이 서양수학을 유입한 결과라

고 볼 수 있다.18세기 이후의 조선산학은 전통산학 고유의 발전을 멈춰버린 중국산

학을 대신하여 서양수학을 부분적으로 수용하는 형태로 전환하였다고 말할 수 있다.

지금까지 조선사회의 형성에 영향을 미친 세 가지 외적 요인인 전 왕조의 전통산

학,중국산학의 유입,서양수학의 수용을 살펴보았다.그러나 조선산학이 중국산학과

서양수학을 무비판적으로 수용하거나 그대로 모사했다고는 볼 수 없다.다음 절에서

는 조선산학의 발전을 가져온 조선사회 내부의 사회·문화적 요인들을 살펴보고,외적

요인들의 비판적 수용과 함께 발전해가는 조선산학을 좀 더 자세하게 살펴볼 것이다.

2.국가적인 필요성 인식과 지원

통일신라와 고려,중국의 산학이 장차 산학업무를 담당할 전문관리양성과 관련하

여 교수되었다는 것을 알 수 있었다.이러한 산학연구와 관료체제와의 관련성은 조

선사회에서 더욱 두드러진 현상이었다.이 절에서는 조선산학 발달의 배경을 국가

-19-

적인 필요와 지원책에서 찾아보고,더불어 조선산학이 어떤 사람들에 의해서 어떤

방식으로 연구되었으며,어떤 성과들을 이루었는지를 살펴보기로 한다.

2.1통치의 과학화와 효율화 추구

조선은 유교적 민본이념에 근거한 통치원리의 실현과정에서 민생을 돈후하게 하는

것을 가장 기초적인 과제로 두었다.조선정부가 농업생산력 향상을 위한 기술개발을

장려하고 각종 표준척을 확정하여 전제나 세제 등의 각종 제도의 기준이 되는 도량

형의 표준을 세운 일은 민생을 증진시키기 위한 실용적 관심을 과학적인 사고와 기

술을 통해 구현하는 것이었다(금장태,1997:198-201).조선정부가 산학지식을 활용

하여 관련규정을 정비하고 행정업무를 수행한 것 역시 통치의 과학화를 실현하고 효

율성을 추구하는 방안이었다.이러한 산학에 대한 조선정부의 입장은 조선이 산학규

정을 지속적으로 시행했다는 사실을 통해서 잘 드러난다.

산학규정은 크게 교육규정과 선발규정으로 나눌 수 있다.먼저 산학의 교육은 호

조에 설치된 산학 또는 산학청에서 이루어졌다.산학청에는 장차 산학관리,즉 산원

으로의 입격을 희망하는 산학생도 15명이 교육받고 있었다.35)조선의 유학교육 및

전문교육의 특징인 현직관리가 교사의 역할을 겸하는 관사합일(官師合一)의 관례(박

연호,2006:37)를 산학분야 역시 따르고 있었다.산원의 직급명칭과《주학선생

안》36)이라는 자료를 통해 볼 때,산학교수와 산학훈도가 산학생도들의 교육을 담당

한 것으로 보인다.

다음으로 선발제도를 살펴보면,산원은 산학생도들을 대상으로 실시된 취재를 통

해서 선발되었다.이와 같이 산학 분야에서도 교육과 학술이 관청과 긴밀한 관계를

맺는 조선교육의 학술관수(學術官守)의 특징(박연호,2006:37)을 확인할 수 있다.산

학취재에 관한 조항은 《경국대전》의 을 통해서 알 수 있다.37)이 조항에서

35) 조선후기에는 46명을 늘려 전체 정원이 61명으로 증가하게 된다(《大典會通》, 卷之三,

禮典, 生徒, 戶曹 籌學十五《續》加四十六).

36) 연산 4년(1498)부터 고종 6년(1869)까지 입사한 산원 총 1173명의 명단이 기록되어

있는 자료이다. 훈도보다도 직급이 높은 계사나 산사의 명단은 누락된 채 산학훈도와 별

제, 산학교수를 지낸 산원들의 명단만이 기록되어 있다. http://www.krpia.co.kr 참조.

37) 經國大典, 禮典, 取才, 諸學四孟月本曹同提調取才 無提調處則同該曹堂上官取才 算學詳明

啓蒙揚輝 已算 已上各學諸學輪次試.

-20-

주목을 끄는 부분은 산학취재의 고시과목이 앞에서 살펴본 중국산학서 《상명산

법》·《산학계몽》·《양휘산법》이었다는 것이다.38) 사실 산원들이 담당할 실무에

소용되는 산학지식의 수준으로 본다면 《상명산법》만으로 충분해 보인다.그러나

취재조항에서 이 과목들을 윤차로 시험보인다고 했으므로,산학청에서 이루어진 교

육과정이 《상명산법》·《산학계몽》·《양휘산법》을 중심으로 짜여졌을 것으로 짐

작할 수 있다.또한 산학취재는 다른 분야와 다르게 산학문제를 계산하는 방식을 택

하였다.고려시대의 명산업 시험이 일종의 구술시험인 첩경방식으로 실시되었던 것

과도 비교가 된다.이렇게 시험방식을 변경한 것은 굳이 강론,도해,암송보다는 직

접 계산하는 것이 더 중요하다는 산학분야의 특성을 부각시킨 것으로 보인다.취재

의 구체적인 시험문항을 가늠해 보기 위해서 《산학계몽》에 실린 다음 문제들을 살

펴보자.39)

3경 24무의 땅이 있는데, 1무에 양곡으로 1되 4홉의 조세를 낸다고 한다. 이 땅에

부과할 조세는 양곡으로 얼마인가?

지금 배에 물건을 실으려고 하는데, 500근의 물건을 싣고 80리 가는 비용이 150문

이다. 8만 6천근의 물건을 싣고 3천4백리를 가야 한다면 운임은 얼마인가?

지금 둑을 쌓으려고 하는데, 위의 너비가 6자 4치, 아래의 너비가 1장 5자 6치, 높

이가 6자, 길이는 3리 74보이다. 겨울의 공정에서는 한 사람이 364세제곱자를 공사

한다. 전체로 쓰인 일꾼은 얼마인가?

문제는 승수가 한 자리수인 곱셈을 다루는 신외가법문에 실려 있는 문

제이고,문제는 비례식을 다루는 쌍거호환문,문제는 입체도형

의 부피를 다루는 상공수축문에 실린 문제이다.세 문항 모두 《산학계몽》에 실린

문제 중에서 비교적 단순한 형태의 문제이지만,각각 조세계산,운임계산,토목공사

라는 문제상황이 당시 산학지식과 산원업무간의 밀접한 관련성을 확인할 수 있다는

점에서 의미가 있다.또한 풀이과정에 도량형의 비율관계가 포함되어 있는 등 당시

조선사회의 경제생활의 일면을 엿볼 수 있다는 부수적인 효과도 있다.이렇듯 옛 수

38) 세종대에는 취재과목에 《오조산》, 《지산》이 추가로 있었음을 알 수 있다(世宗實錄,

12년 3월 18일, 詳定所啓 諸學取才 經書諸藝數目 算學 詳明算·啓蒙算·揚輝算·五曹算·地算).

39) 이 문제는 《산학계몽》의 번역서인 허민(2009)의 번역을 참고하였다. 이하 산학서 문

제 또한 번역서의 번역을 일부 참고하였음을 밝힌다.

-21-

학책의 문제는 당시의 경제,정치체제,사회적 관습,법적 제도를 파악하기 위한 귀

중한 자료를 제공하기도 한다(Siu,2000:77).

산학취재를 거쳐 임용된 산원들의 조직은 조선초기에 몇 차례의 수정과 보완을 거

쳐 종6품 산학교수 1인,별제 2인,종7품 산사 1인,종8품 계사 2인,정9품 훈도 1인,

종9품 회사 2인을 조직으로 하는 《경국대전》상의 체제를 완비하게 된다.40)산원들

은 호조의 속사인 판적사,회계사,경비사뿐만이 아니라 선혜청,균역청,병조,금위

영,오영청 등의 다른 기관에서도 근무했음을 확인할 수 있다.41)산원들의 업무와 관

련하여 한 가지 분명한 사실은 각자 소속부서는 다를지라도 그들 모두 전문적인 산

학지식을 활용해서 행정실무를 담당했다는 것이다.

이상에서 살펴본 산원들의 소속기관과 그 업무,취재의 성격으로 판단하건대,조선

산학은 양전,재정,회계,조세 등의 국가행정실무에 소용되는 분야로서 국가의 긴요

한 사무였음을 알 수 있다(구만옥,2007).실제로 조선전기의 몇몇 왕들은 산학의 중

요성을 인식하고 산학을 장려하는 정책을 펴기도 한다.그 대표적인 사례가 세종이

다.세종은 직접 《산학계몽》를