Discrete Mathematics - 3.4

5/10/2018 Discrete Mathematics - 3.4

1/5

MATEMATIKA DISKRIT

Contoh Fungsi PembangkitBiasa

Kelompok IVSupaatDebora AgustinMoh. Zaky AminiEnos Lolang

ProgramPascasa~anaUniversitas Negeri MalangNopember 2010


2/5

3.4 Contoh-contoh fungsi pembangkit biasaPada bagian ini akan dijabarkan beberapa contoh yang melibatkan fungsipembangkit dan hubungannya dengan masalah-masalah kombinatorik.Contoh 3.4.1 Masalah Dadu GalileoMasalahBerapa peluang kejadian munculnya mata dadu berjumlah 10 dari percobaanmelempar 3 buah dadu (dadu 6 sisi) yang berbeda?JawabKita tahu bahwa terdapat 6 x 6 x 6 =216 kemungkinan kejadian padapercobaan melempar 3 buah dadu yang berbeda.Banyaknya cara untuk mendapatkan jumlah mata dadu 10 pada percobaantersebut sama saja dengan banyaknya solusi bilangan bulat pada persamaan:Xl + X z + X 3 = If), dengan 1 ~ X i . ~ 6Atau dalam bentuk yang lebih umum:Xl + X z + X 3 =T, dengan 1 ~ X i . ~ 6Kemudian, banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut adalahkoefisien dari x" dari fungsi pembangkit:

(X + x2 + x3 + X4 + XS + X6)3Dan dengan menggunakan persamaan yang sudah didapatkan pada sesisebelumnya, kita dapat tuliskan:(X + x 2 + ... + X6)3 = (X(l + x + x 2 + x 3 + X4 + XS))3

=x3 (1+ X + x2 + x3 + X4 + XS)3=x3 (~1+ X + x2 + x3 + X4 + XS + ... ) _ (X6 + X 7 + ... )) 3=x3 (~1+ X + x2 + ... ) - x6 (1+ x + x2 + ... ))3

3=x3 (~1 x6)(1 + X + x2 + ))=x3(1 - x6)3(1 + X + x2 + )3= x 3 1 ( ~ ) _ ( ~ ) x6 + (~)X12 _ (.~) XiS} ( (3 - ~ + 0)+ (3 - 1+ 1) x + (3 - 1+ 2 ) X2 + ... I

1 2Sekarang, kita hanya akan memerlukan koefisien x' pada

I(~)- (~)X6 + (~) X12 - ( ~) XiS} ( (3 - ~ + 0) + (3 - i+ 1) x+ (3 - 1 + 2) X2 + ... I2

pg.2


3/5

Suku X7 bisa saja berbentuk (~}(3-~+7)X7 atau -{~)X6{3-i+l)X,sehingga koefisien x 7 adalah(3}{3-1+7) (3}{3-1+1)_ 3! 9! 3! 3! _ _- --.---.-- 36-9 - 27o 7 1 1 0!3! 7!2! 1!2! 1!2!Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu berjumlah 10 pad a percobaan

27 1melempar 3 dadu yang berbeda adalah - =-216 8Contoh 3.4.2MasalahAda berapa cara mendistribusikan r bola identik ke dalam n lubang yangberbeda, dengan syarat tiap lubang paling banyak terisi 3 bola?JawabMasalah tersebut sama saja dengan mencari banyaknya solusi bilangan bulatpada persamaan:Xl + Xl + ... + X n = T dengan 0 ~ X i ~ 3 untuk setiap i = 1,2,3, ... , nDan banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut, sama saja dengankoefisien x" dari fungsi pembangkit:

(1 + x + x2 + X3) nSekarang, perhatikan bahwa:(1 + x + x2 + X3)n = (V + x + x2 + x3 + X4 + ... ) - (X4 + XS + )f

= (1(1 + x + Xl + x3 + X4 + ... ) - x4(1 + x + x2 + )f= ((1- x4)(1 +x + x2 + )f= (1 - x4)n(1 + X + x2 + ...t=((~) - (~)X4 + (~) x8 + ...

+ (-l)n (~) x4n) ( ( n - ~ + 0 )+ ( n - 1 + 1 ) x + ( n - 1 + 2) x2 + ... )1 2

Suku xr bisa didapatkan dari:( ~ ) ( n - ; + T ) xr atau _ (~) X4 (" - ; ~ ~ - 4) xr-4 atau( n ) 8 (n - 1+ T - 8) 82 x T _ 8 xr- dan seterusnyaSehingga koefisien x" adalah:

(~) (" - ; + T ) _ ( ~ ) ( " - ; ~ ~ - 4) + (~) (" - ; ~ ~ - 8 )_ ( n ) ( n - 1 + r - 12) + ...3 T -12

pg. 3


4/5

Contoh 3.4.3MasalahCarilah fungsi pembangkit dari banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan:X l + x, + X 3 + X 4 =T dimana 1 ~ X l ~ x, ~ X 3 ~ X 4JawabPersamaan di atas memiliki konstrain yang berpasangan. Dalam kasus ini,biasanya kita mengubah persamaan asal menjadi persamaan baru namun tetapdengan konstrain yang sama.Sekarang, misalkan Yi=X l , Yz=Xz - X l , Y 3 =X3 - Xz ,dan Y4 =X4 - X 3selanjutnya kita tahu bahwa:X l + X z + X3 + X4 =4Y i + 3Yz + 2Y 3 + Y 4 dimana Y i;::: 1 dan f t . ; : : : 0 untuk2 ~ i ~ 4Dengan menganggap Z1 := 4Y t , Zz = 3Y z , Z3 = 2Y 3 ,dan Z4 = Y 4 , makapersamaan X l + X l + X 3 + X4 = r setara dengan:

Z1 + Zz + Z3 + Z4 =TDimana, Z i =4,8,12, ..., Z l =0,3,6, ..., Z3 =0,2,4, ..., dan Z4 =0,1, 2, ...Selanjutnya, fungsi pembangkit yang bersesuaian adalah(1 + x + x2 + x3 + ...) (1 + x2 + X4 + x6 + ...) (1 + x3 + x6 + x9 + ...) ( X 4+ x8 + X12 + ...)

Contoh 3.4.4MasalahCarilah fungsi pembangkit dari banyaknya cara mendapatkan kejadianmunculnya mata dadu berjumlah r dari percobaan melempar sebarang jumlahdadu (bersisi 6)?Jawab

Fungsi pembangkit dari n buah dadu (bersisi 6) adalah ( X + x2 + x3 + X4 + XS +x6)nUntuk sebarang jumlah dadu, kita mungkin saja:- Melempar 0 dadu, dengan fungsi pembangkit (X + x2 + x3 + X4 + XS + X6)Oatau

- Melempar 1 dadu, dengan fungsi pembangkit (X + x2 + x3 + X4 + xS + X6)1atau

- Melempar 2 dadu, dengan fungsi pembangkit (X + x2 + X3 + X4 + xS + X6)2atau

- Melempar 3 dadu, dengan fungsi pembangkit (X + x2 + x3 + X4 + xS + x6 j 3dan seterusnya

pg.4


5/5

Sehingga fungsi pembangkit yang diminta adalah(X + x2 + x3 + X4 + XS + x6)O + (x + x2 + x3 + X4 + XS + X6)1+ (x + x2 + x3 + X4 + XS + X6)2 + ...

=1+ (X + x2 + x3 + X4 + XS + x6) + (x + x2 + x3 + X4 + XS + X6)2+ (x + x2 + x3 + X4 + XS + X6)3 ..., ,Sekarang perhatikan bahwa:

- 2 . 21= (1+ Z + z + ...) - (.z + z + ...)= (1+ Z + Z2 + "'J - z(l + z + Z2 + ...)= (1- Z) (1+ Z + Z2 + ...)

Selanjutnya, _1_ = 1 + Z + Z2 + ...1-zKemudian, dengan menganggap z =X + x2 + x3 + X4 + XS + x6, maka

didapatkan1+ (X + x2 + x3 + X4 + x5 + x 6) + (:x + x2 + x3 + X4 + XS + X6)2+ (X + x2 + x3 + X4 + XS + X6)3 ...11- (X + x2 + x3 + X4 + XS + X6)1

Contoh 3.4.5MasalahSederhanakan bentuk-bentuk berikut:

a) (~) + 2 (;) + 3 (~) + 4 (~) + ...+ n (~)2

b) L : ~ = O ( ~ )Jawabana) Dari teorema binomial kita tahu bahwa:

(1 + xt =(~)+ (~)x + (;)x 2 + ( ~ ) X 3 + ...+ ( ~ ) x nDengan cara menurunkan kedua ruas, maka kita dapatkan:

n(l + xt-1 =(~)+ 2 (~) x + 3 (;) x2 + ...+ n (~) xn-1Jika X = 1, maka kita dapatkan:

n(l + l)n-l =(~)+ 2 (;).1 + 3 (~). (1)2+ ...+ n (~) (l)n-l~ n2n-1=(~)+ 2 (;) + 3 (;) + ...+n(~)

pg.5

Documents

Discrete Mathematics - 3.4