31
UNIVERSITY OF NOTTINGHAM Discussion Papers in Economics ________________________________________________ Discussion Paper No. 03/09 EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen Leybourne, Tae-Hwan Kim and Paul Newbold __________________________________________________________ May 2003 DP 03/09 ISSN 1360-2438

Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

UNIVERSITY OF NOTTINGHAM

Discussion Papers in Economics

________________________________________________Discussion PaperNo. 03/09

EXAMINATION OF SOME MORE POWERFULMODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST

by Stephen Leybourne, Tae-Hwan Kim and Paul Newbold

__________________________________________________________ May 2003 DP 03/09

ISSN 1360-2438

Page 2: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

UNIVERSITY OF NOTTINGHAM

Discussion Papers in Economics

________________________________________________Discussion PaperNo. 03/09

EXAMINATION OF SOME MORE POWERFULMODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST

by Stephen Leybourne, Tae-Hwan Kim and Paul Newbold

Stephen Leybourne and Paul Newbold are Professors and Tae-Hwan Kim isLecturer, all in the School of Economics, University of Nottingham__________________________________________________________

May 2003

Page 3: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

����������� � ��� ���� �� ����

����������� � ��� ������������ ���

�� ������� ������� �������� ��� ��� ��� �����

��������� � ����� ���

��������� �������� ��� ������� ����� � �! ��� ��"#�$�%����� ��&� �& ���'�&� "�''� �$ �((���) � �� ���� ��&� � (��"��"�� �((��"���� & �� ��& *�� # �+ !�� &�'� ��'� ���� ���)��$ �'(��'� ��*�� '��� (�+��!�� '�)�,"����� & ��� ������*��- �� �.(���� ��� ����� &�'(�� (��(�����& �! ,�� �! ���&�'�)�,�) ��&�& � ) ��� &'��� &�'(�� (��(�����& �! ���&� ,�� (��& &�. �$*��)&-�& � ��&��� �! ���& &��)$ +� ��"�''� ) �+� (����"���� ��&� (��"�)���&-

�� ���� ��"#�$�%����� ��&�/ ��0 ��&�/ +������) &$''����" �&��'���� /1� )���� )� �/ (�+�� "�'(���&� -

2

Page 4: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

�� ������������

3��$ �!�� � ��� � ��$&�& �! �"� �'�" ��'� &����& � (����'� ��$ &��( �& ����&� ��� ��� �$(����&�& ���� � � )���)��� &����& �! � �*&������� & �& � ��������) �! ��)�� � � �425 ���� &� ��� ����� ����� ���� �� �& � �������) �! ��)��6��� �475- ��� '�&� "�''� �$ �((���) ��&� �! ���& &��� �& ��� ������� 4(������� &����&��"5 ����� � �! ��� ��"#�$�%����� ��&� �! %����� 4289:5 � ) ��"#�$� ) %����� 428985- � ��& '�&� *�&�" ����� � ��� ��&� &����&��" +��"� ��& � � �&�� )��) ��'��� � ��� )�&���*���� �& ��� ������� �� �&&�"����) +������ � �&��'���� �! ��� �� � ��� '�)��

�� � ���� � ����� � �� � � � � ��� � 425

+��� � ��#� �� *� � )�(� )� � � ) �)� ��"���$ )�&���*���) +��� '�� 6��� � ) ����� "� �� � ) +���� ������ �� � � �� �� � � �� � ) � �& � "� !��'�*����"��� �! � # �+ (���'����&- � ��� !��'�� "�&� ��� ��&� �& �! � )��!���&&�� )�' +��# ���� &� � &����� ��$ ,�&� ��)�� ���������&&�� +��� � # �+ '�� +���� � ��� ������ �� �& �! � �� )�' +��# +��� )��!� ���� &� � � # �+ �� ��� ��� ) +��� &����� ��$ ,�&� ��)�� ���������&&��� �����&- ��� ��&� �&��&��$ �.�� )�) �� ����+ ������ ��)�� ���������&&��� (��"�&&�& 4+��"� '����*� ���+�) �& �((��.�'���� & �� '��� �� ���� (��"�&&�&5 ������� ���'� ������ �! 425 *$ �����) ,�&� )�;��� "�& �! �� � "� &�)������ ���� �""�� �& !����& (�(������$-

�� ��& *�� # �+ !�� &������ $���& ���� +��� � '�)�&� �'�� � �! "�'�(������ �� �;��� '��� (�+��!�� '�)�,"���� & �! ���& ��&� ��� ������*��- ��(��(�&� ���� �& �� "�'(��� &�'� �! ���&� ��&�&- ��� �� ��&� �& �&$'(�����"���$ �<������ � �� (���� � )���� )� � �! �� !����+�) *$ ��� ,��� � �� �����&�)���& ��� �! � '�)�� �! ��� !��' 425 +��� � � �- ����� '�)�,"���� &� ����� ����� ����� )���� )� � '�������) *$ )�������� & �! ��� �&$'(����"1��&&�� (�+�� � ����(�=

2- ������� �� �� 4288:5 �((�$ �� �����&�) ���&� &<����& )����� )� � ��#� ���� �& ��� ��&�)���& !��' ��� �����&&�� �! �� �� � �� ��� �� � ����

� � �� �� � �� ��� �� � ����

� +���� � � � ���� +��� � � ��� �� �"� &�� � &(�"�,�) !��' "� &�)������ �! ��� (�+�� � ����(�- ��� ��&���� ���&� +��"� +� )� ��� ��� �& *�&�) � ��� ,��� � �� ��� �! � '�)�� �! ���!��' 425 +��� � � �-

>- ������� 428885 ���& ���� ��� �*��� ��&� �& '�������) *$ � ����� �����'�)�� � +��"� ��� � ����� �*&������� �& ��#� �� *� ,.�) +���� � !��<�� ��$'��� �����"���� �&&�'(��� �& �! !��� "������ "� &����� ����$ &� ���� � ���'&�! 425 ��� � ����� )������� !��' ��� ) �& � 6����'�� �� )�' �����*�� +�������� "� ����� �����- ��� � ����� ��� )���� )� � +���) ��� �� ����� ����& ��� ��&�)���& !��' ��� �����&&�� �! ��� ������� ��� �� ��� ��� ����

>

Page 5: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

� ��� ������� �� � �� ��� �� � ������ ���& �((���"� �& �!�� ���'�)

?� "� )���� �� @ � ) +� )� ��� ��� ��&���� � � �� ���� ��&� &����&��" ����-������� (��(�&��& !�� ��� "���"� �! � � ��� � ) ���� ���� *�� '�)�-������� "� "� �����& (��'����$ � � � ��� � ) +� �)�(� ���& "���"� � ���� ��$&�& �! ��� ��&�&-

A- ��$��� 4>7775 � ) ��� � ) �� 4>7725 '�������) *$ �� � ) ��� 428885 "� &�)�� ��"��&��� � )���� )� � � (��(�&�� +��"� ��& ��� �)�� ���� �! �� ��<���� � ��� &�'�+��� ��*�����$ &(�"�,"���� �! � "� &�� � (���'����-���& ��� ��� ��� ��&�)���& !��' ��� � �����&&�� �! �� � �� � � �- ���� ��� � �� ���� ��&� &����&��" +��"� +� )� ��� ��� !����+& !��' ��� �����&&�� 425 +��� ��� � (��"� �! �� � ) � � ��

�+� (������&�$ (��(�&�) �((���"��& ����� �.(��"���$ �� �'(��"���$ �)���� )� � *�� �.(���� ��� !�"� ���� � )�� ��� ����� ����� �$(����&�& �!��� ) &����� ����$ � $ *�"#+��)����#� � ���� '�)�� ��& �(��� !��' ������ ) � �<������ � !��+��)����#� � ��(��&� ����� - ���&� ���=

B- �� ���� �� �� 4288B5 ,�&� �'(��$ � )���� )� � �� �� ����� ��&�)���&���- ���$ ��� ��"�''� ) � ��&� *�&�) � +������) &$''����" �&��'���� �! � ������� ��� '� �'�&���� �!

���� ������

����������������

�������

��������������������� / �� � ��������

!��' +��"� � (������ &����&��" ���)��$ !����+&- �� )� ��� ���& &����&��" ��-

C- �$*��� � 4288C5 (��(�&�& � �&��'���� �! 425 �������� +��� ��&��'���� �! ��� "����&(� )� � '�)�� !�� ��� �����&�) &����&/ ���� �&

�� � ���� � ����� � ��� � � � � ��� � 4>5

+���� �� � ������ �� � � ��� � �- �� ��� *$ ��� ��� ��"#�$�%����� �������!��' 425 � ) *$ ��� ��� "����&(� )� � &����&��" !��' 4>5- �$*��� �D&(��(�&�) &����&��" +��"� +� )� ��� ��� �& ��� ������� ����-

�� ��� ���� ��� �.�� &�� �! ��� ,�� �! ���&� ��&�& �� ��� ?���'� ��)@"�&� +���� �����) ,�&� )�;��� "�& ��� � "��(�����) �& <���� &�������!��+��)-

���� ��� �."�(��� �! ��� ��� ��&� ��� ��'��� � ��� )�&���*���� & �!���&� ,�� '�)�,�) ��&�& ��� ��� ���� � ��� "���) ����������- �� ,�� ���&��( � ��"��� > �! ��� (�(��- �& �����)& ��� ����� ����� �$(����&�& +�&��� ��$ (��!�� ���� &����� ����$ � ) ��&���"� ���� ��� �� ���& "�&� � �����'�� )�� �! ��� (�(�� � �� � +��� ��� ���+ �! �� ���� �� �� 4288B5 <����)�((���� ��$ *$ ��$��� 4>7775 ���� !��'������ & &�"� �& ���� +���� ��� )�������� !��' ��� ) �! ��� ,�&� �*&������� ��& ��� &�'� ����� "� �& ��� �����

A

Page 6: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

���'& '���� ���&� �*�$ *� �&&�'�) � ?� '�)�&� �'*�� �! &������� &-@�� �����!��� "� &�)�� (�+�� � )�� ��� '��� ������ &����� ����$ ����� ������ +���� ��� )������� !��' ��� ) �! ��� ,�&� �*&������� ��& ����� "����� � �����- � (�&&�*�� (��"�)��� �& ������� "��"������ �! ��� ��"���&$'(����" (�+�� +��"� !����+& )���"��$ !��' ��� ��'��� � )�&���*���� �!��� ��&� &����&��"& +���� �& � E�� � ) ��� 428F95 ������(& � ) ����� 428FF5 � ) ��&�+���� +� &�� � � � � ���� !�� ,.�) � �&� � ��� &��"����)?��"������� ��$ �&$'(����"&@ �((���"�- ���& ��'��� � )�&���*���� �& ���� !�� ��� ��� ��&� � ��"��� A- ���&� !�� ��� ����� ��&�& ��� ���� *$ ��"� *� )���"��$ � !����) !��' ������� �� �� 4288:5 ������� 428885 � ) ��$���4>7775- �� �� � �� "��"����� ��"�� �&$'(����" (�+�� !�� ��� ,�� ��&�& "�'(��� � ��� ��&���& +��� ��� (�+�� � ����(� ���� *$ ������� 428885-

�� �'����& !��' ��� "��"������ & �! ��"��� A ���� &�'� �� ���&� �! �����&�& ���� ��"�� �&$'(����" (�+�� "��&� �� ��� � ����(�- ��+���� ���& �&"����� �$ � &�G"�� � �� "� "��)� ���� ��� *�������� �! ��� ��&�& �& � )�&�� ����&��*�� � ���&� �*�� &�6�) &�'(��&- �""��)� ��$ � ��"��� B +� ��(�����&���& �! � �.�� &��� &�'������ &��)$ � ��� , ��� &�'(�� &�6� � ) (�+��(��(�����& �! ��� ��&�&- �& +��� �& ��� &�� )��) ��"#�$�%����� ��&� � )��� ,�� '�)�,"���� & ���) ������� +� "� &�)�� ��&� &�. ?�$*��)@ ��&�& � +��"� ��"� )���� )� � (��"�)��� �& �&�) � "� H� "��� +��� *��� ��� ���((���"� � ) ��� ��0 �((���"�- %�� �.�'(�� ��� &����&��" +� )� ���������� ,�&� �((���& 1� )���� )� � � ) ��� �((���& ��� ��0 (�� �"�(�� ��� ��&� &����&��" *�� � ��� '�.�'�' �! ��� �������& !�� ��&�� � � � �!��' ��� �&��'���� �! 425 +��� � � � � ) 4>5 +��� � � �-

�� ��������� ���� ����������� � ��� ��� ���

�������

��((�&� ���� ��� ��'� &����& �� �& �� �����) �������

�� � ���� ��������

������� � � 4A5

+���� ��� ����& �! ������

��� ���� � � ��� ���&�)� �! ��� � �� "��"��- �������

��&& �! �� ������$ ��� � ����� �����& �� �� � ��� ���� � �� ��� �&&�'�) ���.�&�- �� �'(�&� ��� !����+� � �&&�'(��� � �-

�������� � �- � �� � ������ ��� ��������� �������� ��� �������� ���� ���� ���� � �������

���� ���� � ! �" � � �� ��� ����

����������� ���� �

! #� �� ��� � $ ��

���& �&&�'(��� �& &�� )��) � ��� � �� ���� ���������� 4&�� !�� � &�� "�

B

Page 7: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

�� ��H�� �� �� 288>5- ��� ��% �����&&�� *�&�) � ��� !��+��) &����& �� �&

��� � ����� � ������ ��������

�������� ��� 4B5

+���� ��� ��% �����&&�� *�&�) � ��� �����&� &����& �� � ������ �&

��� � ����� � ������ ��������

�������� � ���� 4C5

�� ��� )� ��� ��� ��"#�$�%����� ������� !��' 4B5 � ) ��� )� ��� ���"����&(� )� � &����&��" !��' 4C5- ��� ��� &����&��" �& ��� ��� �������� ����- ��� !����+� � ������' ����& ��� ��'��� � ��� )�&���*���� �! ��� ��� ��&� &����&��"&-

�� �� � �� �� �� �������� � ��� ��� ��������� � ���� ����!��� �� ��� ����� ���� ������� � ������� �� � ���� �� �"� ��� �#�

�� � � ��� � ������� ����

$����

��� ������ ���� � �� �%� ���

���%�����

��� ������� ���� � ���%� ���

���%�����

% �

� �

�� �&�'&

� �

� �

�� �&��'&�

%��� � �&� �� � �������� &�$���� ���� ������'

��� �� ��� ����� ���� ������� � ������ ����� � ���� �� �"� ��� �#��� � � ��

��� � ������� ����

$����

��� ������ ���� � �� � ��� ��� � �%� ��� � ��%� � �%�

��� ���� � ��%� � �%�����

��� ������� ���� � ��� ��� ���� �%� ���� ��%� � �%�

��� ���� � ��%� � �%�����

� �

� �

�&� �&�'&�

C

Page 8: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��� �+� '���� �� ��'��� � )�&���*���� & !�� ��� !��+��) � ) �����&���&����&��"& � ��"� "�&� ��� ��&��$ &��+ �� *� ��� &�'�- �� �& &�������!���+��) �� &�� ���� � ��� "� &�� � � �$ "�&� ��� ��'��� � ��� )�&���*���� �&� ����� � �� &����� � �����& � ) ���� � ��� �� ��� ��� ) "�&� ���& )�&���*����� �& � ����� � *��� �� &����� � �����& � ) � $ )��!� � ��� �� )�' +��#�� ����� � (��"�&&-

�� ��������� ����������� � ��� ��� �������

����� ��� ����� �����������

���� +� "� &�)�� � &�'(��,�) )��� �� ����� � (��"�&& ���� *$

�� � ����� � � � � � � ��� � 4:5

� � � ��

+���� � � ��� ���

�������� � �- 4�5 �� �& (�� ���� � ������ 4��5 � �& �-�-)-�� ��� � ) 4���5

�� �& � "��������) +��� � � �-

E� &�)�� ��� !����+� � !��+��) � ) �����&� �����&&�� �<����� &=

�� � ��� � ������ ��� 495

�� � ��� � ������ � ���

+���� �� � ������� �� ���� � ) ���� *� ��� ��&����&��"& !�� ��&�� � � � �!��' ��� !��+��) � ) ��� �����&�) �����&&�� �<����� & � 495 ��&(�"�����$-

�� �� � (����� ���� �� �� �������� � ��� )*+ �� �,� ��� ������-��� . ����' /���

���� �����)����

� � *�� � �� �%��)�����*��

��� �%�� �

���� � �

���� ������)����

� � *�� � ���%��)����� *��

��� �%�� �

���� � �

��� � �������������� ����� �� ��

$����

*� � (�� ��������

)��&� � ���&� � ����&��*�

%� �

� �

�)��&�'&

�� �

� �

�)��&�

�'&�

:

Page 9: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

%��� ���&� �� �� 0�������-��������1 ������'

E� &�)�� ��� !����+� � !��+��) � ) �����&� �����&&�� �<����� &=

�� � ��� � ����� ������ ��� 4F5

�� � ��� � ����� ������ � ����

�� ���� � ) ���� *� ��� ��&����&��"& !�� ��&�� � � � � !��' ��� !��+��)� ) ��� �����&�) �����&&�� �<����� & � 4F5 ��&(�"�����$-

�� �� � (����� ���� �� �� �������� � ��� )*+ �� �,� ��� ������-��� . ����' /���

���� �����)����

� � *�� � �� � ����)���� � *��� �%��)���� � �*��� ��%��� � �%�

��� � ����� � ��%��� � �%�

� ����

� � �

���� ������)����

� � *�� � ��� ����)���� � *�� � �%��)���� � �*�� � ��%��� � �%�

��� � ����� � ��%��� � �%�

� ����

� � �

��� � �������������� ����� �� ��

$����

�� �

� �

�&)��&�'&�

���� ��� �+� '���� �� ��'��� � )�&���*���� & � *��� ��� "� &�� � � �$"�&� � ) ��� �� ��� ��� ) "�&� ��� ��&��$ &��+ �� *� ��� &�'� ��� ��'��� �)�&���*���� � ������' > �& � ����� � �� � $ '�� � ) ���� � ������' A �&� ����� � �� � $ �� ��� ��� ) � ��� ���� �� ����� � (��"�&&- 1��� ��� ��"���&$'(����" )�&���*���� & �! ��� ������& ��&� &����&��"& � ) ��� "����"�� �����&!����+� � !��' ��� �&$'(����" ��� )�&���*���� & �&$'(����" ��"�� (�+�� "� *� "��"�����)- ��'� ��&���& !�� CI������ ��&�& ��� &��+ � ��*��& 2 � ) > +���� �(+ )� ���& ��� �&$'(����" 1��&&�� (�+�� � ����(� ��#� !��'������� 428885- ���&� ��&���& +��� �*��� �) *$ &�'����� � C7 777 ��(��"���� &�! ��� �((��(����� ��'��� � !� "��� ��& �&� � &����& �! C 777 1��&&�� +���� ��&� � ������ &- ���� � ) ���������� ��� "��"������ & +��� (�����''�)� 1����- ����"� ,�&� ���� +��� ��� �."�(��� �! ��� "� &�� � "�&� !��� � ��� +���� ��� �& � !����� �� �& ���(��!��'�) � ���'& �! �&$'(����"��"�� (�+�� *$ ��� ,�� '�)�,�) ��&�& � *��� ��� "� &�� � � ) �� ��� ��� )"�&�&- ��� ��� & !�� ��� '�)�,�) ��&�& �� ) �� *� ������� � ��� "� &�� �"�&� ��� � ��� �� ��� ��� ) "�&�- �� �'����& ���� ��� ��� �� � )

9

Page 10: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��� ��&�& ���� �&$'(����" ��"�� (�+�� ���� �& ��+�$& �& ���� �& � )&�'���'�& '�"� ������ ��� ��� �+� ��&�& *�&�) � �� �����&�) ���&� &<����&)���� )� �- �������� ��� (��!��'� "� �! ��� ����� &�(����� ��&�& �& ���$"��&� �� ��� (�+�� � ����(� &����&�� � ���� � ���$ ����� &�'(��& +�� ��� � ������ & ��� 1��&&�� �� �& �� (�&&�*�� �� �'(���� ���"��*�$ � ���(�+��& �! ���&� ��&�&-

! "���&� �&$'(����" ��"�� (�+�� "��"������ & '�$ (����)� � �'(��!�"����)� �� +��� +��� *� !�� ) !�� &�'(�� &�6�& �! (��"��"�� � ����&�- �""��)�� ��$ � ��� �.� &�"��� +� ��(��� &�'������ ��&���& � , ��� &�'(�� (�+�� �& +��� �& � ��� �����*����$ �! ��&� &�6�& � "��"�'&�� "�& &�"� �& ��� ����'� ����� �! ,���) '�)��& ������� ��� � "��(������ �! �����) "�� ��& � ) � � ��'�� � ������ &-

�� ���� ����� ���������

��� ���'� ��) ���&�� �! ��� ��"#�$�%����� ��&� �& *�&�) � ,��� � ��� '�)��

�� � ���� � ����� ��������

������� � � 485

+��� "����&(� )� � ���*������ & �! ��� '�)�,�) ��&�&- ���&� '�)�,"���� &��� ��� )�&�� �) �� � "���&� (�+�� � ) ��� ��&���& �! ��� (������& &�"��� &��+ ���� � ���$ ����� &�'(��& &�*&�� ���� (�+�� ��� & "� *� �"�����)-� ���& &�"��� +� �&&�&& ��� (�&&�*����$ �! �"�����*�� (�+�� ��� & � ��&�& �!�����*�� &�6� !�� &�'(�� &�6�& �! (��"��"�� � ����&�- �� &�'� �.�� � &�"� ��� &���� *�� (������&�$ )�'� &�����) !�� ���&� '�)�,�) ��&�& ������ �������& *�� ������ �.(������� �! ����� �$*��)&- ��+���� (�*��&��) ��&���& �����!�� '�)� �� )�G"��� �� !��' � "���� (�"���� �& "� &�)������ & �! (�+�� "� *� �*&"���) *$ "� &�)������ & �! &�6� �����*����$- � ��� �&��� �((��"���� �! 485 "����"�� �����& !�� ��&�& *�&�) � &�'(��& �! � �*&������� & ��� )������) !��' ��� &�'������ �! �� )�' +��#& +��� 1��&&�� � ������ & �!���� �'*�� �! �*&������� & +��� ��� �'*�� �! �����) ,�&� )�;��� "�& � ��� ,���) '�)�� ,.�) �� � �� ��&� &�6�& ��� ��� &���"��$ "����"� � �$!�� ��� "�&� �! ��&�� � � �� )�' +��# +��� 1��&&�� � ������ & ���� &���� ����� ����� �! � &����� ��$ ,�&� ��)�� ���������&&�� - �"���� ��&� &�6�&)�(� ) �� � �$ � � *�� ��&� � � ) ��� &(�"�," �����& �! ��� ���� �� �& +��� �& ��� )�&���*���� �! �- ���& ��&� "� &�)������ ��& &�'���'�&'�������) ��� �&� �! �&$'(����" "����"�� �����& � ��� ���� )& ���� ���&�+��� *� "����"� !�� ���$ ����� &�'(��& +������� ��� � ������ )�&���*���� -��� &������� �& !������ "�'(��"���) *$ ��� !�"� ���� �& � (��"��"�� '����� +��� *� � # �+ � ) � �((��(����� ����� '�&� *� &���"��) � ��� *�&�& �!)��� ���)� "�- � )��) ��� ���� �� ����� � (��"�&& '�$ � "��)� '��� � �������� ���'& � +��"� "�&� � $ "��&� '�)�� �! ��� !��' 485 +��� �"�&&����$

F

Page 11: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

*� � �((��.�'���� �� ���� (��"�&&- ��'������ �! � ������$ �! �� ������ � (��"�&&�& �����) +��� ��&� �((��"���� & � +��"� �& &���"��) ������� �)����)�(� )� � ���� � )��*��)�$ ��J�"�& (��"��"�� ������$- � !���� ����$ ��� ��&���& �! &�"� �.��"�&�& "� !�� ) (�+�� +��� &�6� �����*����$ +�������"����"�� �����& ��� �&�)- �� ��� ���� &�6���)H�&��) (�+�� +���� �! &�'���������"�� � ����&� ��& ��'���) (��"��"�� ������ "� &� "� �� �� �����$ "� ��*� �"�����) � (��"��"�- �� "� � � �! ��� '�)�,�) ��&�& �& '�������) *$&�6� �����*����$ "� &�)������ & +� !��� ���� �� �& �'(���� � �� "�'(��� �����&'��� &�'(�� (�+�� � � "�&� +���� &�6� �& # �+ �� *� "����"�-

���& ���+ ���)& �& �� �'(��&�&� ��� *�&�" "�&� � +��"� ��� �� ����� �(��"�&& �& � �� )�' +��# +��� 1��&&�� � ������ & � )�� ��� ��� � ) �&����� ��$ ,�&� ��)�� ���������&&�� � )�� ��� ����� ����� +��� ��&�& *�&�)� ��� ,��� � �! 485 &���� � � �- ��*&�<�� ��$ +� &���� �.(���� &�6������*����$ � &�'� '��� ���*����� "�&�&- �� � ��$&�) ��� �% ��&� ��&,�� '�)�,"���� & � ) ��� &�. �$*��) ��&�& *�&�) � ���&� '�)�,"���� &-E����"�� �����& !�� ���� &�'(�� &�6�& +��� )����'� �) ������� >7 777 ��(���"���� &- ���& ��� ��&�& ��� # �+ �� *� "����"��$ &�6�) !�� ���& *�&�" "�&� &� ���� ��� (��(����� & �! ��H�"��� & � )�� ��� ����� ����� )� � )��) '���&��� ��&� (�+��- ��*��& A � ) B &��+ !�� CI������ ��&�& ��� ���"�'�& !��&�'(��& �! C7 277 � ) >77 �*&������� & � ��� !��'�� ��*�� !�� ��� "� &�� �� �$ "�&� � ) ��� ������ !�� ��� �� ��� ��� ) "�&�- ���� � ) ������������&���& � ��H�"��� (��(����� & ��� *�&�) � >7 777 ��(��"���� & ��� �� ������ � (��"�&& � )�� ��� ����� ����� *�� � ����$ &����� ��$ � ��� &� &� ������� )������� !��' ��� ) �! ��� � ����� �*&������� ��& ����� "� ��� ����� � ��� ,�&� ��)�� ���������&&��� "�&� +��� � �� �����) �& &�� )��) ��'��-

��� ������� (����� �! ��*��& A � ) B �& <���� &�'���� ������ �& '����*� � ��"�(���) !��' ��� ����� &�'(�� ��&���& �! ��� (������& &�"��� (�+��)�;��� "�& �'� � ��� ��&�& ��� '��� (�� �� "�) � ��� "� &�� � � �$ "�&���� +�� � �� ��� ��� ) �& � "��(�����)- ��� �&��� ��"#�$�%����� ��&��& �� �����$ "�'!����*�$ ���(��!��'�) *$ ��� ��& "�'(������&- ! ���&�"�'(������& ���� �& �&����$ ���&� (�+��!�� ������ �� �& &�'�+��� '���(�+��!�� ��� ��� � ��� ����� &�'(��K���� (�+�� "�&� +���� *��� ���� !����� �� ����� "�'(������&- ��� ���������$ (��� (��!��'� "� �! ���� �&&�'�+��� ��� �" �& �� +�& )�&�� �) +��� ��� &���"��$ &����� ��$ ����� ������ ��$&�) ���� � '� )- ����� �& ���$ ������ �� "���&� �'� � ��� �����

� ) ��� ��&�& +��� �� �� �����$ '���� ���$ ��� '�&� (�+��!��- ���&�. �$*��) ��&�& ���� � ���"��*�� �)�� ���� ���� ���&� ����� ������ ����$*��)& �! ���� (��!��' ���������$ +��� +���� ���� ��&��! )��& ��- ���&�'� �& �� ���� ��+���� �! ��� �$*��)& �! ���-

�������� ��� ��&���& �! ��*��& A � ) B &����&� � ���$ )�, ��� (��!��� "�!�� &�'� �! ���&� � �� ���� ��&�& ���� ��� �����& � ��� *�&�" �� )�' +��#���&�& &����� ��$ ,�&� ��)�� ���������&&�� "�&� �� �& �'(���� � �� "��"#��&� !�� &�6� ��*�&� �&& � '��� ���*����� "�&�&- �� *��� +��� � �� ����� �'�)�� � +��"� ,�&� )�;��� "�& !����+ � &����� ��$ ,�&� ��)�� ���������&&��

8

Page 12: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

+��� (���'���� � ��� � ������ & ��� 1��&&�� � ) ��&�& ��� *�&�) � ,���) '�)��& �! ��� !��' 485 +��� "����"��$ � �- ���� � ) ��&�+���� � "�'(��� � ��� ��� &����&��" ��� &�'� ����� �! �& �&�) � ��� !��+��)� ) �����&� �����&&�� &- ��� ���'� ��) ����� � �! ��� �� ��&� �& &(�"�,�)� �� ���� �� �� 4288B5- ��� )��) , ��� &�'(�� "����"�� �����& ��� �&�)� ���� �& ��� &�'� "����"�� �����& �& !�� ��� &�'������ & �! ��*��& A � )B- ��*��& C � ) : &��+ �'(���"�� &�6�& !�� �'� �� CI � ) 27I��������&�& !�� &�'(��& �! C7 � ) 277 �*&������� &- ��� !��'�� ��*�� �& !�� ���"� &�� � � �$ "�&� � ) ��� ������ !�� ��� �� ��� ��� ) "�&�- ���� ���*���."�(��� & �'(���"�� &�6�& ��� "��&� �� �'� �� &�6�&- �� �& (����"�����$ ���+����$ ���� ��� �� � ) ��� ��&�& ��� ��&& �����&�6�) ��� ��� �&�����"#�$�%����� ��&� � ��� �.���'� "�&� � � ���- � � ����&�� � "�&� �! �����)�&"��(� "��& *��+�� �'(���"�� � ) �'� �� &�6�& �""��& !�� ��� ��� ��&�� ) ��& �$*��)&- ���&� "� *� <���� &�����&�$ �����-��2�� !�� (�&����� �-���& &����&�& ��� (�&&�*����$ ���� ���&� ��&�& "���) �� ����� ���������$ ��+��H�"��� (��*�*������& !�� (����"���� &����� ��$ &�"� ) ��)�� ���������&&�� &-

�� "��"#�) ���& "� H�"���� *$ �� ����� � &����& �! C7 � ) 277 �*&�������� & ���� +��� 1��&&�� � ������ & !��' ��� &����� ��$ (��"�&&�&

��� ������ � �

+���� � �& ��� ��� �(������- ��*��& 9 � ) F &��+ (��(����� & �! ��H�"��� &�! ��� � ������� ��� �$(����&�& !��' �'� �� CI������ ��&�& *�&�) � ���&�'� "����"�� �����& �& ��*��& A�:- �& (��)�"��) ��� � ) ��& �$*��)&��� ���"��*�$ ��&& ��#��$ �� ��H�"� ��� ��� �$(����&�& ��� ������ �� ����� &����&�� � � (��!��� "� !�� ��� ������ (���- ���(���$ &(��#� � ���� ����& � ���&� ��*��& ��� �� (�+��& �& ��� ��&� &�6�& ��� �� (��"�&��$ -7C-����������&& ���$ )� �&��'��� +��� � � ��$&� +���) �*��� � (��"��"� � ) � ���& &� &� ��� '��� � !��'����� ��� &�6���)H�&��) (�+��- �������� �& +� &�+ � ��*��& C � ) : ��� �� � ) ��� ��&�& ��� �� &�����&�$ �����&�6�)- �� ��� "� ����$ �� �& ��� ��+ �'(���"�� &�6�& �! ��� ��� ��&� � ) ��&�$*��)& ���� �& ��&(� &�*�� !�� ��� �((��� ��$ ���������$ (��� (��!��'� "��! ���&� ��&� � ��*��& 9 � ) F- ���& �! +� +��� �� *�&� � "���"� �! ��&� � ��� (�+�� ��&���& �! ��*��& A B 9 � ) F ��� �� � ) ��� ��&�& � ) ����+� �$*��)& �! ���� &�� ) ���- ���&� !��� ��&�& (��!��'�) �*��� �<����$+��� � ���&� &�'������ �.(���'� �&- � (����"���� ��� �$*��)& ��� �� ���"��*�$ &�(����� �� �� � ) ��� ��� � &� ���� ����� &��'& �� *� ������(�� � � � "���� � !������ "�'(������ �� ���*������ *$ �'(��$� � ���'-� )��) ��� ��&���& (����)� � ���)� "� ���� � )���� )� � �& ��� "��(���!�� ��� �"# �+��)��)�$ &�*�(��'�� (��!��'� "� �! ��� �&��� ��"#�$�%�������&�& &� "� �� �.(��"���$ � ) ��� �'(��"���$ � ����� &�"� )���� )� � � ) ������ �& �'(����) *$ ����� ����� )���� )� � '����)&-

�� !������ �.(����) ��*�&� �&& �� ��� ��)�� *$ *�&� � ��&�& � �&��'���)'�)��& �! ��� !��' 485 +��� � � ,���) �� �� )�' +��#& +��� 1��&&��

27

Page 13: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

+���� ��&� � ������ &- �'(���"�� &�6�& !�� �'� �� CI������ ��&�& *�&�) � &�'(��& �! C7 � ) 277 �*&������� & ��� ���� � ��*�� 8- ! ��� �+� (��!����)��&�& �� �& �((��.�'����$ "����"��$ &�6�) +���� ��� �& '�)������$ � )���&�6�)- ��&� �& '���� (����(& *� �.(�"��) ���� ��� ��&���& �! ��*��& C� ) : ��� � ) ��& �$*��)& ��� &�����&�$ � )���&�6�)-

��"��&� , ��� &�'(�� "����"�� �����& ��� &���"��$ ����) � �$ � )�� ��'�����$ +���� �&$'(����" "����"�� �����& ��� ����) �&$'(����"���$ !�� ���$ �� ����� ������ )�&���*���� & &�'� � ��$&�& (��!�� �� �&� ��� ������ +������� ���&�'(�� &�6�- �� �.(���� (�&&�*�� "� &�<�� "�& �! )�� � &� +� �� �����) �� �)�' +��#& +��� 1��&&�� � ������ & �! C7 � ) 277 �*&������� & *�&� ���&�& � ��� ,��� � �! 485 +��� � � *�� �+ �'(��$� � ��� �&$'(����""����"�� �����&- ��*�� 27 &��+& �'(���"�� &�6�&- �� �+� (��!����) ��&�& ���&�'�+��� �����&�6�) �� '��� &�����&�$ &� ��� ��� *$ ���& "������� � ��� �� ��� ��� ) "�&�- � '��� &���#� � , )� � �& ���� ��� ��� ��&� � ) ��&�+� �$*��)& "� *� <���� &�����&�$ �����&�6�) (����"�����$ � ��� "� &�� �� �$ "�&� +�� �&$'(����" "����"�� �����& ��� �&�)- ��"� � �((���"� ��� �& &�&"�(��*�� �� &(�����& ��H�"��� & �! ��� � �� ���� ��� �$(����&�&-

%� ���$ �� "��"# ��*�&� �&& �� � � ��'����$ +� &�'�����) �� )�'+��#& �! C7 �*&������� & �&� � � ������ & !��' � �����$ &#�+�) )�&���*����� ,����� � � ) ��&� !��' � ����$������) )�&���*���� ���)� �&D � +���,�� )�����& �! !���)�'- ��&�& +��� *�&�) � ,��� � 485 +��� � � �&� �, ��� &�'(�� "����"�� �����& )�����) !��' � ��'����$ �&&�'(��� - ��*��22 &��+& �'(���"�� &�6�& �! �'� �� CI � ) 27I������ ��&�& � ��� "� &�� �� �$ "�&�- 4��&���& !�� ��� �� ��� ��� ) "�&� ��� ���$ &�'����-5 ����� �&������ )�;��� "� �'� � ��� ��&�& � ��� �� ) �� *� '��)�$ � )���&�6�) !�� *���� ������ )�&���*���� &-

�� ���������

�� �& �+ +��� # �+ ���� ��� ������� ����� � �! ��� ��"#�$�%����� ��&� ��&� !����� (�+�� "�'(���) +��� &�'� <���� ��&��$ �'(��'� ��) '�)�,"���� &-�� ���� � ��$&�) ��� (��!��'� "� �! ��� �% ��&� � ) ����� &�"� '�)�,"����� &- ����� �! ���&� ��� *�&�) � ����� �����& �� � )���� )� � (���� ��,��� � ��� �&��� �% �����&&�� +������ � ���"�(� �� ��� ) �� ��� ��&�)���&-�+� �����& ����� �� ���&� �'(��"���$ � )���� )� � *�� �.(���� ��� "��� "�)� "� �! !��+��) � ) *�"#+��) ��(��&� ����� & �! "������ "��&����� ��$(��"�&&�&- %� ���$ &�. �$*��) ��&�& ��&��� !��' �((�$� � ��� (�� "�(��& �! ���&��&� (��� �� ��� ��&�)���& !��' ��� ����� ����� ����� )���� )� � (��"�)���&-

�� ���� �.(����) *��� ����� &�'(�� � ) &'��� &�'(�� (��(�����& �! �����&�&- ��� *�&�& �! ��� ��&���& +� ��"�''� ) �+� ��&�& � ��� �� ��&� �!�� ���� �� �� 4288B5 � ) ��� ��� ��&� �! �$*��� � 4288C5- �� (�+��� ) &�6� &�'������ & &����&� ����� �& ������ �� "���&� *��+�� ��� �+� � )���� �! � � �� ��� ����� �& �'(��$�) ����� �& � (����"���� �)�� ���� � ����� �����& �� � )���� )� �- ���� ��&�& ��� <���� ��&��$ (�����''�)

22

Page 14: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

������ *�� � ������ '��� &�������!��+��) (����"�����$ � ��� �� ���� "�&�+���� ��� ��"#�$�%����� �����&&�� �& ���'� ��) *$ �����) ,�&� )�;��� "�&-�� ��&� �� �����&�& '��� ��&��$ �� ��� '�)�,"���� �! ����� ��&�& � ��� "�&��! � �))����� ���������$(� &���"����� *���#-

��������

��% % ������ 2- ��� ��'��� � )�&���*���� & �! ��� !���+��) �����&&�� &����&��"& ��� � ) ��� ��� +��� # �+ � ��� ����������-���$ ��� !� "��� & �! � &�� )��) ���+ �� '���� (��"�&& � �&� )�, �)�& ��������

������ � � � �&�- %��&� +� "� &�)�� ��� "� &�� � � �$ "�&�=

�� � �- � ���& "�&� +� ���� !��' ��� ����������=

��� � ��� ������ ���� � �� �� ���

� �� � �&�'&�� �

� � �&��'&��� �

� � �&�'&������ � 4275

��� ,�&� &��( �� )����� ��� ��'��� � )�&���*���� �! ��� �& �� , ) ��� "�����&(� )� � �1� !�� ��� �����&� &����& ��- �� ���� � ��

������� ���

� - ��"���� ����� ��� �1� �! ��� � )�� ��� � �� ���� �$(����&�& �&

��� ��������

������� � � 4225

� �������

+� ��) �� , ) � &������ �! �� ���� &���&,�& ��� !����+� � �<����� =

���� ��������

�������� � ��� 42>5

���� � ��������� � ���������� 42>5 "� *� +����� �&��� �����

��� �������

������� +��"� �'(���& ���� ��� � ���������������- E�'*� � � ��� ��&���&��� +��� 4225 ��� &������ !�� �� �& ���� *$

�� � �-���.����� ���

��������

-�.������� 42A5

+���� -��� � ������������- �� "� *� ��&��$ &��+ *$ ��� &����� ����$"� )���� � ���� ����

��

�������� ��-� � # �- �� (�/� *� ��� ���+ �� '���� )�, �) *$ ��� (������ &�' �! �� 4��& �.�&�� "� +��� *� &��+ *���+5=���� �& ��������

������ �� � (�&�- �� "� '�#� ��� !����+� � �*&������� &=

4�5 ��� � �$ )�;��� "� *��+�� ��� �+� �1�& � 4225 � ) 42>5 �& ��� �����

2>

Page 15: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

���'& 4� � ) ��5 � ) 4��5 ��� �����&&�� & � 4B5 � ) 4C5 ��� �! ��� �)� ��"��!��'- �� "� �& ��� !��+��) &����&��" ��� �& � !� "��� �! ��������

����� �

� ) ��������

��� ��� )� ���) *$ 0� � ��� �����&� &����&��" ��� &����) ����

��� &�'� !� "��� 0� � *�� ��� ����'� �& ��� �+ ����������

��� �� � )������

����� ��

�� � &���)- �&� � ��� !�"� ���� ��� !� "��� 0� � �& "� �� ��

��& � *��� ����'� �& � ) ��� �+� ��&�)��� ����� "� �&��'����& �����

��� ���

� ) �����

��� ���� "� ����� �� �� � (��*�*����$ +� ����

��� � 0

��������

�����

.� ������

�����

���

� 0�� ��� ��

��� � 0

��������

�����

�� ������

�����

���

� 0�(��� ���

�� "� ��� �.(��&&�� �! 0�� ���� �& � 4275 ��� ��'�� �! ��� �����&� &����&��"0�(���� �& �+ �*��� �) *$ ��(��"� � � ��� +��� (��� � 4275=

0�(���� � ��� �����(���� � ���(���

� �� (�&�'&�� �

� (�&��'& ��� �

� (�&�'&������ � 42B5

E�'(��� � 4275 � ) 42B5 �� "� *� ��&��$ "� "��)�) ���� ��� �+� ��'��� �)�&���*���� & !�� ��� !��+��) � ) �����&� &����&��"& ��� ��� &�'� '���� ���$-��+ +� ��) �� (���� ��� �.�&�� "� �! ��� �+ ���+ �� '���� (��- �&� ���� ��&���& � 42A5 � ) ������)�� � ) ���&� 428F25 �� �& ��&��$ &�� ����

��������������

�� � ���������-���������

.����� � 1���� 42C5

� �

�� ��������-���

�����

.� � ��������-���

����������

.�

���� 1����

� ��� ����� ��� &���

��� )�(� )� "� �! �� � �� )�&�((���& � ��� ��'�� &� "� -��� � �- �� "� ��� �+ ���+ �� '���� (�&� �& � !�"� ���� *$ ��� ��� �� �� � &��-�����!��� � ��)�� �� �.(��&& ��� ��'�� �! ��� �����&� &����&��"��� � ���'& �!��� ����� �� ���+ �� '���� � �� +� &�'(�$ ��(��"� (�&� +��� ��� ����� ��� &��- ���� (��"�&��$ +� ����

(��� � �� ���� �

�(�&�'& � �� ��� �

� �

�� �&�'&� �

�(�&��'& � � ���� � �� ���

� �

�� �&�'&�

� �

�� �&��'&�

2A

Page 16: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*&������ � ���&� ��&���& � �� 42B5 � ) "����"�� � ���'& ����& ����

������ ���� � �� �� ���� �� � �&�'&�� �

� � �&��'& ��� �

� � �&�'&������

+��"� �& ��� �.(��&&�� ���� !�� ��� � ������' 2- %� ���$ ��� "� �� ���&'�((� � ������' )������& ��� ��<����) ��&���= ��� � ������� ����-

��� (���! !�� ��� �� ��� ��� ) "�&� �& � �����$ � ������&- ��� � �$ �))����� �� ��&��� ��<����) �&=

� �

�&(�&�'& � ����� ��� �

� �

�� �&�'& �

� �

�&� �&�'&�

�&� � ���& �))���� �� ��&��� ��� &�'� ����'� � �& �((���) �� ��� � ) )�������& ��� � ������� ����-

��% % ������ >- %��&� ��� ���� ��� ����

��� ���������� ��-

�� "� ��������

��� ������ � ����&� L*$ ������(& 428F95M ��� � ����&��

� ) ������� � �*� L*$ ������� 428885M +� ���� �������� � ����&� �� ����&��*� � �)��&�- �$ ��� "� �� ���& '�((� � ������' +� "� �'�'�)�����$ �*��� ����

��� ���� � �

� �� )��&�'& � �%� � ) ���

��� ����� �

��� �� )�� �&�'& � ����- ��.� "� &�)��

������

����� � ������������� � ������ � ������

�� � ��������

������ � 1����

� �������)����� � *�

� � ��� ���� � �����

�� �2 � ���� ���� !��' ��� !��+��) �����&&�� � 495 2 � �� ��� � ) �� �

'"34�� ��� � �- ��� +� ����

�2 � 2 �

�� � �

��� ������

� ������

� �����

��� � ��

� ���� �����

+��"� �'(���& ���� �� ��2 � 2�� ���� 5� +����

�� �

�� �%�

�%� ����

� 5� �

��� �������

��

�&� � ��� !�"� ���� �����

� ��� �� �

� �� "� *� &��+ ���� ��������3&�������� ��� ������ 5��

����� ������ �� ��������- ���� �������� � �����3&����������

���� ����3&�������� � ���� �%�� �

��� � ��� �%�� ������� �%�� ����� +��"�

&�'(��,�& �� ��� ��&��� � ��� ������'-

2B

Page 17: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��+ +� "� &�)�� ��� �����&� �����&&�� - �� �2 � ���� ���� !��' ��� �����&�

�����&&�� � 495- 1��� ���� ��� �����&� )��� �� ����� � (��"�&& �&

�� � ����� � ��

+���� �� � ��� ��������� � ������ +� ����

�2 � 2 �

�� � �

��� ������

� ������

� �����

��� � ��

� ����� ������

��

�� "� *� &��+ ���� ������

� ���� � �%� �����

� ����� � ���� �������

� �� �

���� ��� � ��%�� � ) �����

� ������ � ������ � � � �����- �� "� +����� �� ��2 � 2�� ���� 5� +����

�� � �� 5� �

����� ��� � ��%�������� � � � �����

�� 42:5

��� �*��� ��&��� �������� +��� �����

� ���� �� �� �'(���& ���� ��������3&�������� �

�� ������ 5������� ������ �� ��������- ���� ���� ���� � �����3&����������

��������3&�������� � �����%�� �

����������������%��� ������%�������%�

� ����� +��"� &�'(��,�& �� ��� ��&��� � ��� ������'- "� +� �*��� ���&�

�+� ��&���& ��� +� ���� ������������� � ����� �� �� *$ ��� "� ��� ���& '�((� � ������'-

��% % ������ A- �� "� ��� (���! �& ���$ &�'���� �� �����! ������' > ��& )����� �& �� (��&� ��)- ��� � �$ �))���� �� (��� �& ���&��*��&� ��� !����+� � ��'��&=

�������

����� � �

� �

�&)��&�'& � ���

�������

�� � ������� � �������

���� � ��������

����� � 1����

� ��)�����%� � ����

�������

����� � �������

���� � �������

����� � 1����

� ����� �%��

�������

��� � ������������

�� � �����������

��� � ���������

���

���������

���� � 1����

� ��)����� �� � ���%� � ��� �� �����

2C

Page 18: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

����������

L2M �����N�� �- �������� �-- � ) ��E� N-�- 4288>5 ��"���&��� � ) &�<�� ���� ��&�& �! ��� � ������� � ) ��� )�*���# �$(����&�&=�����$ � ) � ��� ���� �� ���)� "�- 3����� � &������� 4 5�����(��������� 27 >92�>F9-

L>M ��3����1� �- � ) ���� E-�- 428F25 � �+ �((���"� �� )�"�'�(�&���� �! �"� �'�" ��'� &����& � �� (��'� � � � ) ��� &����$ "�'(�� � �& +��� (����"���� ���� ��� �� '��&���'� � �! ��� O*�&� �&& "$"��-D3����� � 6����� 5������ 9 2C2�29B-

LAM E��� �-�- � ) ��� E-P- 428F95 �&$'(����" � !��� "� !�� ����$ � &����� ��$ ��425 (��"�&&�&- ������ � (��������� 2C 27C7�27:A-

LBM ��E��� �-�- � ) %��� �-�- 428985 ��&���*���� �! �&��'����&!�� ���������&&��� ��'� &����& +��� � � �� ����- 3����� � ��� ��������(���������� ��������� 9B B>9�BA2-

LCM ���� 1- 428885 �G"�� � ��&�& !�� � � �� ���� +�� ��� � ������*&������� �& )��+ !��' ��& � "� )���� �� )�&���*���� - ������������5����� 7����$ B7 9:9�9FA-

L:M ���� 1- ��������1 �-N- � ) ��E� N-�- 4288:5 �G�"�� � ��&�& !�� � ���������&&��� � �� ����- 5��������� :B F2A�FA:-

L9M %��� �-�- 289:- � ���)�"��� �� �����&��"�� ��'� �����&- ����$ ��+ ���#-

LFM ������� �-N- 4288C5 ��&�� � !�� � �� ����& �&� � !��+��) � )�����&� ��"#�$�%����� �����&&�� &- 08��� &������� � 5������ ���(��������� C9 CC8�C92-

L8M ������ �-1- %������1�P��� 1- � ) %����� �-�- 4288B5 �"�'(���&� �! � �� ���� ��&� "�������- 3����� � &������� 4 5�����(��������� 2> BB8�BC8-

L27M ������ �-E-�- 428F95 ��+��)& � � �,�) �&$'(����" �����$ !�� ����������&&�� - &������1� 9B CAC�CB9-

L22M ������ �-E-�- � ) ����� �- 428FF5 ��&�� � !�� � � �� ���� � ��'� &����& �����&&�� - &������1� 9C AAC�AB:-

L2>M ���� �-�- � ) � �-�- 4>7725 ��"��&��� '�� �)H�&�'� � !�� � ������ ��&�&- 3����� � /��� (����� ������� >> C8C�:2>-

L2AM � �-�- � ) ���� �-�- 428885 ��"��&��� '�� �)H�&�'� � � ��'�&����& � !��� "�&- (��������� ��� +�������� 9������ BA :C�9A-

2:

Page 19: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

L2BM ���� �-�-�- 4>7775 �����&&�� �*�&�) � �� ���� ��&�& +��� ��"���&��� '�� �)H�&�'� � !�� &��&� �� � ) � �&��&� �� ��'� &����&- ���(���'� � �! �"� �'�"& ��&"�&&�� ��(�� � ����&��$ �! ���'� ���'-

29

Page 20: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� 2- �&$'(����" ��"�� (�+�� �� �'� �� 7-7C������ "� &�� � � �$ "�&�-

� �� ��� ��� ���

�(+ ->7 -C> -FA -89

�� -2A -AA -:> -F:��� ->7 -BB -:B -99���� -2C -A8 -97 -87��� -28 -C7 -F2 -8:�� ->7 -C> -FA -8:��� ->7 -C7 -F> -8:

��*�� >- �&$'(����" ��"�� (�+�� �� �'� �� 7-7C������ �� ��� ��� ) "�&�-

� �� ��� ��� ���

�(+ -27 ->B -B8 -9B

�� -7F -28 -AF -:>��� -27 ->B -B: -:F���� -27 ->B -BF -9B��� -27 ->B -B8 -9B�� -27 ->B -B8 -9B��� -27 ->B -B8 -9B

2F

Page 21: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� A- ��+�� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C������ "� &�� � � �$ � � �1�=��� ����� � �-

4�5 � � ���

� -8C7 -877 -FC7 -F77 -9C7 -977 -:C7 -:77

�� -7F -2A ->> -AC -C2 -:9 -F7 -87��� -22 ->7 -AC -CA -92 -FC -8B -8F���� -78 -2: ->: -B2 -CF -9A -F: -8A��� -27 ->7 -AB -C> -97 -FB -8A -89�� -22 ->7 -AC -CB -9> -FC -8B -8F��� -27 ->7 -AB -C> -97 -FB -8A -89

��� ��� -22 ->7 -AC -CA -92 -FB -8> -89���� ��� -22 ->7 -AC -CB -9> -F: -8B -8F��� ��� -27 ->7 -AB -C> -97 -FB -8A -89

��� ���� -22 ->7 -AC -CB -9> -F: -8B -8F���� ���� -27 ->7 -AB -C> -97 -FC -8A -89��� ���� -22 ->7 -AC -CA -92 -FC -8B -89

4*5 � � ����

� -89C -8C7 -8>C -877 -F9C -FC7 -F>C -F77

�� -7F -2A ->> -AB -B8 -:C -9F -FF��� -27 -28 -AA -C2 -:9 -F2 -87 -8C���� -7F -2C ->C -A8 -C: -9> -FB -8>��� -27 -28 -AA -C2 -:8 -FA -8> -89�� -27 -28 -AB -C> -97 -FB -8A -89��� -27 -28 -AA -C2 -:8 -FA -8> -89

��� ��� -27 -28 -AA -C7 -:: -98 -FF -8A���� ��� -27 -28 -AB -C> -97 -FB -8A -89��� ��� -27 -28 -AA -C2 -:8 -FA -8> -89

��� ���� -27 -28 -AA -C2 -:9 -F7 -F8 -8B���� ���� -27 -28 -AA -C2 -:8 -FA -8> -89��� ���� -27 -28 -AA -C> -97 -FB -8A -89

28

Page 22: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

4"5 � � ����

� -89C -8C7 -8>C -877 -F9C

�� -2A -AB -:B -F9 -89��� ->7 -C7 -9: -F8 -8C���� -2C -B7 -92 -8> -88��� -28 -C2 -F> -89 2-7�� ->7 -C> -FB -89 2-7��� ->7 -C2 -FA -89 2-7

��� ��� ->7 -C7 -9C -FF -8C���� ��� ->7 -CA -FB -89 2-7��� ��� -28 -C2 -F> -89 2-7

��� ���� ->7 -B8 -9B -FF -8C���� ���� -28 -C2 -FA -89 2-7��� ���� ->7 -C> -FB -89 2-7

>7

Page 23: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� B- ��+�� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C������ �� ��� ��� ) � � �1�= ��� ����� � �-

4�5 � � ���

� -FC7 -F77 -9C7 -977 -:C7 -:77 -CC7 -C77

�� -2A -28 ->8 -B2 -CC -:9 -98 -FF��� -2: ->C -A9 -C> -:: -9F -FF -8B���� -2C ->B -A: -C7 -:C -99 -F9 -8B��� -2: ->C -AF -C> -:9 -98 -FF -8B�� -2: ->C -AF -CA -:F -F7 -F8 -8C��� -2: ->C -AF -CA -:9 -98 -FF -8B

��� ��� -2: ->C -AF -C> -:: -9F -F9 -8A���� ��� -2: ->C -AF -CA -:F -98 -F8 -8C��� ��� -2: ->C -AF -C> -:9 -98 -FF -8B

��� ���� -2: ->C -AF -CA -:9 -9F -FF -8A���� ���� -2: ->C -A9 -CA -:9 -98 -F8 -8B��� ���� -2: ->C -AF -CA -:F -98 -F8 -8C

4*5 � � ����

� -8>C -877 -F9C -FC7 -F>C -F77 -99C -9C7

�� -2A ->7 ->8 -B7 -CA -:: -99 -F:��� -2: ->C -A9 -C2 -:B -9C -FB -87���� -2: ->C -A: -C7 -:B -99 -F: -8A��� -2: ->C -A9 -C2 -:C -9F -F9 -8A�� -2: ->C -AF -C> -:: -9F -F9 -8B��� -2: ->C -A9 -C2 -:C -9F -FF -8A

��� ��� -2: ->C -A9 -C7 -:A -9C -FB -F8���� ��� -2: ->C -AF -C> -:: -9F -FF -8B��� ��� -2: ->C -A9 -C2 -:C -99 -F9 -8A

��� ���� -2: ->C -A9 -C7 -:A -9B -FA -F8���� ���� -2: ->C -A9 -C2 -:: -9F -FF -8B��� ���� -2: ->C -A9 -C2 -:: -9F -F9 -8B

>2

Page 24: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

4"5 � � ����

� -89C -8C7 -8>C -877 -F9C -FC7

�� -78 ->7 -A8 -:B -FC -8:��� -27 ->C -BF -9> -F9 -8B���� -27 ->B -BF -9C -82 -8F��� -27 ->C -B8 -9C -8> -8F�� -27 ->C -C2 -9: -8> -88��� -27 ->C -B8 -9: -8> -8F

��� ��� -27 ->C -BF -9> -F9 -8B���� ��� -27 ->C -C2 -9: -8A -88��� ��� -27 ->C -B8 -9C -8> -8F

��� ���� -27 ->C -BF -97 -F: -8B���� ���� -27 ->C -C7 -9: -8A -88��� ���� -27 ->C -C2 -9: -8> -8F

>>

Page 25: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� C- ��6� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C K 7-�7������ "� &�� � � �$ � � �1�= ��� ������ ���� � �-

4�5 � � ���

� �7-87 �7-C7 7-7 7-C7 7-87

�� -7BF -7C7 -7C7 -7CA -792-78: -78: -788 -27A -2AA

��� -7B8 -7B8 -7BF -7C7 -7C8-78F -788 -277 -277 -229

���� -7BC -7B9 -7B: -7B9 -7B8-787 -78> -78A -782 -78F

��� -7C: -7BF -7BC -7A8 -7>9-22> -78F -78A -7FB -7C8

�� -7C> -7C> -7C2 -7CA -7C:-27> -27C -27B -27A -27:

��� -7B8 -7C7 -7BF -7B8 -7CB-788 -272 -27> -27> -27C

��� ��� -7A: -7BF -7B8 -7C> -7C8-799 -788 -27> -27B -22>

���� ��� -7BF -7C2 -7C2 -7CA -7C9-78: -27B -27B -27B -227

��� ��� -7BA -7B9 -7BC -7A8 -7>:-7F8 -78: -78A -7FC -7C8

��� ���� -7>: -7B> -7B: -7C7 -7C9-7:> -787 -78F -27> -22>

���� ���� -7BC -7C7 -7B8 -7C7 -7C9-78C -272 -27A -27B -22A

��� ���� -7C9 -7C2 -7BC -7A9 -72F-22> -27> -78C -7F2 -7BB

>A

Page 26: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

4*5 � � ����

� �7-87 �7-C7 7-7 7-C7 7-87

�� -7B8 -7C7 -7B8 -7C7 -7:7-788 -788 -789 -277 -22:

��� -7BF -7C7 -7BF -7BF -7B8-789 -277 -277 -272 -27A

���� -7B9 -7BF -7BF -7BC -7B:-78C -78: -78B -78A -78A

��� -7CC -7B8 -7BC -7B2 -7>F-27: -78F -78B -7FA -7:2

�� -7C2 -7C2 -7B8 -7C7 -7C7-27> -272 -272 -27> -277

��� -7C2 -7C> -7B8 -7B8 -7C7-27> -27> -27> -272 -272

��� ��� -7A: -7BF -7BF -7BF -7B8-798 -78F -277 -27> -27>

���� ��� -7BF -7C2 -7B8 -7C7 -7C7-78F -277 -277 -277 -277

��� ��� -7B9 -7B8 -7BC -7B2 -7>F-78C -789 -78B -7FB -7:2

��� ���� -7>8 -7BC -7B: -7B9 -7B9-7:C -7FF -78C -788 -789

���� ���� -7BF -7C7 -7C7 -7B8 -7C2-788 -277 -272 -272 -27A

��� ���� -7CB -7C7 -7B: -7B7 -7>>-279 -277 -789 -7F: -7C>

����= � ��"� "��� �((�� � ��$ �& !�� �'� �� -7C������ ��&� � ) ��+�� � ��$�& !�� �'� �� -27������ ��&�-

>B

Page 27: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� :- ��6� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C K 7-�7������ �� ��� ��� ) � � �1�= ��� ������ ���� � �-

4�5 � � ���

� �7-87 �7-C7 7-7 7-C7 7-87

�� -7B8 -7C7 -7C2 -7CC -7:C-789 -788 -27A -27F -2>9

��� -7AF -7B9 -7C7 -7C2 -7C8-7F> -78: -277 -27> -229

���� -7A: -7BB -7B: -7B8 -7CC-79B -78C -78: -788 -22A

��� -7B9 -7BC -7B> -7AC -729-78F -78> -7FB -792 -7A9

�� -7C2 -7CA -7CB -7CB -7CA-27B -27: -27C -27C -27A

��� -7B8 -7B8 -7C2 -7C7 -7C7-78F -272 -272 -788 -78F

��� ��� -7>> -7BA -7C7 -7CA -7C8-7C7 -787 -277 -27B -229

���� ��� -7>8 -7B9 -7C2 -7CA -7C8-7:C -789 -272 -27C -22A

��� ��� -7B8 -7B9 -7BB -7A: -72:-27> -78C -7F9 -79A -7A:

��� ���� -7>> -7A8 -7BC -7B8 -7C9-7B8 -7F> -78A -277 -222

���� ���� -7>8 -7BB -7B8 -7C2 -7CF-7:B -78B -78F -277 -22B

��� ���� -7BF -7B9 -7B> -7>8 -77F-272 -78: -7FA -7CF -728

>C

Page 28: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

4*5 � � ����

� �7-87 �7-C7 7-7 7-C7 7-87

�� -7C7 -7C7 -7C2 -7CA -7:7-78F -788 -27A -27: -2>7

��� -7BA -7B8 -7C> -7CA -7CA-782 -78F -788 -272 -27C

���� -7B2 -7B9 -7C7 -7C> -7CC-7F: -78F -27> -27B -227

��� -7B8 -7B9 -7BC -7A9 -72F-272 -78: -782 -798 -7B7

�� -7C7 -7C2 -7CB -7CA -7C7-27> -27> -27B -27: -272

��� -7B8 -7B8 -7C> -7C> -7B8-78F -788 -272 -27> -788

��� ��� -7>9 -7BC -7C2 -7CA -7CA-7:> -78> -788 -27A -27:

���� ��� -7A: -7BF -7CA -7CA -7C>-7F7 -78F -272 -27C -279

��� ��� -7C7 -7BF -7B: -7AF -72F-27> -78F -78A -7F7 -7A8

��� ���� -7>8 -7BC -7C2 -7CA -7C2-7:B -78> -788 -272 -27>

���� ���� -7A: -7B9 -7C> -7CA -7CA-798 -789 -277 -27B -27F

��� ���� -7C7 -7B9 -7B: -7AB -722-272 -78: -787 -79A -7>:

��� ��� �� ��*�� C-

>:

Page 29: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� 9- ��+�� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C������ "� &�� � � �$ � � �1�=��� ������ � �-

� � �� � � ���

� -87 -F7 -97 -:7 -87 -F7 -97 -:7

�� -78 -2C ->: -B2 -2B -A9 -:8 -82��� -22 ->> -A8 -C8 ->2 -C> -F> -8C���� -78 -29 -A7 -B9 -2: -BA -9C -8B��� -79 -2: -AA -CB -2B -B9 -F> -89�� -2> ->A -B7 -:7 ->2 -CB -F: -8F��� -22 ->> -AF -CF ->2 -CA -FC -8F

��� ��� -2> ->A -B7 -C8 ->7 -C2 -F7 -8B���� ��� -2> ->A -B7 -:7 ->2 -CB -F: -8F��� ��� -79 -29 -AA -CB -2C -B9 -F> -89

��� ���� -22 ->> -A8 -C8 ->2 -C> -F2 -8B���� ���� -22 ->> -AF -CF ->7 -CA -FC -8F��� ���� -7C -2C -A> -CB -2A -B: -F> -89

��*�� F- ��+�� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C������ �� ��� ��� ) � � �1�= ��� ������ � �-

� � �� � � ���

� -87 -F7 -:7 -B7 -87 -F7 -97 -:7

�� -79 -27 ->B -CB -27 ->> -B: -9B��� -79 -22 -A7 -:A -22 ->8 -C: -F7���� -79 -27 ->8 -:A -22 ->F -C: -FA��� -7A -7: ->B -:7 -7C ->7 -B8 -98�� -79 -22 -A> -:9 -22 ->8 -CF -FC��� -79 -22 -A2 -:C -22 ->F -C9 -FB

��� ��� -7F -22 -A2 -:A -22 ->8 -C: -F7���� ��� -7F -2> -A> -:: -22 ->8 -CF -FB��� ��� -7A -7: ->B -:2 -7C ->7 -B8 -98

��� ���� -79 -22 -A7 -:2 -22 ->F -CC -98���� ���� -79 -22 -A7 -:C -22 ->8 -C9 -FB��� ���� -7> -7C ->> -:7 -7B -2F -B9 -98

>9

Page 30: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� 8- ��6� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C������ � � �1�= ��� ���� � �-

"� &�� � �� ��� ��� )

� � �� � � ��� � � �� � � ���

�� -7BC -7B9 -7B2 -7BC��� -7A9 -7BA -7A7 -7BA���� -7>8 -7AF -7>B -7A9��� -7>9 -7AC -72F -7>:�� -7C2 -7B8 -7BF -7C7��� -7B> -7B: -7B7 -7BA

��� ��� -7BA -7B> -7A2 -7B2���� ��� -7B8 -7B9 -7AC -7BA��� ��� -7>8 -7AC -7>7 -7>9

��� ���� -7>8 -7A: -7>> -7A9���� ���� -7A8 -7BA -7>: -7AF��� ���� -7>: -7AC -778 -7>>

��*�� 27- ��6� �! ��&�& �� �'� �� 7-7C������ �&� � �&$'(����" "����"�������& � � �1�= ��� ���� � �-

"� &�� � �� ��� ��� )

� � �� � � ��� � � �� � � ���

�� -7CA -7C2 -7:> -7CA��� -2AA -787 -7F9 -7:9���� -7CF -7CC -7:8 -7C:��� -7BC -7B9 -7B> -7B2�� -7CC -7CA -79> -7:7��� -7C7 -7C7 -7C8 -7CB

��� ��� -788 -7F> -7F: -7:9���� ��� -7CB -7CA -7:8 -7CF��� ��� -7B9 -7BF -7BC -7B>

��� ���� -298 -2B2 -27: -79C���� ���� -7CA -7C> -7:9 -7CF��� ���� -7BC -7B9 -7B> -7BA

>F

Page 31: Discussion Papers in Economics EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS … · 2016-11-19 · EXAMINATION OF SOME MORE POWERFUL MODIFICATIONS OF THE DICKEY-FULLER TEST by Stephen

��*�� 22- ��6� �! ��&�& �� �'� �� 7-7CK7-27 ����� "� &�� � � �$ � ��1�= ��� ���� � �

!�� � � ��'�� � ������ & �/ � � ���

� ������ )�&���*���� ,����� � �

��'� �� &�6� -7C7 -277 -7C7 -277

�� -7B> -7F9 -7C7 -7F8��� -7BC -78B -7BB -78:���� -7BB -7F9 -7C2 -7FC��� -7BA -78> -7BB -78>�� -7BA -78B -7BA -78F��� -7BA -78A -7BA -789

��� ��� -7BC -78B -7BB -78F���� ��� -7BC -78B -7BA -78F��� ��� -7BA -78> -7BB -78B

��� ���� -7BB -78A -7BB -78:���� ���� -7BB -78A -7BA -78F��� ���� -7BC -78C -7BA -277

>8