diseño cuadrado latino con aplicación a la ingenieria comercial

INDICE

RESUMEN

I.INTRODUCCION

II. Problema de Estudio

III. Marco teórico

IV. Marco Teórico Conceptual

4.1 Diseño Cuadrado Latino : DCL

a) Pasos Para Obtener Un Cuadrado Latino Aleatorizado

b) Modelo Lineal

c) Análisis De Varianza

d) Características

e) Ventajas Del Diseño De Cuadrados Latinos

f) Desventajas Del Diseño De Cuadrados Latinos

4.2 Niveles De Diseño

5 Aplicación A La Ingeniería Comercial

V. Glosario de términos

VI. Resultados y Conclusiones

BIBLIOGRAFIA

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RESUMEN

Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar

dos fuentes de variabilidad. En dichos diseños el número de niveles del factor

principal tiene que coincidir con el número de niveles de las dos variables de

bloque o factores secundarios y además hay que suponer que no existe

interacción entre ninguna pareja de factores.

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I.INTRODUCCION

Considera un solo factor con K niveles, pero con dos factores de bloqueo.

El nombre de cuadrado latino se deriva del hecho que el factor principal, y los dos de bloqueo deben tener igual número de niveles, y de que las letras latinas representan los niveles del factor principal, mientras que las filas y columnas los niveles de los factores de bloqueo.

II. Problema de Estudio

Este diseño se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio, donde las condiciones cambian entre planta y planta (una dirección) y de hoja a hoja por tamaño o posición en la misma planta (otra dirección).El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

III. Marco teórico

Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar dos fuentes de variabilidad. En dichos diseños el número de niveles del factor principal tiene que coincidir con el número de niveles de las dos variables de bloque o factores secundarios y además hay que suponer que no existe interacción entre ninguna pareja de factores.

Supongamos que el número de niveles de cada uno de los factores es K. El diseño en cuadrado latino utiliza K2 bloques, cada uno de estos bloques corresponde a una de las posibles combinaciones de niveles de los dos factores de control. En cada bloque se aplica un solo tratamiento de manera que cada tratamiento debe aparecer con cada uno de los niveles de los dos factores de control.

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IV. Marco Teórico Conceptual

4.1 DISEÑO CUADRADO LATINO : DCL

Un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos, en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila. Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasi grupos. Estos tienen su aplicación en el diseño de experimentos.El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler quién utilizó caracteres Latinos como símbolos .Un cuadrado latino se dice que está reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.

El diseño de cuadrados latinos tuvo sus orígenes en experimentos agrícolas, donde se tenían parcelas de terreno con gradientes de fertilidad en dos direcciones, tal como aparece en el siguiente gráfico.

En realidad este tipo de ensayos con dos gradientes de fertilidad son poco comunes, pero el uso de este diseño no se limita a esta situación, se ha utilizado en otras áreas diferentes a la agricultura, tales como la biología, estudio de mercados, procesos industriales, entre otros. Se debe tener en cuenta que un

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diseño de cuadrados latinos no requiere que las unidades experimentales estén distribuidas físicamente en un cuadrado como tal, de hecho, esta situación sólo se presenta en un caso como el de los dos gradientes de fertilidad mencionado anteriormente.

A B C DB C D AC D A BD A B C

A un cuadrado latino como el anterior, donde las letras en la primera fila y la primera columna están organizadas alfabéticamente, se le llama cuadrado latino estándar. Importante: En este diseño, la asignación aleatoria de los tratamientos a las unidades experimentales, se hace a través de la aleatorización de un cuadrado del tamaño t*t requerido, veamos los pasos recomendados:

a) Pasos Para Obtener Un Cuadrado Latino Aleatorizado

1. Partir de un cuadrado latino estándar del tamaño requerido: Supongamos que necesitamos un cuadrado 4*4 y arbitrariamente hemos seleccionado el planteado anteriormente, donde se observa el orden alfabético de las letras en la primera fila y la primera columna.

2. Aleatorizar todas las columnas del cuadrado elegido: Para este efecto existen tablas de permutaciones o simplemente se elige un orden aleatorio (con ayuda de la calculadora o de tablas de números aleatorios) de las “t” columnas; para este caso, con ayuda de la calculadora se encontraron los valores: 1,3,4.

A C D BB D A CC A B DD B C A

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3 Aleatorizar todas las filas del cuadrado encontrado: Nuevamente, con ayuda de la calculadora, el orden aleatorio encontrado fue: 3, 4, 1.

C A B DD B C AA C D BB D A C

b) Modelo Lineal

En este caso el modelo sería: Yijk = µ + τi + fj + ck + εijk Donde: Yijk Es la lectura del tratamiento i-ésimo en la fila j-esima y en la k-ésima columna.µ es el promedio poblacional de la variable respuesta τi es el efecto del tratamiento “i”, con i = 1,2,.....,t fj es el efecto de la fila ‘j”, con j = 1,2,.....,tck es el efecto de la columna “k”, con k = 1,2,.....,t εijk es el error asociado con la lectura del i-ésimo tratamiento en la fila j-esima y en la k-ésima columna.

c) Análisis De Varianza

Para realizar el análisis de varianza se requieren los siguientes términos: Y... = ∑∑ Yijk = Gran total Yi.. = Total del tratamiento “i” Y.j. = ∑ Yijk = Total de la fila “j” Y..k = ∑ Yijk = Total de la columna “k” Tabla de Anova

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Donde : F de V : Fuente de Variación GL : Grados de libertad t : Número de tratamientos = Número de filas = Número de columnas TC : Término de corrección = Y2... / t2 Nota 1: Así como en el diseño de bloques al azar, el efecto de los bloques no se evaluaba, en el diseño de cuadrados latinos, los efectos de filas y columnas tampoco se evalúan, pues por diseño se espera que existan diferencias entre ellas. Nota 2: Los grados de libertad del error también se pueden calcular como la diferencia entre los grados de libertad totales y los grados de libertad de las otras fuentes de variación (tratamiento, filas y columnas).

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d) Características

1. Las Unidades experimentales se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.

2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.

3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.

4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.

5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental.

e) Ventajas Del Diseño De Cuadrados Latinos

• Si se conocen dos fuentes de variabilidad de las unidades experimentales y se puede hacer un “bloqueo” en dos direcciones, se va a poder hacer una comparación más precisa de los tratamientos (se tiene más potencia) pues la variación debida a las filas y las columnas es removida del error experimental. • Es fácil de analizar, comparado con el diseño de bloques al azar, sólo se requiere de una suma de cuadrados adicional. • Cuando se tienen cuadrados pequeños (lo que implica pocos grados de libertad para el error experimental) se pueden utilizar varios de estos cuadrados de poco tamaño y realizar un análisis combinado de los mismos en algo que se llama cuadrados latinos repetidos.

f) Desventajas Del Diseño De Cuadrados Latinos

• El número de tratamientos, filas y columnas debe ser igual, a veces es difícil encontrar unidades experimentales que permitan armar los bloques homogéneos en las dos direcciones, más aún, si el número de tratamientos es grande.

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• Los diseños pequeños tienen pocos grados de libertad para la estimación del error experimental y a medida que el tamaño del diseño aumenta, es posible que no se tenga homogeneidad al interior de cada bloque. • No es un diseño adecuado si existe interacción entre los efectos de fila, columna y tratamientos.

4.2 NIVELES DE DISEÑO

En este caso las observaciones vienen dispuestos también en una forma matricial cuadrara de dimensión kxk, donde las filas representan los niveles del primer factor de bloqueo, las columnas los niveles del segundo factor de bloqueo y las letras latinas los niveles del factor principal.

Supuestos En Un Diseño De Cuadrados Latinos

Para que el análisis de varianza en un diseño de cuadrados latinos Tenga validez, deben cumplirse los mismos supuestos mencionados para el diseño de bloques al azar: Normalidad, Homocedasticidad e Independencia; adicionalmente debe cumplirse el supuesto de aditividad entre filas, columnas y tratamientos, es decir, no debe haber interacción entre los mismos.

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5 APLICACIÓN A LA INGENIERÍA COMERCIAL

En la Universidad Nacional JBG los alumnos de ingeniería comercial de 3° año desean estudiar cajas : c1: Arequipa ;c2: Tacna;c3: Piura ;c4: Moquequa que funcionan en la ciudad de Tacna en la aceptación de más pequeñas y medianas empresas. Para ello se observa el número de créditos que otorgan a los microempresarios. Se considera que el factor préstamo (dinero) de las mypes y el factor capital también puede influir en su aprobación de créditos, por ello se controlan estos factores y se consideran cuatro niveles de préstamo (e1, e2, e3 y e4) y cuatro de capital (p1, p2, p3 y p4). Los resultados del experimento diseñado según la técnica del cuadrado latino son los de la tabla adjunta.

E1 E2 E3 E4P1 10 :C1 9'5: C2 7: C4 11'5: C3P2 8: C2 10 C1 8'5: C3 9: C4P3 7: C3 6'5: C4 7: C1 8: C2P4 6: C4 5: C3 6: C2 9: C1

APLICACIÓN EN STATGRAPHICS

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SELECCIONAMOS LA OPCION DDE /PROCEDIMEITOS DE DATOS/ANALIZAR DISEÑO

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EJEMPLO 2

Cuatro operarios distintos 1,2,3 y 4 en cuatro máquinas I , II ,III y VI reciben cuatro

marcas diferentes A ;B;C y D de una materia prima ,y se registra en cada caso el

tiempo que tardan en elaborar una cierta pieza.

El experimento se diseña con un arreglo en forma de cuadrado latino, y los

resultados obtenidos fueron:

A un nivel de significación del 5% ,obtenga conclusiones del experimento.

Solución:

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Fuente SS DF MS F p-valorMAQUINA 14 3 4.67 1.47 -313MATERIAL 56.5 3 18.83 5.59 -31OPERARIO 9.5 3 3.17 1 -455ERROR 19 6 3.17Total 99 15 6.6

Se ha tomado una muestra al azar de tres tipos de alambres de acero de alta

tensión ,y se ha metido su resistencia a la tracción en ciento de libras,

encontrándose los siguientes resultados.

ACERO 1 ACERO 2 ACERO 329 36 2436 17 1837 19 2036 21 2436 26 2535 29 2839 27 3138 21 3440 32 3023 33 22

A un nivel de significación del 5% ,analice si existe una diferencia significativa

entre los tres tipos de almabres,y recomiende el mejor tipo de alambre

Con cuatro tipos de cables T1 , T2 , T3 y T4 se fabrica cada vez usando un solo de

ellos una pieza ,la cual es recubierta luego con uno de cuatro materiales M1 , M2 , M3

y M4..Cuatro operarios (A,B,C Y D) ejecutan el ensamblaje usando cuatro maquinas

distintas (α ,β ,Y ,δ ¿ y finalmente se mide la tensión a la ruptura de estas

piezas ,obteniendo los valores que indica el cuadrado greco latino de la tabla a

continuación.

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a) Obtenga las conclusiones del experimento.

b) Obtenga un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre las

resistencias medias dadas por los materiales M1 y M3.

Solución:

Fuente SS DF MS F p-valorMAQUINA 3 2066,19 688,73 6,89 0,0074MATERIAL 3 4326,19 1442,06 14,44 0,027OPERARIO 3 120,69 40,23 0,40 0,763ERROR 3 66,69 22,23 0,22 0,876Total 15 6879,44 99,90

Se examinan tres marcas de automóviles para averiguar su consumo de gasolina.

Cada marca de automóvil es conducida por tres tipos diferentes de conductor ,y se

registra en cada caso el número de millas por galón obtenidas. Los resultados se

presentan a continuación:

Conducto 1 Conducto 2 Conducto 3Automóvil 1 19 18 17Automóvil 2 21 22 20Automóvil 3 18 16 17

a) ¿Existe diferencia significativa en el consumo de gasolina ,obtenido por los tres

tipos de vehículos?

b) ¿Existe diferencia significativa en el consumo de gasolina ,obtenido por los tres

tipos de conductores?

Use el nivel de significación del 5% en ambos casos

Solución

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En un estudio, se observó el tiempo empleado por 3 operarios, en ejecutar una

cierta operación, en tres máquinas diferentes .Se tomaron cuatro observaciones

para cada operario en cada máquina, encontrándose los siguientes resultados.

Obtenga las conclusiones de este experimento

Solución:

Fuente SS DF MS FMAQUINA 0,004 2 0,002 0,18MATERIAL 0,463 2 0,231 1,962OPERARIO 0,034 4 0,009 0,073ERROR 3,2 27 0,119Total 3,701 35

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V. GLOSARIO DE TÉRMINOS

Variable de respuesta: Variable cuantitativa continua, objetivo del experimento.

Factores: Variables controlables, cualitativas o cuantitativas, que pueden ser

manipuladas o colocadas en diferentes estados.

Nivel del factor: Valores nominales que corresponden a los distintos estados en

los que puede encontrarse un factor.

Factores principales: Son aquellos cuya influencia sobre las variables de

respuesta se quiere medir con el experimento.

Factores de bloqueo: Son aquellos factores secundarios, o de estorbo, que

pueden perturbar a las variables de respuesta, y que pueden ser fijados también

en distintos niveles para medir su influencia.

Tratamiento: Cada una de las combinaciones de niveles de los distintos factores

principales.

Unidad experimental: Objeto sobre la cual se va a realizar la medición de las

variables de respuesta, después a aplicar un tratamiento dado.

VI. RESULTADOS Y CONCLUSIONES

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Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar

dos fuentes de variabilidad.

Las Unidades experimentales se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de

homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra

forma.

El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.

Es fácil de analizar, comparado con el diseño de bloques al azar, sólo se requiere

de una suma de cuadrados adicional.

BIBLIOGRAFIA

Guía de Diseño Experimentos –Ing. Angel Francisco Arvelo L.

García Leal, J. & Lara Porras, A.M. (1998). “Diseño Estadístico de

Experimentos.

http://www.ugr.es/~bioestad/guiaspss/practica7/ArchivosAdjuntos/Latinos.pdf

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000352/html/un7/cont_702-99.html

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