TEMA XX

Diseño de un grupo de sujetos

Diseño longitudinales de medidas repetidas. Estudio de las curvas de

crecimiento

Concepto

Los estudios longitudinales de medidas repetidas ofrecen la oportunidad de examinar los patrones individuales de cambio en función del tiempo y condiciones. Estos patrones aportan estimaciones de la tasa de cambio en función del tiempo, edad o condición, libres de la confusión de los efectos de cohortes u otros factores que varían entre individuos. ..//..

Al mismo tiempo, en esta clase de estudios se plantea, como objetivo, el análisis de los procesos de carácter madurativo y progresivo, así como los que son función del tiempo; es decir, el análisis de las curvas de crecimiento.

En el contexto de medidas repetidas, las observaciones se toman en ocasiones seleccionadas del continuo temporal subyacente. Los sujetos son observados en diferentes ocasiones y en cantidades discretas. ..//..

Entre los objetivos específicos del diseño longitudinal de medidas repetidas está el estudio del proceso que resulta del paso del tiempo y la identificación de algún patrón de tendencia en el tiempo.

Dado que este diseño se caracteriza por la combinación de la variable Sujetos y la variable Ocasiones de observación, es simbolizado por S x O (Sujetos x Ocasiones), y genera una matriz de datos factorial de doble entrada.

Matriz de datos y formato del diseño

Diseños longitudinales de medidas repetidas de un solo grupo y múltiples observaciones (1GMO)

Y11

Y21

Y31

.

.

.YNt

Y11

Y21

Y31

.

.

.YN1

Y12

Y22

Y32

.

.

.YN2

Sujetos O1 O2 ... Ot

123...N

...

...

...

...

...

...

totales: Medias:

Modelo de análisis

Análisis de la variancia de medidas repetidas o mixto (ANOVARM)

Yij = + i + j + ij

Modelo de análisis de la Variancia mixto (con variables fijas y aleatorias)

Yij = puntuación del sujeto i en la ocasión de observación jμ = la media global de la población o constante de ubicación arbitraria

i = el componente específico asociado al sujeto i y constante a lo largo de las observaciones

j = el efecto general de la ocasión j para todos los sujetos

ij = el componente de error específico asociado al sujeto i y a la ocasión j

Asunciones del anovarm

El término ij es independiente de i y los sujetos han sido muestreados de una población donde el componente (factor aleatorio) tiene una distribución independiente, definida por NID(0,²) Se asume, también, que el componente de error recoge los errores de muestreo y medida, tiene una distribución

NID(0,²) y que los niveles de O (factor de ocasiones) son fijos t j = 0 j=1

Supuesto sobre la matriz de covariancia

El modelo del anovarm, con un componente fijo y otro aleatorio, recibe el nombre de modelo mixto y asume, como restricción fundamental, que la matriz de covariancia de las medidas repetidas en la población, tenga el siguiente patrón

= ²11' + ²I

En la ecuación anterior, cada elemento de la diagonal principal es ² + ² y los elementos externos de la diagonal principal ; es decir, esta matriz (conocida por matriz de simétrica combinada) requiere que las covariancias sean iguales

-condición de uniformidad-. ..//..

Huynh y Feldt (1970) han demostrado que es condición suficiente, para la validez de la prueba F, la igualdad de las variancias de las diferencias entre las puntuaciones de un mismo sujeto (condición de esfericidad o circularidad).

Hipótesis a probar en el diseño

H0: 1 = 2 = ... = t

H0: 1 = 2 = ... = p = 0

HIPÓTESIS DE NULIDAD

La no existencia de efectos atribuibles al factor ocasiones.

Ejemplo práctico

Supóngase que un investigador elige un grupo de seis sujetos de una determinada población y les aplica una prueba de memoria de recuerdo. Para ello, pide a los individuos que restituyan la máxima cantidad de ítems de una lista de 50 palabras, de igual valor asociativo, leída en voz alta. ..//..

Durante los tres días siguientes, requiere de los sujetos que ejecuten una prueba de recuerdo sobre el material verbal.

Matriz de datos

MEDIAS

TOTALES

1

2

3

4

5

6

N. Sujeto TOTALESO4O3O2O1

22253038

690 132 150 180 228

126

122

105

109

102

126

24

25

20

21

17

25

28

27

23

24

21

27

33

31

27

28

27

34

41

39

35

36

37

40

OBSERVACIONES

DISEÑO LONGITUDINAL DE MÚLTIPLES OBSERVACIONES (1GMO)

Pruebas del supuesto del modelo estadístico

Supuesto de homogeneidad y simetría (uniformidad) de las variancias y covariancias (Box, 1950)

Prueba de circularidad (Mauchley, 1940)

PRUEBA DE ESFERICIDAD DE MAUCHLEY (1940)

Procedimiento de cinco pasos

Se trata de probar el presupuesto de esfericidad de la matriz de variancia-covariancia del diseño. Es decir si:

C*’C* = IDonde C es una matriz de transformación ortogonalizada que representa la hipótesis de nulidad global.1. Definimos, en primer lugar, la hipótesis de nulidad de la variable Ocasiones (simbolizada por O); bajo el supuesto de cuatro medidas repetidas es:

H0: .1 = .2 = .3 = .4 ..//..

Esta hipótesis puede ser especificada en términos de las siguientes funciones lineales:

H0: .1 – .2 = 0

.3 – .4 = 0

(.1 + .2) /2 - (.3 + .4) /2

..//..

2. Se expresan dichas funciones lineales en términos de álgebra matricial:

1 -1 0 0 .1 0

0 0 1 -1 .2 = 0

0.5 0.5 -0.5 -0.5 .3 0

.4 0

C’ x = 0

..//..

Se ortonomaliza la matriz C (se divide cada elemento de la matriz C por la raíz cuadrada de las sumas de los cuadrados de los valores de la columna a que pertenece y se simboliza esta matriz por C*). A continuación de se obtiene la transpuesta de C* (es decir, C*’).

..//..

3. Se calcula el determinante y la traza de la matriz siguiente:

C*’C*

..//..

4. Se calcula el valor de W y d:

|C*’C*|W = (p-1)

Traza (C*’C*)

(p – 1)

d = 1 – [(2p2 – 3p + 3) / 6 (n – 1) (p – 1)]

Donde p es la cantidad de ocasiones de observaciones y n la cantidad de sujetos de la muestra. ..//..

5. Se obtiene una aproximación de la chi-cuadrado mediante la siguiente transformación

2 = –(n – 1)d ln(W)

Donde ln es el logaritmo natural y el valor de la aproximación chi-cuadrado tiene los siguientes grados de libertad:

g.l. = p(p – 1)/2 – 1

Al inferirse la hipótesis de nulidad se concluye que la matriz de variancia-covariancia del diseño es esférica.

Resultados de las pruebas

Supuesto de homogeneidad del ejemplo

Uniformidad Circularidad

Box(1950) Mauchley (1940)

χo2 = 8.373 χo

2 = 0.2555

g.l.= [p2+p-4]/2 =8 g.l.=[p(p-1)/2]-1=5

χ20.95(8) =15.507 χ2

0.95(5) =11.07

A(H0) p>0.05

ANOVARM

Cálculo de las sumas de cuadrados

1. Suma de Cuadrados total:

SCT = Y2 – C

2. Suma de Cuadrados de la constante, C:

(Y)2 SCC =

N

3. Suma de Cuadrados entre Sujetos:

SCS = (Y1.2/p + ... Yn. 2/p) – (Y)2/N

4. Suma de Cuadrados entre ocasiones:

SCO = (Y.12/n + ... Y.p 2/n) – (Y)2/N

5. Suma de Cuadrados sujetos por ocasiones (término de error)

SCSxO = SCT – SCC – SCS – SCO

ANALISIS DE LA VARIANCIA

F.V. SC g.l. CM F

S SCS n-1

O SCO p-1 SCO CMO

p-1 CM SxO

SxO (error) SCSxO (n-1)(p-1) SCSxO

(n-1)(p-1)

Total SC T np-1

MEDIAS

TOTALES

1

2

3

4

5

6

N. Sujeto TOTALESO4O3O2O1

22253038

690 132 150 180 228

126

122

105

109

102

126

24

25

20

21

17

25

28

27

23

24

21

27

33

31

27

28

27

34

41

39

35

36

37

40

OBSERVACIONES

DISEÑO LONGITUDINAL DE MÚLTIPLES OBSERVACIONES (1GMO)

Cálculo de las Sumas de cuadrados

SCtotal = 412 + 392 + ... + 172 + 252 – C = 20884.0

– 19837.5 = 1046.5

SCconstante = (690)2/24 = 19837.5

SCsuj. = 1262/4 + 1222/4 + ... + 1262/4 – (690)2/24

= 149.0

SCocas. = 2282/6 + 1802/6 + ... + 1322/6 – (690)2/24

= 880.5

SCsxo = 1046.5 – 880.5 – 149 = 17.0

CUADRO RESUMEN DEL ANOVA (1GMO)

F0.95(5/15) = 2.9; F0.95(3/15) = 3.29

np-1=23 1046.5Total

<0.05

<0.05

26.37

259.7

29.8

293.5

1.13

(n-1)=5

(p-1)=3

(n-1)(p-1)=15

149

880.5

17

Sujetos (S)Ocasiones (O)

SxO (error)

pFCMg.lSCF.V.

F.V. SCOcasiones

Lineal 1 SC(C1) = nu12

Cuadrado 1 SC(C2) = nu22

Cúbico 1 SC(C3) = nu32

(p – 1) 1 SC(Cp-1) = nut-12

Sumas de cuadrados de los componentes de tendencia

g.l.

Coeficientes polinómicos ortogonales

Coeficientes polinómicos estimados.

Constante 57.5

Lineal -11.8512

Cuadrático 2.5

Cúbico -0.2237

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA ORTOGONAL DE LA SC DE OCASIONES

3880.5Ocasiones

F0.95(1/15) = 4.54

1.1315 17SxO (error)

<0.05

<0.05

>0.05

745.75

33.18

0.26

842.7

37.5

0.3

1

1

1

842.7

37.5

0.3

Lineal

Cuadrático

Cúbico

pFCMg.lSCF.V.

Si se cumple el modelo mixto ----- ANOVA

F conservadora

F ajustada

MANOVA

Si no se cumple

Análisis de datos del diseño

ALTERNATIVAS DE ANALISIS DEL DISEÑO

SCO

SC SxO

[1/(p – 1)](p – 1) = 1

[1/(p – 1)](p – 1)(n – 1) = n – 1

F conservadora: Se modifican los grados de libertad para entrar en la tabla teórica del estadístico:

p – 1

(p – 1)(n – 1)

F.V. F normal F conservadora

F ajustada: Multiplicado los g.l. del numerador y denominador por la de Greenhouse y Geisser (1959)

F conservadora F normal

= 1/(p – 1) = 1

de Greenhouse y Geisser (1959)

= 0.546

F conservadora F normal

= 1/(p – 1) = 1

0.33 0.546 1

Límites de los valores de

Valores F y clase de prueba

Valores teóricos del estadístico F, según las distintas pruebas y un nivel de significación de 0.05.

Clase de prueba g.l. valor F

Normal 3/15 3.29Conservadora 1/5 6.61Ajustada 0.546(3)/0.546(15) = 1.638/8.19 5.01

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA DE LAS MEDIAS DE OCASIONES

2022242628303234363840

O1 O2 O3 O4

V.D.