INSTITUTO POLITCNICO NACIONALCENTRO DE INNOVACIN Y DESARROLLO

TECNOLGICO EN CMPUTO

DISEO PARAMTRICO DE MOTOR STIRLING

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:MAESTRA EN TECNOLOGA DE CMPUTO

PRESENTA:JORGE CARLOK SILVA

DIRECTORESDR. EDGAR ALFREDO PORTILLA FLORESDR. GERMN ARDUL MUOZ HERNNDEZ

MXICO, D.F., ENERO 2012

iRESUMENEl uso de las heursticas para la solucin de problemas de optimizacin conrestricciones es una alternativa til, adicional a las tcnicas clsicas. En general,las heursticas se aplican para la bsqueda de soluciones que puedanconsiderarse buenas a un costo computacional razonable, garantizando lafactibilidad y la eficiencia de las mismas. En trabajos recientes, Storm y Pricepropusieron una heurstica llamada Evolucin Diferencial (ED), mientras Kennedyy Eberhart presentaron una heurstica que denominaron Optimizacin MedianteCmulo de Partculas (Particle Swarm Optimization, PSO). A este respecto, eltrabajo realizado por otros autores para modificar dichos mtodos para eltratamiento de problemas de optimizacin con restricciones es relativamenteabundante, aunque hasta ahora no ha profundizado en el anlisis de problemasprcticos reales.

Por ello, en la presente tesis se propone una metodologa de rediseosobre los parmetros de un motor Stirling tipo Alpha, con base en un anlisiscinemtico del mismo, el cual se traduce a un problema de optimizacin quefinalmente se resuelve aplicando tres mtodos, los dos de tipo heursticos yamencionados, y un tercero utilizando la funcin fmincon, contenida en la bibliotecatoolbox de la aplicacin Matlab.

Finalmente, se realiz una comparacin entre los resultados obtenidos delos tres mtodos, enfatizando la comparacin sobre el desempeo de los mtodosheursticos.

ii

ABSTRACTThe use of heuristics for solving optimization problems with restrictions is a usefuloption, additional to classical techniques. Generally, heuristics are applied for thesearch of solutions that can be considered as acceptable, with a reasonablecomputational cost, and guarantying the feasibility and efficiency of them. Inrelated work on this subject, Storm and Price proposed a heuristic known asDifferential Evolution (DE), while Kennedy and Eberhart presented anotherheuristic, denominated as Particle Swarm Optimization (PSO.) In this sense, thereis an abundance of investigation that has been developed by other authors in orderto modify such methods for the treatment of optimization problems with restrictions,but this work hasnt deepened the analysis of real practical problems.

For that reason, this thesis proposes a redesign methodology, focused onthe parameters of a Alpha-type Stirling engine, and taking as a base a cinematicanalysis of that type of engine. This is translated in an optimization problem, whichis finally solved by means of three methods: the two heuristics techniquesmentioned earlier, and a third one using the fmincon function, included in thetoolbox library of the Matlab application.

Finally, a comparison of results obtained by the application of the threemethods is made, with special emphasis on the performance of the heuristictechniques.

iii

DEDICATORIAS

A mis paps, con cario, admiracin y respeto.Les agradezco todo lo que me han dado a lo largo de mi vida, desde un

buen regao a tiempo hasta ese amor que me es tan necesario, aun cuando no selos pido. Los amo y muchas gracias por disfrutar los xitos y sobre todo, porcompartir los fracasos, siempre juntos.Gracias Viejito, gracias Beb.

A mis hermanas Cynthia y Ma. Celia, pero sobre todo a Shunashi porquesera inconcebible esta vida sin ustedes; gracias por respetar mis decisionesaunque no estn de acuerdo, que este documento sirva para que se den cuentaque no hay imposibles, que si quieren les resultar lgico poder, recarguen pilas yterminen los proyectos que han empezado, vern que la recompensa es bastantereconfortante.

A mis tos Kenedy, Roberto y Marcos, porque nunca me dejaron solo enesta ciudad, porque las puertas de sus casas siempre estuvieron abiertas para m,pero sobre todo porque me hacen creer que he logrado algo extraordinario.

A mi esposa y a mi Beb, gracias por estar conmigo, por compartir estaaventura, por soar juntos, y por permitirme realizar esta meta que para m es muyimportante. Ahora con esta nueva herramienta que hemos logrado juntos lesprometo que hasta mi ltimo esfuerzo realizado ser para forjarnos un mejorfuturo, para que sean felices y no les falte nada. Las amo con todo m ser.Gracias Negrita, gracias por hacerme el hombre ms feliz.

iv

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores la oportunidad de trabajo que medio, por confiar en m, pero sobre todo por la amistad y comprensin que mebrind a lo largo de estos tres aos.

Al Dr. Germn Ardul Muoz Hernndez, por estar siempre dispuesto aenriquecer este proyecto, y porque a pesar de estar lejos, siempre estuvo alpendiente de la realizacin de este trabajo.

Al Dr. Gabriel Seplveda Cervantes, al Dr. Juan Carlos Herrera Lozada, alM. en C. Ever Jurez Guerra, al M. en C. Juan Carlos Gonzlez Robles y al M. enC. Eduardo Vega Alvarado, revisores y sinodales de esta tesis, ya que laenriquecieron con sus acertados comentarios y observaciones.

Es difcil incluso tratar de explicar lo importante que es tener a tu lado a unamigo; agradecer las experiencias compartidas es casi imposible, porque sondemasiadas, pero confo en que esto solo es el principio de una larga amistad ycamaradera. Gracias amigos y compaeros de aventura, Hctor ManuelMaldonado del Toro y Alexander Snchez Sibaja, por esto y muchas cosas ms.

A mi compadre Ricardo Pastrana Carmona, porque siempre me ha brindadouna amistad sincera y se ha preocupado por el bienestar de mi familia en miausencia, adems de ayudarme en la culminacin de estos estudios, graciascompadre.

Al Ing. Luis Alfredo Gordin Rivera, del Laboratorio Nacional de InformticaAvanzada (LANIA), por el trabajo que empe en la presente tesis, gracias porfortalecer la parte dbil de la misma.

A todo el personal administrativo del CIDETEC-IPN, por haberme apoyadosiempre en los trmites que realic dentro del Centro.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACyT) y a la Secretarade Investigacin y Posgrado (SIP) del IPN, por las becas otorgadas y darme laoportunidad de realizar mis estudios de maestra.

NDICE GENERALRESUMEN iABSTRACT iiDEDICATORIAS iiiAGRADECIMIENTOS iv

Captulo I. Introduccin1.1 Estado del arte .............................................................................................. 1

1.1.1. Diseo paramtrico......................................................................... 11.1.2. Algoritmos heursticos..................................................................... 21.1.3. Motor Stirling................................................................................... 2

1.2 Planteamiento del problema .......................................................................... 41.3 Objetivo ......................................................................................................... 41.4 Metas............................................................................................................. 41.5 Organizacin de la tesis ................................................................................ 4Captulo II. El motor Stirling2.1 Introduccin ................................................................................................... 62.2 Principio de funcionamiento........................................................................... 7

2.2.1. Ciclo termodinmico ....................................................................... 82.3 Tipos de motores Stirling ............................................................................... 9

2.3.1. Alpha............................................................................................... 92.3.2. Beta ............................................................................................... 102.3.3. Gamma .......................................................................................... 10

2.4 Seleccin de mecanismo a analizar ............................................................. 112.5 Anlisis Cinemtico ...................................................................................... 11Captulo III. Estrategias de Optimizacin3.1 Optimizacin................................................................................................. 20

3.1.1 Funcin Objetivo ............................................................................ 213.2.1 Restricciones de diseo................................................................. 213.3.1 Variables de diseo ....................................................................... 21

3.2 Mtodos de solucin..................................................................................... 223.2.1. Evolucin diferencial ...................................................................... 22

3.2.1.1. Descripcin del algoritmo de evolucin diferencial .... 233.2.2. Optimizacin mediante Cmulo de Partculas (PSO) .................... 27

3.2.2.1. Motivacin.................................................................. 273.2.2.2. Elementos de PSO .................................................... 28

Captulo IV. Simulacin numrica4.1 Planteamiento del problema de optimizacin ............................................... 324.2 Seleccin del mtodo de solucin ................................................................ 334.3 Resultados.................................................................................................... 34

4.3.1 Programacin clsica..................................................................... 344.3.2 Evolucin diferencial ...................................................................... 354.3.3 Optimizacin mediante cmulo de partculas (PSO)...................... 35

4.4 Comparacin ................................................................................................ 36

Captulo V. Conclusiones5.1 Conclusiones generales ............................................................................... 385.2 Trabajos a futuro........................................................................................... 38

Referencias.................................................................................................... 39Seccin de Anexos ..................................................................................... 42

NDICE DE FIGURASNo. deFigura Nombre de la Figura Pgina

2.1 Diagrama de las partes bsicas de un Motor Stirling 82.2 Funcionamiento del Motor Stirling 82.3 Ciclo termodinmico Stirling 92.4 Motor Stirling tipo Alpha 102.5 Motor Stirling tipo Beta 112.6 Motor Stirling tipo Gamma 112.7 Esquema bsico de un mecanismo manivela-biela-corredera 11

2.8 Punto mas alto y mas bajo alcanzado por el mecanismo-biela-corredera 13

2.9 Configuracin en V de un Motor Stirling 152.10 Comportamiento de y (Grficas obtenidas en Matlab). 162.11 Mecanismo de cuatro barras 172.12 Posicin de enclavamiento en cuatro barras (a) 182.13 Posicin de enclavamiento en cuatro barras (b) 18

3.1 Diagrama de la versin original de Evolucin Diferencial 23

3.2 Esquema del operador de mutacin del algoritmo de evolucindiferencial 25

3.3 Algoritmo original de Evolucin Diferencial 26

NDICE DE TABLASNo. deTabla Nombre de Tabla Pgina

3.1 Parmetros de PSO 28

4.1 Resultados obtenidos por fmincon 344.2 Resultados obtenidos por Evolucin Diferencial 344.3 Media de Evolucin Diferencial 344.4 Desviacin Estndar de Evolucin Diferencial 344.5 Resultados obtenidos por PSO 354.6 Media de PSO 354.7 Desviacin Estndar de PSO 35

4.8 Mejores valores obtenidos con las distintas tcnicas deoptimizacin 35

4.9 Peores valores obtenidos con tcnicas heursticas 354.10 Mediana de los valores obtenidos con tcnicas heursticas 36

4.11 Desviacin estndar de los valores obtenidos con tcnicasheursticas 36

1CAPTULO I. INTRODUCCIN1.1 ESTADO DEL ARTELa parametrizacin de sistemas mecnicos no es una novedad, sin embargo, la deun motor Stirling si lo es. De la investigacin realizada sobre el tema, no seencontraron artculos publicados en revistas indizadas, en los que el tema sea elfuncionamiento de dicho motor.

Por lo anterior, la investigacin realizada sobre el estado del arte se dividien tres partes, el Diseo paramtrico, Algoritmos heursticos y el Motor Stirling,temas que nos proporcionaron un panorama general sobre los trabajos que se hanllevado a cabo en relacin a la idea central de esta tesis.1.1.1 DISEO PARAMTRICOSe denomina diseo paramtrico a la resolucin del problema de asignar la mejorcombinacin de valores posible a todos los parmetros necesarios para describirel objeto de diseo [1], es decir, dado un problema informal de diseo, plantear yresolver un problema de cmputo que determinar los mejores valores de losparmetros del sistema.

Se utilizan diversos mtodos para resolver este tipo de problemascomputacionales. Muchos de ellos se basan en modelos matemticos, quedescriben la geometra y el comportamiento del objeto de diseo, algunos de ellosse describen a continuacin.

Por ejemplo Ahmed Jawad Qureshi et. al. en su artculo Parametric andRobust Design Using the Quantifier Notion, ha modelado matemticamente elproceso de un ensamble mecnico, el modelo toma en cuenta la influencia de lasdesviaciones geomtricas, as como los efectos que stas desviacionesgeomtricas tienen sobre las propiedades mecnicas del ensamble. Se desarrollun algoritmo en el que aplic un nuevo enfoque para el diseo robusto deconjuntos mecnicos, basado en el principio de los cuantificadores del QCSP(Quantified Constraint Satisfaction Problem), mismo que es una extensin del CSP(Constraint Satisfaction Problem). Adems, la capacidad de evaluar el impacto dela seleccin de materiales diferentes tambin se tiene en cuenta en el algoritmo[2].

Por otro lado J. Grimmer en su artculo Parametric mechanical design ofnew insertion devices at the APS encuentra una posible solucin al problema deinsertar nuevos dispositivos a la Fuente Avanzada de Fotones (APS por sus siglasen ingls, Advanced Photon Source) del Laboratorio Nacional Argonne en los

2Estados Unidos, Grimmer desarrolla un modelo paramtrico, diseado paraminimizar el costo de fabricacin, montaje y ajuste de los precios. Esta familia dediseo incorpora un mtodo de bajo costo para la retencin de polo y el registro.Adems de que su construccin es modular [3].1.1.2 ALGORITMOS HEURSTICOSExisten muchos algoritmos de este tipo, sin embargo, mencionaremos solo dosque fueron utilizados en esta tesis, Evolucin Diferencial (ED) y OptimizacinMediante Cmulo de Partculas (PSO).

En [4], Chattopadhyay, S. Sanyal, S.K. y Chandra A., describen el diseo deun filtro FIR, utilizando el mtodo de optimizacin convexa, el rendimiento delmismo fue analizado comparando los datos obtenidos mediante la tcnica deEvolucin Diferencial; los resultados experimentales estn incluidos en estainvestigacin.

En [5], Portilla-Flores E.A., Mezura-Montes E., Alvarez-Gallegos J., Coello-Coello C.A. y Cruz-Villar C.A, nos presentan un trabajo sobre la aplicacin delAlgoritmo de Evolucin Diferencial para la optimizacin de una transmisin devariacin continua, donde es modificado el algoritmo tradicional con el objetivo deaplicarlo a un problema multiobjetivo.

En [6], Liu Hong y Zhang Qishan exponen el algoritmo de clculo de vidatil para los productos mecnicos de General Motors Company, con el que elcosto de experimentacin se reduce, as como el tiempo de experimentacin.Utilizan PSO para la optimizacin de la precisin de prediccin; por ltimomuestran los resultados comparados con el programa de optimizacin anterior.

En [7], Qimin y Qili plantean un problema con restricciones que consiste enoptimizar un planetario reductor de velocidad, para resolverlo utilizan el algoritmoPSO que mejora la capacidad de carga reduciendo el volumen y peso de la pieza,aumentando de esa manera su eficiencia y la vida til del planetario. El modeloque describe el funcionamiento del planetario tiene 8 variables de diseo y 18restricciones y se utiliza el software Matlab para realizar esta optimizacin.1.1.3 MOTOR STIRLINGDesde hace algunos aos el motor Stirling se ha tomado como objeto de estudio[8]-[14], por las bondades que ste presenta, entre ellas la de alcanzar altaseficiencias energticas tericas [15]-[19], adems de convertir directamente laenerga calorfica en mecnica.

3Uno de los retos tecnolgicos a los que se enfrenta este tipo de motores esacercar las eficiencias energticas reales con las tericas, utilizando nuevosmateriales en su manufactura, tales como aceros inoxidables y aluminios, quereducen el desgaste y aumentan la conductividad trmica, por lo que se obtiene unmejor aprovechamiento energtico de los motores Stirling.

En [8] J. G. Lira y V. R. Agero proponen un motor Stirling de tipo beta parala generacin de energa elctrica o mecnica utilizando como fuente de calor elGLP, incluyen el modelo matemtico, el anlisis termodinmico y el cinemtico.

En [9] P. Kerdchang, M. Maungwin, S. Teekasap, J. Hirunlabh, J. Khedari yB. Zeghmati, hacen el anlisis numrico de un sistema de aeracin de agua, eneste sistema se utiliza un motor Stirling de tipo beta para bombear el agua decanales, lagos y estanques creando una circulacin del lquido, evitando as lacontaminacin del agua.

En [10] B. Kongtragool y S. Wongwises presentan una investigacinexperimental sobre el funcionamiento de un motor Stirling, motor de 2 cilindros enla configuracin Gamma. Dicho motor fue probado con un simulador solar(reflector) y variando la intensidad de calor se pudo observar como se reflejdirectamente en el torque. Tambin proponen en [11] un motor Stirling de tipogamma de cuatro cilindros, que fue probado con un simulador solar de cuatrointensidades solares distintas, y se observ que el torque del motor estdirectamente relacionado con la intensidad solar con la que se trabaja.

En [12] Y. Timoumi, I. Tlili y S. B. Nasrallah platican acerca de los motoresStirling prototipo GPU-3 de General Motors, proponen un modelo dinmicotomando en cuenta las perdidas trmicas para optimizar su funcionamiento ydiseo paramtrico del motor. Una vez optimizado y rediseado paramtricamenteel GPU-3 se logr aumentar 20% la potencia y 12% la eficiencia trmica del motor.

En [13] F. Nepveu, A. Ferriere y F. Bataille analizan termodinmicamente alconcentrador solar Euro Dish/Stirling que rene los rayos solares para proveercalor a la cmara caliente de un motor Stirling 161 de la marca "SOLO" ypresentan una solucin numrica a las ecuaciones diferenciales del sistema, quedescribe el comportamiento trmico del sistema.

En [14] J. H. Barn, L. Scollo, F. Hinrichs y R. D. Napoli describen laseleccin de paraboloides para una mejor captacin de la energa solar aplicado alos motores Stirling, es una publicacin de experiencias en la generacin deenerga elctrica en Argentina, proyecto desarrollado por la Universidad Nacionalde Cuyo.

41.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMAActualmente la literatura acerca de los motores Stirling est ms orientada a lasaplicaciones en que ste se emplea, que a su funcionamiento.

Existen anlisis de los concentradores solares que proporcionan al motor sufuente de calor, as como de la resistencia de los materiales aplicados en lamanufactura de los componentes del motor, etctera. Sin embargo, no se haencontrado literatura respecto a los parmetros de funcionamiento ptimo delmotor.

Por lo que en sta investigacin se pretende plantear un problema de rediseoparamtrico de motor Stirling, considerando los parmetros para el ptimodesempeo del mismo. Dichos valores fueron obtenidos mediante laimplementacin de algoritmos heursticos para la optimizacin del sistema.1.3 OBJETIVO

Proponer un problema de rediseo paramtrico de un mecanismodenominado motor Stirling.

1.4 METAS Obtener el Modelo Cinemtico del mecanismo del motor Stirling a redisear. Simular el modelo cinemtico en Matlab. Establecer los parmetros de desempeo para el motor Stirling. Establecer como problema de optimizacin el rediseo paramtrico del motor. Proponer un algoritmo de solucin para el problema de optimizacin,

considerando tcnicas heursticas. Evaluar cuantitativamente los resultados obtenidos por los algoritmos de

solucin propuestos.1.5 ORGANIZACIN DE LA TESISEn el Captulo I se presenta la investigacin del estado del arte de laparametrizacin del motor Stirling, dividido en tres partes: investigacin sobre eldiseo paramtrico, aplicaciones de las tcnicas heursticas y por ltimo, lostrabajos realizados con el motor Stirling. As mismo se exponen el planteamientodel problema, las metas y el objetivo general de la tesis.

5El Captulo II explica los conceptos bsicos del motor Stirling, sufuncionamiento, el ciclo termodinmico mediante el cual se rige, etctera.Igualmente se presenta la historia del motor Stirling y su clasificacin; finalmentese propone un anlisis cinemtico del mecanismo analizado.

El Captulo III explica el concepto bsico de Optimizacin, as como ladefinicin de sus componentes. Tambin detalla las dos tcnicas de optimizacinutilizadas: Evolucin Diferencial y Optimizacin Mediante Cmulo de Partculas.

En el Captulo IV se exponen tanto el problema de optimizacin como losresultados obtenidos de las tcnicas de optimizacin antes mencionadas, mismosque sirvieron para realizar una comparacin.

Las conclusiones generales y propuesta de trabajos a futuro se presentanen el Captulo V.

6CAPITULO II. EL MOTOR STIRLING2.1 INTRODUCCINAunque la mayora de los autores describen el inicio de los motores Stirling con laimplementacin del ciclo cerrado regenerativo, que hicieron los hermanos Stirlingen el ao de 1816 [18]-[22], los orgenes de este tipo de mquinas se ubican en elao de 1699, cuando Guillaume Amontons aprovech la expansin del airecaliente para hacer girar un volante (slo un ao despus de la primera mquinade vapor).

Este tipo de mquinas fue evolucionando a la par de los motores de vapor,sin embargo, las mquinas de aire caliente debido a su seguridad fueronremplazando a los motores de vapor, ya que estos ltimos estallabanfrecuentemente por las altas presiones que se generan en las calderas, ademsdel alto grado de corrosin en el interior de las mismas a consecuencia de lasaltas temperaturas del agua.

Debido a los accidentes que se suscitaban, en el ao de 1759, Woodmodific la mquina de vapor de Newcomen para que funcionara con aire caliente.

Este tipo de maquinas de aire caliente siguieron trabajando en ciclo abiertohasta el ao de 1801, cuando Glazebrook introdujo el ciclo cerrado.

Finalmente, en el ao de 1816 los hermanos Robert y James Stirlingintrodujeron el ciclo cerrado regenerativo, desde entonces lo que ahoraconocemos como motores Stirling llevan su nombre [18]-[22].

Desde entonces los motores Stirling gozaron de un pequeo esplendor, yaque se utilizaron en diversas tareas, en su mayora relacionadas con el bombeo deagua y ventilacin de minas. Esplendor que durara unas cuantas dcadas, ya quepara el ao de 1876, August Otto invent el primer motor de cuatro tiempos decombustin interna, con mayor potencia, aunque menos eficiente en el clo detrabajo.

A partir de entonces, el motor Stirling se fue perdiendo poco a poco en elolvido, aunque era ms eficiente que el nuevo motor Otto, ste ltimo generabamayor potencia y su manufactura era mas barata [20], adems que en aquellapoca el petrleo era mucho ms barato que en la actualidad.

El motor Stirling estuvo fuera de la escena tecnolgica por ms de 60 aos,pero con el estallido de la Segunda Guerra Mundial en el ao de 1937, losgobiernos comenzaron a invertir en investigacin de nuevos materiales y en la

7implementacin de nuevas aplicaciones para la tecnologa que aunque obsoletaera sencilla de fabricar, adems de la versatilidad de uso.

Se descubri que una de las limitaciones del motor Stirling era el materialcon el que eran fabricados anteriormente, sufra demasiado desgaste en lascabezas de los pistones debido a las altas temperaturas alcanzadas en esospuntos. Este problema fue corregido con el uso de un nuevo material,recientemente llamado acero inoxidable [20], fue as como los motores Stirlingvolvieron a utilizarse, esta vez como generadores de energa elctrica en Bunkers.

En la dcada de los 40`s la compaa Phillips Electronics empez a invertirfuertes sumas de dinero en la investigacin de este motor, por las ventajas queposea, como la de sencillez de mecanismos, la utilizacin de varias fuentes deenerga para la generacin de calor, facilidad de operacin entre otras, sinembargo an no poda competir con los motores de combustin interna ya queestos ltimos eran ms econmicos, livianos y potentes.

En la dcada de los 80`s, la Agencia Americana para el DesarrolloInternacional (USAID) invirti mucho dinero para construir un motor Stirling sencilloy econmico, utilizado en pases en va de desarrollo, desafortunadamente elnico beneficiado fue Bangladesh [20].

Despus de ese intento fallido por parte de la USAID las investigaciones deeste tipo de motor se han orientado principalmente a la generacin de energaelctrica en el espacio y en yates de lujo, locomocin de submarinos, etctera [20].2.2 PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTOEl principio del funcionamiento de este tipo de motores se basa en la expansin ycontraccin de los gases sometidos a una diferencia de temperatura; en caso deenfriamiento, ste se contrae; en contraste, cuando es calentado, sufre unaexpansin volumtrica.

El motor Stirling como se puede observar en la figura 2.1 est compuestopor un fluido de trabajo, un punto frio para extraer el calor, un punto caliente paracalentar el fluido, dos mbolos, uno para desplazamiento del fluido de puntocaliente al frio y viceversa, y uno ms para realizar el trabajo.

8Figura 2.1. Diagrama de las partes bsicas de un Motor Stirling.El funcionamiento de un motor Stirling, prcticamente es la ejecucin de

cuatro procesos cclicos:1. Aporte de calor al fluido de trabajo por medio de la conveccin.2. Expansin del fluido de trabajo debido al calentamiento del mismo.3. Extraccin del calor al fluido de trabajo por medio del regenerador.4. La compresin del fluido de trabajo con extraccin de calor.

Estos cuatro procesos se interpretan en el siguiente diagrama, figura 2.2,donde adems se observa que el trabajo es obtenido por la compresin del fluido.

Figura 2.2. Funcionamiento del Motor Stirling

2.2.1 CICLO TERMODINMICOEl ciclo terico de Stirling consta de las 4 etapas mencionadas anteriormente: a)dos transformaciones isocoras, en las que el gas de trabajo pasa a travs de unregenerador absorbiendo o cediendo calor, y b) dos transformaciones isotermas,en las que el gas est en contacto con una fuente caliente o fra, a Tc y aTf respectivamente.

El ciclo termodinmico se muestra en la figura 2.3, que es un diagrama enel que se grafica la Presin contra el Volmen (P-V). Sus etapas son lassiguientes:

Tmx Tmn

Cmara de expansin Cmara de compresin

Regenerador

Expansin

EnfriamientoCalentamiento

Compresin

Regeneracin

Trabajo

9 1-2: Compresin isoterma del gas a la temperatura inferior, Tf. Durante esteproceso se cede al exterior una cantidad de calor Qf a la fuente fra.

2-3: Absorcin de calor a volumen constante. El gas absorbe delregenerador una cantidad de calor Qrg y aumenta su temperatura, lo queprovoca un aumento de presin.

3-4: Expansin isoterma del gas a alta temperatura, Tc. Durante esteproceso se absorbe una cantidad de calor Qc de la fuente caliente.

4-1: Cesin de una cantidad de calor Qrg al regenerador a volumenconstante, disminuyendo la temperatura del fluido.

Figura 2.3. Ciclo termodinmico Stirling.

2.3 TIPOS DE MOTORESLos motores Stirling se pueden clasificar de acuerdo a la posicin del desplazadory del pistn de potencia, principalmente existen tres tipos, Alpha, Beta y Gamma.Existen muchos otros tipos de motores, pero su diseo se deriva de alguno de lostres mencionados anteriormente.2.3.1 ALPHAEste tipo de motor consta de dos cilindros independientes conectados por un tuboen el que se localiza el regenerador, que almacena y cede calor. En cada uno delos cilindros hay un pistn que se mueve 90 grados desfasado respecto al otro,como se puede observar en la figura 2.4.

Uno de los cilindros se calienta y el otro se enfra mediante aletas o agua.El desfase entre los dos pistones hace que el aire pase de un cilindro a otrocalentndose, enfrindose y realizando el trabajo que permite el funcionamientodel motor [21].

10

Figura 2.4. Motor Stirling tipo Alpha.

2.3.2 BETAEsta configuracin es la del motor original de los hermanos Stirling, y consta de uncilindro, con una zona caliente y una fra. En el interior del cilindro est eldesplazador, cuya misin es pasar el aire de la zona fra a la caliente y viceversa.

Los motores grandes por lo general llevan un regenerador externo por elque debe pasar el aire en su camino de la zona fra a la caliente y viceversa. Elregenerador debe ser concntrico con el desplazador que est situado en el pistnde potencia. Mediante un cigeal especial el movimiento del pistn y eldesplazador estn desfasados 90, lo que permite que el motor funcione, en lafigura 2.5 se observa el diagrama general de este tipo de motor.

Desde el punto de vista termodinmico es el motor ms eficaz, sinembargo, su construccin es complicada debido a que el pistn debe de tener dosbielas y permitir el paso del vstago que mueve el desplazador [22].2.3.3 GAMMAEste motor es muy parecido al de tipo beta, pero ms sencillo de construir. Lo quediferencia al Beta y al Gamma, es que ste ltimo tiene el pistn de potencia y eldesplazador en diferentes cilindros, desfasados a 90. Los dos cilindros estnunidos por un cigeal, como se puede observar en la figura 2.6. Este tipo demotor es ms sencillo, pero su potencia y eficiencia es menor que las de tipo Beta.

11

Figura 2.5. Motor Stirling tipo Beta. Figura 2.6. Motor Stirling tipo Gamma.

2.4 SELECCIN DE MECANISMO A ANALIZAREl mecanismo a analizar ser un motor Stirling de tipo Alpha, debido a que sumanufactura es ms sencilla. En internet podemos encontrar planos para suconstruccin.2.5 ANLISIS CINEMTICOLa figura 2.7 muestra un sistema de compresin simple, compuesto por unamanivela, una biela y una corredera.

Figura 2.7. Esquema bsico de un mecanismo manivela-biela-corredera.

e

r

l

12

Tomando como base el dibujo mostrado en la figura 2.7, se calcula la alturacon la siguiente expresin:= ( ) + ( ) (1)

De la misma forma, se calcula el desplazamiento en el eje x, sin embargo,debido al desfasamiento entre el centro de la manivela y el desplazamiento delpistn, esta ecuacin puede ser escrita como una igualdad entre losdesplazamientos de la manivela ms el error y el desplazamiento de la biela:( ) = ( ) (2)

Con la finalidad de eliminar a de la ecuacin 2, elevamos al cuadradotoda la ecuacin como sigue:( ) = [ ( ) ] (3)Y con la ayuda de la siguiente identidad trigonomtrica( ) + ( ) = (4)Despejando, podemos obtener la relacin ( )( ) = ( ) (5)( ) = [ ( )] (6)( ) = [ ( )] (7)

Al sustituir la ecuacin (3) en la (7) tenemos la relacin ( ), escrita deotra manera: ( ) = [ [ ( ) ] ] (8)

Despus se sustituye la ecuacin (8) en la ecuacin (1) y tenemos laexpresin de la altura solo en funcin del ngulo , el error y el radio de lamanivela. = ( ) + [ [ ( ) ] ] (9)

Otra variable importante de calcular es el desplazamiento del pistn, que esigual a 2 solo para el caso en el que = 0. Sin embargo, como el error no escero, la figura 2.8 (a) y (b) muestra los casos en las que la manivela se encuentraen la posicin de mayor altura y la de menor altura.

13

Figura 2.8. Puntos ms alto y ms bajo alcanzado por el mecanismo manivela-biela-corredera.Para determinar la magnitud de la carrera del pistn, con la ayuda del

teorema de Pitgoras aplicado al tringulo rectngulo con puntos o, p y g quese forma en la figura 2.8. Por lo que la carrera del pistn est determinada por ladiferencia entre las distancias del punto muerto superior ( ) y el inferior ( );entonces: = (10)

Calculando, con la ayuda del teorema de Pitgoras tenemos que:( ) + = ( + ) (11)Despejando = ( + ) ( ) (12)Por lo tanto = ( + ) ( ) (13)De la misma manera se calcula , obteniendo la siguiente ecuacin= ( ) ( ) (14)

l+r l-r

o p

g

g

po

ee

(a) Punto Muerto Superior (b) Punto Muerto Inferior

14

Sustituyendo las ecuaciones (13) y (14) en la ecuacin (10), se obtiene:= ( + ) ( ) ( ) ( ) (15)Factorizando la ecuacin (15)

= + 1 1 (16)Normalizando con respecto a r

= + 1 1 (17)Se contina con el clculo de una nueva variable, la del volmen existente

entre la parte superior del cilindro y la posicin en la que se encuentre la cara delpistn, que se establece como la diferencia entre el desplazamiento de la altura

y la altura y multiplicado por el rea A de la base del cilindro:= (18)Al sustituir las ecuaciones (9) y (13) en (18), y al rea de la parte superior

del cilindro como = , donde D es el dimetro de la circunferencia de lacabeza del pistn, se obtiene:= ( + ) ( ) ( ) + [ [ ( ) ] ] (19)Despejando r se obtiene.

= + 1 ( ) + ( ) (20)Finalmente se puede expresar al volmen en funcin del ngulo de la

siguiente manera:( )[ ] = [( + 1) ( ) ] ( ) + [( ) [ ( ) ] ] (21)

Observando la figura 2.9 y con la ayuda de la ecuacin (21), podemosdeterminar los volmenes de las cmaras en momentos de expansin ycompresin.

15

Figura 2.9. Configuracin en V de un Motor Stirling.Entonces el volmen de compresin , y el de expansin se determinan

de la siguiente forma:( ) = [( + 1) ( ) ] ( ) + [( ) [ ( ) ] ]

(22)( ) = [( + 1) ( ) ] ( ) + [( ) [ ( ) ] ]

(23)En el Apndice 1 se encuentra el cdigo que se insert en el programa

Matlab para comprender mejor el comportamiento de los volmenes de lasecuaciones (22) y (23) los valores de los eslabones tomados al azar, peroconservando la relacin que debe de existir entre ellos. En la figura 2.10 semuestra el comportamiento de los volmenes de expansin y de compresin delmotor Stirling; y se observa que ste es el esperado ya que estn desfasados losciclos de expansin y comprensin sin perder la relacin que se debe mantenerentre ellos.

r

lc

C

eC

Dc

16

Figura 2.10. Comportamiento de y (Grficas obtenidas en Matlab).Sin embargo, para algunas configuraciones de motores Stirling los dos

cilindros se encuentran en una disposicin totalmente vertical, por lo que el nguloentre ellos es igual a cero ( = 0).

Se sabe que el eslabonamiento de cuatro barras es el mecanismoarticulado ms simple posible para el movimiento controlado de un grado delibertad, y que tambin aparece en diversas facetas, como el dispositivo demanivela-corredera y el de leva-seguidor [24]. A continuacin se mencionan lascondiciones de rotabilidad deducidas para el mecanismo plano de cuatro barrasque pueden emplearse en la determinacin de la capacidad de rotacin delmecanismo manivela-corredera.

Considerando el mecanismo mostrado en la figura 2.11, debemos recordarque un par prismtico es equivalente a un par de revoluta localizado en el infinito,en una direccin perpendicular a la direccin del movimiento relativo del parprismtico.

17

Figura 2.11 Mecanismo de cuatro barrasPor lo tanto, la longitud de los eslabones y del mecanismo manivela-

corredera estar dada por:= + y = (24)En donde > 0 . Con estos datos es posible analizar la capacidad de

rotacin de los eslabones y del mecanismo manivela-corredera.De la primera condicin de rotabilidad se tiene que:+ + (25)Sustituyendo los valores de (24) en (25) se obtiene:+ + + (26)Simplificando (27)Si la ecuacin (27) no se satisface, es decir que > , + > ,

el eslabn , la biela, son incapaces de rotar y presentan una posicin de puntosmuertos como se muestra en la figura 2.12.

Despejando la ecuacin (27), se obtiene la primera restriccin de diseo,misma que nos asegura evitar la posicin de enclavamiento descrita en la figura2.12. 0

18

Figura 2.12. Posicin de enclavamiento en cuatro barras (a).De la segunda condicin de rotabilidad, se tiene que:| | | | (28)Y sustituyendo los valores mostrados en (24) se obtiene:| (+ )| | | (29)Por lo tanto, se obtiene la siguiente ecuacin + (30)

Si la ecuacin (30) no se satisface, es decir, > + entonces eleslabn 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posicin de puntosmuertos como se muestra en la figura 2.13.

Figura 2.13. Posicin de enclavamiento en cuatro barras (b).

19

Despejando la ecuacin (30), se obtiene la segunda restriccin de diseo,misma que nos asegura evitar la posicin de enclavamiento descrita en la figura2.13. 0 +

El volmen de un motor Stirling con las disposiciones de sus cilindros enparalelo ( = 0) puede verse de la siguiente manera:= [ 4 ] [( + 1) ( ) ] ( ) + [( ) [ ( ) ] ]En donde:es una variable conocida como la posicin angular de la manivela (0-360),es el dimetro de las cilindros (m),es la longitud de la manivela (m),es la longitud de la biela (m), yes el desfase entre el centro de la corredera y el punto pivote de la manivela (m).

20

CAPTULO III. ESTRATEGIA DE OPTIMIZACIN3.1 OPTIMIZACINLa optimizacin se requiere cuando se pretende encontrar una solucin o conjuntode soluciones que maximice o minimice una cierta medida de calidad, conocidacomo funcin objetivo, para un problema dado.

Dentro de los conceptos ms destacados para el trmino Optimizacin, seencuentran los siguientes:

Proceso para encontrar la mejor solucin posible a un problema, bajocircunstancias especficas.

Mtodo matemtico para determinar los valores de las variables quehacen mximo el rendimiento de un proceso o un sistema.

Bsqueda de la mejor manera para realizar una actividad.Los mtodos de optimizacin normalmente involucran tcnicas de

programacin matemtica, las cuales son aplicables a problemas de toma dedecisiones, as como al establecimiento de las mejores soluciones posibles.

En matemticas, la optimizacin intenta dar respuesta a un tipo general deproblemas matemticos donde se desea elegir el mejor elemento entre unconjunto de valores. En su forma ms simple, el problema equivale a resolver unaecuacin del tipo: max( ) ( ) En donde:= ( ,.., ) es un vector y representa variables de decisin,( ) es llamada funcin objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones(usualmente nmeros enteros o reales), y es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.

En algunos casos es posible expresar al conjunto de restricciones comola solucin de un sistema de igualdades o desigualdades, tal como( , . . , ) 0( , . . , ) = 0

21

Entonces, un problema de optimizacin busca una decisin ptima paramaximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criteriodeterminado (costos, tiempo, riesgo, error, etc.), mientras que el conjunto derestricciones indican que no cualquier decisin es posible.3.1.1 FUNCIN OBJETIVOUno de los mayores problemas al que se enfrenta el ingeniero de diseo esproponer al menos una relacin matemtica que permita cuantificar el desempeodel sistema u objeto de inters. En general, definir una relacin matemtica paramedir el rendimiento o caracterstica de inters de un sistema es producto de unprofundo anlisis del mismo. La relacin matemtica se denomina entoncesfuncin objetivo y es aquella que se maximiza o minimiza segn sea el caso,cuando es evaluada con el conjunto de valores del vector ptimo de variables dediseo.

Debido a lo complejo que son los sistemas en la actualidad, su descripcinmatemtica para el proceso de diseo necesita ms de una funcin objetivo, esdecir, la descripcin adecuada de un sistema requiere de al menos dos funcionesobjetivo, las cuales generalmente tienen conflicto entre si, por lo que la estrategiaes establecer un problema de optimizacin multiobjetivo para el sistema.3.1.2 RESTRICCIONES DE DISEOEl conjunto de limitantes que se deben satisfacer para producir un diseoaceptable se denomina genricamente restricciones de diseo; aquellas queinciden en el comportamiento o el desempeo del sistema son denominadasrestricciones funcionales o de comportamiento, mientras que las querepresentan limitaciones fsicas tales como disponibilidad, facilidad de fabricaciny transportabilidad son las restricciones geomtricas.3.1.3 VARIABLES DE DISEOCualquier sistema en ingeniera est definido por un conjunto de cantidades, delas cuales algunas pueden verse como variables en el proceso de diseo.

Un aspecto importante es determinar el conjunto de variables de diseo(con el nmero mnimo de elementos) para obtener la informacin necesaria endicho proceso. En la mayora de los problemas de ingeniera, estas variables nopueden elegirse de manera arbitraria, ya que deben describir de manera completaal sistema u objeto de inters.

22

3.2 MTODOS DE SOLUCINSi bien existen muchas tcnicas de optimizacin, a continuacin se describennicamente los dos mtodos heursticos utilizados para solucionar el problemaque se propone en el siguiente capitulo. Ambos mtodos pertenecen a laclasificacin denominada Tcnicas Heursticas, que se emplean para resolver untipo de problema computacional general, usando los parmetros dados por elusuario sobre unos procedimientos genricos y abstractos de una manera que seespera eficiente. La etimologa de heurstica es la misma que la de la palabraeureka, cuya exclamacin se atribuye a Arqumedes en un episodio tan famosocomo ficticio. La palabra heurstica aparece en ms de una categora gramatical;cuando se usa como sustantivo, identifica al arte o la ciencia del descubrimiento,una disciplina susceptible de ser investigada formalmente. Cuando aparece comoadjetivo se refiere a cosas ms concretas, tales como estrategias heursticas,reglas heursticas o silogismos y conclusiones heursticas. Claro est que estosdos usos estn ntimamente relacionados, ya que la heurstica usualmentepropone estrategias que guan el descubrimiento.

Las heursticas generalmente se aplican a problemas que no tienen unalgoritmo especfico que proporcione una solucin satisfactoria, o bien, cuando noes posible implementar ese mtodo ptimo. La mayora de las heursticas tienencomo objetivo los problemas de optimizacin combinatoria, pero por supuesto, sepueden aplicar a cualquier problema que se pueda reformular en trminosheursticos.3.2.1 EVOLUCIN DIFERENCIALUno de los algoritmos evolutivos ms utilizados es el de Evolucin Diferencial, quefue creado por Rainer Storn y Kenneth Price para resolver el problema polinomialde Chebychev en 1994. Al ao siguiente dichos autores propusieron la EvolucinDiferencial en su artculo Diferential evolution - a simple and effcient adaptivescheme for global optimization over continuous spaces [25], para la optimizacinde funciones no lineales y no diferenciables sobre espacios continuos.

La Evolucin Diferencial es un mtodo de bsqueda directa y estocstica,que ha demostrado ser efectivo, eficiente y robusto [26] en una gran variedad deaplicaciones, como se desprende de los resultados en la investigacin del estadodel arte de la presente tesis.

La Evolucin Diferencial cuenta con un nmero de caractersticasimportantes, las cuales lo hacen atractivo para resolver problemas de optimizacinglobal, entre ellas se destacan las siguientes [27]:

23

Manejo de funciones objetivo no diferenciables Manejo de funciones objetivo no lineales Manejo de funciones objetivo multimodales Suele converger al ptimo Utiliza pocos parmetros de control

Evolucin Diferencial tambin pertenece a la clasificacin de AlgoritmosEvolutivos dado que se basa en poblaciones, adems de que emplea dosmecanismos evolutivos para la generacin de los descendientes: mutacin ycruza, y por ltimo, un mecanismo de reemplazo, el cual se aplica entre el vectorpadre y el vector hijo para determinar quien sobrevive en la siguiente generacin.3.2.1.1 DESCRIPCIN DEL ALGORITMO DE EVOLUCINDIFERENCIALEl algoritmo de evolucin diferencial maneja dos poblaciones diferentes dentro delproceso de optimizacin:

Poblacin primaria Poblacin secundaria

La primera almacena la poblacin actual, que a su vez se genera al iniciode manera aleatoria, mientras que la segunda almacena los individuos queresultan exitosos en el proceso de seleccin. La representacin grfica de ambaspoblaciones se muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1 Diagrama de la versin original de Evolucin Diferencial.

24

Matemticamente, una poblacin se expresa de la siguiente forma:= ( , , , , ) = 0,1, . . , 1 = 0,1, . . ,Donde representa a una poblacin, la cual est conformada por vectores, ; a cada uno de los vectores se le asigna un ndice , que va desde 0 hasta 1, es el nmero total de vectores en la poblacin y su valor no cambia

durante el proceso de optimizacin al igual que el nmero mximo degeneraciones , y representa la generacin a la cual pertenece el vector dela poblacin:

, = ( , , ,.., , , ) = 0,1, , 1Cada vector , contiene D-dimensiones, D es el nmero de variables de

decisin (parmetros) de la funcin objetivo del problema; las variables dedecisin son indizadas por j, y se representan mediante nmeros reales.

El valor de una variable de decisin inicial puede ser dado por la siguienteecuacin:

, , = (0,1) , , + ,Donde es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el

intervalo [0,1], , , son los limites inferiores y superiores de las variables dedecisin .

Como primer paso del algoritmo de Evolucin Diferencial, se generaaleatoriamente la poblacin inicial, donde los vectores estn uniformementedistribuidos en el espacio de bsqueda dentro de los lmites definidos.

Una vez iniciada la poblacin, Evolucin Diferencial utiliza la mutacin y larecombinacin para producir un solo vector hijo (trial) por cada vector de lapoblacin. Para la generacin del vector hijo se requiere primero llevar a cabo elproceso de mutacin, el cual consiste en:a) Seleccionar aleatoriamente tres vectores diferentes entre s ( , , , y, ).b) Restar dos de ellos ( , - , ) 0 1 2.c) Aplicar a la diferencia un peso dado por un factor F ( , , ).d) Por ltimo, sumar la diferencia escalada al tercer vector

25

De esta manera se crea un vector llamado vector de mutacin:, = , + ( , , )

La figura 3.2 muestra grficamente el proceso de mutacin.Los ndices 0, 1 y 2 son nmeros enteros elegidos al azar en el

rango [0, 1] diferentes entre s, 1 y 2 representan a los ndices devectores de diferencias, el factor escalar [0,1] es un nmero real positivo queescala el vector de diferencia y 0 es el ndice del vector base. La mutacin enEvolucin Diferencial es el principal mecanismo para generar nuevas direccionesde bsqueda.

Posteriormente, se hace la cruza o recombinacin entre el vector padre ,y el vector de mutacin , con el propsito de generar un vector hijo , . Esteproceso se hace de la siguiente manera:

, = ,

26

La cruza intercambia informacin entre los vectores participantes con elpropsito de buscar una mejor solucin en el espacio de bsqueda. Todos losvectores de la poblacin son seleccionados slo una vez como padre, sindepender del valor de la funcin objetivo (valor de aptitud). Despus de obtener elvector hijo, este se evala en la funcin objetivo del problema y se compara con elvector padre con base en su valor de la funcin objetivo; el mejor valor pasa aformar parte de la poblacin en la siguiente generacin. Si el vector padre todavaes mejor, se conserva en la siguiente generacin, como se observa en la siguientefrmula (asumiendo minimizacin).

, = , , ( , ),El proceso de mutacin, de recombinacin y de seleccin se repite hasta

alcanzar un criterio de terminacin especificado por el usuario, en este caso elnmero mximo de generaciones (iteraciones), . Evolucin Diferencialmaneja pocos parmetros de control, mismos que son especificados por elusuario, tales como: , , . En la figura 3.3 se muestra el algoritmooriginal de Evolucin Diferencial [28].

Figura 3.3. Algoritmo original de Evolucin Diferencial.

1 Generar aleatoriamente una poblacin inicial2 Evaluar cada individuo de la poblacin en ( , )3 do4 for( = 0; < ; + +) seleccionados aleatoriamente5 r0, r1, r2[0, 1] seleccionados aleatoriamente6 donde 0 1 2 7 [0, 1] seleccionada al azar8 for ( = 0; < ; + +)9 if ( ) or = then10 , , = , , + ( , , , , );11 else12 , , = , , ;13 end for14 if , ( , ) then15 , = , , ;16 else17 , = , , ;18 end for19 = + 1;20 while (criterio de terminacin)

27

3.2.2 OPTIMIZACIN MEDIANTE CMULO DE PARTCULAS (PSO)La optimizacin mediante Cmulo de Partculas es una heurstica desarrollada porKennedy y Eberhart en 1995 [29], la cual ha sido utilizada para resolver problemasde optimizacin, denominada PSO por sus siglas en Ingls (Particle SwarmOptimization). PSO es una tcnica fcil de implementar y de funcionamientosencillo, que por su naturaleza representa un paradigma diferente a los algoritmosevolutivos, catalogndose dentro del rea de Inteligencia en Cmulos [30].3.2.2.1 MOTIVACINPSO fue concebido como un algoritmo bioinspirado, por tener sus orgenes en laidea bsica del comportamiento social de las bandadas de pjaros o bancos depeces. En estos grupos de animales se establecen relaciones sociales entre losindividuos del grupo, definindose jerarquas de acuerdo a las caractersticas decada uno de ellos, existiendo un lder que es reconocido y seguido por losindividuos de su grupo. El lder es un individuo que tiene caractersticas fsicas ohabilidades que le permiten mantener un control sobre los dems, y ser el guapara desarrollar actividades como buscar comida o moverse a otro lugar cuando elalimento se ha acabado. Los individuos confan en la capacidad de su lder paradirigirlos, pero en estos grupos sociales se suele cambiar de lder si surge unindividuo con mejores capacidades que el actual, sustituyndolo en la gua delgrupo. Cada individuo dentro del grupo ve influenciado su comportamiento por dosfactores:

Su conocimiento y habilidades propias adquiridas durante su vida o demanera innata.

La influencia del lder.Cuando el grupo se organiza y decide emprender el vuelo para ir en busca

de comida, el lder gua al grupo por donde tiene la sospecha de encontraralimento; sin embargo, todos los individuos, tambin durante su vuelo, tratan deavistar comida y avisar al grupo de la nueva direccin que deben tomar con elobjeto de tener xito en su misin, ya que en esa nueva direccin puedenencontrar alimento. Durante el vuelo se debe tener nocin de la posicin propia yla de los dems a fin de evitar colisiones, y evitar perder la direccin de bsquedadel lder. Este comportamiento social de las bandadas de pjaros es la base dePSO, y cada individuo del grupo es representado por una partcula en el cmulo.

La Optimizacin mediante Cmulo de Partculas se utiliza para resolverproblemas de optimizacin, y tiene un espacio de bsqueda definido por ladimensin del problema a resolver y por el rango de variables. PSO es una

28

heurstica que utiliza una poblacin de soluciones representadas por las partculasdel cmulo, dicha poblacin usualmente no vara su tamao a travs de lasgeneraciones, ya que no existe un mecanismo de generacin de hijos nireemplazo de sobrevivientes, a diferencia de otros algoritmos evolutivos.

La tabla 3.1 muestra los parmetros utilizados en esta heurstica. Elconocimiento cognitivo de cada partcula se refiere al conocimiento propioadquirido en la bsqueda, que es representado por la mejor posicin alcanzadaque es recordada (y su correspondiente valor de la funcin objetivo), as como porla posicin actual de la partcula con su valor propio de la funcin. El conocimientosocial se refiere a los valores de la mejor partcula del cmulo (lder) que sertomada como referencia para guiar a las dems partculas. En cada generacinlas partculas actualizan su posicin utilizando como referencias tanto elconocimiento cognitivo como el social representado por el lder.

Tabla 3.1 Parmetros de PSO.NOMBRE SMBOLO DESCRIPCIN

Nmero de partculas NP Nmero de Partculas del CmuloGeneraciones MAX_GEN Nmero de generaciones que va aiterar el algoritmo

Peso de inerciaRegula la influencia de la velocidadde vuelo actual de una partcula enel clculo del nuevo valor develocidad

Coeficiente de aceleracin c1 c1Regula la influencia de la mejorposicin recordada de una partculaen la actualizacin de su velocidad

Coeficiente de aceleracin c2 c2Regula la influencia del lder en laactualizacin de la velocidad deuna partcula

Coeficiente de estrechamientoSe utiliza para controlar lavelocidad actualizada de unapartcula en la versin de PSO sininercia

3.2.2.2 ELEMENTOS DE PSORepresentacin de soluciones.Una posible solucin para resolver el problema se representa por una partcula enel cmulo. Cada partcula corresponde al vector de los valores para cada variabledel problema, y se indica como = ( , , , ). Inicialmente se genera unapoblacin de cierto tamao (20 40 partculas por ejemplo) con valores aleatoriosdentro del rango de las variables, y cada partcula representa un punto en el

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espacio de bsqueda. Mediante el vector de valores de cada variable se puedeobtener el valor de la funcin objetivo ( _ ) que proporciona una medida dela calidad de la solucin representada por la partcula.Seleccin del lder.En problemas de optimizacin sin restricciones la seleccin del lder del cmulo( ) se basa en la comparacin del valor de aptitud calculado paracada partcula ( _ ) (valor de la funcin objetivo y/o algn otro criterio deevaluacin), mediante su vector de los valores para cada variable, contra el valorde aptitud del lder ( _ ) , seleccionando como lder del cmulo aaquella partcula con mejor valor de la aptitud. Si una partcula tiene un igual valorde aptitud que el lder no lo sustituye, ya que forzosamente debe tener uno mejor.Si ninguna partcula del cmulo a travs de las generaciones llegara a mejorar lasolucin del lder, todas las partculas del cmulo tendern a asemejar su solucin(posicin) a la del lder del cmulo, cada vez ms en cada generacin hasta estarprcticamente en la misma posicin. A esto se denomina convergencia delcmulo.Funcin de vuelo.Dada su naturaleza, PSO determina la nueva posicin de cada partcula a partir deuna funcin de vuelo, actualizando su posicin despus de haber calculado lanueva velocidad. La velocidad representa en s una direccin de bsqueda. Lafigura 3.5 muestra los factores que influyen la direccin de bsqueda de unapartcula. La frmula para calcular la velocidad de la partcula es la siguiente.( + 1) = ( ) + () ( ) + () ( )

La nueva velocidad ( ( + 1)) de la partcula es determinada en su formageneral por los siguientes parmetros:

Peso de inercia . El peso o factor de inercia es un valor que regula lainfluencia de la velocidad anterior de la partcula ( ) en el clculo de lanueva velocidad ( + 1) , a manera de guiar el vuelo de la partculahaciendo un balance entre explotacin y exploracin del rea de bsqueda.Bajo ciertas condiciones, el factor de inercia promueve la convergencia delcmulo, es decir, que todas las partculas se asemejan al lder del cmuloen su solucin alcanzada. La versin original de PSO utiliza , pero existenversiones que no lo usan, por lo que la regulacin de la velocidad anteriorse hace de manera diferente.

30

( ). Representa la velocidad actual de la partcula que fue anteriormentecalculada con la misma frmula, y se refiere a su direccin de vuelo. En uninicio todas las partculas tienen una velocidad de 0, lo que quiere decir queforman parte de un estado de reposo cuando comienza el vuelo. De otraforma, el tener una velocidad inicial mayor a 0, requerira un conocimientoprevio del recorrido del rea de bsqueda para fijar su valor.

Coeficientes de aceleracin ( ) . Rand() y rand() representan unnmero real aleatorio con distribucin uniforme entre 0.0 y 1.0, los cualesmultiplican a los coeficientes de aceleracin. Los nmeros aleatorios son dedistribucin uniforme para evitar repeticiones en los nmeros generados. Elcoeficiente regula la influencia del conocimiento cognitivo de la partcula,mientras que el coeficiente regula la influencia del conocimiento social.Esto es, marca la influencia que tiene la mejor posicin alcanzada por lapartcula ( ) para guiar su nueva direccin, y determina la influencia dellder del cmulo ( ) en la direccin de bsqueda de la partcula. () y () pueden representarse como y respectivamente.Si > 0 y = 0 , nicamente el conocimiento cognitivo influye paraactualizar la velocidad. Si = 0 y > 0 , nicamente el conocimientosocial influye para actualizar la velocidad. Si > 0 y > 0, ambosconocimientos intervienen para guiar la nueva direccin de bsqueda.

o . Indica la memoria de la partcula, su mejor posicin alcanzadahasta esa generacin.

o . Marca la mejor posicin del cmulo, es decir el lder. . Representa la posicin actual de la partcula, misma que se toma como

referencia para calcular la nueva velocidad (direccin de bsqueda). ( + 1). Es la velocidad actualizada de la partcula, que determinar la

nueva direccin de bsqueda de la partcula en la generacin + 1.Una vez calculada la velocidad actualizada ( + 1) , se recalcula la

posicin de la partcula mediante la siguiente frmula:= +La posicin actualizada de la partcula no debe exceder el lmite inferior y

superior del vector de variables, dado que esos parmetros estn definidos conbase en el contexto del problema. Se puede establecer una velocidad mxima omnima para no salirse del rango permitido de las variables.

El peso de la inercia ( ) es un parmetro muy importante para balancear labsqueda global y local. Se asigna un valor pequeo al valor de la inercia si senecesita promover la bsqueda local, y un valor grande si es necesario promover

31

la exploracin global. Para promover un equilibrio se puede utilizar un esquemadinmico, en donde para la exploracin se puede comenzar con un valor alto dey decrementarlo conforme transcurren las generaciones. Shi y Eberhart [31]sugieren utilizar un valor de = 0.8 para optimizacin en espacios no restringidos.Memoria de las partculas.

Cada partcula tiene la capacidad de recordar la mejor posicin por dondeha pasado mediante una memoria propia, que es representada como ( ), lacual forma parte de su conocimiento cognitivo. Para cada partcula es de utilidadrecordar su mejor posicin por donde ha pasado, puesto que reduce la influenciadel conocimiento social (representado por el lder del cmulo) al actualizar suvelocidad, y permite a la partcula explorar el rea de bsqueda cercana en dondeencontr su mejor posicin recordada [32].

32

CAPITULO IV. SIMULACIN NUMRICALa simulacin es el proceso de disear un modelo de un sistema real y llevar aefecto experiencias sobre el mismo, con la finalidad de comprender elcomportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias dentro de los lmitesimpuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos para el funcionamiento dedicho sistema [33].

4.1PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACINTomando como base el anlisis cinemtico que se realiz anteriormente en elCaptulo II, en donde el volmen esta descrito por:= [ 4 ] [( + 1) ( ) ] ( ) + [( ) [ ( ) ] ]y tomando en cuenta la definicin de Funcin Objetivo del Captulo III, se traducela ecuacin del Modelo Cinemtico a la forma de un problema de optimizacin dela siguiente manera:max ( , , ) = [ 4 ] [( + 1) ( ) ] ( ) +[( ) [ ( ) ] ]Sujeto a: ( , , ) = + 0( , , ) = + + 0( , , ) = 2 = 0

En donde: = ==== ( )( )

33

Desglosando = ( )( ) se tiene que el mecanismo analizado gira a unavelocidad de 4 revoluciones por segundo, por lo tanto:

= 4 21 = 8Sustituyendo en la frmula original, quedara de la siguiente manera:

= 8 ( )Sin embargo, la velocidad 8 indica que realiza cuatro vueltas en un

segundo, si se utilizara este dato se repetiran los datos cuatro veces; slointeresa analizar una sola revolucin, que seran 360 grados. Por lo tanto, esavelocidad se divide entre cuatro para obtener = (0.25). Esto es:

= 8 (0.25)para que el programa de optimizacin recabe datos en el vector de tiempo que acontinuacin se muestra.

t=[0, 0.001, 0.002, , 0.25]Esto es, max = ( , , )Donde, = 0.03

= 8 (0.25)0.02 0.050.04 0.10.001 0.0054.2 SELECCIN DEL MTODO DE SOLUCINComo se mencion anteriormente, se utilizarn dos mtodos de solucin: elalgoritmo de Evolucin Diferencial y el algoritmo de Optimizacin MedianteCmulo de Partculas. Ambos mtodos heursticos fueron programados en elsoftware de clculo matemtico Matlab de la Compaa MathWorks; esto con la

34

finalidad de utilizar la funcin fmincon de las bibliotecas de Matlab, para tener unparmetro comn de comparacin de los mtodos heursticos contra los deprogramacin clsica.4.3 RESULTADOSLos programas con tcnicas heursticas que se desarrollaron realizan 30ejecuciones con una poblacin de 100 individuos, aunque con una poblacin de 30tambin se obtienen buenos resultados.

En Evolucin Diferencial se utiliza un coeficiente de cruza de 0.5 con unfactor de 0.8, mientras que en PSO se le asigna un valor de 0.8 a la variable depeso (w), y sus coeficientes de aceleracin se calibraron en 0.8.4.3.1 PROGRAMACIN CLSICA

El propsito de la funcin fmincon del programa Matlab es encontrar elmnimo o mximo de una funcin escalar multivariable que comienza en unaestimacin inicial. Esto es generalmente denominado optimizacin de restriccioneslineales o no lineales.

El modelo de la funcin que sta realiza es el siguiente:min ( ):Sujeto a: ( ) 0( ) = 0=

Donde x, b, beq, lb, y ub son vectores, A y Aeq son matrices, c y ceq(x) sonfunciones que retornan vectores, y f(x) es una funcin que retorna un escalar. f(x),c(x), y ceq(x) pueden ser funciones no lineales.

Los resultados obtenidos con este programa son los que se muestran en laTabla 4.1.

35

Tabla 4.1 Resultados obtenidos por fmincon.Variables R L EX1 X2 X3Valoresptimos 0.0500 0.1000 0.0050

V 0.0100

4.3.2 EVOLUCIN DIFERENCIALLos valores obtenidos con el programa que implementa la evolucin diferencial semuestran en la Tabla 4.2, el programa que se implement se incluye en la seccinde Anexos 2.

Tabla 4.2 Resultados obtenidos por Evolucin Diferencial.

Valores X1 X2 X3 VEl mejor 0.0500 0.0999 0.0050 -0.0100El peor 0.0500 0.0999 0.0050 -0.0100mediana 0.0500 0.0999 0.0050 -0.0100

Tabla 4.3 Media de Evolucin Diferencial.

Media -0.0100

Tabla 4.4 Desviacin Estndar de Evolucin Diferencial.

Desviacin estndar 0

4.3.3 OPTIMIZACIN MEDIANTE CMULO DE PARTCULAS (PSO)Los valores obtenidos con el programa que implementa el algoritmo de PSO semuestran en la Tabla 4.5, y el programa desarrollado se incluye en la seccin deAnexos 3.

Tabla 4.5 Resultados obtenidos por PSO.

valores X1 X2 X3 VEl mejor 0.0500 0.0999 0.0042 -0.0100

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El peor 0.0382 0.0764 0.0031 -0.0077mediana 0.0500 0.0999 0.0028 -0.0100

Tabla 4.6 Media de PSO.

Media -0.0096

Tabla 4.7 Desviacin Estndar de PSO.

Desviacin estndar 6.3294 e-0044.4 COMPARACINLos mejores valores obtenidos por las tres tcnicas estn mostrados en la Tabla4.8, donde se puede observar que los mejores resultados se obtienen de latcnica de PSO, ya que se pretende que el error sea lo mas cercano posible acero.

Tabla 4.8 Mejores valores obtenidos con las distintas tcnicas de optimizacin.

X1 X2 X3Fmincon 0.0500 0.1000 0.0050Evolucindiferencial 0.0500 0.0999 0.0050

PSO 0.0500 0.0999 0.0042

Sin embargo, en la Tabla 4.9 se observa que la tcnica de bsqueda desoluciones ptimas Evolucin Diferencial tiene un mejor desempeo, ya que ansu peor valor encontrado obtuvo un resultado aceptable, caso contrario a latcnica PSO.

Tabla 4.9 Peores valores obtenidos con tcnicas heursticas.

X1 X2 X3Evolucindiferencial 0.0500 0.0999 0.0050

PSO 0.0382 0.0764 0.0031El buen desempeo de la tcnica de optimizacin Evolucin Diferencial se

puede corroborar en la Tabla 4.10, ya que en la mediana de los datos obtenidosse puede observar que la tcnica PSO an no ha llegado a su valor ptimo en X3,mientras que Evolucin Diferencial lo logr desde la primera corrida.

Tabla 4.10 Mediana de los valores obtenidos con tcnicas heursticas.

X1 X2 X3

37

EvolucinDiferencial 0.0500 0.0999 0.0050

PSO 0.0500 0.0999 0.0028La desviacin estndar nos muestra el factor aproximado de cambio entre

un resultado y otro en la bsqueda de soluciones, por lo que en la Tabla 4.11 sepuede observar que Evolucin Diferencial encontr su optimo desde la primeracorrida, mientras que en PSO aunque muy pequea, existe una desviacin.

Tabla 4.11 Desviacin estndar de los valores obtenidos con tcnicas heursticas.

Desviacinestndar

Evolucindiferencial 0

PSO 6.3294e-004

38

CAPITULO V. CONCLUSIONES5.1 CONCLUSIONES GENERALESEn la presente tesis se propuso un modelo cinemtico que describe elfuncionamiento de un motor Stirling tipo alpha. Mismo que se simul en elprograma Matlab y definitivamente cumple con el comportamiento esperado delmotor Stirling tipo Alpha.El problema de rediseo de un motor Stirling se tradujo a un problema deoptimizacin, dicho problema se puede tomar como un problema dinmico desdeel punto de vista computacional, ya que al implementarle = ( )( ) se evala endiferentes tiempos, aun con los mismos valores de variables el resultado esdiferente conforme va evolucionando la variable .

El problema de optimizacin propuesto se resolvi aplicando dos tcnicasheursticas: Evolucin diferencial y Optimizacin mediante cmulo de partculas,dichos resultados se compararon con los resultados obtenidos por la funcinfmincon del toolbox del programa Matlab.

As mismo, se observ que ambos algoritmos produjeron resultadosfactibles. Sin embargo, debido a la sencillez de la implementacin de la EvolucinDiferencial podemos concluir que ste es un algoritmo altamente recomendable ycompetente contra otro tipo de algoritmos ya que tiene un desempeo aceptableutilizando menos tiempo el procesador de la computadora.

Finalmente, se concluye de acuerdo al desempeo de los algoritmos quelos Algoritmos heursticos son una buena opcin en problemas de optimizacinmecnica, ya que son flexibles en su programacin y se obtiene resultados viablesy en poco tiempo de ejecucin.5.2 TRABAJOS A FUTUROA continuacin se mencionan algunos de los trabajos que se proponen:

Realizar la manufactura o la compra de un motor Stirling, para implementarla instrumentacin adecuada para la adquisicin de datos y as obtener datosreales de funcionamiento.

Analizar el motor determinar una funcin matemtica que cuantifique elfuncionamiento del motor Stirling. Lo anterior, para establecer un problema derediseo el cual se resuelva utilizando una tcnica heurstica.

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40

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SECCIN DE ANEXOS

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Anexo 1Programa Utilizado para observar el comportamiento de los Volmenes del motorStirling%%Las constantes del Motor Stirling es:%El ngul entre los cilindrosalpha= 90*(pi/180);%Los dimetros de los cilindros de expansin y compresinDe= 0.1;Dc= 0.12;%El radio de la manivelar= 0.10;%Las magnitudes de la Bielaslc= 0.20;le= 0.25;%%Los desfasamientos de las correderas de los pistones entre el centro de%%la manivelaec=0.05;ee=0.02;%%La posicin angulr (2 Vueltas)) de la manivela en redianes es:Fi=[0:1:720].*(pi/180);%% Ingresando la Formula para el clculo del los Vomunenes tenemosVe=(((le/r)+1)^2-(ee/r)^2)^1/2-((cos(Fi-alpha))+((le/r)^2-(sin(Fi-alpha)-(ee/r)).^2).^1/2);Vc=(((lc/r)+1)^2-(ec/r)^2)^1/2-((cos(Fi))+((lc/r)^2-(sin(Fi)-(ec/r)).^2).^1/2);%IMPRIMIENDO LAS GRAFICAS DE VOLMENESfigure (1)subplot(1,2,1)plot(Fi,Ve), title('GRFICA DEL VOLUMEN DE EXPANSIN Ve'),xlabel('NGULO, RAD'), ylabel('VOLMEN M^3'), gridsubplot(1,2,2)plot(Fi,Vc), title('GRFICA DEL VOLMEN DE COMPRESIN Vc'),xlabel('NGULO, RAD'), ylabel('VOLMEN M^3'), grid

%%Con una variacin constante en el ngulo de posicionamiento Alpha,alphavar= [0:0.125:90]*(pi/180)Vevar=(((le/r)+1)^2-(ee/r)^2)^1/2-((cos(Fi-alpha))+((le/r).^2-(sin(Fi-alpha)-(ee/r)).^2).^1/2)figure (2)plot(Fi*(180/pi),Vevar,'.',Fi*(180/pi),Vc,'.')legend('Ve','Vc')xlabel('NGULO, GRADOS'),ylabel('VOLMEN M^3')title('GRFICA DEL VOLMEN')

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Anexo 2Programa donde se implement el algoritmo de evolucin diferencial%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Evolucin Diferencial%Esta funcin ejecuta el algoritmo de evolucin diferencial, recibe como%parametros la poblacin P y el nmero de veces que se ejecutara el algoritmo%(Generaciones Maximas)MaxGen.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [ P ] = Evolucion( P, MaxGen )global LInf;global LSup;global NoVariables;CR=0.5;F=0.8;p=size(P,1);P=Aptitud(P);U=[]; %Inicializamos el vector Hijofor g=1:1:MaxGen, %Para cada generacion se realiza lo siguiente

for i=1:1:p,%Para cada uno de los elementos de la poblacion por cada generacion

x1=round(rand*p); %Se seleccionan de la poblacion 3 vectores para la generacion del vector mutantex2=round(rand*p); %no deben ser iguales entre si, ni al vector PADREx3=round(rand*p);while(x1==x2||x1==x3||x1==0||x2==x3||x2==0||x3==0||x1==i||x2==i||x3==i)x1=round(rand*p);x2=round(rand*p);x3=round(rand*p);endjrand=0;while(jrand==0) %se selecciona de manera aleatoria apartir de que pocicion del vector se

iniciara lajrand=round(NoVariables*rand); %cruza.endfor j=1:1:NoVariables, %Se realiza la cruza entre el vector PADRE y el VECTOR MUTANTE para obtener el

vector HIJOif(randLSup(j))

U(1,j)=2*LSup(j)-U(1,j);endif(U(1,j)

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Anexo 3Programa en el que se implement el algoritmo PSO.function [ P ] = Cumulos( P,iteraciones )%CUMULOS Summary of this function goes here%Detailed explanation goes hereglobal LInf;global LSup;global NoVariables;MaxGen=iteraciones; %Se solicita al usuario el maximo numero de generacionesW=0.5;C1=0.8;C2=0.8;p=size(P,1); %Tamao de la poblacinP=Aptitud(P);P=[P,P,zeros(p,NoVariables)]; %Se genera la matriz con la que se trabajarU=[]; %Inicializamos el vector Hijofor g=1:1:MaxGen, %Para cada generacion se realiza lo siguiente[valor,lider]=min(P(:,NoVariables+1)); %Se obtienen los valores del vector que liderea al grupo.XL=P(lider,:); %XL es el lider del grupo.Y(g)=valor; %En Y se guarda el valor de la funcion objetivo para el mejorZ(g)=P(lider,4); %En Z se guarda el valor de la suma de evaluacin de restricciones

for i=1:1:p,for j=1:1:NoVariablesP(i,4+(NoVariables*2)+j)=W*P(i,4+(NoVariables*2)+j)+C1*rand*(P(i,NoVariables+2+j)-P(i,j))+C2*rand*(XL(j)-P(i,j));U(1,j)=P(i,j)+P(i,4+(NoVariables*2)+j);

if(U(1,j)>LSup(j))U(1,j)=2*LSup(j)-U(1,j);

endif(U(1,j)

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Anexo 4Programa implementado en Matlab para observar el comportamiento del volmende expansin y de compresin.close all;clear all;%%%%%para el valor de D=0.03%%%%Lb=[0.02 0.04 0.001];Ub=[0.05 0.1 0.005];%x0=[0.02 0.04 0.001];%x0=[0.021 0.041 0.0011];%x0=[0.023 0.045 0.0015];x0=[0.027 0.053 0.0019];%x0=[0.031 0.061 0.0023];%x0=[0.033 0.069 0.0028];%x0=[0.035 0.070 0.0030];%x0=[0.040 0.074 0.0035];%x0=[0.044 0.080 0.0040];%x0=[0.048 0.090 0.0045];%x0=[0.05 0.1 0.005];% x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)[p,v]=fmincon('volumen',x0,[ ],[ ],[ ],[ ],Lb,Ub,'restriccion')

function f=volumen(x)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%para el valor de D=0.03w=8*pi;Tf=0.25;D=0.03;t=0:0.001:Tf;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%vol=-((x(1)*pi*D^2)/4 )*( (sqrt(((x(2)/x(1))+1).^2-(x(3)/x(1)).^2))-(cos(w*t)+sqrt((x(2)/x(1)).^2-(sin(w*t)-(x(3)/x(1))).^2)));f=0;[M,N]=size(vol);for q=1:N

f=f+vol(M,q);endfunction [c,ceq] = restriccion(x)

c = [x(1)-x(2)+x(3);x(1)-x(2)-x(3)];

ceq = [2*x(1)-x(2)];

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Anexo 5Programa para generar poblacin de ambos mtodos.TP=30; %%input('tamao de poblacin');global NoVariables;global LInf;global LSup;NoVariables=3;LInf=[0.02,0.04,0.001]; %Limites inferiores [X1,X2, ... , Xn]LSup=[0.05,0.10,0.005]; %Limites superiores [X1,X2, ... , Xn]P=[];vector=[];for j=1:1:TP,for i=1:1:NoVariables,

vector=[vector,LInf(i)+(LSup(i)-LInf(i))*rand];endP=[P;vector];vector=[];endglobal Evals;Evals=0;

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Anexo 6Programa implementado para aptitud.function [ P ] = Aptitud( P )

global Evals;w=8*pi;D=0.03;for i=1:1:size(P,1)ap(i,1)=0;for t=0:0.001:0.25ap(i,1)=ap(i,1)+((P(i,1)*pi*(D^2))/4)*((sqrt((((P(i,2)/P(i,1))+1)^2)-

(P(i,3)/P(i,1))^2))-(cos(w*t)+sqrt(((P(i,2)/P(i,1))^2)-(sin(w*t)-(P(i,3)/P(i,1)))^2)));endap(i,1)=ap(i,1)*-1;PR1=-(-P(i,1)+P(i,2)-P(i,3));PR2=-(-P(i,1)+P(i,2)+P(i,3));PR3=abs(2*P(i,1)-P(i,2))-0.0001;ap(i,2)=max(PR1,PR2);ap(i,2)=max(PR3,ap(i,2));

endEvals=Evals+1;P=[P,ap];end

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Anexo 7Programa general utilizado para ambos mtodos heursticos.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Este script ejecuta un diagnostico de un algoritmo realizando 30ejecuciones%seleccionando la mejor solucion de cada uno y aadiendolo a un arreglode%soluciones, obteniendo la mejor y la peor solucion de las 30 ejecuciones%adems de los siguientes parametros estadisticos: media, mediana, y%desviacion estandar.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear all; clc;format compact;Resultado=[];Aux=[];for i=1:1:30;

GenerarP;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Modificar "Evolucin" o "Cumulos"%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Aux=Aptitud(Evolucion(P,4000));Aux=sortrows(Aux,2);Resultado=[Resultado;Aux(1,:)];Aux=[];display('Ejecutando...')

endResultado=sortrows(Resultado,size(Resultado,2)-1);fprintf('\n'), display('El mejor resultado obtenido es:'),Resultado(1,:)fprintf('\n'), display('El peor resultado obtenido es:'),Resultado(30,:)fprintf('\n'), display('Media del valor objetivo:')mean(Resultado(:,size(Resultado,2)-1))fprintf('\n'), display('Mediana :')Resultado(15,:)fprintf('\n'), display('Desviacion Estandar de los valores objetivo :')std(Resultado(:,size(Resultado,2)-1))

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Anexo 8Programa fmincon implementado.close all;clear all;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%para el valor de D=0.03%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Lb=[0.02 0.04 0.001];Ub=[0.05 0.1 0.005];%x0=[0.02 0.04 0.001];%x0=[0.021 0.041 0.0011];%x0=[0.023 0.045 0.0015];%x0=[0.027 0.053 0.0019];x0=[0.031 0.061 0.0023];%x0=[0.033 0.069 0.0028];%x0=[0.035 0.070 0.0030];%x0=[0.040 0.074 0.0035];%x0=[0.044 0.080 0.0040];%x0=[0.048 0.090 0.0045];%x0=[0.05 0.1 0.005];[p,v]=fmincon('volumen',x0,[ ],[ ],[ ],[ ],Lb,Ub,'restriccion')

function [c,ceq] = restriccion(x)c = [x(1)-x(2)+x(3);

x(1)-x(2)-x(3)];ceq = [2*x(1)-x(2)];

function f=volumen(x)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%para el valor de D=0.03w=8*pi;Tf=0.25;D=0.03;t=0:0.001:Tf;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%vol=-((x(1)*pi*D^2)/4 )*( (sqrt(((x(2)/x(1))+1).^2-(x(3)/x(1)).^2))-(cos(w*t)+sqrt((x(2)/x(1)).^2-(sin(w*t)-(x(3)/x(1))).^2)));f=0;[M,N]=size(vol);for q=1:N

f=f+vol(M,q);end

Portada.pdfsip14.pdfcesion.pdfresumen y abstract, agradecimientos, dedicatorias.pdfNDICE GENERAL.pdfndice figuras y tablas.pdftesis_carlok.pdf