Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
DISERTACION
PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”
EKREM ALJIMI
DISA LLOJE TË KONVERGJENCAVE DHE
METODAT E SHUMUESHMËRISË
Udhëheqës Shkencor: Prof. Asoc. Dr. Elida Hoxha
Tiranë, 2014
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
Disertacion
i
Paraqitur nga
Z. Ekrem Aljimi
Për marrjen e gradës shkencore
DOKTOR
Specialiteti : Analizë dhe Algjebër
Tema: DISA LLOJE TË KONVERGJENCAVE DHE METODAT E
SHUMUESHMËRISË
Mbrohet më dt. . . para jurisë:
1. Kryetar
2. Anëtar (oponent)
3. Anëtar (oponent)
4. Anëtar
5. Anëtar
6. Anëtar
II
FALËNDERIME
Realizimi i këtij punimi u mundësua falë ndihmesës së pakushtëzuar të disa personave, të cilët
dëshiroj t’i falënderoj përzemërsisht.
Së pari, shpreh falenderimet më të sinqerta dhe mirënjohjen time të thellë për Prof. Dr. Elida
Hoxha, udhëheqësen shkencore, e cila nuk e humbi kurrë besimin tek unë. E falënderoj për
përkushtimin, sugjerimet dhe këshillat aq të vyera.
Së dyti, dëshiroj të falenderoj profesorin e nderuar Prof. Dr. Naim Braha, për mbështetjen,
përkushtimin si dhe këshillat e tij në fushën analizës funksionale .
Dëshiroj të falenderoj, gjithashtu, profesorët e mi të departamentit të matematikës, mbështetja
morale dhe profesionale e të cilave më ka inkurajuar në mënyrë të vazhdueshme.
Së fundi, por jo për nga rëndësia, falënderimet e mia iu drejtohen të gjithë atyre personave që më
qëndruan pranë dhe ndanë në çdo moment “mungesën” time, duke treguar mirëkuptim e
tolerancë.
Në mënyrë të veçantë, iu kërkoj ndjesë nënës, gruas dhe djalit për të gjithë kohën e vëmendjen e
munguar.
III
ABSTRAKT
Në këtë temë të cilën e kemi quajtur “Disa lloje të konvergjencave dhe metodat e
shumueshmërisë” trajtojmë rezultate të llojeve të ndryshme të konvergjencave duke bërë një
lidhje me metodat e shumueshmërisë. Konvergjenca statistikore është paraqitur për shkak të
problemit të shumueshmërisë së serive. Ideja kryesore e konvergjencës statistikore e vargut
𝑥 = (𝑥𝑘) është se shumica e elementeve nga vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) konvergjojnë dhe ne nuk
kujdesemi se çfarë ndodh me elementët e tjerë. Koncepti i konvergjencës statistikore është
drejtpërdrejt i lidhur me konvergjencën e disa karakteristikave statistikore si mesatarja, devijimi
standard etj. Në të njëjtën kohë, dihet se vargjet të cilat i marrim nga të dhënat e jetës reale, si
matjet apo llogaritjet, nuk na lejojnë, në rast të përgjithshëm, t'i testojmë nëse ato konvergjojnë
në mënyrë të zakonshme apo konvergjojnë statistikisht në sensin rigoroz matematik. Zhvillimi i
analizës neoklasike ka tejkaluar kufizimet e paraqitura nga paqartësia dhe pasiguria e të dhënave
nga jeta reale. Analiza neoklasike zgjeron qëllimin dhe rezultatet e analizës klasike matematike
duke aplikuar logjikën tradicionale të objekteve matematike, si funksionet, vargjet dhe seritë.
Qëllimi ynë në këtë punim është për të pasuruar fushën e analizës funksionale me rezultate të
reja. Këtu do të ndërtojmë një metodë të re të cilën do ta quajmë metoda Norlund- Euler, e cila
është përgjithësim i metodës Norlund- Cesaro. Ne do të provojmë disa veti të kësaj metode dhe
gjithashtu do të përgjithsojmë teoremën e Korovkin-it sipas metodës sonë dhe do e testojmë atë
për funksionet 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Në vazhdim ne do të përgjithësojmë përsëri metodën e Norlund-
Eulerit dhe do të tregojmë disa veti të reja të saj. Po ashtu edhe kuptimin e shkallës së
konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit dhe disa veti të saj. Gjithashtu këtu do
të tregojmë me një shembull se konvergjenca me pesha sipas Norlund-Eulerit është koncept më i
gjërë se konvergjenca e zakonshme, kurse e anasjellta në përgjithësi nuk është e vërtetë. Duke e
shfrytëzuar konvergjencën statistikore me pesha do të provojmë teoremën e Korovkinit për
funksionet 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥 dhe sin𝑥 . Do të përkufizojmë shkallën e konvergjencës statistikore me pesha
sipas Norlund Eulerit për funksionet periodike dhe tregojmë me një shembull se rezultati ynë
është më i fuqishëm se teorema e Korovkinit duke e shfrytëzuar konvergjencën e zakonshme. Po
ashtu japim edhe kuptimin e konvergjencës 𝐴 -statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.
Provojmë se rezultatet që vlejnë për konvergjencën statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit
vlejnë edhe për konvergjencën 𝐴-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit. Po ashtu provojmë
edhe disa rezultate të reja për konvergjencën 𝐴-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.
Fjalët kyçe: Konvergjenca statistikore sipas Norlund-Euler, konvergjenca statistikore me pesha
sipas Norlund-Euler, hapësira e vargjeve, Cesaro shumueshmëria, densiteti, operatorët linearë
pozitivë, teorema përafruese e Korovkinit, A-konvergjenca statistikore.
IV
ABSTRACT
On this subject which we have called "Some types of convergence and summability methods "
treat different results doing the convergence of different connection summability methods.
Statistical convergence was introduced in connection with problems of series summation. The
main idea of the statistical convergence of a sequence 𝑥 = (𝑥𝑘) is that the majority of elements
from 𝑥 = (𝑥𝑘) converge and we do not care what is going on with other elements. The concept
of statistical convergence is directly connected to convergence of such statistical characteristics
as the mean and standard deviation. At the same time, it known that sequences that come from
real life sources, such as measurement and computation, do not allow, in a general case, to test
whether they converge or statistically converge in the strict mathematical sense. To overcome
limitations in duced by vagueness and uncertainty of real life data, neoclassical analysis has been
developed. It extends the scope and results of the classical mathematical analysis by applying
logic to conventional mathematical objects, such as functions, sequences, and series. Our goal in
this thesis is to enrich the field of functional analysis with new results. In our results important
role plays product of two summability methods, and these new method we will call Norlund-
Cesaro methods and generalize of these this method we will call Norlund-Euler method. Here we
will prove some properties of this method and also we will prove Korovkin-type theorem on
𝐶[0,∞) by using the test functions 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Also we will generalize Norlund-Euler method
and we will show some of its new properties. So will give the concept of the rate of weighted
Norlund-Euler statistical convergence and some its properties. As well we will give an example
to show that weighted Norlund-Euler statistical convergence is larger than the convergence in
ordinary sens, where the converse in generally is not true. Using weighted statistical convergence
we will prove the Korovkin theorem for functions 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥 and 𝑠𝑖𝑛𝑥. Also we get the definition of
the rate of weighted Norlund-Euler statistical convergence for periodic functions and
demonstrate with an example that our result is stronger than the Korovkin theorem by utilizing
common convergence. As well we will give the definition of weighted Norlund-Euler 𝐴 -
statistical convergence. We will prove that the results which are valid for weighted Norlund-
Euler statistical convergence are valid and for weighted Norlund-Euler 𝐴-statistical convergence.
Also we will prove some new results for weighted Norlund-Euler 𝐴-statistical convergence.
Keywords: Weighted Norlund-Euler statistical convergence, sequence spaces, Cesaro
summability, density, positive linear operator, Korovkin type approximation theorem, A-
statistical convergence.
V
PARATHËNIE
Konvergjenca statistikore është paraqitur për herë të parë nga Zygmund të publikuar në
edicionin e parë të monografisë së tij me 1935 [8]. Formalisht kuptimi i konvergjencës
statistikore është paraqitur nga Steinhaus [4] dhe Fast [5]. Dhe më vonë është rishfaqur nga
Schoenberg [6]. Ky lloj i konvergjencës, edhe pse është shfaqur gati para pesdhjetë viteve, ajo
ka filluar tash kohëve të fundit të jetë një fushë që studiohet. Matematicientë të ndryshëm kanë
studiuar vetitë e konvergjencës statistikore dhe kanë aplikuar këtë koncept në fusha të ndryshme
si në: teori të masës [7], seri trigonometrike [8], teori të përafrimeve[9], hapësira lokalisht
konvekse [10], hapësira të Banahut [11] etj. Konvergjenca statistikore dhe metodat e
shumueshmërisë e zhvillojnë njëra tjetërën në mënyrë të vazhdueshme. Koncepti i konvergjencës
statistikore në teorinë e shumueshmërisë dhe analizës funksionale luan një rol të rëndësishëm.
Lidhja në mes teorisë së shumueshmërisë dhe konvergjencës statistikore është paraqitur nga
Schoenberg [6]. Më vonë konvergjenca statistikore është studiuar si metodë e shumueshmërisë
nga mjaft studiues si Fridy [22], Freedman [19], Kolk [20, 21], Fridy dhe Miller [22], Fridy
dhe Orhan [23,24], Mursaleen [17] , Savaş [25], Braha [26-28]. Gjithashtu, disa veti toplogjike
të konvergjencës statistikore janë studiuar nga Salat [20]. Pastaj në [30,31], Connor ka treguar
lidhjen në mes konvergjencës statistikore dhe analizës funksionale. Përkufizimi i konvergjencës
statistikore kishte dhënë mundësi që të definohen edhe lloje të tjera të konvergjencës si p.sh.
konvergjenca statistikore me pesha e cila është e lidhur me metodën e shumueshmëris së
Norlundit. Idenë e konvergjencës statisikore me pesha për herë të parë e ka dhënë V. Karakaja
and T.A.Chishti [16]. Kjo ide më vonë është korigjuar nga Mursaleen [17] ku ai përveç
korigjimit që ka bërë duke dhënë një shembull konkret për të argumentuarrezultatin në [16] ai
ka dhënë edhe disa veti të reja të kësaj lloj konvergjence. Teorema klasike përafruese e
Korovkinit me ndihmën e konvergjencës së zakonshme është dhënë në [32]. Në kuptimin
statistikor kjo teoremë është dhënë nga Gadjiev dhe Orhan [33]. Disa tipe të teoremës
përafruese duke përdorur konceptin e pothuajse kudo konvergjencës janë provuar nga [34-37].
Boyanov dhe Veselinov [28] e kanë provuar teoremën e Korovkin-it në 𝐶[0, ∞) duke e testuar me
funksionet 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 .
Ne në këtë temë doktorature e cila titullohet “Disa lloje të konvergjencave dhe metodat e
shumueshmërisë”, jemi munduar të japim një kontribut modest në zhvillimin e mëtejshëm të
kësaj teorie relativisht të re, duke vërtetuar disa teorema të reja si dhe duke ndërtuar metoda të
reja të shumueshmërisë përmes konvergjencës statistikore. Studimi i konvergjencës statistikore
dhe metodave të shumueshmërisë ka një rëndësi të veçantë edhe për faktin se shumë veti tё tyre
lidhen ngushtё me konvergjencën statistikore me pesha sipas metodës së Norlund-Cesaros,
Norlund-Eulerit dhe Cesaro-Eulerit, gjithashtu këto veti lidhen edhe me konnvergjencën A-
statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.
VI
PËRMBAJTJA:
KAPITULLI 1
DISA REZULTATE NDIHMËSE NË LIDHJE ME HAPËSIRAT E BANAHUT DHE
METODAT E SHUMUESHMËRISË
1.1 Hapësirat vektoriale dhe operatorët linearë. Përkufizimi.................................................1
1.2 Hapësirat e Normuara.........................................................................................................2
1.3 Hapësirat e Banahut............................................................................................................4
1.4 Përkufizimi i konvergjencës statistikore.............................................................................5
1.5 Shuma e serive....................................................................................................................7
1.6 Disa llogaritje me seri divergjente......................................................................................8
1.7 Përkufizimet themelore......................................................................................................12
1.8 Regulariteti i metodës........................................................................................................17
1.9 Përgjithësime lidhur me transformimet lineare..................................................................18
1.10 Transformimet regulare....................................................................................................19
1.11 Një aplikim i teoremës 1.10.2..........................................................................................20
KAPITULLI 2.
METODAT SPECIALE TË SHUMUESHMËRISË 1.1 Metoda e Norlundit...........................................................................................................23
1.2 Regulariteti dhe qëndrushmëria e metodës së Norlundit..................................................24
1.3 Metoda e Eulerit dhe disa veti të saj.................................................................................26
1.4 Metoda Norlund-Euler. Konvergjenca statistikore me pesha sipas
Norlund-Euler...................................................................................................................28
1.5 Zbatimi i konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit,
në teoremën përafruese.....................................................................................................36
1.6 Përgjithësimi i kovergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit
dhe disa rezultate të reja në lidhje me këtë metodë..........................................................40
1.7 Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.............................46
1.8 Përafrimi i funksioneve periodike përmes konvergjencës statistikore
me pesha sipas Norlund –Eulerit......................................................................................48
2.9 Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së
përgjithësuar të Norlund-Eulerit për funksionet periodike...............................................53
KAPITULLI 3
KONVERGJENCA A-STATISTIKORE ME PESHA
3.1 Konvergjenca A-statistikore me pesha e vargjeve të operatorëve linearë
pozitivë……………………………………………………………………...................…55
3.2 Konvergjenca A-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit e
vargjeve të operatorëve linear pozitiv………………………………………....................61
KONKLUZIONE DHE PROJEKTE PËR TË ARDHMËN 2. REFERENCAT……………………………………………………………….........…...72
VII
H Y R J E
Kjo temё doktorature i kushtohet studimit tё disa llojeve të konvergjencave si dhe metodave të
shumueshmërisë.
Kontributi ynё nё kёtё punim konsiston kryesisht nё studimin e mёtejshёm tё konvergjencës
statistikore Norlund-Eulerit dhe konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së
shumueshmëris së Norlund-Eulerit, studimin e vetive të tyre dhe gjithashtu përafrimin e
teoremës së Korovkinit përmes këtij lloji të konvergjencës dhe kësaj metode të shumueshmërisë.
Siç do tё shohim nga pёrkufizimi i konvergjencës statstikore me pesha sipas Norlund-Eulerit në
themel të tyre qëndrojnë përkufizimi i konvergjencës statistikore i dhënë nga Steinhaus, Fast, dhe
Schoenberg dhe gjithashtu ndërtimi i metodës së Eulerit, metodës së Norlundit dhe metodës së
Cesaros.
Punimi ёshtё ndarё nё tre kapituj. Nё kapitullin e parё kemi pёrmbledhur njё sёrё konceptesh dhe
vetish tё njohura mbi hapësirat e Banahut, pёr tё krijuar njё mjedis pune dhe njё “fjalor” tё
pёrshtatshёm qё do tё na shёrbejё pёr zhvillimin e temёs nё vazhdim. Kёto koncepte dhe veti
janё marrё kryesisht nga librat e Analizës funksionale S. Kurepa [1], S. Gjinushi [2] dhe
R.Zejnullahu [3]. Gjithashtu kemi dhënë përkufizimin e konvergjencës statistikore dhe përmes
një shembulli kemi treguar se konvergjenca statistikore është përgjithësim i konvergjencës së
zakonshme [4-6]. Në vazhdim kemi dhënë disa pёrkufizime dhe shembuj të serive divergjente
dhe disa veti në lidhje me to [14] . Po ashtu japim disa metoda të shumueshmërisë si metoda e
Cesaros, metoda e Eulerit, përkufizimi i regularitetit për metodat e shumueshmërisë [14].
Paragrafi 1.9. trajton përgjithësimet lidhur me transformimet lineare, transformimet e rregullta
dhe një aplikim të teoremës 4.2.2. [14].
Kapitulli i parë pёrgatit terrenin pёr tё kaluar nё pjesёn mё tё rёndёsishme tё këtij punimi, nё
ndёrtimin e metodave të shumueshmëris dhe të disa llojeve të konvergjencave [14].
Kapitulli i dytë ёshtё tёrёsisht kontribut i punёs tonё. V. Karakaya, T.A. Chishti [16], ka dhënë
kuptimin e konvergjencës statistikore me pesha, ndërsa këtë koncept e korrigjon Mursaleen,
Mohammad; Karakaya, Vatan; Ertürk, Müzeyyen; Gürsoy, Faik [17]. Ne kemi arritur të
formulojmë konvergjencën statistikore sipas Norlund-Eulerit dhe konvergjencwn statistikore me
pesha sipas Norlund-Eulerit [45-46], [48-49], [60] dhe kemi vërtetuar disa rezultate ndihmëse në
lidhje me këtë metodë.
Në kapitullin tretë duke u mbështetur në artikullin e S.A. Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and
Bipan Hazarika [51] i cili ka ndërtuar 𝐴-konvergjencën statistikore me pesha, krahas kësaj
metode ne kemi ndërtuar 𝐴-konvergjencën statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit [61] dhe
kemi provuar disa rezultate në lidhje me këtë.
1
KAPITULLI 1
1. DISA REZULTATE NDIHMËSE NË LIDHJE ME HAPËSIRAT E
BANAHUT DHE METODAT E SHUMUESHMËRISË
Nё paragrafin 1.1, 1.2 dhe 1.3 do tё japim disa kuptime, pёrkufizime dhe pohime
bazё, qё do tё na shёrbejnё pёr zhvillimin nё vijim tё pёrmbajtjes sё kёsaj teme
doktorature. Ato janё marrё nga botime tё ndryshme mbi teorinё e operatorëve. Nё
pёrkufizimet, pohimet, teoremat dhe shembujt e kёtij kapitulli ne do t'i referohemi
literturës, kryesisht autorёve S. Kurepa [1], S. Gjinushi [2] dhe R.Zejnullahu [3].
1.1 Hapësirat vektoriale dhe operatorët linear. Përkufizimi .
Përkufizim 1.1.1. [1] Struktura e hapsirës vektoriale 𝑋 = {𝑥, 𝑦, 𝑧 … } mbi fushën 𝐹 = {𝛼,𝛽, 𝛾 … } përkufizohet me ndihmën e dy funksioneve:
(1) (𝑥,𝑦) → 𝑥 + 𝑦 me 𝑋 x 𝑋 në 𝑋 dhe
(2) (𝜆, 𝑥) → 𝜆𝑥 me 𝐹 × 𝑋 në 𝑋 Funksioni (1), mbledhja në X , ka këto veti : ∀𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋
(HV1) (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
(HV2) Eksiston elementi i vetëm 0∈ X e tillë që për çdo 𝑥 ∈ 𝑋
𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥
(HV3) Për cdo 𝑥 ∈ 𝑋 eksiston elementi i vetëm −𝑥 ∈ 𝑋 i tillë që
𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0
(HV4) Për cdo 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Funksioni (2),prodhimi skalar, ka këto veti: ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 dhe 𝜆, 𝜇 ∈ 𝐹
(HV5) 𝜆(𝑥 + 𝑦) = 𝜆𝑥 + 𝜆𝑦
(HV6) (𝜆 + 𝜇)𝑥 = 𝜆𝑥 + 𝜇𝑥
(HV7) 𝜆𝜇 𝑥 = 𝜆 𝜇𝑥
(HV8) 1∙ 𝑥 = 𝑥
Elementet e hapsirës vektoriale i quajmë vektorë, kurse elemntet e fushës F i quajmë
skalar (numra).
Vetitë (HV1)-(HV4) tregojnë që hapsira vektoriale 𝑋 në lidhje me mbledhjen formon
grup aditiv dhe elementi neutral i këtij grupi është vektori zero (0-vektori).
Nqs 𝐹 = ℝ atëhere hapësira 𝑋 quhet hapësirë reale, nëse 𝐹 = ℂ atëhere hapësira 𝑋
quhet hapësirë komplekse.Vërejmë se 𝐹 është hapësirë vektoriale mbi ℂ gjithashtu
edhe mbi ℝ.
2
Për dy hapësira vektoriale X dhe Y mbi nje fushë të njëjtë 𝐹 themi se janë izomorfe në
qoftë se ekziston bijeksioni 𝐴 i 𝑋 në 𝑌 i tillë që për të gjithë skalarët λ, 𝜇 ∈ 𝐹 dhe për
të gjithë vektorët 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 vlen:
(3) 𝐴 𝜆𝑥 + 𝜇𝑦 = 𝜆𝐴𝑥 + 𝜇𝐴𝑦. Le të jenë X dhe Y dy hapësira vektoriale mbi fushën 𝐹.
Funksioni 𝛢:𝑋 → 𝑌 është
a) Aditiv në qoftë se
𝛢 𝑥 + 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 (𝑥,𝑦 ∈ 𝑋) b) Homogjen në qoftë se
𝛢 𝜆𝑥 = 𝜆𝐴𝑥 (𝜆 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑋) c) Linear nëse ai është aditiv dhe homogjen
d) Antilinear nqs ai është aditiv dhe vlen kjo veti:
𝛢 𝜆𝑥 = 𝜆 𝐴𝑥 (𝜆 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑋)
Funksioni i cili e ka domenin ne hapsirën vektoriale 𝑋 dhe kodomenin në hapsirën
vektoriale 𝑌 quhet operator. Funksionin linear 𝐴:𝑋 → 𝑌 e quajmë operator linear,
nëse 𝑌 = 𝐹 funksionin linear 𝐴:𝑋 → 𝑌 e quajmë funksional linear.
Nëse 𝑋,𝑌 𝑑𝑒 𝑊 janë hapësira vektoriale mbi fushën 𝐹 dhe 𝐴:𝑋 → 𝑌, 𝐵:𝑌 → 𝑊 janë operatorë linearë, atëhere kompozimi 𝐵 ∘ 𝐴 është operator linear i 𝑋 në 𝑊 dhe
quhet produkt i operatorëve 𝐵 dhe 𝐴 dhe shënohet 𝐵𝐴.
Pasqyrimi identik 𝐼𝑋 : 𝑥 → 𝑥 i hapësirës 𝑋 në 𝑋 është operator linear dhe simbolikisht
shënohet 𝐼𝑋 përkatësisht me 𝐼.
1.2 Hapësirat e normuara
Përkufizim.1.2.1. [2,3] Funksioni 𝑥 → 𝑥 i hapësirës vektoriale 𝑋 në hapësirën e
numrave real (kompleksë) është normë në X nëse ajo i plotëson këto veti:
(N1) 𝑥 ≥ 0 për çdo 𝑥 ∈ 𝑋
(N2) 𝑥 = 0 atëherë dhe vetëm atëherë nëse 𝑥 = 0
(N3) 𝜆𝑥 = 𝜆 ⋅ 𝑥 për çdo 𝜆 ∈ 𝐹 dhe për çdo 𝑥 ∈ 𝑋
(N4) 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 për çdo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
Çifti i renditur (𝑋, ∙ ) , i hapësirës vektoriale X dhe normës 𝑥 → 𝑥 të përkufizuar
në X quhet hapësirë e normuar vektoriale.
Dy veti të rëndësishme të normës :
Pohim1.2.2. [2,3]
1. Është i vërtet jobarazimi 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑦 2. Funksioni normë ∙ është funksion i vazhdueshëm në çdo hapësirë të normuar
vektoriale.
Disa shembuj të hapësirave të normuara :
3
Shembull 1.2.3. 𝑋 = 𝐾𝑝𝑘 1 ≤ 𝑝 < +∞, ℝ,ℂ : 𝑥 𝑝 = ( 𝑥𝑖
𝑘𝑖=1
𝑝)
1
𝑝
për = +∞ : 𝑥 ∞ = max1≤𝑖≤𝑘 𝑥 𝑖
Çdo dy norma në hapësirën 𝐾𝑝𝑘 , 𝑝 ≥ 1, janë ekuivalente (shih përkufizimin e
hapësirave ekuivalente).
Shembull 1.2.4. ( 𝑋 = 𝑙𝑝 është hapësira e të gjitha vargjeve të pafundme të trajtës
𝑥 = (𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ,… ) të tillë që 𝑥𝑖 𝑝+∞
𝑖=1 konvergjon)
𝑋 = 𝑙𝑝 , 1 ≤ 𝑝 < +∞ ∶ 𝑥 = ( 𝑥𝑖 𝑝
+∞
𝑖=1
)1𝑝
Shembull 1.2.5. 𝑋 = 𝑚 është hapësira e gjitha vargjeve të kufizuara, dmth hapësira e
gjitha vargjeve 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ,… ) të tillë që 𝑠𝑢𝑝𝑛∈ℕ 𝑥𝑛 < +∞.
𝑋 = 𝐶 është hapësira e të gjitha vargjeve të cilat konvergjojnë.
𝑋 = 𝐶0 është hapësira e të gjitha vargjeve të cilat konvergjojnë në zero.
Në hapësirën e vargjeve 𝑀,𝐶,𝐶0: 𝑥 = 𝑠𝑢𝑝𝑛∈ℕ 𝑥𝑛
Shembull 1.2.6. Hapësira X = ℂ a, b është hapësira e gjitha funksioneve të
vazhdueshme në intervalin e fundëm a, b .
𝑋 = ℂ 𝑎, 𝑏 : 𝑥 = max𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑥(𝑡)
Shembull 1.2.7. 𝑋 = ℂ𝑝 𝑎, 𝑏 hapësira e gjitha funksioneve të vazhdueshme në
intervalin e fundëm a, b .
𝑋 = ℂ𝑝 𝑎, 𝑏 , 1 ≤ 𝑝 < +∞, 𝑥 = ( 𝑥 𝑡 𝑝𝑏
𝑎𝑑𝑡)
1
𝑝
Shembull 1.2.8. 𝑋 = 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) është hapësira e funksioneve të integrueshme sipas
Lebegut në intervalin (a, b).
𝑋 = 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) , 1 ≤ 𝑝 < +∞, 𝑥 = ( 𝑥 𝑡 𝑝𝑏
𝑎𝑑𝑚)
1
𝑝
Provohet se funksionet e dhëna në shembujt e mësipërm janë norma në hapësirat ku
janë të përkufizuara.
Përkufizim1.2.9. [2,3] Normat 𝑥 1 dhe 𝑥 2 në 𝑋 janë ekuivalente nëse ekzistojnë
numrat 𝑚,𝑀 > 0 të tillë që për cdo 𝑥 ∈ 𝑋 vlen 𝑚 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 ≤ 𝑀 𝑥 1
Nga jobarazimi i fundit rrjedh: 1
𝑀 𝑥 2 ≤ 𝑥 1 ≤
1
𝑚 𝑥 2 .
4
1.3 Hapësirat e Banahut
Përkufizim1.3.1.[2,3] Vargu (𝑥𝑛) është varg i Cauchyt (Koshiut) në qoftë se për çdo
ε > 0 ekziston numri natyror 𝑛0 i tillë që për
𝑚 > 𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ 𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 < 휀
Pohim1.3.2. [2,3] Çdo varg i Cauchyt(Koshiut) është i kufizuar.
Pohim1.3.3. [2,3] Çdo varg konvergjent ështe varg i Cauchyt(Koshiut).
Përkufizim1.3.4.[2,3] Hapësira është e plotë, në qoftëse çdo varg i Cauchyt(Koshiut)
konvergjon në të.
Përkufizim1.3.5.[2,3] Hapësirat e normuara e të plota do ti quajmë hapësira të
Banahut.
Shembull 1.3.6. 𝑚 = 𝑥 = (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ: ∃𝑀 > 0, 𝑥𝑛 < 𝑀,𝑝ë𝑟 𝑛 ∈ ℕ është bashkësia
e të gjithë vargjeve numerike të kufizuara. Kjo bashkësi 𝑚 e paisur me veprimin e
mbledhjes dhe shumëzimit me skalar formon një hapësirë vektoriale.
Përcaktojmë në 𝑚 funksionin që pikës 𝑥 = (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ i vë në korrespondencë numrin
𝑥 = 𝑠𝑢𝑝𝑛∈ℕ
𝑥𝑛
Që ky funksion paraqet normë e kemi parë në shembullin 1.2.5. Provohet se 𝑚 e
paisur me këtë normë është hapësirë e Banahut.
Shembull 1.3.7. Provohet se 𝑋 = 𝑙∞(𝑀) është hapësirë e Banahut ( 𝑙∞(𝑀) është
hapësira e gjitha funksioneve me vlera reale të kufizuara f: M → ℝ ) ku M është
hapësirë metrike e plotë dhe
𝑓 = sup𝑥∈𝑀 𝑓(𝑥)
Gjithashtu tregohet që hapësirat e dhëna në shembujtë e mësipërm me normat
përkatëse janë hapësira të Banahut.
5
1.4 Përkufizimi i konvergjencës statistikore
Fomalisht koncepti i konvergjencës statistikore është paraqitur nga Steinhaus [4] dhe
Fast [5] dhe më vonë edhe nga Schoenberg [6].
Konvergjenca statistikore, ka mbi pesëdhjetë vite që është futur si koncept, por kohët
e fundit ka filluar të hulumotohet kjo fushë më gjerësisht. Matematikanë të ndryshëm
kanë studiuar veti të konvergjencës staistikore dhe e kanë aplikuar atë në fusha të
ndryshme si në teorinë e masës [7], në seritë trigonometrike [8], në teorinë përafruese
[9], hapësirat lokalisht konvekese [10] dhe hapësirat e Banahut [11] etj.
Ideja e konvergjencës statistikore është përgjithësim i konvergjencës së zakonshme,
dhe gjithashtu shërben si një aparat ndihmës që në përgjithësi i pasuron me rezultate
të jashtëzakonshme metodat e shumueshmërisë, siç janë metoda e Cezaros, metoda e
Norlundit, metoda e Eulerit etj. Gjithashtu me një shembull konkret do të tregojmë se
konvergjenca statistikore është përgjithësim i konvergjncës së zakonshme.
Konsiderojmë nënbashkësinë 𝐾 të bashkësisë së numrave natyror 𝑁. Atëhere
𝐾𝑛 = 𝑘 ∈ 𝐾: 𝑘 ≤ 𝑛 .
Përkufizim 1.4.1 [12, kap11] Densiteti natyror 𝛿(𝐾) i bashkësisë 𝐾 është i barabartë
me
𝛿 𝐾 = lim𝑛→∞
𝐾𝑛
𝑛
sa herë që ekziston limiti i tij. Shprehja 𝐾𝑛 paraqet numrin kardinal të bashkësisë
𝐾𝑛 .
Le të konsiderojmë vargun real 𝑙 = 𝑎1,𝑎2,… dhe numrin real 𝑎.
Përkufizojmë bashkësinë 𝑑(𝑙) = 𝑘 ≤ 𝑛: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀 .
Përkufizim 1.4.2. [12] Themi se vargu 𝑙 konvergjon statistikishtë te numri 𝑎 nëse për
çdo 휀 > 0
lim𝑛→∞
𝑘 ≤ 𝑛: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀
𝑛= 0 (1.4.1)
Numri 𝑎 quhet limit statistikor i vargut 𝑙. Këtë e shënojmë 𝑠𝑡 − 𝑙𝑖𝑚 𝑙 = 𝑎. Gjithashtu
vargjet konvergjente janë statistikisht konvergjente sa herë që të gjitha nënbashkësitë
e numrave natyrorë kanë densitetin zero. Në përgjithësi e anasjellta nuk është e
vërtetë. Kjo është paraqitur me shembullin e mëposhtëm.
Shembull 1.4.3 Le të jetë dhënë vargu 𝑙 = 𝑎1,𝑎2,… termat e të cilit janë dhënë me
formulën
𝑎𝑛 = 𝑛 𝑠𝑎 𝑒𝑟ë 𝑞ë 𝑛 = 𝑠2 𝑝ë𝑟 ç𝑑𝑜 𝑠 = 1,2,3…1
𝑛 𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑡𝑗𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒
6
Të tegojmë se vargu i dhënë 𝑎𝑛 konvergjon statistikisht por nuk konvergjon në
mënyrë të zakonshme.
Atëhere lehtë shihet se
lim𝑛→∞
𝑘 ≤ 𝑛: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀
𝑛= lim
𝑛→∞
𝑘 ≤ 𝑠: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀
𝑛
= lim𝑛→∞
𝑠
𝑛= lim
𝑘→∞
𝑘
𝑘= 0
Pra, në bazë të (1.4.1) shohim se vargu i dhënë konvergjon statistikisht.
Nga ana tjetër shihet qartë se vargu i dhënë 𝑙 nuk është konvergjent në kuptimin e
konvergjencës së zakonshme. Dmth
kur 𝑛 = 𝑠2
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = ∞
kurse, për 𝑛 të tjera
lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 .
Pra kjo tregon se vargu 𝑙 është divergjent.
Me këtë shembull treguam se një varg mund të konvergjojë statistikisht por jo edhe në
mënyrë të zakonshme. Pra konvergjenca statistikore është përgjithsim i konvergjencës
së zakonshme.
7
1.5 Shuma e serive. [14] Seria
𝑎𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯
Themi se është konvergjente te 𝑠, nëse shuma e pjesëshme
𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 → 𝑠 kur 𝑛 → ∞.
Seritë vijuese
1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (1.5.1)
1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (1.5.2)
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ (1.5.3)
1 − 1! + 2! − 3! + ⋯ (1.5.4)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ (1.5.5)
janë seri divergjente. Seritë
1 + 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒2𝑖𝜃 + ⋯ (1.5.6)
1
2+ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + ⋯ (1.5.7)
janë seri divergjente për çdo 𝜃 dhe serija
𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛3𝜃 + ⋯ (1.5.8)
është seri divergjente dhe vetëm në rastin kur 𝜃 është shumëfish i numrit 𝜋, atëherë
kjo seri konvergjon te 0.
Përkufizimet e konvergjencës dhe divergjencës së serive tani janë të rëndomta në
analizën elementare. Këto ide kanë qenë të njohura edhe për matematikanët para
Njutonit dhe Laibnicit ( në të vërtet Arkimedit); dhe për të gjithë matematikanët e
shekullit shtatëmbëdhjetë dhe tetëmbëdhjetë, megjithatë nga pakujdesija duket se
kanë manipuluar me seri, duke e ditur shume mirë se seritë që i kanë përdorur ishin
seri konvergjente.
Por kjo nuk ishte prezente në kohën e Cauchy ku përkufizimet ishin formuluar në
përgjithësi në mënyrë të qartë. Newton dhe Leibniz, ishin matematikanët e parë që
kanë përdorur sistematikisht seri të pafundme, por kishte pak tundim për të përdorur
seri të ndryshme (edhe pse Leibniz ka luajtur me to herë pas here).Tundimi është bërë
më i madh pas zgjerimit të analizës, dhe u zbulua shpejt se ato ishin të dobishme, dhe
se operacionet e kryera në to në mënyrë jokritike shpesh na kanë çuar në rezultate të
rëndësishme që mund të verifikohet në mënyrë të pavarur.
8
1.6 Disa llogaritje me seri divergjente. [14]
Dimë që seria
1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ =1
1 − 𝑥 (1.6.1)
nëse 𝑥 < 1 . Duket qartë se, nëse dëshirojm të shkruajmë ‗shumën‘ në ndonjë formë,
në ndonjë seri për 𝑥 të tjera, kjo shumë duhet të jetë formalishtë e njejtë. Për (i) do të
ishte e papërshtatshme nëse formula do të varionte në disa raste; (ii) duhet të presim
që shuma 𝑠 të plotësojë barazimin
𝑠 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ = 1 + 𝑥 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ = 1 + 𝑥𝑠
dhe (iii) ana e majtë e (1.6.1) është rezultat që paraqitet si raport i cili rrjedh nga ana
e djathtë, kështu që sigurisht ekziston ndonjë formë e ‗ =‘ me të cilën (1.6.1) ndoshta
mundë të thuhet të jetë i vërtet për çdo 𝑥.
(1) Supozojmë që (1.6.1 ), është e vërtetë për çdo 𝑥 (me përjashtim ndoshta për
𝑥 = 1, rast i cili paraqet vështirësi të veçanta), dhe të operojmë në formulë në
mënyrë kritike.
Vendosim 𝑥 = 𝑒𝑖𝜃 , ku 0 < 𝜃 < 2𝜋 (𝑥 ≠ 1), ne fitojmë
1 + 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒2𝑖𝜃 + ⋯ = (1 − 𝑒𝑖𝜃 )−1 =1
2+
1
2𝑖 𝑐𝑡𝑔
1
2𝜃 (1.6.2)
dhe gjithashtu
1
2+ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + ⋯ = 0 (1.6.3)
𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + ⋯ =1
2𝑐𝑡𝑔
1
2𝜃 (1.6.4)
për 0 < 𝜃 < 2𝜋.
E zëvendësojmë 𝜃 me 𝜃 + 𝜋, fitojmë
1
2− 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −⋯ = 0 (1.6.5)
𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + ⋯ =1
2𝑡𝑔
1
2𝜃 (1.6.6)
Për −𝜋 < 𝜃 < 𝜋.
Për 𝜃 = 0, (1.6.5) na jep
1 − 1 + 1 −⋯ =1
2 (1.6.7)
9
(2) Tani transformojmë (1.6.5) dhe (1.6.6) në mënyrë të përsëritur në lidhje me 𝜃.
Kështu fitojmë
(−1)𝑛−1𝑛2𝑘 cos𝑛 𝜃 = 0 (𝑘 = 1,2,3,… ;
∞
1
− 𝜋 < 𝜃 < 𝜋) (1.6.8)
(−1)𝑛−1𝑛2𝑘+1 sin𝑛 𝜃 = 0
∞
1
(1.6.9)
(−1)𝑛−1𝑛2𝑘 sin𝑛 𝜃 = (−1)𝑘 𝑑
𝑑𝜃
2𝑘
1
2 𝑡𝑔
1
2𝜃
∞
1
(1.6.10)
(−1)𝑛−1𝑛2𝑘+1 cos𝑛 𝜃 = (−1)𝑘 𝑑
𝑑𝜃
2𝑘+1
1
2 𝑡𝑔
1
2𝜃
∞
1
(1.6.11)
tri formulat e fundit për 𝑘 = 0, 1, 2,… ; −𝜋 < 𝜃 < 𝜋. Në veçanti, duke zëvendësuar
𝜃 = 0 në (1.6.8) dhe (1.6.11), dhe 𝜃 =1
2𝜋 në (1.6.9), dhe duke ditur se seria e Taylor-
it për 1
2 𝑡𝑔
1
2𝜃 është
1
2 𝑡𝑔
1
2𝜃 =
22𝑘+2 − 1
2𝑘 + 2 !
∞
𝑘=0
𝐵𝑘+1𝜃2𝑘+1,
ku 𝐵𝑘 është numri i Bernoull-it, ne fitojmë
12𝑘 − 22𝑘 + 32𝑘 − 42𝑘 + ⋯ = 0 (𝑘 = 1,2,3,… ) (1.6.12)
12𝑘+1 − 22𝑘+1 + 32𝑘+1 − 42𝑘+1 + ⋯
= (−1)𝑘22𝑘+1 − 1
2𝑘 + 2𝐵𝑘+1 𝑘 = 0,1,… (1.6.13)
12𝑘+1 − 32𝑘+1 + 52𝑘+1 −⋯ = 0 𝑘 = 0,1,… (1.6.14)
Ngjashëm, duke filluar prej
𝑒𝑖𝜃 − 𝑒3𝑖𝜃 + 𝑒5𝑖𝜃 −⋯ =𝑒𝑖𝜃
1 + 𝑒2𝑖𝜃=
1
2sec𝜃 (1.6.15)
dhe duke e ditur se
sec 𝜃 = 1 + 𝐸𝑘𝜃
2𝑘
2𝑘 !
∞
1
ku 𝐸𝑘 është numri i Euler-it, ne fitojmë (1.6.14) dhe gjithashtu
12𝑘 − 32𝑘 + 52𝑘 − 72𝑘 + ⋯ =1
2 (−1)𝑘𝐸𝑘 (𝑘 = 1,2,3,… ) (1.6.16)
10
Shohim se (1.6.13) , për 𝑘 = 0, është
1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ =1
4 (1.6.17)
i cili është gjithashtu rezultat i cili përputhet me (1.6.7) sipas rregullave të Cauchy-ut
1 − 1 + 1 −⋯ 1 − 1 + 1 −⋯ = 1.1 − 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 − ⋯
(3) Nëse e integrojmë (1.6.5) nga 𝜃 = 0 në 𝜃 = 𝜙, fitojmë
𝑠𝑖𝑛𝜃 −1
2𝑠𝑖𝑛2𝜃 +
1
3𝑠𝑖𝑛3𝜃 −⋯ =
1
2𝜃 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (1.6.18)
Kjo seri është konvergjente. Integrimi i dytë na jep
1−cos 𝜃 −1−cos 2𝜃
22+
1−cos 3𝜃
23−⋯ =
1
4𝜃2 (1.6.19)
Këtu ne mund ti përfshijmë edhe skajet, (seritë konvergjojnë uniformishtë për çdo 𝜃),
pra për 𝜃 = 𝜋 fitojmë
1 +1
32+
1
52+ ⋯ =
1
8𝜋2 (1.6.20)
Pasi që
1 +1
32+
1
52+ ⋯ = 1 +
1
22+
1
32+ ⋯−
1
22−
1
42+ ⋯
= 1 −1
4 1 +
1
22+
1
32+ ⋯ ,
ne përfundojmë se
1 +1
22+
1
32+ ⋯ =
1
6𝜋2 (1.6.21)
1 −1
22+
1
32−⋯ =
1
12𝜋2 (1.6.22)
dhe gjithashtu
cos 𝜃 −cos 2𝜃
22+
cos 3𝜃
22−⋯ =
1
12𝜋2 −
1
4𝜃2 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (1.6.23)
Integrimet e mëtutjeshme na çojnë në shumimet e (−1)𝑛−1𝑛−2𝑘 cos𝑛𝜃 dhe
(−1)𝑛−1𝑛−2𝑘−1 sin𝑛𝜃 me vlera të funksioneve të Bernulit (Bernoullian).
(4) Nga ana tjetër, mund të bëjmë llogaritje të tjera, dhe fitojmë (1.6.19) nga (1.6.7)
dhe (1.6.12), duke argumentuar se
11
−1 𝑛−11 − cos𝑛 𝜃
𝑛2
∞
1
= −1 𝑛−1
𝑛2 −1 𝑘∞
𝑘=0
𝑛𝜃 2𝑘+2
2𝑘 + 2 !
∞
1
= −1 𝑘𝜃2𝑘+2
2𝑘 + 2 !
∞
𝑘=0
−1 𝑛−1𝑛2𝑘 =1
2
∞
𝑛=1
𝜃2 1 − 1 + 1 −⋯
=1
4𝜃2.
Ne mund ta përgjithësojmë këtë fakt. Supozojmë se
𝑓 𝜃 = 𝑎0 + 𝑎1𝜃2 + 𝑎2𝜃
4 + ⋯
është konvergjent për çdo 𝜃. Atëhere
−1 𝑛−1𝑓 𝑛 𝜃
𝑛2
∞
1
= −1 𝑛−1
𝑛2 𝑎𝑙 𝑛𝜃
2𝑙
∞
𝑙=0
= 𝑎𝑙
∞
𝑙=0
∞
𝑛=1
𝜃2𝑙 −1 𝑛−1𝑛2𝑙−2
∞
𝑛=1
=𝑎0 1
12−
1
22+
1
32−⋯ + 𝑎1𝜃
2 1 − 1 + 1 −⋯
=1
12𝑎0𝜋
2 +1
2𝑎1𝜃
2 (1.6.24)
Ky barazim në përgjithësi nuk është i vërtetë; për shembull për 𝑓 𝜃 = 𝑒−𝜃2; por
është i vërtet për një klasë mjaft të gjërë funksionesh. Kështu , nëse 𝑓 𝜃 është
funksion i Bessel-it
J0 𝜃 = 1 −𝜃2
22+
𝜃4
22 ∙ 42−⋯,
ne marrim
J0 𝜃 −J0 2𝜃
22+
J0 3𝜃
32−⋯
=1
12𝜋2 −
1
8𝜃2 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (1.6.25)
(5) Nga (1.6.4) rrjedh se
cos𝑛𝜃 sin 𝑛𝜃 =
∞
1
1
4 𝑐𝑡𝑔
1
2 𝜙 + 𝜃 + 𝑐𝑡𝑔
1
2 𝜙 − 𝜃 =
1
2
sin𝜙
cos 𝜃 − cos𝜙
dhe gjithashtu
cos𝑚𝜃 − cos𝑚𝜙
cos𝜃 − cos𝜙= 2
sin𝑛𝜙
sin𝜙
∞
𝑛=1
cos𝑛𝜃 (cos𝑚𝜃 − cos𝑚𝜙)
për çdo 𝑚 > 0. Nëse e integrojmë këtë ekuacion nga 𝜃 = 0 deri te 𝜃 = 𝜋, ne
fitojmë
cos𝑚𝜃 − cos𝑚𝜙
cos𝜃 − cos𝜙𝑑𝜃 =
𝜋
0
𝜋sin𝑚𝜙
sin𝜙 1.6.26
e cila mund të tregohet në mënyra të ndryshme.
(6) Nga (1.6.4) dhe (1.6.6) rrjedh
𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛3𝜃 + ⋯ =1
2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃
12
𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛4𝜃 + ⋯ =1
2𝑐𝑡𝑔𝜃.
Nëse këtë barazim e shumëzojmë me 𝜃 dhe integrojmë nga 𝜃 = 0 deri te 𝜃 =1
2𝜋,
marrim
𝜃 sin 2𝑛 + 1 𝜃 𝑑𝜃 = −1 𝑛
2𝑛 + 1 2
12𝜋
0
, 𝜃 sin 2𝑛𝜃
12𝜋
0
𝑑𝜃 = −1 𝑛−1π
4n ,
θ
sinθ
12𝜋
0
= 2 1 −1
32+
1
52−⋯ (1.6.27)
𝜃 𝑐𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 =
12𝜋
0
1
2π log2 (1.6.28)
Gjithashtu, këto formula mund të verifikohen në mënyrë të pavarur.
1.7 Përkufizime themelore. [14]
Rezultatet e llogaritjeve formale të paragrafit 1.6 janë korrekte dhe të gjitha formulat
(1.6.18)-( 1.6.23), (1.6.25), dhe (1.6.26)-(1.6.28) janë të sakta. Është e natyrshme që
të mendohet se edhe formulat e tjera që merren me përafrime të ndryshme të jenë të
sakta. Për këtë duhet të japim disa përkufizime të ‗ shumës ‘ të një serie të pafundme,
më të aplikueshme se sa përkufizimi klasik i Koshi-ut (Cauchy).
Le të supozojmë se, kemi dhënë disa përkufizime për shumën e serive të cilat
plotësojnë aksiomat vijuese:
(A) Nëse 𝑎𝑛 = 𝑠 atëhere 𝑘𝑎𝑛 = 𝑘𝑠; (B) Nëse 𝑎𝑛 = 𝑠 dhe 𝑏𝑛 = 𝑡 atëhere (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝑠 + 𝑡; (C) Nëse 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ = 𝑠 atëhere 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ = 𝑠 − 𝑎0 dhe
anasjelltas .
Aktualisht, të gjitha përkufizimet të cilat do ti përdorim i plotësojnë aksiomat (𝐴) dhe
(𝐵), por në përgjithësi nuk plotësohet aksioma (C). Atëhere, nëse 1 − 1 + 1 −⋯ = 𝑠,
kemi
𝑠 = 1 − 1 + ⋯ = 1 + −1 + 1 −⋯ = 1 − 1 − 1 + ⋯ = 1 − s.
Këtu ne kemi përdorur vetëm aksiomat (A) dhe (C). Ngjajshëm, nëse 1 − 1 + 1 −1 + ⋯ = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ = 𝑠, ne kemi
𝑠 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ = 1 + −2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ = 1 − 2 − 3 + 4 − 5 + ⋯
= 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ − 1 − 2 + 3 −⋯ = 1 −1
2− 𝑠
13
Kemi 𝑠 = 1 −1
2− 𝑠 që nga rrjedh se 𝑠 =
1
4. Në këtë rastë kemi përdorur aksiomat
(𝐴), (𝐵) dhe (𝐶).
Pra në qoftë se ne përkufizojmë në një mënyrë tjetër (𝑃) që shuma 𝑎𝑛 është 𝑠,
atëherë themi se seria 𝑎𝑛 është (𝑃) e shumueshme, dhe në këtë rastë numri 𝑠 quhet
𝑃 -shuma e serisë 𝑎𝑛 . Simbolikisht e shënojmë
𝑎𝑛 = 𝑠 (𝑃)
Ne gjithashtu do të themi se 𝑠 është 𝑃 − limiti i shumës së pjesëshme 𝑠𝑛 , dhe
shënojmë
𝑠𝑛 → 𝑠(𝑃)
Duke shfrytëzuar simbolikën e mësipërme po japim disa metoda të shumueshmërisë.
(1) Metoda (𝑪,𝟏) . Le të jetë dhënë vargu (𝑎𝑛 ), dhe le të jetë
𝑠𝑘 = 𝑎0+𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑘−1
shuma e 𝑘-të e pjesshme e serisë
𝑎𝑛
∞
𝑛=0
.
Seria 𝑎𝑛∞𝑛=0 quhet e shumueshme sipas Cesaros, me shumë të Cesaros 𝑠 ∈ ℝ nëse
vlera mesatare e shumës së pjesshme 𝑠𝑘 tenton në 𝑠.
lim𝑛→∞
1
𝑛 + 1 𝑠𝑘
𝑛
𝑘=0
= lim𝑛→∞
𝑠0 + 𝑠1+𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛𝑛 + 1
= 𝑠 (1.7.1)
ose 𝑠 quhet (𝐶, 1) −e shumueshme .
Me fjalë tjera, shuma e Cesaros e një serie të fundme është limiti i mesatares
aritmetike të 𝑛 shumave të para të pjesëshme të serisë, kur 𝑛 tenton në pambarim.
Është lehtë të shihet se çdo seri konvergjente është e shumueshme sipas Cesaros, dhe
shuma e serisë përputhet me shumën e Cesaros. Megjithatë, shembulli 3.3 tregon që
ka seri që divergjojnë por janë megjithatë të shumueshme sipas Cesaros.
Shembulli 1.7.1 Le të jetë 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 për 𝑛 ≥ 1 . Atëherë vargu 𝑎𝑛 është
1,−1, 1,−1,… , (−1)𝑛+1,…
Shënojmë me 𝐺 serinë
𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯+ (−1)𝑛+1 + ⋯
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
14
Atëhere vargu i shumave të pjesshme të saj
𝑠𝑛 = 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
është
𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4,…
ose
𝑠1 = 1, 𝑠2 = 1 − 1 = 0, 𝑠3 = 1 − 1 + 1 = 1, 𝑠4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0,…
ose
1, 0, 1, 0,…
Seria 𝐺 njihet me emrin si seria e Grandi-së dhe shihet qartë se ajo nuk konvergjon.
Në anën tjetër, termat e vargut 𝑡𝑛 , ku
𝑡𝑛 =1
𝑛 𝑠𝑘
𝑛
𝑘=1
janë
1
1,1
2,2
3,2
4,3
5,3
6,4
7,4
8,… ,
Prandaj
lim𝑛→∞
𝑡𝑛 = lim𝑛→∞
1
𝑛 𝑠𝑘
𝑛
𝑘=1
=1
2
Prandaj shuma Cesaro e serisë 𝐺 është 1
2.
Shembulli i lartpërmendur tregon se seritë divergjente përmes metodave të
shumueshmërisë konvergjojnë.
(2) Nëse 𝑎𝑛 𝑥𝑛 është seri konvergjente për 0 ≤ 𝑥 < 1 ( dhe gjithashtu për çdo 𝑥,
real ose kompleks, me 𝑥 < 1), 𝑓(𝑥) është shuma e saj dhe
lim𝑥→1−0
𝑓(𝑥) = 𝑠,
atëhere 𝑠 quhet 𝐴-shuma e 𝑎𝑛 .
(3) Nëse 𝑎𝑛 𝑥𝑛 është konvergjente për 𝑥 rrotull origjinës tek funksioni 𝑓(𝑥) regular
në një zonë rrethuese të hapur dhe të lidhur të origjinës dhe në pikën 𝑥 = 1,
𝑓 1 = 𝑠 ; atëhere 𝑠 quhet 𝔈-shuma e 𝑎𝑛 .
15
(4) Përkufizimi i katërt kërkon më tepër sqarime. Supozojmë se seria 𝑎𝑛𝑥𝑛
konvergjon për çdo 𝑥 rrotull zeros dhe
𝑥 =𝑦
1 − 𝑦 , 𝑦 =
𝑥
1 + 𝑥 (1.7.2)
Kështu që 𝑦 =1
2 i korrespondon 𝑥 = 1. Atëhere, për 𝑥 dhe 𝑦 rrotull zeros, ne kemi
𝑥𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛+1 = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑥
2
∞
𝑛=0
+ 𝑎2𝑥3 + ⋯
= 𝑎0
𝑦
1 − 𝑦+ 𝑎1
𝑦
1 − 𝑦
2
+ 𝑎2 𝑦
1 − 𝑦
3
+ ⋯
= 𝑎0
𝑦
1 − 𝑦+ 𝑎1
𝑦2
1 − 𝑦 2+ 𝑎2
𝑦3
1 − 𝑦 3+ ⋯
= 𝑎𝑝
∞
𝑝=0
𝑝 + 𝑚
𝑚
∞
𝑚=0
𝑦𝑝+𝑚+1 = 𝑎𝑝
∞
𝑝=0
𝑛
𝑛 − 𝑝
∞
𝑛=𝑝
𝑦𝑛+1.
Duke ndërruar rendin e shumimit, fitojmë
𝑥𝑓 𝑥 = 𝑦𝑛+1
∞
𝑛=0
𝑛
𝑛 − 𝑝
𝑛
𝑝=0
𝑎𝑝 = 𝑦𝑛+1
∞
𝑛=0
𝑛
𝑝
𝑛
𝑝=0
𝑎𝑝 = 𝑏𝑛𝑦𝑛+1 (1.7.3)
∞
𝑛=0
për 𝑦 të vegjël, ku
𝑏0 = 𝑎0 , 𝑏𝑛 = 𝑎0 + 𝑛
1 𝑎1 +
𝑛
2 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 (1.7.4)
Nëse 𝑦-serija është konvergjentë për =1
2 , te 𝑠, dhe nëse
1
2𝑏0 +
1
4𝑏1 +
1
8𝑏2 + ⋯ = 2−𝑛−1𝑏𝑛 = 𝑠 (1.7.5)
atëhere 𝑠 quhet 𝐸, 1 −shuma e serisë 𝑎𝑛 .
Shkronja 𝔈 dhe 𝐸 të dyja paraqesin Eulerin, shkronja 𝐴 përdoret për metodën e Abel-
it dhe 𝐶 për metodën e Cesaros.
Të gjitha këto metoda plotësojnë aksiomat (A) dhe (B), dhe është lehtë të shihet se tri
të parat e plotësojnë aksiomën (C), me kushtë që 𝔈 metoda të jetë e lidhur me një
hapësirë të përkufizuar. Shënojmë me 𝑠𝑛 shumën e pjesëshme të serisë 𝑎0 + 𝑎1 +𝑎2 … , kurse me 𝑡𝑛 shumën e pjesëshme të serisë 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 … , prandaj 𝑡𝑛 =𝑠𝑛+1 − 𝑎0; dhe shënojmë
𝑓1 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥2 + ⋯
prandaj 𝑥𝑓1 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑎0.
(1) Nëse seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐶, 1 -e shumueshme te numri 𝑠 , atëherë
𝑡0 + 𝑡1 + 𝑡2 + ⋯+ 𝑡𝑛𝑛 + 1
=𝑛 + 2
𝑛 + 1 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛+1
𝑛 + 2− 𝑎0 → 𝑠 − 𝑎0
16
prandaj seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐶, 1 -e shumueshëme te numri 𝑠 − 𝑎0.
(2) Nëse seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐴 -e shumueshme te numri 𝑠 , atëhere
𝑓1 𝑥 = 𝑥−1 𝑓(𝑥) − 𝑎0 → 𝑠 − 𝑎0,
Dhe seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐴 -e shumueshëme te numri 𝑠 − 𝑎0.
(3) Nëse 𝑓(𝑥) është i një-vlershëm dhe regular në një hapsirë duke përfshirë 0 dhe 1,
dhe 𝑓(1) = 𝑠, atëhere 𝑓1 𝑥 është i një-vlershme dhe ragular në këtë hapsirë, dhe
𝑓1 1 = 𝑠 − 𝑎0.
Pohimi i drejtpërdrejtë në (𝐶) është i vërtet për të tri metodat. Më pak bie në sy se
(𝐸, 1)- metoda plotëson (𝐶). Nëse e marrim këtë si të dhënë për momentin, ajo është
e qartë se për të katër metodat, seria në (3.1.1), duhet të jap shumën 1
2. Lehtë
vërtetohet se 𝑆𝑛 është 1 për 𝑛 –tek dhe 0 për 𝑛-çift, kështu që 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛
është 1
2(𝑛 + 2) ose
1
2(𝑛 + 1) , pasi që 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)−1 , dhe pasi që 𝑏0 = 1 dhe
𝑏𝑛 = 0 për 𝑛 > 0.
Tregohet se katër metodat i japin ekuacionet (1.6.2)-( 1.6.7) kurse tri të fundit i japin
ekuacionet (1.6.8)-(1.6.17). metoda (C,1) nuk e plotëson (1.6.17), pasi që vlerat e 𝑠𝑛
janë 1,−1, 2,−2, 3,… dhe
𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛 = 1
2 𝑛 + 2 , për 𝑛 − tek
0, për 𝑛 − çift .
Vërejmë në këtë rastë se një përsëritje e procesit të mesatares do të japë limitin 1
4.
Metodat (1), (2) dhe (4) japin ∞ si shuma të (1.6.5): në rastin e fundit 𝑏0 = 1, 𝑏1 =
2, 𝑏2 = 4,…, kështu që seria (1.7.5) është 1
2+
1
2+
1
2+ ⋯ . Metoda (3) është e pa
aplikueshme pasi që 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥)−1 nuk është regulare për 𝑥 = 1.
Metodat (1) dhe (2) nuk vlejnë për (1.5.3): vlerat e 𝑠𝑛 janë 1,−1, 3,−5, 11,… ; dhe
𝑎𝑛𝑥𝑛 nuk është seri konvergjente kur 𝑥 ≥ 2 . Metoda (3) na jep shumën
1
3. Në
metodën (4) , 𝑏𝑛 = (1 − 2)𝑛 = (−1)𝑛 dhe
1
2𝑏0 +
1
4𝑏1 +
1
8𝑏2 + ⋯ =
1
2−
1
4+
1
8−⋯ =
1
3.
prandaj edhe kjo metodë na jep shumën 1
3. Është e qartë që kjo është shuma e ‗duhur‘
pasi ajo plotëson 𝑠 = 1 − 2𝑠 .
Gjithashtu është e dobishme të marrim në konsideratë (1.5.6). Këtu metoda (1) na jep
vlerën ∞. Metoda (2) është e pa aplikueshme. Metoda (3) na jep vlerën -1. Më në
fund, me metodën (4) ne kemi 𝑏𝑛 = (1 + 2)𝑛 = 3𝑛 ,
1
2𝑏0 +
1
4𝑏1 +
1
8𝑏2 + ⋯ =
1
2+
1
2∙
3
2+ ⋯+
1
2∙
3
2 𝑛
+ ⋯,
17
e cila divergjon në ∞, kështu që metoda na jep vlerën ∞. Vërejmë se në këtë rast kemi
dy vlera të shumës ∞ dhe −1, dhe gjithashtu këtu kemi një paradoks, pasi që nuk
duket e natyrshme që seria me terma pozitive të ketë shumën negative.
1.8 Regulariteti i metodës. [14]
Këtu kemi paraqitur disa metoda regulare. Për një metodë themi se është regulare nëse
shuma e metodës konvergjon te i njejti limit ku konvergjon seria e fillimit.
Prandaj metoda (𝐶, 1) është metodë regulare, pasi 𝑎𝑛 = 𝑠 , sell se edhe
𝑆𝑛 =𝑠0 + 𝑠1+𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛
𝑛 + 1→ 𝑠.
Gjithashtu 𝐴 është metodë regulare, pasi 𝑎𝑛 = 𝑠 , sjell se edhe
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 → 𝑠
Këto metoda janë regulare edhe në sens të zgjeruar.
Nëse 𝑎𝑛 është real dhe
𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛 → ∞
( p.sh. nëse 𝑎𝑛është seri divergjente me terma pozitive), atëhere
𝑆𝑛 =𝑠0 + 𝑠1+𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛
𝑛 + 1→ ∞
dhe metoda (𝐶, 1) na jep 𝑠 = ∞.
Për metodën 𝐴 kemi dy mundësi. 𝑎𝑛 𝑥𝑛 divergjon për ndonjë 𝑥 = 𝑥0 < 1, atëhere
ajo divergjon në ∞ në intervalin 𝑥0, 1 , dhe
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 = ∞
ose 𝑎𝑛 𝑥𝑛 konvergjon për 0 ≤ 𝑥 < 1 , dhe 𝑓 𝑥 → ∞ kur 𝑥 → 1. Në çdo rast tjetër
mund të themi se metoda 𝐴 na jep 𝑠 = ∞ . Kur metoda regulare ka këtë veti
plotësuese, ne do të themi se ajo është totalishtë regulare. Gjithashtu mund të shohim
se metoda (𝐸, 1) është totalisht regulare. Shihet qartë se metoda 𝔈 nuk është totalisht
regulare, pasi që shuma 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ tenton në −1 . Në fakt ajo nuk është
gjithmonë regulare, deri sa kërkohet që 𝑓 𝑥 të jetë regulare në 𝑥 = 1 ku 𝑎𝑛
konvergjon.
18
1.9 Përgjithësimet lidhur me transformimet lineare. [14]
Teorija e serive divergjente ka synuar përgjithësimin e kuptimit të limitit të vargut të
shumave të pjesshme 𝑠𝑛 , ku zakonisht në vend të tyre merren vargje ndihmës si
kombinime lineare të 𝑠𝑛 . Më herët kemi përcaktuar (𝐶, 1) − limitin e 𝑠𝑛 , ose
(𝐶, 1) −shumën e serisë 𝑎𝑛 , si limit të
𝑡𝑚 =𝑠0 + 𝑠1 + ⋯+ 𝑠𝑚
𝑚 + 1 (1.9.1)
kur 𝑚 → ∞; dhe 𝐴-limitin e 𝑠𝑛 , ose 𝐴-shuma e 𝑎𝑛 , si limit i
𝑡 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 1 − 𝑥 𝑠𝑛 (1.9.2)
kur 𝑥 → 1 për vlera më të vogël se 1. Në secilin rast vargjet ndihmëse janë të formës
𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛 𝑚 = 0,1,2,… (1.9.3)
ose
𝑡 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑥 𝑠𝑛 (1.9.4)
ku 𝑥 është parametër i vazhdueshëm. Kështu në (4.1.1)
𝑐𝑚 ,𝑛 =
1
𝑚 + 1 𝑝ë𝑟 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚
0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚
dhe në (1.9.2), 𝑐𝑛 𝑥 = 𝑥𝑛 1 − 𝑥 . Në një rast varen nga parametëri 𝑚, në rastet
tjera nga parametri i vazhdueshëm 𝑥; por, siç kemi parë, kjo nuk është edhe aq e
rëndësishme. Për momentin konsiderojmë metodën e tipit (1.9.3).
Sistemi i ekuacioneve (1.9.3), të cilat mund ti shënojmë shkurtimisht
𝑡 = 𝑇 𝑠 (1.9.5)
është transformimi linear 𝑇 i 𝑠𝑛 dhe matrica e tij është
𝑇 = 𝑐𝑚 ,𝑛 ,
ku 𝑐𝑚 ,𝑛 është elementi në rreshtin e 𝑚-të dhe në shtyllën e 𝑛-të.
19
1.10 Transformimet regulare. [14]
Transformimet më të rëndësishme janë ato regulare. Ne themi se 𝑇 është regulare
nëse
𝑡𝑚 → 𝑠 𝑚 → ∞ (1.10.1)
sa herë që
𝑠𝑛 → 𝑠 𝑛 → ∞ (1.10.2)
Ne shikojmë pohimin e parë përfshirë edhe ekzistencën e 𝑡𝑚 për çdo 𝑚 ,
konvergjencën e të gjitha serive (1.9.3). Kështu, sipas teoremës së Koshiut,
transformimi (1.9.1) është regular.
Këtu kemi një teoremë të rëndësishme, teorema e Toeplitz dhe Schur, e cila jep
kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për regularitetin e transformimeve lineare 𝑇.
Këtë teoremë do ta marrim pa vërtetim në paragrafin e mëposhtëm por do të bëjmë
edhe një aplikim të saj.
Shënojmë me 𝑋 klasën e të gjitha transformimeve lineare. Me 𝑋𝑟 shënojmë klasën e
të gjitha transformimeve regulare. Me 𝑐 shënojmë klasën e të gjitha transformimeve,
të cilat të gjitha vargjet konvergjente i transformojnë në vargje konvergjente.
Teoremë 1.10.1. [14] Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që transformimi linear 𝑇
t'i takojë hapësirës 𝐶 (ku 𝐶 hapësira e gjitha vargjeve konvergjente) , është që
(i)
𝛾𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 < 𝐻 (1.10.3)
ku 𝐻 është e pavarur nga 𝑚.
(ii)
𝑐𝑚 ,𝑛 → 𝛿𝑛 (1.10.4)
për çdo 𝑛 , kur 𝑚 → ∞.
(iii)
𝑐𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 → 𝛿 (1.10.5)
ku 𝑚 → ∞.
Në këto rrethana 𝛿𝑛 është absolutisht konvergjente, dhe
𝑡𝑚 → 𝑡 = 𝛿𝑠 + 𝛿𝑛 𝑠𝑛 − 𝑠 = 𝑠 𝛿 − 𝛿𝑛 + 𝛿𝑛 𝑠𝑛 (1.10.6)
ku 𝑚 → ∞, sa here që 𝑠𝑛 → 𝑠.
Këtu, natyrisht, limitet 𝛿𝑛 dhe 𝛿 janë të fundëm.
20
Teoremë 1.10.2 (Teorema e Toeplitz dhe Schur) [14] Le të jetë 𝑇 transformim
regular që i takonë klasës 𝑋𝑟 . Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që të plotësohen
kushtet e Teoremës 1.10.1 është që, 𝛿𝑛 = 0 për çdo 𝑛, dhe 𝛿 = 1.
Teoremë 1.10.3. [14] Le të jetë 𝑇 transformim i tillë që i takonë hapësirës 𝐶. Kusht i
nevojshëm dhe i mjaftueshëm që 𝑐𝑚 ,𝑛 → 𝛿𝑛 për çdo 𝑛, është që duhet të plotësohet
kushti i dytë i teoremës 1.10.1 dhe seria 𝑐𝑚 ,𝑛 të konvergjojë uniformisht në 𝑚. Në
këto rrethana kushtet e para dhe të dyta të teoremës 1.10.1 janë të nevojshme të
plotësohen, 𝛿𝑛 = 𝛿, dhe
𝑡𝑚 → 𝑡 = 𝛿𝑛 𝑠𝑛
për të gjitha vargjete kufizuara 𝑠𝑛 .
1.11. Një aplikim i teoremës 1.10.2. [14]
Çdo transformim
𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛 𝑚 = 0,1,2,…
mund të përdoret që të përkufizohet një metodë e shumueshmërisë: nëse
𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1+⋯+ 𝑎𝑛
𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛 𝑚 = 0,1,2,… dhe 𝑡𝑚 → 𝑠, atëherë ne mund të themi se 𝑎𝑛
është 𝑇-e shumueshme te shuma 𝑠, dhe shënojmë
𝑠𝑛 → 𝑠 𝑇 , 𝑎𝑛 = 𝑠 𝑇 .
Ne e quajmë metodën regulare nëse 𝑇 është regulare.
Ne do të përdorim teoremën 1.10.2 që të vërtetojmë regularitetin e metodave të
shumueshmërisë që janë mjaft të rëndësishme në analizë.
Nëse
𝑝𝑛 ≥ 0 , 𝑝0 > 0 , 𝑝𝑛 = ∞ (1.11.1)
(e tillë që 𝑃𝑛 = 𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑛 → ∞) dhe
𝑡𝑛 =𝑝0𝑠0 + 𝑝1𝑠1 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑠𝑛
𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑛→ 𝑠 (1.11.2)
kur 𝑛 → ∞, atëherë ne themi se
𝑠𝑛 → 𝑠(N ,𝑝𝑛) (1.11.3)
21
Teoremë 1.11.1. [14] Metoda (N ,𝑝𝑛) është regulare.
Vërtetim.
Këtu
𝑐𝑚 ,𝑛 =
𝑝𝑛
𝑃𝑚 𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚
0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚 ,
𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑝𝑛𝑃𝑚
𝑚
𝑛=0
=𝑝𝑛𝑃𝑚
+𝑝𝑛−1
𝑃𝑚+. . +
𝑝0
𝑃𝑚=𝑝𝑛 + 𝑝𝑛−1 + ⋯+𝑝0
𝑃𝑚=𝑃𝑚𝑃𝑚
= 1
dmth (plotësohet kushti i dytë i teoremës 1.10.2. 𝛿 = 1)
dhe 𝑐𝑚 ,𝑛 → 0 (plotësohet kushti i parë teoremës 1.10.2. 𝛿𝑛 → 0) për çdo 𝑛. Kështu
që kushtet e teoremës 1.10.2 plotësohen, që dmth se kjo është metodë regulare. Në
veçanti, metoda (𝐶, 1), në të cilën 𝑝𝑛 = 1 , është gjithashtu metodë regulare.
22
KAPITULLI 2
METODAT SPECIALE TË SHUMUESHMËRISË
Në këtë kapitull do të paraqesim disa metoda të shumueshmërisë, të cilat do ti
përdorim që të ndërtojmë metoda të reja dhe do të tregojmë veti të ndryshme të tyre.
Me metoda speciale nënkuptojmë metodat vijuese: Metoda e Norlundit [14-15],
Metoda e Cesaros [14-15], Metoda e Eulerit [14-15], Metoda e Norlund Eulerit [45].
Gjithashtu në këtë paragraf do të paraqesim disa lloje të rëndësishme të konvergjencës
staistikore dhe metodave të shumueshmërisë. Konvergjenca statistikore me pesha për
herë të parë është përkufizuar nga V. Karakaya, T.A. Chishti[16], më pas përkufizimi
është korigjuar nga M. Mursaleen [17] i cili pasi e ka përkufizuar këtë metodë, ka
dhënë disa rezultate të reja. Rol të rëndësishëm në rezultatet e më poshtme luajnë
produkti i metodave të shumueshmërisë. Koncepti i konvergjencës statistikore luan
një rol të rëndësishmëm në teorinë e shumueshmërisë. Lidhja në mes teorisë së
shumueshmërisë dhe konvergjencës statistikore për herë të parë është paraqitur nga
Schoenberg [6]. Pastaj, konvergjenca është studiuar si metodë e shumueshmërisë nga
shumë studiues si Fridy [18], Freedman [19], Kolk [20,21], Fridy dhe Miller [22],
Fridy dhe Orhan [23,24], Mursaleen [17] , Savaş[25], Braha [26-28]. Gjithashtu, disa
veti topologjike të hapësirave të vargjeve që konvergjojnë statistikisht janë studiuar
nga Salat[29]. Krahas kësaj në [30, 31], Connor ka treguar lidhjet në mes
konvergjencës staistikore dhe analizës funksionale.
Teorema klasike përafruese e Korovkin-it është përcaktuar si në [32]. Versionin
statistikor të saj e ka dhënë Gadjiev and Orhan [33]. Kjo trajtë i teoremës përafruese
është provuar duke përdorur edhe konceptin e pothuajse kudo konvergjencës [16], [5],
[32-38], 𝜆-konvergjencës statistikore [39-41]. Boyanov dhe Veselinov [36] e kanë
provuar teoremën e Korovkinit në 𝐶 0, +∞ , duke e testuar pë funksionet
1, 𝑒−𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Përveç kësaj, disa artikuj të rëndësishëm për këtë temë gjenden në [42–
44]. Ne kemi bërë përgjithësimin e rezultateve të Boyanov dhe Veselinov duke
përdorur nocionin e shumueshmërisë statistikore (𝑁,𝑝, 𝑞)(𝐸, 1) [45].
Shkalla statistikore e shumueshmërisë (C,1) është studiuar nga Syed Abdul
Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and Mohammad Mursaleen [47], kurse ne kemi
dhënë kuptimin e shkallës së konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së
përgjithësuar të Norlund-Eulerit [48].
23
2.1. [14] Metoda e Norlundit
Supozojmë që
𝑝𝑛 ≥ 0 , 𝑝0 > 0 , 𝑃𝑛 = 𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑛
dhe përcaktojmë 𝑡𝑚 me
𝑡𝑚 = 𝑁𝑚 𝑝 (𝑠) =
𝑝𝑚𝑠0 + 𝑝𝑚−1𝑠1 + ⋯+ 𝑝0𝑠𝑚𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚
→ 𝑠
Nëse 𝑡𝑚 → 𝑠, kur 𝑚 → ∞, dhe 𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1+⋯+ 𝑎𝑛 , ne shënojmë
𝑠𝑛 → 𝑠 , 𝑎𝑛 = 𝑠 𝑁,𝑝𝑛
Marrim 𝑝𝑛 = 1 për çdo 𝑛, atëhere 𝑡𝑚 është vlera 𝐶, 1 e 𝑠𝑛 .
Nëse
𝑝𝑛 = 𝑛 + 𝑘 − 1
𝑘 − 1 =
Γ(𝑛 + 𝑘)
Γ(𝑛 + 1)Γ(𝑘) ,
ku 𝑘 > 0, atëhere ajo është vlera e 𝐶,𝑘 .
Zakonisht, në këto raste, 𝑝𝑛 është divergjente, por kjo nuk është esenciale. Kështu
nëse 𝑝0 = 𝑝1 = 1, dhe pjesa e mbetur 𝑝𝑛 janë 0, atëhere
𝑡𝑚 =1
2 𝑠𝑚−1 + 𝑠𝑚 ,
dhe ne fitojmë vlerën e 𝑠𝑛(1)
.
24
2.2. [14] Regulariteti dhe qëndrueshmëria e metodës së Norlundit.
Ne fillojmë duke i përcaktuar kushtet që vlerat e
𝑡𝑚 = 𝑁𝑚 𝑝 (𝑠) =
𝑝𝑚𝑠0 + 𝑝𝑚−1𝑠1 + ⋯+ 𝑝0𝑠𝑚𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚
→ 𝑠
duhet të jenë regulare.
Teoremë 2.2.1. [14] Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që metoda 𝑁,𝑝𝑛 të jetë
regulare është që
𝑝𝑛𝑃𝑛
→ 0
Vërtetim.
Nëse
𝑡𝑚 =𝑝𝑚𝑠0 + 𝑝𝑚−1𝑠1 + ⋯+ 𝑝0𝑠𝑚
𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚
=𝑝𝑚
𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑠0 +
𝑝𝑚−1
𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑠1 + ⋯+
𝑝0
𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑠𝑚
= 𝑐𝑚 ,𝑛
𝑚
𝑛=0
𝑠𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛
atëhere
𝑐𝑚 ,𝑛 =
𝑝𝑚−𝑛
𝑃𝑚 𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚
0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚 ,
𝑐𝑚 ,0 =𝑝𝑚𝑃𝑚
, 𝑐𝑚 ,1 =𝑝𝑚−1
𝑃𝑚 ,… , 𝑐𝑚 ,𝑛 =
𝑝𝑚−𝑛
𝑃𝑚
𝑐𝑚 ,𝑛 ≥ 0 𝑑𝑒 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑝𝑚−𝑛
𝑃𝑚
𝑚
𝑛=0
=𝑝𝑚𝑃𝑚
+𝑝𝑚−1
𝑃𝑚+. . +
𝑝0
𝑃𝑚
=𝑝𝑚 + 𝑝𝑚−1 + ⋯+𝑝0
𝑃𝑚=𝑃𝑚𝑃𝑚
= 1
dmth
𝑐𝑚 ,𝑛 = 1
Kështu kushti i parë dhe i tretë të teoremës 1.10.2 plotësohet për çdo rast. Kushti i
dytë është se 𝑐𝑚 ,𝑛 → 0 kur 𝑛 është e fiksuar dhe 𝑚 → ∞. Marrim 𝑛 = 0 atëhere kemi
25
𝑝𝑚
𝑃𝑚→ 0 , kështu që kushti i teoremës tonë
𝑝𝑛
𝑃𝑛→ 0 është i nevojshëm; dhe pasi që
𝑐𝑚 ,𝑛 ≤𝑝𝑚−𝑛
𝑃𝑚−𝑛 është gjithashtu edhe i mjaftueshëm.
Themi se dy metoda 𝑃 dhe 𝑄 janë të qëndrueshme nëse 𝑠𝑛 → 𝑠 𝑃 , 𝑠𝑛 → 𝑠 , 𝑄 atëhere 𝑠 = 𝑠 ,.
Teoremë 2.2.2. [14] Çdo dy metoda regulare të Norlundit (𝑁,𝑝𝑛) dhe (𝑁, 𝑞𝑛) janë të
qëndrueshme: nëse 𝑠𝑛 → 𝑠(𝑁,𝑝𝑛) dhe 𝑠𝑛 → 𝑠 ,(𝑁, 𝑞𝑛), atëhere 𝑠 = 𝑠 ,.
Vërtetim. Shënojmë
𝑟𝑛 = 𝑝𝑛𝑞𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
(𝑘𝑢 𝑛 = 0,1,… .𝑚)
atëhere
𝑁𝑚 𝑟 𝑠 =
𝑝0𝑞0𝑠𝑚 + 𝑝0𝑞1 + 𝑝1𝑞0 𝑠𝑚−1 + ⋯+ (𝑝0𝑞𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑞0)𝑠0
𝑝0𝑞0 + 𝑝0𝑞1 + 𝑝1𝑞0 + ⋯+ (𝑝0𝑞𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑞0)
=𝑝0(𝑞0𝑠𝑚 + ⋯+ 𝑞𝑚𝑠0) + ⋯+ 𝑝𝑚−1 𝑞0𝑠1 + 𝑞1𝑠0 + 𝑝𝑚𝑞0𝑠0
𝑝0(𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 ) + ⋯+ 𝑝𝑚−1(𝑞0 + 𝑞1) + 𝑝𝑚𝑞0
=𝑝0(𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 )
𝑞0𝑠𝑚 + ⋯+ 𝑞𝑚𝑠0
𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚−1(𝑞0 + 𝑞1)
𝑞0𝑠1 + 𝑞1𝑠0
𝑞0 + 𝑞1 + 𝑝𝑚𝑞0
𝑞0𝑠0
𝑞0
𝑝0(𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 ) + ⋯+ 𝑝𝑚−1(𝑞0 + 𝑞1) + 𝑝𝑚𝑞0
=𝑝0𝑄𝑚𝑁𝑚
𝑞 𝑠 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑄0𝑁0 𝑞 𝑠
𝑝0𝑄𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑄0= 𝛾𝑚 ,𝑛𝑁𝑛
𝑞 𝑠
𝑛
,
ku
𝛾𝑚 ,𝑛 =
𝑝𝑚−𝑛𝑄𝑚 𝑝𝑚−𝜐 𝑄𝜐𝑚𝜐=0
𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚
0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚
këtu
𝛾𝑚 ,𝑛 ≥ 0, 𝛾𝑚 ,𝑛 = 𝛾𝑚 ,𝑛 = 1
dhe
𝛾𝑚 ,𝑛 ≤𝑝𝑚−𝑛𝑄𝑛
𝑝𝑚−𝑛 + 𝑝𝑚−𝑛−1 + ⋯+ 𝑝0 𝑞0=𝑝𝑚−𝑛𝑄𝑛𝑃𝑚−𝑛𝑞0
→ 0, 𝑘𝑢𝑟 𝑚 → ∞.
prandaj metodat me koeficientët 𝛾𝑚 ,𝑛 janë regulare. Prandaj nga 𝑠𝑛 → 𝑠 ,(𝑁, 𝑞𝑛)
rjedhë 𝑠𝑛 → 𝑠 ,(𝑁, 𝑟𝑛). Ngjajshëm, nga 𝑠𝑛 → 𝑠(𝑁,𝑝𝑛) rrjedhë 𝑠𝑛 → 𝑠(𝑁, 𝑟𝑛); prandaj,
pasi që të dy hipotezat plotësohen, atëhere 𝑠 dhe 𝑠 , duhet të jenë të njejta.
26
2.3. [14] Metoda e Eulerit dhe disa veti të saj
Ne kemi përkufizuar 𝑎𝑛 = 𝑠(𝐸, 1), më herët metodën e Euler-it si në vijim:
Supozojmë se serija 𝑎𝑛𝑥𝑛 konvergjon për çdo 𝑥 rrotull origjinës, dhe gjithashtu
𝑥 =𝑦
1 − 𝑦 , 𝑦 =
𝑥
1 + 𝑥
dhe 𝑦 =1
2 korrespondon me 𝑥 = 1. Atëhere, për 𝑥 dhe 𝑦 të vegjël, ne kemi
𝑥𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛+1 = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑥
2
∞
𝑛=0
+ 𝑎2𝑥3 + ⋯
= 𝑎0
𝑦
1 − 𝑦+ 𝑎1
𝑦
1 − 𝑦
2
+ 𝑎2 𝑦
1 − 𝑦
3
+ ⋯
= 𝑎0
𝑦
1 − 𝑦+ 𝑎1
𝑦2
1 − 𝑦 2+ 𝑎2
𝑦3
1 − 𝑦 3+ ⋯
= 𝑎𝑝
∞
𝑝=0
𝑝 + 𝑚
𝑚
∞
𝑚=0
𝑦𝑝+𝑚+1 = 𝑎𝑝
∞
𝑝=0
𝑛
𝑛 − 𝑝
∞
𝑛=𝑝
𝑦𝑛+1.
Duke ndërruar renditjen e shumimit, fitojmë
𝑥𝑓 𝑥 = 𝑦𝑛+1
∞
𝑛=0
𝑛
𝑛 − 𝑝
𝑛
𝑝=0
𝑎𝑝 = 𝑦𝑛+1
∞
𝑛=0
𝑛
𝑝
𝑛
𝑝=0
𝑎𝑝 = 𝑏𝑛𝑦𝑛+1
∞
𝑛=0
për 𝑦 të vegjël, ku
𝑏0 = 𝑎0 , 𝑏𝑛 = 𝑎0 + 𝑛
1 𝑎1 +
𝑛
2 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛
Nëse 𝑦-seria është konvergjente te shuma 𝑠, për 𝑦 =1
2 , dhe nëse
1
2𝑏0 +
1
4𝑏1 +
1
8𝑏2 + ⋯ =
𝑏𝑛2𝑛+1
= 𝑠
atëhere 𝑠 quhet metoda 𝐸, 1 −shumueshme e serisë 𝑎𝑛 .
Teoremë 2.3.1. [14] Metoda (𝐸, 1) është regulare.
Vërtetim. Këtu
𝑡𝑚 = 𝑏𝑛
2𝑛+1
𝑚
𝑛=0
dhe ne do ta shprehim 𝑡𝑚 përmes 𝑠𝑛 si në vijim. Nëse 𝐸 është operator i përkufizuar
me 𝐸𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1, atëhere 𝑏𝑛 = (1 + 𝐸)𝑛𝑎0 dhe
27
𝑡𝑚 = 𝑏𝑛
2𝑛+1
𝑚
𝑛=0
= (1 + 𝐸)𝑛
2𝑛+1
𝑚
𝑛=0
𝑎0 = (1 + 𝐸)𝑛
212𝑛𝑎0 =
1
2
𝑚
𝑛=0
1 + 𝐸
2 𝑛
𝑎0
𝑚
𝑛=0
.
Tani bëjmë këto transformime.
1
2
1 + 𝑥
2 𝑛𝑚
𝑛=0
=1
2∙
1 − 12 (1 + 𝑥)
𝑚+1
1 −12 (1 + 𝑥)
= 2−𝑚−1 ∙(1 + 1)𝑚+1 − (1 + 𝑥)𝑚+1
1 − 𝑥
= 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛
1 − 𝑥𝑛
1 − 𝑥
𝑚+1
𝑛=1
= 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛
(1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑛−1)
𝑚+1
𝑛=1
Meqë barazimi i mësipërm është një identitet në mes polinomeve, ne mund ta
përdorim atë nëse në vend të 𝑥 zëvendësojmë 𝐸. Kështu
𝑡𝑚 = 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛
1 + 𝐸 + 𝐸2 + ⋯+ 𝐸𝑛−1
𝑚+1
𝑛=1
𝑎0
= 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛
𝑚+1
𝑛=1
𝑠𝑛−1 = 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛 + 1
𝑚+1
𝑛=1
𝑠𝑛 .
Prandaj 𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛𝑠𝑛 , ku
𝑐𝑚 ,𝑛 = 2−𝑚−1
𝑚 + 1𝑛 + 1
𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚
0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚
𝑐𝑚 ,𝑛 ≥ 0, 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 = 2−𝑚−1 𝑚 + 1
𝑛 + 1
𝑚
𝑛=0
= 2−𝑚−1 𝑚 + 1
𝑛 + 1
𝑚
𝑛=0
= 2−𝑚−1 𝑚 + 1
0 +
𝑚 + 1
1 + ⋯+
𝑚 + 1
𝑚 + 1 = 2−𝑚−1(1 + 1)𝑚+1
= 2−𝑚−1 ∙ 2𝑚+1 = 2−𝑚−1+𝑚+1 = 20 = 1
dhe 𝑐𝑚 ,𝑛 = 2−𝑚−1 𝑚 + 1𝑛 + 1
< 2−𝑚−1 ∙ (𝑚 + 1)𝑛+1 → 0 ku 𝑚 → ∞. Kështu kushtet
e teoremës 1.10.2 janë plotësuar, që tregon se metoda e Eulerit është regulare.
28
2.4. [45] Metoda Norlund-Euler. Konvergjenca statistikore me pesha sipas
Norlund-Euler.
Këtu kemi ndërtuar metodën e shumueshmëris 1,,, EqpN të cilën e kemi quajtur
metoda e Norlund-Eulerit dhe gjithashtu kemi përkufizuar konvergjencën statistikore
me pesha sipas Norlund-Eulerit dhe kemi dhënë disa rezultate të rëndësishme.
Le të jetë
0n
nx një seri e fundme me vargje nga shuma e n-të e pjesëshme nS .
Nëse transformimi )1,(E është përcaktuar si k
n
knn S
k
nE
0
1
2
1
dhe ne themi se kjo metodë e shumueshmërisë është konvergjente nëse SEn 1 kur
n , atëhere në këtë rastë themi se serija
0n
nx është )1,(E – e shumueshme te
numri i përcaktuar S. Këtë fakt e shënojmë 1, ESSn , kur n .
Le të jenë np dhe nq dy vargje reale të ndryshme nga zero të tilla që
nn pppP ...10 , ; 011 pP
nn qqqQ ...10 , 011 qQ
Për vargjet e dhëna np dhe nq , përkufizojm konvolucionin p q me :
nR p q kn
n
k
nqp
0
Përkufizim 2.4.1. Seria
0n
nx ose vargu nS është i shumueshëm te S sipas
metodës së përgjithësuar të Norlund-it dhe shënohet me qpNSSn ,, nëse
SSqpR
tn
n
n
qp
n
0
, 1
, kur n .
Le të marrim në konsiderim metodën vijuese të shumueshmërisë:
Nëse St Eqp
n ,, kur n , atëhere themi se seria
0n
nx ose vargu nS është i
shumueshëm te S sipas metodës së Norlund-Eulerit dhe simbolikisht shënohet me
1,,, EqpNSSn .
kn
kk
n
k
kkn
n
kkkn
n
Eqp
n Sk
qpR
EqpR
t00 0
1,,
2
111
29
Nëse në metodën Eqp
nt,, në vend të 2𝑘 zëvendësojmë 𝑘 + 1 dhe 1
katëhere fitojmë
metodën e Norlund- Cesaros [60]. Të gjitha rezultatet që vlejnë për Norlund-Euler
vlejnë edhe për metodën Norlund-Cesaro. Në këtë rast shihet se metoda Norlund-
Euler është përgjithësim i metodës Norlund-Cesaros.
Teoremë 2.4.2. [45] Metoda e Norlund-Eulerit është regulare.
Vërtetim. Dime që metoda e Norlund-Eulerit e ka formën
kn
kkkkn
n
Eqp
n Sk
qpR
t00
,,
2
11
. Gjithashtu dimë që metoda e Eulerit është
k
n
knn S
k
nE
0
1
2
1 dhe është regulare. Pasi që 1
nE është regulare, atëhere nga
përkufizimi i regularitetit të një metode kemi se Sxn
n
0
kështu që edhe
SSk
nE k
n
knn
0
1
2
1.
Por
SRR
SqpR
SSqpR
Sk
qpR
t n
n
n
k
kkn
n
n
k
kkn
n
kn
kkkkn
n
Eqp
n
111
2
11
0000
,,
Pra Sxn
n
0
dhe nga kjo rrjedhe se edhe St Eqp
n ,, atëhere kjo tregon se metoda e
Norlund-Eulerit është metodë e regulare.
Vërejtje 2.4.3. [45] Nëse 1 , 1k kp q , atëhere ne fitojmë metodën e
shumueshmërisë së Euler-it.
Le të shënojmë me 1,,, EqpN hapësirën e të gjitha vargjeve )( kxx që
konvergjojnë fuqishëm dhe të cilat janë 1,,, EqpN -të shumueshme te L:
𝑁, 𝑝, 𝑞 (𝐸, 1)
= 𝑥 = 𝑥𝑛 : limn→∞
1
𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 = 0 𝑝ë𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑎 𝐿
𝑘
𝜈=0
𝑛
𝑘=0
Matrica kncA , , e metodës së shumueshmërisë 1,,, EqpN është dhënë me
𝑐𝑚 ,𝑛 =
1
𝑅𝑛𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘𝜐
𝑘
𝜐=0
, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 ≤ 𝑛
0 , 𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 > 𝑛
Tashë jemi në gjendje të japim përkufizimin e konvergjencës statistikore me pesha
lidhur me metodën e shumueshmërisë 1,,, EqpN .
30
Përkufizim 2.4.4. [45] Vargu )( kxx thuhet se konvergjon statistikisht me pesha
sipas Norlund-Eulerit nëse për çdo 0 .
0||2
1:
1lim
0
k
kkknn
nn
Lxn
kqpRk
R
Simbolikisht këtë e shënojmë .lim)( LxstNE
Bashkësinë e gjitha vargjeve që konvergjojnë statistikisht me pesha sipas Norlund-
Eulerit e shënojmë me NES dhe e përcaktojmë si në vijim:
LLxn
kqpRk
RxxS
k
kkknn
nn
nNE disapër ,0||2
1:
1lim:)(
0
Nëse vargu )( kxx është NES - statistikisht konvergjent, ne gjithashtu përdorim
shënimin )( NEk SLx .
Përkufizim 2.4.5. [45] Thuhet se vargu )( kxx është rEqpN ]1,,,[ të
shumueshme )0( r te limiti L nëse ,
0||2
11lim
1 0
rn
k
k
kkkn
nn
Lxn
kqp
R
Simbolikisht ne atë e shënojmë si )]1,,,([ rk EqpNLx , dhe në këtë rast L quhet
rEqpN ]1,,,[ limiti që varet nga x.
Në teoremat në vijim kemi vënë në korrespondencë NES –konvergjencën statistikore
me metodën e shumueshmërisë 1,,, EqpN dhe rEqpN ]1,,,[ .
Teoremë 2.4.6. [45] Le të jetë
k
kkkn MLxk
qp0
||2
1
për çdo ∈ ℕ . Nëse
vargu )( kxx është NES -statistikisht konvergjent te L atëhere ai është statistikisht
1,,, EqpN -i shumueshëm te L por jo ansajelltas.
Vërtetim: Me qenë se )( kxx është NES -statistikisht konvergjent te numri L,
atëherë kemi
,0||2
1:
1lim
0
k
kkknn
nn
Lxk
qpRkR
ku
31
k
kkkn Lxk
qpNkK0
||2
1:
.
Shënojmë
k
kkknnR Lxk
qpRkKn
0
||2
1:)(
dhe
k
kkknn
c
R Lxk
qpRkKn
0
||2
1:)(
.
Atëhere
10|)(|
|||2
1:|
1
1|||
2
1:|
1
|)(|2
11|)(|
2
11
)(2
11)(
2
11
)(2
11
2
11t
0
)(0
0
)(
00)(
0
)(
0
)(
0)(
0)(
0
0000
Eq,p,
n
n
c
Rk
kkknn
n
Kkn
k
kkknn
n
k
k
n
K
kkkkn
n
k
k
n
Kk
kkkn
n
k
K
n
K
kkkkn
n
k
Kk
n
Kkk
kkkn
n
kn
kkkkn
n
kn
kkkkn
n
R
KLx
n
kqpRkM
R
RLx
n
kqpRkM
R
Lxk
qpR
Lxk
qpR
Lxk
qpR
Lxk
qpR
Lxk
qpR
Lxk
qpR
L
n
c
nR
c
nRnR
c
nRc
nRnRnR
kur n prej nga rrjedh që
kn
kkkkn
n
qp
n Lxk
qpR
t00
,
2
11
. Kjo tregon se, x
është 1,,, EqpN -i shumueshëm te L prandaj është statistikisht 1,,, EqpN -i
shumueshëm te L.
Shembull 2.4.7. [45] Le të jetë 1np dhe 1nq për çdo 𝑘 ∈ ℕ dhe gjithashtu
përcaktojmë vargun )( kxx si në vijim:
2,
0,k
k if k nx
if k n
Atëhere kemi nR p q 11...11111000
nqpn
k
n
k
kn
n
k
n dhe
32
lim𝑛→∞
1
𝑅𝑛 𝑘 ≤ 𝑅𝑛 :𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝑥𝜈 − 0 ≥ 휀
= lim𝑛→∞
1
𝑛 + 1 𝑘 ≤ 𝑛 + 1:
1
2𝑘
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝑥𝜈 − 0 ≥ 휀
Për 𝑘 = 𝑛2 ⇒ 𝑥𝑛 = 𝑛 kemi
lim𝑛→∞
1
𝑅𝑛 𝑘 ≤ 𝑅𝑛 :𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝑥𝜈 − 0 ≥ 휀
= lim𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1 2= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛2 + 2𝑛 + 1= 0
Kjo dmth se vargu )( kxx konvergjon statistikisht.
Në anën tjetër,
lim𝑛→∞
1
𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
𝑛
𝑘=0
1
2𝑘
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝑥𝜈 − 0 = lim𝑛→∞
1
𝑛 + 1 1 ∙ 1 ∙
𝑛
𝑘=0
1
2𝑘
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝑥𝜈
= lim𝑛→∞
1
𝑛 + 1
1
2𝑘
𝑛
𝑘=0
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝜈 = lim𝑛→∞
1
𝑛 + 1
1
2𝑘∙
𝑛
𝑘=0
𝑘 ∙ 2𝑘−1 (∗)
= lim𝑛→∞
1
2 𝑛 + 1 𝑘
𝑛
𝑘=0
= lim𝑛→∞
1
2 𝑛 + 1
𝑛 ∙ (𝑛 + 1)
2= lim
𝑛→∞
𝑛
4= +∞.
Le të vlerësojmë 𝑘𝜐 𝑘
𝜐=0 𝜈
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝜈 = 𝑘
0 ∙ 0 +
𝑘
1 ∙ 1 + ⋯+
𝑘
𝑘 ∙ 𝑘
Dimë që
1 + 𝑥 𝑛 = 𝑛
0 ∙ 1 +
𝑛
1 ∙ 𝑥 +
𝑛
2 ∙ 𝑥2 + ⋯+
𝑛
𝑛 ∙ 𝑥𝑛
Barazimin e fundit e derivojmë anë për anë sipas 𝑥 − 𝑖𝑡, dhe kemi
𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 = 0 + 𝑛
1 ∙ 1 + 2 ∙
𝑛
2 ∙ 𝑥1 + ⋯+ 𝑛 ∙
𝑛
𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1
Për 𝑥 = 1, kemi
𝑛 1 + 1 𝑛−1 = 0 + 𝑛
1 ∙ 1 + 2 ∙
𝑛
2 ∙ 1 + ⋯+ 𝑛 ∙
𝑛
𝑛 ∙ 1
33
𝑛 ∙ 2𝑛−1 = 𝑛
1 + 2 ∙
𝑛
2 + ⋯+ 𝑛 ∙
𝑛
𝑛
ose
𝑛
1 + 2 ∙
𝑛
2 + ⋯+ 𝑛 ∙
𝑛
𝑛 = 𝑛 ∙ 2𝑛−1
Prandaj në bazë të kësaj kemi se
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝜈 = 𝑘
0 ∙ 0 +
𝑘
1 ∙ 1 + ⋯+
𝑘
𝑘 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 2𝑘−1
Atëhere nga (*) kemi
lim𝑛→∞
1
𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
𝑛
𝑘=0
1
2𝑘
𝑘
𝜐
𝑘
𝜐=0
𝑥𝜈 − 0 = lim𝑛→∞
1
𝑛 + 1
1
2𝑘∙
𝑛
𝑘=0
𝑘 ∙ 2𝑘−1
= lim𝑛→∞
1
2 𝑛 + 1 𝑘
𝑛
𝑘=0
= lim𝑛→∞
1
2 𝑛 + 1
𝑛 ∙ (𝑛 + 1)
2= lim
𝑛→∞
𝑛
4= +∞.
vargu )( kxx divergjon.
Prandaj ky shembull tregon se e anasjellta e teoremës nuk është e vërtetë.
Teorema vijuese na jep relacione në mes NES -konvergjencës statistikore dhe
rEqpN ]1,,,[ .
Teoremë 2.4.8. [45]
a. Le të jetë )( kxx varg rEqpN ]1,,,[ - i shumueshëm te L. Nëse
Rasti 1: 10 r dhe 1||0 Lxk
Rasti 2: r1 dhe ||1 Lxk .
atëhere )( kxx konvergjon NES -statistikisht te L.
b. Le të jetë )( kxx varg NES -statistikisht konvergjent te L dhe
k
kkkn MLxk
qp0
||2
1
(𝑘 = 1,2,3,… ). Nëse
Rasti 1: 10 r dhe M1
Rasti 2: r1 dhe .10 M
atëhere rk EqpNLx ]1,,,[ :
34
Vërtetim:
a. Meqenëse
k
kkkn
kr
kkkn Lxk
qpLxk
qp00
||2
1||
2
1
për rastin 1. dhe rastin 2., atëherë kur n
n
Rn
Kkn
k k
K
n
Kk
kkkn
n
n
kkkkn
n
kr
n
kkkkn
n
R
K
R
Lxk
qpR
Lxk
qpR
Lxk
qpR
n
nR
nRnR
|)(|1
||2
11||
2
11
||2
110
)(1
0)(
0)(
00
00
0|)(|
lim
n
R
n R
Kn
ku
k
kkknnR Lxk
qpRkKn
0
||2
1:)(
Prandaj vargu )( kxx konvergjon NES -statistikishtë te L.
b. Supozojmë se )( kxx është NES - statistikisht konvergjent te L. Atëhere për çdo
0 , ne kemi 0)||2
1:()(
0
k
kkknNENE Lxk
qpNkK
.
Pasi që
k
kkkn MLxk
qp0
||2
1
(𝑘 = 1,2,… ), ne kemi
rk
K
n
Kk
kkkn
n
nRnR
Lxk
qpR
)(0
)(0
||2
11
)()(
||2
11
||2
11
21
)(0
)(0
)(0
)(0
nSnS
Lxk
qpR
Lxk
qpR
rk
Kk
n
Kkk
kkkn
n
rk
Kk
n
Kkk
kkkn
n
nRnR
nRnR
ku r
k
Kk
n
Kkk
kkkn
n
nRnR
Lxk
qpR
nS ||2
11)(
)(0
)(0
1
35
rk
Kk
n
Kkk
kkkn
n
nRnR
Lxk
qpR
nS ||2
11)(
)(0
)(0
2
.
Tani nëse )(nRKk atëhere
rk
Kk
n
Kkk
kkkn
n
nRnR
Lxk
qpR
nS ||2
11)(
)(0
)(0
1
||1
||2
11
)(0
)(0
c
R
n
k
Kk
n
Kkk
kkkn
nn
nRnR
KR
Lxk
qpR
Për )(nRKk , ne kemi
rk
Kk
n
Kkk
kkkn
n
nRnR
Lxk
qpR
nS ||2
11)(
)(0
)(0
2
))(
|)(|2
1sup(
||2
11
)(0
)(0
)(0
)(0
n
Rk
Kk
n
Kkk
kkknk
k
Kk
n
Kkk
kkkn
n
R
KLx
kqp
Lxk
qpR
n
nRnR
nRnR
,0|)(|
n
R
R
KM n
kur n . Pasi që
0)||2
1:()(
0
k
kkknNENE Lxk
qpNkK
.
Prandaj rk EqpNLx ]1,,,[ .
36
2.5. [45] Zbatimi i konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit, në
teoremën përafruese.
Le të jetë ],[ baC hapësira e gjitha funksioneve f të vazhdueshme në ],[ ba . Ne dimë
se ],[ baC është hapësirë e Banahut me normën
],[ ,)(sup],[
baCfxffbax
Teorema klasike përafruese e Korovkin-it formulohet si në vijim:
Le të jetë nT vargë i operatorëve linear pozitiv nga ],[ baC në ],[ baC . Atëhere, kusht
i nevojshëm dhe mjaftueshëm, për çdo ],[ baCf . 0)(),(lim
xfxfTnn
është
që 0)(),(lim
xfxfT iinn
, për 2,1,0i ku 1)(0 xf , xxf )(1 dhe 2
2 )( xxf .
Në këtë pjesë, ne kemi përgjithësuar rezultatet e Boyanov dhe Veselinov [36] duke
përdorur simbolikën e shumueshmërisë statistikore 1,,, EqpN dhe të njejtin test të
funksioneve 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Ne gjithashtu japim një shembull për të justifikuar se
rezultati jonë është më i fuqishëm se ai i Bojanov-it dhe Veselinov-it.
Le të jetë )(IC hapësirë e Banach-ut me normën uniforme
, e të gjitha funksioneve
të vazhdueshme me vlera reale ),0[ I ; që )(lim xfx
të jetë i fundëm. Supozojmë
se )()(: ICICLn . Shënojmë );( xfLn për ));(( xsfLn ; dhe themi se L është
operator pozitiv nëse 0);( xfLn për çdo 0)( xf .
Teoremë 2.5.1. Le të jetë )( kT varg i operatorëve pozitivë linearë nga )(IC në
).(IC Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(ICf .
𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0
është që
𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0
𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 𝑒−𝑠; 𝑥 − 𝑒−𝑥 ∞ = 0
𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 𝑒−2𝑠; 𝑥 − 𝑒−2𝑥 ∞ = 0
Në mënyrë të ngjashme mund të provojmë versionin NES -statistikor. Tani provojmë
versionin vijues më të fuqishëm duke përdorur kuptimin e shumueshmërisë
statistikore 1,,, EqpN .
Teoremë 2.5.2. [45] Le të jetë )( kT varg i operatorëve pozitivë linearë nga )(IC në
)(IC . Atëherë kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(ICf
37
𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (2.5.0)
është që
𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (2.5.1)
𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 𝑒−𝑠; 𝑥 − 𝑒−𝑥 ∞ = 0 (2.5.2)
𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞
𝑇𝑘 𝑒−𝑠; 𝑥 − 𝑒−𝑥 ∞ = 0 (2.5.3)
Vërtetim. Çdo xx ee 2,,1 i takon )(IC , kushtet (2.5.1)-( 2.5.3) rrjedhin nga (2.5.0).
Le të jetë )(ICf . Atëhere ekziston konstantja 0M e tillë që Mxf )( për
.Ix Për këtë,
Mxfsf 2)()( , xs, (2.5.4)
Është lehtë të provohet se për 0 të dhënë gjendet 0 e tillë që
)()( xfsf (2.5.5)
sa herë që xs ee për çdo Ix .
Shfrytëzojm (5.5.4) dhe (5.5.5), duke marrë 2
11 )(),( xs eexs dhe fitojmë
),(2
)()( 12
Mxfsf . xs
Kjo është,
).(2
)()()(2
1212
Mxfsf
M
Tani, llogarisim );1( xTk te ky jobarazim ku );( xfTk është monoton dhe linear.
Marrim
.)(2
);1()()();1()(2
);1( 1212
MxTxfsfxT
MxT kkk
Vëjmë re se x është i fiksuar dhe )(xf është numër konstant. Prandaj,
(2.5.6) );(2
);1(
);1( )();();(2
);1( );1( )(2
);1( );1( )()();1( )(2
);1(
12
1212
12
xTM
xT
xTxfxfTxTM
xTxTM
xTxTxfsfxTM
xT
kk
kkkkk
kkkk
38
Gjithashtu,
(2.5.7) ]1);1()[();1()();(
);1()();1()();()();(
xTxfxTxfxfT
xfxTxfxTxfxfTxfxfT
kkk
kkkk
Nëse ndjekim (2.5.6) dhe (2.5.7) që
(2.5.8) ]1);1()[();(2
);1()();( 12 xTxfxT
MxTxfxfT kkkk
Tani
]1);1([]);([2]);([
);1();(2);(
);2();();(
222
22
222
1
xTeexeTeexeT
xTexeTexeT
xeeeeTxeeTxT
k
xxs
k
xxs
k
k
xs
k
xs
k
xxss
k
xs
kk
Shfrytëzojmë (2.5.8) , dhe marrim
]1);1()[(
]1);1([]);([2]);([ 2
);1()();(
222
2
xTxf
xTeexeTeexeTM
xTxfxfT
k
k
xxs
k
xxs
k
kk
Këndej
.);(4
);(2
1);1(2
1);1()4
(
);(4
);(2
1);1(2
1);1()()();(
2
22
2
2
22
2
22
2
2
2
xs
k
xx
k
k
x
k
xs
k
xxx
k
k
x
kk
exeTM
exeTM
xTeM
xTM
M
exeTeM
exeTM
xTeM
xTMxfxfT
Deri sa që 1xe për Ix .
Tani, duke marrëIx
supe shprehjes së fundit, ne fitojmë
),);();(1);1(()();( 22
xs
k
xs
kkk exeTexeTxTKxfxfT
ku
22
2,
4max
MMMK . Prandaj
39
),2
1);(
2
1);(1
2
1);1((
)();(
2
1
2
11
xk
kkkn
s
k
xk
kkkn
s
k
k
kkknk
k
ek
qpxeT
ek
qpxeTk
qpxTK
xfxfT
(2.5.9)
k
kkknk
kqpxfT
12
1),(
Për 0r të dhënë zgjedhim 0, të tillë që ., r Përcaktojmë bashkësitë vijuese
, 2
1),(:
1
rxfk
qpxfTnmDk
kkknk
,4
12
1),1(:
,
1
1
K
rkqpxTnmD
k
kkknk
,42
1),(:
,
1
2
K
re
kqpxeTnmD x
k
kkkn
t
k
,42
1),(:
,2
1
2
3
K
re
kqpxeTnmD x
k
kkkn
t
k
Atëhere 321 DDDD , dhe gjithashtu )()()()( 321 DDDD .
Prandaj, duke përdorur kushtet (2.5.1)-(2.5.3) kemi
0)();(lim)(
xfxfTstNE kk
Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.
40
2.6. [46] Përgjithësimi i kovergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit
dhe disa rezultate të reja në lidhje me këtë metodë.
Në këtë pjesë ne përgjithësojmë metodën e Norlund-Eulerit dhe gjithashtu
përgjithësojmë kuptimin e konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit
dhe japim disa rezultate në lidhje me këtë metodë.
Le të jetë
0n
nx një seri e fundme me vargje të shumave të pjesshme ( kS ) dhe q> 0
një numër real. Kuptimi sipas Eulerit ),( qE i vargut ( kS ) është përcaktuar me
Sq
n
qE n
n
n
q
n
0)1(
1
Seria
0n
nx thuhet se është ),( qE e shumueshme te numri S nëse
SSqn
qE n
n
n
q
n
0)1(
1 kur n
.
Le të jetë
0n
nx një seri e fundme dhe shënojmë me nS vargun e shumave të
pjesshme të saj. Nëse transformimi ),( qE është përcaktuar si
Sq
n
qE n
n
n
q
n
0)1(
1 )0( q
dhe kjo metodë e shumueshmërisë është konvergjente nëse
SSqn
qE n
n
n
q
n
0)1(
1 kur n ,
atëhere themi se seria
0n
nx është ),( qE –e shumueshme te numri i përcaktuar S.
Në këtë rastë ne do të shkruajmë qESSn , , kur n .
Le të jetë np dhe nq dy vargje realë të ndryshme nga zero, të tillë që
nn pppP ...10 , 011 pP
nn qqqQ ...10 , 011 qQ
Për vargjete e dhëna np dhe nq , konvolucioni p q është përcaktuar me:
nR p q kn
n
k
nqp
0
41
Përkufizim 2.6.1. Seria
0n
nx ose vargu nS është i shumueshëm në S sipas
metodës së përgjithsuar të Norlundit dhe ky fakt shënohet me qpNSSn ,, nëse
n
n
n
qp
n SqpR
t0
, 1
tenton te S, kur n .
Le të marrim në konsideratë metodën vijuese të shumueshmërisë:
n
k
kk
kkkn
n
n
k
q
kkkn
n
Eqp
n Sqk
qqp
REqp
Rt
0 00
,,
)1(
111
Nëse St Eqp
n ,, kur n , ne themi se seria
0n
nx ose vargu nS është i
shumueshëm te S sipas metodës së përgjithësuar të Norlund-Euler dhe këtë e
shënojmë me qEqpNSSn ,,, .
Teoremë 2.6.2. [46] Metoda e përgjithësuar Norlund-Eulerit është metodë regulare.
Vërtetim. Dime që metoda e përgjithësuar e Norlund-Eulerit e ka formën
kn
kkkkn
n
Eqp
n Sk
qqp
Rt
00
,,
)1(
11
. Gjithashtu dimë që metoda e Eulerit është
Sq
n
qE n
n
n
q
n
0)1(
1 regulare. Pasi që 1
nE është metodë regulare, atëhere nga
përkufizimi i regularitetit së një metode, kemi Sxn
n
0
atëhere edhe
SSqn
qE n
n
n
q
n
0)1(
1.
Por
SRR
SqpR
SSqpR
Sk
qqp
Rt n
n
n
k
kkn
n
n
k
kkn
n
kn
kkkkn
n
Eqp
n
111
)1(
11
0000
,,
Meqë Sxn
n
0
dhe prej saj rrjedh se edhe St Eqp
n ,, atëhere kjo tregon se metoda e
përgjithësuar e Norlund-Eulerit është metodë e regulare.
Le të shënojmë me qEqpN ,,, hapësirën e gjitha vargjeve )( kxx që
konvergjojnë fuqishëm dhe janë qEqpN ,,, të shumueshme në L :
𝑁,𝑝, 𝑞 𝐸, 1 =
42
= 𝑥 = 𝑥𝑛 : limn→∞
1
𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
(1 + 𝑞)𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 = 0 𝑝ë𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑎 𝐿
𝑘
𝜈=0
𝑛
𝑘=0
matrica kncA , në metodën e shumueshmërisë qEqpN ,,, është dhënë me
nk
nkqk
qqp
Rc
n
k
kk
kkkn
nkn
nëse, 0
nëse,)1(
11
0 0,
Tani jemi në gjendje të japim përkufizimin e konvergjencës statistikore me pesha
sipas metodës së shumueshmërsië qEqpN ,,, .
Përkufizim 2.6.3. [46] Vargu )( kxx thuhet se konvergjon statistikisht me pesha
sipas metodës së përgjithësuar së Norlund-Euler nëse për çdo 0 .
0||)1(
1:
1lim
0
Lxqk
qqpRk
R
kk
kkknn
nn
Bashkësia e konvergjencave statistikore me pesha sipas metodës së përgjithësuar të
Norlund –Eulerit shënohet me q
NES , ku
LdisapërLxqk
qqpRk
RxxS k
k
kkknn
nn
n
q
NE ,0||)1(
1:
1lim:)(
0
Nëse vargu )( kxx është q
NES -konvergjent, ne gjithashtu përdorim shënimin
)( q
NEk SLx .
Në vazhdim, gjejmë relacionet ndërmjet q
NES , qEqpN ,,, dhe q
NES , qE, .
Teoremë 2.6.4. [46] Nëse vargu )( kx është qEqpN ,,, -i shumueshëm te 𝐿,
atëhere vargu )( kx është q
NES –konvergjent dhe përfshirja q
NESqEqpN ,,, është
e vërtetë.
Vërtetim: Le të jetë )( kx varg qEqpN ,,, -i shumueshëm në L dhe
||)1(
1:
0
Lxqk
qqpRkK k
k
kkknn
Atëhere, për 0 , ne kemi
43
n
k
kk
kkkn
n
Lxqk
qqp
R 0 0
||)1(
11
Kk
k
Kkkkn
n
Lxqk
qqp
R||
)1(
11
||)1(
1:
1
||)1(
11
0
Lxqk
qqpRk
R
Lxqk
qqp
R
kk
kkknn
n
Kk
k
Kkkkn
n
Prandaj, vargu )( kx është q
NES -konvergjent te L . Pra treguam pjesën e parë të
teoremës.
Shembulli i mëposhtëm tregon se përfshirja q
NESqEqpN ,,, është rigoroze.
Shembull 2.6.5. [46] Konsiderojmë që 1np dhe 1nq për çdo 𝑛 ∈ ℕ. Gjithashtu
ne përcaktojmë vargun )( kxx si më poshtë:
2,
0,k
k if k nx
if k n
Atëhere 0
1 1n
n
k
R n
dhe
|0|)1(
11
0
xqk
qqp
R
kk
kkkn
n
01
n
n
kur .n
Në anën tjetër,
n
k
kk
k
n
k
kk
kkkn
n
xqk
qnxq
k
qqp
R 0 00 0
2
)1(
1
1
1|0|
)1(
11
)1(2)1(
1
1
1
0 0 q
nq
k
qn
n
k
kk
k
kur .n
Pasi që vargu )( kx është q
NES –konvergjent por nuk është qEqpN ,,, -i
shumueshëm kjo na tregon se përfshirja q
NESqEqpN ,,, është e vërtet.
Theorem 2.6.6. [46] Le të jetë nR dhe MLxqk
qqp k
k
kkkn
||)1(
1
0
për çdo ∈ ℕ . Nëse )( q
NEk SLx , atëhere qEqpNxk ,,, .
44
Vërtetim: Le të jetë )( q
NEk SLx dhe
||)1(
1:
0
Lxqk
qqpRkK k
k
kkknn
deri sa nR dhe MLxqk
qqp k
k
kkkn
||)1(
1
0
për çdo 𝑘 ∈ ℕ , atëherë
për çdo 0 , ne kemi
n
k
kk
kkkn
n
Lxqk
qqp
R 0 0
||)1(
11
Kk
k
Kkkkn
n
Lxqk
qqp
R||
)1(
11
||)1(
1:
||)1(
11
0
Lxqk
qqpRk
R
M
Lxqk
qqp
R
kk
kkknn
n
Kk
k
Kkkkn
n
Deri sa është i çfardoshëm, kemi qEqpNLxk ,,, .
Më vijim do të kosiderojmë se 1np , 1nq dhe me ( )L S do të shënojmë
konvergjencën statistikore të vargut ( )kx . Teorema vijuese tregon se nën çfarë kushte
konvergjenca statistikore implikon konvergjencën e përgjithësuar statistikore me
pesha sipas Norlund –Eulerit.
Teoremë 2.6.7. [46] Le të jetë liminf 1,nR
n
për çdo Nn . Nëse )(SLxk ,
atëhere )( q
NEk SLx dhe përfshirja është e saktë.
Vërtetim: Për çdo 0 ne kemi
||)1(
11
||)1(
11
||)1(
11|:|
1
0
0
0
Lxqk
qqp
R
Lxqk
qqp
Rn
R
Lxqk
qqp
nLxRk
n
kk
kkkn
n
kk
kkkn
n
n
kk
kkknkn
Kjo e përfundon vërtetimin. Që përfshirja është e vërtetë ne do ta tregojmë me
shembullin e mëposhtëm.
45
Shembull 2.6.8. [46] Konsiderojm se 1kp dhe 1
kqk
për çdo 𝑘 ∈ ℕ . Dhe
gjithashtu le të konsiderojmë se 1( 1)k
kx . Atëhere rrjedhë
0||)1(
111:
1lim
0
Lxqk
qkRk
R
kk
kn
nn
, por ( ) ( ).kx L S
Teoremë 2.6.9. [46] Nëse vargu ,nR është varg i kufizuar i tillë që
limsup ,nR
n
atëhere nga q
NES -konvergjenca rrjedh S - konvergjenca.
Vërtetim: Për 0 , ne kemi
||)1(
1:
1
||)1(
1:
1
||)1(
1:
1|:|
1
0
0
0
Lxqk
qqpRk
R
Lxqk
qqpRk
Rn
R
Lxqk
qqpRk
nLxRk
n
kk
kkknn
n
kk
kkknn
n
n
kk
kkknnkn
Meqë limsup ,nR
n
fitojmë që )()( SLxSLx k
q
NEk , që dmth se
SS q
NE . Prandaj rezultati rrjedh nga teorema 2.6.7.
Teoremë 2.6.10. [46] Nëse vargu ,nR është varg i kufizuar i tillë që 1< liminf
nR
n
< limsup ,nR
n
atëhere q
NES - konvergjenca është ekuivalente me S -
konvergjencën.
Vërtetim: Vërtetimi i teoremës rrjedhë drejtë nga teorema 2.6.7 dhe teorema 2.6.9.
46
2.7. Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit
Le të shënojmë me 𝐹 𝑅 hapësirën e të gjitha funksioneve me vlera reale të
përkufizuar në 𝑅. Le të jetë 𝐶[𝑎, 𝑏] hapësira e gjitha funksioneve të vazhdueshme 𝑓
në 𝑎, 𝑏 . Ne dime që 𝐶[𝑎, 𝑏] është hapësirë e Banahut me normë
𝑓 ∞ = sup𝑥∈[𝑎 ,𝑏]
𝑓(𝑥) ,𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 .
Në këtë pjesë, ne studiojmë shkallën e vargjeve që konvegjojnë statistikisht me pesha
sipa Norlund-Eulerit për operatorët linear pozitiv nga 𝐶(𝐼) në 𝐶(𝐼).
Le të jetë 𝐶(𝐼) hapësirë e Banahut me normë uniforme ∙ ∞ i funksioneve të
vazhdueshme në 𝐼 = [0,∞) ; me kusht që lim𝑛→∞ 𝑓(𝑥).
Supozojmë se 𝐿𝑛 :𝐶(𝐼) → 𝐶(𝐼). Ne shëojmë 𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) për 𝐿𝑛(𝑓(𝑠); 𝑥) ; dhe themi se 𝐿
është operator linear pozitiv nëse 𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) ≥ 0 për çdo 𝑓(𝑥) ≥ 0.
Përkufizim 2.7.1. [48] Le të jetë 𝑎𝑛 varg pozitiv jo zvoglues. Themi se vargu
𝑥 = 𝑥𝑛 konvergjon statistikisht me pesha sipas Norlund-Eulerit te numri 𝐿 me
shkallë 0 𝑎𝑛 nëse për çdo 휀 > 0
lim𝑛→∞
1
𝑎𝑛𝑅𝑛 𝑘 ≤ 𝑅𝑛 :𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
(1 + 𝑞)𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀
𝑘
𝜈=0
= 0
Në këtë rastë shënojmë 𝑥𝑘 − 𝐿 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 .
Lema 2.7.2. [48] Le të jenë 𝑎𝑛 dhe 𝑏𝑛 dy vargje jorritëse pozitive. Le të jetë
𝑥 = 𝑥𝑛 dhe 𝑦 = 𝑦𝑛 të tilla që 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 dhe 𝑦𝑘 − 𝐿2 =𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑏𝑛 . Atëhere
(i) 𝛼 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 , për ndonjë skalar 𝛼.
(ii) 𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑐𝑛 (iii) 𝑥𝑘 − 𝐿1 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛𝑏𝑛
ku 𝑐𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 .
Duke pasur parasysh që 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformisht i vazhdueshëm (sipas modulit)
pra
𝜔 𝑓, 𝛿 = sup 𝑥−𝑦 <𝛿
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) .
dhe
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦
𝛿+ 1 (2.7.1)
atëhere ne kemi rezultatet vijuese
47
Teorem 2.7.3. [48] Le të jetë 𝑇𝑘 varg i operatorëve linear pozitiv 𝐶(𝐼) në 𝐶(𝐼) .
Supozojm që
(i) 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1 ∞ = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 ,
(ii) 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑏𝑛 ku 𝜆𝑘 = 𝑇𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 dhe 𝜑𝑥 𝑦 = 𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑥 2.
Atëhere për çdo 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼) kemi
𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 ∞ = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑐𝑛
ku 𝑐𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 .
Vërtetim. Le të jetë 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), dhe 𝑥 ∈ 𝐼. Duke përdorur (2.7.1)
𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ≤ 𝑇𝑘 𝑓 𝑦 − 𝑓 𝑥 ;𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1
≤ 𝑇𝑘 𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑥
𝛿+ 1; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1,𝑥 − 1
≤ 𝑇𝑘 1 +1
𝛿2 𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑥 2; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1
≤ 𝑇𝑘 1, 𝑥 +1
𝛿2𝑇𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1
≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1 + 𝜔 𝑓, 𝛿 +1
𝛿2𝜔 𝑓, 𝛿 𝑇𝑘 𝜑𝑥 ; 𝑥
Vendsoim 𝛿 = 𝜆𝑘 = 𝑇𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 . Kështu që
𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 ∞≤ 𝑓 ∞ 𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ + 2𝜔 𝑓, 𝜆𝑘
+ 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑇𝑘 1; 𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
1 + 𝑞 𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈
𝑘
𝜈=0
− 1
∞
≤
≤ 𝐾 𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ + 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 + 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑇𝑘 1;𝑥 − 1 ∞
ku 𝐾 = max 𝑓 ∞ , 2 . Kështu
𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
1 + 𝑞 𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈
𝑘
𝜈=0
− 𝑓 𝑥
∞
48
≤ 𝐾 𝑇𝑘 1;𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
1 + 𝑞 𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈
𝑘
𝜈=0
− 1
∞
+ 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘
+ 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
1 + 𝑞 𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈
𝑘
𝜈=0
∙ 𝑇𝑘 1; 𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
1 + 𝑞 𝑘
𝑘
𝜈 𝑞𝑘−𝜈
𝑘
𝜈=0
− 1
∞
Duke përdorur përkufizimin 2.7.1 dhe kushtet (i) dhe (ii), ne fitojmë rezultatin e
dëshiruar.
Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.
2.8. [49] Përafrimi i funksioneve periodike përmes konvergjencës statistikore me
pesha sipas Norlund –Eulerit.
Le të jetë 𝐹(𝑅) hapësira e gjitha funksioneve të definuara në 𝑅 . Le të jetë 𝐶(𝑅) hapësira e funksioneve të vazhdueshme 𝑓 në 𝑅 . Ne dimë që 𝐶(𝑅)është hapësirë e
Banahut me normë
𝑓 ∞ = sup𝑥∈𝑅 𝑓(𝑥) , 𝑓 ∈ 𝐶 𝑅 .
Shënojmë me 𝐶2𝜋(𝑅) hapësirën e gjitha funksioneve 2𝜋 − periodike në 𝐶(𝑅) e cila
është hapësirë e Banahut me normë
𝑓 2𝜋 = sup𝑡∈𝑅
𝑓 𝑡 ,
Teorema e parë dhe e dytë e Korovkinit janë si në vijim [9,10].
Teoremë 2.8.1. Le të jetë 𝑇𝑛 varg i operatorëve linearë pozitivë nga 𝐶[0,1] në
𝐹[0,1]. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 , është që lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓𝑖 , 𝑥 − 𝑓𝑖(𝑥) ∞ = 0 , për
𝑖 = 0,1,2 ku 𝑓0 𝑥 = 1, 𝑓1 𝑥 = 𝑥 dhe 𝑓2 𝑥 = 𝑥2.
Teoremë 2.8.2. Le të jetë 𝑇𝑛 varg i operatorëve linearë pozitivë nga 𝐶2𝜋(𝑅) në
𝐹(𝑅) . Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(2 RCf .
lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥) 2𝜋 = 0 , është që lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓𝑖 , 𝑥 − 𝑓𝑖(𝑥) 2𝜋 = 0 , për
𝑖 = 0,1,2 ,ku 𝑓0 𝑥 = 1,𝑓1 𝑥 = cos 𝑥 dhe 𝑓2 𝑥 = sin 𝑥.
Në këtë pjesë, ne provojmë teoremën e dytë të Korovkinit duke e përdorur simbolikën
e konvergjencs statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit. Gjithashtu kemi dhënë një
shembull se rezultati ynë është më i fuqishëm se ai në teoremën 2.8.2.
Shënojmë 𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) për 𝐿𝑛 𝑓 𝑠 ; 𝑥 ; dhe themi se L është operator linear nëse
𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) ≥ 0 për çdo 𝑓(𝑥) ≥ 0.
49
Teorem 2.8.3. [49] Le të jetë )( kT varg i opratorëve linearë pozitivë nga )(2 RC në
)(2 RC . Atëhere kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(2 RCf .
0)();(lim)(2
xfxfTstNE k
k
q (2.8.0)
është që
01);1(lim)(2
xTstNE k
k
q (2. 8.1)
0cos);(coslim)(2
xxtTstNE k
k
q (2. 8.2)
0sin);(sinlim)(2
xxtTstNE k
k
q (2. 8.3)
Vërtetim. Meqë 210 ,, fff i takojnë )(2 RC , kushtet (2.8.1)-(2.8.3) rrjedhin
drejtpërdrejt nga (2.8.0). Supozojmë se plotësohen kushtet (2.8.1)-(2.8.3) dhe le të jetë
)(2 RCf . Le të jetë I gjysëm interval me gjatësi R nga 2 . Fiksojmë Ix .
Nga vazhdueshmëria e funksionit f në x , rrjedh që për 0 gjendet 0 e tillë që
për çdo 𝑡 që plotëson kushtin xt të kemi
)()( xftf (2.8.4)
Meqë f është i kufizuar, atëhere për çdo Rt
22)()( fxftf (2.8.5)
Për çdo ]2,( xxt , është e njohur se
)(
2sin
2)()(
2
2 tf
xftf
(2.8.6)
ku
2sin)( 2 tx
t .
Me që )(2 RCf është 2 -periodik, jobarazimi (2.8.6) plotësohet për Rt .
Llogarisim );1( xTk te ky barazim, dhe kemi
50
(2.8.7) |sin);(sin||cos);(cos|1);1()
2sin
|)(|(
|sin);(sin||sin||cos);(cos||cos|1);1(
2sin
|1);1(||))(|(
)();(
2
2
2
2
xxtTxxtTxTf
xf
xxtTxxxtTxxTf
xTxf
xfxfT
kkk
kkk
k
k
Duke marrë Rxsup në (2.8.7) fitojmë
),sin);(sincos);(cos)1();1((()();(2222
xxtTxxtTfxTKxfxfT kkkk
ku
2sin 2
2
2
ffK .
Kështu
(2.8.8) ),sin)1(
1);(sin
cos)1(
1);(cos
1)1(
1);1((
)();(
20
20
20
2
xqk
qqpxtT
xqk
qqpxtT
qk
qqpxTK
xfxfT
kk
kkknk
kk
kkknk
kk
kkknk
k
Për 0r të dhënë zgjedhim 0, të tillë që r, . Përkufizojmë bashkësitë vijuese
,)1(
1),(:
20
rxfqk
qqpxfTnkD k
k
kkknk
,3
1)1(
1),1(:
,
20
1
K
rq
k
qqpxTnkD k
k
kkknk
,3
cos)1(
1),(cos:
,
20
2
K
rxq
k
qqpxtTnkD k
k
kkknk
51
,3
sin)1(
1),(sin:
,
20
3
K
rxq
k
qqpxtTnkD k
k
kkknk
atëhere 321 DDDD dhe gjithashtu )()()()( 321 DDDD NENENENE .
Prandaj, duke përdorur (2.8.1)-(2.8.3) ne fitojmë
0)();(lim)(2
xfxfTstNE k
k
q
Kjo e përfundon vërtetimin e teoremës.
Në vazhdim po japim një shembull dhe vërejtje përmbyllëse.
Në shembullin vijues ne konstruktojmë vargun e operatorëve linearë pozitivë të cilët
plotësojnë kushtet e Teoremës 2.8.3. por nuk i plotësojnë kushtet e teoremës 2.8.2.
Shembull 2.8.4. Për ndonjë ,Nn shënojmë me )( fSn shumën e tën të pjesëshme
të serisë Furie të f .
).sin)(cos)(()(2
1))((
1
0 kxfbkxfafaxfS k
n
k
kn
Për ndonjë ,Nn shënojmë
n
k
kn fSn
fF0
).(1
1:)(
𝑆𝑛 𝑓 =𝑎0
2+ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1
ku 𝑎0 =1
𝜋 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝜋
−𝜋; 𝑎𝑘 =
1
𝜋 𝑓 𝑡 cos𝑘𝑡 𝑑𝑡𝜋
−𝜋 ; 𝑏𝑘 =
1
𝜋 𝑓 𝑡 sin𝑘𝑡 𝑑𝑡𝜋
−𝜋
𝑆𝑛 𝑓 =𝑎0
2+ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 =
1
2𝜋
𝑛
𝑘=1
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
+1
𝜋 cos 𝑘𝑥 ∙ 𝑓 𝑡 cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
+ sin𝑘𝑡 ∙ 𝑓 𝑡 sin𝑘𝑡 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
𝑛
𝑘=1
=1
𝜋 𝑓 𝑡 ∙
1
2+ (cos𝑘𝑥 ∙ cos 𝑘𝑡 + sin𝑘𝑥 ∙ sin 𝑘𝑡)
𝑛
𝑘=1
𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
=1
𝜋 𝑓 𝑡 ∙
1
2+ cos(𝑘𝑥 − 𝑘𝑡)
𝑛
𝑘=1
𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
=1
𝜋 𝑓 𝑡 ∙
1
2+ cos𝑘(𝑥 − 𝑡)
𝑛
𝑘=1
𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
=1
𝜋 𝑓 𝑡 ∙
1
2+ cos 𝑥 − 𝑡 + ⋯+ cos𝑛 𝑥 − 𝑡 + 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
=1
𝜋 𝑓 𝑡 ∙
sin 𝑛 +12 (𝑥 − 𝑡)
2sin12 (𝑥 − 𝑡)
𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
52
Me llogaritje të zakonshme, për çdo ,Rt fitojmë
dttxtf
dttx
txn
ntfdt
tx
txk
ntfxfF
n
n
k
n
)( )(2
1
)2)((sin
)2))(1((sin
1
1)(
2
1
)2)sin((
)2))(12sin((
1
1)(
2
1:);(
2
2
0
ku
Vargu Nnn
është thelb pozitiv i cili quhet thelbi i Fejer, dhe operatori
korrespondues , 1n , nF quhet konovlucioni i operatorëve Fejer.
Vërejmë se teorema 2.8.2 plotësohet për vargun . nF Në fakt ne kemi që
ffFnn
)(lim , për çdo ).(C2 Rf
Le të jetë )(C)(C: 22 RRLk , ku ),;(1; xfFxxfL kkk (2.8.9)
ku vargu kxx është përcaktuar me (2.6.5). Tani
.sin1
;sin
.cos1
;cos
1;1
xn
nxtL
xn
nxtL
xL
n
n
n
Prandaj kemi
01);1(lim)(2
xLstNE n
n
q
0cos);(coslim)(2
xxtLstNE n
n
q
0sin);(sinlim)(2
xxtLstNE n
n
q
Pra, vargu nL plotëson kushtet (2.8.1)-(2.8.3), dhe sipas teoremës 2.8.3, ne kemi
0)();(lim)(2
xfxfLstNE n
n
q
që do me thënë se vlen teorema 2.8.3. Në anën tjetër, për operatorin e përcaktuar në
(5.9.2) teorema 2.8.2 nuk vlen sepse vargu nL nuk është konvergjent.
Kjo tregon se rezultati i teoremës 2.8.3 është më i fuqishëm se ai i teoremës 2.8.1.
2 ishumëfish është nëse 1n
2 ishumëfish ështënuk nëse )2)((sin)1(
)2))(1((sin
:)( 2
2
x
xtxn
txn
xn
53
2.9.[49] Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së
përgjithësuar të Norlund-Eulerit për funksionet periodike.
Në këtë pjesë, ne bëjmë një studim të shkallës së konvergjencës statistikore me pesha
sipas metodës së përgjithësuar të Norlund-Eulerit të vargjeve të operatorëve linear të
definuar nga )(C2 R në )(C2 R .
Përkufizim 2.9.1. [49] Le të jetë )( na varg pozitiv jo rritës. Ne themi se vargu
)( nxx konvergjon statistikisht me pesha sipas Norlund-Eulerit te numri L me
shkallë )(0 na nëse për çdo 0
0||)1(
1:
1lim
0
Lxqk
qqpRk
Rak
kk
kkknn
nnn
Në këtë rast ne shkruajmë )(0)( n
q
k astNELx .
Lema 2.9.2. [49] Le të jenë )( na dhe )( nb dy vargje pozitive jo yvogluese. Le të jetë
)( nxx dhe )( nyy dy vargje të tilla që )(0)(1 n
q
k astNELx dhe
)(0)(2 n
q
k astNELx . Atëhere
(i) ),(0)()( 1 n
q
k astNELx për ndonjë skalar
(ii) )(0)()()( 21 n
q
kk cstNELyLx
(iii) )(0)())(( 21 nn
q
kk bastNELyLx
ku nnn bac ,max .
Duke pasur parasyshë 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformisht i vazhdueshëm (sipas modulit)
pra
𝜔 𝑓, 𝛿 = sup 𝑥−𝑦 <𝛿
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) .
dhe
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦
𝛿+ 1 (2.9.1)
atëhere ne kemi rezultatet vijuese
Teoremë 2.9.3. [49] Le të jetë )( kT varg i operatorëve linearë pozitivë nga )(C2 R
në )(C2 R . Nëse plotësohen kushtet e mëposhtme
(i) )(0)(1);1(2 n
q
k astNExT
,
(ii) )(0)(),( n
q
k astNEf ku );( xT xkk dhe )
2(sin)( 2 xy
yx
atëhere për çdo )(C2 Rf , kemi
54
)(0)()();( n
q
k cstNExfxfT
ku nnn bac ,max.
Vërtetim. Le të jetë )(C2 Rf , dhe ,x . Duke përdorur ( 2.9.1)
1);1()(),( );(),1(
1);1()(),( ;2
sin1
1);1()(),( );1(
1);1()();)()(()();(
2
2
2
2
2
xTxffxTxT
xTxffxxy
T
xTxffxyx
T
xTxfxxfyfTxfxfT
kxkk
kk
kk
kkk
Marrim );( xT xkk , dhe kemi
2kk2
20
k
k
2
22
2
1);1(),(),( 1);1(
1)1(
1);1(),(
),( )1(1);1(
)();(
xTffxTK
qk
qqpxTf
fxTf
xfxfT
kk
kk
kkknk
k
k
ku 2
21, max
fK .
Kështu
20
0
kk
20
20
1)1(
1);1(
)1(
1),(),(
1)1(
1);1(
)()1(
1);(
kk
kkknk
kk
kkkn
kk
kkknk
kk
kkknk
qk
qqpxT
qk
qqpff
qk
qqpxTK
xfqk
qqpxfT
Tani duke përdorur Përkufizimin 2.9.1. dhe kushtet (i) dhe (ii), ne fitojmë rezultatin e
dëshiruar.
Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.
55
KAPITULLI 3
KONVERGJENCA A-STATISTIKORE ME PESHA
3.1. Konvergjenca A-statistikore me pesha e vargjeve të operatorëve linearë
pozitivë.
Në këtë kapitull kemi dhënë kuptimin e konvergjencës 𝐴-statistikore me pesha të
operatorëve linearë pozitivë dhe disa rezultate ndihmëse të cilat janë vërtetuar në [51].
Kështu që çdo teoremë dhe pohim këtu do të jepen pa vërtetim.
Le të jenë 𝑋 dhe 𝑌 dy hapësira të vargjeve dhe le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë e
fundme. Nëse për ndonjë 𝑥 = (𝑥𝑘) në 𝑋 seria
𝐴𝑛𝑥 = 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘
𝑥𝑘 = 𝑎𝑛 ,𝑘
∞
𝑘=1
𝑥𝑘
konvergjon për çdo 𝑛 ∈ 𝑁 dhe vargu 𝐴𝑥 = 𝐴𝑛𝑥 i takon 𝑌 , atëhere ne themi se
matrica A pasqyron 𝑋 në 𝑌. Me (𝑋,𝑌) shënojmë bashkësinë e të gjitha matricave të
cilat pasqyrojnë 𝑋 në 𝑌.
Matrica 𝐴 quhet regulare nëse 𝐴 ∈ (𝑐, 𝑐), ku me simbolin 𝑐 shënojmë hapësirën e
gjitha vargjeve konvergjente dhe
lim𝑛𝐴𝑛𝑥 = lim
𝑘𝑥𝑘
për çdo 𝑥 ∈ 𝑐. Teorema e njohur Silverman-Toeplitz ( shiko[50]) pohon se: kushtë i
nevojshëm dhe i mjaftueshëm që matrica 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) të jetë regularë është që
(i) lim𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘 = 0 for each 𝑘;
(ii) lim𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘𝑘 = 1;
(iii) sup𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘 < ∞𝑘 .
Kolk [21] ka zgjeruar përkufizimin e konvergjencës statistikore e cila me ndihmën e
matricës regulare 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) e kemi quajtur 𝐴-konvergjenca statistikore. Përkufizimi
i 𝐴-konvergjencës statistikore është dhënë si më poshtë.
Përkufizim 3.1.1. [51] Për ndonjë matricë jonegative regulare 𝐴, ne themi se vargu
është 𝐴-statistikisht konvergjent te numri 𝐿 nëse për çdo 휀 > 0 kemi
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘 : 𝑥𝑘−𝐿 ≥휀
= 𝐿
Le të jetë 𝑝 = 𝑝𝑘 varg i numrave jonegativ i tillë që 𝑝0 > 0 dhe
𝑃𝑛 = 𝑝𝑘
𝑛
𝑘=0
→ ∞ 𝑘𝑢𝑟 𝑛 → ∞
56
Le të jetë
𝑡𝑛 =1
𝑃𝑛 𝑝𝑘𝑥𝑘
𝑛
𝑘=0
, 𝑛 = 0,1,2,…
Ne themi që 𝑥 = 𝑥𝑘 është 𝑁 ,𝑝𝑛 − i shumueshëm te numri 𝐿 nëse
lim𝑛→∞ 𝑡𝑛 = 𝐿.
Densiteti i poshtëm dhe i sipërm me pesha i bashkësis 𝐸 ⊆ 𝑁 respektivisht është i
përcaktuar me
𝛿𝑁 𝐸 = lim𝑛→∞
inf1
𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 : 𝑘 ∈ 𝐸
𝛿𝑁(𝐸) = lim𝑛→∞
sup1
𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 : 𝑘 ∈ 𝐸
Themi se 𝐸 e ka densitetin me pesha zero, që e shënojmë me 𝛿𝑁(𝐸), nëse të dy
limitet e njëanshme të densitetit ekzistojnë dhe janë të barabartë; prandaj, e shënojmë
𝛿𝑁 𝐸 = lim𝑛→∞
1
𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 : 𝑘 ∈ 𝐸
Vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) thuhet se konvergjon statistikisht me pesha (ose është
𝑆𝑁 −konvergjentë) nëse për çdo 휀 > 0
lim𝑛→∞
1
𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 :𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀 = 0
Në këtë rast ne shkruajmë 𝐿 = 𝑆𝑁 − 𝑙𝑖𝑚𝑥.
Vërejtje 3.1.2. [51] Nëse 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘 , atëhere
𝑁 ,𝑝𝑛 − shumueshmëria reduktohet në (𝐶, 1) − shumueshmëri (ose Cesaro-
shumueshmëri) dhe konvergjenca statistikore me pesha reduktohet në konvergjencë
statistikore.
Në anën tjetër, shënojmë me 𝐶[𝑎, 𝑏] hapësirën e gjitha funksioneve të vazhdueshme 𝑓
në segemntin 𝑎, 𝑏 .
E dime që 𝐶[𝑎, 𝑏] është hapësirë e Banahut me normë
𝑓 ∞ = sup𝑥∈[𝑎 ,𝑏]
𝑓(𝑥) , 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]
Supozojmë që L është operator linear nga 𝐶[𝑎, 𝑏] në 𝐶. Është e qartë që nëse 𝑓 ≥ 0
atëherë 𝐿𝑓 ≥ 0, atëhere operatori linear 𝐿 është pozitiv në 𝐶[𝑎, 𝑏] . Ne shënojmë
vlerën e 𝐿𝑓 në pikën 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] me 𝐿(𝑓; 𝑥). Teorema klasike përafruese e Korovkinit
është dhënë si në vijim.
57
Teoremë 3.1.3. [51] Le të jetë 𝑇𝑛 vargu i operatorëve linear nga 𝐶[𝑎, 𝑏] në 𝐶[𝑎, 𝑏]. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]
lim𝑛→∞
𝑇𝑛 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0
është që
lim𝑛→∞
𝑇𝑛 𝑓𝑖 ; 𝑥 − 𝑓𝑖(𝑥) ∞ = 0
ku 𝑓𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑑𝑒 𝑖 = 0,1,2.
Në referencën [52] disa autorë kanë provuar këtë tip të teoremës përafruese në
hapësirat 𝐿𝑝 me peshë, ku 1 ≤ 𝑝 < ∞, përmes 𝐴-shumueshmërisë e cila është më e
fuqishme se konvergjenca e zakonshme. Për këtë tip të teoremave përafruese dhe
koncepteve të lidhura me të, mund ti referohemi [53–59] dhe referencave të tyre.
Në vazhdim po e japim teoremën e Korovkin-it sipas Konvergjencës A-statistikore me
pesha. Kolk [21] ka paraqitur kuptimin e konvergjencës 𝐴 -statistikore duke e
konsideruar matricën joregulare pozitive 𝐴 në vend të matricës së Cesaros në
përkufizimin e konvergjencës statistikore sipas Fast. Duke u frymëzuar nga puna e
Kolk, këtu është paraqitur kuptimi i konvergjencës së vargjeve 𝐴 −statistikore me
pesha dhe mandej janë provuar disa teorema të Korovkin-it duke e shfrytëzuar këtë
kuptim.
Përkufizim 3.1.4. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative. Vargu
𝑥 = (𝑥𝑘) i numrave real ose kompleks thuhet se është A-statistikisht konvergjentë me
pesha, që simbolikisht e shënojmë me 𝑆𝐴𝑁 -konvergjentë, te numri 𝐿 nëse për çdo
휀 > 0
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)
= 0
ku
𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀
Simbolikisht e shënojmë 𝑆𝐴𝑁 − lim 𝑥 = 𝐿.
Vërejtje 3.1.5. [51]
(i) Nëse vendosim 𝐴 = 𝐼, ku 𝐼 paraqet matricën njësi, atëhere konvergjenca 𝐴-
statistikore me pesha e vargut reduktohet në konvergjencë të zakonshme.
(ii) Nëse vendosim 𝐴 = (𝐶, 1), ku (𝐶, 1) paraqet matricën e Cesaros të rendit
parë, atëhere konnvergjenca 𝐴 −statistikore me pesha e vargut reduktohet në
konvergjencë statistkore me pesha.
(iii) Nëse zëvendësojmë 𝐴 = 𝐶, 1 dhe 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘, atëhere konvegjenca
𝐴 −statistikore me pesha reduktohet në konvergjencë statistikore.
Kujtojmë se nga konvergjenca e zakonshme e vargut rrjedhë konvergjenca 𝐴 -
statistikore për të njejtën vlerë por e anasjellta në përgjithësi nuk është e vërtet.
58
Për shembull nëse, 𝐴 = 𝐶, 1 dhe 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘 dhe përkufizojmë vargun
𝑥 = (𝑥𝑘) me
𝑥𝑘 = 1,𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 = 𝑛2
0,𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑡𝑗𝑒𝑟𝑎
ku 𝑛 ∈ 𝑁 . Atëhere ky varg është statistikisht konvergjent në 0 por nuk është
konvergjent; në këtë rast, konvergjenca 𝐴-statistikore me pesha e vargut koinçidon me
konvergjencën statistikore.
Teoremë 3.1.6. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative.
Konsiderojmë vargun e operatorëve linearë pozitivë (𝑀𝑘) nga ℂ[𝑎, 𝑏] në vetvete.
Atëhere kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] të kufizuar në
tërë drejtëzën reale,
𝑆𝐴𝑁 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.1.0)
është që
𝑆𝐴𝑁 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.1.1)
𝑆𝐴𝑁 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 3.1.2
𝑆𝐴𝑁 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈
2;𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0 (3.1.3)
Teoremë 3.1.7. [51] Konsiderojmë vargun e operatorëve linear pozitiv (𝑀𝑘) nga
ℂ[𝑎, 𝑏] në vetëvete. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo
𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏] të kufizuar në tërë vijën reale,
𝑆𝑁 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.1.4)
është që
𝑆𝑁 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.1.5)
𝑆𝑁 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 (3.1.6)
𝑆𝑁 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝜈2;𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0 (3.1.7)
Vërejtje 3.1.8. [51] Nëse zëvendësojmë matricën regulare jonegative 𝐴 me matricën
e Cesaros dhe zgjedhim 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘, në teoremën 3.1.6, ne fitojmë teoremën 1
(shih Gadijev dhe Orhan [33]).
Vërejtje 3.1.9. [51] Sipas teoremës 2 (shiko [16]), ne kemi që nëse vargu 𝑥 = (𝑥𝑘)
është statistikisht konvergjent me pesha në L, atëhere ai është fuqishëm 𝑁 ,𝑝𝑛 −i
shumueshëm në L, me kusht që 𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 të jetë i kufizuar; kështu që, gjendet një
konstante 𝐶 e tillë që 𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≤ 𝐶 për çdo 𝑘 ∈ 𝑁.
59
Bashkësinë e të gjitha vargjeve 𝑥 = (𝑥𝑘) fuqishëm 𝑁 ,𝑝𝑛 −të shumueshme te 𝐿 ne e
shënojmë me
𝑁 ,𝑝𝑛 = 𝑥 = 𝑥𝑘 ∶ limn→∞
1
𝑃𝑛 𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑒 𝐿
𝑛
𝑘=0
Theorem 3.1.10. [51] Le të jetë 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] vargu i operatorëve linearë
pozitvë të cilët plotësojnë (3.1.6)-(3.1.7) të Teoremës 3.1.6 dhe plotësojnë kushtin
lim𝑘→∞
𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.1.8)
atëhere për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏]
limn→∞
1
𝑃𝑛 𝑝𝑘 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ = 0
𝑛
𝑘=0
(3.1.9)
Në vazhdim po e japim përkufizimin e shkallës së konvergjencës 𝐴 −statistikore me
pesha.
Së pari ne përcaktojm shkallën e konvergjencës 𝐴 −staistikore me pesha të vargut si
në vijim mandej japim disa teorema me vërtetim.
Përkufizim 3.1.11. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative dhe le
të jetë 𝑎𝑘 një varg pozitiv jorritës. Atëhere, vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) konvergjon
𝐴 −statistikisht me pesha te 𝐿 me shkallë 𝑜(𝑎𝑘) nëse për çdo 휀 > 0
lim𝑛→∞
1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)
= 0
ku
𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀
Simbolikisht, ketë fakt e shënojmë
𝑥𝑘 − 𝐿 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 𝑘𝑢𝑟 𝑘 → ∞
Lema 3.1.12. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) matrica regulare jonegative. Supozojmë se
𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitive jorritëse. Le të jetë 𝑥 = 𝑥𝑘 dhe 𝑦 = 𝑦𝑘 dy
vargje të tillë që 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 dhe 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴
𝑁 − 𝑜 𝑏𝑘 . Atëhere,
(i) 𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑐𝑘 ,
(ii) 𝑥𝑘 − 𝐿1 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘𝑏𝑘 ,
(iii) 𝛼 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 , për ndonjë skalar 𝛼,
ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 ,
60
Duke pasur parasyshë 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformisht i vazhdueshëm (sipas modulit)
pra
𝜔 𝑓, 𝛿 = 𝑠𝑢𝑝 |𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 |:𝑥,𝑦 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑥 − 𝑦 < 𝛿
dhe
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦
𝛿+ 1
atëhere ne kemi rezultatet vijuese
Teoremë 3.1.12. [51] Le të jetë 𝐴 = 𝑎𝑛 ,𝑘 matricë regulare jonegative. Nëse vargu i
operatorëve linear 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] i plotëson kushtet
(i) 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 ,
(ii) 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑏𝑘 , 𝑚𝑒 𝜆𝑘 = 𝑀𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝑑𝑒
𝜑𝑥 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 2,
ku 𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitivë jorritës, atëhere
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑐𝑘
për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏], ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 .
Në vazhdim po japim një shembull dhe një vërejtje përmbyllëse
Shembull 3.1.13. Operatorët 𝐵𝑛 : 0,1 → [0,1] të dhënë me
𝐵𝑛 𝑓, 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 𝑓 𝑘
𝑛
𝑛
𝑘=0
ku 𝑝𝑛 ,𝑘(𝑥) janë polinomialët fundamental të Bernstein të përcaktuar me
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑛
𝑘 𝑥𝑘(1 − 𝑥)𝑛−𝑘
për ndonjë 𝑥 ∈ [0,1], ndonjë 𝑘 ∈ 0,1,… , 𝑛 , dhe ndonjë 𝑛 ∈ 𝑁, quhen operatorët e
Bernstein-it dhe për herë të parë janë përdorur në [28]. Le të jetë vargu (𝐴𝑛) me
𝐴𝑛 :ℂ[0,1] → ℂ[0,1] me 𝐴𝑛 𝑓, 𝑥 = 1 + 𝑥𝑛 𝐵𝑛(𝑓, 𝑥), ku 𝑥 = (𝑥𝑘) është varg
𝑥 = 𝑥𝑘 = 𝑘, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 = 𝑛2,𝑛 ∈ 𝑁0, 𝑝ë𝑟 𝑛 𝑡ë 𝑡𝑗𝑒𝑟𝑎
kështu,
𝑥𝑘 = (1,0,0,2,0,0,0,0,3,0,… ,0,4,0,0,… )
Le të jetë 𝑝𝑘 = 1 (𝑘 = 1,2,… ) dhe 𝐴 = (𝐶, 1) matricë regulare jonegative. Atëhere
61
𝑝𝑘𝑥𝑘 = (1,0,0,8,0,0,0,0,27,0,… ,0,64,0,0,… )
𝑃𝑛 = 𝑝𝑘 =𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑛
𝑘=1
Me që
lim𝑛→∞
1
𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 :𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 0 ≥ 휀 ≤ lim
𝑛→∞
1
𝑃𝑛 𝑃𝑛 = lim
𝑛→∞
1
𝑛(𝑛 + 1)2
= 0
vargu 𝑥𝑘 është varg statistikisht konvergjent me pesha por nuk konvergjon në
mënyrë të zakonshme. Nuk është e vështirë të shihet se
𝐵𝑛 1, 𝑥 = 1, 𝐵𝑛 𝑡, 𝑥 = 𝑥, 𝐵𝑛 𝑡2, 𝑥 = 𝑥2 +
𝑥 − 𝑥2
𝑛
dhe vargu (𝐴𝑛) plotëson kushtet (3.1.1)-(3.1.3). Nga kjo rrjedh
𝑆(𝐶,1)𝑁 − lim
𝑛→∞ 𝐴𝑛 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0
Nga ana tjetër, fitojmë 𝐴𝑛 𝑓, 0 = 1 + 𝑥𝑛 𝑓 0 , me që 𝐵𝑛 𝑓, 0 = 𝑓(0), dhe pasi që
𝐴𝑛 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ ≥ 𝐴𝑛 𝑓, 0 − 𝑓(0) = 𝑥𝑛 𝑓(0)
rrjedh se (𝐴𝑛) nuk e plotëson teoremën e Korovkin-it, sepse (𝑥𝑛) dhe (𝐴𝑛) nuk janë
konvergjentë. Përfundimisht, arrijmë në përfundim se teorema 3.1.6 është rezultat më
i fuqishëm se teorema 3.1.3.
3.2. [61] Konvergjenca A-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit e vargjeve
të operatorëve linear pozitiv.
I inspiruar nga puna e S.A. Mohiuddine, Abdullah Alotaibi dhe Bipan Hazarika [51]
ne kemi paraqitur nocionin e konvergjencës 𝐴-statistikore me pesha sipas Norlund-
Eulerit dhe mandej kemi ndërtuar disa teorema të Korovkinit duke i përdorur këto
nocione.
Përkufizim 3.2.1. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë jonegative regulare. Themi
se vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) i numrave real ose kompleks konvergjon 𝐴-statistikisht me pesha
sipas Norlund-Eulerit, që e shënojmë me 𝑆𝐴𝑁𝐸 −konvergjent, te 𝐿 nëse për çdo 휀 > 0
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)
= 0
ku
𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 ≥ 휀
𝑘
𝜈=0
(3.2.1)
62
simbolikisht shënohet 𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim 𝑥 = 𝐿.
Teoremë 3.2.2. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) matricë regulare jonegative. E
konsiderojmë vargun e operatorëve linear (𝑀𝑘) nga ℂ[𝑎, 𝑏] në vetëvete. Atëhere,
kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏] të kufizuar në drejtëzën
reale,
𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.2)
është që
𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0
𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 (3.2.3)
𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈
2; 𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0
Vërtetim.
Ekuacionet (3.2.3) rrjedhin drejtpërdrejtë nga (3.2.2) sepse secili nga 1, 𝑥, 𝑥2 i takon
ℂ[𝑎, 𝑏].
Konsiderojmë funksionin 𝑓 ∈ ℂ 𝑎, 𝑏 , atëhere gjendet konstantja 𝐶 > 0 e tillë që 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 për çdo 𝑥 ∈ (−∞, +∞). Prandaj,
𝑓 𝜈 − 𝑓(𝑥) ≤ 2𝐶 −∞ < 𝜈, 𝑥 < +∞ (3.2.4)
Le të jetë dhënë 휀 > 0. Sipas hipotezës gjendet 𝛿 = 𝛿 휀 > 0 e tillë që
𝑓 𝜈 − 𝑓(𝑥) < 휀 ∀ 𝜈 − 𝑥 < 𝛿 (3.2.5)
Zgjidhim jobarazimet (3.2.4) dhe (3.2.5), zëvendësojmë Ω 𝜈 = (𝜈 − 𝑥)2 dhe
fitojmë
𝑓 𝜈 − 𝑓(𝑥) < 휀 +2𝐶
𝛿2Ω (3.2.6)
Ekuacioni (3.1.6) do të shkruhet si
−휀 −2𝐶
𝛿2Ω < 𝑓 𝜈 − 𝑓 𝑥 < 휀 +
2𝐶
𝛿2Ω (3.2.7)
Shumëzojmë me 𝑀𝑘 1; 𝑥 relacionin (3.2.7) . Meqë 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 është linear dhe
monoton, fitojmë
𝑀𝑘 1; 𝑥 −휀 −2𝐶
𝛿2Ω < 𝑀𝑘 1; 𝑥 𝑓 𝜈 − 𝑓 𝑥
< 𝑀𝑘 1; 𝑥 휀 +2𝐶
𝛿2Ω (3.2.8)
63
Vëmë re se 𝑥 është i fiksuar, atëhere 𝑓(𝑥) është numër konstant. Kështu, nga (3.2.8)
fitojmë
−휀𝑀𝑘 1; 𝑥 −2𝐶
𝛿2𝑀𝑘 Ω;𝑥 < 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥
< 휀𝑀𝑘 1; 𝑥 +2𝐶
𝛿2𝑀𝑘 Ω;𝑥 (3.2.9)
Termi ′′𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 ′′ në (3.2.9) mund të shkruhet si
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥 = 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 [𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1] (3.2.10)
Duke zëvendësuar vlerën 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥 në (3.2.9), ne fitojmë
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥
< 휀𝑀𝑘 1; 𝑥 +2𝐶
𝛿2𝑀𝑘 Ω;𝑥 + 𝑓 𝑥 [𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1] (3.2.11)
Ne mund të shkruajmë termin ′′𝑀𝑘 Ω; 𝑥 ′′ në (3.2.11) si në vijim:
𝑀𝑘 Ω; 𝑥 = 𝑀𝑘 (𝜈 − 𝑥)2; 𝑥 = 𝑀𝑘 ν2; 𝑥 + 2𝑥𝑀𝑘 ν; 𝑥 + 𝑥2𝑀𝑘 1; 𝑥
= 𝑀𝑘 ν2; 𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥 𝑀𝑘 ν;𝑥 − 𝑥 + 𝑥2[𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1]
Ekuacioni (3.2.11) me vlerën e mësipërme të 𝑀𝑘 Ω;𝑥 bëhet
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 < 휀𝑀𝑘 1; 𝑥
+2𝐶
𝛿2 𝑀𝑘 ν
2; 𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥 𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 + 𝑥2[𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1]
+ 𝑓(𝑥)[𝑀𝑘 1;𝑥 − 1]= 휀[𝑀𝑘 1;𝑥 − 1] + 휀
+ 2𝐶
𝛿2 𝑀𝑘 ν
2; 𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥 𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 + 𝑥2[𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1]
+ 𝑓(𝑥)[𝑀𝑘 1;𝑥 − 1]
prandaj,
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥
≤ 휀 +2𝐶𝑏2
𝛿2+ 𝐶 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 +
2𝐶
𝛿2 𝑀𝑘 ν
2;𝑥 − 𝑥2
+4𝐶𝑏
𝛿2 𝑀𝑘 ν;𝑥 − 𝑥
ku 𝑏 = max 𝑥 . Duke marrë supremum mbi 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], fitojmë
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞
≤ 휀 +2𝐶𝑏2
𝛿2+ 𝐶 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ +
2𝐶
𝛿2 𝑀𝑘 ν
2; 𝑥 − 𝑥2 ∞
+4𝐶𝑏
𝛿2 𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 ∞
64
ose
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ ≤ 𝑇 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 ∞ + 𝑀𝑘 ν2;𝑥 − 𝑥2 ∞ + 𝑀𝑘 ν;𝑥 − 𝑥 ∞
ku
𝑇 = max 휀 +2𝐶𝑏2
𝛿2+ 𝐶,
2𝐶
𝛿2,4𝐶𝑏
𝛿2
Kështu
𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞
≤ 𝑇 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 ∞
+ 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 ν2; 𝑥 − 𝑥2 ∞
+ 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 ∞ (3.2.12)
Për 𝛼 > 0 të dhënë, zgjedhim 휀 > 0 të tillë që 휀 < 𝛼 , dhe definojmë bashkësitë
vijuese:
𝐸 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ ≥ 𝛼
𝐸1 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 1, 𝑥 − 1 ∞ ≥𝛼 − 휀
3𝑇
𝐸2 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 ∞ ≥𝛼 − 휀
3𝑇
𝐸3 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 ν2; 𝑥 − 𝑥2 ∞ ≥
𝛼 − 휀
3𝑇
Është e lehtë të shihet se
𝐸 ⊂ 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3
Kështu, për çdo 𝑛 ∈ 𝑁, nga (3.2.12) fitojmë
𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸
≤ 𝑎𝑛 ,𝑘 +
𝑘∈𝐸1
𝑎𝑛 ,𝑘 +
𝑘∈𝐸2
𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸3
(3.2.13)
65
Duke kaluar në limit kur 𝑛 → ∞ në 3.2.13 dhe nga (3.2.3) fitojmë
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸
= 0
nga rrjedh se
𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim
𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0
për çdo 𝑓 ∈ ℂ 𝑎, 𝑏 .
Teoremë 3.2.3. [61] Konsiderojmë vargun e operatorëve linear pozitiv (𝑀𝑘) nga
ℂ[𝑎, 𝑏] në vetëvete. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo
𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏] të kufizuar në tërë vijën reale,
𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.14)
është që
𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.2.15)
𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 (3.2.16)
𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝜈2;𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0 (3.2.17)
Vërtetim.
Duke ndjekur vërtetimin e teoremës 3.2.2, fitojmë
𝐸 ⊂ 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3
Dhe gjithashtu
𝛿𝑁𝐸 𝐸 ⊂ 𝛿𝑁𝐸 𝐸1 + 𝛿𝑁𝐸 𝐸2 + 𝛿𝑁𝐸 𝐸3
Nga ekuacionet (3.2.15)-(3.2.17) fitojmë
𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0
Sipas teoremës 2 nga [46] ne kemi se nëse vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) është statistikisht
konvergjent me pesha sipas Norlund-Euler te 𝐿 , atëhere ai është fuqishëm
𝑁,𝑝, 𝑞 𝐸, 1 − i shumueshëm në 𝐿 , me kusht që 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘 𝑘
𝜈 𝑘
𝜈=0 𝑥𝑘 − 𝐿 të
jetë i kufizuar; kështu që, gjendet një konstante 𝐶 e tillë që
𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘 𝑘
𝜈 𝑘
𝜈=0 𝑥𝑘 − 𝐿 ≤ 𝐶 për çdo 𝑘 ∈ 𝑁.
Bashkësinë e të gjitha vargjeve 𝑥 = (𝑥𝑘) fuqishëm 𝑁,𝑝, 𝑞 𝐸, 1 − të shumueshme
te 𝐿 e shënojmë me
66
𝑁,𝑝, 𝑞 (𝐸, 1)
= 𝑥 = 𝑥𝑛 ∶ limn→∞
1
𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
𝑛
𝑘=0
1
2𝑘
𝑘
𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 = 0 𝑝ë𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑎 𝐿
𝑘
𝜈=0
Teoremë 3.2.4. [61] Le të jetë 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] vargu i operatorëve linearë
pozitvë të cilët plotësojnë (3.2.16)-(3.2.17) të teoremës 3.2.3 dhe
lim𝑘→∞
𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.2.18)
atëhere,
limn→∞
1
𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
𝑛
𝑘=0
1
2𝑘
𝑘
𝜈 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.19)
𝑘
𝜈=0
për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏].
Vërtetim.
Nga (3.2.18) rrjedh që 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 ∞ ≤ 𝐶 ,, për ndonjë konstante 𝐶 , > 0 dhe për çdo
𝑘 ∈ 𝑁.
Për 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏], fitojmë
𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞
𝑘
𝜈=0
≤𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑓 ∞ 𝑀𝑘 1;𝑥 ∞ + 𝑓 ∞
≤ 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝐶 𝐶′ + 1 . (3.2.20)
Ana e djathët e relacionit (6.2.20) është madhësi konstante, kështu që
𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘 𝑘
𝜈 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞
𝑘𝜈=0 është e kufizuar. Meqë nga (3.2.18) rrjedh
(3.2.15), sipas teoremës 3.2.2 ne fitojmë
𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.21)
që është rezultati i dëshiruar.
Në vazhdim po e japim përkufizimin e shkallës së konvergjencës 𝐴 −statistikore me
pesha sipas Norlund-Eulerit mandej japim edhe disa rezultate me vërtetim.
Përkufizim 3.2.5. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative dhe le të
jetë 𝑎𝑘 një varg pozitiv jorritës. Atëhere, vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) konvergjon
67
𝐴 −statistikisht me pesha sipas Norlund-Eulerit te numri 𝐿 me shkallë 𝑜(𝑎𝑘) nëse për
çdo 휀 > 0
lim𝑛→∞
1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)
= 0
ku
𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 ≥ 휀
𝑘
𝜈=0
Simbolikishtë ne e shënojmë
𝑥𝑘 − 𝐿 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 𝑘𝑢𝑟 𝑘 → ∞
Ne do të tregojmë rezultatin ndihmës vijues duke shfrytëzuar përkufizimin e
mësipërm.
Lemma 3.2.6. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) matrica regulare jonegative. Supozojmë se
𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitive jorritës. Le të jetë 𝑥 = 𝑥𝑘 dhe 𝑦 = 𝑦𝑘 dy
vargje të tillë që 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 dhe 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴
𝑁𝐸 − 𝑜 𝑏𝑘 . Atëhere,
(iv) 𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘 ,
(v) 𝑥𝑘 − 𝐿1 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘𝑏𝑘 ,
(vi) 𝛼 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 , për ndonjë skalar 𝛼,
ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 ,
Vërtetim.
Supozojmë se
𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 , 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴
𝑁𝐸 − 𝑜 𝑏𝑘 (3.2.22)
Për 휀 > 0, përcaktojm
𝐸′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 ≥ 휀
𝐸′′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑥𝑘 − 𝐿1 ≥휀
2 (3.2.23)
𝐸′′′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑦𝑘 − 𝐿2 ≥휀
2
Lehtë shihet se
68
𝐸′ ⊂ 𝐸′′ ∪ 𝐸′′′ (3.2.24)
Nga kjo rrjedhë se për çdo 𝑛 ∈ 𝑁
1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′
≤1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′′
+1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′′′
(3.2.25)
Me që 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 , nga (3.2.25) rrjedh
1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′
≤1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′′
+1
𝑏𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′′′
(3.2.26)
Duke kaluar në limit kur 𝑛 → ∞ nga (3.2.26) dhe (3.2.22), fitojmë
lim𝑛→∞
1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸′
= 0 (3.2.27)
kështu që,
𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘 (3.2.28)
Ngjashëm, vërtetohen (ii) dhe (iii).
Duke pasur parasysh që 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformishtë i vazhdueshëm (sipas modulit)
pra
𝜔 𝑓, 𝛿 = 𝑠𝑢𝑝 |𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 |:𝑥,𝑦 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑥 − 𝑦 < 𝛿
dhe
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦
𝛿+ 1
atëhere ne kemi rezultatet vijuese
Theorem 6.2.7. [61] Le të jetë 𝐴 = 𝑎𝑛 ,𝑘 matricë regulare jonegative. Nëse vargu i
operatorëve linear 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] plotëson kushtet
(iii) 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 ,
(iv) 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑏𝑘 , 𝑤𝑖𝑡 𝜆𝑘 = 𝑀𝑘(𝜑𝑥 ;𝑥) 𝑎𝑛𝑑 𝜑𝑥 𝑦 =
𝑦 − 𝑥 2, (v) ku 𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitive jorritëse, atëhere për çdo
𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏],
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘
ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 .
Vërtetim. Ekuacioni (3.2.10) jepet në formën vijuese:
69
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀𝑘 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 ;𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1
≤ 𝑀𝑘 1 + 𝑦 − 𝑥
𝛿; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1
≤ 𝑀𝑘 1 + 𝑦 − 𝑥 2
𝛿2; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1
≤ 𝑀𝑘 1;𝑥 +1
𝛿2𝑀𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1
≤ 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 + 𝜔 𝑓, 𝛿 +1
𝛿2𝑀𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿
Zgjedhim 𝛿 = 𝜆𝑘 = 𝑀𝑘(𝜑𝑥 ; 𝑥) , dhe fitojmë
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞≤ 𝑇 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ + 2𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 + 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 (3.2.29)
ku 𝑇 = 𝑓 ∞ .
Për 휀 > 0, përkufizojmë bashkësitë vijuese:
𝐸1′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ ≥ 휀
𝐸2′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝑀𝑘 1, 𝑥 − 1 ∞ ≥휀
3𝑇
𝐸3′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 ≥휀
6
𝐸4′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘
1
2𝑘
𝑘
𝜈
𝑘
𝜈=0
𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 ∞ ≥휀
3
Nga (6.2.24) kemi që për 𝑛 ∈ 𝑁 plotësohet mosbarazimi
1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸1′
≤1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸2′
+1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸3′
+1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸4′
(3.2.30)
Meqë 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 , ne fitojmë nga (3.2.30) që
1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸1′
≤1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸2′
+1
𝑏𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸3′
+1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸4′
(3.2.31)
70
Duke kaluar në limit kur 𝑛 → ∞ në (3.2.31) me Lemën 3.2.6 dhe me hipotezat (i) dhe
(ii), fitojmë
lim𝑛→∞
1
𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘
𝑘∈𝐸1′
= 0
Nga kjo rrjedhë
𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘
Gjë që duhej të vërtetohej.
71
4. KONKLUZIONE DHE PROJEKTE PЁR TЁ ARDHMËN
Konvergjenca statistikore me pesha është studiuar për metodën e Norlundit. Duke u
bazuar në këtë ide ne kemi dhënë përkufizimin e konvergjencës statistikore me pesha
sipas Norlund-Cesaros e cila fitohet si produkt i metodës së Norlundit dhe Cesaros.
Konvergjenca statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit është zgjerim i
konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Cesaros dhe rezultatet e fituara te
metoda Norlund-Euler pa vështirësi mund të provohen edhe për Norlund-Cesaro. Ne
këtu jemi munduar që të vërtetojmë disa veti për këtë metodë dhe gjithashtu kemi bërë
një përafrim përmes tepremës së Korovkinit për funksionet eksponenciale 1, 𝑒−𝑥 , 𝑒−2𝑥
dhe ato periodike 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑠𝑖𝑛𝑥. Gjithashtu kemi dhënë kuptimin e konvergjencës A-
statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit. Dhe rezultatet qe vlejnë për
konvergjencën e lartpërmendur jemi munduar ti formulojmë dhe vërtetojmë edhe për
këtë lloj të konvergjencës. Gjithashtu për këtë lloj të konvergjencës kemi gjetur edhe
rezultate të reja që nuk janë trajtuar te konvergjenca statistikore me pesha sipas
Norlund-Eulerit.Kështu mendoj se në këtë punim doktorature kemi dhënë një
kontribut modest në studimin e mëtejshëm të tyre.
Në të ardhmen një rëndësi të veçantë do ti kushtoj studimit të metodave të reja që
mund të fitohen si produkt i tri apo më tepër metodave të shumueshmërisë dhe
aplikimin e këtyre metodave në teoremat e Tauberian-it. Gjithashtu mendoj se ende ka
vend për përgjithësimin e këtyre rezultateve edhe për këto metoda.
72
REFERENCAT:
[1] Svetozar Kurepa (1981)-Funkcionalna Analiza (Elementi Teorije Operatora)-
Zagreb, Skolska Knjiga.
[2] S. Gjinushi. Analiza funksionale I,II. Tiranë 1984.
[3] R. Zejnullahu. Analiza funksionale. Shtëpia botuese Libri Shkollor. Prishtinë
1988.
[4] H. Steinhaus, Sur la convergence ordinaire et la convergence asymptotique,
Colloq.Math. 2 (1951) 73-74.
[5] H. Fast, Sur la convergence statistique, Colloq. Math. 2 (1951) 241-244
[6] I.J. Schoenberg, The integrability of certain functions and related summability
methods, Amer. Math. Monthly 66 (1959) 361-375.
[7] H.I. Miller, A measure theoretical subsequence characterization of statistical
convergence, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995) 1811-1819.
[8] A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979.
[9] O. Duman, M K. Khan, and C. Orhan, A-Statistical convergence of approximating
operators, Math. Inequal. Appl. 6 (2003) 689-699.
[10] I.J. Maddox, Statistical convergence in a locally convex space, Math.
Proc.Cambridge Phil. Soc. 104 (1988) 141-145.
[11] J. Connor, M. Ganichev and V. Kadets, A characterization of Banach spaces with
separable duals via weak statistical convergence, J. Math. Anal. Appl. 244 (2000)
251-261.
[12] I. Niven, H.S. Zuckerman, An Introduction to the Theorem of Numbers, fourth
ed.,Wiley, New York, 1980.
[13] J.A. Fridy, On statistical convergence, Analysis 5 (1985) 301–313.
[14] G. H. HARDY (1949)-DIVERGENT SERIES-Oxford at the Clarendon Press
[15] JOHANN BOOS (2000) , Classical and Modern Methodes in Summability,
Oxford University Press. New York.
[16] V. Karakaya, T.A. Chishti, Weighted statistical convergence, Iran. J. Sci.
Technol. Trans. A Sci. 33 (2009) 219–223.
[17] Mursaleen, Mohammad; Karakaya, Vatan; Ertürk, Müzeyyen; Gürsoy, Faik.
Weighted statistical convergence and its application to Korovkin type approximation
theorem. Appl. Math. Comput. 218 (2012), no. 18, 9132--9137.
[18] Fridy, J. A. (1985). On statistical convergence. Analysis, 5, 301-313.
[19] Freedman, A. R. & Sember, I. J. (1981). Densities and summability. Pacific J.
Math. 95, 293-305.
[20] Kolk, K. (1991). The statistical convergence in Banach spaces. Acta et
Comment. Univ. Tartu.928, 41-52.
[21] Kolk, K. (1993). Matrix summability of statistically convergent sequences.
Analysis,vol.13 no. 1-2. Pp. 77-83. 1993.
[22] Fridy, J. A. & Miller, H. I. (1991). A matrix characterization of statistical
convergence. Analysis,11, 59-66.
[23] Fridy, J. A. & Orhan, C. (1993). Lacunary statistical convergence. Pacific J.
Math., 160, 43-51.
[24] Fridy, J. A. & Orhan, C. (1993). Lacunary statistical summability. J. Math.
Analysis Appl.,173(2), 497-504.
[25] Savaş, E. (1992). On strong almost A-summability with respect to a modulus and
statistical convergence. Indian J. Pure and Appl. Math. 23(3), 217-222
[26] N.L. Braha A new class of sequences related to the $l\sb p$ spaces defined by
sequences of Orlicz functions. J. Inequal. Appl. 2011, Art. ID 539745, 10 pp.
73
[27] Braha, N. L. On asymptotically $\Delta\sp m$ lacunary statistical equivalent
sequences. Appl. Math. Comput. 219 (2012), no. 1, 280—288
[28] Braha, Naim L.; Et, Mikâil. The sequence space $E\sb n\sp q(M,p,s)$ and $N\sb k$-lacunary statistical convergence. Banach J. Math. Anal. 7 (2013), no. 1, 88--96.
[29] Salat, T. (1980). On statistically convergent sequence of real numbers. Math.
Slovaca,30 ,139-150.
[30] Connor, J. S. (1988). The statistical and strong p-Cesaro convergence of
sequence. Analysis, 8, 47-63.
[31] Connor, J. S. (1989). On strong matrix summability with respect to a modulus
and statistical convergence. Canad. Math. Bull., 32, 194-198.
[32] P.P. Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan
Publishing Corporation, Delhi, 1960.
[33] A.D. Gadjiev, C. Orhan, Some approximation theorems via statistical
convergence, Rocky Mountain J. Math. 32 (2002) 129–138.
[34] G.A. Anastassiou, M. Mursaleen, S.A. Mohiuddine, Some approximation
theorems for functions of two variables through almost convergence of double
sequences, J. Comput. Anal. Appl. 13 (1) (2011) 37–40.
[35] M. Becker, Global approximation theorems for Szasz–Mirakjan and Baskakov
operators in polynomial weight spaces, Indiana Univ. Math. J. 27 (1) (1978) 127–142.
[36] B.D. Boyanov, V.M. Veselinov, A note on the approximation of functions in an
infinite interval by linear positive operators, Bull. Math. Soc. Sci. Math.Roumanie
(N.S.) 14 (62) (1970) 9–13.
[37] O. Duman, K. Demirci, S. Karakus_, Statistical approximation for infinite
intervals (preprint).
[38] S.A. Mohiuddine, An application of almost convergence in approximation
theorems, Appl. Math. Lett. 24 (2011) 1856–1860.
[39] M. Mursaleen, A. Alotaibi, Statistical summability and approximation by de la
Vallee-Poussin mean, Appl. Math. Lett. 24 (2011) 320–324.
[40] M. Mursaleen, A. Alotaibi, Statistical lacunary summability and a Korovkin type
approximation theorem, Ann. Univ. Ferrara 57 (2) (2011) 373–381.
[41] H.M. Srivastava, M. Mursaleen, Asif Khan, Generalized equi-statistical
convergence of positive linear operators and associated approximation theorems,
Math. Comput. Mod. (2011), doi:10.1016/j.mcm.2011.12.011.
[42] E. Erkus_-Duman, O. Duman, Statistical approximation properties of high order
operators constructed with the Chan–Chyan–Srivastava polynomials,Appl. Math.
Comput. 218 (5) (2011) 927–1933.
[43] M. Orkcu, O. Dog˘ru, Weighted statistical approximation by kantorovich type q-
Szasz–Mirakjan operators, Appl. Math. Comput. 217 (20) (2011) 7913–7919.
[44] C. Radu, On statistical approximation of a general class of positive linear
operators extended in q-calculus, Appl. Math. Comput. 215 (6) (2009) 2317–2325.
[45] E. Aljimi, E. Hoxha and V.Loku. Some Results of Weighted Norlund-Euler
Statistical Convergence, International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, no. 37,
1797–1812. [46] Ekrem A. Aljimi and Valdete Loku ,Generalized Weighted Norlund-Euler
Statistical Convergence. Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 8, 2014, no. 7, 345-354
[47] Syed Abdul Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and Mohammad Mursaleen.
Statistical summability (C,1) and a Korovkin type approximation theorem. Journal of
inequalities and Applications. 2012:172. (doi:10.1186/1029-242x-2012-172).
[48] Ekrem A. Aljimi, The rate of weighted Norlund–Euler statistical
convergence.Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 8, 2014, no. 26, 1297-1304.
74
[49] Ekrem A. Aljimi, Approximation for periodic functions via generalized weighted
Norlund–Euler statistical convergence. International Conference.13th Serbian
Mathematical Congress. Book of Abstracts. page 40. Vrnjacka Banja, Serbia. May
22-25, 2014. http://tesla.pmf.ni.ac.rs/people/smak/book_of_abstracts.pdf
[50] R.G.Cooke, Infinite matrices and sequence spaces, Macmillan, London, UK,
1950.
[51] S.A. Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and Bipan Hazarika, weighted A-statistical
convergence for sequences of positive linear operators. Hindawi Publishing
Corporation. The scientific world journal. Volume 2014, Article ID 437863, 8 pages.
http://dx.doi.org/10.1155/2014/437863.
[52] T. Acar and F. Dirik, ―Korovkin-type theorems in weighted 𝐿𝑝 -spaces via
summation process,‖TheScientificWorld Journal, vol.2013, Article ID 534054, 6
pages, 2013.
[53] N. L. Braha, H. M. Srivastava, and S. A. Mohiuddine, ―A Korovkin‘s type
approximation theorem for periodic functions via the statistical summability of the
generalized de la Vall´ee
Poussinmean,‖AppliedMathematics and Computation, vol. 228,pp. 162–169, 2014.
[54] O. Duman and C. Orhan, ―Statistical approximation by positivelinear operators,‖
Studia Mathematica, vol. 161, no. 2, pp. 187–197, 2004.
[55] M. Mursaleen and A. Kilic¸man, ―Korovkin second theorem via B-statistical A-
summability,‖ Abstract and Applied Analysis, vol.2013, Article ID 598963, 6 pages,
2013.
[56] S. A. Mohiuddine and A. Alotaibi, ―Statistical convergence and approximation
theorems for functions of two variables,‖ Journal of Computational Analysis and
Applications, vol. 15, no. 2, pp.218–223, 2013.
[57] S. A. Mohiuddine and A. Alotaibi, ―Korovkin second theoremvia statistical
summability (𝐶, 1),‖ Journal of Inequalities and Applications, vol. 2013, article 149, 9
pages, 2013.
[58] O. H. H. Edely, M. Mursaleen, and A. Khan, ―Approximation for periodic
functions via weighted statistical convergence,‖ AppliedMathematics and
Computation, vol. 219, no. 15, pp. 8231–8236, 2013.
[59] V. N. Mishra, K. Khatri, and L. N. Mishra, ―Statistical approximation by
Kantorovich-type discrete q-Beta operators,‖ Advances in Difference Equations, vol.
2013, article 345, 2013.
[60] N.Braha and E.Aljimi Weighted Norlund-Cesaro Statistical Converegnce.
Conference proceedings 1st western Balcan Conference of Mathematical sciences
Elbasan 30 may-1 june 2013. http://www.iwbcms.org/docs/abstracts.pdf.
[61] E. Hoxha, E. Aljimi and V.Loku. Weighted Norlund-Euler A-Statistical
Convergence for Sequences of Positive Linear Operators. V CONGRESS OF THE
MATHEMATICIANS OF MACEDONIA,September 24-27, 2014. Ohrid, Republic
of Macedonia. http://www.cmm2014.ukim.edu.mk/short_communications.