PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA DAN PRINSIP DASAR MEMBILANG

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKAMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif.Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(1) benar, dan 2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar, untuk setiap n 1,

*

Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.*

Contoh :Tunjukkan bahwa untuk n 1, 1+2+3++n = n(n+1)/2melalui induksi matematikaBasis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 kita peroleh1 = 1(1+1)/2 = 1(2)/21 = 1(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,

1+2+3++n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2

1+2+3++n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /21+2+3++n+(n+1) = (1+2+3++n) + (n+1) = [n(n+1)/2] + (n+1) = [(n2 +n)/2] + (n+1) [(n2 +n)/2] + [(2n+2)/2] (n2 + 3n + 2)/2 (n+1)(n+2)/2 (n+1) [(n+1)+1] /2Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n 1, 1+2+3++n = n(n+1)/2sama

Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1.

n! = n.(n-1)(n-2)... 3.2.10! = 1. FAKTORIAL

PERMUTASI Permutasiadalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.Urutan diperhatikanPerulangan tidak diperbolehkan

PERMUTASI Definisi Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).

Teorema Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut :

Jika r = n, maka persamaan menjadi

Penyelesaian:a).Cara 1: dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 120 buahCara 2: dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 120 buahb).Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53 =125 buah Tidak dapat diselesaiakan dengan rumus permutasiContoh :Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4, 5, jika:Tidak boleh ada pengulangan angka;Boleh ada pengulangan angka

KOMBINASIBentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C (n, r ), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.Definisi