Dispensa di matematica - ISTITUTO MICHELANGELOistitutomichelangelo.altervista.org/CAT/Matematica.pdf · 1.1 L’oggetto del calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio studia i modi

Dispensa di matematica

Costruzioni, Ambiente e Territorio Prof. Musco Emanuele i

Dispensa di

matematica

Classe V

Costruzioni, Ambiente e Territorio

Prof. Musco Emanuele


Costruzioni, Ambiente e Territorio Prof. Musco Emanuele i

Indice 1. Calcolo combinatorio......................................................................................................................... 1

1.1. L’oggetto del calcolo combinatorio ................................................................................................... 1

1.2. Permutazioni semplici ....................................................................................................................... 2

1.3. Permutazioni con ripetizioni ............................................................................................................. 2

1.4. Disposizioni semplici ......................................................................................................................... 3

1.5. Disposizioni con ripetizione............................................................................................................... 4

1.6. Combinazioni .................................................................................................................................... 5

Esercizi sul calcolo combinatorio ...................................................................................................... 7

2. La statistica ..................................................................................................................................... 10

2.1. I dati statistici .................................................................................................................................. 10

2.2. Gli indici di posizione centrale ......................................................................................................... 14

2.3. Gli indici di variabilità ...................................................................................................................... 17

2.4. I rapporti statistici ........................................................................................................................... 19

ESPLORAZIONE: Statistica e mercato del lavoro ............................................................................. 21

Esercizi sulla statistica ..................................................................................................................... 22


Costruzioni, Ambiente e Territorio Prof. Musco Emanuele 1

1. Calcolo combinatorio

1.1 L’oggetto del calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio studia i modi di combinare, secondo certi criteri, gli elementi di un dato insieme.

Consideriamo immediatamente un esempio. Supponiamo di voler ricavare tutti gli anagrammi della parola

ROMA1. Il problema può essere riformulato in questo modo: si devono riempire, con gli elementi

dell’insieme di lettere dato da {𝑅; 𝑂;𝑀; 𝐴}, le seguenti quattro caselle:

1°

lettera

2°

lettera

3°

lettera

4°

lettera

Nella prima casella si può sistemare una qualsiasi delle quattro lettere a disposizione; abbiamo quindi quattro

modi diversi di riempire la casella: possiamo sistemare la R oppure la O oppure la M oppure la A. Una volta

riempita la casella con una di queste lettere rimangono tre possibilità per riempire la seconda casella, avendo

già impiegato una lettera per riempire la prima casella. Sistemata la seconda casella rimangono due lettere a

disposizione. La terza casella si può perciò riempire in due modi diversi perché due sono rimaste le lettere a

disposizione. La scelta della lettera da inserire nell’ultima casella è obbligata: si può inserire solo l’ultima

lettera rimasta.

I modi di riempire le 4 caselle sono perciò 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24;

1°

lettera

2°

lettera

3°

lettera

4°

Lettera

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

↑ ↑ ↑ ↑

4 scelte

possibili

3 scelte

possibili

2 scelte

possibili

1 scelta

possibile

1 Nel calcolo combinatorio per “anagramma” di una parola si intendono tutte le parole formate con tutte e sole le lettere della parola data, anche se prive di significato



1.2 Permutazioni semplici

Quando si ha un insieme finito, i cui elementi sono tutti distinti tra loro, ogni ordinamento di tale insieei si

chiama permutazione semplice.

► Dati 𝑛 elementi distinti, si dicono permutazioni semplici di tali elementi tutti i possibili

raggruppamenti formati in modo che ognuno contenga tutti gli 𝑛 elementi e differisca dagli

altri per l’ordine secondo il quale gli 𝑛 elementi si susseguono.

Nell’esempio introduttivo analizzato nel paragrafo 1.1 abbiamo ricercato tutte le permutazioni degli elementi

dell’insieme {𝑅;𝑂;𝑀;𝐴} . Il numero delle permutazioni semplici di 𝑛 elementi dipende solo da 𝑛 e lo

indicheremo con 𝑃𝑛 (si legge Pi con enne).

Nel paragrafo precedente abbiamo visto che il numero di permutazioni di un insieme con 4 elementi è 24

ovvero 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. Questa regola vale in generale per un insieme con 𝑛 elementi.

1°

elemento

2°

elemento

3°

elemento

𝑛-esimo

elemento

𝑃𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ 1

↑ ↑ ↑ ↑

𝑛 scelte

possibili

(𝑛 − 1) scelte

possibili

(𝑛 − 2) scelte

possibili

1

scelta

possibile

Pertanto il numero di possibili scelte per riempire le 𝑛 caselle, ossia il numero 𝑃𝑛 delle permutazione degli 𝑛

elementi dell’insieme dato, è uguale al prodotto dei primi 𝑛 numeri interi:

𝑃𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ 1

Tale prodotto si indica con il simbolo 𝑛!, che si legge fattoriale di n oppure n fattoriale. Si ha quindi

𝑃𝑛 = 𝑛!

Ossia il numero delle permutazioni di n elementi è uguale al fattoriale di n.

Nel caso 𝑛 = 0 si pone, per convenzione,

0! = 1.

Facciamo immediatamente un esempio:

☺ Un cartolaio ha nel suo negozio tre cassetti liberi; vuole sistemare in tali cassetti le penne

biro nere, blu e rosse, suddivise secondo i colori. In quanti modi diversi può disporre le

penne nei cassetti?

Indichiamo con 𝑁 l’insieme delle biro nere, con 𝐵 quello delle biro blu e con 𝑅 l’insieme

delle biro rosse, il problema proposto si riduce al calcolo del numero delle permutazioni degli

elementi dell’insieme {𝑁, 𝐵, 𝑅}. Tale numero è

𝑃3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Vale la seguente importante formula

𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!

1.3 Permutazioni con ripetizione

Spesso si ha a che fare con insiemi i cui elementi non sono tutti diversi tra loro. Supponiamo di voler

calcolare quanti sono gli anagrammi della parola TETTO. Poiché ci sono tre lettere uguali quando

permutiamo due T tra loro otteniamo esattamente due parole identiche. È necessario quindi modificare



leggermente la formula vista nel precedente paragrafo e riadattarla al caso in cui gli 𝑛 oggetti non siano tutti

distinti.

► Dati 𝑛 elementi, di cui ℎ, 𝑘, … sono ripetuti, si dicono permutazioni con ripetizione di tali

elementi tutti i possibili raggruppamenti formati in modo che ognuno contenga tutti gli 𝑛

elementi e differisca dagli altri per l’ordine secondo il quale gli 𝑛 elementi si susseguono.

𝑃𝑛(ℎ,𝑘,… )

=𝑛!

ℎ! ∙ 𝑘! ∙ …

Facciamo immediatamente un esempio

☺ Calcolare il numero di anagrammi della parola MATEMATICA.

La parola MATEMATICA è formata da 10 lettere di cui la M si ripete due volte, la A tre

volte e la T due volte. Il numero di anagrammi è perciò dato dalle permutazioni ripetizione di

10 elementi, di cui tre si ripetono rispettivamente 2, 3 e 2 volte.

Tale numero è

𝑃10(2,3,2)

=10!

2! ∙ 3! ∙ 2!=3.628.800

2 ∙ 6 ∙ 2=3.628.800

24= 151.200.

1.4 Disposizioni semplici

Quanti numeri di due cifre si possono formare, con la condizione che le cifre siano diverse tra loro ed

entrambe dispari? (per esempio 13, 35, ecc.).

Per risolvere questo problema costruiamo un diagramma simile a quello visto nel paragrafo 1.1 circa tutti gli

anagrammi della parola ROMA.

La prima cifra del numero da formare può essere scelta in 5 modi diversi e, in corrispondenza di ciascuna di

tali 5 scelte, vi sono 4 possibilità di scegliere la seconda cifra. In tutto vi sono perciò 5 ∙ 4 = 20 numeri

diversi.

Ma qual è la differenza rispetto alle permutazioni viste nei paragrafi precedenti?

Nel caso delle permutazioni si devono mettere in ordine tutti gli elementi di un insieme dato, mentre in

questo caso delle 5 cifre dispari ne potevamo usare solo 2. Si richiedeva, cioè, di determinare quelle che

vengono chiamate disposizioni di 5 elementi a 2 a 2.

► In generale, dati 𝑛 elementi distinti e un numero naturale 𝑘 ≤ 𝑛 , si dicono disposizioni

semplici di classe k tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli 𝑛 elementi dati, in

modo che ogni raggruppamento ne contenga 𝑘 tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti

differiscano tra loro o per qualche elemento oppure per l’ordine secondo il quale gli elementi

si susseguono.

Le disposizioni di classe 𝑘 si dicono anche disposizioni a 𝑘 a 𝑘.



Indicheremo le disposizioni di 𝑛 elementi di classe 𝑘 con il simbolo 𝐷𝑛,𝑘 ed è possibile dimostrare che vale

la seguente formula:

𝐷𝑛,𝑘 =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Vediamo qualche esempio

☺ Nell’ippica è denominata “corsa tris” una corsa in cui gli scommettitori devono indovinare i

cavalli che arriveranno al primo, al secondo e terzo posto. Supponendo che partano 10

cavalli, quanti sono i possibili ordini d’arrivo nelle prime tre posizioni?

Il problema proposto si riduce al calcolo del numero di modi diversi in cui si possono disporre

in ordine 3 cavalli scelti in un insieme di 10. Tale numero è perciò

𝐷10,3 =10!

(10 − 3)!=10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7!

7!= 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720.

☺ Ogni incontro di calcio viene indicato mediante i nomi, posti in un certo ordine, delle due

squadre che vi partecipano. Perciò ogni incontro del campionato di calcio corrisponde ad

una disposizione, di classe 2, di elementi dell’insieme delle squadre che partecipano al

campionato, se il campionato si svolge con il “girone all’italiana”, ogni squadra deve

incontrare due volte, una sul proprio campo e una in trasferta, ciascuna delle avversarie e si

svolgono così tutti gli incontri possibili. Qual è il numero di partite da giocare in un

campionato a 18 squadre?

Esso è ovviamente

𝐷18,2 =18!

(18 − 2)!=18 ∙ 17 ∙ 16!

16!= 18 ∙ 17 = 306.

1.5 Disposizioni con ripetizione

Dalla definizione di disposizioni semplici data nel paragrafo precedente si evince che ogni elemento è

contenuto in ciascun raggruppamento una sola volta. Supponiamo adesso che ogni elemento possa ripetersi

più volte nello stesso gruppo. Per meglio capire facciamo un esempio.

Supponiamo di voler formare tutti i possibili numeri di due cifre utilizzando le cifre 1, 2 e 3. Essi sono:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Nella prima riga vi sono i numeri in cui 1 è seguito da 1, da 2 e da 3, nella seconda la cifra 2 è seguita da 1,

poi da 2 e infine da 3, e nell’ultima riga il 3 è seguito da 1, da 2 e infine da 3. È evidente che in questo caso

sono ammessi gruppi con elementi che si ripetono (11, 22 e 33). Questi raggruppamenti si dicono

disposizioni con ripetizione.

► Dati 𝑛 elementi distinti e un numero naturale 𝑘 qualsiasi, si dicono disposizioni con ripetizioni

di classe k tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli 𝑛 elementi dati, in modo che

ogni raggruppamento ne contenga 𝑘, ma ogni elemento possa trovarsi contenuto 1, 2, 3,…, k

volte e in modo che due raggruppamenti differiscano tra loro o per qualche elemento oppure

per l’ordine secondo il quale gli elementi si susseguono.

Indicheremo con 𝐷𝑛,𝑘𝑟 tali disposizioni. È possibile far vedere che

𝐷𝑛,𝑘𝑟 = 𝑛𝑘



Infatti utilizzando la tabella che già conosciamo si ha

1°

elemento

2°

elemento

3°

elemento

𝑘-esimo

elemento

𝐷𝑛,𝑘

𝑟 = 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ … ∙ 𝑛⏟ 𝑘 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒

= 𝑛𝑘

↑ ↑ ↑ ↑

𝑛 scelte

possibili

𝑛 scelte

possibili

𝑛 scelte

possibili

𝑛 scelte

possibili

Facciamo degli esempi

☺ Quanti numeri diversi di 3 cifre si possono formare con le 9 cifre significative?

I numeri richiesti sono le disposizioni con ripetizione di 9 elementi di classe 3, ovvero

𝐷9,3𝑟 = 93 = 729.

☺ Quante colonne occorrerebbe giocare al totocalcio per essere certi di fare 13?

Per avere la certezza di fare 13 occorre giocare tutte le possibili colonne. Ogni colonna è un

insieme ordinato di 13 simboli, necessariamente ripetuti, scelti nell’insieme {1, 𝑋, 2}, ossia è

una disposizione con ripetizione di 3 elementi di classe 13. Tale numero è perciò

𝐷3,13𝑟 = 313 = 1.594.323.

1.6 Combinazioni

Nei problemi combinatori analizzati finora si è sempre tenuto conto anche dell’ordine in cui si presentavano

gli elementi di una dato insieme. Vi sono però situazioni in cui tale ordine non ha importanza. Per esempio,

nel gioco del Lotto, in cui si estraggono 5 numeri da un’urna che contiene tutti i numeri da 1 a 90. In tale

gioco importa sapere quali siano i 5 numeri estratti e non l’ordine con il quale essi si presentano. Estrarre

questi 5 numeri equivale a scegliere un sottoinsieme di 5 elementi dell’insieme {1; 2; 3; … ; 89; 90}: si parla,

in tal caso, di combinazioni dei 90 elementi presi a 5 a 5 (o di classe 5).

► Dati 𝑛 elementi distinti e un numero naturale 𝑘 ≤ 𝑛, si dicono combinazioni degli 𝒏 elementi

di classe k (o a 𝒌 a 𝒌) tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli 𝑛 elementi dati, in

modo che ogni raggruppamento ne contenga 𝑘 e che i diversi raggruppamenti differiscano tra

loro almeno per un elemento.

Il numero di combinazioni di classe 𝑘 di 𝑛 elementi dipende solo da 𝑘 e da 𝑛 e si indica con 𝐶𝑛,𝑘. È possibile

dimostrare che vale la seguente formula:

𝐶𝑛,𝑘 =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)! ∙ 𝑘!

Spesso indicheremo le combinazioni con il simbolo

(𝑛

𝑘)

Che si legge “n su k” e prende il nome di coefficiente binomiale:

(𝑛

𝑘) =

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)! ∙ 𝑘!

Esempi:

☺ In quanti modi diversi si possono estrarre i cinque numeri del Lotto?

Come s’è detto, ciascuna estrazione possibile corrisponde a una combinazione di classe 5

dell’insieme dei numeri da 1 a 90. Il numero di tali combinazioni è perciò



𝐶90,5 = (90

5) =

90!

(90 − 5)! 5!=90 ∙ 89 ∙ 88 ∙ 87 ∙ 86 ∙ 85!

85! 5!=90 ∙ 89 ∙ 88 ∙ 87 ∙ 86

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1= 43.949.268 .

☺ In una classe di 24 alunni si devono eleggere i 2 rappresentanti di classe. In quanti modi

diversi si può fare questa scelta?

Il numero delle scelte possibili è:

𝐶24,2 = (24

2) =

24!

(24 − 2)! 2!=24 ∙ 23 ∙ 22!

22! 2!=24 ∙ 23

2 ∙ 1= 276 .

☺ Nel gioco del Poker si distribuiscono, a ciascun giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32.

In quanti modi diversi si possono ricevere le carte?

Poiché l’ordine con cui si ricevono le carte non ha importanza, ogni “mano” corrisponde a

una combinazione, di classe 5, dell’insieme delle 32 carte del mazzo. Il numero di tali

combinazioni è

𝐶32,5 = (32

5) =

32!

(32 − 5)! 5!=32 ∙ 31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27!

27! 5!=32 ∙ 31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1= 201.376 .



Esercizi sul calcolo combinatorio

Permutazioni semplici

1) Scrivere tutti gli anagrammi della parola ORE.

2) Scrivere tutti gli anagrammi della parola ARTO.

3) Scrivere tutti gli anagrammi della parola NOVE.

4) Quanti sono gli anagrammi della parola RUOTA? [120]

5) Quanti sono gli anagrammi della parola BADILE?

[720]

6) In quanti modi diversi possono sedersi 6 persone nei 6

posti di uno scompartimento ferroviario? [720]

7) Quanti numeri di 9 cifre tutte diverse tra loro e diverse

da 0 si possono scrivere?

8) In quanti modi diversi possono disporsi 20 libri su uno

scaffale?

9) In quanti modi diversi 3 persone possono occupare 3

posti numerati?

10) In quanti modi diversi si possono disporre 5 persone

intorno a un tavolo? E se fossero 6? E 8?

11) In una famiglia ci sono, oltre ai genitori, 6 figli. Questi

ultimi cambiano posto a tavola a ogni pasto; quanto

tempo impiegheranno a esaurire tutte le possibili

posizioni?

[360 giorni, considerando 2 pasti al giorno]

12) Tra tutti i numeri di 9 cifre diverse tra loro e diverse

da 0, quanti sono quelli le cui prime due sono,

nell’ordine, 5 e 2?

[5040]

13) Quanti anagrammi si possono formare dalla parola

GIORNALE e quanti di essi incominciano con “NI”?

[40.320; 720]

14) Tre coppie di amici vanno a cenare in un ristorante.

Viene assegnato loro un tavolo rettangolare a 6 posti.

In quanti modi diversi si possono disporre se si vuole

che le 3 donne si siedano tutte sul lato del tavolo più

vicino al muro e gli uomini sul lato opposto?

[36]

15) Si devono disporre su uno scaffale 10 libri, dei quali 6

scritti in inglese e 4 in francese. In quanti modi si

possono disporre se si vuole che i libri in inglese siano

tutti a sinistra di quelli in francese?

[17.280]

Permutazioni con ripetizione

16) Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si

possono fare con le parole: MENTE, STESSA e

TRATTATIVA.

[60;120; 25.200]

17) Una moneta viene lanciata otto volte. In quanti modi

si può presentare una successione che contiene sei

teste e due croci? [28]

18) In uno spettacolo, sul palcoscenico si devono disporre

in fila sei ballerine e quattro ballerini. In quanti modi

si possono disporre gli artisti, dovendo solo

distinguere le posizioni di maschi e femmine? [210]

19) A una cordata partecipano otto alpinisti, di cui cinque

sono uomini e tre sono donne. In quanti modi si

possono disporre gli alpinisti, dovendo solo

distinguere le posizioni di maschi e femmine e

sapendo che il capo della cordata deve essere uomo?

[35]

20) Quanti anagrammi, anche senza significato, si possono

formare con le lettere della parola CARTELLA?

Quanti di essi iniziano e finiscono per A? quanti

iniziano per CE?

[10.080; 360; 180]

21) Quanti sono gli anagrammi della parola

CIOCCOLATA? Quanti finiscono per ATA? Quanti

iniziano per una consonante?

[151.200;420; 75.600]



Disposizioni semplici

22) Quanti sono i numeri di tre cifre, tutte dispari e

diverse tra loro.

[60]

23) Quante sono tutte le parole (anche prive di senso) che

si possono ottenere utilizzando tre lettere della parola

AROMA?

[60]

24) Determinare in quanti modi diversi possono essere

sistemati in un ripiano della libreria 7 libri scelti tra i

20 di cui si dispone. [390.700.800]

25) 15 squadre devono disputare tra loro tutte le possibili

partite. Quante partite si faranno se per ogni coppia di

squadre deve farsi una partita per ogni campo?

[210]

26) Si hanno 5 bandiere di colori diversi: quanti diversi

segnali si possono fare usando contemporaneamente 3

bandiere?

[60]

27) In una società vi sono 50 soci fra i quali devono essere

scelti un presidente, un vice presidente e un segretario.

In quanti modi diversi si può fare la scelta?

[117.600]

28) In un autobus vi sono 12 posti numerati. In quanti

modi diversi 5 persone possono occuparli?

[95.040]

29) Si devono riporre, ciascuno in un cassetto diverso, 4

oggetti distinti. Sapendo che vi sono 10 cassetti, in

quanti modi diversi si possono riporre gli oggetti?

[5.040]

30) Un commerciante di abbigliamento deve allestire una

vetrina in cui si trovano 7 manichini. Sui 3 manichini

a sinistra vuole mettere 3 cappotti diversi, scelti tra i

sei modelli di cui dispone; sui 4 manichini di destra

vuole mettere 4 giacche, scelte tra i 10 modelli di cui

dispone. In quanti modi si può allestire la vetrina,

tenendo conto anche dell’ordine di disposizione

d’abbigliamento?

(Si dispongano prima i cappotti; ciò si può fare in …

modi diversi. A ciascuna di tali disposizioni

corrispondono … modi di disporre le giacche. Quindi

…) [604.800]

31) Tra tutti i numeri di 6 cifre, tutte diverse tra loro,

quanti sono quelli le cui prime tre cifre sono dispari e

le restanti pari?. [3.600]

32) Tra tutti i numeri di 3 cifre, tutte dispari e diverse tra

loro, quanti sono i multipli di 5? [12]

33) Un libraio dispone di tre vetrinette per esporre le

novità: una riservata ai romanzi, una ai libri scientifici

e una ai libri di attualità; in ciascuna di esse si possono

esporre tre libri. Questo mese tra le novità vi sono 8

romanzi, 4 libri scientifici e 6 di attualità. In quanti

modi si possono allestire le vetrinette, tenendo conto

della disposizione dei libri?

[967.680]

34) Da un mazzo di 40 carte si estraggono le 10 carte di

fiori, le si mescolano e se ne scoprono 5. In quanti

modi diversi possono uscire le carte tenendo conto

anche dell’ordine?

[30.240]

Disposizioni con ripetizione

35) Quanti numeri di tre cifre, tutte dispari, si possono

scrivere?

[125]

36) Quanti sono i numeri di 5 cifre tutte dispari?

[3125]

37) Quanti sono i numeri di 7 cifre, contenenti solo cifre

pari escluso lo zero?

[16.384]

38) Quanti numeri di 3 cifre si possono scrivere?

(Attenzione che i numeri non possono cominciare per

zero!) [900]

39) Un’insegna, costituita da una parola di 6 lettere, deve

essere dipinta colorando ciascuna lettera con un colore

scelto tra rosso, verde, giallo e blu. In quanti modi ciò

si può fare?

[4.096]



40) Quanti sono i possibili numeri di 5 cifre?

[90.000]

41) Per aprire una cassaforte bisogna comporre una

“parola d’ordine” di 5 lettere (anche senza significato)

scelte fra le 21 dell’alfabeto. Quante diverse parole

d’ordine possono comporsi?

[4.084.101]

42) Quante parole, anche senza senso, di 4 lettere si

possono formare con le 26 lettere dell’alfabeto

anglosassone? [456.976]

43) Un etologo, per studiare una popolazione di aironi,

vuole contrassegnare ciascun individuo con 4 anelli

colorati attorno a una zampa. Vi sono a disposizione

anelli di 5 colori diversi; quanti aironi si possono

contrassegnare?

[625]

44) Quanti sono i numeri di 6 cifre di cui le prime 3

dispari e le restanti pari?

[15.625]

45) Quanti sono i numeri di 9 cifre di cui le prime due

dispari, la terza la quarta e la quinta pari e le restanti

qualsiasi?

[31.250.000]

46) Le targhe automobilistiche sono costituite da 2

lettere, seguite da 3 cifre, seguite a loro volta da 2

lettere. Sapendo che le lettere possono essere scelte tra

le 26 dell’alfabeto anglosassone, si calcoli quante

automobili si possono immatricolare in questo modo.

[456.976.000]

Combinazioni

47) Al lotto sono stati estratti i numeri 5; 87; 31; 12; 55.

Quanti sono tutti i possibili terni vincenti? [10]

48) Quanti sono gli ambi che si possono fare con i 5

numeri dell’esercizio precedente? E le quaterne? [10 𝑎𝑚𝑏𝑖, 5 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒]

49) Quanti ambi, terni, quaterne si possono fare con i 90

numeri del lotto?

[4.005; 117.480;2.555.190]

50) Dodici amici, dopo aver partecipato a una cena, si

salutano e ognuno stringe la mano a tutti gli altri.

Quante sono le strette di mano?

[66]

51) Un cartolaio vuole esporre in vetrina 5 calcolatrici

scientifiche scelte fra i 12 modelli che ha in negozio.

In quanti modi può effettuare la scelta? [792]

52) In una classe di 20 studenti si devono formare una

squadra di calcio e una di pallacanestro. In quanti

modi diversi si possono formare le due squadre, se

nessuno studente può appartenere ad entrambe?

[21.162.960]

53) Si mescolano 10 carte e se ne distribuiscono 5 al

giocatore A e 5 al giocatore B. In quanti modi diversi

può avvenire la distribuzione?

[252]


giocatore A e 3 al giocatore B. In quanti modi diversi

può avvenire la distribuzione?

[4.200]


giocatore A, 3 al giocatore B, 3 a C e 3 a D. In quanti

modi diversi può avvenire la distribuzione?

[396.600]



2. La statistica

2.1 I dati statistici

Le indagini statistiche vengono utilizzate per descrivere e comprendere fenomeni di varia natura: sociali,

economici, politici, di opinione. Più in generale, quindi, la statistica è una scienza che studia i fenomeni

collettivi. Esempi di fenomeni collettivi sono:

Il reddito delle famiglie italiane;

Il comportamento rispetto all’uso del casco durante la guida di moto;

La presenza di stranieri nelle strutture ricettive alberghiere in Italia.

Un fenomeno collettivo relativo ad una data popolazione si descrive rilevando alcune caratteristiche degli

elementi che la costituiscono. Ad esempio, si può descrivere il fenomeno della natalità in Italia registrando il

sesso e il peso dei nuovi nati italiani, il titolo di studio dei genitori, l’età della madre ecc.

Diamo la seguente definizione:

► Si chiama unità statistica ogni individuo o oggetto significativo rispetto all’indagine che si

vuole realizzare.

Si chiama popolazione statistica l’insieme di tutte le unità statistiche sottoposte a rilevazione

ai fini di una indagine.

Tutte le unità statistiche presentano delle caratteristiche

► Si chiama carattere statistico ogni caratteristica distintiva di ciascuna unità statistica. Il modo

in cui un carattere si manifesta si chiama modalità.

Esempi di carattere sono: peso di una persona, titolo di studio, numero di componenti di una famiglia.

► Un carattere si dice quantitativo se le modalità con cui si presenta sono espresse da numeri. In

particolare:

Continuo: se può assumere gli infiniti valori di un intervallo reale (per esempio il peso

di una persona);

Discreto: se può assumere sono un numero finito di valori o comunque una quantità

numerabile (per esempio il numero di componenti di una famiglia).

► Un carattere si dice qualitativo se le modalità con cui si presenta sono espresse con parole,

per esempio il carattere sesso ha due modalità: “maschio” e “femmina”.

Per studiare un fenomeno occorre in primo luogo individuare le caratteristiche che più interessano in

relazione agli obiettivi dell’indagine e, quindi, procedere a una loro rilevazione su tutta o su una parte della

popolazione. La scelta di effettuare un’indagine sull’intera popolazione oppure su un campione di essa

dipende dagli obiettivi che si vogliono raggiungere e, in funzione di questi, dal tempo a disposizione e dalle

risorse economiche disponibili per l’indagine.

Diamo alcune definizioni. Consideriamo 𝑛 dati:

► Si chiama frequenza assoluta, o peso, di una modalità il numero totale di volte che essa si

presenta nelle unità rilevate. Essa si indica con 𝑛𝑖.



► Si chiama frequenza relativa di una particolare modalità il rapporto tra la sua frequenza

assoluta e il numero totale delle unità rilevate. Essa si indica con 𝑓𝑖. Se moltiplicata per cento

è detta frequenza relativa percentuale (si indica con 𝑝𝑖).

𝑓𝑖 =𝑛𝑖𝑛

𝑝𝑖 = 100 ∙ 𝑓𝑖

Supponiamo che in una verifica di matematica una classe formata da 22 studenti ha registrato i seguenti voti:

2 studenti hanno preso “4”;




3 studenti hanno preso “8”.

Calcoliamo le frequenze relative e percentuali

Modalità

𝑥𝑖 Frequenza assoluta

𝑛𝑖

Frequenza relativa


Frequenza percentuale

𝑝𝑖 = 100 ∙ 𝑓𝑖

4 2 0,09 9%

5 4 0,18 18%

6 8 0,36 36%

7 5 0,23 23%

8 3 0,14 14%

Totale 𝑛 22 1 100%

► Si chiama frequenza cumulata la somma della frequenza assoluta corrispondente a una data

modalità con tutte le frequenze assolute precedenti (le modalità devono essere ordinare in

modo crescente). Si hanno frequenze cumulate assolute (𝑁𝑖), relative (𝐹𝑖) e percentuali (𝑃𝑖).

Completiamo la tabella precedente

Modalità

𝑥𝑖

Frequenza

assoluta

𝑛𝑖

Frequenza

relativa


Frequenza

percentuale

𝑝𝑖 = 100 ∙ 𝑓𝑖

Frequenza

cumulata

assoluta

𝑁𝑖

Frequenza

cumulata

relativa

𝐹𝑖

Frequenza

cumulata

percentuale

𝑃𝑖 4 2 0,09 9% 2 0,09 9% 5 4 0,18 18% 6 0,27 27% 6 8 0,36 36% 14 0,63 63% 7 5 0,23 23% 19 0,86 86% 8 3 0,14 14% 22 1 100%

Totale 𝑛 22 1 100%

Vediamo un esempio.

Si sono simulati 1000 lanci di un dado, ottenendo la seguente distribuzione:

Punteggio 1 2 3 4 5 6

Frequenza 157 172 171 168 178 154

Calcolare la frequenza assoluta, relativa, percentuale, cumulata e cumulata percentuale.

Punteggio xi 1 2 3 4 5 6

Frequenza assoluta ni 157 172 171 168 178 154

Frequenza relativa fi 0,157 0,172 0,171 0,168 0,178 0,154

Frequenza relativa percentuale pi (%) 15,7 17,2 17,1 16,8 17,8 15,4

Frequenza cumulata assoluta Ni 157 329 500 668 846 1000

Frequenza cumulata relativa Fi 0,157 0,329 0,500 0,668 0,846 1,00

Frequenza cumulata percentuale Pi (%) 15,7 32,9 50,0 66,8 84,6 100,0



Le serie e le seriazioni

I dati statistici possono essere rappresentati mediante tabelle.

► Una tabella che riporta nella prima colonna le modalità di un carattere qualitativo viene detta

serie statistica. Nella seconda colonna compare la frequenza o un altro valore numerico

associato (per esempio il prezzo di un bene). L’insieme delle modalità di un carattere

qualitativo, alle quali associamo le loro frequenze, definisce una mutabile statistica.

☺ Serie statistica

Elettrodomestici Frequenza

Apparecchi TV 7

Lavatrici 10

Forni a microonde 8

Aspirapolvere 15

totale 40

► Una tabella che riporta nella prima colonna le modalità di un carattere quantitativo viene

detta seriazione statistica. Nella seconda colonna compare la frequenza. L’insieme delle

modalità di un carattere quantitativo, alle quali associamo le loro frequenze, definisce una

variabile statistica.

☺ Seriazione statistica

Spesa

sostenuta

dai clienti

(euro)

Frequenza Frequenza

relativa

percentuale

Frequenza

cumulata

Frequenza

relativa

percentuale

cumulata

0-300 12 30% 12 30%

300-600 18 45% 30 75%

600-900 6 15% 36 90%

900-1200 4 10% 40 100%

totale 40 100%

La rappresentazione grafica dei dati

Ci sono diversi tipi di grafici per rappresentare i dati statistici e le loro frequenze. Ne rappresentiamo solo

alcuni per fare qualche esempio.

I diagrammi cartesiani sono di uso molto comune

e danno in modo immediato una visione globale

dell’andamento del fenomeno. Sono utilizzati

principalmente per caratteri con modalità di tipo

quantitativo. Sull’asse orizzontale si rappresentano

le modalità mentre su quello verticale le frequenze

assolute.

0

5

10

15

20

150 450 750 1050

numero clienti

spesa

Diagramma Cartesiano



Un istogramma è costituito da rettangoli che

hanno le basi proporzionali alle ampiezze delle

classi e le aree proporzionali alle frequenze.

Esso viene utilizzato al posto dei diagrammi

cartesiani quando le modalità del fenomeno sono

di tipo qualitativo o in generale di tipo discreto,

ovvero non continuo.

Un areogramma o diagramma a torta serve a

rappresentare i pesi delle modalità in percentuale. È

facile da costruire.

Poiché l’angolo al centro di una circonferenza è di

360° e si considera che a questo corrisponde il

100% di intensità di modalità, per ricavare gli angoli

corrispondenti a percentuali minori, si imposta la

seguente proporzione

𝛼°: 360° = 𝑥%:100% → 𝛼° =360° ∙ 𝑥%

100%

Le distribuzioni doppie di frequenze

Consideriamo la seguente tabella

Voto in

italiano

Voto in

matematica

6 7 8 9 Totale

6 4 3 0 0 7

7 1 1 1 0 3

8 1 0 1 1 3

Totale 6 4 2 1 13

Questa tabella permette di conoscere quanti alunni hanno un determinato voto in matematica o in italiano,

ma anche quanti alunni hanno un certo voto in matematica e un altro in italiano. Tale tabella si chiama

tabella a doppia entrata in quanto vengono analizzati contemporaneamente due modalità di uno stesso

carattere. Prende anche il nome di distribuzione doppia di frequenze o distribuzione congiunta.

Se le modalità sono entrambe quantitative si hanno tabelle di correlazione, se entrambe qualitative tabelle di

contingenza, se una modalità è qualitativa e l’altra quantitativa si chiamano tabelle miste.

Le frequenze assolute che si trovano nell’ultima colonna e nell’ultima riga, sotto l’indicazione “Totale”, si

chiamano frequenze marginali, mentre quelle interne si chiamano frequenze congiunte o interne.

Se consideriamo separatamente le modalità della prima colonna con i relativi totali esposti nell’ultima

colonna, o le modalità della prima riga con i relativi totali dell’ultima riga, otteniamo due distribuzioni

semplici che si chiamano distribuzioni marginali

0

5

10

15

20

150 450 750 1050

numero clienti

spesa

Istogramma

app. tv 17%

lavatrici 25%

forni 20%

aspirap. 38%

Areogramma



Voto in matematica Numero alunni

6 7

7 3

8 3

Totale 13

Voto in italiano Numero alunni

6 6

7 7

8 2

9 1

Totale 13

2.2 Gli indici di posizione centrale

Diamo la seguente definizione

► I valori che si usano in statistica per sintetizzare un fenomeno prendono il nome di valore

medio o medie.

Cerchiamo di analizzare i vari indici di posizione o medie attraverso degli esempi.

La media aritmetica, la mediana, la moda

► La media aritmetica 𝑀 di 𝑛 numeri 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 è la divisione fra la loro somma e il numero

𝑛:

𝑀 =𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛

𝑛.

Facciamo un esempio

☺ In tre test due amiche hanno ottenuto i seguenti punteggi

Chiara 5,4 7,8 6,3

Luisa 4,2 8,3 6,4

Calcolare le medie 𝑀𝐶 e 𝑀𝐿 dei punteggi.

𝑀𝐶 =5,4+7,8+6,3

3= 6,5; 𝑀𝐿 =

4,2+8,3+6,4

3= 6,3

Possiamo dire che, in media, Chiara ha ottenuto risultati migliori.

► Dati i numeri 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛, e associati ad essi i numeri 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, detti pesi, si dice media

aritmetica ponderata la divisione fra la somma del prodotto dei numeri per i loro pesi e la

somma dei pesi:

𝑃 =𝑥1𝑝1+𝑥2𝑝2+⋯+𝑥𝑛𝑝𝑛

𝑝1+𝑝2+⋯+𝑝𝑛.

Facciamo un esempio

☺ In un quadrimestre vengono svolte prove alle quali viene attribuita una diversa importanza

(compiti in classe, relazioni, interrogazioni, test). Per un certo studente i voti riportati e i pesi

da attribuire ai voti sono i seguenti

Voto 5 6 5 5 7 6

Peso 1 2,5 1 1 2,5 3

Calcolare la media ponderata.

𝑃 =5 ∙ 1 + 6 ∙ 2,5 + 5 ∙ 1 + 5 ∙ 1 + 7 ∙ 2,5 + 63

1 + 1,5 + 1 + 1 + 2,5 + 3≈ 5,95

Il valore ottenuto è maggiore di quello della media aritmetica semplice (circa 5,67), perché i



voti positivi sono stati ottenuti nelle prove alle quali è stata data maggiore importanza.

► Data la sequenza ordinata di 𝑛 numeri 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 la mediana è:

Il valore centrale, se 𝑛 è dispari;

La media aritmetica dei due valori centrali, se 𝑛 è pari.

Facciamo un esempio

☺ Supponiamo di avere le seguenti successioni di dati

21, 22, 26, 28, 35 In questo caso la mediana è 26

Se abbiamo

21, 22, 26⏟ 22+262 =24

, 28

In questo caso la mediana è:24.

► Dati i numeri 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 si chiama moda il valore a cui corrisponde la frequenza massima.

Facciamo un esempio

☺ Supponiamo di avere le seguenti successioni di dati

50, 100, 100, 100, 200, 300, 300 In questo caso la moda è 100, perché esso è il dato che più si ripete

La media geometrica

► La media geometrica 𝑮 di 𝑛 numeri 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, tutti positivi, è la radice 𝑛-esima (ennesima)

del prodotto degli 𝑛 numeri.

𝐺 = √𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛𝑛

La media geometrica trova impiego ogniqualvolta si considera il variare di un fenomeno nel tempo, come,

per esempio, il tasso di variazione dei prezzi, il tasso di crescita dei componenti di una popolazione (esseri

umani, insetti ecc.). Facciamo un esempio:

☺ Calcoliamo la media geometrica dell’andamento dei prezzi in euro di un prodotto, esposti

nella seguente tabella

Anno Prezzo

Rapporto

Rispetto all’anno

precedente

2005 5,8 -

2006 6,4 1,103

2007 6,6 1,031

2008 6,2 0,939

2009 6,8 1,097

𝐺 = √1,103 ∙ 1,031 ∙ 0,939 ∙ 1,0974 ≈ 1,040.



La media armonica

► La media armonica 𝑨 di 𝑛 numeri 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , tutti positivi, è il reciproco della media

aritmetica dei reciproci dei valori, ovvero

𝐴 =𝑛

1𝑥1+1𝑥2+⋯+

1𝑥𝑛

La media armonica è utilizzata per la determinazione di valori medi di dati che derivano dal reciproco di altri

dati. Facciamo un esempio:

☺ La seguente tabella mostra il prezzo in euro di un litro di benzina in quattro successivi

momenti

Tempo Prezzo

I 1,382

II 1,395

III 1,405

IV 1,442

Quanto è costata in media la benzina al litro?

La risposta è data dalla media armonica dei prezzi relativi a ciascun rifornimento

𝐴 =4

11,382

+1

1,395+

11,405

+1

1,442

= 1,406

La media quadratica

► La media armonica 𝑸 di 𝑛 numeri 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 è la radice quadrata della media aritmetica

dei quadrati dei numeri, ovvero

𝑄 = √𝑥12 + 𝑥2

2 +⋯+ 𝑥𝑛2

𝑛

La media quadratica è utilizzata per calcolare il valore medio di scostamenti da un livello prefissato. Gli

scostamenti possono essere positivi o negativi, ampi o ridotti, e la media quadratica risulta essere idonea per

questi valori in quanto supera il problema del segno e tiene conto solamente dell’ampiezza degli scostamenti.

☺ La seguente tabella riporta la variazione di temperatura in gradi Celsius relative ad alcuni

giorni della settimana rispetto alla temperatura media stagionale

Giorno Variazione Variazioni

al

quadrato

lunedi -2,5 6,25

martedi 1,5 2,25

mercoledi 0,8 0,64

giovedi -1,5 2,25

venerdi -2,4 5,76

Totale 17,15

La media quadratica risulta

𝑄 = √17,15 ≈ 1,85.



2.3 Gli indici di variabilità

Il campo di variazione, lo scarto semplice medio, la deviazione standard

La diversa dispersione dei dati rispetto al valore medio viene misurata attraverso degli indici, chiamati indici

di dispersione o di variabilità.

Data una distribuzione di valori 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛

► Il campo di variazione è la differenza tra il valore massimo e quello minimo.

► Lo scarto semplice medio 𝑺 è

𝑆 =|𝑥1−𝑀|+|𝑥2−𝑀|+⋯+|𝑥𝑛−𝑀|

𝑛.

► La deviazione standard 𝝈 (sigma) è

𝜎 = √(𝑥1−𝑀)2+(𝑥2−𝑀)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑀)2

𝑛.

Facciamo un esempio

☺ Consideriamo le seguenti serie di numeri di media 𝑀 = 7:

a. 2, 3, 4, 4, 8, 8, 9, 9, 9, 14;

b. 2, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 14.

Entrambe hanno lo stesso campo di variazione 12, ma differiscono per lo scarto medio e per

la deviazione standard.

𝑆𝑎 =5 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 7

10= 3;

𝑆𝑏 =5+ 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 7

10= 1,8;

𝜎𝑎 = √52 + 42 + 32 + 32 + 12 + 12 + 22 + 22 + 22 + 72

10= 3,49;

𝜎𝑏 = √52 + 12 + 12 + 12 + 12 + 0 + 0 + 12 + 12 + 72

10= 2,8.

Il calcolo della deviazione standard assume particolare importanza nelle distribuzioni gaussiane, poiché tale

indice è legato al modo con cui le frequenze si distribuiscono attorno al valore medio.

Per capire meglio cosa stiamo dicendo facciamo degli esempi.

Quando si hanno moltissimi dati può succedere che essi si distribuiscono attorno al loro valore mediocome

nei seguenti istogrammi



Se immaginiamo di appoggiare ai rettangoli una linea continua appare una curva che ha la forma di una

campana, come nei seguenti esempi

Queste curve prendono il nome di poligoni delle frequenze, e in questi casi in cui assumono la forma di

campana si dicono curve di Gauss.

► Si chiamano distribuzioni gaussiane (o normali) quelle distribuzioni il cui poligono delle

frequenze ha la forma della curva di Gauss.

Si può dimostrare che per una distribuzione gaussiana il 68,27% dei valori è compreso fra 𝑀 − 𝜎 e 𝑀 + 𝜎,il

95,45% fra 𝑀 − 2𝜎 e 𝑀 + 2𝜎 e infine il 99,74% fra 𝑀 − 3𝜎 e 𝑀 + 3𝜎

Avremo modo di rivedere quanto detto nei prossimi capitoli.



2.4 I rapporti statistici

I rapporti statistici sono i quozienti fra i valori di due dati statistici o di un dato statistico e di uno non

statistico. Esamineremo i seguenti rapporti statistici: rapporti di derivazione, rapporti di densità, rapporti di

composizione, rapporti di coesistenza, numeri indice.

Rapporti di derivazione

Servono per confrontare due dati statistici di cui il primo deriva dal secondo.

Sono i quozienti di natività e di mortalità definiti nel seguente modo

𝑸𝒖𝒐𝒛𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒊 𝒏𝒂𝒕𝒂𝒍𝒊𝒕à =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑛𝑎𝑡𝑖

𝑝𝑜𝑝𝑜𝑙𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒.

𝑸𝒖𝒐𝒛𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒊 𝒎𝒐𝒓𝒕𝒂𝒍𝒊𝒕à =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖

𝑝𝑜𝑝𝑜𝑙𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

Facciamo un esempio

☺ Dati rilevati in un comune

Anno Numero

nati

Numero

morti Popolazione

Quoziente

di natalità

(per 1000

abitanti)

Quoziente

di mortalità

(per 1000

abitanti)

2009 980 714 76414 12,82 9,34

2010 794 735 76735 10,35 9,58

2011 776 705 78018 9,95 9,04

2012 746 678 78158 9,54 8,67

2013 731 653 78707 9,29 8,30

Rapporti di densità

Sono i rapporti tra dati statistici e dati relativi al campo di riferimento.

Un rapporto di densità è, per esempio, il rapporto tra la popolazione e la superficie del territorio in cui abita.

Un altro esempio è il rapporto tra il fatturato di un’azienda (espresso in euro) e il numero di addetti.

Rapporti di composizione

Sono rapporti tra dati omogenei e servono per valutare l’importanza delle diverse modalità nella

composizione del valore complessivo del fenomeno. Spesso coincidono con le frequenze relative.

☺ Spesa per il tempo libero

Tipo di spettacolo Spesa Rapporto di composizione in %

Teatro e concerti 212118 11,6

cinema 303787 16,7

Intrattenimenti vari 914230 50,2

Manifestazioni sportive 390652 21,5

totale 1820787

11,6% ≈212118

18220787∙ 100, 16,7% =

303787

1820787∙ 100, …

Rapporti di coesistenza



Sono rapporti tra le frequenze di due fenomeni diversi riferite alle stesse unità statistiche e danno

un’indicazione dello squilibrio fra dati coesistenti in uno stesso luogo o in uno stesso periodo di tempo. Per

esempio, per confrontare i risultati di diverse scuole, si può considerare il rapporto fra il numero degli alunni

respinti e quello dei promossi.

Numeri indice

Sono il rapporto fra un dato statistico e il valore di un dato statistico preso come elemento di riferimento

(base), moltiplicato per 100.

Facciamo un esempio

☺ Fissiamo come base, nella seguente tabella, il 2004

Produzione di uva

Anno Produzione di uva

(tonnellate)

Numero indice

2004 32,2 100,00

2005 36,8 114,29

2006 29,4 91,30

2007 32,9 102,17

2008 32,3 100,31

2009 30,2 93,79

2010 35,8 111,18

Anno 2005 114,9 ≈36,8

32,2∙ 100, Anno 2006 91,30 ≈

29,4

32,2∙ 100, …

L’indice ci fa capire che nel 2005 la produzione di uva è aumentata rispetto al 2004, invece

nel 2006 è diminuita rispetto al 2004.



Statistica e mercato del lavoro

Per descrivere l’andamento della domanda e

dell’offerta di lavoro è utile conoscere il tasso di

occupazione, il tasso di disoccupazione e il tasso

di attività, calcolati di solito in riferimento

all’area geografica di provenienza e al sesso.

Queste informazioni possono servire, per

esempio, a orientare gli incentivi alle imprese o i

supporti ai giovani in cerca di lavoro.

Il termine ‹‹tasso›› indica che i rapporti sono

dati in percentuale (moltiplicati per 100). Il tasso

di disoccupazione si definisce con il rapporto tra

gli occupati e la popolazione in età lavorativa. Il

tasso di disoccupazione è dato dal rapporto tra le

persone in cerca di lavoro e la forza lavoro, dove

per forza lavoro si intendono le persone

occupate e quelle in cerca di lavoro dai 15 anni

in su. Il tasso di attività è invece il rapporto tra la

fora lavoro e la popolazione dai 15 anni in su.

Inoltre, viene dato particolare rilievo al tasso di

disoccupazione giovanile, un indicatore

specifico per l’età compresa tra 15 e 25 anni, che

esprime la difficoltà dei più giovani a trovare un

impiego remunerativo: si calcola come il

rapporto tra i giovani in cerca di occupazione e

quelli appartenenti alla forza lavoro.

L’Italia di ieri e di oggi

Il confronto tra i censimenti può fornire una

panoramica della tendenza evolutiva di un

Paese. Per esempio, tra il 1861 e il 2001 la

popolazione residente in Italia è più che

raddoppiata, passando da poco più do 22 milioni

a quasi 57 milioni di cittadini. La progressiva

diminuzione della natalità, registrata dal secondo

dopoguerra in poi, e l’allungamento della vita

media hanno determinato un invecchiamento

della popolazione: l’indice di vecchiaia, che è il

rapporto percentuale tra la popolazione con più

di 65 anni e la popolazione fino a 14 anni, è

passato dal 38,9% nel 1861 al 140,6% nel 2001.

Rispetto al passato, si è ridotto il numero medio

di componenti dei nuclei familiari, mentre è

aumentato il numero di famiglie composte da

una sola persona.

Dopo la Seconda guerra mondiale l’Italia si è

trasformata, da Paese prevalentemente agricolo,

in Paese industrializzato. Nel 1961, l’industria

rappresentava già il settore dominante, dando

occupazione al 40,6% dei lavoratori.

Nei quarant’anni successivi c’è stato il forte

sviluppo del terziario, dove la quota di occupati

è passato dal 30,3% nel 1961 al 60,9% nel 2001,

con conseguente calo di occupazione

nell’agricoltura, dove la percentuale dei

lavoratori è passata dal 17,2% al 5,4%.



Esercizi sulla statistica

I dati statistici

1) In una fabbrica sono stati prodotti 800

scooter suddivisi in 4 modelli. Completa la

tabella.

Tipo di scooter Quantità Percentuale

Alfabeta … 25%

XY 120 …

Tuono 320 …

S50 160 …

2) Età di un campione di 300 elementi estratto

dalla popolazione degli abitanti di una città.

Dopo aver completato la tabella, rappresenta

i dati mediante un istogramma e un

areogramma .

Età Persone Percentuale

0-18

19-30

31-50

51-70

71-100

3) Quattro giocatori di pallacanestro hanno

realizzato complessivamente 50 punti in una

partita. Completa la tabella.

Giocatore Punti Percentuale

n.1 … 40%

n.2 5 …

n.3 … 30%

n.4 10 …

4) Temperatura media dell’acqua di mare rilevata

nel mese di luglio 2014 in una località balneare.

Dopo aver completato la tabella effettua una

rappresentazione grafica delle frequenze

assolute e una rappresentazione delle frequenze

relative.

5)

Temp. Numero

giornate

Frequenza

relativa

Frequenza

Relativa

cumulata

26 2

27 4

28 9

29 12

30 4

6) I voti conseguiti in una classe nell’ultimo compito di matematica sono:

6, 6, 7, 5, 5, 4, 4, 3, 6, 8, 8, 8, 9, 4, 8, 4, 5, 6, 6, 7.

Compila la tabella di frequenza dei voti e, dopo aver calcolato le frequenze relative percentuali,

rappresenta graficamente i dati.

Gli indici di posizione centrale

7) Completa la seguente tabella

Dati Media Mediana Moda

3, 7, 8, 10, 3, 6, 3, 2

12, 15, 11, 15, 19, 18, 15

8) Nel corso del mese di giugno in un supermercato i duroni per cinque giorni sono stati offerti al

prezzo di 10 euro al kg, per nove giorni al prezzo di 7 euro al kg, per quattro giorni al prezzo di 8

euro al kg e per sette giorni al prezzo di 9 euro al kg. Calcola la media aritmetica, la mediana e la

moda.

[8, 32, 8, 7]



9) Le autovetture di un salone per la

vendita di auto usate sono classificate

secondo l’età dell’usato

Età usato (mesi) Numero autovetture

6 12

12 16

18 15

24 9

30 5

36 1

48 1

60 1

Determina la media aritmetica, la

mediana e la moda.

[17, 4; 18; 12]

10) La seguente tabella riporta la quantità di libri

venduti in una determinata settimana in 20

librerie

Numero libri

venduti

Numero

librerie

50 4

60 6

70 5

80 3

90 2

Determina la media aritmetica, la moda e la

mediana del numero di libri venduti.

[66,5; 60; 65]

11) La seguente tabella riporta il numero di DVD posseduti dai ragazzi di una classe.

Numero DVD 10 15 20 25

Numero ragazzi 8 7 6 3

Calcola il numero medio di DVD posseduti da ciascun ragazzo

[15,8]

12) La seguente tabella riporta il numero di Gran Premi di Formula 1 vinti, negli ultimi tre anni, da vari

piloti.

Numero GP vinti 1 2 3 4 5 6 7

Numero piloti 7 4 1 2 3 2 1

Calcola il numero medio di GP vinti da ciascun pilota.

[3]

13) Calcolare la media geometrica dei seguenti dati

1,07 1,05 1,05 1,09 1,08 1,08 1,08

[1,0713]

14) Si è rilevato che, nel mese di settembre, il prezzo in euro di un kilogrammo di pesce spada in cinque

mercati ittici è stata:

26,5 25,9 27,0 27,8 25,5

Supponendo di comprare in ogni mercato pesce spada per €25, calcola il prezzo medio di un

kilogrammo di pesce spada acquistato usando la media armonica.

[€26]



15) Un automobilista percorre metà del suo tragitto alla velocità di 80𝑘𝑚

ℎ e l’altra metà alla velocità di

110𝑘𝑚

ℎ. Calcola la media armonica.

[92,63𝑘𝑚

ℎ]

16) Si sono rilevate le seguenti differenze di peso in grammi rispetto al peso standard garantito da una

macchina confezionatrice: +2, -18, -10, +4, +5, -9. Calcolare la media quadratica degli scarti.

[9,57𝑔]

Gli indici di variabilità

17) In una certa località, nel corso di una giornata estiva sono state rilevate le seguenti temperature in

gradi Celsius:

19,0; 21,0; 22,5; 24,0; 26,0; 27,5; 28,0; 28,0; 26,0; 24,0

Determinare:

a) La temperatura media della giornata;

b) Il campo di variazione;

c) Lo scarto semplice medio;

d) La deviazione standard.

[24,6; 9,0; 2,5; 2,91]

18) Determina il campo di variazione delle seguenti sequenze di numeri:

a) 3; 5; 2; 8; 9; 4; b) -3; -9; -1; -4; c) -2; -2; -2; -2;

d) 12; 6; 18; 24; 6; e) 3; -2; -4; 0; -3; f) 6; 1; 1; 2; -2.

[𝑎) 7; 𝑏) 8; 𝑐) 0; 𝑑) 18; 𝑒) 7; 𝑓) 8]

19) Determina lo scarto semplice medio nelle seguenti sequenze di numeri;

a) 3; 5; 9; 10; 22 b) -5; -6; -8; 5; 6; 8; c) 5; 5; 5; -5; -5;

d) 2; 2; 2; 2; e) -16; -10; -2; 0; 2; 8; f) 5; 8; 11; 14; 17.

[𝑎) 4,96; 𝑏) 6, 3̅; 𝑐) 4,8; 𝑑) 0; 𝑒) 6, 6̅; 𝑓) 3,6]

20) Calcola la deviazione standard delle

seguenti sequenze di numeri

a) 7; 9; 11; 13;

b) 0,9; 3,6; 9,6; 13,5; 18,9;

c) 2; 6; 10; 14; 18;

d) 3; 3; 3; 3; 3;

e) -9; -2; 1; 2; 3;

f) -7; -5; 1; 3; 8.

[𝑎) 2,24; 𝑏) 6,53; 𝑐) 5,66;

𝑑) 0 ; 𝑒) 4,34; 𝑓) 5,44]

21) Calcola la deviazione standard dei seguenti

voti riportati da un alunno nel primo

quadrimestre

Voto 4 5 8 9

Frequenza 1 2 1 3

[2,07]

22) Calcola la deviazione standard delle

seguenti temperature rilevate nel corso di

una giornata invernale

Temperatura -3 -2 2 3

Frequenza 2 3 3 2

[2,45]

23) Dalla produzione e vendita di articoli di

pelletteria, una ditta, in sei mesi successivi,

ha ottenuto i seguenti guadagni in euro:

100000, 125000, 140000, 135000, 160000,

110000. Calcola il guadagno medio e la

deviazione standard.

[128333; 19720]



I rapporti statistici

24) ESERCIZIO GUIDA

La tabella seguente riporta dati statistici di quattro piccole imprese

Ditta Numero

dipendenti

Fatturato

(euro)

Debiti

(euro)

Crediti

(euro)

A 5 25000 12000 13000

B 8 54000 22000 26000

C 4 32000 13000 11000

D 3 45000 19000 18000

Calcoliamo i rapporti di derivazione, di composizione e di coesistenza.

Calcoliamo il rapporto di derivazione che si ottiene dal rapporto tra fatturato e numero di dipendenti.

È un rapporto tra grandezze non omogenee e si esprime in euro per dipendente:

25000

5= 5000;

54000

8= 6750;

32000

4= 8000;

45000

3= 15000

Calcoliamo il rapporto di derivazione che si ottiene dal rapporto tra crediti e fatturato. È un rapporto

tra grandezze omogenee e si esprime in percentuale:

13000

25000∙ 100 = 52%;

26000

54000∙ 100 ≈ 48,15%;

11000

32000∙ 100 ≈ 34,38%;

18000

45000∙ 100 = 40%.

Calcoliamo il rapporto di composizione dato dal rapporto fra il numero dei dipendenti di ogni

impresa e il totale dei dipendenti delle quattro imprese. È un rapporto tra grandezze omogenee e si

esprime in percentuale:

5

20∙ 100 = 25%;

8

20∙ 100 = 40%;

4

20∙ 100 = 20%;

3

20∙ 100 = 15%.

Calcoliamo il rapporto di coesistenza dato dal rapporto fra debiti e crediti. È un rapporto tra

grandezze omogenee e si esprime in percentuale:

12000

13000∙ 100 ≈ 92,31%;

22000

226000∙ 100 ≈ 84,62%;

13000

11000∙ 100 ≈ 118,18%;

19000

18000∙ 100 ≈ 105,56%.

25) Le persone iscritte a una polisportiva, secondo l’attività sportiva praticata, risultano le seguenti

Attività sportiva calcio tennis volley basket ginnastica nuoto

Numero persone 54 25 29 45 89 37

Determina i rapporti di composizione.

[19,35%; 8,96%;… ; 13,26%]



26) Considera i seguenti dati

Comune Popolaz. Num.

Matrim.

Num.

divorzi

A 65312 512 84

B 35450 331 43

C 33458 267 43

D 32513 154 19

Determina i rapporti di derivazione e di

coesistenza

[ 7,84; 10,20; 7,98; 4,74 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑖1,29; 1,33; 1,29; 0,58 𝑑𝑖𝑣𝑜𝑟𝑧𝑖 𝑝𝑒𝑟

𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑖𝑣𝑜𝑟𝑧𝑖: 16,41%; 12,99%;

16,10%;12,34% 𝑑𝑒𝑖 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖]

27) Considera i seguenti dati riguardanti

importazioni ed esportazioni di un’impresa

Mese import esport

gennaio 122 127

febbraio 134 122

marzo 115 105

aprile 98 97

maggio 95 103

giugno 105 96

Determina i rapporti di composizione e i

rapporti di coesistenza.

[ 18,24%; 20,03%;… ; 15,70%; 19,54%;18,77%;… ; 4,77%;96,06%; 109,84%;…𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖

]

28) Da un’indagine emergono i seguenti dati

relativi al numero di incidenti stradali in una

provincia durante il periodo estivo

Mese Numero incidenti

giugno 37

luglio 128

agosto 187

settembre 63

Determina i rapporti di composizione.

[8,92%; 30,84%; 45,06% 15,18%]

29) La seguente tabella riporta le riserve

mondiali di greggio in miliardi di barili

Area geografica Miliardi di barili

Nord America 213,4

Centro e Sud

America 103,4

Europa occidentale 16,4

Europa orientale 77,8

Medio Oriente 743,4

Africa 106,6

Asia e Oceania 35,9

Determinare i rapporti di composizione.

[16,45%;7,97%; 1,26%… ]

30) La seguente tabella riporta la produzione mondiale di autoveicoli, suddivisa in veicoli leggere e

pesanti, da parte dei maggiori produttori

Paese Veicoli leggeri Veicoli pesanti Totale

Giappone 9756515 1727718 11484233

Stati Uniti 4372196 6979093 11351289

Cina 4315290 2956524 7271814

Germania 5398508 419663 5818171

Determina i rapporti di composizione e i rapporti di coesistenza tra veicoli pesanti e leggeri.

[

𝑣𝑒𝑖𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒𝑟𝑒: 40,92%; 18,34%… ; 𝑣𝑒𝑖𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑝𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑖: 14,30%;57,76%;… ;𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎: 17,71%;159,62%;…𝑑𝑒𝑖 𝑣𝑒𝑖𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒𝑟𝑖

]



31) Considera la seguente tabella, che illustra il numero di dipendenti di un’impresa nel corso di un

decennio

Anno 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Numero

dipendenti 876 854 847 859 868 875 869 874 885 865

a) Calcola i numeri indice a base fissa con base anno 2004;

[100; 97; 49; … ; 98]

b) Calcola i numeri indice a base fissa con base anno 2008;

[100,92; 98,39; … ; 100;… ; 99.65 ]

c) Calcola i numeri indice a base mobile;

[𝑛. 𝑑. ; 97,49; 99,18; … ; 97,74]

32) Il prezzo di un prodotto in euro nel corso

dell’anno 2013, a Firenze, ha riportato i

valori indicati nella tabella

Mese Prezzo

gennaio 32,25

febbraio 34,74

marzo 38,58

aprile 42,12

maggio 45,16

giugno 45,89

luglio 42,13

agosto 39,16

settembre 38,74

ottobre 35,87

novembre 35,12

dicembre 34,80

a) Calcola i numeri indice a base fissa con

base mese di gennaio

[100; 107,72; 119,63;… ]

b) Calcola i numeri indice a base fissa con

base mese di aprile

[76,57; 82,48;… ; 100; … ; 82,62]

c) Calcola i numeri indice a base mobile

[𝑛. 𝑑. ; 107,72; 111,05;… ]

33) La seguente tabella riguarda i siti web più

visitati nel mondo nel 2013

Siti web Visitatori

Yahoo! 133428000

Google 123892000

Time Warner

Network

123702000

MSN (Microsoft) 118154000

Myspace 81233000

eBay 79787000

Amazon 57702000

Ask Network 54885000

Wikipedia 46372000

Viacom Digital 43056000

Calcola i numeri indice a base fissa con base

Yahoo!

[100; 92,85; 92,71;… ]

Calcola i numeri indice a base fissa con base

Google

[107,70; 100; 99,85;… ]

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Dispensa di matematica - ISTITUTO MICHELANGELOistitutomichelangelo.altervista.org/CAT/Matematica.pdf · 1.1 L’oggetto del calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio studia i modi