Dispense

ANALISI MATEMATICAIIV.DECICCOD.GIACHETTIVersionedelledispensedel27marzo2009.Ledispensefornisconosolounasintesidegliargomentitrattatiduranteilcorsoalnediagevolarelostudioditaliargomenti.1. Successioni di funzionisuccessioniIn questa sezione introduciano le successioni di funzioni reali di una variabile reale e le nozionidi convergenza puntuale ed uniforme per tali successioni.SiaIun intervallo contenuto in I R e per ogni n INsiafn :I I R una funzione denita in I.Consideriamo la successione di funzionif1, f2, . . . , fn, . . .chedenoteremoanchecon(fn)nIN. Osserviamochefn(x)haunadoppiadipendenza: nellavariabilex I R e nellindicen IN;an INssato si ha la funzionex fn(x);ax Issato si ha la successione numericafn(x).puntuale1.1. Convergenzapuntuale. Dataunasuccessionedifunzioni(fn)nINdeniteinIedataf: A I I R, si dice chefn fpuntualmente inA (o che limn+fn = f) sex A limn+fn(x) = f(x).Ciò equivale a dire, ricordando la denizione di limite per una successione, chex A > 0 x, IN: n > x,[fn(x) f(x)[ < .Esempio: La successionefn(x) = xnconverge puntualmente suI = [0,12] alla funzione identi-camente nulla. Infatti, ssatix [0,12] ed > 0 la diseguaglianza[fn(x) f(x)[ = xn< è soddisfatta per ognin maggiore dix,, dovex, è un naturale maggiore o uguale dilog log x.uniforme1.2. Convergenzauniforme. Dataunasuccessionedifunzioni(fn)nINdeniteinIedataf: A I I R, si dice chefn funiformemente inA se nella denizione precedentex,nondipende dax A, cioe se > 0

IN: n >

[fn(x) f(x)[ 0

IN: n >

supxA[fn(x) f(x)[ < o equivalentementelimn+supxA[fn(x) f(x)[ = 0.Operativamente, perdimostrarecheunasuccessioneconvergeuniformemente, si considera, an INssato, lestremosuperioresupxA[fn(x) f(x)[epoisicercaillimitepern +della successione numericagn := supxA[fn(x) f(x)[.Nellesempio precedentegn := supxA[fn(x) f(x)[ =12nche tende a 0.Laconvergenzauniformeimplicalaconvergenzapuntuale. Infatti perogni x Aeperognin INsi ha[fn(x) f(x)[ supxA[fn(x) f(x)[.Il viceversanonvale; bastaconsiderarecomecontroesempiolastessasuccessionefn(x)=xndenita inI = [0, 1] che converge puntualmente inIalla funzione(1.1) f(x) =_0 x [0, 1[1 x = 1,ma non converge uniformemente in I. Infatti per x 1 si ha chelog log xtende a . Daltra partegn := supxI[fn(x) f(x)[ = 1elimngn = 1 ,= 0.Come si vede già in questo esempio, il fatto che la convergenza sia uniforme o meno può dipenderedallinsiemechesisceglie. Spessonegliesercizisichiedediindividuareuninsiemeopportunodove la convergenza sia uniforme.esempi1.3. Esempi. 1)Lasuccessionefn(x) = (x(1 x))nconvergepuntualmentesuI= [0, 1]allafunzione identicamente nulla. Inoltre tale convergenza è uniforme inI; infattign = supxI[fn(x) f(x)[ =maxx[0,1](x(1 x))n= fn_12_=14nelimngn =limn14n= 0.Per calcolare tale massimo si è fatta la derivata:f

n(x) = n(x(1 x))n1(1 2x)e si è visto che lunico punto interno in cui questa si annulla è x = 1/2 (che è punto di massimo)efn(12) =14n, mentre in 0 e 1 vale 0 e inoltrefn è sempre positiva.ANALISI MAT. II 32) La successionefn(x) =_1+x2+x_nconverge puntualmente inI = [0, +[ alla funzione identica-mente nulla. Tale convergenza non è uniforme inI = [0, +[ ; infattign = supx[0,+[[fn(x) f(x)[ = supx[0,+[fn(x) = limx+_1 +x2 +x_n= 1elimngn = 1 ,= 0.In questo caso per calcolare lestremo superiore si è calcolata la derivataf

n(x) = n_1 +x2 +x_n11(2 +x)2> 0e da ciò si è visto che la funzionefn(x) è strettamente crescente e che lestremo superiore è illimite perx +.teoremi1.4. Alcuni teoremi sulla convergenza uniforme. Diamo ora lenunciato di alcuni teoremiin cui la convergenza uniforme è unipotesi essenziale.TeoremasullacontinuitàdellimiteSia (fn)nINuna successione di funzioni continue denite in un intervalloI I R e siaf: I I Rtale chefn funiformemente inI. Allora la funzionefè continua.TeoremasullinversionedeilimitiSia (fn)nINuna successione di funzioni denite in un intervalloI I R e siaf: I I R tale chefn funiformemente inI. Supponiamo inoltre che per ognin INesista il limitelimxx0fn(x).Allora esistono e coincidono i due limiti seguentilimn( limxx0fn(x)) =limxx0( limnfn(x)).TeoremadipassaggioallimitesottoilsegnodiintegraleSia (fn)nIN una successione di funzioni continue denite in un intervallo I = [a, b] e sia f: I I Rtale chefn funiformemente inI. Allora vale la seguente formula:limnb_afn(x)dx =b_af(x)dx.DimostrazioneEssendo f limite uniforme di funzioni continue, allora essa è continua in [a, b] e quindi integrabile.Per avere la tesi, grazie alla denizione di limite, basta mostrare che per ogni> 0 esiste

INtale che per ognin

si abbiab_afn(x)dx b_af(x)dx < .Daltra parte,poichèfn funiformemente,per ogni

> 0 esiste

INtale che per ognin

si hagn =supx[a,b][fn(x) f(x)[ <

.4 V.DECICCOD.GIACHETTIQuindi, ssato > 0, se si sceglie

0, poichè da un certon in poi i punti di massimo12ncadono in questi intervalli. Alcontrario, laconvergenzaèuniformesugli intervalli del tipo[, +), (eanche(, ])con > 0, poichè da un certon in poi i punti di massimo12n(rispettivamente 12n) non cadonoin questi intervalli e quindisupx[,+)fn(x) = fn() = nen2elimnnen2= 0.TeoremadipassaggioallimitesottoilsegnodiderivataSia(fn)nINunasuccessionedi funzioni di classeC1(cioèderivabili econderivatecontinue)denite in un intervallo I = [a, b] e sia f: I I R tale che fn f puntualmente in I. Supponiamoinoltre che la successione f

n delle derivate converga uniformemente verso una funzione g. Allorasi ha chefn funiformemente inI,fè derivabile ef

= g, cioè vale la seguente formula:limnf

n(x) = f

(x).UncontroesempioANALISI MAT. II 5Il seguente esempio mostra che, se manca la convergenza uniforme della successione dellederivate, allora può non valere la formula di passaggio al limite sotto il segno di derivata.Data la successione fn(x) = xen2x2che converge puntualmente a f(x) = 0 in tutto I R, si ha chesupxI R[fn(x)[ = supx[0,+)fn(x) = fn_12n_=12ne12elimn12ne12= 0.Quindi la successione converge uniformemente a f(x) = 0 in tutto I R. Tuttavia per essa non valela formula di passaggio al limite sotto il segno di derivata poichèf

n(x) = en2x2(1 2n2x2)tende alla funzione che vale 1 per x = 0 e 0 per x ,= 0, mentre la derivata di f è nulla. Si osserviche la successionef

n(x) delle derivate (ognuna della quali è continua) converge ad una funzionediscontinua e pertanto tale convergenza non può essere uniforme.condizioni per la uniforme1.5. Condizioni sucienti perlaconvergenzauniforme. Diamo ora due enunciati sullaconvergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia. Nel primo teorema (detto teorema del Dini)si assume la monotonia rispetto allindice n INdella successione fn(x) ad x ssato, mentre nelsecondo si assume la monotonia rispetto alla variabilex della funzionefn(x) adn INssato.Teorema1Sia (fn)nIN una successione di funzioni continue denite in un intervallo I = [a, b] e sia f: I I Runa funzione continua tale chefn fpuntualmente inI.Assumiamo inoltre che tale successione sia monotona crescente rispetto adn IN, i.e. per ognix [a, b] si ha chefn(x) fn+1(x).Allora la successionefn fconverge uniformemente inI.Il teorema vale analogamente se si assume che la successione sia monotona decrescente rispettoadn IN, i.e. per ognix [a, b] si ha chefn(x) fn+1(x).Teorema2Sia (fn)nINuna successione di funzioni non necessariamente continue denite in un intervalloI = [a, b] e siaf: I I R una funzione continua tale chefn fpuntualmente inI.Assumiamo inoltre che per ognin INla funzionefn(x) sia monotona crescente rispetto adx,i.e. si ha che, sex1 x2, allorafn(x1) fn(x2).Allora la successionefn fconverge uniformemente inI.Il teorema vale analogamente se si assume che la funzione sia monotona decrescente rispetto adx, i.e. si ha che, sex1 x2, allorafn(x1) fn(x2).6 V.DECICCOD.GIACHETTI2. Seriedi funzioniserieIn questa sezione introduciano le serie di funzioni reali di una variabile reale e le diverse nozionidi convergenza per tali serie.Data una successione di funzioni (fn)nINdenite inI I R siaSnuna successione delle sommeparziali, cos` denita:S0(x) = f0(x), S1(x) = f0(x) +f1(x),Sn(x) = f0(x) +f1(x) + +fn(x) =n

i=0fi(x) = Sn1(x) +fn(x).Supponiamo che ssato x I, la successione numerica Sn(x) ammetta limite S(x) per n +,cioèS(x) =limnSn(x).In tal caso inx è convergente la serie numerica di termine generalefn(x) che si indica con

n=0fn(x) = f0(x) +f1(x) + +fn(x) +. . .edS(x) è la somma della serie.Supponiamocheperogni x A I, lasuccessionedi funzioni SnammettalimiteS(x)pern +, cioèS(x) =limnSn(x).In tal caso inA è denita la serie di funzioni di termine generalefn che si indica conserie1 (2.1)

n=0fn(x) = f0(x) +f1(x) + +fn(x) +. . .e si dice che tale serie converge puntualmente adS(x) e cheS(x) è la somma della serie.Si dice che la serie (??) converge uniformemente adS(x) inA se la successioneSn(x) S(x), n +uniformemente inA.Inoltre si dice che la serie (??) converge assolutamente inx A se la serie numerica

n=0[fn(x)[.Inne si dice che la serie (??) converge totalmente inx A se esiste una successione numericaMn tale che[fn(x)[ Mnx A n Ne se la serie numerica n=1Mnrisulta convergente. Si potrebbe dimostrare che questi tipi diconvergenza sono legati nel seguente modo:la convergenza totale implica quella uniforme e questa implica la puntuale;la convergenza totale implica quella assoluta e questa implica la puntuale.Tutte queste implicazioni non si possono invertire (come si potrebbe mostrare con degli esempi).Inoltre la convergenza uniforme non implica quella assoluta e neanche il viceversa vale.ANALISI MAT. II 7Esempio La serie

n=11n2cos(nx), x I R,converge totalmente in I R, poichè1n2cos(nx)1n2x I R n Ne la serie numerica

n=11n2èconvergente. Quindiconvergeancheuniformemente,assolutamenteepuntualmenteintuttoI R.TeoremasullacontinuitàdellasommadiunaserieSia (fn)nINuna successione di funzioni continue denite in un intervalloI I R e siaS : I I Rla somma della serie aventefn come termine generale, i.e.(2.2) S(x) =

n=0fn(x).SupponiamoinoltrechetaleserieconvergauniformementeadS(x). Alloralafunzione Sècontinua.Teoremadiintegrazioneperserie(ointegrazionetermineatermine)Sia (fn)nINuna successione di funzioni continue denite in un intervalloI I R e siaS : I I Rla somma della serie aventefn come termine generale, i.e.(2.3) S(x) =

n=0fn(x).SupponiamoinoltrechetaleserieconvergauniformementeadS(x). Alloravalelaseguenteformula:

n=0b_afn(x)dx =b_aS(x)dx.DimostrazioneEssendo S(x) il limite uniforme della successione Sn(x) =

nk=0fk(x) delle somme parziali (chesono funzioni continue), allora essa è continua in [a, b] e quindi integrabile. Quindi si ha

n=0b_afn(x)dx =limnn

k=0b_afk(x)dx =limnb_an

k=0fk(x)dx ==limnb_aSn(x)dx =b_alimnSn(x)dx =b_aS(x)dx,dove si è usato il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per la successione difunzioniSn(x) che converge uniformemente adS(x).8 V.DECICCOD.GIACHETTITeoremadiderivazioneperserie(oderivazionetermineatermine)Sia (fn)nIN una successione di funzioni di classe C1denite in un intervallo I I R e sia S : I I Rla somma della serie aventefn come termine generale, i.e.(2.4) S(x) =

n=0fn(x).Consideriamo la serie derivata(2.5)

n=0f

n(x)e supponiamo che questultima serie converga uniformemente. Allora la funzioneS è anchessadi classeC1e vale la seguente formula:S

(x) =

n=0f

n(x).ANALISI MAT. II 93. Seriedi potenzeserie di potenzeIn questa sezione introduciano le serie di potenze e cominciamo col considerare serie di potenzecentrate nellorigine. Siaak,k = 0, 1, 2, . . . un successione di numeri reali. La serie di funzionipot (3.1)

k0akxk= a0 +a1x +a2x2+ +akxk+. . .prende il nome di serie di potenze di coecientia0, a1, a2, . . . , ak, . . .Per una serie di potenze si verica una delle seguenti circostanze:i) la serie converge perx = 0;ii) la serie converge per ognix I R;iii) esiste un numero > 0 tale che la serie converge se [x[ < e non converge se [x[ > .Pi` u precisamente, si denisce il raggio di convergenza della serie di potenze (??) come lestremosuperiore [0, +] dellinsiemeXdei numeri realix nei quali essa converge, cioè = sup X, dove X =_x I R :

k0akxkconverge_Si verica facilmente che il raggio di convergenza è 0 se e solo sex = 0, i.e. X = 0 e cheè + se e solo seX = I R. Inoltre vale il seguente teorema:Teorema Sia 0 < < +. Allora la serie di potenze (??) ha raggio di convergenza se e solose essa converge per [x[ < e non converge per [x[ > .Inoltre, se 0 < , essa converge assolutamente per [x[ < e inne converge totalmente (e quindiuniformemente) in ogni intervallo chiuso e limitato [a, a] (, ).Osserviamo che se 0 1). Inoltre non converge nè inx = 1, nè inx = 1.2) La serie di potenze

k01kxkha raggio di convergenza = 1 (e quindi converge assolutamente per [x[ < 1 e non converge per[x[ > 1). Inoltre converge inx = 1 e non converge inx = 1.Vediamo ora dei criteri utili per trovare il raggio di convergenza.CriteriodiCauchy-Hadamard Data la serie di potenze (??), se esiste il limitel = limk+[ak[1k,10 V.DECICCOD.GIACHETTIallora il raggio di convergenza della serie (??) ècau (3.2) =___+ l = 01l0 < l < +0 l = +.Criterio di DAlembert Data la serie di potenze (??), con ak ,= 0 denitivamente, se esiste illimitel = limk+[ak+1ak[,allora il raggio di convergenza della serie (??) ècau (3.3) =___+ l = 01l0 < l < +0 l = +.Data la serie di potenze (??), la serie ottenuta derivando la (??) termine a termine, cioè la seriederi (3.4)

k1kakxk1= a0 +a1x + 2a2x + +kakxk1+. . .viene detta serie derivata della serie di potenze (??).TeoremasulraggiodiconvergenzadellaseriederivataUna serie di potenze ha lo stesso raggio di convergenza della sua serie derivata.TeoremadiderivazioneediintegrazionedelleseriedipotenzeSe la serie di potenze (??) ha raggio di convergenza non nullo e sef(x) è la sua somma, cioè(3.5) f(x) =

k0akxk, x : [x[ < , con > 0,allora risulta anche(3.6) f

(x) =

k1kakxk1, x : [x[ < ,e(3.7)x_0f(t)dt =

k0akk + 1xk+1, x : [x[ < .Dimostrazione Il teorema sul raggio di convergenza della serie derivata implica che le tre seriehannolostessoraggiodi convergenza. Quindi letreserieconvergonouniformementeinogniintervallochiusoelimitatocontenutoin(, ). Dunqueperottenerelatesi bastausareiteoremi di integrazione e derivazione termine a termine per serie (vedi sezione 2).Pi` uingeneralesi possonoconsiderareseriedi potenzedi puntoinizialex0, anchediversodazero, cioè serie di potenze del tipo

k0ak(x x0)k= a0 +a1(x x0) +a2(x x0)2+ +ak(x x0)k+. . .ANALISI MAT. II 11Lostudiodi tali seriedi potenzevienericondottoaquelledi puntoiniziale x0=0conilsemplicecambiodi variabile y =x x0e, se èil suoraggiodi convergenza, alloraessaconvergeassolutamenteper [x x0[ . Inoltreconvergetotalmente per [x x0[ a cona arbitrario, 0 < a < +.CriteriodiAbel Sia data una serie di potenze

k0ak(x x0)kavente raggio di convergenza > 0. Se tale serie converge nel punto x = x0 +, i.e. se convergela serie numerica

k0ak(x0 +)k,allora la serie di potenze converge uniformemente in intervalli del tipo [x0 + , x0 + ], con0 0 lintersezioneBr(z) A contiene inniti punti.Inoltre un insiemeA I Csi dice aperto se ogni suo punto è interno adA stesso e si dice chiusose il suo complementareAcè aperto.SeA = I C z1, z2, . . . , zn, alloraA è aperto e la sua frontieraA (cioè linsieme dei suoi puntidi frontiera) è linsieme z1, z2, . . . , zn. In particolare se si denisce linsiemeI C := I C 0,allora I C è aperto e la sua frontiera è il singoletto 0. Inoltre si denisce semiasse reale negativolinsiemez = x +iy I C: x 0, y = 0.Inne se si denisce I Clinsieme dei complessi che non sono punti del semiasse reale negativo,i.e.I C := I C z = x + iy I C: x 0, y = 0,allora I C è aperto e la sua frontiera è il semiasse reale negativo.ANALISI MAT. II 257. Funzioni di unavariabilecomplessafunzioniUn apertoA I C si dice connesso se comunque si ssano due punti inA esiste una poligonaleche li congiunge, tutta contenuta inA.Inquestasezioneconsideriamofunzioni f: A I C , conAapertoconnessocontenutoinI C .Una tale funzione si dice limitata inA se esisteC> 0 tale che [f(z)[ Cper ogniz A.limiti7.1. Denizionedilimite. Si dice che I Cè il limite di fperzche tende az0(punto diaccumulazione diA, non necessariamente appartenente adA), e si scrive =limzz0f(z),se > 0 > 0 : z A B(z0) z0 [f(z) [ < .Continue7.2. Funzionicontinue. La funzionefsi dice continua inz0 A selimzz0f(z) = f(z0),i.e. se > 0 > 0 : z A B(z0) [f(z) f(z0)[ < .Inne la funzionefsi dice continua inA se lo è in ogni puntoz0 A.Sia z = x+iy e w = f(z) = f(x, y) = u(x, y) +iv(x, y), dove u, v : I RI R I R sono dette funzioniparte reale e parte immaginaria dif, si verica facilmente, usando (??), che la continuità difinz0 = x0 +iy0 equivale alla continuità diu ev in (x0, y0).Si osservi che, come per le funzionif: I R I R, valgono i teoremi sulla continuità della somma,del prodotto e del quoziente.Esempi7.3. Esempi. Lefunzioni costanti z a I C , lafunzioneidentità, lafunzionemodulo, lefunzioni f(z)=z2=(x2 y2) + i(2xy)edf(z)=z=x iysonocontinueintuttoI C . Lefunzioni razionali fratte sono continue in I Cprivato degli zeri del polinomio al denominatore. Inparticolaref(z) = znè continua in I Cef(z) =1znè continua in I C.La funzionef: I C I R denita daf(z) = Arg(z) è continua in I C. Infatti, per tale funzione sihav(x, y) = 0 eArg(z) (7.1) u(x, y) =___arctgy/x x > 0/2 x = 0, y> 0/2 x = 0, y< 0arctgy/x + x < 0, y 0arctgy/x x < 0, y< 0che è discontinua su I C z = x + iy I C: x < 0, y = 0.Inoltre, datow I C , lequazionezn= w ammette lunica soluzionez = 0 sew = 0 e altrimentiammette len soluzionizk = [w[1n_cos_ + 2kn_+isen_ + 2kn__k = 0, 1, . . . , n 1,che sono le radicin-esime diw denite dalla formula (??) (dove = Arg(w)). La soluzione perk = 0 si dice funzione radicen-esima principale, cioèz0 = f(w) = [w[1n_cos_Arg(w)n_+isen_Arg(w)n__.26 V.DECICCOD.GIACHETTITale funzione è dunque denita in I C e continua in I C. Infatti la discontinuità della funzioneArg(w) sul semiasse reale negativo produce la stessa discontinuità per la funzione radice n-esimaprincipale.ANALISI MAT. II 278. Funzioni olomorfeolomorfederivabilita8.1. Derivabilità. SiaA I Cun aperto connesso e siaf: A I C . Per ogniz A si deniscerapporto incrementale difinz la funzionez f(z + z) f(z)zdove z I Ced è tale chez + z A. La funzionefsi dice derivabile in un puntoz A seesiste in I Cil limite del rapporto incrementale per z 0 =limz0f(z + z) f(z)z.Ilnumerocomplesso(seesiste)sichiamala derivata di finzesidenota conf

(z)oppureDf(z). Per la derivata in senso complesso valgono gli stessi teoremi (della somma, del prodotto,della composta) della derivata delle funzioni reali; in eetti la denizione è formalmente la stessa.Come in campo reale, la derivabilità implica la continuità; basta osservare chelimz0f(z + z) f(z) =limz0f(z + z) f(z)zlimz0z = 0.Nel seguito sarà comodo usare una nozione equivalente alla derivabilità che è la seguente.differenziabilita8.2. Dierenziabilità rispetto az. La funzione fsi dice dierenziabile in un punto z A seesiste = (z) I Ced una funzione innitesima(z) tali chef:= f(z + z) f(z) = (z)z +(z)z.Si noti che(z)z = o([z[) nel senso chelimz0(z)z[z[= 0.Si dice dierenziale difinz la funzionedfz : z (z)z.Esattamente come nel campo reale, si ha chefè derivabile in un puntoz se e solo se fè dierenziabile in tale puntoe inoltre il dierenziale si scrive comedfz : z f

(z)z. Infattifz=f(z + z) f(z)z= f

(z) +(z)equivale af:= f(z + z) f(z) = f

(z)z +(z)z.differenziabilita in x e y8.3. Dierenziabilitàrispettoaxey. Siaf(z) =f(x, y) dovez=x + iy. La funzionefsi dice dierenziabile rispetto ax eynel punto (x0, y0) se, per ogni coppia di incrementi x ey, si ha chef:= f(x0 + x, y0 + y) f(x0, y0) =fx(x0, y0)x +fy(x0, y0)y +o(_(x)2+ (y)2),dove lultimo termine_(x)2+ (y)2= [z[ è un innitesimo di ordine superiore rispetto alladistanza euclidea dei punti (x0, y0) e (x0 +x, y0 +y). Si ricordi (ANALISI 1) che condizione28 V.DECICCOD.GIACHETTIsuciente perchèfsia dierenziabile rispetto ax eyè che esistano le derivate parziali primedife siano continue in (x0, y0). Lapplicazione(x, y) fxx +fyysi dicedierenzialedi f(x, y) (ANALISI 1). Si osservi chelultimaquantitàrappresentailprodotto scalare in IR2tra il vettoregradf= (fx,fy) e il vettore degli incrementi (x, y).Cauchy-Riemann8.4. CondizionidiCauchy-Riemann. La dierenziabilità dif(x, y) in (x0, y0) equivale alladierenziabilità di f(z) in z0 = (x0, y0)?La risposta è NO! Infatti vale la seguente proposizione.perpar Proposition8.1. Siaf:A I C dierenziabile rispetto ax ey. Alloraf(z) è dierenziabile(come funzione di variabile complessa) se e solo se si hacr1 (8.1)fx=1ify.Inoltre se vale lultima uguaglianza, alloracr11 (8.2) f

(z) =fx=1ify.Da (??) si haux +ivx=1iuy+iivy,da cui eguagliando parte reale e parte immaginaria e ricordando che1i= i si hacr2 (8.3)ux=vyvx= uy.Le uguaglianze in (??) (o equivalentemente in (??)) sono dette condizioni di Cauchy-Riemann.Detti gradienti diu ev i vettorigradu =_ux, uy_, gradv =_vx, vy_,si verica facilmente che da (??) segue chegradugradv = 0, |gradu| = |gradv|.Dalla prima segue che i vettori gradienti sono ortogonali fra di loro.olo8.5. Olomora. Si dice chef: A I Cè olomorfa in un aperto connessoA se per ogniz0 Ala funzionefè derivabile inz0.Una funzionef: I C I Colomorfa in tutto I Csi dice intera.Per la somma, il prodotto, la composizione e il quoziente di funzioni olomorfe valgono gli stessiteoremi già noti per le funzioni derivabili in campo reale.Esempio1 Siaf(z) := z = x iy. Si ha chefx= 1 e1ify= 1. Quindi non esiste un apertoA I Ctale chefè olomorfa inA.Esempio2 Siaf(z) :=1z, perz I C. Si ha che1z=1x +iy=xx2+y2 iyx2+y2e si può vericare facilmente che valgono le condizioni di Cauchy-Riemann in I C.ANALISI MAT. II 29esponenziale8.6. Lafunzioneesponenzialeincampocomplesso. Deniamo ora la funzioneesponen-zialeincampocomplesso. Si trattadi denireunafunzioneolomorfainI Ctalechelasuarestrizione allasse reale coincida con la ben nota funzioneexin IR.Si denisce lesponenziale nel seguente modo:f(z) = ez:= ex(cosy +iseny) z = x +iy I C.Dunque si ha che [ez[ =ex> 0,che implica cheez,= 0 z I C. Si richiama lattenzione sulfatto che non si può parlare di positività diez(errore grave!)poichè, come già detto, in I Cnoncè relazione dordine.Inoltre per ogniy I R si ha [eiy[ = e0= 1 e vale la cosiddetta formula di Euleroeiy= cosy +iseny, y I R.Quindi si ha che ogni numero complesso z (avente modulo e argomento ) si può scrivere nellaforma cosiddetta esponenzialez = (cos +isen) = ei.Dunque i punti del tipoei, [0, 2], sono tutti e soli i punti della circonferenza [z[ = dicentro 0 e raggio.Si verica facilmente cheei2= i ei= 1 ei2= i.La seconda, riscritta nella formaei+ 1 = 0,dà un legame fondamentale fra i cinque numeri 0, 1, e, i, pi` u importanti della matematica.La funzione esponenziale gode delle seguenti proprietà:1)Perogni z=x + iycony=0si hachef(z)=ex, ossiaèunestensionedellafunzioneesponenziale in campo reale.2)Lafunzioneezècontinuaintutto I C poichèlasuaparterealeu(x, y) =excosy elasuaparte immaginariav(x, y) = exseny sono continue in I R2.3)Lafunzioneezèolomorfaintutto I C poichèammettelederivateparziali continueevale(??). Inoltre ammette come derivata se stessa, poichè dalla (??) si haBstar (8.4) f

(z) =fx= ex(cosy +iseny) = ez.4) La funzioneezè periodica di periodo 2i, poichè per ogniz I Csi haez+2i= ex+i(y+2)= ex(cos(y + 2) +isen(y + 2)) = ez,dovesi èusatalaperiodicitàdelsenoedelcoseno. Quindi, essendoperiodica, eznonsipuòinvertire in tutto I C .5) Per la funzioneezvale la formula usualeez1+z2= ez1ez2,che si prova usando le formule della somma per il seno ed il coseno.Inne osserviamoche, usandolaformaesponenziale dei numeri complessi, le condizioni diCauchy-Riemann si possono scrivere in coordinate polari nel seguente modo:cr3 (8.5)f=1if.30 V.DECICCOD.GIACHETTIInfatti sefè derivabile, alloraf= f

(z)eief= f

(z)iei= if.Inoltre si haf

(z) =f1ei.logaritmo8.7. La funzione logaritmoincampocomplesso. Deniamooralafunzionelogaritmoincampocomplesso. Comeprima, si trattadi denireunafunzioneolomorfasuunapertocontenente la semiretta reale positiva, la cui restrizione a tale semiretta coincida con la ben notafunzionelogx in campo reale.Datoz I C si denisce logz nel seguente modo:log z (8.6) w = logz se e solo se z = ew,ossia si cerca di invertire la funzione esponenziale complessa. Ma a causa della periodicità di ewci sono inniti valori diw = u + iv, cioè innite determinazioni del logaritmo (si dice chelogzè una funzione polidroma).Cerchiamo la parte realeu e la parte immaginariav diw = logz. Dalla (??) si ha che[z[_cos(arg(z)) +isen(arg(z))_= eu(cosv +isenv)dacuiseguechev=arg(z) + 2k, conkintero, eu=log[z[(sinotichequestologaritmo èquello nei numeri reali, poichè [z[ I R). Quindilogz = log[z[ +iarg(z).Si vede ora chiaramente chelogz è una funzione a pi` u valori denita a meno di multipli di 2i(poichèarg(z) è denita a meno di multipli di 2).Si denisce allora la cosiddetta determinazione principaleLogz del logaritmo, usando la deter-minazione principaleArg(z) dellargomentoarg(z); infatti si poneLogz := log[z[ +iArg(z) = log +i.Quindi u = Re(Log(z)) = log[z[ e v = Im(Log(z)) = Arg(z) .Vediamo alcuni esempi:Perz = 1 si haLog(1) = 0, poichè [z[ = 1 eArg(z) = 0;perz = 1 si haLog(1) = log[ 1[ +i = i, poichè [z[ = 1 eArg(z) = (si ricordi che incampo reale non è denito il logaritmo dei numeri negativi);perz = 2 si haLog(2) = log[ 2[ +i = log 2 +i, poichè [z[ = 2 eArg(z) = ;perz = i si haLog(i) = log[i[ +i2= i2, poichè [z[ = 1 eArg(z) =2;perz = i si haLog(i) = log[ i[ i2= i2, poichè [z[ = 1 eArg(z) = 2.La funzione logaritmo gode delle seguenti proprietà:1) La funzioneLogz è denita in I C, i.e. perz ,= 0.2) Per ogniz =x + iy, cony = 0 ex> 0, si ha cheLogz =logx, ossia è unestensione dellafunzione logaritmo in campo reale.ANALISI MAT. II 313) La funzione Logz è continua in I C, poichè la sua parte immaginaria Arg(z) è continua soloin I C, cioè è discontinua sul semiasse reale negativo.4)LafunzioneLog zèolomorfain I C; infatti nonpuòesserederivabilenei suoi punti didiscontinuità,cioèsulsemiasserealenegativo. Altrove èolomorfapoichèammettelederivateparziali continue e vale la condizione di Cauchy-Riemann in coordinate polari (??). Infatti, sef(z) = Logz, essendof(, ) = log() +i si ha chef=1,1if=1ii =1.Inoltre dalla (??) si haf

(z) =fx=1z.Infatti scrivendoz nella forma esponenzialez = eisi haf= f

(z)z= f

(z)ei,da cui segue chef

(z) =1eif,e quindiBstarstar (8.7) f

(z) =1ei(log +i) =1ei1=1z.Innesi osservi cheperlafunzioneLogznonvalgonoleusuali formuledel prodottoedellapotenzadellogaritmoreale. InfattibastaconsiderarecheLog(i3)=Log(i)= i2, mentre3Log(i) = 3i2.potenza8.8. La funzione potenza in campo complesso. Deniamo ora la funzione potenza in campocomplesso. Come prima, si tratta di denire una funzione olomorfa su un aperto contenente lasemirettarealepositiva, lacui restrizioneatalesemirettacoincidaconlabennotafunzionepotenza in campo reale.Per ogni coppia I Cez I C (ossiaz ,= 0) si deniscez:= elogz.In generale ci sono innite determinazioni (come per illog). La determinazione principale èz:= eLogze si chiama potenza principale. Tale funzione è denita in I C ed è continua ed olomorfa in I C.Esempi. 1) 1i=ei log1=ei(log|1|+i arg1)=e2k, k Z, e perk = 0 si ha la determinazioneprincipale 1i= e0= 1;2)ii= ei logi= ei(log|i|+i argi)= eargi= e(2+2k), k Z, e perk = 0 si ha la determinazioneprincipaleii= e2.Vediamo ora dei casi particolari:1) Sia I R+. In tal caso, la potenza (sia la sua determinazione principale, che tutte le altre) èdenita anche inz = 0 e si ha 0= 0: infattilimz0z= limz0e(log|z|+iArg(z))= limz0eiArg(z)limz0elog|z| = 0poichèlimz0elog|z| = 0 e [eiArg(z)[ = 1. Quindi in questo casozè denita in tutto I C .32 V.DECICCOD.GIACHETTI2) Sia IN: = n. In tal caso, cè una sola determinazione: infatti a causa della periodicitàdellesponenziale (complesso) di periodo 2i si haz= enlogz= en(log|z|+i(Arg(z)+2k))= en(log|z|+i(Arg(z)))= enLogz.Inoltrezcoincide con lusuale potenzazn= zzz, n volte,denita in campo complesso, poichèz= enLogz= enlog|z|+inArg(z)= elog|z|neinArg(z)= [z[n(cos(nArg(z)) +isen(nArg(z))) = zn.Si noti che in tal casozè denita, continua ed olomorfa in tutto I C . Analogamente, nel caso Z, = n,zè denita, continua ed olomorfa in tutto I C.3)Sia Q: =1n, n IN. Inquestocasoci sonondeterminazioni, quelledellaradicen-esima diz: infatti per ognik Zsi haz= e1nlogz= e1n(log|z|+i(Arg(z)+2k))== elog|z|1neiArg(z)+2kn = [z[1n_cos_Arg(z) + 2kn_+isen_Arg(z) + 2kn__ma, come già visto nella sezione 1.2, solo k = 0, 1, . . . , n1 danno luogo a valori distinti (infattia causa della periodicità del seno e del coseno di periodo 2, per k = n si ottiene lo stesso valoreche si ottiene perk = 0 e cos` via). Quindi perk = 0, 1, . . . , n 1 la formula precedente ridà glin valori della radicen-esima di z. Inne osserviamo che in questo caso (=1n) la potenzaz(con tutte le sue determinazioni) è denita in I C ed è continua e olomorfa in I C(vedi sezione2.3).In maniera analoga si deniscezseè un qualunque numero razionale, =mn , conm Z,n IN := IN 0,n edm primi tra di loro. Basta considerare len radicin-esime del numerozm.Si osservi inne che grazie alle usuali regole di derivazione ed alle formule (??) e (??) si ha perogniz I C e per ogni I Cddzz=ddzelogz= elogzz= zz= z1.funzioni circolari ed iperboliche8.9. Le funzioni circolari ed iperboliche in campo complesso. Deniamo ora le funzionicircolari ediperbolicheincampocomplesso. Comeprima, si trattadi deniredellefunzioniolomorfe su un aperto contenente la semiretta reale positiva, la cui restrizione a tale semirettacoincida con le analoghe funzioni in IR.Siaz = ix, conx I R, alloraeix= cosx +isenx, eix= cosx isenx.Sommando e sottraendo si ha per ognix I Rcosx =eix+eix2, senx =eixeix2i.Quindiperdenireunestensionedicosenoesenoalcampocomplessosidenisconoperogniz I Ccosz :=eiz+eiz2, senz :=eizeiz2i.Si può dimostrare che le funzioni circolari non hanno altri zeri che quelli della loro restrizioneallasse deinumeri reali. Infattisiverica facilmente,datoz=x + iy,checosz= 0 se e soloANALISI MAT. II 33sey = 0 ecosx = 0 (x =/2 + k,conk Z) e chesenz= 0 se e solo sey = 0 esenx = 0(x = k, conk Z).Inoltre, analogamenteal camporeale, si denisconolefunzioni cosenoesenoiperboliconelseguente modo:coshz :=ez+ez2, senhz :=ezez2.Tutte queste funzioni sono intere (poichè lesponenziale lo è), cioè denite ed olomorfe in tuttoI C . Usando le denizioni si verica facilmente che valgono le usuali formule delle derivateDcosz = senz, Dsenz = cosz, Dcoshz = senhz, Dsenhz = coshze vale lidentitàcos2z +sen2z = 1.Attenzione: in campo complesso non è vero che seno e coseno sono funzioni limitate. Infatti peresempio, datoz = x +iy, perx = 0 (asse delley) si halimy+ey+ey2= +.34 V.DECICCOD.GIACHETTI9. Seriedi potenzeincampocomplessoserie di potenzeDataunasuccessioneandi numeri complessi essatoz0 I C si denisceseriedi potenzedipunto inizialez0 una serie del tipoalfabeta (9.1)

n0an(z z0)n.I numeri complessi an sono detti coecienti della serie. A meno di una traslazione si può sempresupporre chez0 = 0 e quindi considerare serie del tipoalfabetaprimo (9.2)

n0anzn.Se i coecienti an sono denitivamente nulli (cioè esiste n0 IN tale che an = 0 per ogni n > n0)la serie si riduce al polinomioalfabetaprimo2 (9.3)n0

n=0anzn= a0 +a1z + +an0zn0.In generale, ciò non è vero e quindi si cerca di stabilire per quali z I Cla serie converge: si diceche la serie (??) converge se, dettask(z) =k

n=0an(z z0)nla successione delle somme parziali, si ha che esiste il limite (nel senso complesso) della succes-sionesk. Si osservi,prima di tutto,che inz=z0la serie (??) converge e la sua somma èa0.Come per le serie di potenze in campo reale,si ha che linsieme di convergenza è una palla dicentroz0eraggioR. TaleRsi diceraggiodi convergenzadellaserieesi calcolainmanieraanaloga al caso reale. Inoltre1) seR = 0, la serie converge solo perz = 0,2)se0 0, lacurva: [0, 2] I C denitada(t) :=z0 + reitèunacurva semplice, chiusa e regolare, il suo sostegno è la circonferenza di centroz0e raggiore lasua lunghezza è 2r.cambiamento di parametro10.3. Cambiamento di parametro. Data : [a, b] I Cuna curva regolare e data : [, ] [a, b]diclasseC1su[a, b]taleche() =a, () =be

()> 0perogni [, ](taleviene detta cambiamento di parametro che conserva lorientamento), la nuova curva denita da1 := : (())è una curva regolare che ha lo stesso sostegno die lo stesso orientamento.Tutte le curve cos` ottenute formano una classe di equivalenza: esse hanno in comune lo stessosostegno, ma è diversa la legge oraria con cui questo viene percorso.Inoltre si possono considerare dei cambiamenti di parametro che cambiano lorientamento: peresempio,data: [a, b] I C unacurvaregolare,lacurva: [a, b] I C denitada(t) =(b + (a t))èancoraunacurvaregolare, halastessatracciadi , maèpercorsainsensoopposto e dunque scambia i punti estremi.concatenamento10.4. Concatenamento di curve. Date due curve regolari 1, 2 : [0, 1] I Ctale che 1(1) =2(0) si possono concatenare le due curve denendo(10.1) (t) =_1(2t) 0 t 1/22(2t 1) 1/2 t 1.Siha(0)=1(0), (1)=2(1), ècontinua, maingeneralenon èC1. Laconcatenazioneanaloga di pi` u segmenti dà una poligonale.Denizione Una curvasidice regolareatratti se è ottenuta concatenando due o pi` u curveregolari.ANALISI MAT. II 39integrale curvilineo10.5. Integrale curvilineo. Dati A I Cun aperto connesso, f: A I Cuna funzione continuae : [a, b] I Cuna curva regolare (o regolare a tratti) la cui traccia([a, b]) A, si denisce lintegrale diflungonel seguente modo:_f=_f(z)dz :=b_af((t))

(t)dt.Si osservi che la funzionet f((t))

(t) è una funzione di variabile reale a valori complessi.Esempi1)Siaf(z)=1zperz I Cesialacirconferenzadi centro0eraggior, i.e. r:[0, 2] I C ,r(t) := reit. Allora_1zdz =2_01reitireitdt = 2i.Si noti che non dipende dar.2)Siaf(z)=zk, k Z, conk ,= 1(k= 1 èilcasoprecedente)denitasututtoI C perk 0 e su I C perk < 0. Siacome nellesempio precedente; allora_zkdz =2_0rkeiktireitdt = irk+12_0ei(k+1)tdt = 0,grazie alla periodicità diezin campo complesso con periodo 2i.Elenchiamo ora alcune proprietà dellintegrale:1) linearità : _(c1f1 +c2f2) = c1_ f1 +c2_ f2;2) non dipendenza dal cambiamento di parametro (che conserva lorientamento):_f:=b_af((t))

(t)dt =_f((()))( )

()d=_f;3) cambio di segno nel passaggio a : _ f= _ f;4) additività rispetto alla curva: _1f +_2f= _12f, dove12denota la concatenazione di1 e di2;5) seM= maxt[a,b][f((t))[, allora _ f Ml().Vale inoltre il seguente teorema di passaggio al limite:TeoremaSiafnunasuccessionedifunzionicontinuedeniteinA. Supponiamochefn funiformemente inA. Allora_f(z)dz =limn_fn(z)dz.40 V.DECICCOD.GIACHETTIprimitiva10.6. Primitiva. SiaA I C un aperto connesso edf: A I C una funzione continua. Si diceche F: A I Cè una primitiva di fse è derivabile in A e se F

(z) = f(z) per ogni z A. Comein campo reale, se Fè una primitiva di f, allora per ogni c I R la funzione F +c è una primitivadif.Laconoscenzadi unaprimitivapermettedi calcolareimmediatamentegli integrali curvilinei;infatti vale un analogo del teorema di Torricelli-Barrow.TeoremaSiaA I C unapertoconnesso, sia: [a, b] I C unacurvaregolare(oregolareatratti) la cui traccia([a, b]) A, siaf:A I C una funzione continua eF:A I C una suaprimitiva. Allora_f(z)dz = F((b)) F((a)).Per dimostrarlo basta osservare cheF((t)) è una primitiva dif((t))

(t) e quindi_f(z)dz =b_af((t))

(t)dt =b_a(F)

(t)dt = F((b)) F((a)).Dal teorema segue che sefammette una primitiva, allora lintegrale dipende solo dagli estremi(a) e (b) enondallacurvacheli connette. Inparticolare, se èchiusa((a) =(b)),allora_ f(z)dz = 0. Ritornando agli esempi precedenti, si può osservare che necessariamente lafunzione1znon ammette una primitiva in I C, perchè , come già visto, _r1zdz = 2i ,= 0. Inoltreilfattoche _ zkdz= 0perogni k ,= 1 ècoerentecolfattochezkammette,perk ,= 1,laprimitivazk+1k+1 , che è denita in tutto I Csek > 1 e in I C sek < 1.esistenza primitiva10.7. Esistenzadi unaprimitiva. Vediamooradellecondizioni necessarieesucienti perlesistenza di una primitiva.Teorema SiaA I C un aperto connesso e siaf:A I C una funzione continua. Allora sonoequivalenti le seguenti proposizioni:a)fammette una primitiva inA;b) per ogni curva regolare a tratti : [a, b] I C la cui traccia([a, b]) A, lintegrale difsudipende solo dagli estremi di;c) per ogni curva chiusa e regolare a tratti : [a, b] I C la cui traccia([a, b]) A, lintegraledifsu è nullo.Dimostrazione Abbiamo già visto che a) implica b) e che b) implica c). Vediamo che c) implicab). Siano 1 e 2 due curve regolari a tratti tali che 1(a) = 2(a) e 1(b) = 2(b). Sia = 12la concatenazione di1 con2che risulta essere una curva chiusa. Allora dalla c) di ha0 =_f(z)dz =_1f(z)dz _2f(z)dzda cui segue la b). Vediamo ora che b) implica a). Siaz0 A un punto ssato, siaz I C e siauna poligonale congiungentez0 conz. Poichè si ha che lintegrale difsu tale poligonale nondipende dal cammino, ma solo daz0e daz; ma, essendoz0ssato, tale integrale dipende soloANALISI MAT. II 41daz. SiaF(z) :=z_z0f(s)ds,dovelultimointegraledenotalintegraledi flungolapoligonale. DobbiamodimostrarecheF

(z) = f(z) per ogniz A. Fissatoz A, siah I Ctale chez +h A, alloraF(z +h) F(z)h=1h_z+h_z0f(s)ds z_z0f(s)ds_=1hz+h_zf(s)ds,dove lultimo integrale si intende esteso al segmento [z, z +h]. Daltra parte, poichè la funzioneg(z) = 1 ammette la primitivaG(z) = z, si ha chez+h_zds = (z +h) z = he quindi1hz+h_zf(z)ds = f(z).Ne segue cheF(z +h) F(z)hf(z) =1hz+h_z(f(s) f(z))ds.Inoltre dalla continuità difinz, per ogni > 0 esiste

> 0 tale che [f(s) f(z)[ 0 si ottiene dalla formula diCauchy derivandon volte rispetto adz0 sotto il segno di integrale.Se A = I Csi prende r = . Il risultato aerma che basta che esista una derivata perchè esistanotutte le successive. In tal caso si dice chefèC, cioè innitamente derivabile.Inoltrefderivabileimplicachefèlocalmentesviluppabileinseriedi Taylor. Tuttociònonaccade in campo reale. Per concludere: in campo complesso si ha che:f olomorfa in A f analitica in A.Dalla coincidenza delle funzioni olomorfe con le funzioni analitiche in campo complesso si hannovarie conseguenze.armoniche11.1. Funzioniarmoniche. Vediamo unimportante proprietà delle funzioni analitiche.Teorema Sia f= u+iv : I C I Cuna funzione analitica. Allora u e v (viste come funzioni delledue variabili realix ey) sono funzioni armoniche, i.e. valgono le seguenti equazioni di Laplaceu :=2ux2 +2uy2= 0ev :=2vx2 +2vy2= 0(loperatore è detto Laplaciano).46 V.DECICCOD.GIACHETTIDimostrazione Essendofanalitica (e quindi olomorfa), dalle condizioni di Cauchy-Riemannsi haux=vy,uy= vx.Derivando e usando il teorema di inversione dellordine di derivazione (Teorema di Schwartz) siha2ux2= 2uy2e analogamente si prova lequazione di Laplace perv.11.2. Altraconseguenza. Dallanaliticità delle funzioni olomorfe si ha il seguente teorema:Teoremadi MoreraSiaf:A I C unafunzionecontinuanellapertoconnessoA I C . Selintegrale difsu ogni curva semplice e chiusa inA è nullo, allorafè analitica inA.Dimostrazione Sappiamo che se lintegrale difsu ogni curva semplice e chiusa inA è nullo,allorafammette una primitiva. Quindi fè la derivata di una funzioneFolomorfa e dunqueanalitica. Ne segue che anchefè analitica (essendo la derivata di una analitica).zeri11.3. Zeri di unafunzioneanalitica. Siaf : A I C unafunzionecontinuanellapertoconnessoA I C . Un puntoa A si dice uno zero difsef(a) = 0.Sea è uno zero difef(z) =

n0cn(z a)n=

n0f(n)(a)n!(z a)nè lo sviluppo di Taylor in un intorno dia, allorac0 = f(a) = 0.Diremo chea è uno zero di ordinen sef(k)(a) = 0 per ogni 0 k n 1 ef(n)(a) ,= 0.Esempi: la funzionef(z) = (z 1)3ha uno zero di ordine 3 ina = 1;la funzionef(z) = (senz)2ha uno zero di ordine 2 ina = 0.In particolare, zero del primo ordine vuol diref(a) = 0 , maf

(a) ,= 0.Nel campo reale una funzione (non nulla)C può avere uno zero di ordine innito.Esempio: la funzione(11.2) f(x) =_e1x2x ,= 00 x = 0èunafunzionediclasseCed ènullain0contuttelesuederivate. Quindilasommadellaserie di Taylor in un intorno di 0 è nulla. Ne segue chefnon è sviluppabile in serie di Taylor.Può succedere una cosa analoga nel campo complesso?No, tranne sef= 0. Infatti vale il seguente teorema di cui non daremo la dimostrazione:Teorema(Principiodegli zeri isolati)Siaf: A I C unafunzioneanaliticanellapertoconnessoA I C . Sono equivalenti le seguenti proposizioni:(i) esistea A tale chef(n)(a) = 0 per ognin 0;(ii)fè nulla in un intorno dia;ANALISI MAT. II 47(iii)fè nulla inA.Sono banali le implicazioni: (iii) (ii)(i).CorollarioSeduefunzioni analitichecoincidonoinunintornodi a A, alloracoincidonoovunque (principio di identità ).In realtà , come vedremo in seguito, basta conoscere i valori su un insieme pi` u povero.Corollario Linsieme degli zeri di una funzione analitica non identicamente nulla denita inA(se non è vuoto) è costituito da punti isolati ed è privo di punti di accumulazione appartenentiadA.Dimostrazione Siafanalitica e siaa un suo zero di ordinen 1. Alloraf(z) = (z a)n[cn +cn+1(z a) +cn+2(z a)2+. . . ].Chiamiamog(z)lafunzionetraparentesi quadre; gèanaliticainunintornodi aequindiècontinua. Inoltreg(a) =cn ,= 0. Quindi g(z) ,= 0intuttounintornodi a(bastaapplicareilteorema della permanenza del segno alla funzione reale [g(z)[). Ne segue che a è uno zero isolatodif(poichè (z a)nsi annulla solo ina).Inoltre non può esistere un punto di accumulazione di zeri inA perchè sarebbe esso stesso unozero (per continuità ) in contraddizione con il fatto che gli zeri sono isolati.Dal corollario segue che per ogniz I Csi hasen2z +cos2z 1 = 0.Infatti poichè per ognix I R si hasen2x +cos2x 1 = 0, la funzionef(z) = sen2z +cos2z 1ammette un insieme di zeri che non e costituito da punti isolati (asse dellex). Dunque grazieal corollario si ha chef(z) deve essere identicamente nulla.PrincipiodiidentitàDal corollario precedente si ha che vale il seguente principio di identità delle funzioni analitiche:unafunzioneanalitica ètotalmenteindividuatadaivaloricheessaassumeinunsottoinsiemedel suo dominio che sia dotato di un punto di accumulazione appartenente allo stesso dominio.ProlungamentoanaliticoDa quanto appena visto, datoI I R un intervallo edf: I I R, se esiste una funzione analiticadenita in un aperto A I Ctale che I AI R la cui restrizione ad Icoincide con f, allora talefunzione è univocamente determinata ed è detta prolungamento analitico.Le funzioni ez, coszesenz, conz I C , sono i prolungamenti analitici di ex, cosx esenx, conx I R. InoltreilprolungamentoanaliticoesistesempreperlefunzionisviluppabiliinseriediTaylor, cioè per quelle per cui si haf(x) =

n0f(n)(x0)n!(x x0)nx I =]x0 R, x0 +R[ I R.In tal caso il prolungamento analitico èf(z) =

n0f(n)(x0)n!(z x0)nz I = Br(x0) I C.Questo motiva gli sviluppi delle funzioni elementari dati nella sezione 9.48 V.DECICCOD.GIACHETTIDiseguaglianzadiCauchyAbbiamo visto (formula (??)) che sefè analitica inA I C , allora il suo sviluppo in un puntoa Af(z) =

n0cn(z a)nè unico nel senso checn =f(n)(a)n!=12i_f(z)(z a)n+1dz,dove è una curva chiusa che circuitaa. Quindidue (11.3) f(n)(a) =n!2i_f(z)(z a)n+1dz.Siauna circonferenza di centroa e raggior, allora pern = 0 si haf(a) =12i_f(z)z adz =12i2_0f(a +reit)reitireitdt =122_0f(a +reit)dt.Ciòsignicacheil valoref(a)inunpuntoa Asi ottienecomemediaintegraledei valorichef assumesuunaqualunquecirconferenzadi centroa, contenutainA. Separandoparterealeeparteimmaginaria, si ottieneunrisultatoanalogoper u=Ref eper v=Imf, chedunque godono della stessa proprietà della media. Si potrebbe dimostrare pi` u in generale chetale proprietà è caratteristica delle funzioni armoniche.Dalla formula (??) con = r, dettoM(r) := max[f(z)[ : z r,si haduea (11.4) [cn[ 12M(r)rn+1 2r =M(r)rnperogni n INeperogni r> 0talecheBr(a) A. Questultima èdettadiseguaglianzadiCauchy.TeoremadiLiouvilleSefè analitica su I Ccon [f(z)[ M, allorafè costante.Dimostrazione PoichèA = I C , la formula (??) vale conr arbitrario. Quindi[cn[ M(r)rnr > 0.Facendo tenderer si hacn = 0 n IN 0.Quindif(z) = c0 = costante.Usando il teorema di Liouville si può dimostrare il seguenteTeoremafondamentaledellalgebraOgni polinomio a coecienti complessi ha almeno uno zero (in realtà ne ha esattamenten).ANALISI MAT. II 4912. Singolarit` aeseriebilatereintegrDenizione Dataf:A I C una funzione analitica inA,un puntoz0 I C si dice un puntosingolare isolato o una singolarità isolata perfsez0/ A, ma esiste un intorno foratoBr(z0) := Br(z0) z0 = z I C: 0 < [z z0[ < rtutto contenuto inA.Si osservi che un punto singolare isolato è necessariamente un punto di frontiera per lapertoAdi denizione dif(z).Inoltre sef1, f2 sono funzioni analitiche inA, alloraf(z) =f1(z)f2(z)èanaliticainAprivatodegli zeri di f2. Poichèogni zeroz0di f2èisolato(vedi corollarioprecedente) si ha chef(z) è analitica in un intorno foratoBr(z0).Esempi 1) La funzionef(z) =1z2+1ha due singolarità isolate nei puntii e i.2) La funzionef(z) =senzzha una singolarità isolata nel punto 0.classificazione12.1. Classicazionedellesingolarità. Andiamo ora a classicare le singolarità isolate.Siaf: A I Cuna funzione analitica e siaz0 I Cuna singolarità isolata.Primocaso: singolaritàeliminabili.Supponiamo che esista in I Cil limitelimzz0f(z) = I C.Quindi si ha che la funzione(12.1)f(z) =_f(z) z A z = z0è analitica in un intorno diz0(ed è il prolungamento analitico dif). In tal casoz0si dice unasingolarità eliminabile.Nellesempiof(z) =senzzsi ha chez = 0 è una singolarità eliminabile. Infattisenzz=1z

n0(1)nz2n+1(2n + 1)!=

n0(1)nz2n(2n + 1)!= 1 z23!+z45!+. . .elimz0senzz= 1.Secondocaso: poli.Supponiamo che per un certon IN = IN 0 la funzioneg(z) = (z z0)nf(z)ammetta un limite ,= 0 perz z0, cioèlimzz0(z z0)nf(z) = .In tal caso si dice chez0 è un polo di ordinen perf.Ciò signica chef(z) si comporta perz z0 come(zz0)n.50 V.DECICCOD.GIACHETTISi noti che in tal casolimzz0f(z) = nel senso chelimzz0[f(z)[ = +.Come esempio consideriamof(z) =f1(z)f2(z)e siaz0 uno zero (di ordinen) dif2 tale chef1 non si annulli inz0. Alloraf2 si fattorizza comef2(z) = (z z0)nf3(z)conf3(z0) ,= 0. Quindif(z) =f1(z)(z z0)nf3(z)da cui segue chelimzz0g(z) =limzz0(z z0)nf(z) =limzz0f1(z)f3(z)=f1(z0)f3(z0)= ,= 0e quindiz0 è un polo di ordinen perf.Esempi: 1) La funzionef(z) =1z2+1ha due poli semplici: i e i.2) La funzionef(z) =1(z21)2ha due poli doppi: 1 e 1.Terzocaso: singolaritàessenzialiUn punto singolarez0che non sia nè una singolarità eliminabile, nè un polo, si dice una singo-laritàessenziale. In tal caso non esiste il limite di fperz z0, anzi questa è una condizionenecessaria e suciente perchèz0 sia una singolarità essenziale.Esempi: 1) La funzionef(z) = e1zha una singolarità essenziale in 0. Infatti basta guardare ilcomportamento della sua restrizione allasse dellex che ha limiti diversi perx 0+ex 0.2) La funzionef(z) =sen(1z) ha una singolarità essenziale in 0, poichè non esiste il limite perx 0.3) La funzionef(z) = e1z2ha una singolarità essenziale in 0. Infattilimz=x0e1x2= +,mentrelimz=iy0e1z2= limy0e1y2= 0.Osservazione Possono esserci punti singolari non isolati. Basta considerare la funzionef(z) =1sen1zha come punti singolari i puntiz = 0 ezk =1k,k Z; in particolare il puntoz = 0 = limk+1k;dunque 0 non è isolato, ma punto di accumulazione di altri punti singolari.ANALISI MAT. II 51residui12.2. Residui. Siaf : A I C unafunzioneanaliticaesiaz0 I C unasingolaritàisolata.Denizione Si denisce residuo difinz0 il numerores(f, z0) :=12i_f(z)dz,dove è un circuito contenuto inA e contenentez0 e nessuna altra singolarità dif. Si noti cheladenizione èbenpostapoichèabbiamovistoche12i_ f(z)dznondipendedallasceltadelcircuito.La seguente proposizione dà una formula molto utile per calcolare il residuo nel caso di un poloe che non richiede integrazioni:Proposizione Siaf: A I Cuna funzione analitica e siaz0 I Cun polo di ordinen; allorass (12.2) res(f, z0) =1(n 1)!limzz0dn1dzn1((z z0)nf(z)).DimostrazioneSiaz0I C unpolodi ordine n, alloralafunzione g(z) =(z z0)nf(z),opportunamenteprolungataanaliticamente, èanaliticainunintornodi zo. Calcoliamolesuederivate usando la formula (??) e si hadn1gdzn1(z0) =(n 1)!2i_g(z)(z z0)ndz =(n 1)!2i_f(z)dz,dove è una circonferenza di centroz0 e raggior contenuta inA. Quindi1(n 1)!limzz0dn1dzn1((z z0)nf(z)) ==1(n 1)!dn1dzn1((z z0)nf(z0))) =12i_f(z)dz = res(f, z0).Osservazione Sez0 I Cè un polo di ordine 1 (polo semplice) si hares(f, z0) =limzz0(z z0)f(z).Esempi 1) Sia f(z) =1senz, allora z0 = 0 è un polo semplice perchè g(z) = z1senzha limite = 1perz 0. Inoltreres(f, 0) = limz0z1senz= 1.Anche i puntizk =k,k Z,k ,= 0 sono poli semplici conres(f, k) = (1)k. Infatti vale laseguente formula (vericarla per esercizio):senz = (1)ksen(z k)per ognik Ze quindires(f, k) =limzk(z k)1senz=limzk(z k)1(1)ksen(z k)= (1)k.52 V.DECICCOD.GIACHETTI2)Siaf(z)=1zsenz, alloraz0=0 èunpolodoppioperchèg(z)=z2 1zsenz=z1senzhalimite = 1 perz 0. Inoltreres(f, 0) = limz0ddz_zsenz_= limz0senz zcoszsen2z.Usando gli sviluppi di Taylor si ha al numeratore z z33! z(1z22!)+o(z3) = z3(13! +12!)+o(z3)ed al denominatorez2+o(z3). Quindi il residuo nellorigine è 0.3) Siaf(z) =senzz, alloraz0 = 0 è una singolarità eliminabile eres(f, 0) = 0.4) Siaf(z) =senzz22, alloraz = ez = sono singolarità eliminabili. Infattilimzsenz(z )(z +)= limzsen(z )(z )(z +)= 12elimzsenz(z )(z +)= limzsen(z +)(z )(z +)=12.Inoltreres(f, ) = 0eres(f, ) = 0.Pi` u in generale, data f(z) =f1(z)f2(z)sia z0 uno zero semplice di f2; dunque f2(z0) = 0 e f

2(z0) ,= 0.Supponiamo inoltre chef1(z0) ,= 0, allorafha un polo semplice inz0(esempio precedente erail caso particolare conf1(z) = 1 edf2(z) = senz). In tal caso si ha(z z0)f1(z)f2(z)=z z0f2(z) f2(z0)f1(z)che tende, perz z0, af1(z0)f

2(z0). Quindi dalla formula (??) si ha777 (12.3) res(f, z0) =f1(z0)f

2(z0).integrali con i residui12.3. Calcolodiintegralipermezzodeiresidui. Dalla denizione di residuo si ha_f(z)dz = 2ires(f, z0)e questa formula viene spesso usata per calcolare lintegrale. Questa formula può essere usataper calcolare lintegrale, se si sa calcolare il residuo, per esempio (come appena visto) nel casodi un polo (derivare è meglio che integrare!)Illustriamo il metodo su un esempio:Esempio DallAnalisi 1 si può calcolare il seguente integrale improprio_11 +x2dx = limr+r_r11 +x2dx = limr+(arctgr arctg(r)) =2 2= .Ritroviamotalerisultatousandoimetodidianalisicomplessa. Siaf(z) :=11+z2(chehapolisemplici ie i)esiail circuitoottenutoconcatenandoil segmento[r, r], r >1, conlaANALISI MAT. II 53semicirconferenzar(t) = reit, 0 t . Allora, poichècontiene solo il poloi (e non i ) siha_11 +z2dz = 2ires(f, i) = 2i limzi1z +i= .Daltra parte_11 +z2dz =r_r11 +x2dx +_r11 +z2dze quindi, poichè_11 +x2dx = limr+r_r11 +x2dx,ci basta vedere chelimr+_r11 +z2dz = 0.In eetti, perr +, si ha_r11 +z2dzrr21 0,dove si è usato che [z2+ 1[ [[z2[ 1[ = r21.Il metodo qui esposto si può usare in vari esercizi per calcolare integrali reali dicili da calcolarein ambito reale.serie bilatere12.4. Seriebilatere. Prima di tutto introduciamo la nozione di corona circolare. Si deniscecorona circolare di centroz0 un insieme del tipoCR1R2 = z I C: 0 R1< [z z0[ < R2 +.Esempi di insiemi di questo tipo sono gli intorni forati di raggioR2BR2(z0) = z I C: 0 < [z z0[ < R2< +,doveR1 = 0, e linsieme I C = I C 0, doveR1 = 0 eR2 = .È ovvio che sef: A I Cha una singolarità non eliminabile (cioè polo o singolarità essenziale)non è esprimibile come serie di potenze in un intorno diz0 (la somma di una serie di potenze èanalitica!). In questa sezione vedremo che invecefsi scriverà in una cosiddetta serie bilatera.Una serie bilatera è unespressione del tipoTT (12.4)

2 si ha lo sviluppo di Laurentf(z) =

n01zn+1 +

n02nzn+1=

n02n1zn+1, per [z[ > 2.Osserviamo che in questultimo caso non cè parte regolare.Per la stessa funzionefconsideriamo adesso lo sviluppo di Laurent inz0 = 1. Si ha chef(z) = 1z 1 +1z 2= 1z 1 +1z 1 156 V.DECICCOD.GIACHETTIe se [z 1[ < 11z 2=1z 1 1=

n0(z 1)n,e quindif(z) = 1z 1

n0(z 1)n,mentre se [z 1[ > 11z 2=1z 1

n01(z 1)n=

n01(z 1)n+1e quindif(z) = 1z 1 +

n01(z 1)n+1.Vediamo ora qual è il legame tra la natura di un punto singolare isolato z0 di f ed il suo sviluppodi Laurent nellintorno foratoBr(z0) (conr strettamente minore della distanza diz0 dagli altripunti singolari).Innanzitutto osserviamo che pern = 1 si hac1 =12i_f(z)dz = res(f, z0),dovec1 è il coeciente (1)-esimo (quindi di (z z0)1=1zz0) dello sviluppo di Laurent.Proposizione Siaf: A I Cuna funzione analitica, siaz0 I Cuna singolarità isolata e siaf(z) =

nZcn(z z0)nlo sviluppo di Laurent difin un intorno forato diz0. Allora(i)z0 è eliminabile se e solo se la parte singolare è nulla, cioècn = 0 per ognin > 0, e quindif(z) =

n0cn(z z0)nche è lo sviluppo di Taylor dif.(ii)z0 è un polo di ordinen0 se e solocn0 ,= 0 ecn = 0 per ognin > n0, e quindif(z) =

nn0cn(z z0)n.(iii)z0 è una singolarità essenziale se e solocn ,= 0 per inniti indicin, e quindif(z) =

nZcn(z z0)n.Dimostrazione(i) Se la singolarità è eliminabile, allora non cè parte singolare e allora lo sviluppo di Laurentin un intorno diz0 si riduce a quello di Taylor.ANALISI MAT. II 57(ii) sez0 è un polo di ordinen0, allora esiste il limitelimzz0(z z0)n0f(z) = equindilafunzioneg(z)=(z z0)n0f(z)completatanelpuntoz0colvalorelimite ,=0,èanalitica. Quindi(z z0)n0f(z) = a0 +a1(z z0) + +an(z z0)n+. . . ,cona0 ,= 0 e di conseguenzaf(z) =(z z0)n0+a1(z z0)n01 + +c1z z0+c0 +c1(z z0) + +cn(z z0)n+. . . ,dove =cn0=a0 ,= 0 e tutti i coecienti precedentick, conk 0. Allora_f(x)dx = 2ir

k=1res(f, zk).Un altro lemma tecnico che si usa spesso è il seguente:LemmadiJordanSia f una funzione denita e continua in un settore angolare S contenuto nel semipiano Imz 0,i.e.S = z I C: 0 1 Arg(z) 2 .Supponiamo inoltre che lim|z|f(z) = 0, alloralimR_Rf(z)eizdz = 0,dove R è lintersezione della circonferenza di raggio R e centro lorigine con il settore considerato.Diamo ora un esempio dove si usa tale lemma.EsempioCalcoliamo lintegrale improprio_cosxx2+b2dx, b (0, +).Poichècosxx2+b2= Re_eixx2+b2_,si ha che_cosxx2+b2dx = Re_eixx2+b2dx.Consideriamo la funzionef(z) =1z2+b2. Poichè lim|z|f(z) = 0, dal Lemma di Jordan si halimR_Reizz2+b2dz = 0.Quindi seè il circuito ottenuto concatenandoRcon il segmento [R, R] dellasse dellex siha_eixx2+b2dx :=limRR_Reixx2+b2dx =limR_eizz2+b2dz.Oracalcoliamo questultimointegraleusandoiresidui. La funzioneg(z) :=eizz2+b2ha duepolisempliciz = b i ez = b i, di cui solo il primo cade nel semipianoImz 0. Usando la formula(??) si hares_eizz2+b2, i b_=ei i b2i b= eb2bi.62 V.DECICCOD.GIACHETTIQuindi dal teorema dei residui si ha_eizz2+b2dz = 2 ieb2bi =ebbe concludendo si ha+_cosxx2+b2dx = Re_eixx2+b2dx = Re__ limR_eizz2+b2dz__= Re_ limRebb_=ebb.Lo stesso procedimento si può usare per calcolare integrali impropri del tipoF() =_eixf(x)dxconrealepositivoedf(z)talechelim|z|f(z)=0, conunnumeronitodi singolaritàz1, . . . , zrnel semipianoImz> 0 e nessuna singolarità sullasse reale. AlloraF() = 2ir

k=1res(eizf(z), zk).Si possono calcolare anche integrali impropri del tipoF() =_eixf(x)dxconrealenegativoedf(z)talechelim|z|f(z)=0, conunnumeronitodi singolaritàz1, . . . , zrnel semipianoImz< 0 e nessuna singolarità sullasse reale. In tal casoF() = 2ir

k=1res(eizf(z), zk).Lultimo lemma tecnico che consideriamo è il seguente:LemmadelpolosempliceSiafunafunzioneanaliticainunintornoforatodellorigineedabbiaintaleintornounpolosemplice; alloralimr0_rf(z)dz = i res(f, 0),dover è la semicirconferenza di equazionez = reit, 0 t .Vediamo ora luso di questo Lemma con il seguente esempio:EsempioCalcoliamo lintegrale improprio+_0senxxdx := limr0R+R_rsenxxdx.ANALISI MAT. II 63Consideriamo la funzionef(z) =eizze sia è il circuitorR ottenuto prendendo le due semicir-conferenze di raggioredR,r 0 e se lim|z|f(z)z = 0. In tal caso si ha_f(x)dx = 2ir

k=1res(f(z), zk) +in

j=1res(f(z), pj).ANALISI MAT. II 6514. Trasformatadi LaplaceLaplaceSi veda dispensa a parte.15. BibliografiabiblioFusco, Marcellini, Sbordone: Analisi matematica due. Ed. LiguoriBramanti, Pagani, Salsa: Matematica Calcolo innitesimale e algebra lineare. Ed. ZanichelliBarozzi: Matematica per lingegneria dellinformazione. Ed. ZanichelliE-mail address: [email protected] address: [email protected] Metodi eModelli Matematici, Universit` adi RomaLaSapienza, ViaA. Scarpa16,00161Roma,Italy

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