Viscoelasticità lineare

VISCOELASTICITA' LINEAREViscoelastici sono quei materiali con caratteristiche sia elastiche (di Hooke) che

viscose (Newtoniano). Questi sono infatti due casi estremi di un ampio spettro di

comportamenti.

Fenomeni viscoelastici caratteristici sono:

a). RILASSAMENTO (tensione a deformazione costante): quando un corpo è

rapidamente deformato e la deformazione è mantenuta costante la tensione indotta

nel corpo decresce nel tempo.

b). CREEP (deformazione a carico costante): quando un corpo è rapidamente posto

in tensione e la tensione è mantenuta costante il corpo continua a deformarsi.

c). ISTERESI: In un corpo sottoposto ad un carico ciclico, la relazione tensione-

deformazione per carichi crescenti è, in certa misura, diversa da quella per carichi

decrescenti.

Viscoelasticità lineare

� Limitandosi al caso monodimensionale, il comportamento viscoelastico dei materiali è spesso descritto mediante modelli meccanici, composti da combinazioni di molle lineari (prive di massa) con costanti elastiche Ei e di ammortizzatori viscosi con coefficienti di viscosità µ.

� Indichiamo con σ la forza e con ε la deformazione, ricordando che la deformazione risponde alla definizione ε = ∆l/l , rapporto tra l'allungamento e la lunghezza iniziale del corpo considerato.

� Nella viscoelasticità lineare sforzo e deformazione sono legati da una relazione del tipo:

0 1 2 0 1 2....... .......n n

n nn na a a a b b b bσ σ σ ε ε ε+ + + + = + + + +��

comportamento viscoelastico

comportamento lineare elastico

σ σσ

ε

E

fluido newtoniano

ε

σσ µ

solido viscoelastico

E σµ

σ

ε2ε1

µ

Modello di Maxwell

E

ε

σσ

µ

Modello di Voigt

ε2ε1E2

ε

E1

σσ

µ

Modello di Kelvin

Maxwell

La deformazione complessiva è la somma della deformazione della molla

e di quella dello smorzatore, cioè dell'elemento elastico e di quello viscoso.

Si ha quindi:

1 2

1 2

dtE

E

EE

σ σε ε ε

µ

σ σε ε ε

µ

σ σ εµ

= + = +

= + = +

+ =

∫�

� � �

��

rilassamento-1

t

ε (t)=1

0 0 0

0

integrando si ha:

( ) ( ) (0)

in cui si deve ricordare che la derivata della funzione a gradino

è l'impulso unitario (0).Si ha quindi:

s

E E Et t t

E E Et t t

Et

Ee e E e

de d d e E e d

d

e E

µ µ µ

τ τ τµ µ µ

µ

σ σ εµ

σ τ σ δ ττ

δ

σ σ

+ ==

= =

− =

∫ ∫ ∫

��

0e si assume 0 si ottiene:

Et

Ee µ

σ

σ−

=

=

rilassamento-2

t

E ( )

Et

t Ee µσ−

=

1

2 11 1

Et

Et

eE

e

µ

µ

σε

ε ε

−

−

= =

= − = −

t

1

2( ) 1

Et

t e µε−

= −

1( )

Et

t e µε−

=

creep

1

2

0

1( )

1( )

t

tE E

t d t t

σε

σ σε τ

µ µ µ

= =

= = =∫

t

ε1 (t)=1/E

t

ε2 (t)=1/µ*t

t

1 2

1 1t

Eε ε

µ+ = +

Voigt

1 2 Eσ σ σ ε µε= + = + �

Rilassamento *1( ) (0)E tσ µδ= +

t

E

* (0) Eσ µ δ= +

CREEP

0

0 0

1 11( ) 0 1( )*

1 1( ) 1( )* ( ) 1( )*

1 1 1( 1) ( 1) (1 )

E E Et t t

E E E Et tt t

E E E E Et t

E Et in cui e e t e

d de t e e d e d

dt d

e e e e eE E E

µ µ µ

τ τµ µ µ µ

τ τ τµ µ µ µ µ

ε ε ε ε εµ µ µ µ

ε ε τ τ τµ τ µ

µ µε ε

µ µ

− −

+ = = + =

= =

= − = − = −

∫ ∫

� �

creep

1

t

1/E

1( ) (1 )

E

t eE

τµε

−

= −

t

1( ) 1

Et

t e µσ−

= −

2( )

Et

t e µσ−

=

considerazioni

KELVIN

1 1 2 2 2 21 2

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 2 1 22 1 2

1 1 2 1

(1 )

(1 ) (1 )

E E

E E E

E E

E E

E EE E

E E E E

σ σ σ σ σ σ σ ε σ εε ε ε

µ µ µ

σ σε ε

µ µ

µ σ µσ ε µ ε ε ε

− − − −= + = + = + = +

+ = + +

+ = + + = + +

�� � � �� � �

��

�� �

1

1

1 2

2 1

2

costante di tempo del rilassamento a deformazione costante

(1 ) costante di tempo del creep a sforzo costante

si ottiene

( )

TE

ET

E E

T E T

ε

σ

ε σ

µ

µ

σ σ ε ε

=

= +

+ = + ��

2

2

20 0

0

1 1( 1( ) (0)) moltiplicando tutti i termini per

1 1( ) ( 1( ) (0) )

integrando si ha:

1( ) ( 1( ) (0)

t

T

t t t t t

T T T T T

t

t tT T T

TE t e

T T T

Tde e e E t e e

T dt T T

Tde d e E e d

d T T

ε

ε ε ε ε ε

ε ε ε

σ

ε ε σ

σ

ε ε σ

τ τ τ

σ

ε σ

σ σ δ

σ σ σ δ

σ τ σ τ τ δτ

+ = +

+ = = +

= = +

∫ ∫

�

�

0

0 2 2

0

2 2 0 2 1 2

0 1

)

( 1) 1 ( 1)

ponendo 0 :

( ) ( 1) 1 (1 ) ponendo (1 ) :

( ) ( )

tt

T

T T T

T T T

T

e d

T T Te E e E e

T T T

si ha

T T Tt E e e E e E E si ha

T T T

t e

ε

ε ε ε

ε ε ε

ε

τ τ τ

σ ε σ

ε σ ε

τ τ τ

σ σ σ

ε ε ε

τ

τ

σ σ

σ

σ α α

σ α α

− −

−

− = − + = − +

=

= − + = − − = = −

= +

∫

rilassamento

t

E2

E2+E1

RILASSAMENTO

creep

0 1

2

0 1

2 2

1( ) 1 (1 ) ( )

1 1(1 )

T TTt e e

E T

Tcon e

E E T

ε ε

τ τ

ε

σ

ε

σ

ε β β

β β

= − − = −

= = −

t

1/E2

2 1 2

1 1T

E T E E

ε

σ

=+

EQUIVALENZA

E2

ε

E1

σσ

µ

E3

ε2ε1

E2

ε

E1

σσ

µ

Spazio degli stati

X AX BI

U CX DI

= +

= +

�I = ε ε ε ε U = σ σ σ σ

X

1 1 2 1 2 1 12

1 1 1 1 1

1 2 2 1 1 2

( ) ( )

( ) ( )

E E I E EX I

E E E X E E I

σ ε ε εε

µ µ µ µ µ

σ ε ε ε

− −= = = = −

= − + = − + +

�

con X(0) = 0

Creep

I = σ σ σ σ U = ε ε ε ε X

1 2 2

1 2

1 2

1 1 2 1 2

1 1 1 2 1 1 1 22 2 2

1 1 1 2 1 1 2 1 1

1 1 1 2

1 1 2 1 1

1

1 2 1 2

( )

( )

(1 ) (1 )

in altri termini:

(1 ) (1 )

1

E E

EU

E E

poichè E

E E E E E E E

E E E E E

E E E EX X I

E E E

EU X I

E E E E

σ ε ε ε

σ εε

σ µ ε ε ε

σ εε ε ε σ

µ µ µ µ

µ µ

= − +

+= =

+

= = −

+= − + = − − + +

+ +

= − − + ++

= ++ +

�

�

�

modelli generalizzati- Kelvin

modelli generalizzati - Maxwell

modelli generalizzati

modelli generalizzati

modello di boltzman

� La formulazione più generale sotto l’assunzione di linearità tra causa ed effetto è dovuta a Boltzman.Se la funzione σσσσ(t) è continua e differenziabile l’incremento di carico all’istante τ τ τ τ in un intervallo din un intervallo din un intervallo din un intervallo dττττèèèè (d((d((d((d(σ)σ)σ)σ)/d/d/d/dττττ)*d)*d)*d)*dττττ. Questo elemento produrr. Questo elemento produrr. Questo elemento produrr. Questo elemento produrràààà al tempo t > al tempo t > al tempo t > al tempo t > τ τ τ τ llll’’’’effetto:effetto:effetto:effetto:

dove c(t-ττττ) ) ) ) èèèè la funzione di creep, ciola funzione di creep, ciola funzione di creep, ciola funzione di creep, cioèèèè la risposta del materiale ad uno step la risposta del materiale ad uno step la risposta del materiale ad uno step la risposta del materiale ad uno step unitario. Se lunitario. Se lunitario. Se lunitario. Se l’’’’inizio dei tempi inizio dei tempi inizio dei tempi inizio dei tempi èèèè preso allpreso allpreso allpreso all’’’’inizio del moto e del carico si ha: inizio del moto e del carico si ha: inizio del moto e del carico si ha: inizio del moto e del carico si ha:

Boltzman

sollecitazioni armoniche

energia dissipatala massima energia dissipata si ha per:

Il muscolo scheletrico

Struttura

Struttura di attivazione del muscolo

Struttura delle fibre muscolari

Il sarcomero

Filamento

Struttura del sarcomero

Giunzione neuromuscolare

Contrazione

La contrazione

La contrazione

Impulso di eccitazione

Tetano

Caratteristica del muscolo

Fibre lente e veloci

Sinergia

Esperimenti di Hill

Relazione forza velocità

Modello di Hill

Forma adimensionale

Forma adimensionale

Forza-Lunghezza

Le costanti

Modello a tre elementi di Hill

Significato dei parametri

Il significato dei vari elementi

Equazioni di base

Le equazioni

Caratteristica di PE

Caratteristica di CE

���������� ���� �� ����

������� �� ����������

Equazioni

Schema a blocchi

Prova isotonica

Funzione di attivazione

Caratterizzazione di SE

Caratterizzazione di SE

Forza sviluppata dopo l’accorciamento

Funzione di trasferimento

Muscolo eccitato da forza esterna

Legge di spostamento in input

Appoggio monopodalico

Appoggio monopodalico

Appoggio monopodalico

Appoggio monopodalico

Cooperazione muscolare

Struttura del femore

Struttura di un giunto

Coefficienti d’attrito

Funzione dei muscoli per gruppi

Struttura degli arti inferiori

Ginocchio

Caratteristica di un legamento

Il problema della ridondanza

Le equazioni di equilibrio statico

, , ,

, , ,

, , ,

0

0

0

0

i j k

e x c x m xi j k

i j k

e y c y m yi j k

i j k

e z c z m zi j k

i j k

e e c c m m ni j m n

F F F

F F F

F F F

+ + =

+ + =

+ + =

× + × + × + =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑r F r F r F M

Si tratta di 6 equazioni scalari, sufficienti per la determinazione di 6 parametri incogniti. In un caso piano

le equazioni si riducono a 3.

Ridondanza

� le incognite sono in generale in numero molto maggiore delle

equazioni disponibili a causa del fatto che in ogni giunto agiscono

una molteplicità di muscoli. Se ci riferiamo ad un sistema

equivalente nel piano potremo considerare invece che le singole

azioni muscolari il loro momento risultante insieme alle due

componenti delle azioni di contatto nel giunto. In questo caso il

sistema risulta determinato.

Equilibrio

statico

Un problema

ortopedico

Soluzione

Flessione frontale del ginocchio

Soltanto l’introduzione di qualche

elemento noto, come la forza esercitata

dal legamento collaterale laterale

permette di risolvere il problema. Ci si

può riferire ad esempio alla caratteristica

meccanica del legamento. Un’altra

possibilità è data dal principio dei lavori

virtuali.230 N

Modello della flessione nel piano frontale

F1

N

FM

b

c

a

FL

1( ( )* ( , ) )* ( )* 1* ( )* 0m

f t FM N a f t F b FL cϑ ϑ ϑ+ − + =�

L’effetto dinamico

� Nel caso precedente entra in gioco anche il

tempo necessario per attivare il muscolo,

dell’ordine di 20 ms. Se l’azione esterna

dovesse essere molto più rapida, l’unica

possibilità di reazione sarebbe data dal

legamento.

Uno schema logico del problema

LCS0

V0 C

LC=LC-∆

∆

∆MFL

∆�

∆L η S

∆�

F1 N

∫

Qualche

risultato

Effetto di una forza laterale sulle azioni di contatto

Effetto di un’azione orizzontale

Ottimizzazione delle

forze nei tendini della

mano

Metodi di ottimizzazione

1, 2 7 1 2 7

11 1 12 2 17 7

21 1 22 2 27 7

::

( ,....... ) .......

:

.........

( ......... )

0 1, 2,....,7

x

y

i

MINIMIZZARE

f F F F F F F

sotto lecondizioni di vincolo

b F b F b F M

b F b F b F M

F per i

= + + +

+ + + = −

− + + + = −

≥ =

Risultati

Funzione obbiettivo

� piu’ realisticamente la funzione obbiettivo può essere assunta come:

71 21, 2 7

2 2 7

( ,....... ) .......FF F

f F F FA A A

= + + +

Esempio

F1

N

FM

b

c

a

FL

minimizzare:

f = FM+FL

sotto le condizioni

FM*a + FL*c = F1*b – N*a

Ottimizzazione

� Si osservi che ponendo le incognite FM e FL rappresentate dalle lettere x1, x2 l’espressione:

� che intercetta l’asse x1 nel punto x1 = cost/a e l’asse x2 nel punto x2 =

cost/c. Anche l’equazione x1 + x2 = cost rappresenta una retta inclinata

di 135°rispetto all’asse x1. Una condizione ulteriore è che le forze muscolari e tendinee non possono essere negative, cioè di

compressione, e devono avere limiti imposti dalle caratteristiche di resistenza del materiale. Si ha quindi :

1 1,

2 2,

0

0

MAX

MAX

x x

x x

≤ ≤

≤ ≤

L’ottimizzazione come problema

geometrico

x1MAX

x2

x2MAX

x1+ x2= cost

ax1+ cx2= cost

x1

Il ginocchio con linprog

dati antropometrici

Proporzioni delle sezioni del corpo

Effetto delle forze d’inerzia

Effetto della variazione del

punto di contatto

nell’articolazione

Determinazione della forzadi contatto e della forza sul legamento patellare

Alcuni esercizi

Esercizi

esercizi

esercizi

esercizi

Struttura del materiale osseo

Struttura

del

materiale

osseo

Materiale ortotropo

Direzioni di

anisotropia

Caratteristiche dell’osso corticale

Sforzi di rottura

Sforzi-deformazioni

Dipendenza dalla densità

Contenuto di calcio

Fatica e creep

Fatica e creep

Danneggiamento del materiale osseo

Sensibilita’ alla velocità di applicazione del carico

Danneggiamento

Proprietà del’osso trabecolare

Effetto di “stress shielding”

Un semplice modello del materiale osseo

Dominio di snervamento

Proprietà anisotropiche dell’osso femorale corticale

Tendini e legamenti

Un modello micromeccanico dei tessuti a base di collagene

Proprietà strutturali dei legamenti

Proprietà di diversi fasci di fibre nel ACL

Relazione ipotetica tra età e modo di rottura

Effetti del ricovero e dell’immobilità

Tipi di matrice

Proprietà meccaniche della cartilagine articolare

Prova di compressione della cartilagine articolare

Prove sulla cartilagine articolare

Dipendenza dal contenuto d’acqua

Dipendenza della permeabilità

Struttura dei dischi intervertebrali

Meccanismo di carico per un disco

Confronto tra disco sano e deteriorato

Curve di creep

Risposta al creep per dischi sani e degenerati

Ernia discale

Tensione nel tendine patellare

Meccanica della caduta

Modello del braccio umano