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Insiemi
• Definizione - Sottoinsieme
• Simbolo di Sottoinsieme
• Relazione di inclusione forte o stretta
AAoppureAA 1 1
AAoppureAA 1 1
• Concetto Primitivo
• Simboli di appartenenza e non appartenenza
Insieme vuoto ø
• Rappresentazione:
• Elencazione
• Diagrammi di Eulero-Venn
• Mediante Proprietà Caratteristica
Ab , Aa
AxAxAAoppureAA 111
ABBABA et
Simbolicamente:
Sottoinsieme:
Uguaglianza:
2
Operazioni con gli Insiemi 1/4 •Operazione con gli Insiemi:
• Unione : A U B
• Intersezione: A ∩ B
• Definizione : insiemi disgiunti : se A ∩ B =ø • Proprietà Commutativa
• Proprietà Associativa
• Proprietà Distributiva
•Differenza di insiemi A \ B (A - B)
• Esempio: A={1 , 2 , 3 , 4} B={2 , 4 , 6}
Trovare AUB, A ∩ B, A\B, B\A
• Esercizio: A U B = (A\B) U (A ∩ B) U (B\A) (insiemi disgiunti)
• Prodotto Cartesiano:
• Es. R x R = R2
B}b e Aa con b)(a, ordinate coppie delle {insieme x B A
ABBA ABBA
CBACBA CBACBA
CABACBA
CABACBA
BA \ AB \BA
A
B
3
Operazioni con gli Insiemi 2/4
• Insieme Universo: U
• Complementazione:
cA oppure A
Leggi di complementarità:
•A ∪ AC = U
•A ∩ AC = Ø
•ØC = U
•UC = Ø
•Se A⊆B, allora BC⊆AC
•Involuzione o legge del doppio complemento:(AC)C = A
•Leggi di De Morgan:
B A BA BA BA
4
Operazioni con gli Insiemi 3/4
•Prima Legge di De Morgan:
B A BA
BA BA
BA A
B BA
•Seconda Legge di De Morgan:
5
Operazioni con gli Insiemi 4/4
Def. Si chiama Partizione di un insieme A una
collezione di sottoinsiemi di A tali che:
• sono a due a due disgiunti
• la loro unione è uguale all’insieme A
•Insieme delle Parti o insieme Potenza: P(A):=“L’insieme di tutti i sottoinsiemi di A (compreso A e l’insieme vuoto Ø)”
• Esempio : Ricavare l’insieme della parti P(A) dell’insieme: A={1 ; 2 ; 3 ; 4}
•ES: P(A)
•Ø
•{1}, {2}, {3}, {4}
•{1;2}, {1;3}, {1;4}, {2;3} , {2;4} , {3;4}
•{1;2;3}, {1;2;4}, {1;3;4}, {2;3;,4}
•{1;2;3;4}=A
6
Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 1/3
•Proposizioni Logiche:
P = “La rosa è un fiore”
Q = “Il leone è un animale domestico”
• Valori di verità: Vero, Falso (“tertium non datur”)
• “Composizione” di proposizioni mediante connettivi
•Connettivi Logici:
• Disgiunzione “o”
è falsa se sia P che Q sono false, altrimenti è vera
• Congiunzione “e”
è vera se sia P che Q sono vere, altrimenti è falsa
• Negazione “non”
è vera quando P è falsa e viceversa
QoPQPQvelP r , ,
QandPQPQetP , ,
,, PnotPP
QP
QP
P
7
Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 2/3
• Implicazione (se.. allora): P → Q
è falsa quando l’ipotesi ( o antecedente) P è vera e la tesi (o
conseguente ) Q è falso, altrimenti è vera
• Coimplicazione (se e solo se): P ↔ Q
è vera quando sia P che Q hanno lo stesso valore di verità
(entrambe vere oppure entrambe false) , altrimenti è falsa
P Q PvQ P^Q P → Q P ↔ Q
V V V V V V
V F V F F F
F V V F V F
F F F F V V
8
Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 3/3
• Esercizio: Verificare che i seguenti enunciati composti hanno le stesse
tavole di verità (a sin e dx del simbolo di identità):
• Doppia negazione:
• Leggi di De Morgan
• Negazione dell’implicazione:
• Contronominale:
• Doppia Implicazione:
AA
BABA BABA
BABA
ABBA
ABBABA
9
Proposizioni Logiche. Soluzioni 1/3
AA
BABA
BABA
A
V F V
F V F
AA
A B
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
BA BA A B BA
A B
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
BA BA A B BA
10
Proposizioni Logiche. Soluzioni 2/3
A B
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
BABA A B
V V V F F F
V F F V V V
F V V F F F
F F V F V F
BA BA B BA
ABBA BA A B AB
11
Proposizioni Logiche. Soluzioni 3/3
A B
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
BA BA
ABBABA
AB ABBA
12
Proposizioni Logiche.
Modus Ponens, Modus Tollens: tautologie.
BABA Modus Ponens:
Modus Tollens: ABBA
Tautologie: Proposizioni sempre vere
Contraddizioni: Proposizioni sempre false BB
Modus Ponens:
Dimostra
affermando
A B
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
BA ABA BABA
BABA
13
Proposizioni Logiche.
Modus Ponens, Modus Tollens: tautologie.
ABBA
Modus Tollens:
Dimostra
Negando
(Reductio ad absurdum)
A B
V V V F F F V
V F F V F F V
F V V F F V V
F F V V V V V
BA BBA ABBA B A
14
QUANTIFICATORI 1 • Scriviamo P(x) per indicare che l’oggetto x soddisfa alla proprietà P ( si parla di
predicati = proposizioni logiche contenenti una o più variabili)
Esempio:
P(x)=“ il numero intero x è un numero pari”
Allora P(2) è vera mentre P(3) è falsa
• Quantificatore Universale (“per ogni”) : simbolo
• Quantificatore Esistenziale (“esiste”) : simbolo
•Unicità (uno ed uno solo): simbolo !
• a volte si trova : Unicità (uno ed uno solo): simbolo ! !
•Utilizzi:
• esiste un numero pari:
• esiste un numero dispari:
• esiste un numero intero naturale pari:
)(| oppure )(: xPxxPx
)(: xPx
)(: xPNx
15
QUANTIFICATORI 2
)(: xPZx
x0x :R0 , Rx
xxNxN 1*, |1 !
esiste un numero intero pari:
per ogni numero reale, esiste un altro numero reale (zero) che
sommato al precedente lo ripete uguale:
Esiste un unico numero intero naturale che moltiplicato per ogni altro dà come
prodotto l’altro numero
(NON) Commutatività dei Quantificatori
Siano: x<y , x, y numeri reali:
)(: yxy x vera
)( : yxy x
)(: yxx y
falsa
falsa
16
QUANTIFICATORI 3
)(, xPNx )(| xPNxnon tutti i numeri interi naturali sono pari:
Negazione e quantificatori:
)(: )(: xPxxPx )(: )(: xPxxPx
ES. non (tutti gli orsi polari sono bianchi)
“Esiste (almeno un) orso polare che non è bianco”
)(: )(: xPxxPx )(: )(: xPxxPx
ES. non (esiste alcuno studente che ama la storia)
Tutti gli studenti non amano la storia
ES.
17
QUANTIFICATORI 4
Negazione e connettivi logici:
)()( )()( xQxPxQxP
)()( )()( xQxPxQxP
)()( )()( xQxPxQxP
)()( )()( xQxPxQxP
)( )( xPxP )( )( xPxP
Valgono regole analoghe a quelle stabilite per le tabelle di verità.
18
QUANTIFICATORI 5
Cioè: )()(D : xPxx Con :
D(x)=“x è divisibile per 6”
P(x)=“x è pari”
ES. (Giudizio Universale Affermativo (simbolo A))
Si traduca la proposizione: “tutti i numeri divisibili per 6 sono pari”
Traduciamo: “per ogni x : se ( x è divisibile per 6) allora (x è pari)
ES . (Negazione)
)()(D : xPxx )()(D : xPxx
BABA
Poichè:
Cioè:
Traduciamo: “esiste (almeno un) x : ( x è divisibile per 6) et (x NON è pari)
Ossia “esiste almeno un numero divisibile per 6 che non è pari”
19
QUANTIFICATORI 6
Cioè: )()(P : xMxx Con :
P(x)=“x è potenza di 10”
M(x)=“x è multiplo di 7”
ES. (Giudizio Universale Negativo (simbolo E))
Si traduca la proposizione: “nessuna potenza di 10 è multipla di 7”
Traduciamo: “per ogni x : se ( x è una potenza di 10) allora (x non è
multiplo di 7)”
ES . (Negazione)
)()(P : xMxx )()(P : xMxx
BABA
Poichè:
Cioè:
Traduciamo: “esiste (almeno un) x : ( x è potenza di 10) et (x è multiplo di 7)
Ossia “esiste almeno un numero che è potenza di 10 e che è multiplo di 7”
20
QUANTIFICATORI 7
Cioè: )()(N : xPxx Con :
N(x)=“x è numero naturale”
P(x)=“x è primo”
ES. (Giudizio Particolare Affermativo (simbolo I))
Si traduca la proposizione: “qualche numero naturale è primo”
Traduciamo: “esiste (almeno un) x : ( x è un numero naturale) et (x è
primo)”
ES . (Negazione)
)()(N : xPxx
Cioè:
Traduciamo: “ per ogni x : ( x non è un numero naturale) oppure (x NON è primo)
)()(N : xPxx
21
QUANTIFICATORI 8
Cioè: )()(S : xVxx
ES. (Giudizio Particolare Negativo (simbolo O))
Si traduca la proposizione: “qualche serpente non è un animale velenoso”
Traduciamo: “esiste almeno un x : ( x è serpente) et (x non è un animale
velenoso)”
ES . (Negazione)
)()(S : xVxx )()(S : xVxx
Cioè:
Traduciamo: “per ogni x : ( x non è un serpente) oppure (x è velenoso)
Con :
S(x)=“x è un serpente”
V(x)=“x è un animale velenoso”
22
QUANTIFICATORI 8-bis - RIASSUNTO
)()(S : xVxx
Giudizio Particolare Negativo (simbolo O)
(Negazione)
)()(S : xVxx
Giudizio Particolare Affermativo (simbolo I)
(Negazione)
)()(N : xPxx )()(N : xPxx
Giudizio Universale Negativo (simbolo E) (Negazione)
(Negazione)
)()(P : xMxx )()(P : xMxx
)()(D : xPxx
Giudizio Universale Affermativo (simbolo A)
)()(D : xPxx
23
QUANTIFICATORI 9
ES. Negare i seguenti enunciati
“Antonio e Marco stanno studiando”
MAMA “Antonio non sta studiando oppure Marco non sta studiando”
A= “Antonio sta studiando”
M=“Marco sta studiando”
“Se fa bel tempo vado a passeggiare” B= “Fa bel tempo”
P=“Vado a passeggiare”
“fa bel tempo e non vado a passeggiare”
“Se e solo se fa bel tempo allora vado a passeggiare” B= “Fa bel tempo”
P=“Vado a passeggiare”
PBPB
BPPBBPPBBPPBPB
“fa bel tempo e non vado a passeggiare oppure vado a passeggiare e non fa bel
tempo”
24
QUANTIFICATORI 10 ES. Negare i seguenti enunciati
“Qualche uomo ha fame” U(x) = “x è un uomo”
F(x) = “x ha fame”
“Nessun uomo ha fame” U(x) = “x è un uomo”
F(x) = “x ha fame”
)()(:)()(:)()(: xFxUxxFxUxxFxUx
“Qualche uomo ha fame”
)()(:)()(:)()(:)()(: xFxUxxFxUxxFxUxxFxUx
“Per tutte le x se x è un uomo allora x non ha fame”
“nessun uomo ha fame”
[per ogni x: o x non è un uomo o x non ha fame]
BABA BABA BABABA
25
QUANTIFICATORI 11 ES. Negare i seguenti enunciati
“Tutti i rettangoli sono quadrati” R(x) = “x è un rettangolo”
Q(x) = “x è un quadrato”
“tutti gli uomini sono soldati”
)()(:)()(:)()(: xQxRxxQxRxxQxRx
“Qualche rettangolo non è un quadrato”
“qualche uomo non è un soldato”
“tutti i soldati sono eroi” “qualche soldato non è un eroe”
“Qualche cavallo non è bianco” “tutti i cavalli sono bianchi”
“Qualche cavallo è nero” “tutti i cavalli non sono neri”
“se la situazione non cambierà
qualcuno ci rimetterà il posto” “la situazione non cambierà e
nessuno ci rimetterà il posto”
)(:)()(:)()(:)( xRxxSxRxxSxRxxS
26
QUANTIFICATORI 12 ES. Negare i seguenti enunciati
“Tutti i miei compagni sono studiosi ed
intelligenti”
C(x) = “x è un mio compagno”
S(x) = “x è studioso”
I(x) = “x è intelligente”
)()()(:)()()(: xIxSxCxxIxSxCx
“Qualche mio compagno non è studioso oppure non è intelligente”
)()()(: xIxSxCx
27
IMPLICAZIONI (Cond. Necessarie e Sufficienti)
• Si considerino due proposizione P e Q
• Un teorema è un’implicazione del tipo: P→Q. La proposizione P è detta “ipotesi” e Q è
detta “tesi”
• La precedente implicazione può anche leggersi come:
• P è una condizione sufficiente per Q
Oppure
• Q è una condizione necessaria per P
• P è una condizione necessaria e sufficiente per Q equivale a ;
•P→Q et Q →P
•Oppure P↔Q
• Oppure P se e solo se Q
Es. P=“T è un triangolo rettangolo” , Q=“la somma degli angoli interni è 180°”
• P→Q è vera dunque P è condizione sufficiente per Q
E quindi anche Q è condizione necessaria per P.
• Q→P è falsa dunque P non è condizione necessaria per Q (infatti T potrebbe
essere un triangolo qualsiasi)
28
Qualche precisazione sugli insiemi
•
•
• A=B (uguaglianza di insiemi) significa :
BA intende si BA
ABBA
Aa intende si Aa
29
Ridefinizione Operazioni tra insiemi
BxAxxBA |
BxAxxBA |
AxUxAAc |
BxAxxBA |\
BbAabaAxB |),(
Unione
Intersezione
Differenza
Complementazione
Prodotto Cartesiano
BxAxBA Sottoinsieme
A et BBABA Uguaglianza
30
Esercizi Insiemi
BBABA
Es. Si dimostri:
ABABA
Es. Si verifichino le leggi di De Morgan
Es. Si verifichi:
ABA
BAB BAA
BBA
BABA \
AA
31
Relazioni 1/2
Def. Si chiama Relazione tra due insiemi A e B un qualsiasi sottoinsieme del
prodotto cartesiano A x B.
Es. Sia A={a,b,c} e B={1,2,3}
1 2 3
a (a,1) (a,2) (a,3)
b (b,1) (b,2) (b,3)
c (c,1) (c,2) (c,3)
Prodotto Cartesiano A x B
1 2 3
a (a,1) (a,2) (a,3)
b (b,1) (b,2) (b,3)
c (c,1) (c,2) (c,3)
Relazione tra l’insieme A e
l’insieme B
32
Relazioni 2/2
Rappresentazione “sagittale” della relazione
1 2 3
a (a,1) (a,2) (a,3)
b (b,1) (b,2) (b,3)
c (c,1) (c,2) (c,3)
Relazione tra l’insieme A e
l’insieme B
b
a
c
1
2
3
Insieme A
Insieme B
Per dire che la coppia (a,1) fa parte della relazione R data, scriveremo aR1
33
Relazioni d’equivalenza 1/2 Relazioni particolarmente importanti sono le “Relazioni di equivalenza”: esse
sono relazioni di un insieme con se stesso ( ad. es. A x A = A2)
Def. Si chiama Relazione di Equivalenza su un insieme A, una relazione di
A x A che soddisfa alle seguente tre proprietà:
1. Riflessiva :
“ogni elemento di A è in relazione con se stesso” oppure
“ogni elemento di A è equivalente a se stesso”
2. Simmetrica :
“se un elemento a è in relazione ad un elemento b allora
anche b é in relazione ad a” oppure
“ se a è equivalente a b anche b è equivalente ad a”
3. Transitiva
“se a è in relazione a b e b è in relazione a c allora a è in relazione a c” oppure
“se a è equivalente a b e b è equivalente a c allora a è equivalente a c”
34
Relazioni d’equivalenza 2/2 E’ una relazione di un insieme con se stesso. Nel linguaggio della teoria degli
insiemi, indicando la relazione di equivalenza tra gli elementi a e b dell’insieme A
con il simbolo ~ ( a ~ b ) , abbiamo:
1. Riflessiva :
2. Simmetrica
3. Transitiva
aaAa ~
abbase ~ ~
cacbbas ~ ~ ~ e
Ogni relazione di equivalenza “induce” sull’insieme in cui è definita una partizione
“canonica” i cui elementi ( sottoinsiemi di A a due a due disgiunti, la cui unione dà
ancora A) sono le classi di equivalenza della partizione.
L’insieme delle classi di equivalenze è detto Insieme Quoziente.
Es. Classi di resti.
Si consideri l’insieme N (dei numeri naturali).[Suggerimento: ripassare il concetto di
quoziente e resto]
Diciamo che due elementi di N sono equivalenti se hanno lo stesso resto nella
divisione per p (altro numero naturale, maggiore di 2).
Verificare, fissato p, che tale relazione è di equivalenza, e che l’insieme quoziente è
costituito, esattamente, da p elementi che possono essere indicati con [0],[1],…,[p-1]
35
Relazioni d’ordine
Def. Si chiama Relazione di Ordine Parziale su un insieme A, una relazione di
A x A che soddisfa alle seguente tre proprietà (indichiamo la relazione d’ordine parziale
con il simbolo “≤”):
1. Riflessiva
2. Antisimmetrica: “se a è in relazione a b e b è in relazione ad a allora a=b”
3. Transitiva
Es. Nell’insieme R la relazione “≤” è una relazione d’ordine parziale
baabbas e
Def.
b ababa significa
aaa
cacbbas e
36
Funzioni 1/3 Def. Dati due insiemi X e Y, si chiama funzione da X in Y una relazione univoca
di X con Y. Una relazione cioè che faccia corrispondere ad un elemento x di X (al
più) un unico elemento y di Y
Convenzioni
•Scriveremo : f : X →Y ,
X insieme di partenza ( a volte dominio)
Y insieme di arrivo ( a volte codominio)
•In generale la funzione è definitiva in un sottoinsieme del dominio detto insieme
di definizione o campo di esistenza della funzione o dominio (insieme dei punti
da cui partono le frecce nella rappresentazione sagittale ).
•Gli elementi raggiunti dalle “frecce” nell’insieme Y costituiscono l’insieme delle
immagini o codominio della funzione f.
•Se un elemento y dell’insieme di arrivo Y, “proviene” da un elemento x dell’insieme
di partenza X allora diremo che “y è l’immagine di x attraverso la funzione f” e
scriveremo y=f(x): indicheremo quindi x come variabile indipendente ed y come
variabile dipendente. La scrittura y=f(x) potrà fare riferimento al piano cartesiano
ed al grafico della funzione (vedi poi). .
• In generale se f è definita su A sottoinsieme di X a valori in Y scriveremo:
• Indichiamo con f(A) l’insieme delle immagini della funzione f.
YXAf :
37
Funzioni 2/3
Convenzioni
• Con f indichiamo la funzione nella sua totalità ( “legge di corrispondenza” con
dominio e codominio)
• Notiamo che stesse “leggi di corrispondenza” con dominio o codominio diversi
originano funzioni diverse:
•Es. Si consideri la funzione
f: R →R tale che f(x)=x2
essa è va considerata diversa dalle seguenti funzioni
g: R+ →R tale che g(x)=x2
h: R → R+ tale che h(x)=x2
• Con f(x) indichiamo invece l’immagine dell’elemento x dell’insieme di definizione
della funzione
38
Funzioni 3/3
Def. Funzioni Iniettive
Data
Essa è detta iniettiva se YXAf :
)()f( che tali, 212121 xfxxxAxx
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Essa non è iniettiva.
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essa è iniettiva.
Def. Funzioni Suriettive
Data
Essa è detta suriettiva se f(A)=Y YXAf :
Def. Funzioni Biiettive ( o Biunivoche)
Data
Essa è detta biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva YXAf :
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Essa non é suriettiva.
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essa è suriettiva.
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Essa non é biiettiva.
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essa è biiettiva.
39
Funzione Inversa 1/2
Def. Funzione Inversa
Se accade che per ogni y di f(A), f-1(y) è costituito (al più) da un solo elemento
(diciamo x).
Cioè se : f-1(y)={x} per ogni y di f(A)
è possibile considerare la corrispondenza tra y e x come una funzione (in quanto
tale corrispondenza è univoca), tale funzione indicata con f-1 è detta funzione
inversa di f.
Def. Controimmagine
Data
Sia y un elemento dell’insieme delle immagini ( f(A) )della funzione f.
Indichiamo con
Il sottoinsieme di X che contiene tutti gli elementi di X che hanno come immagine
l’elemento y inizialmente selezionato.
YXAf :
XyxfXxyf )(:)(1
Nota: non si confonda la notazione f-1(y) con 1/f(y) (inverso moltiplicativo).
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Allora f-1(4)={-2, 2}.
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Allora f-1(8)={ 2}, f-1(-8)={-2}.
40
Funzione Inversa 2/2
Note
• Evidentemente:
• Una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione f ammetta la
funzione inversa f-1 è che la funzione f sia biunivoca.
• se f è invertibile
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Non essendo biunivoca f non è invertibile.
Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essendo biunivoca f è invertibile e quindi esiste
f-1 . Essa è tale che:
XYAfBf )(:1
RRf :131 )( yyf
xyfyf(x) )( 1
41
Funzione Composta 1/2
Def. Funzione Composta
Siano:
Allora dato x appartenente ad A si consideri y=f(x). La funzione g può “agire” su y
portandolo in un elemento z di Z: cioè z=g(y)=g(f(x).
La funzione h:
È detta funzione composta di g ed f e si scriverà:
Note
• Evidentemente: x= f-1[f(x)] e y=f[f-1(y)]
• La funzione composta è detta funzione
identità (dell’insieme X)
•La funzione composta è detta funzione
identità (dell’insieme Y)
• Spesso si indica con
ffh[f]fh 11 oppure
11 oppure ffh]f[fh
fff 2
x y z
f g
h
42
Funzione Composta 2/2 Es. Siano a(x)=x3 , b(x)= 2x+1 , c(x)=1/x. Si ricavi:
2)( 1 xaacxf 2)(1 xaac 2xc 21
x
)(2
1)()( xbcxabxf
)12(2
112 3
xx
)12(2
13 xcxb
12
1
2
112 3
xx
43
Grafico di una funzione reale di variabile reale
Def. Grafico di una funzione
)(:),()( 2 xfyAxRyxfGr RRAf :
Note
• Il grafico di una funzione interseca una retta verticale (x=k) in (al più) un punto
• Il grafico di una funzione invertibile interseca una retta orizzontale (y=k) in (al più) un
punto
• Il grafico di una funzione ed il grafico della sua funzione inversa sono simmetrici
rispetto alla bisettrice I-III quadrante
Non è il grafico di
una funzione
44
Grafici
Grafico di una
funzione NON
Invertibile
Grafici di una
funzione invertibile e
della sua inversa (e
della bisettrice I-III)
45
Insiemi Numerici ed Operazioni 1/8
Def. N insiemi dei (numeri) Naturali
N={0, 1, 2, 3, …}
Operazione di addizione
( la si definisce tramite il successivo di un numero naturale)
Essa gode delle seguenti proprietà [proprietà gruppali]:
1. Operazione Interna
2. Proprietà Associativa
3. Proprietà Commutativa
4. Elemento Neutro esiste cioè in N un elemento che “sommato” a qualsiasi altro
lo ripete uguale
Tale elemento è indicato con 0.
cbacbaNcba )()( ,,
abbaNba ,
NbaNba ,
aaxxaNxNa : ,
46
Insiemi Numerici ed Operazioni 2/8 Tuttavia i problemi legati all’operazione di addizione hanno richiesto la seguente
proprietà per ogni elemento dell’insieme considerato:
5. Elemento Simmetrico
La quinta proprietà non è soddisfatta in N. Si è così passati a considerare un nuovo
insieme, più ampio del precedente, che contenesse N come sottoinsieme, che
avesse per l’operazione di addizione le stesse prime 4 proprietà ma che
soddisfacesse anche alla quinta.
0 : , axxaNxNa
Def. Z insiemi dei Numeri Interi (Relativi)
Z={…-3,-2,-1,0, 1, 2, 3, …}
Operazione di addizione
Essa gode in Z delle seguenti proprietà:
1. Operazione Interna
2. Proprietà Associativa
3. Proprietà Commutativa
4. Elemento Neutro
5. Elemento Simmetrico
0 : , axxaZxZa
N Z
47
Insiemi Numerici ed Operazioni 3/8 Note
•L’elemento simmetrico di a (rispetto all’operazione di addizione) è indicato con –a.
•Un insieme (come Z) che, rispetto ad una operazione (in questo caso l’addizione),
soddisfa alle proprietà 1,2,4,5 è detto GRUPPO. Se soddisfa anche alla proprietà 3
(commutativa) è detto GRUPPO ABELIANO. Z è un gruppo abeliano rispetto
all’operazione di addizione.
• Cenno: corrispondenza tra alcuni punti della retta e i numeri interi.
Operazione di moltiplicazione
(definita sulla base di addizioni ripetute)
Essa gode in N delle seguenti proprietà:
1. Operazione Interna
2. Proprietà Associativa
3. Proprietà Commutativa
4. Elemento Neutro
Tale elemento è indicato con 1
.
aaxxaNxNa : ,
NbaNba ,
cbacbaNcba )()( ,,
abbaNba ,
48
Insiemi Numerici ed Operazioni 4/8
5. Elemento Simmetrico
Tale proprietà non è soddisfatta in N ( e nemmeno in Z)
Considerate assieme per le due operazioni vale però la :
6. Proprietà Distributiva
1 : ,0\ axxaNxNa
cbcacb) (aNcba ,,
Nota :
Se si vuole estendere a Z, in modo congruente, la proprietà 6 si dimostra
facilmente che deve valere la famosa regola dei segni e la proprietà di
assorbimento dello zero .
Es. 0=0*3=(2+(-2))*3=2*3+(-2)*3 da cui segue che (-2)*3=-6
Es. 0=0*(-3)=(2+(-2))*(-3)=2*(-3)+(-2)*(-3) da cui segue che (-2)*(-3)=+6
Es. (2-2)*x=0*x=2x-2x=0
Per trovare un insieme che soddisfi alla proprietà 5 occorre introdurre l’insieme dei
numeri razionali Q, che contiene Z come sottoinsieme e che soddisfa a tutte le
precedenti proprietà rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione più,
ovviamente , la proprietà dell’elemento simmetrico rispetto all’operazione di
moltiplicazione . Q avrà quindi una struttura di gruppo abeliano rispetto alla
addizione e di gruppo abeliano (in realtà Q\{0}) rispetto alla moltiplicazione (una
tale struttura è nota in algebra con il nome di “CAMPO”).
49
Insiemi Numerici ed Operazioni 5/8
Def. Q insieme dei Numeri Razionali
Znmnn
mQ ,0:
Note
• Q è un insieme denso (tra due numeri razionali se ne trova sempre un terzo e
quindi infiniti)
• N e Z sono discreti
• Punti su una retta e densità di Q
• Tuttavia ci sono ancora infiniti “buchi” sulla retta reale (nessun numero razionale
elevato al quadrato può dare 2 o 3 o 5…)
• Cenno: rappresentazione geometrica (punto sulla retta reale che dovrebbe
corrispondere a √2
• Hanno rappresentazione decimale periodica.
Def. R insieme dei Numeri Reali
Come vengono definiti ?
Mediante successioni di numeri razionali.
Facciamo solo un esempio per √2
mediante una approssimazione con numeri
razionali scritti in base 10:
N Z Q
N Z Q
R
50
Dai numeri razionali ai numeri reali
0 1 √2
51
Insiemi Numerici ed Operazioni 6/8 Facciamo solo un esempio per √2.
Partiamo dai numeri interi e troviamo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui
quadrato è maggiore di 2.
12=1<2 ? 22=4>2
Tra 1,1 e 1,9 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è
maggiore di 2
1,42=1,96<2 ? 1,52=2,25>2
Tra 1,41 e 1,49 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è
maggiore di 2
1,412=1,9881<2 ? 1,422=2,0164>2
Tra 1,411 e 1,419 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è
maggiore di 2
1,4142=1,999396<2 ? 1,4152=2,002225>2
52
Insiemi Numerici ed Operazioni 7/8
Note
• la successione i cui quadrati sono minori di 2 (successione minorante) è crescente
1 < 1,4 < 1,41 < 1,414
• la successione i cui quadrati sono maggiori di 2 (successione maggiorante) è
decrescente
2 > 1,5 > 1,42 > 1,415
• La “distanza” tra i termini corrispondenti è … sempre più piccola
• Le due successione (minorante e maggiorante) non hanno elementi in comune (sono
disgiunte) e … non si intersecano mai … (nessun elemento della minorante è maggiore
di qualche elemento della maggiorante)
• queste precise caratteristiche delle successioni di numeri razionali permettono… di
“costruire” i numeri reali
53
Insiemi Numerici ed Operazioni 8/8
Note SUI NUMERI REALI
• I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta
• Insieme numeri Irrazionale=R\Q
• Per gli insiemi numerici citati valgono le inclusione strette:
• Ogni numero razionale ammette una rappresentazione decimale periodica
• Ogni numero irrazionale ammette una rappresentazione decimale non periodica
• Distinzione tra numeri irrazionali algebrici e trascendenti (come π=3,141592653.. ed
e=2,718281828…)
RQZN
Def.
Def.
0| xRxR
0| xRxR
0|0 xRxR
0|0 xRxR N Z Q
R
54
Intervalli di R
Intervalli: definizione
Dati a,b numeri reali tali che a<b
• [a,b]
• (a,b)
•[a,b)
•(a,b]
bxaRxba :],[
bxaRxba :),(
bxaRxba :),[
bxaRxba :],(
55
Appendice A – Irrazionalità di radice di 2
Teo Non esistono due numeri interi m,n primi tra loro tali che :
2
2
n
m
22 2 nm
Dim Per assurdo, esistano tali interi m,n. Allora:
pari è 2m (*) pari è m 2k m
222 2k4 nm 22k2 n pari è 2n pari è n
pari sono ,nm loro traprimi sononon ,nm !!assurdo! q.e.d.
:(*)nota Se infatti, per assurdo, m fosse dispari, allora il quadrato di m sarebbe dispari.
)12( dipari hmm 144)12( 222 hhhm
dispari 2m (somma di due pari ed uno)
56
Appendice B – Strutture Algebriche : GRUPPI 1/2
Proprietà Operazione:
Dato un insieme A una Operazione (interna) su A è una funzione * tale che:
*: A x A A
G1. Operazione Interna:
G2. Prorietà Associativa:
G3. Elemento Neutro:
G4. Elemento Simmetrico:
G5. Proprietà Commutativa:
, , *( * ) ( * )*a b c A a b c a b c
, * *a b A a b b a
, *a b A a b A
, : * *a A u A a u u a a
1 1 1, : a* *a A a A a a a u
Def. Una Struttura Algebrica è una coppia (A;*) (o una n-upla cositutita da più
insieme e da più operazioni) costituita da un (o più) insieme e da una (o più)
operazione
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Appendice B – Strutture Algebriche 2/2
Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 è detto SEMIGRUPPO
Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 , G3 è detto MONOIDE
Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 , G3 , G4 è detto
GRUPPO
Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 , G3 , G4 , G5 è detto
GRUPPO COMMUTATIVO o ABELIANO
58
Appendice C – Strutture Algebriche : ANELLO
Def. Una Struttura Algebrica costituita da un insieme A e due operazione che
indichiamo con + e * (A;+;*) è detto ANELLO se:
( ; )A È gruppo abeliano con elemento neutro “0”
( ;*)A È un semigruppo
Vale la proprietà distributiva di * rispetto a +
, , *( ) ( * ) ( * )a b c A a b c a b a c
, , ( )* ( * ) ( * )a b c A b c a b a c a
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Appendice D – Strutture Algebriche : CAMPO
Def. Una Struttura Algebrica costituita da un insieme A e due operazione che
indichiamo con + e * (A;+;*) è detto CAMPO se:
( ; )A È gruppo abeliano con elemento neutro “0”
( 0 ;*)A
Vale la proprietà distributiva di * rispetto a +
, , *( ) ( * ) ( * )a b c A a b c a b a c
È gruppo abeliano con elemento neutro “1”