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Função Distância
Dado um espaço X, podemos definir uma função real d -
conhecida como distância - tal que, para os pontos a, b, c X,
valem as seguintes propriedades:
𝑑 𝑎, 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑑 𝑎, 𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏
𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑑 𝑏, 𝑎
𝑑 𝑎, 𝑏 ≤ 𝑑 𝑎, 𝑐 + 𝑑(𝑐, 𝑏)
O Impacto Distância
O conceito de distância tem efeitos de longo alcance em uma
geometria. Tudo desde ângulos até cónicas, área e volume são
de alguma forma dependentes do significado de distância. Tendo
alterado a fórmula de distância para a geometria euclidiana e
visto alguns dos efeitos básicos, deve-se esperar que o efeito
cascata para continuar profundamente em outros conceitos. O
restante desta palestra olha para os diferentes aspectos de uma
geometria com outra distância, para entender sua natureza e
muitas vezes contrastá-los com a geometria euclidiana.
Exemplos de função distância:
Distância Euclidiana
𝑋 = 𝑅2
𝐴 = 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 e 𝐵 = 𝑥𝐵, 𝑦𝐵
𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2+(𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2
Círculo com esta distância: Um círculo de centro C e raio r é o lugar geométrico dos pontos
P cuja distância a C é igual a r
Equação do Círculo de centro C e raio r
𝑑 𝑃, 𝐶 = 𝑟 se e somente se (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2
Exemplo 2: Distância do taxista
A Geometria do taxista ou do pedestre, considerada por
Hermann Minkowski no século XIX, é uma forma de
geometria em que a distância entre dois pontos é a soma das
diferenças absolutas de suas coordenadas. A distância do
taxista é também conhecida como distância L1, ou
distância de Manhattan, com variações correspondentes no
nome da geometria. O último nome faz alusão ao formato
quadriculado da maior parte das ruas na ilha de Manhattan. Tal
configuração faz com que a menor distância a ser percorrida
por um carro que vai de um ponto a outro na cidade tenha
como valor aquele número fornecido pela métrica L1.
Um pouco de história
A métrica (fórmula de distância) que ficou conhecido como
geometria do táxi foi proposto pela primeira vez como um meio de
criar uma geometria não-euclidiana por Herman Minkowski (1864-
1909) no início do século 20. (Minkowski era um professor no início
de Albert Einstein.) A métrica era de uma família inteira de métricas
Minkowski Proposta para criar facilmente geometrias não-
euclidianas.
Em 1952, Karl Menger criou uma exposição geometria no Museu de Ciência e Indústria de Chicago. Para os visitantes da exposição, Menger criou um livreto “You Will Like Geometry”. Foi neste livreto que o termo "geometria do táxi" foi usado pela primeira vez. Ela permaneceu associado a esta geometria desde então.
Até 1975, o trabalho de desenvolver uma geometria completa baseada na métrica táxi ainda não tinha sido feito. Neste momento Eugene Krause, comentou: "Parece que chegou o momento de fazê-lo." Livro Krause, publicado em 1975, geometria do táxi: Uma Aventura na geometria não euclidiana, ainda é a introdução padrão a esta geometria.
A pesquisa moderna na geometria do táxi começou a aparecer
esporadicamente no início de 1980. Até cerca de 1997 que a
pesquisa contínua, sério começaria em geometria do táxi. Esta
pesquisa começou com o trabalho, independente e simultâneo em
ângulos de táxi e trigonometria por Kevin Thompson na Oregon
State University e também Kaya Rüstem na Turquia. Pesquisa de
Thompson foi realizado na escola de pós-graduação em 1996 com
Tevian Dray e publicado em 2000 com a pesquisa de Kaya a ser
publicado em 1997. De 1997 a 2010, Rüstem Kaya foi o
pesquisador mais produtivo nesta geometria.
A distância do taxista entre dois pontos em um espaço euclidiano
com sistema de coordenadas cartesianas fixado é a soma dos
comprimentos das projeções do segmento de reta que liga os
pontos sobre os eixos coordenados. Por exemplo, no plano, a taxi-
distancia entre o ponto P1 com coordenadas (x1, y1) e o ponto P2
em (x2, y2) é
L1 ((x1, y1), (x2, y2))= |x1 - x2| + |y1 - y2|.
A distância do taxista depende da rotação do sistema de
coordenadas, mas não depende de sua reflexão em torno de um
eixo ou suas translações.
Equação do círculo de centro (0,0) e raio
r é dado por:
𝑥 + 𝑦 = 𝑟
1º. Quadrante: 𝑥 + 𝑦 = 𝑟
2º. Quadrante: −𝑥 + 𝑦 = 𝑟
3º. Quadrante: −𝑥 − 𝑦 = 𝑟
4º. Quadrante: 𝑥 − 𝑦 = 𝑟
Axiomas de Euclides
Geometria euclidiana é um sistema axiomático, ou seja,
todos os recursos da geometria podem ser derivadas de um
pequeno conjunto de pressupostos. Ao explorar geometrias
não-euclidianas, é útil para determinar qual dos axiomas
euclidianos, ou propriedades derivadas desses axiomas, não
é mais verdade. Desde a época de Euclides, outros sistemas
aximoatic têm sido propostas que são equivalentes a de
Euclides, mas são mais explícitos e fazer menos suposições
não declaradas. Os axiomas de David Hilbert (1862-1943)
são um exemplo.
Geometria do taxista apenas falha um dos axiomas ou
postulados da geometria euclidiana, mas o faz em grande estilo.
Na geometria euclidiana, se dois lados eo ângulo subentendido
por estes lados de dois triângulos são congruentes, então os
triângulos são congruentes. Esta é a chamada propriedade 𝑙𝑎𝑙
(lado-ângulo-lado) para triângulos. (Propriedades de
congruência Outros são 𝑎𝑙𝑎 e 𝑙𝑙𝑙). Este axioma não se verifica
na geometria do taxista, e um exemplo pode provar este fato.
A geometria do taxista não só não a propriedade 𝑙𝑎𝑙, mas
mesmo uma propriedade 𝑎𝑙𝑎𝑙𝑎 não garante a congruência de
triângulos.
Axiomas de Incidência
Axioma 𝐼1: Para todo ponto 𝑃 e para todo ponto 𝑄 distinto de 𝑃, existe uma única reta l que passa por 𝑃 e 𝑄.
Axioma 𝐼2: Toda reta possui pelo menos dois pontos distinto.
Axioma 𝐼3: Existe pelo menos 3 pontos não colineares.
Axiomas de Ordem
Axioma 𝑂1: Se 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, então 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são pontos
distintos sobre uma mesma reta e 𝐶 ∗ 𝐵 ∗ 𝐴.
Axioma 𝑂2 : Dados quaisquer dois pontos 𝐵 e 𝐷 ,
existem pontos 𝐴, 𝐶, 𝐸 ∈ 𝐵𝐷 tais que
𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐷, 𝐵 ∗ 𝐶 ∗ 𝐷 e 𝐵 ∗ 𝐷 ∗ 𝐸
Axioma 𝑂3: Se 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são pontos distintos sobre uma
reta, então um e apenas um está entre os outros dois.
Axioma 𝑂4: (separação do plano) Para toda reta 𝑙 e para toda
trinca de pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não pertencentes a 𝑙,
1. Se 𝐴, 𝐵 estão do mesmo lado de 𝑙 e 𝐵, 𝐶 estão do mesmo lado de
𝑙, então 𝐴, 𝐶 estão do mesmo lado de 𝑙
2. Se 𝐴, 𝐵 estão de lados opostos de 𝑙 e 𝐵, 𝐶 estão de lados oposto
de 𝑙, então 𝐴, 𝐶 estão do mesmo lado de 𝑙.
𝐵 𝐴 𝐶
𝑙
𝑙
𝐶 𝐴
𝐵
Axioma de Congruência
Axioma 𝐶1: Se 𝐴 e 𝐵 são pontos distintos dados e seja 𝐴´ um
outro ponto qualquer. Então para todo raio de origem em 𝐴´, existe um único ponto 𝐵´ neste raio tal que 𝐴𝐵 ≅ 𝐴´𝐵´.
Axioma 𝐶2: Se 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 e 𝐴𝐵 ≅ 𝐸𝐹, então 𝐶𝐷 ≅ 𝐸𝐹. Além disto, todo segmento é congruente a si mesmo.
Axioma 𝐶3: Se 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, 𝐴´ ∗ 𝐵´ ∗ 𝐶´, 𝐴𝐵 ≅ 𝐴´𝐵´, 𝐵𝐶 ≅𝐵´𝐶´, então 𝐴𝐶 ≅ 𝐴´𝐶´.
Axioma 𝐶4: Dado um ângulo 𝐵𝐴𝐶 𝑛ã𝑜 𝑟𝑎𝑠𝑜 e dado um
raio 𝐴´𝐵´ de origem 𝐴´, existe um único raio 𝐴´𝐶´ em cada
lado de 𝐴´𝐵´, tal que 𝐵´𝐴´𝐶´ ≅ 𝐵𝐴𝐶.
Axioma 𝐶5: Se 𝐴 ≅ 𝐵 e 𝐴 ≅ 𝐶 então 𝐶 ≅ 𝐵 . Além
disto, todo ângulo é congruente a si mesmo.
Axioma 𝐶6: (𝑙𝑎𝑙) Se dois lados e o ângulo submetido por eles em
um triângulo são correspondentemente congruentes a dois lados e
o ângulo submetido por eles em um segundo triângulo, então os
triângulos são congruentes.
Axioma das paralelas
Axioma 𝑃1: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe
uma única paralela a reta dada passando pelo ponto dado.
Modelo da Geometria do Taxista
Plano: plano cartesiano 𝑅2
Retas: subconjuntos dados pela equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅2 e 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0.
Distância de Ponto a reta
Na geometria euclidiana, a distância entre um ponto A e uma
reta l é dada por:
1) a construção da linha perpendicular à linha original que
passa pelo ponto,
2) identificar o B ponto de intersecção das duas retas,
3) medição a distância entre o ponto inicial a e o ponto B do
ponto de intersecção das duas retas.
Uma outra abordagem mais visual é “inflar” um círculo euclidiano
com centro no ponto dado até que o círculo apenas toque (é
tangente a) a reta (Figura 2). Neste caso, a distância à reta é o raio
do círculo tangencial. É esta abordagem que vamos usarpara
explorar conceitualmente a distância entre um ponto e uma reta
na geometria do taxista.
Um círculo na geometria do taxista é inflado sobre o ponto até
que o círculo apenas toca a reta. Note-se que a distância entre o
ponto e a reta é a distância vertical direta a partir do ponto até a
reta.
Mas, talvez, isto é devido ao fato que a reta é tal que sua inclinação
tem um valor absoluto menor do que 1.
E se a linha foi relativamente íngreme? Esta situação é
mostrada na figura abaixo, onde a inclinação da linha tem um
valor absoluto maior que 1. A distância a partir do ponto a
que a linha está agora a distância horizontal directa a partir
do ponto da linha. Assim, a posição da linha tem um impacto
sobre a forma como a distância a um ponto é computada.
Para completar a nossa análise, considere uma reta de
inclinação 1 (ou -1) como na figura. Neste caso, há um
número infinito de caminhos que podem ser seguidos para
calcular a distância a partir do ponto a reta, pois o círculo
inflado realmente se sobrepõe à reta e não apenas a toca em
um ponto.
Da mesma maneira que a posição de um segmento de reta euclidiana afeta
o seu comprimento na geometria do taxista, a posição de uma reta afeta o
modo pelo qual a distância é medida a partir de um ponto . A posição de
objetos que afetam suas propriedades é um tema comum na geometria do
táxi.
Para resumir os casos para calcular a distância entre um ponto e uma reta,
Se a reta é rasa (declive com valor absoluto menor do que um), medir a
distância do ponto à reta é feita ao longo de uma reta vertical.
Se a linha é íngreme (declive com valor absoluto maior que 1), medir a
distância do ponto à reta é medida ao longo de uma linha horizontal.
Se a linha é diagonal (inclinação tem com valor absoluto igual a 1),
medir a distância do ponto à reta ao longo de cada reta horizontal ou
vertical.
Na geometria euclidiana, o conjunto de pontos equidistantes de
dois pontos é a mediatriz do segmento de reta que liga os pontos.
Vamos usar a mesma estratégia de expansão círculo empregado na
discussão sobre a distância de um ponto a uma linha para ver isto:
Quando esta abordagem é empregada na geometria do taxista,
quatro casos distintos aparecem com base em como os círculos
desta geometria, ao se expandir, se cruzam.
O primeiro caso mostrado na figura a seguir pode facilmente
fazer você pensar que a vida não mudou muito a partir da
geometria euclidiana. Quando a reta que liga os pontos é
horizontal ou vertical, expandindo círculos da geometria do
taxista com centro nos pontos dados, vemos que eles inicialmente
se encontram em um único ponto - o ponto médio do segmento
de reta que liga os pontos. Como os círculos continuam a se
expandir, os círculos se encontram em exatamente dois pontos.
Isto produz a mesma mediatriz do segmento, como no caso da
Geometria Euclideana.
Se a linha que liga os pontos não é horizontal ou vertical, as coisas
começam a mudar. Os círculos em expansão sobre os pontos
inicialmente se encontram num segmento de reta que passa pelo
ponto médio do segmento de reta que liga os pontos. Como os
círculos continuam a se expandir, eles se encontram em exatamente
dois pontos. Os círculos em expansão criam dois raios com origem
nos pontos no segmento mediatriz do segmento ligando os pontos.
Note-se que neste caso, na verdade, se divide em dois casos. Os
raios formados pelas interseções dos círculos irão ter uma
orientação diferente, dependendo da inclinação do segmento de reta
que liga os pontos originais. A figura abaixo mostra um segmento de
reta, com uma inclinação de magnitude maior do que 1, enquanto a
figura anterior ilustra um segmento de reta com uma inclinação
menor do que 1.
Reata apenas o caso em que a inclinação da reta que liga os pontos
é um. Neste caso, os circulos também inicialmente se encontram
em um segmento de reta. Mas, como a expansão continua, os
círculos se encontram em segmentos de reta em vez de pontos.
Isto cria um conjunto equidistante consistindo de duas regiões de
pontos ligados por uma linha diagonal.
Por exemplo, dado o triângulo cujos vértices são A, B, e C
(em que A, B, e C não se encontram sobre uma reta)
* As mediatrizes dos lados do triângulo são concorrentes
* As bissetrizes de perímetro para o triângulo com os
vértices do triângulo são concorrentes
* As bissetrizes de vértices do triângulo são concorrentes
* As altitudes do triângulo são concorrentes.
Será que estes teoremas permanecem válidos na Geometria
do Taxista?