DISTRIBUCION BINOMIALDistribución Binomial

1.Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se ha encontrado que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados, de los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que:a)de 3 a 6 tengan ponchaduras,b)menos de 4 tengan ponchaduras,c)más de 5 tengan ponchaduras. Distribución binomial:6.Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes, encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verduras:a)en un determinado día,b)en tres de los siguientes 4 días,c)por primera vez en el mes de abril en el día 5.7.Una cierta área del este de Estados Unidos es afectado en promedio por 6 huracanes al año, encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área será afectada por:a)menos de 4 huracanes,b)cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

8.Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo, encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 frutas:a)las 4 estén contaminadas por la mosca,

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

!x),x(p

x

donde:p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto = 2.718x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurraAPROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL.En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

!xqpC)p,n,x(p

x

xnxxn

La expresión anterior solo se cumple cuando n ®¥ y p®0, solo en este caso, si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:

!x),x(p

x

Donde: =m= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitosn = número de repeticiones del experimentop = probabilidad de éxito = p(éxito)Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n³20 y p£0.05: sí n³100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np£10.DISTRIBUCIÓN BINOMIALLas características de esta distribución son:En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

a) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.b) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.c) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante. A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

UNIVERSIDAD AUTONOMA JUAN MISAEL SARACHOFACULTAD DE CIENCIAS INTEGRADASCARRERA DE INGENIERIA DE SISTEMASMATERIA: PROBABILIDADESDOCENTE: LIC. FREDDY CANAVIRI P.

Problemas de Distribución de ProbabilidadesDistribución Binomial1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. 2. Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se ha encontrado que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados, de los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que: a)de 3 a 6 tengan ponchaduras, b)menos de 4 tengan ponchaduras, c)más de 5 tengan ponchaduras. 3. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos. 4. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar. 5. Hallar la probabilidad de que al lanzar 5 veces una moneda se obtenga. a) Tres caras, b) Una cara, c) Un escudo, d) ninguna cara, e) Siete caras y f) Diagrama de distribución6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 9: a) dos veces b) al menos 2 veces c) a lo mucho 3 veces d) exactamente 4 veces, en seis lanzamientos de un par de dados? 7. La probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se licencie es de 0,4. hallar la probabilidad de que de 5 estudiantes elegidos al azar.: a) ninguno se licencie b) todos se licencien c) al menos uno se licencie d) a lo mucho cuatro se licencien e) dos se licencien8. Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo, encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 frutas: a)las 4 estén contaminadas por la mosca, b)cualquier cantidad entre 1 y 3.Distribución de Poisson9. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?10. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. 11. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.12. Si el 3% de las válvulas manufacturadas por una compañía, son defectuosas hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 válvulas: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3, e) 4, f) 5, sean defectuosas y g) Diagrama de distribución13. Entre las dos y las cuatro p.m. el número medio de llamadas telefónicas por minuto que recibe una centralista es de 2,5. Hallar la probabilidad de que durante un minuto concreto se produzcan: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3, e) 4 o menos, f) mas de seis llamadas.14. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?15.16. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectado en promedio por 6 huracanes al año, encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área será afectada por: a)menos de 4 huracanes, b)cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

Aproximación de Poison a la binomial17. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.18. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.19. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?20. De acuerdo a los registros policiales, en el puente cañero como promedio mensual suelen producirse 6 intentos de suicidio. Asumiendo que el numero de estos intentos sigue una distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que se produzcan. a) 2 intentos de suicidio por mes, b) 1 intento, 3 intentos, c) Ningún intento, d) 0, 1, 2 o 3 intentos, d) mas de 3 intentos, e) Un intento, f) El diagrama de distribución21. En una central telefónica que recibe 2 llamadas cada 3 minutos. Calcular la probabilidad de que en el periodo de 6 minutos se presenten. a) 5 llamadas, b) No más de 2 llamadas, c) Al menos 4 llamadas d) a lo mucho 3 llamadasCARACTERISTICAS DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADESDISTRIBUCIÓN DE POISSON.Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

!x),x(p

x

donde:p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto = 2.718x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurraAPROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL.En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

!xqpC)p,n,x(p

x

xnxxn

La expresión anterior solo se cumple cuando n ®¥ y p®0, solo en este caso, si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:

!x),x(p

x

Donde: =m= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitosn = número de repeticiones del experimentop = probabilidad de éxito = p(éxito)Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n³20 y p£0.05: sí n³100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np£10.DISTRIBUCIÓN BINOMIALLas características de esta distribución son:En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

a) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.b) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

c) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

DISTRIBUCION BINOMIALDistribución Binomial

1.Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se ha encontrado que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados, de los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que:a)de 3 a 6 tengan ponchaduras,Datos: p = 0.25 n = 15q = 0.75 x = número de vehículos con ponchadurasDistribución binomial:

R/ La probabilidad es de 0.7073.b)menos de 4 tengan ponchaduras,Distribución binomial:

R/ La probabilidad es de 0.4613. c)más de 5 tengan ponchaduras. Distribución binomial:

R/ La probabilidad es de 0.1483.2.Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. Cuál es

la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en automóvil y 2 en tren.Datos: p1 = 0.4 x1 = 3 n = 9p2 = 0.2 x2 = 3p3 = 0.3 x3 = 1 p4 = 0.1 x4 = 2Distribución multinomial:

R/ La probabilidad es de 0.0077.3.De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultara en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes, 5 sean rojos, 2 negros y 1 blanco.Datos: p(rojos) = 8/16 = 1/2 xr = 5 n = 8p(negros) = 4/16 = 1/4 xn = 2p(blancos) = 4/16 = 1/4 xb = 1Distribución multinomial:

R/ La probabilidad es de 0.0820.4.Un club de estudiantes extranjeros tiene en su lista a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona un comité de 4 estudiantes aleatoriamente encuentre la probabilidad de que:a)estén representadas todas las nacionalidades,Datos: Canadienses: A1 = 2 x1 = 1 n = 4Japoneses: A2 = 3 x2 = 1Italianos: A3 = 5 x3 = 1Alemanes: A4 = 2 x4 = 1Distribución hipergeométrica:

R/ La probabilidad es de 0.1212.b)estén representadas todas las nacionalidades excepto la italiana.A1 = 2 x1 = 1 1 2 A2 = 3 x2 = 1 2 1A3 = 5 x3 = 0 0 0A4 = 2 x4 = 2 1 1Distribución hipergeométrica:

R/ La probabilidad es de 0.0484.5.La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen para obtener su licencia de piloto privado es 0.7, encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen:a)en el tercer intento,Datos: p = 0.7 x = 3 para el primer éxitoq = 0.3Distribución geométrica:

R/ La probabilidad es de 0.0630.b)antes del cuarto intento.Distribución geométrica:

R/ La probabilidad es de 0.9730.6.Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes, encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verduras:a)en un determinado día,Datos: promedio = 5 = x = número de verduras que contiene la ensalada

Distribución de Poisson:

=

=

R/ La probabilidad es de 0.3840.b)en tres de los siguientes 4 días,Datos: p = 0.3840 n = 4q = 0.6160 x = 3Distribución binomial:

R/ La probabilidad es de 0.1395.c)por primera vez en el mes de abril en el día 5.Datos: p = 0.3840 x = 5 para la primera vezq = 0.6160 Distribución geométrica:

R/ La probabilidad es de 0.0553.7.Una cierta área del este de Estados Unidos es afectado en promedio por 6 huracanes al año, encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área será afectada por:

a)menos de 4 huracanes,Datos: Promedio = 6 = x = número de huracanes

Distribución de Poisson:

R/ La probabilidad es de 0.1512.b)cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

R/ La probabilidad es de 0.4015.8.Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo, encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 frutas:a)las 4 estén contaminadas por la mosca,Datos: p = 2/3 n = 4q = 1/3 x = número de frutas contaminadasDistribución binomial:

R/ La probabilidad es de 0.1975.b)cualquier cantidad entre 1 y 3.

R/ La probabilidad es de 0.7901.