3.3 Distribución binomialLa distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli y es la principal distribución de probabilidad discreta para variables dicotómicas, es decir, que sólo pueden tomar dos posibles resultados. Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre. Dicho proceso, consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez  y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que ocurra (éxito) y q= 1 – p de que no ocurra (fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos posibles valores, el 1 si ocurre y el 0 sino sucede.

Se dice que X sigue una distribución  binomial de parámetros n y p, que se representa con la siguiente notación:

X ~ B (n, p)

Su función de probabilidad viene definida por:

f ( x )=P (X=x )=(¿xn) px qn−x= n !

x ! (n−x ) !pxqn−x ¿

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial si:

1. En cada prueba el experimento solo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario suceso.

2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varia de una prueba a otra.

3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Ejemplo:

¿Qué probabilidad hay de obtener al menos un seis al realizar seis lanzamientos consecutivos de un dado?    

Sea el suceso A: obtener un seis al lanzar un dado      

La probabilidad de A, sería p= 1/6.

Sea la variable X ~ número de seises  obtenidos en los seis lanzamientos ~ B (n=6, p=1/6)

p ( x≥1 )=1−P (X=0 )=1−¿¿

Propiedades de la distribución binomial

Media μ=np

Varianza σ 2=npq

Desviación estándar σ=√npq

Coeficiente de sesgo α 3=q−p√npq

Coeficiente de curtosis α 4=3+1−6 pqnpq

Función generadora de momento

M ( t )=(q+p et)n

Función característica ∅ (w )=(q+p eiw)n

Ejemplo:

En 100 lanzamientos de una moneda balanceada, el número esperado o número

medio de caras es 12

Mientras que la desviación estándar es a √100( 12 )( 12 )=53.4 Distribución hipergeométrica

Se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un objeto sin repetición.

Formula general:

p ( x )=¿¿

Donde:

N = Tamaño de población n = Tamaño de muestra C = Todos o cantidad de elementos que cumple la característica deseada X = Cantidad de éxitos

Los elementos de la muestra se toman todos a la vez y no individualmente o donde el elemento seleccionado no se reintegra al experimento o a la muestra nuevamente, tiene las siguientes características:

1. La población N del conjunto de unidades o elementos es de orden finito, de los cuales una parte: N1 = son “éxitos” y N2 = son “fracasos”.

2. Cada elemento puede ser caracterizado como éxito o fracaso.3. Se obtiene una muestra aleatoria de "n" elementos todos a la vez (sin

reemplazamiento) y no de forma independiente. No son pruebas repetidas.

4. El tamaño de la muestra aleatoria "n" es grande relativamente en comparación con el tamaño de la población.

5. Se busca la probabilidad de x = número de éxitos a partir de los N1 resultados o elementos, y n-x fracasos a partir de los N2 elementos así clasificados, al obtener una muestra de tamaño n.

Ejemplo:

En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10 pericos al azar calcular la posibilidad de que 3 de ellos sean chinos.

p ( x=3 )=¿¿ = 0.2259

La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental.

Donde el número de repeticiones del experimento es constante, y las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Generalmente el muestreo se hace a partir de una población grande, por lo que la distribución hipergeométrica es mucho menos usada en la vida real que la binomial. Sin embargo, si la población es pequeña, entonces la distribución correcta a utilizar será la hipergeométrica.

Recuerde que se recomienda usar la distribución hipergeométrica cuando:

N / n < 10

3.4.1 Aproximación de la hipergeométrica por la binomialEs un método que se utiliza cuando el espacio muestral, que manejamos en el problema, es mucho mayor que la muestra.

Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es:

 

 

En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja

 

 

De modo que podemos decir que

 

 

Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de distribución hipergeométrica. Diremos en general que una X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo, si su función de probabilidad es:

Se observa que cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a aproximarse a la binomial:

El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial.

Sin embargo su varianza

No es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor, , que tiende a 1 cuando . A este factor se le denomina factor de corrección para población finita.

ConclusiónLa distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli, es la principal distribución de probabilidades discretas para variables dicotómicas o binarias ya que solo pueden tomar dos posibles resultados de un experimento y se rige bajo la siguiente formula:

f ( x )=P (X=x )=(¿xn) px qn−x= n !

x ! (n−x ) !pxqn−x ¿

Mientras que la distribución hipergeométrica son experimentos repetidos sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental donde el número de repeticiones es constante y las probabilidades a cada uno de los resultados no son constantes, y se rige bajo la siguiente fórmula:

p ( x )=¿¿

La aproximación hipergeométrica por la binomial un método que se utiliza cuando el espacio muestral que manejamos en el problema, es mucho mayor que la muestra dando el valor esperado el mismo que el de la binomial.

Bibliografía https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/7936/Distribucion

%20binomial.pdf http://es.slideshare.net/alexanderfloresvalencia/distribucion-

hipergeometrica-28097904

Spiegel, M. R. (2003). Teoría y problemas de probabilidad y estadística. Mc Graw Hill.