Pregunta 1:

Si los ingresos de los miembros de una comunidad se distribuyen normalmente con

una media de $390.000 y una desviación típica de $30.000, ¿Cuál es el ingreso

mínimo que deberá tener un miembro de esta comunidad para pertenecer al 10%

superior? ¿Cuál es el máximo ingreso correspondiente al 20% inferior?

Se necesitan saber el valor mínimo de la variable tipificada (z) para pertenecer al 10%

superior, para ello se busca en la tabla de distribución normal aquel valor correspondiente

a la probabilidad del 90%, el cual es z = 1,28. Despejando a X1 de la ecuación z=x i−μσ

resulta queda x i=z∗σ+μ

Entonces X1 = 1,28 * 30.000 + 390.000 = $428.400

Por tanto, el ingreso mínimo que debe tener un miembro para pertenecer al 10% superior

es de $428.400.

Para el otro valor, X2, se procede de igual manera buscando en la tabla el valor de 0,2 que

es z=-0,84.

x i=z∗σ+μ

Entonces, X2 = -0,84 * 30.000 + 390.000 = $364.800

Con esto se tiene que el valor de máximo ingreso correspondiente a un 20% inferior es de

$364.800.

Pregunta 2:

El gerente de producción de una fábrica de bombillas estima que la vida útil del

producto está distribuida normalmente con una media de 5.000 horas. Si además, el

gerente estima que hay una probabilidad del 60% de que la bombilla dure más de

5.568 horas y menos de 4.432. ¿Cuál es la desviación estándar? Si en un día se

producen 20.000 unidades, ¿Cuántas de ellas esperamos que tengan una vida

inferior a las 4.500 horas?

5.568 – 5.000 = 568 y 5.000 – 4.432 = 568

Como están a igual distancia, existe un 30% de probabilidad de que la vida útil sea

superior a 5.568 horas y un 30% de probabilidad que sea inferior a 4.432. Elegimos el

valor de 5.568 como X1, tenemos que la media (µ) es 5.000 y la variable tipificada (z)

correspondiente será la que tiene probabilidad de 0,3 en la tabla de distribución normal,

que es z = 0.52 y aplicamos la ecuación despejada:

σ=x i−μz

De donde, (5.568 – 5.000)/0,52 = 568/0,52 = 1.092,31 ≈ 1.092 horas es la desviación

típica.

Para la segunda parte, hallamos el valor de z para el X2 dado:

z=x i−μσ

Z = (4.500 – 5.000)/1.092 = -500/1.092 = -0,45.

Buscamos el valor de la probabilidad para esta z, que es de 32,64%. Si tenemos 20.000

unidades, multiplicamos por esta probabilidad y queda 6.528, eso quiere decir que

esperamos 6.528 unidades que duren menos de 4.500 horas.

Pregunta 3:

Explique concisamente que se entiende por:

Distribución probabilística: indica todos los valores que pueden representarse como

resultado de un experimento si éste se llevase a cabo, es decir, describe la probabilidad

de que un evento se realice futuramente.

Variable aleatoria discreta: es aquella variable que solo puede tomar valores enteros y un

número finito de ellos.

Variable aleatoria continua: es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro

de un cierto intervalo de la recta real. Por ejemplo, el peso de un grupo determinado de

personas.

Explicar los requisitos o condiciones requeridas en la:

Distribución binomial: Cuando la variable aleatoria es discreta de manera que pueda

tomar una cantidad finita de valores y cuando los sucesos o resultados del experimento

aleatorio son independientes entre sí Solo se admiten dos resultados posibles,

mutuamente exclusivos.

Distribución de Poisson: Teóricamente, debe ser posible un número infinito de ocurrencias

del evento en el intervalo. La ocurrencia de un evento en un intervalo de espacio o tiempo

no tiene efecto sobre la probabilidad de una segunda ocurrencia del evento en el mismo,

o cualquier otro intervalo. La probabilidad de la ocurrencia única del evento en un intervalo

dado es proporcional a la longitud del intervalo.

Distribución normal: Hay un valor que es el más frecuente, que tiende a estar en la parte

central. Los datos que más se alejen del valor central, hacia la derecha o hacia la

izquierda, tienden a ser menos frecuentes. Además, el promedio y la desviación estándar

no dependen uno de otro, y la desviación estándar es menor que el promedio.

Pregunta 5:

En un intento por burlar la vigilancia en la aduana de un aeropuerto, un viajero

coloca 6 tabletas de narcóticos en un frasco que contiene 9 pastillas de vitaminas

de apariencia semejante. Si el agente antinarcóticos selecciona al azar tres tabletas,

¿cuál es la probabilidad de no arrestar al viajero por posesión ilegal de narcóticos?

Se debe calcular la probabilidad, por medio de la distribución binomial, de que el viajero

sea arrestado o no, sabiendo que para que sea detenido se debe encontrar al menos una

pastilla de narcótico entre las tres seleccionadas al azar. Entonces, la única forma de que

no sea arrestado es no encontrar ninguna tableta narcótica, es decir, que las tres sean

vitaminas.

Pr (x=3 )=(33)(0,6)3(0,4)0

La probabilidad de tener tres éxitos en tres intentos consiste en:

Pr (x=3 )= 3 !3 ! (3−3 ) !

∗0,216∗1→Pr ( x=3 )=1∗0,216∗1→Pr ( x=3 )=21,6%

Entonces, la probabilidad de que el viajero no sea arrestado luego de que el agente

examine 3 pastillas de las 15 del frasco es del 21,6%.

Pregunta 7:

De un inventario de 48 automóviles que se embarcan a distribuidores locales, 12

tienen instalados radios defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que cierto

distribuidor reciba 8 automóviles, de ese inventario, con:

Todos los radios buenos:

Un automóvil del inventario puede tener el radio bueno o malo. Para que los ocho

recibidos tengan todos los radios en buen estado, se recurre a la distribución binomial:

Pr (x=8 )=(88)(0,75)8(0,25)0

La probabilidad de tener ocho éxitos en ocho intentos consiste en:

Pr (x=8 )= 8 !8 ! (8−8 ) !

∗0,1001∗1→Pr ( x=8 )=1∗0,1001∗1→Pr ( x=8 )=10,01%

Entonces, la probabilidad de que se obtengan todos los radios buenos en el inventario de

ocho autos es del 10%.

Por lo menos un radio defectuoso:

Si la probabilidad de obtener cero autos con radios malos es del 10,01%, entonces la

probabilidad de obtener uno o más carros con radio defectuoso es del 89,99%.

¿Cuántos automóviles con radios defectuosos se esperan recibir?

Si el total de autos es de 48 y el número de ellos con radios defectuosos es de 12, por

simetría, de los 8 enviados por muestreo se esperan recibir 2 con problemas en el radio,

es decir, el 25%.