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ESTADÍSTICA I
ING. VICTOR SALAZAR POLANCO
ESPECIALISTA EN LOGISTICA
Facultad de Ingeniería
Universidad del Magdalena
Santa Marta - 2011
DISTRIBUCIÓN NORMALVARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Es un método para hallar la probabilidad cuando se trabaja convariables aleatorias continuas, es decir, con aquellas quepermiten ser fraccionadas.
Este método utiliza la curva de Gauss, llamada también curvanormal o curva de probabilidad, la cual es simétrica y tiene formade campana.
En la distribución Normal, el método para hallar la probabilidaddepende de las medidas paramétricas siguientes:
a) Media Muestral
b) Media Proporcional
c) Diferencia de Medias Muestrales
d) Diferencia de Proporciones Muestrales
DISTRIBUCIÓN NORMALCURVA DE PROBABILIDAD
50% 50%
100%
x
x
x
µ
µ
-3 -2 -1 0 1 2 3
- +
Z
PROPIEDADES:
La curva es simétrica.
El área bajo la curva es igual al 100%.
La curva no toca el eje horizontal (x) ya
que es asintótica, se prolonga
indefinidamente.
La media µ se localiza en el centro, es
decir, cada parte es igual al 50%.
X toma valores de menor a mayor, es
decir, de izquierda a derecha.
La variante estadística Z = (X - µ ) / es
una medida de las desviaciones estándar o
de las llamadas unidades estandarizadas,
conocida como desviación normal.
donde:
µ : Media Poblacional.
: Media Aritmética, media muestral o media de la muestra.
: Desviación.
Esta fórmula convierte valores de X a Z. Luego su valor se localiza
en la tabla de áreas bajo la curva normal de probabilidad, como se
mostrará más adelante.
DISTRIBUCIÓN NORMALFÓRMULA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo 22: Encontrar el área bajo la curva de Z:
a) Entre Z = -1.12 y Z = 2.33
b) A la derecha de Z = 1.45
c) A la Izquierda de Z = 0.80
d) Entre Z = 0.75 y Z = 1.64
R/: Estos valores de Z fueron calculados con la fórmula:
Para saber el área que corresponde cada valor debemosbuscarlo en la tabla de área bajo la curva normal deprobabilidad que se muestra a continuación.
DISTRIBUCIÓN NORMALTABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
a) Entre Z = -1.12 y Z = 2.33
La tabla nos dice que cuando Z
es -1.12, su área equivale a
0.3686, y cuando Z es 2.33 su
área es 0.4901. Estos valores los
ubicamos en la curva de
probabilidad de la siguiente
manera.
La suma de sus áreas nos dará el
resultado deseado.
A = (-1.12 < Z < 2.33) = ?
A = 0.3686 + 0.4901 = 0.8587
DISTRIBUCIÓN NORMALTABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
b) A la derecha de Z = 1.45
La tabla nos dice que cuando Z
es 1.45, su área equivale a
0.4265. Este valor lo ubicamos
en la curva de probabilidad y
sombreamos hacia la derecha
de la siguiente manera.
Sabemos que cada mitad de la curva equivale a un
50% del área total. Como debemos saber qué área
le corresponde a la parte sombreada, lo que
debemos hacer es una resta, quedando el
planteamiento y el resultado:
A = ( Z > 1.45 ) = 0.50 – 0.4265 = 0.0735
DISTRIBUCIÓN NORMALTABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
c) A la izquierda de Z = 0.80
La tabla nos dice que cuando Z
es 0.80, su área equivale a
0.2881. Este valor lo ubicamos
en la curva de probabilidad y
sombreamos hacia la izquierda
de la siguiente manera.
Sabemos que cada mitad de la curva equivale a un
50% del área total. Como las áreas se unen
debemos sumarlas para saber qué le corresponde
a la parte sombreada, quedando el planteamiento
y el resultado:
A = ( Z < 0.80 ) = 0.50 + 0.2881 = 0.7881
DISTRIBUCIÓN NORMALTABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
d) Entre Z = 0.75 y Z = 1.64
La tabla nos dice que cuando Z
es 0.75, su área equivale a
0.2734, y cuando Z es 1.64 su
área es 0.4495. Estos valores los
ubicamos en la curva de
probabilidad de la siguiente
manera.
La tabla y la gráfica nos indican que desde el 0 hasta
1.64, el área es de 0.4495. Sin embargo, debemos
restarle el área que hay desde el O hasta 0.75
(A=0.2734). De este modo hallaremos el área entre
0.75 y 1.64.
A = (0.75 < Z < 1.64) = ?
A = 0.4495 – 0.2734 = 0.1761
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA MUESTRAL
Fórmula
Esta fórmula transforma valores de a Z para poder hallar la probabilidad de un suceso mediante el usode la tabla del área bajo la curva de probabilidad normal.
Ejemplo 23: En un banco de ahorros, la cuenta media es de $159.320 con una desviación estándar de$18.000. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 400 cuentas, elegidas al azar, tenga un depósito mediode $160.000 o más? R/: El ejercicio trata con una variable que permite ser fraccionada (dinero). Por lo tantosabemos que estamos ante un caso de distribución normal, donde para el cálculo de la probabilidaddebemos aplicar la fórmula de Z que trabaja con la media muestral o media aritmética . Los datos que nosarroja el enunciado son los siguientes:
µ = 159.320
= 18.000
n = 400
P ( > 160.000) = ?
Reemplazando se tiene que:
Z = 0.76 A (0.2764)
Como se resolvió anteriormente, se trata de
hallar el área sombreada bajo la curva, cuyo
valor corresponde a la probabilidad. Si bien
sabemos que la mitad del área total
corresponde a un 0.50, y que desde el 0 hasta
el 0.76 hay 0.2764 de área, el valor que le
corresponde a la parte sombreada será la
diferencia de ambas.
Se tiene entonces que:
P ( > 60) = 0.50 – 0.2764 = 0.2236
P ( > 60) = 0.2236 x 100 = 22.36%
La probabilidad de que un grupo de 400
cuentas elegidas al azar tenga un depósito
medio de 160.000 o más es del 22.36%.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA PROPORCIONAL
A diferencia de la distribución normal de medias
muestrales, al trabajar con proporciones no se usa la
desviación, dado que esta se halla con respecto a una
media aritmética.
En media proporcional se trabaja –como su nombre lo
indica- con proporciones, es decir, con características
cualitativas, como por ejemplo, la proporción de
estudiantes que llegan tarde a clase, Ejemplo:
Supongamos que de un total de 30 estudiantes, 5 llegan
tarde a clase. Se pide la proporción de estudiantes
impuntuales. R/: 5 / 30 = 0.1666 x 100 = 16.66% de los
estudiantes llegan tarde a clase.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA PROPORCIONALFÓRMULA
donde:
P = Proporción Poblacional.
= Proporción Muestral.
n = Muestra.
Ejemplo 24: Se sabe que el 25% de los estudiantes de un colegio usan anteojos. ¿Cuál es laprobabilidad de que 8 o menos usen anteojos en una muestra de 36 estudiantes? R/: El ejercicio nospide hallar una probabilidad, para lo cual, primero debemos tener en cuenta los datos que nosarroja y saber además si la característica es cuantitativa o cualitativa. En primer lugar, vemos quenos dan una proporción poblacional (25%), y sabemos que se trata de una característica cualitativaporque se están preguntando sobre los que usan y no usan anteojos, es decir, el modo de registro espor palabras (sí usa, no usa) más no por números.
La fórmula nos pide dos proporciones, una poblacional y una muestral. La poblacional es aquellaque cubre la totalidad de la población, es decir, la proporción general (25% de los estudiantes delCOLEGIO usan anteojos). También nos da una proporción muestral, es decir, aquella proporciónque se saca de una muestra, siendo:
= 8 / 36 = 0.22 (proporción de estudiantes que usan anteojos)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA PROPORCIONALFÓRMULA
De acuerdo a lo anterior tenemos que:
P = 0.25 = 0.22 n = 36
P ( < 0.22) = ?
Reemplazando:
Z = -0.41 A(0.1591)
Se sombrea hacia la izquierda porque el ejercicio nos
pide 8 o menos, y recordemos que los números
negativos se sombrean hacia el lado izquierdo. Se
trata entonces de hallar el área de la zona
sombreada. Si bien sabemos que desde el 0 hasta -
0.41 existe un área e 0.1591, entonces la parte
sombreada corresponde a la diferencia, tal como se
muestra a continuación:
P ( < 0.22) = 0.50 – 0.1591 = 0.3409 x 100 = 34.09%
La probabilidad de que 8 o menos estudiantes usen
anteojos en una muestra de 36, es de 34.09%.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
En este tema se trabajan con dos medias poblacionales
( µx; µy ), dos medias muestrales ( ), dos desviaciones
( OX; OY ) y dos muestras (n1; n2 ), es decir, con dos
poblaciones y lo que se busca es encontrar la
probabilidad de la ocurrencia de un suceso teniendo en
cuenta dos poblaciones.
Fórmula:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
Ejemplo 25: Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una población normal,que tiene media 50 y desviación estándar 8. Luego se saca otra muestra aleatoria de 400elementos de una población que tiene media 40 y desviación estándar 12. Encontrar laprobabilidad de que la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 omás. R/: El ejercicio nos da todos los elementos necesarios para encontrar la probabilidadmediante una diferencia de medias muestrales. Reemplazando tenemos que:
P ( > 8 ) = ?
Z = -2 A (0.4772)
La probabilidad de que la media de la primera muestra exceda
a la de la segunda en 8 o más se encuentra sumando las áreas
sombreadas, de tal forma que:
P ( > 8 ) = 0.4772 + 0.50 = 0.9772 x 100 = 97.72%
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES
En este tema no se trabaja con desviaciones. Sólo se
trabaja con proporciones poblaciones ( P1; P2 ) y
muestrales ( ). Al igual que el tema anterior, trata
de encontrar la probabilidad de un evento teniendo en
cuenta dos poblaciones.
Fórmula:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES
Ejemplo 26: Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo. Laprimera produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que otra,produce el 20% de artículos defectuosos. Si se obtienen muestras de 200 unidades en laprimera y 100 unidades en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de que A supere a B en 8%o más? R/: Como vemos el ejercicio trata con características cualitativas, ya que el modo deregistro es por palabras (defectuosos, no defectuosos). Reemplazando tenemos que:
Z = 2.98 A(0.4986)
La probabilidad de que A supere a B en 8% o
más se halla con la diferencia de sus áreas de
la siguiente manera:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
SÍNTESIS
En la distribución normal se presentan cuatro casos,siendo: Media Muestral, de Proporciones, diferenciade medias muestrales y diferencia de proporciones.
En Media muestral se trabaja con una MediaPoblacional, una media muestral, una desviación yuna sola muestra.
En diferencia de medias muestrales se trabaja condos de cada una SIEMPRE.
En media de proporciones NO SE TRABAJA CONDESVIACIONES. Se trabaja con una sola proporciónpoblacional, una sola proporción muestral y una solamuestra.
En diferencia de proporciones se trabaja con dos decada una.
