DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. PARÁMETROS EN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA

Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores o un número infinito numerable. Una variable aleatoria es continua si toma valores en un intervalo de la recta real; es decir, si su recorrido es infinito no numerable. Puesto que las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones estadísticas, empezaremos recordando cómo son los parámetros en estas para que nos sirva de referencia. Puesto que la probabilidad es una idealización de la frecuencia relativa, expresaremos los parámetros en función de ellas. A) PARÁMETROS EN UNA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA

Media : x =∑xi ⋅ fiN

Varianza : s2 = ∑xi2 ⋅ fiN

− x 2

Desviación típica : s = Varianza B) PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Las probabilidades, pi , son idealizaciones de las frecuencias relativas, fiN

.

Media :µ = xi ⋅ pi∑

Varianza :σ 2 = xi2 ⋅ pi∑ −µ2

Desviación típica :σ = Varianza

Nota: La suma de todas las probabilidades debe dar 1⇒ pi =1∑

2. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOULLI Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:

§ En cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados: el resultado A (éxito) y su contrario A .

§ La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p .

§ El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

La variable aleatoria binomial, X , expresa elnúmero de éxitos obtenidos encadapruebadelexperimento.La variable binomial es una variable aleatoria discreta, solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n donde n es el número de pruebas realizadas. Ejemplo: k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras. La distribución binomial se representa por B(n, p) .n es el número de pruebas de que consta el experimento. p es la probabilidad de éxito. La probabilidad de A es1-p,ylarepresentamosporq. La función de probabilidad de la distribución binomial es:

p(X = k) = nk

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ pk ⋅qn−k

dondeq =1− p n eselnúmerodepruebas.k eselnúmerodeéxitos.p eslaprobabilidaddeéxito.q eslaprobabilidaddefracaso.

El número combinatorio se calcula: nk

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

n!k!(n− k)!

Ejemplo:

106

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

10!6!(10−6)!

=10!6!4!

=10 ⋅9 ⋅8 ⋅7 ⋅6 ⋅5⋅4 ⋅3⋅2 ⋅16 ⋅5⋅4 ⋅3⋅2 ⋅1⋅4 ⋅3⋅2 ⋅1

=10 ⋅9 ⋅8 ⋅74 ⋅3⋅2 ⋅1

=10 ⋅3⋅7 = 210

Ejemplo:Calculalaprobabilidaddeque,allanzarunamonedaalaire10veces,seobtenganexactamente6caras.n=10p=0,5q=0,5B(10;0,5)

p(X = 6) = 106

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

6

⋅12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4

= 210 ⋅ (0,5)6 ⋅ (0,5)4 =

= 210 ⋅0,015625⋅0,0625= 0,205078125 ≈ 0,2051

TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Para calcular las probabilidades de una distribución binomial se puede aplicar la fórmula o utilizar una tabla. En la página 388 del libro de texto se incluye una tabla con las probabilidades de la distribución binomial para valores n ≤ 9 y valores dep ≤ 0,5 .Ejemplo 1 En el ejemplo anterior: p = 0,50; n = 10 y k = 6. Calcula laprobabilidaddeque,allanzarunamonedaalaire10veces,seobtenganexactamente6caras.Buscando en una tabla de la distribución binomial. Localizamos n = 10, k = 6, p = 0,5 y buscamos la intersección: 0,2051.p(X = 6) = 0,2051Ejemplo2Calculalaprobabilidaddeobtenerdequesalgaalmenosunacara.p(X ≥1) = p(X =1)+ p(X = 2)+ p(X = 3)+ p(X = 4)+ p(X = 5)+ p(X = 6)+ p(X = 7)+ p(X = 8)+ p(X = 9)+ p(X =10)

En este caso, en lugar de calcular las probabilidades una a una, es más rápidoestudiarlaprobabilidaddelsucesocontrario(quenosalganingunacara).Así, p(X ≥1) =1− p(X = 0) Buscamosenlatabla: p(X = 0) = 0,010 1− p(X = 0) =1−0,010 = 0,99

Ejemplo3Calculalaprobabilidaddeobtenerentre4y6caras.p(4 ≤ X ≤ 6) = p(X = 4)+ p(X = 5)+ p(X = 6) Buscandoenlatabla:p(4 ≤ X ≤ 6) = 0,2051+0,2461+0,2051= 0,6563 Paravaloresdepmayoresque0,5tambiénsepuedeutilizarlatabla.Ejemplo4SiendoXunavariablealeatoriaconunadistribuciónbinomialB(4;0,9),calculalaprobabilidad: p(X = 3) .n=4,p=0,9k=3Laprobabilidaddelsucesocontrarioseráq=0,1.Yenlugardebuscarenlatablak=3,buscaremosk=1.Esdecir:4-3=1(serestan-k).LadistribuciónesahoraB(4;0,1)ybuscamosk=1.n=4p=0,1k=1Buscamosenlatablayobtenemos:0,2916,queeselmismoquenospedían.Elresultadoes: p(X = 3) = 0,2916 Tambiénpuedecalcularsedirectamenteconlafórmula:

p(X = 3) = 43

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0,93 ⋅0,11 = 0,2916

3. ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Si X tiene una distribución binomial B(n, p) , laesperanzay lavarianzadeesadistribuciónbinomialseobtienenmediantelasfórmulas:E(x) = np Var(x) = npq