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Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 139-175
DISTRIBUCIONES SALARIALES AJUSTE Y PROYECCIOacuteN
UNA APLICACIOacuteN A LA ESTIMACIOacuteN DE RETENCIONES A
CUENTA DEL IRPF
WAGE DISTRIBUTIONS ADJUSTMENT AND PROJECTION AN
APPLICATION TO THE ESTIMATED INCOME TAX WITHHOLDINGS
Pedro Valverde Carameacutes1
Jefe de Aacuterea Servicio de Estudios Tributarios y Estadiacutesticas AEAT Espantildea
Resumen
Este artiacuteculo parte de la carencia en las fuentes estadiacutesticas fiscales
espantildeolas de informacioacuten sobre el tiempo de trabajo en materia de
retribuciones salariales La informacioacuten estadiacutestica sobre salarios anuales
es muy precisa pero no tiene en cuenta el tiempo efectivo en que se obtiene
esa renta
Para poder abordar lo anterior se recurre a la Muestra Continua de Vidas
Laborales (MCVL) puesto que en dicha operacioacuten estadiacutestica se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral salarios y tiempo de
trabajo El conocimiento detallado del tiempo de trabajo efectivo (en el que
se obtiene la renta y que no tiene por queacute coincidir con aquel al que se le
imputa generalmente el antildeo natural) permite comprender de manera
satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las rentas salariales
anuales (inexplicable de otra manera) asiacute como realizar una estratificacioacuten
1 Correo electroacutenico E-mail pedrovalverdeccorreoaeates
140
muy fructiacutefera en teacuterminos de anaacutelisis estadiacutestico de la poblacioacuten de
asalariados
Todo lo anterior permite una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales de la economiacutea espantildeola Como se veraacute eacutestas se ajustan con
mucha precisioacuten a una distribucioacuten estadiacutestica de cuatro paraacutemetros
conocida como Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2 en la
literatura sobre el tema) Conocida la distribucioacuten de probabilidad a la que
se ajustan los salarios anuales se puede estudiar coacutemo evolucionan en el
tiempo los paraacutemetros que la definen con lo cual se dispone de una
herramienta provechosa para efectuar predicciones Reemplazar los valores
reales por sus equivalentes simulados a traveacutes de la correspondiente GB2
permite el anaacutelisis de la evolucioacuten de los salarios y la simulacioacuten de
acciones fiscales sobre ellos entre otras muchas posibilidades A modo de
ejemplo se presentaraacute una propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones
a Cuenta del IRPF
Palabras clave
Salarios Tiempo de trabajo Simulaciones numeacutericas Funciones de
distribucioacuten Beta generalizada de segundo orden (GB2)
Abstract
Information about annual salaries is very accurate in Spanish tax statistics
but does not consider the time period in which that income is obtained To
address the above MCVL is used (MCVL is a statistical operation that
integrates tax and employment information wages and working time) The
detailed working time (in which income is obtained and that does not have to
match that to which is charged usually a calendar year) allows us to
understand satisfactorily the form of the distribution of incomes wages
141
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
(otherwise inexplicable) and stratifying -very fruitful in terms of statistical
analysis- the population of employees
All this allows adequate modeling of the salaries of the Spanish economy
As it will be seen they are adjusted very accurately to a statistical
distribution known as Beta four parameters Generalized Second Kind (GB2
literature on the subject) Knowing the probability distribution which annual
wages are adjusted you can study how they evolve over time parameters
that define it showing a helpful tool for making predictions Replace the
actual values for their simulated counterparts through the corresponding
GB2 allows the analysis of the evolution of wages the simulation of fiscal
actions on them among many other possibilities As an example a proposal
for the estimation of the personal income tax withholdings will be presented
Keywords
Wages Working time Income distribution Generalized beta of second kind
(GB2) Numerical simulations
JEL C13 C46 D63
1 El problema de la forma
El presente artiacuteculo es una continuacioacuten de Valverde Carameacutes P
(2011) Alliacute se discutiacutea la necesidad de incorporar el tiempo de trabajo como
variable fundamental a la hora de estudiar la distribucioacuten de los salarios
de la economiacutea espantildeola y se proponiacutea el uso de la Muestra Continua
de Vidas Laborales (MCVL) como la herramienta adecuada para ese fin
Partimos aquiacute del Graacutefico 1 que muestra la distribucioacuten de las retribuciones
salariales en este caso como funcioacuten del Salario Miacutenimo Interprofesional
142
(SMI) correspondiente al ejercicio de 2014 La informacioacuten proviene de la
estadiacutestica Mercado de Trabajo y Pensiones en las Fuentes Tributarias
(MTyPFT) elaborada por la Agencia Estatal de Administracioacuten Tributaria
(AEAT)
Graacutefico 1 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Fuente Mercado de trabajo y pensiones en las fuentes tributarias (AEAT)
La forma de este histograma es bien conocida y se repite de manera
habitual al analizar la distribucioacuten de los salarios en la economiacutea espantildeola
La existencia de colas pesadas en la parte izquierda de la distribucioacuten
(salarios bajos) junto con un decrecimiento asintoacutetico por el lado derecho
(salarios altos) y una doble moda es una constante a lo largo del tiempo en
los estudios sobre distribucioacuten de retribuciones salariales (veacutease por todos
Melis Maynar F (1995)) Usando la informacioacuten proporcionada por la
explotacioacuten de la MCVL (la MCVL-2014 en este caso) se puede replicar la
proporcionada por la estadiacutestica MTyPFT y asiacute se obtiene la Tabla 1
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
143
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Como se puede observar la MCVL replica de manera muy
aproximada tanto la distribucioacuten como los salarios medios por tramo de SMI
y ademaacutes proporciona el tiempo de trabajo medio para cada intervalo Esto
uacuteltimo no es posible con la estadiacutestica MTyPFT
Tabla 1 Retribuciones salariales y tiempo de trabajo Comparacioacuten entre
MCVL y MTyPFT
TRAMOS SMI2014
DISTRIBUCIOacuteN SALARIOS MEDIOS TIEMPO
TRABAJO MEDIO
MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014
0 - 05 2080 2186 1907 1840 10105
05 - 1 1362 1300 6744 6731 24385
1 - 15 1262 1211 11329 11320 31111
15 - 2 1417 1314 15812 15815 34643
2 - 25 1118 1047 20178 20182 35630
25 - 3 757 736 24702 24726 35896
3 - 35 527 586 29235 29260 36013
35 - 4 385 448 33760 33775 36129
4 - 45 289 337 38245 38251 36141
45 - 5 194 213 42748 42744 36125
5 - 75 422 429 54004 53885 36153
75 - 10 113 117 76699 76753 36187
gt 10 074 076 150129 148824 35635
TOTAL 10000 10000 18138 18420 28191
Fuente elaboracioacuten propia
A traveacutes de la MCVL se pueden conocer los diacuteas que el trabajador
ha estado en alta a lo largo del antildeo Esto permite estudiar el periacuteodo de
tiempo -efectivo- en el que se han obtenido dichas retribuciones El anaacutelisis
asiacute concebido tiene en cuenta una perspectiva temporal de la que carece si
uacutenicamente se dispone de la informacioacuten de caraacutecter fiscal Representando
las dos distribuciones de la tabla anterior se obtiene el Graacutefico 2 Ambos
histogramas tienen la misma forma como era de prever ya que ambas
144
estadiacutesticas comparten la misma informacioacuten para determinar la masa
salarial total Es importante destacar que la MCVL combina en una uacutenica
operacioacuten estadiacutestica tanto informacioacuten fiscal como seriacutean los salarios en
este caso como informacioacuten propia de seguridad social el tiempo de
trabajo La explotacioacuten del moacutedulo fiscal de la MVCL (el que contiene la
informacioacuten sobre salarios retenciones etc y ha sido utilizado en este
trabajo) permite un anaacutelisis maacutes completo que si se usan las bases de
cotizacioacuten que al estar topadas aproximan mal los salarios maacutes altos
Graacutefico 2 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Comparacioacuten entre MCVL y MTyPFT
Fuente elaboracioacuten propia
Usando la MCVL-2014 se pueden construir las curvas de densidad
(reduciendo la amplitud de los intervalos considerados) para las
retribuciones salariales El Graacutefico 3 permite observar esto por tramos de
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
MCVL MTyPFT
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
140
muy fructiacutefera en teacuterminos de anaacutelisis estadiacutestico de la poblacioacuten de
asalariados
Todo lo anterior permite una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales de la economiacutea espantildeola Como se veraacute eacutestas se ajustan con
mucha precisioacuten a una distribucioacuten estadiacutestica de cuatro paraacutemetros
conocida como Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2 en la
literatura sobre el tema) Conocida la distribucioacuten de probabilidad a la que
se ajustan los salarios anuales se puede estudiar coacutemo evolucionan en el
tiempo los paraacutemetros que la definen con lo cual se dispone de una
herramienta provechosa para efectuar predicciones Reemplazar los valores
reales por sus equivalentes simulados a traveacutes de la correspondiente GB2
permite el anaacutelisis de la evolucioacuten de los salarios y la simulacioacuten de
acciones fiscales sobre ellos entre otras muchas posibilidades A modo de
ejemplo se presentaraacute una propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones
a Cuenta del IRPF
Palabras clave
Salarios Tiempo de trabajo Simulaciones numeacutericas Funciones de
distribucioacuten Beta generalizada de segundo orden (GB2)
Abstract
Information about annual salaries is very accurate in Spanish tax statistics
but does not consider the time period in which that income is obtained To
address the above MCVL is used (MCVL is a statistical operation that
integrates tax and employment information wages and working time) The
detailed working time (in which income is obtained and that does not have to
match that to which is charged usually a calendar year) allows us to
understand satisfactorily the form of the distribution of incomes wages
141
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
(otherwise inexplicable) and stratifying -very fruitful in terms of statistical
analysis- the population of employees
All this allows adequate modeling of the salaries of the Spanish economy
As it will be seen they are adjusted very accurately to a statistical
distribution known as Beta four parameters Generalized Second Kind (GB2
literature on the subject) Knowing the probability distribution which annual
wages are adjusted you can study how they evolve over time parameters
that define it showing a helpful tool for making predictions Replace the
actual values for their simulated counterparts through the corresponding
GB2 allows the analysis of the evolution of wages the simulation of fiscal
actions on them among many other possibilities As an example a proposal
for the estimation of the personal income tax withholdings will be presented
Keywords
Wages Working time Income distribution Generalized beta of second kind
(GB2) Numerical simulations
JEL C13 C46 D63
1 El problema de la forma
El presente artiacuteculo es una continuacioacuten de Valverde Carameacutes P
(2011) Alliacute se discutiacutea la necesidad de incorporar el tiempo de trabajo como
variable fundamental a la hora de estudiar la distribucioacuten de los salarios
de la economiacutea espantildeola y se proponiacutea el uso de la Muestra Continua
de Vidas Laborales (MCVL) como la herramienta adecuada para ese fin
Partimos aquiacute del Graacutefico 1 que muestra la distribucioacuten de las retribuciones
salariales en este caso como funcioacuten del Salario Miacutenimo Interprofesional
142
(SMI) correspondiente al ejercicio de 2014 La informacioacuten proviene de la
estadiacutestica Mercado de Trabajo y Pensiones en las Fuentes Tributarias
(MTyPFT) elaborada por la Agencia Estatal de Administracioacuten Tributaria
(AEAT)
Graacutefico 1 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Fuente Mercado de trabajo y pensiones en las fuentes tributarias (AEAT)
La forma de este histograma es bien conocida y se repite de manera
habitual al analizar la distribucioacuten de los salarios en la economiacutea espantildeola
La existencia de colas pesadas en la parte izquierda de la distribucioacuten
(salarios bajos) junto con un decrecimiento asintoacutetico por el lado derecho
(salarios altos) y una doble moda es una constante a lo largo del tiempo en
los estudios sobre distribucioacuten de retribuciones salariales (veacutease por todos
Melis Maynar F (1995)) Usando la informacioacuten proporcionada por la
explotacioacuten de la MCVL (la MCVL-2014 en este caso) se puede replicar la
proporcionada por la estadiacutestica MTyPFT y asiacute se obtiene la Tabla 1
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
143
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Como se puede observar la MCVL replica de manera muy
aproximada tanto la distribucioacuten como los salarios medios por tramo de SMI
y ademaacutes proporciona el tiempo de trabajo medio para cada intervalo Esto
uacuteltimo no es posible con la estadiacutestica MTyPFT
Tabla 1 Retribuciones salariales y tiempo de trabajo Comparacioacuten entre
MCVL y MTyPFT
TRAMOS SMI2014
DISTRIBUCIOacuteN SALARIOS MEDIOS TIEMPO
TRABAJO MEDIO
MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014
0 - 05 2080 2186 1907 1840 10105
05 - 1 1362 1300 6744 6731 24385
1 - 15 1262 1211 11329 11320 31111
15 - 2 1417 1314 15812 15815 34643
2 - 25 1118 1047 20178 20182 35630
25 - 3 757 736 24702 24726 35896
3 - 35 527 586 29235 29260 36013
35 - 4 385 448 33760 33775 36129
4 - 45 289 337 38245 38251 36141
45 - 5 194 213 42748 42744 36125
5 - 75 422 429 54004 53885 36153
75 - 10 113 117 76699 76753 36187
gt 10 074 076 150129 148824 35635
TOTAL 10000 10000 18138 18420 28191
Fuente elaboracioacuten propia
A traveacutes de la MCVL se pueden conocer los diacuteas que el trabajador
ha estado en alta a lo largo del antildeo Esto permite estudiar el periacuteodo de
tiempo -efectivo- en el que se han obtenido dichas retribuciones El anaacutelisis
asiacute concebido tiene en cuenta una perspectiva temporal de la que carece si
uacutenicamente se dispone de la informacioacuten de caraacutecter fiscal Representando
las dos distribuciones de la tabla anterior se obtiene el Graacutefico 2 Ambos
histogramas tienen la misma forma como era de prever ya que ambas
144
estadiacutesticas comparten la misma informacioacuten para determinar la masa
salarial total Es importante destacar que la MCVL combina en una uacutenica
operacioacuten estadiacutestica tanto informacioacuten fiscal como seriacutean los salarios en
este caso como informacioacuten propia de seguridad social el tiempo de
trabajo La explotacioacuten del moacutedulo fiscal de la MVCL (el que contiene la
informacioacuten sobre salarios retenciones etc y ha sido utilizado en este
trabajo) permite un anaacutelisis maacutes completo que si se usan las bases de
cotizacioacuten que al estar topadas aproximan mal los salarios maacutes altos
Graacutefico 2 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Comparacioacuten entre MCVL y MTyPFT
Fuente elaboracioacuten propia
Usando la MCVL-2014 se pueden construir las curvas de densidad
(reduciendo la amplitud de los intervalos considerados) para las
retribuciones salariales El Graacutefico 3 permite observar esto por tramos de
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
MCVL MTyPFT
145
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
[8] Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006) Modelizacioacuten parameacutetrica de la
distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
141
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
(otherwise inexplicable) and stratifying -very fruitful in terms of statistical
analysis- the population of employees
All this allows adequate modeling of the salaries of the Spanish economy
As it will be seen they are adjusted very accurately to a statistical
distribution known as Beta four parameters Generalized Second Kind (GB2
literature on the subject) Knowing the probability distribution which annual
wages are adjusted you can study how they evolve over time parameters
that define it showing a helpful tool for making predictions Replace the
actual values for their simulated counterparts through the corresponding
GB2 allows the analysis of the evolution of wages the simulation of fiscal
actions on them among many other possibilities As an example a proposal
for the estimation of the personal income tax withholdings will be presented
Keywords
Wages Working time Income distribution Generalized beta of second kind
(GB2) Numerical simulations
JEL C13 C46 D63
1 El problema de la forma
El presente artiacuteculo es una continuacioacuten de Valverde Carameacutes P
(2011) Alliacute se discutiacutea la necesidad de incorporar el tiempo de trabajo como
variable fundamental a la hora de estudiar la distribucioacuten de los salarios
de la economiacutea espantildeola y se proponiacutea el uso de la Muestra Continua
de Vidas Laborales (MCVL) como la herramienta adecuada para ese fin
Partimos aquiacute del Graacutefico 1 que muestra la distribucioacuten de las retribuciones
salariales en este caso como funcioacuten del Salario Miacutenimo Interprofesional
142
(SMI) correspondiente al ejercicio de 2014 La informacioacuten proviene de la
estadiacutestica Mercado de Trabajo y Pensiones en las Fuentes Tributarias
(MTyPFT) elaborada por la Agencia Estatal de Administracioacuten Tributaria
(AEAT)
Graacutefico 1 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Fuente Mercado de trabajo y pensiones en las fuentes tributarias (AEAT)
La forma de este histograma es bien conocida y se repite de manera
habitual al analizar la distribucioacuten de los salarios en la economiacutea espantildeola
La existencia de colas pesadas en la parte izquierda de la distribucioacuten
(salarios bajos) junto con un decrecimiento asintoacutetico por el lado derecho
(salarios altos) y una doble moda es una constante a lo largo del tiempo en
los estudios sobre distribucioacuten de retribuciones salariales (veacutease por todos
Melis Maynar F (1995)) Usando la informacioacuten proporcionada por la
explotacioacuten de la MCVL (la MCVL-2014 en este caso) se puede replicar la
proporcionada por la estadiacutestica MTyPFT y asiacute se obtiene la Tabla 1
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
143
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Como se puede observar la MCVL replica de manera muy
aproximada tanto la distribucioacuten como los salarios medios por tramo de SMI
y ademaacutes proporciona el tiempo de trabajo medio para cada intervalo Esto
uacuteltimo no es posible con la estadiacutestica MTyPFT
Tabla 1 Retribuciones salariales y tiempo de trabajo Comparacioacuten entre
MCVL y MTyPFT
TRAMOS SMI2014
DISTRIBUCIOacuteN SALARIOS MEDIOS TIEMPO
TRABAJO MEDIO
MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014
0 - 05 2080 2186 1907 1840 10105
05 - 1 1362 1300 6744 6731 24385
1 - 15 1262 1211 11329 11320 31111
15 - 2 1417 1314 15812 15815 34643
2 - 25 1118 1047 20178 20182 35630
25 - 3 757 736 24702 24726 35896
3 - 35 527 586 29235 29260 36013
35 - 4 385 448 33760 33775 36129
4 - 45 289 337 38245 38251 36141
45 - 5 194 213 42748 42744 36125
5 - 75 422 429 54004 53885 36153
75 - 10 113 117 76699 76753 36187
gt 10 074 076 150129 148824 35635
TOTAL 10000 10000 18138 18420 28191
Fuente elaboracioacuten propia
A traveacutes de la MCVL se pueden conocer los diacuteas que el trabajador
ha estado en alta a lo largo del antildeo Esto permite estudiar el periacuteodo de
tiempo -efectivo- en el que se han obtenido dichas retribuciones El anaacutelisis
asiacute concebido tiene en cuenta una perspectiva temporal de la que carece si
uacutenicamente se dispone de la informacioacuten de caraacutecter fiscal Representando
las dos distribuciones de la tabla anterior se obtiene el Graacutefico 2 Ambos
histogramas tienen la misma forma como era de prever ya que ambas
144
estadiacutesticas comparten la misma informacioacuten para determinar la masa
salarial total Es importante destacar que la MCVL combina en una uacutenica
operacioacuten estadiacutestica tanto informacioacuten fiscal como seriacutean los salarios en
este caso como informacioacuten propia de seguridad social el tiempo de
trabajo La explotacioacuten del moacutedulo fiscal de la MVCL (el que contiene la
informacioacuten sobre salarios retenciones etc y ha sido utilizado en este
trabajo) permite un anaacutelisis maacutes completo que si se usan las bases de
cotizacioacuten que al estar topadas aproximan mal los salarios maacutes altos
Graacutefico 2 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Comparacioacuten entre MCVL y MTyPFT
Fuente elaboracioacuten propia
Usando la MCVL-2014 se pueden construir las curvas de densidad
(reduciendo la amplitud de los intervalos considerados) para las
retribuciones salariales El Graacutefico 3 permite observar esto por tramos de
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
MCVL MTyPFT
145
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
142
(SMI) correspondiente al ejercicio de 2014 La informacioacuten proviene de la
estadiacutestica Mercado de Trabajo y Pensiones en las Fuentes Tributarias
(MTyPFT) elaborada por la Agencia Estatal de Administracioacuten Tributaria
(AEAT)
Graacutefico 1 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Fuente Mercado de trabajo y pensiones en las fuentes tributarias (AEAT)
La forma de este histograma es bien conocida y se repite de manera
habitual al analizar la distribucioacuten de los salarios en la economiacutea espantildeola
La existencia de colas pesadas en la parte izquierda de la distribucioacuten
(salarios bajos) junto con un decrecimiento asintoacutetico por el lado derecho
(salarios altos) y una doble moda es una constante a lo largo del tiempo en
los estudios sobre distribucioacuten de retribuciones salariales (veacutease por todos
Melis Maynar F (1995)) Usando la informacioacuten proporcionada por la
explotacioacuten de la MCVL (la MCVL-2014 en este caso) se puede replicar la
proporcionada por la estadiacutestica MTyPFT y asiacute se obtiene la Tabla 1
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
143
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Como se puede observar la MCVL replica de manera muy
aproximada tanto la distribucioacuten como los salarios medios por tramo de SMI
y ademaacutes proporciona el tiempo de trabajo medio para cada intervalo Esto
uacuteltimo no es posible con la estadiacutestica MTyPFT
Tabla 1 Retribuciones salariales y tiempo de trabajo Comparacioacuten entre
MCVL y MTyPFT
TRAMOS SMI2014
DISTRIBUCIOacuteN SALARIOS MEDIOS TIEMPO
TRABAJO MEDIO
MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014
0 - 05 2080 2186 1907 1840 10105
05 - 1 1362 1300 6744 6731 24385
1 - 15 1262 1211 11329 11320 31111
15 - 2 1417 1314 15812 15815 34643
2 - 25 1118 1047 20178 20182 35630
25 - 3 757 736 24702 24726 35896
3 - 35 527 586 29235 29260 36013
35 - 4 385 448 33760 33775 36129
4 - 45 289 337 38245 38251 36141
45 - 5 194 213 42748 42744 36125
5 - 75 422 429 54004 53885 36153
75 - 10 113 117 76699 76753 36187
gt 10 074 076 150129 148824 35635
TOTAL 10000 10000 18138 18420 28191
Fuente elaboracioacuten propia
A traveacutes de la MCVL se pueden conocer los diacuteas que el trabajador
ha estado en alta a lo largo del antildeo Esto permite estudiar el periacuteodo de
tiempo -efectivo- en el que se han obtenido dichas retribuciones El anaacutelisis
asiacute concebido tiene en cuenta una perspectiva temporal de la que carece si
uacutenicamente se dispone de la informacioacuten de caraacutecter fiscal Representando
las dos distribuciones de la tabla anterior se obtiene el Graacutefico 2 Ambos
histogramas tienen la misma forma como era de prever ya que ambas
144
estadiacutesticas comparten la misma informacioacuten para determinar la masa
salarial total Es importante destacar que la MCVL combina en una uacutenica
operacioacuten estadiacutestica tanto informacioacuten fiscal como seriacutean los salarios en
este caso como informacioacuten propia de seguridad social el tiempo de
trabajo La explotacioacuten del moacutedulo fiscal de la MVCL (el que contiene la
informacioacuten sobre salarios retenciones etc y ha sido utilizado en este
trabajo) permite un anaacutelisis maacutes completo que si se usan las bases de
cotizacioacuten que al estar topadas aproximan mal los salarios maacutes altos
Graacutefico 2 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Comparacioacuten entre MCVL y MTyPFT
Fuente elaboracioacuten propia
Usando la MCVL-2014 se pueden construir las curvas de densidad
(reduciendo la amplitud de los intervalos considerados) para las
retribuciones salariales El Graacutefico 3 permite observar esto por tramos de
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
MCVL MTyPFT
145
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
143
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Como se puede observar la MCVL replica de manera muy
aproximada tanto la distribucioacuten como los salarios medios por tramo de SMI
y ademaacutes proporciona el tiempo de trabajo medio para cada intervalo Esto
uacuteltimo no es posible con la estadiacutestica MTyPFT
Tabla 1 Retribuciones salariales y tiempo de trabajo Comparacioacuten entre
MCVL y MTyPFT
TRAMOS SMI2014
DISTRIBUCIOacuteN SALARIOS MEDIOS TIEMPO
TRABAJO MEDIO
MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014 MTyPFT MCVL-2014
0 - 05 2080 2186 1907 1840 10105
05 - 1 1362 1300 6744 6731 24385
1 - 15 1262 1211 11329 11320 31111
15 - 2 1417 1314 15812 15815 34643
2 - 25 1118 1047 20178 20182 35630
25 - 3 757 736 24702 24726 35896
3 - 35 527 586 29235 29260 36013
35 - 4 385 448 33760 33775 36129
4 - 45 289 337 38245 38251 36141
45 - 5 194 213 42748 42744 36125
5 - 75 422 429 54004 53885 36153
75 - 10 113 117 76699 76753 36187
gt 10 074 076 150129 148824 35635
TOTAL 10000 10000 18138 18420 28191
Fuente elaboracioacuten propia
A traveacutes de la MCVL se pueden conocer los diacuteas que el trabajador
ha estado en alta a lo largo del antildeo Esto permite estudiar el periacuteodo de
tiempo -efectivo- en el que se han obtenido dichas retribuciones El anaacutelisis
asiacute concebido tiene en cuenta una perspectiva temporal de la que carece si
uacutenicamente se dispone de la informacioacuten de caraacutecter fiscal Representando
las dos distribuciones de la tabla anterior se obtiene el Graacutefico 2 Ambos
histogramas tienen la misma forma como era de prever ya que ambas
144
estadiacutesticas comparten la misma informacioacuten para determinar la masa
salarial total Es importante destacar que la MCVL combina en una uacutenica
operacioacuten estadiacutestica tanto informacioacuten fiscal como seriacutean los salarios en
este caso como informacioacuten propia de seguridad social el tiempo de
trabajo La explotacioacuten del moacutedulo fiscal de la MVCL (el que contiene la
informacioacuten sobre salarios retenciones etc y ha sido utilizado en este
trabajo) permite un anaacutelisis maacutes completo que si se usan las bases de
cotizacioacuten que al estar topadas aproximan mal los salarios maacutes altos
Graacutefico 2 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Comparacioacuten entre MCVL y MTyPFT
Fuente elaboracioacuten propia
Usando la MCVL-2014 se pueden construir las curvas de densidad
(reduciendo la amplitud de los intervalos considerados) para las
retribuciones salariales El Graacutefico 3 permite observar esto por tramos de
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
MCVL MTyPFT
145
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
144
estadiacutesticas comparten la misma informacioacuten para determinar la masa
salarial total Es importante destacar que la MCVL combina en una uacutenica
operacioacuten estadiacutestica tanto informacioacuten fiscal como seriacutean los salarios en
este caso como informacioacuten propia de seguridad social el tiempo de
trabajo La explotacioacuten del moacutedulo fiscal de la MVCL (el que contiene la
informacioacuten sobre salarios retenciones etc y ha sido utilizado en este
trabajo) permite un anaacutelisis maacutes completo que si se usan las bases de
cotizacioacuten que al estar topadas aproximan mal los salarios maacutes altos
Graacutefico 2 Distribucioacuten de las retribuciones salariales anuales 2014
Comparacioacuten entre MCVL y MTyPFT
Fuente elaboracioacuten propia
Usando la MCVL-2014 se pueden construir las curvas de densidad
(reduciendo la amplitud de los intervalos considerados) para las
retribuciones salariales El Graacutefico 3 permite observar esto por tramos de
0
5
10
15
20
25
0 - 05 05 - 1 1 - 15 15 - 2 2 - 25 25 - 3 3 - 35 35 - 4 4 - 45 45 - 5 5 - 75 75 - 10 gt 10
MCVL MTyPFT
145
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
145
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
salario bruto anual para el ejercicio de 2014 La curva obtenida es una
envolvente al histograma inicial
Graacutefico 3 Curva de densidad para los salarios del ejercicio 2014
Fuente elaboracioacuten propia Miles de euros
2 Permanentes y Eventuales
Al disponer para cada uno de los trabajadores no soacutelo de su salario
anual sino ademaacutes del nuacutemero de diacuteas en alta laboral se puede avanzar en
el anaacutelisis descomponiendo la poblacioacuten total en dos colectivos claramente
diferenciados De forma natural el conjunto admite una desagregacioacuten en
funcioacuten de si se ha estado en alta laboral todo el antildeo o soacutelo una fraccioacuten del
mismo A cada trabajador estudiado se le asigna para cada ejercicio un
vector de 365 componentes una para cada diacutea del antildeo Cada componente
tendraacute el valor 1 si ha estado de alta ese diacutea y 0 si no lo ha estado de tal
manera que quedaraacute definido por un vector del tipo (111hellip1000hellip)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
146
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uci
oacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
En base a esa estructura se puede clasificar al total de la muestra en dos
conjuntos disjuntos
1 Permanentes seraacute aquel subgrupo de trabajadores que estaacuten en
alta laboral los 365 diacuteas del antildeo con lo cual tendraacuten un vector del
tipo (11hellip1) No entran ni salen de mercado laboral en el antildeo a
estudio
2 Eventuales seraacuten todos lo que no cumplen el ser Permanentes
tendraacuten una o varias entradas yo salidas del Reacutegimen General de la
Seguridad Social Han estado en alta menos de 365 diacuteas en el antildeo
Tienen un vector asociado del tipo (1010hellip001hellip1)
Como se veraacute esta descomposicioacuten del colectivo total en funcioacuten
del tiempo de trabajo es especialmente fructiacutefera a hora de explicar el
problema de las colas pesadas en la distribucioacuten de salarios La curva de
densidad de los salarios para el colectivo de Eventuales es totalmente
diferente a la que se obtiene para el de Permanentes Ello se desprende de
la observacioacuten directa de los Graacuteficos 4 y 5
Graacutefico 4 Curvas de densidad para los salarios Permanentes 2014
Fuente elaboracioacuten propia
147
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
147
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Dis
trib
uc
ioacuten
(
)
Tramos de salarios (euro)
Graacutefico 5 Curvas de densidad para los salarios Eventuales 2014
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 6 Descomposicioacuten de la curva de densidad para el total de la
poblacioacuten 2014 en Permanentes y Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
Total2014 Perm2014 Event2014
P
T=P+E
E
Tramos de salarios (euro)
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
148
Discriminar el colectivo total entre Permanentes y Eventuales
permite explicar las colas pesadas de la distribucioacuten de salarios y la
existencia de una importante bolsa de trabajadores con salarios muy bajos
por debajo del SMI anual Como se deduce del anaacutelisis de estos colectivos
la mayoriacutea de los trabajadores con sueldos muy bajos son asalariados
eventuales que trabajan soacutelo una fraccioacuten del antildeo Por ello maacutes que hablar
de sueldos bajos se deberiacutea hablar de poco tiempo trabajado La
composicioacuten de ambas distribuciones Eventuales y Permanentes
promediadas sobre el total del colectivo que se presenta en el Graacutefico 7 asiacute
lo pone de manifiesto
Graacutefico 7 Relacioacuten entre Permanentes y Eventuales por nivel salarial
Fuente elaboracioacuten propia
La Tabla 2 resume la informacioacuten obtenida en materia de salarios y
tiempo de trabajo de la MCVL para el periacuteodo 2004-2014
000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Eventuales
Permanentes
Salarios (miles de euro)
149
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
149
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 2 Resumen informacioacuten obtenida de la MCVL (2004-2014)
Fuente elaboracioacuten propia Sobre el salario diacutea medio veacutease Valverde Carameacutes P (2011)
3 Modelizacioacuten parameacutetrica de una distribucioacuten empiacuterica
Se puede definir la modelizacioacuten parameacutetrica como una teacutecnica de
estadiacutestica matemaacutetica cuyo objetivo fundamental es resumir los datos
empiacutericos mediante una funcioacuten matemaacutetica dependiente de un nuacutemero
pequentildeo de paraacutemetros y sin que ello suponga una peacuterdida de informacioacuten
importante En el caso que nos ocupa la aplicaremos a la informacioacuten
obtenida sobre rentas salariales El punto de partida de la modelizacioacuten
parameacutetrica siempre seraacute un modelo de probabilidad definido por una
familia de funciones de distribucioacuten Dicho modelo se propone con el objeto
de representar el conjunto de datos disponibles y su eleccioacuten quedaraacute
determinada por las caracteriacutesticas especiacuteficas del fenoacutemeno a estudio
Para mayor informacioacuten veacutease Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006)
31 La distribucioacuten Beta Generalizada de segundo orden y derivadas
POBLACION 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Nuacutemero de trabajadores 544370 597429 624925 653741 659005 624452 609664 600233 601888 562152 571842
Salario anual medio 1580552 1616758 1697600 1776323 1854095 1863563 1867023 1877071 1773121 1823760 1813799
Diacuteas de trabajo medios 29452 29264 29412 29463 29106 28551 28621 28576 28882 28203 28191
Salario diacutea medio 5367 5525 5772 6029 6370 6527 6523 6569 6139 6467 6434
PERMANENTES
Nuacutemero de trabajadores 314363 335239 350125 367899 374591 366748 361282 354794 362294 332217 331157
Salario anual medio 2167038 2240042 2336074 2433472 2555689 2578541 2582866 2603223 2436396 2569324 2583538
Diacuteas de trabajo medios 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500 36500
Salario diacutea medio 5937 6137 6400 6667 7002 7064 7076 7132 6675 7039 7078
Permanentes 577 561 560 563 568 587 593 591 602 591 579
EVENTUALES
Nuacutemero de trabajadores 230007 262190 274800 285842 284414 257704 248382 245439 239594 229935 240685
Salario anual medio 778970 819820 884181 930525 930052 846052 825799 827381 770171 746546 754721
Diacuteas de trabajo medios 19820 20014 20383 20406 19368 17239 17160 17122 17212 16216 16759
Salario diacutea medio 3930 4096 4338 4560 4802 4908 4812 4832 4475 4604 4503
Eventuales 4225 4389 4397 4372 4316 4127 4074 4089 3981 4090 4209
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
150
Se presenta en este apartado a la distribucioacuten Beta Generalizada de
Segunda Especie (GB2) La expresioacuten de la funcioacuten de densidad de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie es la siguiente
1198661198612(119903 119886 119887 119901 119902) = 119886119903119886119901minus1
119887119886119901 119861(119901 119902)( 1 minus ( 119903119887
)119886)( 119901+119902) 119903 ge 0
donde se tiene que a b p q gt0 y 119861(119901 119902) es la funcioacuten Beta El paraacutemetro b
lo es de escala y los restantes tres a p y q de forma La GB2 es una
distribucioacuten que proporciona una adecuada descripcioacuten de la distribucioacuten de
la renta con un nuacutemero razonable de paraacutemetros (4)
Figura 1 La distribucioacuten GB2 y sus derivadas
Fuente Kleiber C y S Kotz (2003)
La gran ventaja de la distribucioacuten GB2 es la riqueza de modelos
relacionados con ella que incluye las distribuciones triparameacutetricas Dagum
(DAGUM) y Singh-Maddala (SM) junto a los modelos del mismo orden beta
de segunda especie y gamma generalizada y los modelos de dos
paraacutemetros Lognormal Gamma Weibull y Fisk Todas estas funciones con
casos particulares de la GB2 Para maacutes informacioacuten sobre la GB2 veacutease
Kleiber C y S Kotz (2003)
(4 p)
q-gtinfin p=1 q=1
a=1
(3p)
q-gtinfin q-gtinfin
a-gt0 a=1 p=1 q=1 p=1
(2p)
Gamma Beta 2 S-M Dagum
Lognormal Gamma Weibull Fisk
GB2
151
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
151
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(441 230826 050 060)
Salarios (euro)
4 Aplicacioacuten de la GB2 a los resultados de la MCVL-2014
En el caso particular que nos ocupa con la modelizacioacuten
parameacutetrica de las distribuciones empiacutericas para las retribuciones salariales
anuales obtenidas de la MCVL-2014 se busca estimar los paraacutemetros que
definen el ajuste oacuteptimo de una distribucioacuten GB2 El Meacutetodo de maacutexima
verosimilitud proporciona este tipo de estimadores Se ha aplicado el
Principio de Maacutexima Verosimilitud sobre los datos de rentas salariales
individuales de acuerdo a la informacioacuten obtenida de la MCVL-2014 El
procedimiento consiste en ajustar una distribucioacuten GB2 para el conjunto de
Permanentes y Eventuales de un ejercicio y reconstruir la distribucioacuten del
total como agregacioacuten por intervalos de ambas distribuciones
Graacutefico 8 Ajuste del colectivo de Permanentes
Fuente elaboracioacuten propia
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
152
000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1000 5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 53000 57000
distr2014 ajusteMV
BG2(250 14761 029 131)
Graacutefico 9 Ajuste del colectivo de Eventuales
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 10 Ajuste de la distribucioacuten del colectivo total (T=P+E)
Fuente elaboracioacuten propia
000
100
200
300
400
500
600
1000 6000 11000 16000 21000 26000 31000 36000 41000 46000 51000 56000
gb2 Total
T=P+E
153
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
153
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 3 Media y Mediana para los colectivos de Permanentes y Eventuales
Comparacioacuten entre empiacutericos y ajustados Error cometido
Empiacutericos MCVL Permanentes Eventuales
Media 2583538 754721
Mediana 2095430 507789
Ajuste GB2
Media 2590946 746945
Mediana 2135831 516936
Error
Media -029 103
Mediana -193 -180
Fuente elaboracioacuten propia
5 Propuesta para la estimacioacuten de las Retenciones del IRPF sobre los
Rendimientos del Trabajo Ajuste numeacuterico de la distribucioacuten salarial
51 Planteamiento de la cuestioacuten
Como ejemplo de la aplicacioacuten de lo que se ha presentado hasta
este momento se pretende en lo que sigue elaborar una metodologiacutea para la
estimacioacuten de la recaudacioacuten por retenciones sobre IRPF en ejercicios
futuros (esto es partiendo de la informacioacuten disponible en un ejercicio n
calcularla en n+i i=1 oacute 2) que sea consistente con las previsiones que
informa el Cuadro Macroeconoacutemico (informacioacuten que se supone conocida
en el ejercicio n y referida a n+1 o n+2) Las previsiones sobre la
recaudacioacuten por retenciones deben ser consecuentes con lo anterior para
que tengan utilidad no se puede calcular de manera independiente al resto
de las variables macroeconoacutemicas Se parte de que la estimacioacuten buscada
ha de ser consistente con dos paraacutemetros Salario medio y Nuacutemero de
trabajadores que son fijos y externos a cualquier modelo que se plantee
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
154
Son por ello condiciones a las que se debe sujetar toda propuesta
en este sentido Como se vio anteriormente la MCVL es una herramienta
de la que se puede extraer un conocimiento de gran importancia a la hora
de abordar este problema De hecho del anaacutelisis de la MCVL se pueden
destacar una serie de evidencias empiacutericas que se incorporaraacuten como
hipoacutetesis de trabajo a partir de este momento Asiacute se tiene que
1 La poblacioacuten de salarios por cuenta ajena puede dividirse en dos
colectivos disjuntos Permanentes y Eventuales Estos conjuntos se
muestran especialmente importantes a la hora de explicar la forma
de la distribucioacuten total de los salarios
2 Ambos colectivos se ajustan de manera oacuteptima a una distribucioacuten
Beta Generalizada de Segundo Orden (GB2) Esta distribucioacuten
depende de cuatro paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) donde a p y q son
paraacutemetros de forma y b lo es de escala El paraacutemetro a gobierna la
forma general de la distribucioacuten p la cola de la izquierda y q la de la
derecha
3 Se conocen los ajustes de la MCVL a las correspondientes GB2
(Permanentes y Eventuales) para un periacuteodo dado En este caso
usaremos el 2004-2013
4 Sustituir los salarios reales por los obtenidos de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) oacuteptima en teacuterminos de ajuste maacuteximo verosiacutemil
supone incurrir en errores con respecto al salario medio real por
debajo del 2 para ambos colectivos (antildeo 2013)
Partiendo de lo anterior y dado que se conoce el ajuste de los dos
colectivos (Permanentes y Eventuales) para el periacuteodo 2004-2013 (y
subsecuentes con el paso de los ejercicios) se podriacutea pensar en proyectar el
vector de paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) al ejercicio a estudio a partir de eacutel
reconstruir una poblacioacuten de salarios teoacuterica (que se supone replica a la
poblacioacuten real futura y cuyo tamantildeo debe ser N) y a eacutesta se aplicariacutea el
155
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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169
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
algoritmo de retenciones correspondiente al ejercicio a estimar De ahiacute se
extraeriacutea el montante de la recaudacioacuten esperada Esta primera
aproximacioacuten al problema plantea una serie de inconvenientes a tener en
cuenta
1 La evolucioacuten de los paraacutemetros de ajuste de las distribuciones
1198661198612(119886 119887 119901 119902) de los colectivos Permanentes y Eventuales se
muestra erraacutetica en el tiempo y resulta complejo estimar los posibles
valores que va a tener en un ejercicio posterior (n+1 o n+2) La
uacuteltima Muestra disponible (MCVLn) seraacute como miacutenimo la del
ejercicio anterior al que se quiera estimar
Tabla 4 Evolucioacuten de los paraacutemetros (119886 119887 119901 119902) en el periacuteodo 2004-
2013
Fuente elaboracioacuten propia
2 La distribucioacuten GB2 es muy sensible a las variaciones de los
paraacutemetros que la definen Por tanto posibles errores aunque sean
pequentildeos en la estimacioacuten del vector de paraacutemetros ( ) con
respecto al que seriacutea oacuteptimo (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 se transmitiraacuten a la
distribucioacuten de salarios teoacuterica y de ahiacute a la de retenciones
estimadas
3 Aun cuando se consiguiera una correcta estimacioacuten de dichos
paraacutemetros para el ejercicio a estudio (n+1 o n+2) cosa que soacutelo se
podriacutea comprobar en el ejercicio siguiente (n+2 o n+3) nada
PARAacuteMETROS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Permantes
a 485 518 507 518 519 466 452 471 491 437
b 1705616 1728060 1809128 1886197 2020448 2108897 2149320 2208206 2169397 2272720
p 056 053 054 052 050 053 054 050 048 052
q 051 046 048 047 047 054 057 055 052 061
Eventuales
a 770 780 828 767 607 293 292 306 253 124
b 1229165 1268411 1345826 1401595 1410022 1434374 1447732 1395952 1506362 1526200
p 010 010 010 011 013 028 027 025 030 033
q 040 040 037 039 049 105 108 098 130 157
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
156
garantiza que esa distribucioacuten sea consecuente con el salario medio
propuesto en el Cuadro Macroeconoacutemico y que por definicioacuten es
un paraacutemetro dado al que se deben sujetar las estimaciones
4 El caacutelculo de las retenciones es una funcioacuten del salario (y de otras
variables de menor relevancia que generalmente no se tendraacuten en
cuenta) estructurada en forma de aacuterbol de decisioacuten lo que da lugar a
una funcioacuten no lineal fuertemente dependiente de la forma de la
distribucioacuten de los salarios Veacutease el Apeacutendice 2
5 El ajuste directo de la distribucioacuten GB2 sobre el colectivo de
Permanentes de la MCVL usando estimacioacuten por Maacutexima
Verosimilitud da un ajuste que si bien es oacuteptimo en teacuterminos
estadiacutesticos no recoge bien la amplitud del intervalo modal Eacuteste
siempre aparece suavizado con respecto a los datos reales Parece
deseable conseguir un ajuste que se aproximase mejor en este
tramo de la distribucioacuten aunque se perdiese el oacuteptimo estadiacutestico
Ahiacute se concentran la mayoriacutea de los salarios que contribuyen a la
recaudacioacuten por retenciones
Graacutefico 11 Ajuste por Maacutexima Verosimilitud de una distribucioacuten
1198661198612(119886 119887 119901 119902) a Permanentes 2013
Fuente elaboracioacuten propia
157
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
157
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
En cualquier caso el tener que atenerse obligatoriamente a las
indicaciones del Cuadro Macroeconoacutemico sobre el salario medio del
ejercicio a estimar es razoacuten suficiente para tener que plantearse otra
estrategia de ajuste diferente
52 Planteamiento de un problema de minimizacioacuten aproximacioacuten por
meacutetodos numeacutericos
Una primera alternativa para abordar el objetivo propuesto (estimar
la recaudacioacuten por retenciones ajustaacutendose a un paraacutemetro externo) seriacutea
plantearse su solucioacuten a traveacutes de un problema de minimizacioacuten (o similar)
Se tratariacutea grosso modo de encontrar para cada uno de los dos colectivos
en que se descompone la poblacioacuten total aquella combinacioacuten de
paraacutemetros 119886 119887 119901 119902 que den lugar a traveacutes de la distribucioacuten GB2 a una
poblacioacuten de salarios teoacuterica cuya media sea consistente con la propuesta
en el Cuadro Macroeconoacutemico Es decir se buscariacutea solucionar el siguiente
planteamiento general
Sea S el salario medio dado por el cuadro macroeconoacutemico y N el
nuacutemero de asalariados Si definimos = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)) esto es es la
esperanza matemaacutetica de una poblacioacuten (de salarios en este caso)
generada por la distribucioacuten GB2 de tamantildeo N Se supone que (119886 119887 119901 119902) isin
119862 donde 119862 es aquiacute el campo de definicioacuten adecuado para el vector de
paraacutemetros Recueacuterdese que 119886 119887 119901 119902 son todos nuacutemeros reales
estrictamente positivos Por tanto tiene sentido plantearse el siguiente
problema
Min(S minus S)abpq
(a b p q) isin C
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
158
Se tratariacutea por tanto de buscar en 119862 aquel vector de paraacutemetros
(119886 119887 119901 119902) que asegure que la esperanza matemaacutetica de la distribucioacuten GB2
es precisamente el valor buscado S Obseacutervese que es una variable
aleatoria y que por tanto una extraccioacuten particular de 1198661198612((119886 119887 119901 119902) 119873) no
tiene por queacute tener una media que coincida exactamente con el valor S
pero siacute se tiene la seguridad que es el mejor proceso aleatorio consistente
con ese valor En caso de que el problema anterior tuviese solucioacuten que no
tendriacutea por queacute ser uacutenica (no hay garantiacuteas de la existencia de un oacuteptimo
global en 119862) la forma de la funcioacuten de densidad empiacuterica puede no ser la
adecuada (Veacutease inconveniente 4)
Seriacutea interesante por todo ello que no soacutelo se buscase una funcioacuten
GB2 que minimizase la diferencia con respecto a S sino que a la vez su
forma se aproximase lo maacutes posible a los datos empiacutericos conocidos (dados
por la MCVL de ejercicios pasados) Se puede pensar entonces en ampliar
las condiciones del problema anterior para buscar no uacutenicamente un vector
(119886 119887 119901 119902) que minimice la distancia con respecto a S sino que ademaacutes
genere una funcioacuten de densidad que acote lo maacuteximo posible el
inconveniente 4 Para abordar esto uacuteltimo se necesitariacutea disponer de
indicadores de la forma de la distribucioacuten que puedan ser calculados en
funcioacuten de los paraacutemetros de la GB2 En realidad de (apq) que son los
que gobiernan la estructura de la funcioacuten
Por simplicidad en lo que sigue se haraacute mencioacuten uacutenicamente al
colectivo de Permanentes siendo todo extensible al de Eventuales sin maacutes
que aplicarlo sobre la GB2 correspondiente tal y como hemos comprobado
La razoacuten para esto maacutes allaacute de no extendernos aquiacute repitiendo el mismo
anaacutelisis y siacute respetar las normas de publicacioacuten es tambieacuten de orden
praacutectico ya que maacutes del 90 del total de las retenciones provienen del
colectivo de Permanentes
159
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Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
159
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Tabla 5 Magnitudes relevantes Permanentes 2007-2013
Fuente elaboracioacuten propia
La tabla anterior muestra los valores reales de algunos indicadores
relacionados con la forma de la distribucioacuten de densidad de los datos reales
Como se puede ver
1 La mediana y su relacioacuten con la media evolucionan de una manera
muy estable en el tiempo El ratio 119872119898 se mantiene en el entorno
del 80 Bajo el supuesto (razonable) de mantenimiento de dicho
valor en el ejercicio a estudio conocer la media (dato) implica tener
un valor (o un intervalo) de referencia para la mediana
2 La relacioacuten entre el percentil 80 y el 20 (11987580
11987520) dada por el indicador
qsr vinculado de manera directa a las colas de la distribucioacuten
tambieacuten mantiene un comportamiento estable y permitiriacutea estimar
un rango de variacioacuten para el ejercicio a estudio
3 Todo lo dicho antes es extensible a la evolucioacuten del Iacutendice de Gini
A la vista de los anterior se puede concluir que se dispone de tres
indicadores de la forma de la distribucioacuten salarial mdashMediana qsr Ginimdash con
un comportamiento conocido y estable La relacioacuten entre estas tres
magnitudes y los paraacutemetros (119886 119901 119902) es conocida analiacuteticamente (aunque
Medidas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Mediana (M) 1928353 2034678 2062539 2075674 2099105 2057833 2076855
Media (m) 2433472 2555689 2578541 2582866 2603224 2551263 2569324
qsr (8020) 5376 5439 5578 5619 5677 5683 5903
Gini 0339 0339 0341 0341 0341 0340 0344
Relaciones
Ratio Mm 7924 7961 7999 8036 8063 8066 8083
Tasa variacioacuten anual (M) 551 137 064 113 -197 092
Tasa variacioacuten anual (qsr) 502 089 017 079 -200 071
Tasa variacioacuten anual (Gini ) 117 256 074 103 011 387
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
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presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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169
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Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
160
no por ello sea sencilla) de manera que se pueden estimar para una
1198661198612 (119886 119887 119901 119902) los indicadores teoacutericos El problema a resolver seriacutea
encontrar uno o varios (pocos) vectores (119886 119887 119901 119902) isin 119862 cuya distribucioacuten GB2
teoacuterica tuviese una esperanza igual a la media (S) y que a su vez la
Mediana qsr y Gini teoacutericos fuesen los dados por hipoacutetesis Se busca por
tanto un (119886 119887 119901 119902)119900119901119905 isin 119862 tal que verifique simultaacuteneamente las siguientes
condiciones
a) 119878 = 119864(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
b) 119872119890 = 119872119890119889(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
c) 119902119904 = 119902119904119903(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
d) 119866119894119899 = 119866119894119899119894(1198661198612(119886 119887 119901 119902)119900119901119905)
donde 119872119890 119902119904 119866119894119899 seriacutean valores dados por hipoacutetesis
La resolucioacuten analiacutetica de semejante problema se adivina de una
complejidad importante en el supuesto de que fuese abordable por
procedimientos analiacuteticos Como alternativa se propone una resolucioacuten por
meacutetodos numeacutericos y en base a un algoritmo secuencial El algoritmo
propuesto es el siguiente
1 Se resuelve un problema similar al de minimizacioacuten presentado
anteriormente (pero ahora de manera menos restrictiva) Se busca
la coleccioacuten de puntos Q sub 119862 que verifican
Q = (a b p q)Abs(S minus S) le K tal que K gt 0 a b p q isin C
119876 es el subconjunto de 119862 que garantiza distribuciones BG2 cuya
esperanza matemaacutetica dista de S (dato) un valor menor que K
(arbitrario)
161
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
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169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
161
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
2 Sobre 119876 sub 119862 se van a buscar aquellos puntos que proporcionen
valores deseados para Mediana qsr y Gini El procedimiento seraacute
secuencial y en el orden anterior
a Se extrae sobre 119876 el siguiente colectivo
1198761 = (119886 119887 119901 119902) sub 119876119860119887119904(119872119890119889(119886 119887 119901 119902) minus 119872119890) le 119872
119905119886119897 119902119906119890 119872 gt 0
Donde 119872119890119889(119886 119887 119901 119902) es el valor teoacuterico de la Mediana
y 119872119890 el valor hipoteacutetico
b Anaacutelogamente se extrae sobre 1198761 el siguiente colectivo
1198762 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198761119860119887119904(119902119904119903(119886 119887 119901 119902) minus 119902119904) le 119877
119905119886119897 119902119906119890 119877 gt 0
c Finalmente sobre 1198762 se extrae 1198763
1198763 = (119886 119887 119901 119902) sub 1198762119860119887119904(119866119894119899119894(119886 119887 119901 119902) minus 119866119894119899) le 119866
119905119886119897 119902119906119890 119866 gt 0
53 Aplicacioacuten del algoritmo y comparacioacuten con datos reales
Colectivo de Permanentes 2013
El esquema anterior se ha programado en lenguaje R utilizando
como apoyo fundamentalmente el paquete GB2 en su versioacuten 21 La
estrategia de programacioacuten consiste en partir de una malla de puntos
(119886 119887 119901 119902) definida ad hoc y en cada punto computar 1198661198612(119886 119887 119901 119902) A partir
de ahiacute se van realizando de forma secuencial los pasos del algoritmo El
paquete GB2 permite el caacutelculo de todos los paraacutemetros teoacutericos necesarios
en cada paso
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
[1] Garciacutea C FJ Callialta y JJ Nuacutentildeez (2006) ldquoLa Evolucioacuten de la
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Paraacutemetros del Modelo de Dagumrdquo El Trimestre Econoacutemico 292 Paacutegs
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[2] Graf M y D Nedyalkova (2014) ldquoModeling of Income and Indicators of
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[4] Graf M y D Nedyalkova (2015) ldquoGB2 Generalized Beta Distribution of
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[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
162
Figura 2 Representacioacuten idealizada del espacio 119862 para un valor b=cte
Fuente elaboracioacuten propia
En base a la informacioacuten proporcionada por la muestra se pueden
estimar los intervalos de variacioacuten de las variables (119886 119887 119901 119902) esto es
[119886119898119894119899 119886119898119886119909] [119887119898119894119899 119887119898119886119909] [119901119898119894119899 119901119898119886119909] [119902119898119894119899 119902119898119886119909] y que define el espacio 119914
de buacutesqueda Una vez definidos los liacutemites se debe establecer el granulado
de la malla esto es la distancia δ que para cada una de ellas existe entre
dos valores consecutivos Por simplicidad tomaremos para a p q un mismo
δ δ=001 y para b un paso ε=10 Asiacute se estudiaran todas las
combinaciones de valores de (119886 119887 119901 119902) entre sus liacutemites y con los pasos δ
y ε anteriores Por ejemplo una malla construida con los siguientes
intervalos y pasos
a[4 6 by = 001]
b [20000 24000 by=10]
p [03 05 by =001]
q[03 05 by =001]
119918119913120784(119938119946 119939 119953119946 119954119946)
a p
q
δ
163
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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Distribucioacuten Personal de la Renta en Espantildea (1973-2000) a traveacutes de los
Paraacutemetros del Modelo de Dagumrdquo El Trimestre Econoacutemico 292 Paacutegs
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Distributions and Indicators of Poverty and Social Exclusionrdquo
httpswwwunitrierdefileadminfb4projekteSurveyStatisticsNetAmeli_Deli
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168
[4] Graf M y D Nedyalkova (2015) ldquoGB2 Generalized Beta Distribution of
the Second Kind Properties Likelihood Estimationrdquo
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[6] McDonald JB y A Mantrala (1995) ldquoThe distribution of income
Revisitedrdquo Journal of Applied Econometrics 10 Paacutegs 201-204
[7] Melis Maynar F (1995) La distribucioacuten personal del salario anual en
1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
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distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
163
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
da lugar a un retiacuteculo (el espacio 119862) con 3713661 puntos a estudio todos
ellos posibles candidatos a resolver el problema
Obseacutervese que si se reduce el paso la malla seriacutea mucho maacutes
tupida con lo que el nuacutemero de candidatos a estudio se multiplicariacutea y la
complejidad computacional tambieacuten Si se toma un paso demasiado grande
el problema se resuelve maacutes raacutepido al reducirse el nuacutemero de puntos a
evaluar y por ello se corre el riesgo de no encontrar solucioacuten En cualquier
caso el oacuteptimo del problema planteado va a depender del grado de precisioacuten
que se desee (o se pueda) emplear Los valores extremos de los intervalos
se toman a partir de la informacioacuten de la Tabla 5 Sobre este conjunto de
puntos se va a simular una posible solucioacuten situados en 2012 para el
ejercicio de 2013 Los uacutenicos datos que se suponen conocidos seriacutean la
media S=2569324 y el nuacutemero N=332217 Resolviendo el problema para
el ejercicio de 2013 con las siguientes hipoacutetesis
a) S=2569324 (dato conocido de la MCVL)
b) K=26 euros
c) Mediana [ 2050020800]
d) qsr [ 560 60]
e) Gini [ 0340 0350]
se obtienen a pesar del valor tan restrictivo de K once posibles
candidatos a solucioacuten tal y como aparece en la Tabla 6 cuyos resultados
finales tras ser aplicados hemos comprobado que no presentan sensibles
diferencias entre ellos Si por ejemplo se toma un valor K=26 euros el
nuacutemero de candidatos seriacutea en lugar de once ochenta y ocho en principio
tambieacuten todos ellos igual de vaacutelidos Este resultado ilustra el principal
problema de este meacutetodo la posible sobreabundancia de soluciones todas
factibles y la dificultad para elegir la ldquomejorrdquo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
[1] Garciacutea C FJ Callialta y JJ Nuacutentildeez (2006) ldquoLa Evolucioacuten de la
Distribucioacuten Personal de la Renta en Espantildea (1973-2000) a traveacutes de los
Paraacutemetros del Modelo de Dagumrdquo El Trimestre Econoacutemico 292 Paacutegs
783-808
[2] Graf M y D Nedyalkova (2014) ldquoModeling of Income and Indicators of
Poverty and Social Exclusion Using the Generalized Beta Distribution of the
Second Kindrdquo Review of Income and Wealth Vol 60 Issue 4 Paacutegs 821-
842
[3] Graf M y D Nedyalkova (2011) ldquoParametric Estimation of Income
Distributions and Indicators of Poverty and Social Exclusionrdquo
httpswwwunitrierdefileadminfb4projekteSurveyStatisticsNetAmeli_Deli
vrablesAMELI-WP2-D21-20110409pdf
168
[4] Graf M y D Nedyalkova (2015) ldquoGB2 Generalized Beta Distribution of
the Second Kind Properties Likelihood Estimationrdquo
httpscranr-projectorgwebpackagesGB2indexhtml
[5] Kleiber C y S Kotz (2003) Statistical size distributions in economics
and actuarial sciences Wiley series in Probability and Statistics
[6] McDonald JB y A Mantrala (1995) ldquoThe distribution of income
Revisitedrdquo Journal of Applied Econometrics 10 Paacutegs 201-204
[7] Melis Maynar F (1995) La distribucioacuten personal del salario anual en
1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
[8] Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006) Modelizacioacuten parameacutetrica de la
distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
164
Tabla 6 Candidatos oacuteptimos a la solucioacuten del problema
a b p q media mediana qsr Gini
520 20180 050 047 2569301 2063190 578 0349
590 20180 044 041 2569411 2066812 567 0346
590 20510 042 041 2569236 2068012 583 0350
600 20280 042 040 2569175 2061865 580 0350
530 20030 050 046 2569475 2062858 570 0347
540 20160 048 045 2569479 2062360 577 0349
580 20730 042 042 2569145 2073000 587 0350
590 20340 043 041 2569132 2067262 575 0348
580 20560 043 042 2569545 2072715 579 0348
540 20010 049 045 2569099 2061613 570 0347
560 20100 046 043 2569067 2057696 579 0350
Fuente elaboracioacuten propia
Graacutefico 12 Comparacioacuten graacutefica de los datos reales con dos modelos de ajuste numeacuterico
Fuente elaboracioacuten propia
A fin de comparar las ganancias del meacutetodo aquiacute presentado con
respecto a la minimizacioacuten pura de la diferencia con la media presentado
como punto de partida de este apartado se presenta el Graacutefico 12 Se
recogen en eacutel la distribucioacuten real del colectivo de Permanentes (2013) y las
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
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Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
[1] Garciacutea C FJ Callialta y JJ Nuacutentildeez (2006) ldquoLa Evolucioacuten de la
Distribucioacuten Personal de la Renta en Espantildea (1973-2000) a traveacutes de los
Paraacutemetros del Modelo de Dagumrdquo El Trimestre Econoacutemico 292 Paacutegs
783-808
[2] Graf M y D Nedyalkova (2014) ldquoModeling of Income and Indicators of
Poverty and Social Exclusion Using the Generalized Beta Distribution of the
Second Kindrdquo Review of Income and Wealth Vol 60 Issue 4 Paacutegs 821-
842
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Distributions and Indicators of Poverty and Social Exclusionrdquo
httpswwwunitrierdefileadminfb4projekteSurveyStatisticsNetAmeli_Deli
vrablesAMELI-WP2-D21-20110409pdf
168
[4] Graf M y D Nedyalkova (2015) ldquoGB2 Generalized Beta Distribution of
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1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
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distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
165
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
frecuencias empiacutericas obtenidas de los dos meacutetodos Como se puede ver el
ajuste uacutenicamente condicionado a la media (Ajuste_oacuteptimomedia) no
recoge la forma de la distribucioacuten real la curva empiacuterica es mucho menos
apuntada y el error en el intervalo modal es grande Si se aplica el segundo
meacutetodo a modo de ejemplo y sin peacuterdida de generalidad sobre el primer
candidato obtenido (el sombreado en amarillo en la Tabla 6) el resultado es
muy distinto Al haber forzado un ajuste condicionado a la media y a la vez a
otras medidas dependientes directamente de los paraacutemetros de forma
(Mediana qsr Gini) el resultado graacutefico es mucho mejor Si sobre esos
modelos teoacutericos se extraen dos realizaciones aleatorias con N=332217
elementos se pueden calcular y comparar con los valores reales tanto la
masa salarial total del colectivo como el total de retenciones Teacutengase en
cuenta que estos dos resultados (para Ajuste_oacuteptimomedia y
Ajuste_oacuteptimogeneral) son variables aleatorias al ser una realizacioacuten
concreta de sus respectivas 1198661198612(119886 119887 119901 119902) teoacutericas El resultado se muestra
en la tabla siguiente
Tabla 7 Retribuciones y Retenciones totales para Permanentes2013 y los
dos meacutetodos numeacutericos
Fuente elaboracioacuten propia
Como se puede constatar ambos modelos ajustan casi a la
perfeccioacuten la masa salarial total lo que era de esperar dado que ambos
ajustes buscan minimizar la distancia 119860119887119904(119878 minus 119878) De hecho el
Ajuste_oacuteptimogeneral es casi perfecto y mejor que el proporcionado por el
Ajuste_oacuteptimomedia Sin embargo al aplicarle a ambas el esquema de
Retenciones las diferencias son muy notables el que Ajuste_oacuteptimogeneral
Permanentes 2013 Ajuste oacuteptimo_media Ajuste oacuteptimo_general
Retribuciones 853573180710 859762986800 853026999900
Retenciones 153429854420 174796957000 159362412900
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retribuciones 07252 -00640
Variacioacuten Ajuste sobre
Permantes 2013 Retenciones 139263 38666
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
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Distribucioacuten Personal de la Renta en Espantildea (1973-2000) a traveacutes de los
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842
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Distributions and Indicators of Poverty and Social Exclusionrdquo
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vrablesAMELI-WP2-D21-20110409pdf
168
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su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
166
recoja mucho mejor la forma general de la distribucioacuten empiacuterica
(Permanentes-2013) sobre todo en los tramos centrales de la distribucioacuten
donde se acumulan la moda hace que la estimacioacuten de la recaudacioacuten por
Retenciones sea mucho maacutes ajustada
6 Conclusiones
El presente documento aborda la falta de informacioacuten sobre el
tiempo de trabajo existente en las fuentes estadiacutesticas fiscales en materia
de retribuciones salariales El problema que se plantea es que sin esta
informacioacuten no es posible abordar un correcto anaacutelisis de la distribucioacuten
personal de las rentas salariales Se plantea entonces la utilizacioacuten de la
Muestra Continua de Vidas Laborales (MCVL) como marco adecuado donde
abordar la solucioacuten al problema anterior puesto que en ella se integran
conjuntamente tanto informacioacuten fiscal como laboral relativa a los individuos
que la forman El conocimiento detallado del tiempo de trabajo permite
explicar de manera satisfactoria la forma que adopta la distribucioacuten de las
rentas salariales anuales Abundando en la misma liacutenea el tiempo de
trabajo permite una estratificacioacuten muy fructiacutefera de la poblacioacuten de
asalariados Conseguir una adecuada modelizacioacuten de las retribuciones
salariales es la siguiente cuestioacuten que se aborda en este documento Se
plantea aquiacute un ajuste de estas retribuciones en teacuterminos de la distribucioacuten
Beta Generalizada de Segunda Especie (GB2) distribucioacuten de cuatro
paraacutemetros que se muestra especialmente uacutetil este fin
Conocida la distribucioacuten de probabilidad se ajustan los salarios
anuales y se dispone de una herramienta uacutetil que permite abordar el anaacutelisis
de las Retenciones a cuenta del IRPF su simulacioacuten y su prediccioacuten Poder
estimar correctamente la recaudacioacuten por Retenciones de IRPF es de suma
importancia para presupuestar correctamente las partidas de gasto del
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
[1] Garciacutea C FJ Callialta y JJ Nuacutentildeez (2006) ldquoLa Evolucioacuten de la
Distribucioacuten Personal de la Renta en Espantildea (1973-2000) a traveacutes de los
Paraacutemetros del Modelo de Dagumrdquo El Trimestre Econoacutemico 292 Paacutegs
783-808
[2] Graf M y D Nedyalkova (2014) ldquoModeling of Income and Indicators of
Poverty and Social Exclusion Using the Generalized Beta Distribution of the
Second Kindrdquo Review of Income and Wealth Vol 60 Issue 4 Paacutegs 821-
842
[3] Graf M y D Nedyalkova (2011) ldquoParametric Estimation of Income
Distributions and Indicators of Poverty and Social Exclusionrdquo
httpswwwunitrierdefileadminfb4projekteSurveyStatisticsNetAmeli_Deli
vrablesAMELI-WP2-D21-20110409pdf
168
[4] Graf M y D Nedyalkova (2015) ldquoGB2 Generalized Beta Distribution of
the Second Kind Properties Likelihood Estimationrdquo
httpscranr-projectorgwebpackagesGB2indexhtml
[5] Kleiber C y S Kotz (2003) Statistical size distributions in economics
and actuarial sciences Wiley series in Probability and Statistics
[6] McDonald JB y A Mantrala (1995) ldquoThe distribution of income
Revisitedrdquo Journal of Applied Econometrics 10 Paacutegs 201-204
[7] Melis Maynar F (1995) La distribucioacuten personal del salario anual en
1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
[8] Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006) Modelizacioacuten parameacutetrica de la
distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
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su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
167
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
presupuesto dada la importancia cuantitativa que el Impuesto sobre la
Renta tiene para conjunto del sistema impositivo Por otra parte este trabajo
es un ejemplo de la riqueza de anaacutelisis existente en la combinacioacuten de
fuentes estadiacutesticas distintas (MCVL en su combinacioacuten de datos de
seguridad social y de datos fiscales) pero complementarias entre siacute
Fecha de recepcioacuten del artiacuteculo 24 de abril de 2016
Fecha de aceptacioacuten definitiva 21 de junio de 2016
7 Bibliografiacutea
[1] Garciacutea C FJ Callialta y JJ Nuacutentildeez (2006) ldquoLa Evolucioacuten de la
Distribucioacuten Personal de la Renta en Espantildea (1973-2000) a traveacutes de los
Paraacutemetros del Modelo de Dagumrdquo El Trimestre Econoacutemico 292 Paacutegs
783-808
[2] Graf M y D Nedyalkova (2014) ldquoModeling of Income and Indicators of
Poverty and Social Exclusion Using the Generalized Beta Distribution of the
Second Kindrdquo Review of Income and Wealth Vol 60 Issue 4 Paacutegs 821-
842
[3] Graf M y D Nedyalkova (2011) ldquoParametric Estimation of Income
Distributions and Indicators of Poverty and Social Exclusionrdquo
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168
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[7] Melis Maynar F (1995) La distribucioacuten personal del salario anual en
1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
[8] Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006) Modelizacioacuten parameacutetrica de la
distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
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P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
168
[4] Graf M y D Nedyalkova (2015) ldquoGB2 Generalized Beta Distribution of
the Second Kind Properties Likelihood Estimationrdquo
httpscranr-projectorgwebpackagesGB2indexhtml
[5] Kleiber C y S Kotz (2003) Statistical size distributions in economics
and actuarial sciences Wiley series in Probability and Statistics
[6] McDonald JB y A Mantrala (1995) ldquoThe distribution of income
Revisitedrdquo Journal of Applied Econometrics 10 Paacutegs 201-204
[7] Melis Maynar F (1995) La distribucioacuten personal del salario anual en
1992 Papeles de trabajo del Instituto de Estudios Fiscales nordm 1695
[8] Prieto Alaiz M y C Garciacutea Peacuterez (2006) Modelizacioacuten parameacutetrica de la
distribucioacuten personal de la renta en Espantildea Una aproximacioacuten a partir de la
distribucioacuten beta generalizada de segunda especie IEF PT N 2107
[9] Valverde Carameacutes P (2011) ldquoLa distribucioacuten personal de los salarios y
su relacioacuten con el tiempo de trabajordquo Economiacutea Espantildeola y proteccioacuten
Social nordm 3 Paacutegs 5-35
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
169
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
Apeacutendice 1 Estimacioacuten del error cometido en el caacutelculo de
Retenciones usando la MCVL Fuentes de error
Un hecho a tener en cuenta son los errores que en la estimacioacuten del
caacutelculo de retenciones genera la aplicacioacuten de la Funcioacuten de retencioacuten (Fr)
sobre los resultados teoacutericos obtenidos en base al anaacutelisis anterior Hay que
tener en cuenta que el aacuterbol de decisioacuten utilizado para su caacutelculo es muy
complejo y depende del salario total del trabajador de coacutemo se estructura
eacuteste (si lo cobra de un uacutenico pagador o de varios) de la situacioacuten personal
(casado o no hijos ascendiente a cargo etc) y maacutes Por otra parte no
todas estas variables son faacuteciles de manejar usando la MCVL y por ello no
han sido tenidas todas en cuenta y en lo referente a la estructura del salario
total anual del trabajador a efectos de todo lo anterior se ha supuesto un
uacutenico retenedor Es decir se aplica Fr al total del salario anual percibido
Todo lo anterior hace necesario estimar queacute error se comete por el uso de
una Fr simplificada respecto a la realmente aplicada El esquema de la Fr
usado es el siguiente (para el ejercicio 2013)
MINORACIONES
1 Minoracioacuten por Seguridad Social
2 Minoracioacuten por reduccioacuten (Artiacuteculo 182)
MINIMO PERSONAL
Miacutenimo personal=6000
ESCALA DE RETENCION
Escala del ejercicio 2013
CUOTAS
Dado que la MCVL ofrece los datos salariales y las retenciones realmente
aplicadas a cada trabajador se puede proceder como sigue
Se definen las siguientes magnitudes
R=Retenciones reales del colectivo a estudio
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
170
Γ=Retenciones calculadas
S=Salarios totales reales (anuales)
Š=Salarios anuales simulados (obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral)
donde
119877 = 119884(119878) donde Y es el algoritmo completo para el caacutelculo de retenciones
120548 = Ў (Š) donde Ў es la versioacuten reducida del algoritmo 119884 (119884 sub Ў) la Fr
simplificada Las retenciones calculadas se obtienen al aplicar un algoritmo
de retenciones reducido a los salarios prevenientes de un ajuste dado por
una GB2
Sea Abs(RmdashΓ)equiverror cometido en la estimacioacuten de las retenciones reales
esto es
휀 = R- Γ= Y(S)- Ў (Š)
Sea Ў (119878) el error que se comete cuando se usa el algoritmo de retenciones
reducido sobre el vector los salarios reales (conocido) Sumando y restando
en la expresioacuten anterior
휀 = Y(S) minus Ў (Š) + Ў (S) minus Ў (S)
Reordenando los factores
휀 = (Y(S) minus Ў (S)) + (Ў (S) minus Ў (Š)) = 휀d + δ le 휀d + δ
El error total cometido se puede por tanto separar en dos componentes
a) Error determinista (휀119889) Debido al uso del algoritmo reducido sobre los
salarios reales
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
171
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
b) Error aleatorio (ε) Debido al uso de salarios teoacutericos sobre el algoritmo
reducido
120634 le 120634119837 + 120517
Tabla 8 Estimacioacuten del peso de los errores cometidos en el caacutelculo de la
Retencioacuten
Retribuciones Retenciones
Permanentes
2013
853573180710 153429854420
Ajuste
Oacuteptimo General
8530269999 1593624129
Ε 5932558480
120634119941 4185970980
7056
Δ 17465875
2944
Por tanto se puede concluir que la mayor parte del error cometido en la
estimacioacuten del montante total de las retenciones del colectivo
Permanentes2013 se debe a que no se aplica el algoritmo de retenciones
exacto sino una aproximacioacuten De hecho el 70 del error cometido es
imputable a esa causa y menos de un 30 al hecho de reemplazar los
salarios reales por los obtenidos de Ajuste_oacuteptimogeneral
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
172
Apeacutendice 2 Orden y recaudacioacuten
En los apartados anteriores se hizo especial eacutenfasis en que la
ldquoformardquo de la distribucioacuten de los salarios (o de las rentas en general)
cuando se le aplica un impuesto progresivo era algo determinante De
hecho esa buacutesqueda de la ldquoformardquo adecuada era la clave de todo el
anaacutelisis Veamos por queacute esto es asiacute Sea Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 una coleccioacuten
de N rentas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 verificaacutendose que 119878 = sum (119910119894)119873119894=1 es la renta total
de ese colectivo Por simplicidad se supone que 119910119894 es un nuacutemero real
positivo Sea t por hipoacutetesis una funcioacuten de la renta real continua
derivable y creciente
119905R+ [01] 119905 es la funcioacuten de tipos marginales sobre la renta
Y
Para cada nivel de renta de Y 119910119894 se verifica que la recaudacioacuten
obtenida al aplicar 119905 viene dada por
119879(119910119894) = int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
La recaudacioacuten total obtenida de la aplicacioacuten de t al conjunto Y T
viene dada por
119879(1199101 hellip 119910119873) = sum 119879(119910119894)
119873
119894=1
= sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
Llegados a este punto se puede plantear si existe alguacuten conjunto de
N rentas que sumando S es decir conservando la renta total proporcione
un valor oacuteptimo (maacuteximo yo miacutenimo) para 119879 Se plantea asiacute un problema de
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
173
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
optimizacioacuten sujeto a una restriccioacuten lineal Este problema admite solucioacuten
en los teacuterminos de un problema de optimizacioacuten de Lagrange
Max 119879 = sum int 119905(119909)119889119909119910119894
0119873119894=1
Sujeto a
119878 = sum(119910119894)
119873
119894=1
Formando el lagrangiano 119871 se tiene
119871(1199101 hellip 119910119873 120582) = [sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus 120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Expresioacuten de la funcioacuten lagrangiana
120575119871
120575119910119894= 0 119894=12hellip119873 Ecuaciones de Lagrange
120575119871
120575119910119894
=120575
120575119910119894
[sum int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
] minus120575
120575119910119894
120582 ((sum(119910119894)
119873
119894=1
) minus 119878)
Aplicando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se tiene
120575119871
120575119910119894
= sum120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
119873
119894=1
minus 120582 =120575
120575119910119894
int 119905(119909)119889119909
119910119894
0
minus 120582 = 119905(119910119894) minus 120582 = 0
120582 = 119905(119910119894) 119894 = 12 hellip 119873
De lo anterior se deduce que
Problema de optimizacioacuten de
Lagrange
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
174
120640 = 119905(1199101) = 119905(1199102) = ⋯ = 119905(119910119873)
Para la funcioacuten 119905 en los teacuterminos de las hipoacutetesis del problema la
relacioacuten anterior se verifica si se estaacute evaluando a 119905 en el mismo punto esto
es
1199101
= 1199102 = ⋯ = 119910119873 = 119910
Aplicado lo anterior sobre la restriccioacuten lineal
119878 = sum (119910119894)119873119894=1 =119873119910 rarr 119962 =
119930
119925= 119962
Asiacute pues existe un candidato a oacuteptimo en el punto 119910 hellip 119910
Aplicando lo anterior
119879119900119901 = sum 119905(119910119894)
119873
119894=1
= sum 119905 (119930
119925)
119873
119894=1
= 119873119905 (119930
119925) = 119873119905(119962)
119879119900119901 = 119873119905(119910)
Pasando a los criterios de segunda derivada para el lagrangiano 119871
se tiene
120597
120597119910119895(
120575119871
120575119910119894) =
120597
120597119910119895(119905(119910119894) minus 120582) = 0 para todo jnei
120597
120597119910119894
(120575119871
120575119910119894
) =120597
120597119910119894
(119905(119910119894) minus 120582)) =119889
119889119910119894
119905(119910119894) = 119905prime(119910119894)
De aquiacute se concluye que la matriz Hessiana tendraacute la siguiente
forma
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
175
Economiacutea Espantildeola y Proteccioacuten Social VIII Antildeo 2016 Paacutegs 139-175
P Valverde Carameacutes Distribuciones salariales ajuste y proyeccioacuten Una aplicacioacuten a la estimacioacuten de retencioneshellip
H=[119905prime(1199101) ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 119905prime(119910119873)
]
El caraacutecter de la matriz H aplicada en el punto oacuteptimo dependeraacute
del valor de 119905prime(119910) Como por hipoacutetesis 119905 es una funcioacuten creciente se tiene
que 119905prime(119910) gt0 y con lo que todos los menores principales seraacuten positivos Ello
implica que H es definida positiva y que 119884 = 119962 hellip 119962 seriacutea un miacutenimo para la
recaudacioacuten total La recaudacioacuten miacutenima se da cuando la distribucioacuten de
rentas es absolutamente equitativa Obseacutervese que no existe una uacutenica
combinacioacuten Y=1199101 11991021199103 hellip 119910119873 que proporcione un maacuteximo de recaudacioacuten
ya que cualquiera de ellas en las que N-1 unidades tengan la miacutenima renta
posible (por hipoacutetesis no hay rentas nulas 119910119894 gt 0 119894=12hellip119873 ) y la restante
acumule el resto seriacutea un maacuteximo de recaudacioacuten El caso ideal seriacutea que
toda la renta S se acumulase en un uacutenico individuo lo que dariacutea lugar al
maacuteximo de recaudacioacuten La maacutexima recaudacioacuten se consigue con la
distribucioacuten de renta menos equitativa En conclusioacuten la forma de la
distribucioacuten de las rentas es determinante de la recaudacioacuten obtenida
cuando se aplica sobre ella un impuesto progresivo
