DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL · DESCRITIVA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PROBABILIDADE População Amostra EXTRAÇÃO DE AMOSTRAS ALEATÓRIAS Estatística Aplicada à

Estatística Aplicada à Engenharia

Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 1

Estatística Aplicada à Engenharia 1

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO PONTUAL

ROTEIRO

1.  Introdução 2.  Teorema Central do Limite 3.  Conceitos de estimação pontual 4.  Métodos de estimação pontual 5.  Referências


INTRODUÇÃO

POPULAÇÃO E AMOSTRA

• População: •  Conjunto de elementos que apresentam pelo menos uma

característica em comum

• População Alvo: •  População de interesse da pesquisa

• Amostra: •  Qualquer subconjunto não vazio da população




CARACTERÍSTICAS DA AMOSTRA

CARACTERÍSTICAS DA POPULAÇÃO

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE

População

Amostra

EXTRAÇÃO DE AMOSTRAS

ALEATÓRIAS


TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

• Procedimento a ser adotado na seleção dos elementos da amostra

• O objetivo central é obter uma amostra representativa •  Amostra que representa toda a população da melhor

maneira possível

• A representatividade depende de: •  Metodologia adotada para seleção da amostra •  Tamanho da amostra


PROBLEMA FUNDAMENTAL DA ESTATÍSTICA

A partir da observação de amostras, COMO podemos tirar CONCLUSÕES sobre a POPULAÇÃO ?


PLANEJANDO UM EXPERIMENTO

•  Identificar seu objetivo

•  Coletar dados amostrais

•  Usar procedimento aleatório para evitar vício

•  Analisar dados e tirar conclusões




ERRO AMOSTRAL

•  Diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacional •  são resultantes de flutuações amostrais aleatórias.


ERRO NÃO–AMOSTRAL

•  Incorreção na coleta, registro ou análise de dados amostrais

•  Exemplos •  Coleta tendenciosa de amostra •  Utilização de instrumento descalibrado •  Registro incorreto de dados amostrais


INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

•  Definição: •  Procedimentos para generalizar características de uma

população a partir da informação contida na amostra.

•  Baseia-se na Teoria de Probabilidades

•  Áreas: •  Estimação de parâmetros •  Testes de hipóteses.


ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

•  Estimação Pontual

•  Estimação Intervalar •  Intervalos de Confiança




TESTE DE HIPÓTESES

•  Hipótese: •  Afirmação (alegação) sobre característica populacional

•  Teste de Hipóteses: •  Procedimento padrão para se testar uma afirmativa sobre

característica populacional


CONCEITOS FUNDAMENTAIS

•  Amostra aleatória: •  As variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn são uma amostra

aleatória de tamanho n, se: •  Forem independentes •  Cada Xi tiver mesma distribuição de probabilidades


•  Parâmetro: •  Quantidades de interesse da população •  Em geral, desconhecidas •  Média de uma população (µ) •  Desvio-padrão de uma população (σ)

•  Representadas por letras gregas •  Notação para estimador qualquer: θ


CONCEITOS

•  Estatística: •  Qualquer função da amostra

•  Estimador: •  Qualquer função da amostra que não dependa de

parâmetros desconhecidos •  Exemplo : Alguns estimadores da amostra aleatória X1, X2, ...,

Xn: X(1) = mín(X1, X2, ..., Xn) X(n) = máx(X1, X2, ..., Xn)


n

XX

n

ii

n

∑== 1

( )1

2

12

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

CONCEITOS



•  Distribuição amostral: •  Distribuição de probabilidades de um estimador

•  Exemplo: •  Distribuição amostral da média •  Parâmetros da distribuição amostral da média


( ) XnX µ=E ( )n

X Xn

2

Var σ=

CONCEITOS

•  Espaço paramétrico (Θ) •  Conjunto de possíveis valores que o parâmetroθpode assumir

•  Exemplo: Seja a amostra aleatória X1, X2, ..., Xn de X ~ N(µ, σ2)

•  Se σ2 = 1, então θ = µ é o parâmetro desconhecido e Θ = {µ, –∞ < µ < ∞}

•  Se µ = 0, então θ = σ2 é o parâmetro desconhecido e

Θ = {σ2, σ2 > 0}


CONCEITOS

•  Estimador de θ •  Qualquer estatística que assuma valores em Θ.

•  Notação:

•  Exemplo: Alguns estimadores para a média µ de uma população •  Média da amostra •  Mediana da amostra •  X1


θ̂

CONCEITOS

•  Estimativa de parâmetro populacional: •  é um valor específico, ou um intervalo de valores, usado para

estimar parâmetro populacional

•  Estimativa pontual: •  é um único valor numérico de uma estatística θ


CONCEITOS



TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL)

TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

•  Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória de tamanho n de uma população (finita ou infinita), com média µ e variância finita σ2. Então

quando n → ∞.


Z = Xn −µσ / n

~ N(0,1)

•  Comentários: •  A aproximação normal para a média amostral depende do

tamanho da amostra

•  Com população contínua, unimodal e simétrica, na maioria dos casos, o TCL trabalha bem para pequenas amostras (n = 4, 5).

•  Em muitos casos de interesse prático, a aproximação normal será satisfatória para n ≥ 30

•  Se n < 30, o TCL funcionará se a distribuição da população não for muito diferente da normal


TEOREMA CENTRAL DO LIMITE EXEMPLO – SIMULAÇÃO

•  População exponencial com média 1: •  λ = 1 •  Geração de 10.000 valores dessa população •  Amostra de tamanho 1 (n = 1)




Amostra n =1


> mean(amostra); sd(amostra) [1] 0.9990838 [1] 1.010478

Amostra n = 2


> mean(media_n); sd(media_n) [1] 1.012711 [1] 0.7129089

•  Amostras de tamanhos 2, 4, 10 e 20


n_2 n_4 n_10 n_20 n 2.000 4.000 10.000 20.000 media 0.995 1.000 0.996 0.999 dp 0.704 0.502 0.319 0.222

EXEMPLO – SIMULAÇÃO

•  População com densidade em U: •  f(x) = 12 (x – 0,5)2

•  Geração de 10.000 valores dessa população

•  Amostra de tamanho 1 (n = 1)




Amostra n =1


> mean(amostra); sd(amostra) [1] 0.5061657 [1] 0.3877259

Amostra n = 2


> mean(media_n); sd(media_n) [1] 1.012711 [1] 0.7129089

Amostras de tamanhos 2, 4, 10 e 20


n 2.000 4.000 10.000 20.000 media 0.502 0.499 0.499 0.499 Dp 0.274 0.196 0.122 0.086

COMPARAÇÃO DE POPULAÇÕES

•  Considere duas populações: •  População 1: média µ1 e variância σ1

2 •  População 2: média µ2 e variância σ2

2

•  Amostras aleatórias das duas populações? •  Amostra da população 1 de tamanho n1: •  Amostra da população 2 de tamanho n2:


X1X2



•  Caso 1: As duas populações são normais independentes •  Distribuição amostral da diferença

•  Média da diferença de médias amostrais:

•  Variância da diferença de médias amostrais:



X1 − X2 ~ N(µdif ,σ2dif )

µdif = E X1 − X2( ) = E X1( )−E X2( ) = µ1 −µ2

σ dif2 =Var X1 − X2( ) =Var X1( )+Var X2( ) = σ1

2

n1+σ 22

n2

•  Caso 2: populações não normais com tamanhos amostrais maiores que 30

•  Pode-se usar o TCL para aproximar a distribuição amostral da diferença:



DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL APROXIMADA DE DIFERENÇA DE MÉDIAS AMOSTRAIS

•  Suponha: •  Duas populações independentes, com médias µ1 e µ2 e

variâncias σ12 e σ2

2 •  Amostras aleatórias independentes de tamanhos n1 e n2

dessas populações

se as condições do TCL se aplicarem.


Z =X1 − X2( )− µ1 −µ2( )

σ12

n1+σ 22

n2

~ N(0,1)

A vida efetiva de um componente usado no motor de uma turbina de um avião a jato é uma variável aleatória com média 5000 horas e desvio-padrão 40 horas. Suponha normalidade e independência onde necessário. O fabricante do motor introduz uma melhor ia no processo de fabr icação desse componente, que aumenta a vida média para 5050 horas e diminui o desvio-padrão para 30 horas. Uma amostra aleatória de 16 componentes é selecionada do processo antigo e outra de 25 elementos é selecionada. Qual a probabilidade de que a diferença das média amostrais seja no mínimo de 25 horas? Estatística Aplicada à Engenharia 36

EXEMPLO – VIDA DE MOTOR



C O N C E I T O S

ESTIMAÇÃO PONTUAL

PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR

•  Alguma propriedades importantes:

•  Vício

•  Consistência

•  Eficiência


VÍCIO

•  Vício de um estimador:

•  Um estimador é não viciado (não viesado, não tendencioso) para um parâmetro θ se

•  A esperança de um estimador está relacionada com sua exatidão


Vicio θ̂( ) = E θ̂ −θ( ) = E θ̂( )−θ;θ̂

E θ̂( ) =θ;

•  Exemplos: •  A média amostral é não viciada para estimar a média

populacional:

•  X1 (primeiro item coletado da amostra) é não viciado para estimar a média populacional:


( ) XnX µ=E

( ) XX µ=1E

VÍCIO



•  A variância amostral

é não viciada para estimar a variância populacional (σ2)? Em outras palavras, verifique se


VÍCIO

E(S2 ) =σ 2.

S2 = 1n−1

Xi − X( )2

i=1

n

∑

VARIÂNCIA DE ESTIMADOR

•  e estimadores não viciados para θ•  Variâncias diferentes

•  É mais provável que θ1 produza uma estimativa mais próxima de θ.


θ̂1 θ̂2

Var θ̂1( ) <Var θ̂2( )

ESTIMADOR DE VARIÂNCIA MÍNIMA

•  Se considerarmos todos os estimadores não tendenciosos para θ, aquele com a menor variância será chamado de estimador não tendencioso de variância mínima;

•  Esse estimador é o mais provável, dentre todos os não viciados, para produzir uma estimativa que seja mais próxima do valor verdadeiro.


ERRO-PADRÃO

•  O erro-padrão de um estimador é o seu desvio-padrão

•  O erro-padrão do estimador está relacionado com sua precisão;


θ̂

σθ̂= Var θ̂( );



•  S e o e r r o - p a d r ã o e n v o l v e r p a r â m e t r o s desconhecidos que possam ser estimados, então a substituição daqueles valores produz um erro-padrão estimado •  O erro-padrão da média amostral será

•  Se não conhecermos σ, substituímos pelo desvio-padrão amostral. O erro-padrão estimado da média amostral será


ERRO-PADRÃO

σ X =σn;

σ̂ X =Sn;

•  Quando o estimador seguir uma distribuição normal, podemos estar confiantes que o valor verdadeiro do parâmetro estará entre dois erros-padrão da estimativa •  Esse resultado é muito útil para grandes valores de n

•  Nos casos em que o estimador é não viciado e não normalmente distribuído •  Estimativa do parâmetro desviará do valor verdadeiro em

mais de 4 erros-padrão no máximo 6% das vezes


ERRO-PADRÃO

•  Quadro comparativo:


PRECISÃO VS. EXATIDÃO

Definição: Um estimador é consistente se, à medida em que o tamanho amostral aumenta, seu valor esperado converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero.


θ̂

•  O estimador é consistente se

•  Consistência é uma propriedade assintótica (grandes amostras);

limn→∞

E θ̂( ) =θ e limn→∞

Var θ̂( ) = 0;

CONSISTÊNCIA



•  Exemplos: •  A média amostral é consistente para estimar a média

populacional;

•  O primeiro item coletado da amostra não é consistente para estimar a média populacional.


CONSISTÊNCIA

•  O erro quadrático médio de um estimador para o parâmetro θ é definido como

•  EQM – Vício e erro-padrão

•  O EQM é um critério importante para comparar dois estimadores;


ERRO QUADRÁTICO MÉDIO

EQM θ̂( ) = E θ̂ −θ( )2;

θ̂

EQM θ̂( ) =Var θ̂( )+ Vicio θ̂( )⎡⎣

⎤⎦2;

•  Estimadores tendenciosos podem ser preferíveis a estimadores não viciados se tiverem um menor EQM;

•  Estimativa baseada em θ1 estaria provavelmente mais próxima do valor verdadeiro do que a baseada em θ2;



•  Estimador ótimo para θ: •  Tem EQM menor ou igual ao EQM de qualquer outro

estimador, para todos os valores de θ no espaço paramétrico;

•  Estimadores ótimos raramente existem;





•  No caso em que é um estimador não viciado para um parâmetro θ, então


θ̂

EQM θ̂( ) =Var θ̂( ).

ERRO QUADRÁTICO MÉDIO EFICIÊNCIA

•  Dados dois estimadores e , não viciados para um parâmetro θ, dizemos que é mais eficiente que se


θ̂1 θ̂2θ̂1

θ̂2

Var θ̂1( ) <Var θ̂2( ).

•  Exemplo: •  No caso de amostra proveniente de distribuição Normal. •  Média amostral e mediana amostral são não viciadas para

estimar a média populacional:

•  Média amostral e mediana amostral são consistentes para estimar a média verdadeira:

•  A média amostral é mais eficiente que a mediana amostral para estimar a média populacional


E X( ) = µ e E !X( ) = µ;

EFICIÊNCIA

Var X( ) = σ2

n e Var !X( ) = π2

σ 2

n;

Var X( )Var !X( )

=σ 2

nπ2σ 2

n

=2π≈ 0,64 <1;

REFERÊNCIAS



BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

•  Montgomery, D. C. (LTC) Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros

•  Pinheiro, J. I. D et al. (Campus) Probabilidade e Estatística: Quantificando a Incerteza


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