Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT
BERDASARKAN KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA
DAN DISTRIBUSI BETA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat
untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
MURWATI
0901060157
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO
2013
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
HALAIVIAN PERSE TUJUAT\I
DISTRIBUSI GAMMA BIVARIATBERDASARKANT KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA
DAN DISTRIBUSI BETA
SKRIPSI
Oleh:
MURWATI0901060157
Skripsi ini disetujui oleh dosen pemhimbing untukdiajukan dandipertahankan di depan tim penguji Skripsi Program Studi Pendidikan
Matematika FKIP Univercitas Muhammadiyah Purwokerto
Mengetahui,
Pembimbing I Pembimbing tI
/iir aJ>ffiy(-Ekasetvaninssih.M.Si llr.ffii
h[fK.zrcang hlrK. 2t60037
l1tDistribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
Skripsi Berjudul
DISTRIBUSI GAMMA BTVARIATBERDASARKAI\I KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA
DAI\ DISTRIBUSI BETA
Dipersiapkau dan disusun oleh:
MT}RWATI0901060157
Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 14 Agustus 2013
dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan
persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
1.
Pembimbing
Eka Setyaningsih. S.Si.. M.SiNIK.2160109
Dr. H. Akhmad Jazuli. M.SiNIK.2160037
Penguji
Erni Widiyastuti. S.Si.. M.SiNtK.2160227
Chumaedi Sugihandardji. S,Si.. M.SiNIK.2160127
1.
2. zarul/Purwokerto, 14 Agustus 2013
Universitas Muharnmadiyah PurwokertoFakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikansffi
lllDistribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
SURAT PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Murwati
090 r 060 157
Pendidikan Matematika
Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Nama
NIM
Program Studi
Fakultas
Menyusun skripsi dengan judul :
DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT BERDASARKAI\I KARAKTERISTIK
DISTRIBUSI GAMMA DAI\[ DISTRIBUSI BETA
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalatr hasil karya tulis saya sendiri dan
bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya oftmg lain. Bila pernyataan ini tidak benar,
maka saya bersedia menerima sanksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaan yang sudah saya
peroleh.
Pnrwokerto, 14 Agustus 2013
Yang menyatakan
MURWATI(0e010601s7)
1V
a Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
v
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk membangun distribusi Gamma Bivariat
berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta serta membangun
pdf bersama, ekspektasi, dan kovariannya. Penelitian ini menggunakan metode
studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1) Menyelidiki kaitan
antara distribusi Gamma dan distribusi Beta. 2) Menelaah Lemma Yeo dan Milne.
3) Membangun distribusi Gamma Bivariat dengan Metode Transformasi Jacobian.
4) Mencari pdf bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat
yang telah dibangun. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat
disimpulkan bahwa dapat dibentuk dua distribusi Gamma Bivariat berdasarkan
karakteristik distribusi Gamma dan Beta dari dan dengan : a) dan
merupakan variabel random yang berdistribusi Gamma dan merupakan varibel
random yang berdistribusi Beta; b) dan merupakan variabel random yang
berdistribusi Beta dan merupakan varibel random yang berdistribusi Gamma.
Selain itu, dapat dibangun pula pdf bersama, ekspektasi, dan kovarian berdasarkan
karakteristik masing-masing distribusi Gamma dan distribusi Beta yang disajikan.
Kata kunci: Distribusi Gamma, Distribusi Beta, Distribusi Gamma Bivariat,
Lemma Yeo dan Milne
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
vi
۷ ٦
MOTTO
فاذافرغت فا نصب لعسريسرا١ا ن مع “Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila
kamu telah selesai (dari suatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain)”
Q.S. Al. Insyirah: 6-7
ماانتم بمعجزين ت و ان ماتوعدون ل“Sesungguhnya apapun yang dijanjikan kepadamu pasti datang dan
kamu tidak mampu menolaknya” Q.S. Al An’am: 134
Pertolongan Allah mungkin tidak secepatnya, tapi selalu setepat-Nya.
Hidup memang indah, tapi akan lebih indah apabila memberikan kebahagiaan kepada orang-orang yang kita sayangi.
۴۳۱
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
vii
PERSEMBAHAN
Rasa syukur terucap pada-Mu Ya Rabb atas berkat dan rahmat-Mu
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Dengan kesungguhan
hati, skripsi ini saya persembahkan untuk:
1. Kedua orang tua saya yang telah memberikan dukungan dan
doa yang tak pernah henti-hentinya kepada saya.
2. Adik-adik saya tercinta; Bagas Saputra dan Farih Akmal
Ghaisan yang selalu memberi semangat dan doa.
3. Nenek dan kakek saya yang sangat saya cintai yang selalu
memberikan doa dan dukungan penuh agar skripsi ini cepat
terselesaikan.
4. Untuk teman-teman tersayang khususnya teman Kosyandu dan
teman dari Prodi Matematika angkatan 2009 yang telah
memberikan dukungan selama saya menyusun skripsi ini.
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
viii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya,
sehingga penulis dapat menyusun skripsi yang berjudul “Distribusi Gamma
Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta”.
Skripsi ini penulis susun sebagai persyaratan akhir untuk memperoleh gelar
sarjana di Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
Dalam penelitian skripsi ini, peneliti banyak mendapatkan bimbingan dan
bantuan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan yang baik ini, peneliti
mengucapkan terima kasih kepada
1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H, M.H, Rektor Universitas Muhammadiyah
Purwokerto.
2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas muhammadiyah Purwokerto.
3. Erni Widiyastuti, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
4. Eka Setyaningsih, S.Si, M.Si dan Dr. H. Akhmad Jazuli, M.Si selaku
Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah meluangkan waktu untuk
memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.
5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah
memberi bimbingan selama belajar di Universitas Muhammadiyah
Purwokerto.
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
ix
6. Semua pihak yang telah memberikan bantuan yang tidak dapat penulis
sebutkan satu persatu.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak dan
menambah wawasan bagi para pembaca.
Purwokerto, Juli 2013
Penulis
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
x
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN .............. ...................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii
SURAT PERNYATAAN ............................................................................. iv
ABSTRAK ...................................................................................................... v
MOTTO .......................................................................................................... vi
PERSEMBAHAN ......................................................................................... vii
KATA PENGANTAR .................................................................................. viii
DAFTAR ISI ................................................................................................. x
DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiv
BAB 1 PENDAHULUAN .............................................................................. 1
A. Latar Belakang ........................................................... ............ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................... 4
C. Tujuan Penelitian .................................................................... 4
D. Manfaat Penelitian ................................................................. 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA .................................................................... 6
A. Jumlahan Power Binomial ........................................................ 6
B. Turunan dan Integral ................................................................ 7
1. Turunan .............................................................................. 7
2. Integral ............................................................................... 10
C. Beberapa Fungsi Khusus ........................................................ 13
1. Fungsi Gamma ................................................................... 13
2. Fungsi Whittaker ................................................................ 17
3. Fungsi Tricomi ................................................................... 17
4. Fungsi Gamma Tak Lengkap ............................................. 18
5. Fungsi Beta ........................................................................ 19
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
xi
D. Variabel Random Kotinu ........................................................ 23
1. Variabel Random ............................................................... 23
2. pdf (Probability Density Function) dan CDF
(Cummulative Distribution Function) untuk Variabel
Random Kontinu ................................................................ 24
3. Ekspektasi dan Variansi ..................................................... 26
4. Momen ............................................................................... 28
E. Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ................................... 29
1. Distribusi Gamma .............................................................. 29
2. Distribusi Beta .................................................................... 32
F. Distribusi Bersama ................................................................. 34
1. pdf Bersama ....................................................................... 34
2. pdf Marginal ....................................................................... 35
3. Variabel Random Saling Bebas ......................................... 36
4. Ekspektasi dan Produk Momen .......................................... 37
5. Metode Transformasi Jacobian .......................................... 39
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 40
BAB IV PEMBAHASAN .............................................................................. 44
A. Kaitan Antara Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ........... 44
B. Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik
Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ..................................... 49
C. Karakteristik Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan
Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ............... 56
1. pdf Bersama Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan
Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta ........ 56
2. Ekspektasi dan Kovarian .................................................... 77
BAB V PENUTUP ........................................................................................ 88
A. Kesimpulan .............................................................................. 88
B. Saran ......................................................................................... 89
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................... ............... 90
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
xii
DAFTAR SIMBOL
: anggota
: himpunan bilangan riil
: himpunan bilangan bulat
: himpunan bilangan bulat positif
: union/ gabungan
| | : nilai mutlak dari
: kurang dari
: lebih dari
: kurang dari atau sama dengan
: lebih dari atau sama dengan
: ( )( )
( ) : fungsi Gamma dengan parameter
( ) : fungsi Gamma Tak Lengkap pada interval [ ]
( ) : fungsi Gamma Tak Lengkap pada interval [ ]
( ) : fungsi Beta dengan parameter bentuk dan
( ) : Fungsi Whittaker dari dengan parameter dan
( ) : Fungsi Tricomi dari dengan parameter dan
( ) : nilai ekspektasi dari variabel random
( ) : variansi dari variabel random
( ) : fungsi pembangkit momen dari variabel random
( ) : momen ke- dari variabel random
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
xiii
: tak terhingga
: negatif tak terhingga
: bilangan alam (2,718282…)
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Daerah pengintegralan pada bidang ( ) ................................ 11
Gambar 2. Integral lipat dua dengan daerah persegi panjang ................. 12
Distribusi Gamma Bivariat..., Murwati, FKIP UMP, 2013