Upload
siti-atiqoh
View
245
Download
22
Embed Size (px)
Citation preview
Distribusi Khi Kuadrat ( 2)
Distribusi 2
(baca: khi kuadrat) juga merupakan distibusi dengan peubah
acak kotinu.
Umumnya grafiknya merupakan grafik dengan kemiringan atau kelandaian
positif, yaitu grafik dengan kelandaian ke kanan. Kelandaian ini semakin berkurang
jika dk semakin besar.
Untuk perhitung-perhitungan telah disiapkan daftar H seperti halnya juga
dengan distribusi-distribusi yang lain.
Umumnya grafik mempunyai kelandaian
(kemiringan) positif (ke kanan) untuk dk yang makin
besar, kelandaian semakin berkurang.
Bentuk daftar H
Kolom pertama (dk) ialah bilangan bilangan yang menunjukkan derajat
kebebasan yang akan dipakai. Sedangkan kolom-kolom berikutnya menunjukkan 2
tergantung dari tingkat keberartian yang dipakai dan luas daerah yang digunakan.
Daftar G
Nilai persentil untuk distribusi 2
for
THE CHI-SQUARE DISTRIBUTION
With v degrees of freedom
(shaded area = p)
Cara membaca daftar H
1) Untuk mencari nilai dengan p = 0,09 dan dk = 19, maka di bawah kolom dk
cari bilangan 19 kemudian telusuri ke kanan sampai bertemu dengan bilangan
yang terdapat pada kolom . Bilangan yang dicari ialah 36,2. Artinya nilai
= 36,2.
2) Kurva di sebelah ini untuk dk = 15
a) Jika luas daerah yang diarsir di sebelah kiri 2 = 0,25 artinya p = 0,25 maka
nilai , untuk dk = 15 ialah 11,00
b) Jika luas daerah yang diarsir di sebelah kanan 2 = 0,025 artinya p = 1 -
0,025 = 0,975 maka nilai , untuk dk = 15 ialah 27,50.
c) Jika jumlah luas yang diarsir 0,10 akan terjadi banyak hal. Karena distribusi
2 tidak simetris, mungkin luas ujung kanan = 0,02 dan luas ujung kiri = 0,08
atau juga 0,07 dan 0,03 dan seterusnya. Dalam hal demikian jika tidak
dinyatakan apa-apa, biasanya digunakan. “fifty-fifty” yaitu luas daerah yang
kanan sama dengan luas daerah yang kiri.
Seandainya dk = 9 maka luas daerah ujung kiri 0,05 berarti p = 0,05 maka
didapat 3,33. Sedangkan luas daerah ujung kanannya 0,05 berarti p =
1 – 0,05 = 0,95 maka nilai didapat 16,9.
UJI CHI KUADRAT DAN UJI KECOCOKANYA
1. MENGUJI PROPORSI DATA MULTINOM
Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa peristiwa atau katagori
katagori
A1, A2,...... , Ak yang saling terpisah masing masing dengan peluang p1 = P(A1),
p2 = = P(A2),..... pK = P(Ak)
Akan di uji pasangan hipotesis
Ho ; p1 = pio, 1 = 1, 2, .....k, dengan pio sebuah harga yang di ketahui
H1 ; p1 pio
Di sini, tentu saja ∑ p1 = pio = 1
Pengujian yang di tempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak
yang berukuran n yang di dalam nya ada O1 dari kategori kesatu (A1) , O2 dari
kategori kedua (A2) , ....Ok dari katagori ke k (Ak). Dengan pio yang di berikan
kita dapat menghitung masing masing frekuensi yang di harakan E1 =n pio, E2
= n p20 ....., EK = n pko.
Jelas bahwa O1 + O2 + ... Ok = E1 + E2 + ... Ek = n. Harga harga O1 + O2 + ... Ok
Merupakan nilai nilai yang nampak sebagai hasil pengamatan sedangkan E1 ,
E2... Ek merupakan nilai nilai yang di harapkan terjadi atau nilai nilai teoritik.
Agar mudah di ingat, adanya kategori A1, hasil pengamatan O1, hasil yang di
harapkan E1, sebaiknya di susun dalam daftar sebagai berikut.
Katagori A1 A2 ......... Ak
Pengamatan O1 A2 ......... Ok
Di harapkan E1 A2 .......... Ek
Untuk menguji pasangan hipotesis diatas, digunakan statistik:
. . . . . .
Bentuk lain rumus diatas adalah:
. . . . . .
Ternyata bahwa ststistik di atas berdistribusi chi-kuadrat dengan dk = ( k – 1 ).
Kriteria pengujian adalah; tolak Ho jika x2 ≥ x2 ( 1 – ) ( k – 1) dengan = taraf nyata
untuk pengujian. Dalam hal lainya H0. Di terima.
Contoh; kita tahu bahwa peluang nampaknya salah satu permukaan dadu
homogin masing masing = 1 6. Sebuah eksperimen telah di lakukan
sebanyak 120 kali dengan sebuah dadu dan menghasilkan 16 muka bermata
sat, 24 mata dua, 23 mata 3, 15 mata 4, 17 mata 5, 25 mata 6. Akan di uji
apakah dadu tersebut homogin ataukah tidak, yaitu akan di uji hipotesis;
Ho ; p1 = p2 = .... po. = 1 6
H1 ;paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.
Jika Ho benar, yakni apabiladadau itu homogin, kita harapkan akan dapat
A1 ( muka dengan mata satu) = 120 x 1 6 = 20
A2 ( muka dengan mata dua ) = 120 x 1 6 = 20
A6 ( muka dengan mata dua ) = 120 x 1 6 = 20
Jadi di dapat
Muka A1 A2 A3 A4 A5 A6
Pengamatan 16 24 23 15 17 25
Di harapkan 20 20 20 20 20 20
Dengan rumus XIII (1); atau x2 = 5.00
Dengan =0,05 dan dk = 5, dari tabel distribusi chi-kuadrat di dapat = 11,1
yang jelas lebih besar dari pada X2 = 5,00
Hasil penelitian tak berarti atau non-signifikan dan hipotesis H0 di terima
sehingga dapat kita simpulkan bahwa dadu itu di buat dari bahan yang
homogin.
Contoh; Dalam suatu eksperimen genetika menurut Mendell telah di temukan
bahwa semacam karaterisktik di turunkan menurut perbandingan 1 3 3 9
untuk katagori A,B,C,D. akhir akhir ini di lakukan 160 kali pengamatan dan
terdapat 5 katagori D. dengan menggunakan = 0,05 apakah data di atas
menguatakan teori genetika tersebut?
Jawab; berdasarkan teori, di harapkan terdapat 1 16 x 160 = 10 kategori A,
masing masing 30 kategori B dan C dan 90 kategori D. data hasil
pengamatan dan yang di harapkan adalah sebagai berikut.
Kategori A B C D
Pengamatan 5 23 32 100
diharapkan 10 30 30 30
Dari rumus XIII (1) didapat;
Dari tabel distribusi chi-kuadrat di peroleh = 7,81. Sehingga pengujian
memperlihatkan hasil yang tidak berarti dan tidak ada alasan untuk tidak
mempercayai teori yang telah di temukan.
Sebagai hal khusus dari data multinom ialah data binom yang diadapat
apabila banyak kategori k =2. Jika dalam hal ini kedua kategori di sebut
kategori I dan kategori II dengan peluang terjadinya kategori I dan II masing
masing dan (1 -), maka untuk sebuah kategori I, dapat di buat daftar sebagai
berikut.
Statistik yang di gunakan untuk menguji hipotesis Ho = o melawan
H1 o ialah ;
XIII (3)
Dan di tolak Ho jika X2 ; sedangkan dalam hal lainnya Ho di terima.Kita lihat
bahwa distribusi chi-kuadrat yang di gunakan hanya mempunyai derajat
kebebasan satu. Ini mengakibatkan terlalu sering terjadinya penolakan Ho
yang seharusnya diterima apabila rumus di atas di gunakan. Selain daripada
Kategori I II Jumlah
Pengamatan x n-x n
Di harapkan n n(1-) n
itu, rumus XIII(3) adalah pengkontinutason data diskrit yang dengan
sendirinya harus diadakan penyesuaian seperlunya.
Khusus untuk hal ini, yakni dalam hal data binom di mana di gunakan
distribusi chi-kuadrat dengan dk satu, rumus XIII(3) perlu di perbaiki dengan
menggunakan koreksi kontinuitas yaitu harga mutlak x - no harus di kurangi
dengan setengah. Jadi rumus yang di paki adalah;
XIII(4)
Contoh; di duga bahwa 50% dari semacam kacang bentuknys keriput dan
50% lagi halus. Pengamtan di lakukan terhadap sebuah sampel acak terdiri
atas 80 butir kacang dan terdapat 56 keriput dan sisanya halus. Dalam taraf
0,05 dapatkan kita menyokong dugaan tersebut?
Jawab;
Bentuk Keriput Halus
Pengamatan 56 24
teoritis 40 40
Dengan o = 1 2 maka rumus XIII(4) memberikan ;
Dengan = 0,01 di dapat = 6,63
Pengujian memberikan hasil yang sangat berati sehingga kita tidak bisa
menerima dugaan tesebut.
2. MENGHUJI KESAMAAN RATA RATA POISSON
Misalkan ada k (k 2) buah distribusi poisson dengan parameter , ....... akan
di uji pasangan hipotesis ;
Ho = = ....,
H1 paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku
Dari setiap populasi di ambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi
kesatu n2 dari populasi kedua dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke-k.
Untuk tiap sampel di hitung banyak peristiwa yang mengikuti distribusi
poisson. Jika banyak peritiwa ini di nyatakan dengan x1 + x2 + ... xk maka rata
ratanya Statistik yang di gunakan untuk menguji hipotesis H0 jika Dan di
tolak H0 jika x2 x2(1- )(k-1) dalam hal lainya di terima.
Contoh; lima orang sekretaris bertugas untuk menyalin data ke dalam sebuah
daftar yang telah di sediakan. Misalkan bahwa banyaknya salah menyalin
untuk setiap daftar berdistribusi poiison masing masing dengan rata
rata , ....... dari hasil salinan tiap sekretaris di ambil sampel acak berukuran
emapat dan di catat banyaknya kesalahan dalam tiap daftar. Data ini akan di
gunakan untuk menguji hipotesis
H0 = = = =
H1 paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku
Bersama sama dengan satuan yang di perlukan , di dapat data berikut
Sekretaris Kesalahan tiap daftar Banyak kesalahan (xi)
I
II
III
IV
V
2,0,3,3,2
0,0,2,1,2
1,1,2,3,2
2,1,1,1,4
2,3,0,3,3
10
5
9
9
11
JUMLAH
Dari kolom ketiga di dapat X = dan dengan rumus XIII (4a) diperoleh;
Dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan = 0,05dan dk =4 di dapat = 9,49 dan
ini lebih besar dari 2,36
Jadi H0 di terima sehingga kelima sekretaris itu dapat di katakan tergolong ke
dalam kelas kerja sama.
3. UJI INDEPENDEN ANTARA DUA FAKTOR
Banyak data hasil pengamatan yang dapat di golongkan kedalam beberapa
faktor, karateristik atau atribut dengan tiap faktor atau atribut terdiri dari
beberapa klasifikasi , kategori, golongan atau mungkin tingkatan.
Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena demikian akan di selidiki
mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar faktor. dengan kata lain
akan di pelajari apakah terdapat atau tidak suatu kaitan antar faktor faktor,
biasa dikatakan bahwa faktor faktor itu bersifatindependen atau bebas
tepatnya bebas statistik.
Dalam bagian ini hanya akan di pelajari fenomena yang terdiri paling
banyak atas dua faktor. Misalnya apakah kemajuan murid dalam fisika ada
hubunganya dengan kemajuan murid tersebut dalam matematika, apakah
kenakalan remaja ada kaitanya dengan sikap orang tua, lingkungan hidup
atau faktoe lainya, benarkah pendapatan keluarga ikut menentukan tingkah
laku kehidupan keluarga itu dan lain sebagainya.
Selain daripada itu, di sini akan di pelajari juga ada atau tidak adanya
‘pengaruh’ mengenai beberapa taraf atauntingkatan sesuatu faktor terhadap
kejadian fenomena. Umpamanya saja hal hal seperti; apakah ada pengaruh
positif tentang penggunaan serum tertentu terhadap penyembuhan semacam
penyakit, adakah perbedaan hasil panen jika di gunakan pupuk yang
berlainan, adakah perbedaan pendapat di antara para pegawai terhadap
sikap pimpinanya dan sebagainya.
3.1. Asosiasi antara dua faktor dalam daftar kontingensi B X K
Secara umum, untuk menguji ondependen antara dua faktor dapat di
jelaskan sebagai berikut. Misalkan sebuah sampel acak berukuran n
telah di ambil di mana tiap pengamatan tunggal di duga terjadi karena
adanya dua macam faktor, ialah faktor I dan faktor II. Faktor I terbagi
atas B taraf atau tingkatan dan faktor II trebagi atas K taraf. Banyak
pengamatan yang terjadi karena taraf ke-i faktor ke-I (i=1,2......B) dan
taraf ke-j. Hasilnya dapat di catat dalam sebuah daftar kontingensi B X
K.
DAFTAR XIII(1)
DAFTAR KONTINGENSI B K
UNTUK HASIL PENGAMATAN TERDIRI ATAS DUA FAKTOR
Faktor II ( K taraf) jumlah
1 2 k
1 011 012 .......... 01k n10
2 021 022 ........ 02k n20
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
8 081 082 .......... 03k n80
Jumlah N01 n02 ......... nok n
Pasangan hipotesis yang akan di uji berdasarkan data seperti dalam daftar di
ats adalah;
H0 kedua faktor bebas statistik
H1 kedua faktor tidak bebas statistik
Pengujian secara eksak sukar di gunakan, karenanya di sini hanya akan di
jelaskan pengujian yang bersifat pendekatan. Untuk ini di perlukan frekuensi
teoritik atau banyak gejala yang di harapkan terjadi yang di sini akan di
nyatakan dengan Eij. Rumusnya adalah
XIII(5) E ij = ( nio x noj ) n
Dengan nio = jumlah baris ke-i
noj = jumlah baris ke-j10 + n
demikianlah misalnya di dapat;
E11 = ( n10 x n01 ) n ; E12 = (n10 x n02) n
E21 = ( n20 x n01 ) n ; E22 = (n20 x n02) n
Dan seterusnya.
Jelas bahwa n = n10 + n20 + ....+ nBO = n01 + n02 + .......nOK
Statistik yang di gunakan untuk menguji hipotesis di atas adalah;
XIII(6) x2
Dan tolak H0 jika X2(1-). (B – 1) (K-1)}
Dalam taraf nyata = dan derajat kebebasan dk untuk distribusi chi-kuadrat =
(B- 1)(K-1).
Dalam hal lainya kita terima hipotesis H0.
Contoh; misalkan penggolongan pendapatan telah di setujui terbagi atas
kelas kelas tinggi, menengah dan rendah. Selanjutnya , untuk tingkatan
pendapatan ini terdapat pula empat kelas pasar tempat mereka berbelanja
makanan sehari hari yaitu, pasar pasar kelas I, kelas II, Kelas III, kelas IV.
Hasil penelitian untuk keadaan ini dapat dilihat di bawah ini;
I II III IV Jumlah
Tinggi 56 71 12 35 174
30,5 71,9 35,2 36,5
Menengah 47
54,3
163
128,1
38
62,6
62
65,5
310
Rendah 14
32,2
42
76,0
85
37,2
43
38,5
184
jumlah 117 276 135 140 668
Dalam daftar di muka tiap sel telah di bagi dua oleh garis diagonal. Bagian sel
sebelah kiri atas berisikan banyak data hasil pengamatan, jadi O ij, sedangkan
bagian kanan bawah berisikan banyak data teoritik atau di harapkan terjadi ,
yakni Eij . penyusunan seperti dalam daftar di muka sering dapat
memudahkan perhitungan X2 dengan rumus XIII(6) dan agar mudah dapat di
lihat mana yang hasil pengamatan dan mana yang teoritik. Harga harga Eij di
hitung dengan rumus XIII(5) yakni
E11 = (117 x 174 ) 668 = 30,5 ; E12 = (276 x 174 ) 668 = 71,9
E13 = (135 x 174 ) 668 = 35,2 ; E14 = (140 x 174 ) 668 = 36,5
E21 = (117 x 310 ) 668 = 54,3 ; E22 = (276 x 310 ) 668 = 128,1
E23 = (135 x 310 ) 668 = 6265 ; E24 = (140 x 310 ) 668 = 65,0 dan
seterusnya.
Untuk menguji hipotesi bahwa faktor kelas pasar dan faktro tingkat
pendapatan bersifat independen, di gunakan rumus XIII(6) untuk
mendapatkan
Dengan = 0.01 dan dk = (3-1)(4-1) = 6, di dapat = 16,8 yang jelas jauh leih
kecil dari 144,12. Jadi penelitian memberikan pengujian yang sangat berarti,
sehingga dapat di simpulkan bahwaada hubungan sangat nyata antara kelas
pendapoatan dan kelas pasar tempat orang orang berpendapatan demikian
berbelanja.
Selanjutnya , sering ingin di ketahui derajat hubungan antara faktor yang satu
dengan lainya. Jika ini di kehendaki, untuk data dalam daftar kontingensi, di
gunakan koefisiensi kontingensi C yang rumusnyadi tentukan oleh;
XIII(7)
Dengan ambil harga akar yang positif. Untuk contoh soal di atas , dengan x2 =
144,12 dan n = 668 di dapat
Agar supaya harga C yang di peroleh dapat di pakai untuk menilai daerajat
asosiasi antara faktor, maka harga C ini perlu di bandingkan dengan koefisien
maksimum yang bisa terjadi. Harga C maksimum ini di hitung oleh rumus;
Dengan m = harga minimum antara B dan K (yakniminimum antara banyak
baris dan banyak kolom). Dalam contoh diatas, daftar kontingensi terdiri dari
atas tiga baris empat kolom, jadi minimumnya tiga, sehingga
Makin dekat harga C kepada Cmaks makin besar derajat asosiasi antara faktor.
Dengan kata lain, faktor yang satu makin berkaitan dengan faktor yang lain.
Membandingkan C = 0.421 dengan 0,816 nampak bahwa derajat hubungan
cukup besar.
Harga C maks untuk daftar kontingensi dengan m = 2,3, .... 10 di berikan di
bawh ini.
DAFTAR XIII(2)
HARGA CMAKS UNTUK BERBAGAI M
M Cmaks
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,707
0,816
0,866
0,894
0,913
0,926
0.935
0,943
0,949
Nampak dari daftar bahwa makin besar m makin dekat harga cmaks kepada
satu. Tetapi perlu di catat bahwa cmaks selau lebih kecil dari satu.
Cara pengujian independen di atas tidak hanya berlaku untuk dua faktor yang
berbentuk atribut tetapi juga untuk data kuantitatif yang telah di buat menjadi
beberapa kelas interval atau kelompok. Kita mabil misalnya antara umur pengemudi
dan seringnya terjadi kecelakaan yang di alami oleh pengemudi itu. Pengemudi yang
berumur 31 tahun atau lebih telah di kelompokkan menjdi tiga kelass ; 31-40.41-50-
60 sedangkan frekunsi kecelakaan lalu lintas yang di alaminya selama periode
tertentu di golongkan kedalam kategori; tidak pernah mengalami kecelakaan (0),
pernah mengalami satu kali (1) dan lebih dari satu kali kecelakaan (2atau lebih).
Hasil pengamatan dan seringnya mengalami kecelkaan secara teoritik dapat
dilihat dalam tabel berikut.
UMUR PENGEMUDI
31-40 41-50 51-60 JUMLAH
F
R
E
K
U
E
N
S
I
K
E
C
E
0
420
4
04,6
472
4
69,4
340
3
58,0
1232
1
70
83,
4
97
96
,6
87
7
3,8
254
2 atau lebih 22
24,
0
25
27
,8
26
2
1,2
73
L
A
K
A
A
N
jumlah 512 594 453 1559
Seperti dalam contoh pertama, harga-harga Eij dihitung dengan Rumus XIII(5)
dan hasilnya dicantumkan dibagian kanan bawah dalam sel-sel daftar di atas. Maka
Rumus XIII(6) menghasilkan:
Dengan dan dk = (3 -1) (3 – 1) = 4, dari daftar distribusi X2 didapat
Ternyata hasil pengujian bersifat tak berarti dan frekuensi kecelakaan untuk
pengemudi berumur 31 dan lebih tidak bergantung pada umur pengemudi.
4.2 Metode Khusus untuk Daftar Kontingensi 2 X 2
Jika daftar kontingensi berukuran 2 x2, maka untuk pengujian hipotesis
digunakan distribusi chi-kuadarat dengan derajat kebebasan satu. Ternyata bahwa
untuk hal ini koreksi kontinuitas perlu digunakan dan telah ditemukan dengan nama
koreksi Yates, yaitu setiap harga mutlak di kurangi dengan setengah.
Hasil pengamatan yang dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi 2 x 2 adalah
seperti di bawah ini.
FAKTOR KEDUA
Taraf 1 Taraf 2 Jumlah
Taraf 1 A b a + b
Taraf 2 C d c + d
Jumlah a +c a + c n
Jelas bahwa n = a + b + c + d
Rumus X2 untuk hal ini, bersama-sama dengan memperhitungkan koreksi Yates
tersebut diatas adalah:
XIII(9) . . . . . .
Seperti baiasa, hipotesis yang akan diuji adalah:
HO : Kedua faktor independen
HI : Kedua faktor tidak independen
Dan tolak HO jika dengan
Contoh : ada dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri dari 95 orang yang
menderita semacam penyakit. Kelompok A diobati dengan semacam obat
sedangkan kelompok B tidak diobati (kelompok B disebut kelompok kontrol).
Sesudah jangka waktu tertentu diperiksa berapa oarang yang sembuh. Ternyata dari
kelompok A ada 78 yang sembuh sedangkan dari kelompok B ada 62 orang. Akan
diuji hipotensis bahwa obat yang digunakan tidak mempunyai pengaruh terhadap
penyembuhan penyakit.
Jawab : data di atas dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi sebagai berikut:
Sembuh Tidak Sembuh Jumlah
Kelompok A
(diobati)
78 17 95
Kelompok B
(tak diobati)
62 33 95
Jumlah 140 50 190
Dari Rumus XIII(9) didapat
X2 = 6,11.
Untuk taraf nyata 0,05 dan dk = satu, maka
Kita lihat bahwa pengujian berarti pada taraf 0,05. Tetapi jika , maka sehingga HO
diterima pada taraf 0,01.
Pengobatan barangkali berarti dan penelitian lebih lanjut dianjurkan untuk dilakukan.
Contoh : yang berikut adalah data hasil pengumpulan pendapat masyarakat
terhadap dua calon pemimpin A dan B.
Penduduk
Ya Tidak Jumlah
A 37 22 59
B 18 7 25
Jumlah 55 29 84
Untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan yang nyata mengenai
pendapat masyarakat terhadap kedua calon itu, diperlukan nilai:
Dalam kedua taraf nyata hipotesis nol diterima.
DAFTAR PUSTAKAHerryanto, Nar dan Akib Hamid. 2007. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka
Sudjana. 2005. METODA STATISTIKA. Bandung: TARSITO.