Upload
fauzan-akmal
View
230
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
1/25
1
Distribusi Peluang Diskrit-1
(Seragam, Binomial, Multinomial)
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
2/25
• Dalam penyajian distribusi sering kitamenjumpai, pengamatan yang dihasilkan melaluipercobaan statistik yang berbeda mempunyai
bentuk kelakuan umum yang sama.• Berarti percobaan tersebut dapat dilukiskan
dengan distribusi probabilitas yang sama, dandapat dinyatakan dengan rumus yang sama.
• Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai,hanya memerlukan beberapa distribusiprobabilitas yang penting untuk menyatakan
banyak perubah acak diskret. 2
Konsep
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
3/25
5.1. Distribusi Seragam Diskret
Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang
semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama.
Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskret.
Definisi (5.1)
Jika perubah acak X mendapat nilai dengan
probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskret diberikan
oleh:
Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa
distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x
Tabel 5.1. Distribusi proabilitas X
1 2 kx ,x ,.....,x
1 2
1
kf(x;k) ; untuk x x ,x ,.....,xk
x 1 2 3 4 5 6
F(x;k)=f(x) 16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
3
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
4/25
Contoh (5.1)
Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur
dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6.
Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi
peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Teorema (5.1)
Nilai rata-rata (mean) dan variansi distribusi seragam diskret
f(x;k) adalah
Mean(X),
Varian(X); atau
Bukti sbb:
1
1
k
iki
x
2 21
1
kik
i
(x )
2 2 2E(X )
4
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
5/25
Menurut definisi,
dan
1 1
1 1 1
k k k
i i ik ki i i
E(X) x f(x;k) x ( ) x
2 2 2 2 1
1 1
21
1
k ki i k
i i
k
iki
E(X ) (x ) f(x;k) (x ) ( )
(x )
Contoh (5.2)
Cari mean dan variansi dari contoh (5.1)
Jawab:1 2 3 4 5 6
3 5
6
.
2 2 2 2 2 22
35
12
1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5
6
( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
5
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
6/25
5.2. Distribusi Binomial dan Multinomial
Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap
usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-
kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan
bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari
percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses
Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:
1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang
2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan
menjadi 2-kategori, sukses atau gagal
3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari
satu usaha ke usaha berikutnya.
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
6
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
7/25
Contoh (5.3)
Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,
diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.
Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan
mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.
Tabel 5.2.
C=cacat ; T=tidak cacat (baik)Karena barang diambil secara acak, dan
misalkan dianggap menghasilkan 25%
barang cacat, maka
Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan
jalan ang sama.
Hasil X
TTT
TCT
TTC
CTT
TCC
CTCCCT
CCC
0
1
1
1
2
22
3
3 3 91
4 4 4 64P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )
7
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
8/25
tabel 5.3 Distribusi probabilitas X
Percobaan Binomial
Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah
acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusiBinomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu
usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p).
Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)
Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat.
Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses
dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)
91
4 642 2 2 3P(X ) f( ) b( ; , )
x 0 1 2 3
f(x) 2764
9
64
27
64
1
64
8
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
9/25
Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu.
Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan
probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil
menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok
pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini
dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah
(bebas) maka probabilitasnya adalah
n
x
x n xn p qx
Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan
probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka
distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknyakesuksesan dalam n-usaha bebas adalah
0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n
x
9
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
10/25
Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 5.2 : n=3 dan 14
p
31
4
33 0 1 2 3
x xb(x; , ) p q ;x , , ,x
Contoh (5.4)
Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu
dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4
suku cadang yang diuji tidak akan rusak.Jawab:
Misal tiap pengujian saling bebas
10
2
2
23 3 3 271 4
4 4 4 2 2 1284
42 4
2
!
! !b( ; , ) ( ) ( )
Catatan:
0
1
n
x
b(x;n,p)
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
11/25
11
Contoh (5.5)
Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit darah yang
langka adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini,
berapa peluang:
a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh
b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh
c). tepat 5 orang yg sembuh
Jawab:
Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuhDiket : p = 0.4 n = 15
a).
Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338
9
0
10 1 10 1 0 1 9
1 15 0 4
1 0 9662
0 0338
x
P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )
b(x; ; . ) lihat tabel
.
.
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
12/25
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
13/25
13
Tabel 5.4 Cara menggunakan tabel binomial
n r p
0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .
15 12 0.0271
:
:
:
8 0.9050
9 0.9662
:
:
15
9
0
15 0 4 0 9662
x
b(x; ; . ) .
Untuk n=15, p=0.4 ;
2
0
15 0 4 0 0271
x
b(x; ; . ) .
8
0
15 0 4 0 9050
x
b(x; ; . ) .
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
14/25
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
15/25
15
Contoh (5.6)
Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan
gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2
Jawab:
Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh:
dan
Menggunakan teorema Chebyshev adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794
15 0 4 6( )( . )
1 897.
2 15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .
2
2 9 794 2 2 206. dan .
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
16/25
16
Percobaan Multinomial
Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika
tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Misalnya
hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat,
dan masih bisa diperbaiki.
Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil
Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak
yang menyatakan banyaknya kejadian
Dalam n-usaha bebas adalah
Dengan dan
1 2 kE ,E ,....,E
1 2 kp ,p ,....,p
1 2 kX ,X ,....,X 1 2 kE ,E ,....,E
1 2
1 2 1 2 1 21 2
k
k
x x x
k; k k
n
f(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...px ,x ,...,x
1
k
ii
x n
1
1
k
ii
p
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
17/25
17
Contoh(5.7)
Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan
mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan
yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali?
Jawab:
Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11 p(E1)=2/9
E2= muncul pasangan bilangan yang sama p(E2)=1/6
E3= muncul selain E1 maupun E2 p(E3)=11/18
Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi
multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh:
2 1 3
2 1 11 2 1 11
9 6 18 9 6 18
36 4 1 11
2 1 3 81 6 318
62 1 3 6
2 1 3
0 1127!
! ! !
f( , , ; , , , ), ,
.
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
18/25
Soal-1
Di suatu bagian kota 75% pencurian karenaalasan perlu uang untuk membeli makan. Cari
probabilitas bahwa diantara
5 pencurian
selanjutnya yang dilaporkan di daerah tadi
a) tepat 2 karena alasan perlu uang untukmembeli makan;
b) paling banyak 3 karena alasan perlu uanguntuk membeli makan.
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
19/25
Jawab
banyaknya pencurian karena alasan perlu uang untukmembeli makan
Diketahui Distribusi Binomial ; ; dengan 5 ;0,75 a) 2 2; 5; 0,75 52 0,75
0,25 0,0879
b)
≤ 3 ; 5; 0,75
= 0,3672
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
20/25
Soal-2
Seorang petani jeruk mengeluh karena 2 3 daripanen jeruknya terserang sejenis virus. Cari
probabilitas bahwa diantara
4 buah jeruk yang
diperiksa dari hasil panen ini
a) Semuanya terserang virus tersebut;
b) Antara
1 sampai
3 yang terserang virus
tersebut.
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
21/25
Jawab
banyaknya jeruk yang terserang sejenis virusDiketahui Distribusi Binomial ; ; dengan 4 ; 2 3 0,67
4 4; 4; 0,67 44 0,67 0,33 0,2015 1 ≤ ≤ 3 ≤ 3 − 0
; 4; 0,67 −
= 0; 4; 0,67
0,7985−0,01190,7866
a)
b)
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
22/25
Soal-3
Menurut suatu survei, 1 3 dari perusahaan diAS memberi karyawannya cuti 4 minggu setelahbekerja perusahaannya selama
15 tahun. Cari
probabilitas bahwa diantara 6 perusahaan yangdisurvai secara acak, banyaknya perusahaan
yang memberi karyawannya cuti 4 minggusetelah 15 tahun bekerjaa) Antara 2 sampai 5;b) Kurang dari 3.
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
23/25
Jawab
banyaknya perusahaan yang memberi karyawannya cuti 4 minggusetelah 15 tahun bekerjaDiketahui Distribusi Binomial ; ; dengan 6 ; 1 30 , 3 3
a) 2 ≤ ≤ 5 ≤ 5 − ≤ 1 ; 6; 0,33 −=
; 2; 0,33=
0,9987−0,35780,6409 b)
< 3 ≤ 2 ; 6; 0,33
= 0,6869
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
24/25
8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2
25/25