Distribuzioni di probabilita' - INFN Cagliarigruppo3.ca.infn.it/defalco/fisica/02-pdf.pdf · In questa maniera generiamo una sequenza con periodicità m (purchè c e m non abbiano

1Alessandro De Falco, INFN Cagliari 8/19/09

Distribuzioni di probabilita'

Densita' di probabilita'(p.d.f.): P(x < X < x+dx)=f(x)dx

F di distribuzione cumulativa

Media, mediana e moda:

F(xmedian) = ½

Moda: x tale che f(x)=max

Valore di aspettazione:

E e' un operatore lineare

Media:

∫Ef x dx=1

F x =∫xmin

xf x ' dx '

E g x =∫Eg x f x dx

=E x =∫Exf x dx


Varianza e momenti di ordine piu' alto

=E x =∫Exf x dxMedia:

2=E x−

2=∫E

x−2 f x dxVarianza:

k=E x−k=∫E

x−k f xdxMomento k-mo intorno alla media:

1=3

23 /2=

E x−3

3Coefficiente di asimmetria (skewness):

Curtosi: 2=4

22−3

Questa definizione implica un confronto con la gaussiana.2>0 (<0) implica che la distribuzione e' piu' (meno) piccata intorno alla media rispetto ad una distribuzione normale Vale la diseguaglianza di Bienamye'-Tschebycheff:che limita la probabilita' che x si allontani dal valore medio per un certo numero di deviazioni standard.

P∣x−E x ∣≥ ≤1

2


Distribuzioni di piu' variabili

Densita' di probabilita' congiunta: f x1, x2,. .. xn

∫

f x1, x2,. ..x ndx1 dx2 .... dxn=1

Le regole per il calcolo del valore medio di una funzione, media, varianza etc si applicano in maniera immediata

Matrice di covarianza:

V ij≡E x i−i x j− j=∫

x i−ix j− j f x1, x2,. .. xndx1 dx2 ....dx n

V e' simmetrical' elemento diagonale i-mo Vii=i

2 e' detto varianza di xi ed e' non negativo.L'elemento non diagonale Vij=cov(xi,xj) e' detto covarianza di xi e xj

Viene spesso utilizzato il coefficiente di correlazione

x i , x j=cov x i , x j

i j

−1≤≤1Si dimostra che


Le variabili xi sono indipendenti se la loro probabilita' congiunta e' fattorizzabile:

In questo caso gli elementi non diagonali della matrice di covarianza sono nulli. Inoltre E(xixj)=E(xi)E(xj) Una proiezione della p.d.f. In un sottospazio e' chiamato distribuzione marginale. Es.:

se le variabili sono indipendenti la p.d.f. congiunta e' fattorizzabile nelle distribuzioni marginali.

La distribuzione condizionata è definita come

Cambiamento di variabili. Nota la pdf f(x) trovare g(y)Generalizzazione a piu' variabili:

f x1, x2,. ... , xn= f 1x1 f 2 x2 ... f n xn

h1x1= ∫x

2min

x2 max

∫x

3min

x3 max

.... ∫xn min

xn max

f x1, x2,. .. x ndx2 .... dxn

f x1, x2,. .. , xn∣x j=f x1, x2,. .. x n

h jx j

y=y x g y =∣dxdy∣ f x

g y=J x1, x2,. .. , xn

y1, y2,. .. yn

f x


Le formule sono generalizzabili al caso di m funzioni yk di n variabili xi

Propagazione degli erroriSia con nota. Stimiamo la varianza di y.Al primo ordine:

y=y x1, x2,. .. x n= y x V x

y x ≈y ∑i=1

n

x i−i∂ y∂ xi

x=

E y x ≈ y

V y x =E y x −E y x 2≈E y x−y 2

y x −y ≈∑i=1

n

x i−i∂ y∂ xi

x=

V y x ≈∑i=1

n

∑j=1

n

∂ y∂ xi

x=

∂ y∂ x j

x=

E xi−ix j− j

V y x ≈∑i=1

n

∑j=1

n

∂ y∂ xi

x=

∂ y∂ x j

x=

V ij x Legge di propagazionedegli errori

Per variabili indipendenti V y x ≈∑i=1

n

∂ y∂ x i

x=

2

V ii x


Anticipazioni sul campionamento

La p.d.f. f(x) di una variabile continua x, descrive le proprieta' di una popolazione (o universo). Un esperimento consistera' di un numero finito di misure x1,x2,...xn, che costituiscono un campione. Due quantita' che caratterizzano il campione sono la media aritmetica e la varianza:

Media e varianza sono ancora variabili casuali Appartengono alla popolazione normaleSono indipendentiLa media e' distribuita come una variabile normaleS2 e' legata alla distribuzione di χ2

x= 1n∑i=1

n

x is 2=

1n−1

∑i=1

n

x i− x2Necessario perche's2 costituisca unostimatore senza bias di σ2

Gli argomenti accennati in questa trasparenza verranno approfonditi in seguito


Funzione caratteristicaData la densita' di probabilita' f(x), consideriamo la funzione caratteristica:

Per variabili continue, la funzione caratteristica e' la trasformata di Fourier di f(x)

(per variabili discrete: )

Se f(x) e' la convoluzione di g(x) e h(x), allora la funzione caratteristica di f(x) e' il prodotto delle funzioni caratteristiche di g(x) e h(x)

Se E(x) = 0

Inoltre

La funzione caratteristica congiunta di due variabili indipendenti e' pari al prodotto delle funzioni caratteristiche delle due variabili, ovvero e' fattorizzabile Si puo' dimostrare che f(x) e' determinata univocamente dalla sua funzione caratteristicaLa funzione caratteristica puo' essere utile nel calcolo

k ≡ f k ≡⟨eikx⟩=∫eikx f xdx

f x=∫ dx ' g x ' h x−x ' f k =g k⋅h k

funzione caratteristica di f

funzione caratteristica di g

funzione caratteristica di h

k =∑ eikx i P x=xi

d n

dkn0=in

n momento di ordine n

f x= 12∫ e−ikx

k dk


Generazione di numeri casuali al calcolatore

I computers svolgono i calcoli in maniera deterministica!

I numeri generati al computer hanno un numero finito di cifre. Una variabile potra' essere scritta nella forma

dove ai potra' essere uguale a 0 o ad 1, con probabilita' 1/2Una variabile cosi' costruita ammettera' 2k valori diversi possibili. Se e' possibile estrarre in maniera casuale equiprobabile i valori degli ai, x avra' una distribuzione uniforme sui 2k valori discreti; x/2k sara' distribuita tra 0 e 1.

Ogni numero (pseudo)casuale estratto da un computer sara' funzione dei numeri estratti in precedenza.

Numeri random

x=a0 20a1 21

...ak−12 k−1

xn= f xn−1 , xn−2 , .... x1


Una possibile funzione per la generazione di numeri random a distribuzione piatta e' data da:

In questa maniera generiamo una sequenza con periodicità m (purchè c e m non abbiano fattori comuni, a-1 sia un multiplo di tutti i fattori primi di k e a-1 sia multiplo di 4 se m è multiplo di 4)

Ovviamente se durante la sequenza si ripete uno dei numeri (interi), tutta la sequenza si ripeterà a partire da quel numero

Per ottenere una sequenza abbastanza lunga dobbiamo usare a ed m abbastanza grandi, ma non tali per cui a*m causa un overflow

Solitamente si usa m=2k

Un generatore che segue questo algoritmo è un generatore lineare congruente

Es.: routine drand48 nei sistemi AIX genera numeri random tra 0 e 1 con buone proprietà spettrali. Drand48 usa k=48, c=B(hex), a=5DEECE66D(hex)

Metodo lineare congruente

xn=mod ax n−1c , m

xn=mod ax n−1c , 2k


DOPO 150 EVENTI

DOPO 4096 EVENTI

DOPO 40960 EVENTI

(Il contatore in ascisseviene riazzerato ogni 4096 eventi)

Esercizio: scrivere un generatore di numeri casuali con a=5, c=13, k=12 verificare che la periodicita' e' 4096. verificare che la distribuzione e' piatta


Effetto MarsigliaAttenzione alle correlazioni!!!!

Uso il generatore col setting dell'esercizio precedente, estraggo 3 numeri random in sequenza, r1,r2,r3, e calcolo r3 vs r2-r1

Osserviamo delle evidenti correlazioni

Random numbers fall mainly in the planes:n-ple successive di numeri generati da un MCG si dispongono su (n!2nbits)1/n iperpiani di uno spazio n dimensionale (effetto Marsiglia)

Provate con a=4097, c=10515, k=18

Il meglio che si può fare è aumentare il numero di iperpiani con una scelta accortadi a,c,k

Risultato per il generatore di Root


Numeri casuali con distribuzione dataCalcolo analitico

E' possibile estrarre numeri casuali x con distribuzione f(x) a partire da un set di numeri casuali y a distribuzione piatta g(y)=1

Se sappiamo integrare f(x), possiamo ricavare X in funzione di Y. Estraendo Y con distribuzione piatta tra 0 e 1 otterremo le X corrispondenti distribuite come f(x)

Esercizio: generare dei numeri random con distribuzioni:

f xdx=g ydy=dy Y=∫0

Y

dy=∫xmin

X

f x dx=F X

f x= 1cosh2

ax Distribuzione simile ad una gaussiana

f x= 11x2


Se non sappiamo integrare f(x) possiamo ancora estrarre numeri casuali distribuiti secondo f(x) in un intervallo (a,b) procedendo in due modi:

Metodo 1: Calcoliamo numericamente la funzione integrale a passi discreti e per ogni y ricaviamo la x corrispondente

Metodo 2: ✔ Determino fmax nell'intervallo (a,b)✔ Estraggo x con distribuzione uniforme, in modo che a<= x < b✔ Estraggo y con distribuzione uniforme, in modo che 0<=y<fmax✔ Tengo x se y<f(x)✔ Le x cosi' ottenute sono distribuite secondo la distribuzione f

Calcolo numerico

Normalizzo e integro f(x) tra -∞ e X

Estraggo una Y=F(X) con distribuzione piatta...

...Ed ottengo la X corrispondente distribuita come f(x)

Nota: la funzione in questo esempio puo' essere integrata analiticamente


Estraggo N coppie (x,y) di numeri random a distribuzione piattaConto il numero K di coppie per cui y<=g(x)Stimo l'integrale come K/NPosso generalizzare facilmente il calcolo al caso xmin<x<xmax mediante la trasformazionex = xmin + (xmax-xmin) x0-1 0<x0-1<1ed eseguire un'analoga trasformazione per y

Il metodo e' inefficiente per funzioni di singola variabile, ma diventa potente per funzioni di piu' variabili.

Metodo Monte Carlo per l'integrazione di una funzione

Vogliamo determinare l'integrale I 0=∫

0

1

g xdx 0g x1 per 0x1

x

y

(xi,yi)

(xj,yj)


Distribuzione binomialePrendo un esperimento che puo' dare due soli risultati A e A' (E=A+A')

Ripetiamo n volte l'esperimento

La probabilita' che il risultato dei primi k esperimenti sia A e quello dei restanti n-k sia A' e'

Si puo' ottenere k volte l'evento A in n esperimenti in un numero di combinazioni pari a

La probabilità P di ottenere k volte A in n esperimenti è dunque data data dalla:

Valore medio

Varianza

La statistica binomiale si applica nel calcolo dell'efficienza

Pk , n , p= n!k !n−k !

pk1− pn−k

=⟨k ⟩=∑ k Pk =np

2=⟨k−2 ⟩=⟨k2

⟩−⟨k ⟩2=np1−p

P A= p P A' =1−p

pk1−pn−k

n! /[k ! n−k !]

Distribuzione binomiale


Esempi di distribuzioni binomialip

n


Esercizio: l'efficienza di uno scintillatore S viene determinata ponendolo tra due scintillatori S1 e S2 e contando il numero k di eventi in cui S,S1 e S2 hanno dato simultaneamente un segnale ed il numero n di eventi in cui S1 e S2 hanno dato simultaneamente un segnale (indipendentemente da S).

Eseguendo la misura si ottiene k=97, n=100.

Quale e' il valore dell'efficienza?

Quale e' l'errore?

Esercizio 2: efficienza di scanning

Vengono eseguiti due scanning indipendenti su un campione di dati.

Siano ε1 ed ε2 le efficienze di scanning, che supponiamo gia' determinate

Quale e' l'efficienza dell'OR dei due scanning e quale e' il suo errore?

raggio cosmico

S S2 S1


Generalizzazione della statistica binomiale. Se i risultati possibili sono m,

la probabilita' di ottenere k1 volte A1,.... km volte Am in n esperimenti e'

Valore medio per 'i-mo evento

Elementi della matrice di covarianza: oss: gli elementi di matrice non diagonali non sono nulli (gli eventi non sono indipendenti)

Statistica multinomiale

E=A1A2...Am P Ai=pi ∑i=1

m

pi=1

P k1, k2,. .. , km , n= n!

∏i=1

m

k i !∏i=1

m

pik i

Distribuzione multinomiale

⟨ x i⟩=npi

cij=npi ij−p j


Statistica di Poisson

Es. conteggi in uno scintillatore dovuti ad una sorgente radioattiva

Valore medio

Varianza

Per piccoli λ la distribuzione poissoniana e' molto asimmetrica ed e' caratterizzata da una coda a destra del valore medio

skewness:

Pk ,=e− k

k !

=⟨k ⟩=∑ k Pk =

2=⟨k−2 ⟩=⟨k2

⟩−⟨k ⟩2=

3=1


Esempi di distribuzioni poissoniane


=0.5=5 =25

=0.5 =1=0.5 =1


Statistica poissoniana: assunti fondamentali

Si puo' ricavare la statistica poissoniana in maniera del tutto generale sulla base di alcuni assunti. Otteniamo la formula a partire da un esempio:

Tracciamento in camera a bolle:Sia g il numero medio di bolle per unita' di lunghezza in una traccia consideriamo un tratto (piccolo) ∆l della tracciaIpotesi:

✔ g e' costante✔ C'e' al massimo una bolla nel tratto di lunghezza ∆l ✔ La probabilita' di trovare una bolla lungo questo tratto e' proporzionale a ∆l ✔ La presenza di una bolla tra l e l+∆l e' indipendente dalla presenza di bolle in

altri intervalli ad esso non sovrapposti

p1 l =g l

p0 l =1−g l

probabilita' di avere una bolla in ∆l

probabilita' di avere zero bolle in ∆l

p0l l =p0 l p0 l =p0 l 1−g l

p0 l l −p0 l

l=−gP0 l p0l =e−gl


pnl l =pn l p0 l pn−1 l p1 l probabilita' di avere n bolle in l+∆l

n bolle in l e 0 in ∆l n-1 bolle in l e 1 in ∆l

pnl l =pn l 1−g l pn−1l g l

pn l l −pnl

l=−g Pnl −pn−1l

Pn l =e−gl gl n

n!

Esercizio: nella ricerca di correnti neutre deboli, vengono osservati 9 candidati per le reazioni indotte da neutrini

fondo:

Identificando gli eventi di tipo si stima un fondo di 4.9 ev.Supposto che il n. di ev. di fondo sia distribuito con statistica poissoniana con valore medio pari a 4.9, quale e' la probabilita' che 9 o piu' ev. siano di fondo?

pp0

pn

np np0

np nn

np pp−


Statistica binomiale e poissoniana

Esercizio (dalle lezioni di R. Barlow al CERN)

Uno studente fa l'autostop a bordo della strada. Le automobili transitano con la frequenza di una al minuto, seguendo la statistica poissoniana. La probabilità che un'automobile dia un passaggio allo studente è dell'1%. Quale è la probabilità che lo studente non ottenga un passaggio:

✔ 1- Dopo il transito di 60 automobili (0.5472)✔ 2- Dopo un'ora (0.5488)


Confronto tra la statistica binomiale e poissoniana

Confrontiamo una distribuzione poissoniana con λ=3 con due distribuzioni binomiali per cui np= λ

Al diminuire di p e al crescere di n (fissato il prodotto) la statistica binomiale approssima con precisione crescente quella poissoniana


Sovrapposizione di due sorgenti poissoniane

I decadimenti di due sorgenti radioattive, governati dalla statistica di Poisson, sono caratterizzati dai valori medi e

Si puo' mostrare che i campioni possono essere combinati mediante una convoluzione

e che la distribuzione ottenuta e' ancora una poissoniana con valore medio

1 2

P r =∑r '

Pr ' ,1P r−r ' ,2

12


Distribuzione uniformeConsideriamo una variabile casuale continua x che puo' assumere un qualunque valore entro un intervallo x1 ≤ x < x2 con la stessa densita' di probabilita':

Poiche' la distribuzione deve essere normalizzata a 1,

Esercizio: le dimensioni dei pixel di un rivelatore sono 0.04 mm. Non viene registrata l'informazione sull'ampiezza del segnale e un solo pixel viene acceso dal passaggio della particella. Quale e' la risoluzione spaziale del rivelatore a pixel?

La distribuzione uniforme e' usata estensivamente nelle simulazioni Monte Carlo, dove si trasformano numeri casuali a distribuzione piatta in numeri casuali con qualsivoglia distribuzione

f x =c x1≤xx2

f x=0 xx1, x≥x2

f x= 1x2−x1

x1≤xx2

f x =0 xx1, x≥x2

E x= 1x2−x1

∫x1

x2

x dx=x1x2

2

2x= 1

12 x2−x1

2


Distribuzione gaussiana

f x= 1

2exp−1

2x−2

2

La distribuzione gaussiana (o normale) e' data da:

µ=valore medioσ2=varianza La gaussiana e' simmetrica intornoal valore medio

0.68

0.95

0.997

=0=1

∫−

f xdx=0.683

∫−2

2

f xdx=0.955

∫−3

3

f xdx=0.997

Esercizio: calcolare il rapporto tra FWHM e σ(FWHM= larghezza a meta' altezza)


Funzione caratteristica della gaussiana

t =E eitx=e

i t−12

2 t2


Teorema di addizione per variabili con distribuzione gaussiana

E' spesso utile conoscere la distribuzione di una grandezza che e' funzione di variabili con distribuzione gaussiana.

In particolare, possiamo essere interessati ad una combinazione lineare di variabili distribuite normalmente.

Siano x1 e x2 due variabili casuali con distribuzione normale N(µ1,σ12) e

N(µ2,σ22)

e y=a1x1+a2x2. Calcoliamo le funzioni caratteristiche

Se le variabili sono indipendenti la f. caratteristica e' fattorizzabile

Dunque, una combinazione lineare di due variabili casuali x1 e x2 con

distribuzione normale N(µ1,σ12) e N(µ2,σ2

2), y=a1x1+a2x2 e' anch'essa distribuita con distribuzione normale

a1 x1t =e

a1

1it− 1

2a

12

12 t2

a2 x2t =e

a2

2it−1

2a

22

22 t2

y t =a1 x1t a2 x2

t =ea

1

1a

2

2 it−1

2a

12

12a

22

22 t2

N a11a22, a121

2a2

22

2


Teorema del limite centraleSupponiamo di avere n variabili indipendenti xi (i=1,...n) generate

da una distribuzione qualunque avente media µ e varianza σ2.

Per n→∞ la loro media aritmetica tende ad una gaussiana avente media µ e varianza σ2/n.

x=∑i=1

n x i

nf x∝exp−1

2x−2

2/n


Somma di n numeri distribuiti uniformemente

Tiriamo un dado. Il valore risultante sara' una variabilecasuale a valori interi distribuita uniformemente tra 1 e 6

Lanciamo il dado n volte e facciamo la media dei risultati. Eseguiamo l'operazione per un certo numero di volte e mettiamo in un istogramma la distribuzione dei valori ottenuti

I grafici riportati sono le distribuzioni ottenute per diversi valori di n


Una nota sulla programmazioneMacro di root che produce il grafico della slide precedente

void CLT(Int_t nev=300000){ TCanvas *c1= new TCanvas("c1","c1"); c1>Divide(3,3); for (Int_t n=1; n<=9; n++) { c1>cd(n); THF *h1=new TH1F("h1","",7*n*4,0,7); for (Int_t iev=0; iev<nev; iev++){ Float_t average = 0; for (Int_t isum=0; isum<n; isum++) {

Int_t x = Int_t(gRandom>Rndm()*6) + 1; average += Float_t(x);

} average /=n; h1>Fill(average); } h1>Draw(); char txt[20]; sprintf(txt,"n=%d",n); TText *text = new TText (0.2,h1>GetMaximum()*0.9,txt); text>SetTextSize(0.1); text>Draw(); c1>Update(); }}

}nota: se anziche' sommare tutti gli addendi e poi dividere per n avessi calcolato direttamente la media con average += Float_t(x)/n; il risultato sarebbe stato quello riportato in figura

Esercizio: scrivere un programma che calcola media aritmetica e deviazione standard per ciascuna delle distribuzioni ottenute al variare di n


Distribuzioni normali multivariateUna funzione di due variabili indipendenti con distribuzione normale sara' distribuita secondo la:

Se le variabili non sono indipendenti, la distribuzione sara':

f x , y= 12 x y

e−

12

x−x2

x2

e−

12

y−y 2

y2

f x , y= 12 x y1−2

e−

12 1−2

x−x

2

x2

y−y

2

y2

−2 x−x y− y

x

y


Distribuzione del χ2

Se {x1, x2, x3, ...xn} sono n variabili distribuite con pdf gaussiana, la quantita'

e' distribuita secondo la:

2=∑

i=1

n xi−i2

i2

f z ,n= zn/2−1 e−z /2

2n /2n /2

Dove la funzione Gamma di Eulero e' definita come:

x1=∫0

∞

t x e−t dt x1=xx 12= 1=1


Il numero n e' detto numero di gradi di liberta'.

La distribuzione della somma di due differenti distribuzioni di χ2 con n1 e n2 gradi di liberta'

e' ancora un χ2 con n=n1 + n2

gradi di liberta'

Il valore di aspettazione di un χ2 con n d.o.f. e' pari ad n

La varianza e' pari a 2n.

Densita' di probabilita' del χ2

χ2

χ2

Distribuzione cumulativa del χ2

Ndf = 1,3,5,7,9

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