Diszkr et matematika 2. - K odol as Diszkr et matematika 2. 2019. november 29. 3. Hibakorl atoz o k odol as P elda (Parit asbites k od) Egy n hosszu 0-1sorozatot eg esz tsunk ki egy

Diszkret matematika 2. 2019. november 29. 1.

Diszkret matematika 2.10. eloadas

Fancsali Szabolcs [email protected]

www.cs.elte.hu/∼ nudniqMerai Laszlo diai alapjan

Komputeralgebra Tanszek

2019. november 29.

Kodolas Diszkret matematika 2. 2019. november 29. 2.

Hibakorlatozo kodolas

Pelda (ISBN (International Standard Book Number) kodolasa)

Legyen d1, d2, . . . , dn decimalis szamjegyek egy sorozata (n ≤ 10). Egeszıtsukki a sorozatot egy n + 1-edik szamjeggyel, amelynek erteke

dn+1 =n∑

j=1

j · dj mod 11,

ha az nem 10, kulonben dn+1 legyen X .Ha valamelyik szamjegyet elırjuk, akkor az osszefugges nem teljesulhet: dn+1

elırasa eseten ez nyilvanvalo, j ≤ n-re dj helyett d ′j -t ırva pedig az osszeg

j(d ′j − dj)-vel nott, ami nem lehet 11-gyel oszthato (Miert?).

Azt is eszrevesszuk, ha j < n eseten dj -t es dj+1-et felcsereljuk:az osszeg jdj+1 + (j + 1)dj − jdj − (j + 1)dj+1 = dj − dj+1-gyel no, ami csakakkor lehet 11-gyel oszthato, ha dj = dj+1.

Megjegyzes2007 ota 13 jegyu.A szemelyi szamnal is hasznaljak.



Pelda (Paritasbites kod)

Egy n hosszu 0-1 sorozatot egeszıtsunk ki egy n + 1-edik bittel, amilegyen 1, ha a sorozatban paratlan sok 1-es van, kulonben pedig legyen 0.Ha egy bit megvaltozik, akkor eszleljuk a hibat.

Pelda (Ketdimenzios paritasellenorzes)

b0,0 · · · b0,j · · · b0,n−1 b0,n

.... . .

.... . .

......

bi,0 · · · bi,j · · · bi,n−1 bi,n...

. . ....

. . ....

...bm−1,0 · · · bm−1,j · · · bm−1,n−1 bm−1,n

bm,0 · · · bm,j · · · bm,n−1 bm,n

Oszlopok es sorok vegen paritasbit. Ha megvaltozik egy bit, akkor a sor esaz oszlop vegen jelez az ellenorzo bit, ez alapjan tudjuk javıtani a hibat.Ha ket bit valtozik meg, akkor eszleljuk a hibat, de nem tudjuk javıtani.



DefinıcioEgy kod t-hibajelzo, ha minden olyan esetben jelez, ha az elkuldott esmegkapott szo legfeljebb t helyen ter el.Egy kod pontosan t-hibajelzo, ha t-hibajelzo, de van olyan t + 1-hiba,amit nem jelez.

PeldaISBN - 1-hibajelzo

paritasbites kod - 1-hibajelzo

ketdimenzios paritasellenorzes - 2-hibajelzo

Hiba javıtasanak modjai

ARQ (Automatic Retransmission Request) - ujrakuldes,FEC (Forward Error Correction) - javıthato, pl.: ketdimenzios paritasell.



DefinıcioLegyen A veges abece, tovabba u, v ∈ An. Ekkor u es vHamming-tavolsaga alatt az azonos pozıcioban levo kulonbozo betukszamat ertjuk:

d(u, v) = |{i : 1 ≤ i ≤ n ∧ ui 6= vi}|.

Pelda

0 1 1 1 01 0 1 0 16= 6= = 6= 6=

A L M AA N N A= 6= 6= =

d(01110,10101)=4 d(ALMA,ANNA)=2



AllıtasA Hamming-tavolsag rendelkezik a tavolsag szokasos tulajdonsagaival,vagyis tetszoleges u, v ,w -re

1) d(u, v) ≥ 0;

2) d(u, v) = 0⇐⇒ u = v ;

3) d(u, v) = d(v , u) (szimmetria);

4) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v) (haromszog-egyenlotlenseg).

Bizonyıtas

1), 2) es 3) nyilvanvalo.4) Ha u es v elter valamelyik pozicioban, akkor ott u es w , illetve w es vkozul legalabb az egyik par kulonbozik.



Definıcio

A K kod tavolsaga (d(K )) a kulonbozo kodszoparok tavolsagainak aminimuma.

Pelda (*)

(0,0)7→ (0,0,0,0,0)

(0,1)7→ (0,1,1,1,0)

(1,0)7→ (1,0,1,0,1)

(1,1)7→ (1,1,0,1,1)

3

4

3

3

34

A kod tavolsaga 3.

Felmerul a kerdes, hogy vajon mi lehetett a kodszo, ha a (0,1,0,0,0) szotkapjuk.



DefinıcioMinimalis tavolsagu dekodolas eseten egy adott szohoz azt a kodszotrendeljuk, amelyik hozza a legkozelebb van. Tobb ilyen szo esetenkivalasztunk ezek kozul egyet, es az adott szohoz mindig azt rendeljuk.

Megjegyzes

A dekodolas ket reszre bonthato: a hibajavıtasnal megprobaljukmeghatarozni, hogy mi volt az elkuldott kodszo, majd visszaallıtjuk azuzenetet. Mivel az utobbi egyertelmu, ezert hibajavıto kodokdekodolasan legtobbszor csak a hibajavıtast ertjuk.

DefinıcioEgy kod t-hibajavıto, ha minden olyan esetben helyesen javıt, amikor egyelkuldott szo legfeljebb t helyen valtozik meg.Egy kod pontosan t-hibajavıto, ha t-hibajavıto, de van olyan t + 1hibaval erkezo szo, amit helytelenul javıt, vagy nem javıt.



Megjegyzes

Ha a kod tavolsaga d , akkor minimalis tavolsagu dekodolassal t < d2

eseten t-hibajavıto.

PeldaAz elozo peldaban szereplo kod pontosan 1-hibajavıto.(0,0,0,0,0) (1,0,0,0,1)→(1,0,1,0,1)

Pelda (ismetleses kod)

a7→(a,a,a) d = 3 1-hibajavıto,a7→(a,a,a,a,a) d = 5 2-hibajavıto.



Tetel (Singleton-korlat)

Ha K ⊂ An, |A| = q es d(K ) = d , akkor |K | ≤ qn−d+1.

Bizonyıtas

Ha minden kodszobol elhagyunk d − 1 betut (ugyanazokbol apozıciokbol), akkor az ıgy kapott szavak meg mindig kulonbozoek, esn − d + 1 hosszuak. Az ilyen hosszu szavak szama szerepel azegyenlotlenseg jobb oldalan.

DefinıcioHa egy kodra a Singleton-korlat egyenloseggel teljesul, akkor aztmaximalis tavolsagu szeparabilis kodnak (MDS-kod) nevezzuk.

Pelda

Az n-szeri ismetles kodja. Ekkor d = n, es |K | = q.



Tetel (Hamming-korlat)

Ha K ⊂ An, |A| = q es K t-hibajavıto, akkor

|K |t∑

j=0

(n

j

)(q − 1)j ≤ qn.

Bizonyıtas

Mivel a kod t-hibajavıto, ezert barmely ket kodszora a toluk legfeljebb ttavolsagra levo szavak halmazai diszjunktak (Miert?). Egy kodszotolpontosan j tavolsagra levo szavak szama

(nj

)(q − 1)j (Miert?), ıgy egy

kodszotol legfeljebb t tavolsagra levo szavak szama∑t

j=0

(nj

)(q − 1)j . A

jobb oldalon az n hosszu szavak szama szerepel (Miert?).



DefinıcioHa egy kodra a Hamming-korlat egyenloseggel teljesul, akkor azt perfektkodnak nevezzuk.

Pelda (nem perfekt kodra)

A (*) kod eseten |K | = 4, n = 5, q = 2 es t = 1.B.O.= 4

((50

)(2− 1)0 +

(51

)(2− 1)1

)= 4(1 + 5) = 24,

J.O.= 25 = 32.Nem perfekt kod.


A kod tavolsaganak es hibajelzo kepessegenek kapcsolata

Tekintsunk egy kodot, aminek a tavolsaga d .

Ha egy elkuldott kodszo legalabb 1, de d-nel kevesebb helyen serul, akkoraz ıgy kapott szo biztosan nem kodszo, mivel ket kodszo legalabb dhelyen kulonbozik. Tehat legfeljebb d − 1 hiba eseten a kod jelez.

A kodban van ket olyan kodszo, amelyek tavolsaga d , es ha az egyiketkuldik, es ez ugy valtozik meg, hogy eppen a masik erkezik meg, akkor dhiba tortent, de nem vesszuk eszre. Tehat van olyan d hiba, amit a kodnem tud jelezni.Ezaltal a kod pontosan d − 1-hibajelzo.


A kod tavolsaganak es hibajavıto kepessegenek kapcsolata

Legyen a kod tavolsaga tovabbra is d , es tegyuk fel, hogy minimalistavolsagu dekodolast hasznalunk.

t < d2 hiba eseten biztosan jol javıtunk, hiszen a

haromszog-egyenlotlenseg miatt az eredetileg elkuldott kodszotolkulonbozo barmely kodszo biztosan d

2 -nel tobb helyen ter el a vett szotol(Miert?).

Masreszt legyenek u es w olyan kodszavak, amelyek tavolsaga d , eslegyen v az a szo, amit ugy kapunk u-bol, hogy azon d pozıciobol,amelyekben elternek, t ≥ d

2 helyre a w megfelelo pozıciojaban levo betutırjuk.Ekkor v az u-tol t helyen, mıg w -tol d − t ≤ d

2 ≤ t helyen kulonbozik.Ha a kod t-hibajavıto lenne, akkor v -t egyreszt u-ra, masreszt w -rekellene javıtania.Ezaltal a kod pontosan b d−1

2 c-hibajavıto.


Linearis kodok

DefinıcioLegyen F veges test. Ekkor az F elemeibol kepzett rendezett n-esek akomponensenkenti osszeadassal, valamint az n-es minden elemenekugyanazzal az F-beli elemmel valo szorzasaval egy F feletti n-dimenziosFn linearis teret alkotnak. Ennek a ternek egy tetszoleges altere egylinearis kod.

Megjegyzes

Itt F elemei a betuk, es Fn elemei a szavak, az alter elemei a kodszavak.

JelolesHa az alter k-dimenzios, a kod tavolsaga d , a test elemeinek a szamapedig q, akkor [n, k, d ]q kodrol beszelunk.Ha nem lenyeges d es q erteke, akkor elhagyjuk oket a jelolesbol, es[n, k]-t ırunk.


Linearis kodok

Megjegyzes

Egy [n, k, d ]q kod eseten a Singleton-korlat alakja egyszerusodik:

qk ≤ qn−d+1 ⇐⇒ k ≤ n − d + 1.

Pelda

1) A (*) kod egy [5, 2, 3]2 kod:(0,0)7→ (0,0,0,0,0)(0,1)7→ (0,1,1,1,0)(1,0)7→ (1,0,1,0,1)(1,1)7→ (1,1,0,1,1)


Linearis kodok

Pelda folyt.

2) Fq felett az ismetleses kod:pl. a haromszori ismetles kodja: a 7→ (a, a, a).Ez egy [3, 1, 3]q kod.

3) Paritasbites kod (ha paros sok egyesre egeszıtunk ki):

(b1, b2, . . . , bk) 7→ (b1, b2, . . . , bk ,∑k

j=1 bj).Ez egy [n, n − 1, 2]2 kod.

DefinıcioAz F abece feletti n hosszu u ∈ Fn szo sulya alatt a nem-nullakoordinatainak a szamat ertjuk, es w(u)-val jeloljuk.Egy K kod sulya a nem-nulla kodszavak sulyainak a minimuma:

w(K ) = minu 6=0

w(u).


Linearis kodok

Megjegyzes

Egy szo sulya megegyezik a 0-tol vett tavolsagaval:w(u) = d(u, (0, 0, . . . , 0)).

Allıtas

Ha K linearis kod, akkor d(K ) = w(K ).

Bizonyıtas

d(u, v) = w(u − v) (Miert?), es mivel K linearitasa miatt u, v ∈ Keseten u − v ∈ K , ezert a minimumok is megegyeznek (Miert?).


Linearis kodok

Linearis kod eseten a kodolas elvegezheto matrixszorzassal.

Definıcio

Legyen G : Fkq → Fn

q egy teljes rangu linearis lekepzes, illetve G ∈ Fn×kq a

hozza tartozo matrix. K = Im(G ) eseten G-t a K kodgeneratormatrixanak nevezzuk.

m1

m2

...mk

g11 g12 · · · g1k

g21 g22 · · · g2k

......

. . ....

gn1 gn2 · · · gnk

c1

c2

...cn


Linearis kodok

Pelda

1) A (*) kod egy generatormatrixa:

G =

1 00 11 10 11 0

2) A haromszori ismetles kodjanak egy generatormatrixa:

G =

111


Linearis kodok

Pelda folyt.

3) A paritasbites kod egy generatormatrixa:

G =

1 0 · · · 0

0 1. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 11 1 · · · 1


Linearis kodok

Definıcio

Egy [n, k, d ]q kodnak H ∈ F(n−k)×nq matrix az ellenorzo matrixa, ha

Hv = 0⇐⇒ v kodszo.

Megjegyzes

A G matrixhoz tartozo kodolasnak H pontosan akkor ellenorzo matrixa,ha Ker(H) = Im(G)

Pelda

1) A (*) kod egy ellenorzo matrixa:

H =

1 1 1 0 00 1 0 1 01 0 0 0 1


Linearis kodok

Pelda folyt.

2) A haromszori ismetles kodjanak egy ellenorzo matrixa:

H =

(−1 1 0−1 0 1

)

3) A paritasbites kod egy ellenorzo matrixa:

H =(

1 1 · · · 1)


Linearis kodok

DefinıcioHa a kodszavak elso k betuje megfelel az eredeti kodolando szonak,akkor szisztematikus kodolasrol beszelunk.Ekkor az elso k karakter az uzenetszegmens, az utolso n − k pedig aparitasszegmens.

Pelda

1) A haromszori ismetles kodja:( a︸︷︷︸uz.sz.

, a, a︸︷︷︸par.sz.

)

2) A paritasbites kod:

(b1, b2, . . . , bn−1︸︷︷︸uz.sz.

,

n−1∑j=1

bj︸︷︷︸par.sz.

)


Linearis kodok

Megjegyzes

Szisztematikus kodolas eseten konnyen tudunk dekodolni: aparitasszegmens elhagyasaval megkapjuk a kodolando szot.

Megjegyzes

Egy szisztematikus kod generatormatrixa specialis alaku:

G =

(IkP

),

ahol Ik ∈ Fk×kq egysegmatrix, tovabba P ∈ F(n−k)×k

q .


Linearis kodok

Allıtas

Legyen G ∈ Fn×kq egy szisztematikus kod generatormatrixa:

G =

(IkP

). Ekkor H =

(−P In−k

)ellenorzo matrixa a kodnak.

Bizonyıtas

H · G =(−P In−k

)·(

IkP

)= −P + P = 0 ∈ F(n−k)×k

q

(H · G)ij =∑k

l=1(−P)il · (Ik)lj +∑n−k

l=1 (In−k)il · (P)lj = −pij + pij = 0.Tehat barmely u kodolando szora H(Gu) = (HG)u = 0u = 0,vagyis Im(G) ⊂ Ker(H), amibol dim(Im(G)) ≤ dim(Ker(H)).dim(Im(G)) = k es dim(Ker(H)) ≤ k miatt viszontdim(Im(G)) ≥ dim(Ker(H)) is teljesul, ıgy Im(G) = Ker(H).

PeldaLd. korabban.


Linearis kodok

A kod tavolsaga leolvashato az ellenorzo matrixbol.

Allıtas

Legyen H egy [n, k] kod ellenorzo matrixa. A H-nak pontosan akkor van` darab linearisan osszefuggo oszlopa, ha van olyan kodszo, aminek asulya legfeljebb `.

Bizonyıtas

Legyen H =(h1 h2 · · · hn

).

=⇒Ekkor

∑lj=1 uj · h`j = 0. Tekintsuk azt a vektort, aminek az `j -edik

koordinataja uj , a tobbi pedig 0. Ez egyreszt kodszo lesz (Miert?),masreszt a sulya legfeljebb `.⇐=Legyen u = (u1, u2, . . . , un)T az a kodszo, aminek a sulya `. Ekkor H-nakaz u nem-nulla koordinatainak megfelelo oszlopai linearisan osszefuggoek.


Linearis kodok

Kovetkezmeny

A kod tavolsaga a legkisebb pozitıv egesz `, amire letezik az ellenorzomatrixnak ` darab linearisan osszefuggo oszlopa.

Pelda

A (*) kod eseten:

H =

1 1 1 0 00 1 0 1 01 0 0 0 1

Egyik oszlopvektor sem a nullvektor, ıgy nincs 1 darab linearisanosszefuggo oszlop.Egyik oszlopvektor sem tobbszorose egy masiknak, ıgy nincs 2 darablinearisan osszefuggo oszlop.Az 1., 3. es 5. oszlopok linearisan osszefuggoek, ıgy a kod tavolsaga 3.


Linearis kodok

A H ellenorzo matrix segıtsegevel dekodolni is lehet.

Definıcio

Adott v ∈ Fnq eseten az s = Hv ∈ Fn−k

q vektort szindromanak nevezzuk.

Megjegyzes

A v pontosan akkor kodszo, ha s = 0.

DefinıcioLegyen c a kodszo, v a vett szo. Az e = v − c a hibavektor.

AllıtasHv = He.

Bizonyıtas

Hv = H(c + e) = Hc + He = 0 + He = He


Linearis kodok

A dekodolas elve: v -bol kiszamıtjuk a Hv szindromat, ami alapjanmegbecsuljuk az e hibavektort, majd meghatarozzuk c-t a c = v − ekeplet segıtsegevel.

Definıcio

Valamely e hibavektorhoz tartozo mellekosztaly az {e + c : c kodszo}halmaz.

Megjegyzes

Az e = 0-hoz tartozo mellekosztaly a kod.

AllıtasAz azonos mellekosztalyban levo szavak pontosan az azonos szindromajuszavak.

Bizonyıtas

Meggondolni...


Linearis kodok

DefinıcioMinden s szindroma eseten legyen es az a minimalis sulyu szo, melynek sa szindromaja. Ez az s szindromahoz tartozo mellekosztaly-vezeto, amellekosztaly elemei es + c alakuak, ahol c ∈ K kodszo.

SzindromadekodolasAdott v eseten tekintsuk az s = Hv szindromat, es az esmellekosztaly-vezetot. Dekodoljuk v -t c = v − es -nek.

Allıtas

Legyen c a kodszo, v = c + e a vett szo, ahol e a hiba, es w(e) < d/2,ahol d a kod tavolsaga. Ekkor a szindromadekodolas a minimalistavolsagu dekodolasnak felel meg.


Linearis kodok

Bizonyıtas

Egyreszt a korabbi allıtas alapjan s = Hv = He, masreszt es definıciojamiatt s = Hes . Ezert e es es ugyanabban a mellekosztalyban van,tovabba w(es) ≤ w(e).w(e − es) = d(e, es) ≤ d(e, 0) + d(0, es) = w(e) + w(es) < d .De H(e − es) = 0 miatt e − es kodszo (Miert?), ıgy e = es .

Pelda

Tekintsuk a (*) kodot.v = (1, 1, 0, 1, 1)T eseten Hv = 0, ıgy v kodszo.v = (1, 1, 0, 0, 1)T eseten Hv = (0, 1, 0)T = s.Mi az s-hez tartozo mellekosztaly-vezeto?A (0, 0, 0, 1, 0)T sulya 1, es a szindromaja a keresett (0, 1, 0)T , ıgy ez lesza mellekosztaly-vezeto.c = v − es = (1, 1, 0, 0, 1)T − (0, 0, 0, 1, 0)T = (1, 1, 0, 1, 1)T


Linearis kodok

Emlekezteto (Hamming-korlat)

Ha K ⊂ An, |A| = q es K t-hibajavıto, akkor

|K |t∑

j=0

(n

j

)(q − 1)j ≤ qn.

Egyenloseg eseten perfekt kodrol beszelunk.

DefinıcioAz 1-hibajavıto perfekt linearis kodot Hamming-kodnak nevezzuk.

EmlekeztetoA kod tavolsaga a legkisebb pozitıv egesz `, amire letezik az ellenorzomatrixnak ` darab linearisan osszefuggo oszlopa.


Linearis kodok

Ha egy olyan binaris kodot keszıtunk, amelyre a H ellenorzo matrixoszlopainak a kulonbozo nemnulla, r hosszu vektorokat valasztjuk, akkoregy 1-hibajavıto kodot kapunk (Miert?).Ekkor a Hamming-korlat alakja:2k(1 + n) ≤ 2n.Egyenloseg eseten n = 2n−k − 1, es pont ennyi n − k hosszu, nemnullavektor van.

n = 2r − 1 eseten k = n − log(n + 1), ıgy a megfelelo (n, k) parok:

n 3 7 15 31 63 127 · · ·k 1 4 11 26 57 120 · · ·

Dekodolas Hamming-kod eseten:Ha csak 1 hiba van, akkor a hibavektornak csak egy koordinataja 1, atobbi 0, ıgy a szindroma az ellenorzo matrix valamely oszlopa lesz. Ennekaz oszlopnak megfelelo koordinataja hibas az uzenetben.


Linearis kodok

Peldan = 7, k = 4

H =

1 0 1 1 1 0 01 1 0 1 0 1 01 1 1 0 0 0 1

es

G =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

v = (1, 1, 0, 0, 1, 1, 1)T eseten Hv = (0, 1, 1)T = s, ami a H 2. oszlopa,ıgy a 2. koordinata romlott el, vagyis a kuldott kodszoc = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1)T .


Linearis kodok

Megjegyzes

A [7, 4]-es Hamming-kodot egy paritasbittel kiegeszıtve kapjuk ateletextnel hasznalt kodolast.A [15, 11]-es Hamming-kodot egy paritasbittel kiegeszıtve a muholdasmusorszorasnal (DBS) hasznaljak.

Definıcio

A K ⊂ Fnq kod ciklikus, ha minden (u1, u2, . . . , un−1, un) ∈ K eseten

(u2, u3, . . . , un, u1) ∈ K .

Pelda

K = {000, 101, 110, 011, 111} binaris kod ciklikus.

Megjegyzes

Ez nem linearis kod: 101 + 111 = 010 6∈ K .


Hibakorlatozo kodolas, Linearis kodolas

Eddig tartott a tizenegyedik kis temakor.

Ebbol a temakorbol 2019. december 6. 9:15-9:30 kozott leszket villamkerdes

es a harmadik nagy temakorbol (a kodelmeleti ket kis temakorbol)a bizonyıtasra vonatkozo kerdes.

Documents

Diszkr et matematika 2. - K odol as Diszkr et matematika 2. 2019. november 29. 3. Hibakorl atoz o k odol as P elda (Parit asbites k od) Egy n hosszu 0-1sorozatot eg esz tsunk ki egy