7/17/2019 DL1 (1)

http://slidepdf.com/reader/full/dl1-1 1/2

    

MPSI :2015−2016

 

   

 

f   :   R   −→   R

x   −→   x

1+|x|

 

F   = f (R)

 

g :   R   −→   F 

x   −→   f (x)

 

g  

  g−1

   

  X   et Y   

  f   :   P  (Y )   −→ P  (X )

B   −→   f −1 (B)

 f 

  f 

 f    f 

   

 

f    :   E  −→ F     S  = {X  ⊂  E | f −1(f (X )) =  X }

  A ⊂  E     f −1(f (A)) ∈ S 

  S   

∀  (A, B) ∈ S 2, A ∩ B ∈ S   et A ∪ B ∈ S 

  X  ∈ S     A ⊂  E     X  ∩ A =  ∅    X  ∩ f −1(f (A)) =  ∅

  X     Y   ∈ S     X     Y   \ X     S 

 

ϕ :   S −→ P  (f (E ))

A   −→   f (A)

   

 E  = N∗

  R

∀  ( p, q ) ∈ E 2, p  R  q  ⇐⇒ ∃  n  ∈ N, q  =  pn

  R    E 

 

E   

  {2, 4}  

  {2, 5}

   

 

 

E 

  A  et  B  

  E 

 

A  et  B

  A∆B   = (A \ B) ∪  (B \ A)  

A , B  et C   

  E 

 

7/17/2019 DL1 (1)

http://slidepdf.com/reader/full/dl1-1 2/2

A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

A∆ (B∆C ) = (A∆B) ∆C 

A ∩ (B∆C ) = (A ∪ B) ∆ (A ∪ C )

 

F   

  E   

  A  

  E 

  A∆F   = F ∆A =  A

 

A  

  E   

  A  

E   

  A∆A = A∆A =  F 

 

    A    E     A    χA :   E    −→ {0, 1}

x   −→

1 si  x  ∈ A

0 si  x /∈ A

·

  A et  B ∈ P  (E )   χA =  χB

  A    A ∩ B    χA  et χB

 

A \ B  

  A ∪ B  

  A∆B

 

A , B  et C   

  E A∆ (B∆C ) = (A∆B) ∆C 

 

A ∩ (B∆C ) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C )

 

  A , B ∈ P  (E )  

ΦA :   P  (E )   −→ P  (E )

X    −→   A∆X 

  P  (E )  

ΦA (X ) =  B   (2)

 

X  ∈ P  (E )  

  E 

   

A∆A et ∅∆X 

   

ΦA (ΦA (X ))

  ΦA :  P  (E ) −→ P  (E )

  A et  B  

  A  et  B