MPSI Approche documentaire

Mécanique relativiste

Document 1 Introduction à la mécanique relativiste

1.1 Les origines de la relativité restreinte

En mécanique classique, un objet se déplaçant à la vitesse −→v ′ par rapport à un référentiel R′ lui même en mouve-ment à la vitesse −→v0 par rapport à un référentiel R se déplace à la vitesse −→v =−→v ′+−→v0 par rapport au référentiel R, onparle de composition des vitesses. Par exemple, un passager d’un train roulant à 300 km/h marchant à 3 km/h versl’avant du train se déplace à 303 km/h par rapport au sol.

En 1865, le physicien écossais James Clerk Maxwell établit une théorie complète de l’électromagnétisme, enmontrant que quatre équations, appelées équations de Maxwell, permettent de décrire tous les phénomènes électro-magnétiques observés et jusqu’alors décrits séparément. Ces équations décrivent entre autres la propagation des

ondes électromagnétiques et prédisent que la lumière se propage dans le vide à une vitesse constante c = 1pε0µ0

, où

ε0 et µ0 sont deux constantes appelées respectivement permittivité diélectrique du vide et perméabilité magnétiquedu vide.

La théorie de Maxwell décrit exceptionnellement bien la plupart des phénomènes électromagnétiques mais ellepose à l’époque un problème : elle prédit une vitesse de la lumière constante, indépendante du référentiel, ce quisemble contredire la loi de composition des vitesses. Pour régler ce problème, certains physiciens proposent alorsl’existence d’un référentiel fondamental, celui de l’éther, un milieu qui serait au repos, dans lequel la lumière sepropagerait à la la vitesse c, la composition des vitesses classique pouvant s’appliquer à la lumière dans d’autresréférentiels.

En 1887, une expérience réalisée par deux physiciens américains, Albert Michelson et Edward Morley, basée surdes interférences lumineuses vient infirmer l’hypothèse de l’éther en montrant que la lumière se propage à la mêmevitesse selon la direction de la Terre dans son orbite autour du soleil (à environ 30 km · s−1) et dans une directionperpendiculaire.

1.2 Les postulats d’EinsteinLe problème reste ouvert jusqu’en 1905, où Albert Einstein pose deux postulats fondamentaux :

1. Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens.

2. La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens.

La définition des référentiels galiléens est la même qu’en mécanique classique : dans un référentiel galiléen, unobjet isolé est en translation rectiligne uniforme. On parle de relativité restreinte, car elle se restreint aux référentielsgaliléens, la théorie de la relativité générale traite aussi du cas des référentiels non galiléens.

La vitesse de la lumière dans le vide vaut c = 299792458m · s−1 cette valeur est exacte car elle sert à définir le mètre(comme la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant 1/299 792 458 seconde).

Une conséquence du premier postulat est que la masse m d’une particule est indépendante du référentiel considéré :la masse m d’une particule ne dépend pas de sa vitesse v .

1.3 Conséquence des postulats d’Einstein en dynamique

À partir des deux postulats d’Einstein, on peut établir la théorie de la relativité restreinte, puis on peut établirquelques propriétés des particules relativistes.

On peut montrer en particulier que la vitesse de la lumière c est une vitesse limite que ne peut pas dépasser uneparticule matérielle.

On s’intéresse pour la suite à une particule de masse m et de vitesse −→v dans un référentiel galiléen.Les expressions relativistes font intervenir deux coefficients coefficient notés β et γ tels que

β= v

cet γ= 1√

1− v2

c2

= (1−β2)−1/2. (1)

Sachant qu’on a toujours v < c, on a toujours β< 1 et γ> 1.La quantité de mouvement d’une particule relativiste vaut :

−→p = γm−→v , (2)

et l’énergie cinétique d’une particule relativiste vaut :

Ec = (γ−1)mc2. (3)

Dans la limite des faibles vitesses (v ¿ c, ces relations donnent −→p ' m−→v et Ec ' 1

2mv2 : on retrouve la mécanique

classique.

1/5

MPSI Approche documentaire

Document 2 L’expérience de BertozziL’expérience de Bertozzi [1], publiée en 1964, est une expérience visant à observer des effets relativistes lors du

mouvement d’électrons en mesurant indépendamment l’énergie et la vitesse d’un faisceau d’électrons. Bien que denombreuses expériences aient confirmé les différentes prédictions de la relativité restreinte dans les années 1880 à1930, cette expérience a l’avantage de donner des résultats directement exploitables.

Le texte qui suit résume les principaux éléments de l’article de Bertozzi, si vous souhaitez en savoir plus, vouspouvez télécharger l’article original ici : http://mpsi.hunger.fr/approches-documentaires-de-physique/,mais toute les informations utiles sont données ci-dessous.

Le dispositif expérimental est représenté sur la figure 1. Un accélérateur de Van de Graaff (partie gauche dudispositif) peut accélérer des paquets d’électrons émis par un canon à électrons (electron gun) jusqu’à des énergiescinétiques de 1,5 MeV (1MeV = 106 eV). Le faisceau d’électrons entre ensuite dans une cavité accélératrice contenantune deuxième accélérateur de particules, le Linac, pour linear accelerator) qu’il traverse pour aller percuter une cibleen aluminium aluminum disc).

FIGURE 1 – Schéma de l’expérience de Bertozzi.

L’accélérateur de Van de Graaf et le Linac fonctionnent tous les deux sur le même principe de base : des plaquesmétalliques (equipotential planes) sont chargées à des potentiels croissants de manière à accélérer les électrons. Ellessont chargées à l’aide d’un générateur de Van de Graaff dans l’accélérateur de Van de Graaff, et avec une source dehaute tension extérieure dans le Linac. On admettra que l’expression de l’énergie potentielle électrostatique d’uneparticule relativiste de charge q dans un potentiel électrostatique V est toujours :

Epe = qV +Cste

Un détecteur métallique placé dans la trajectoire du faisceau entre l’accélérateur de Van de Graaf et le Linaccapte quelques électrons et permet de détecter l’instant d’entrée du faisceau en observant le signal électrique àl’oscilloscope. La charge du disque en aluminium à la sortie du Linac est également mesurée à l’oscilloscope et permetde mesurer l’arrivée des électrons. Les deux signaux sont additionnés et observés avec un oscilloscope (voir figure 2).L’écart temporel entre les deux signaux, appelé temps de vol, permet de mesurer le temps mis par les électrons pourtraverser le Linac.

On mesure également l’élévation de température du disque d’aluminium en sortie du Linac. En première ap-proximation, presque toute l’énergie cinétique des électrons est dissipée sous forme de chaleur dans l’aluminium,

2/5

MPSI Approche documentaire

FIGURE 2 – Un exemple de signal mesuré à l’oscilloscope. Les deux pics représentent l’entrée des électrons et leur sortie du Linac.Une grande division sur l’oscilloscope représente 0,98×10−8 s.

l’élévation de température permet donc de remonter à l’énergie cinétique des électrons. Les résultats de l’expériencetels qu’ils ont été publiés dans l’article sont donnés dans la table 1.

Ec (MeV) 0,5 1,0 1,5 4,5 15

temps de vol (10−8 s) 3,23 3,08 2,92 2,84 2,80

TABLE 1 – Les résultats de l’expérience de Bertozzi donnés dans l’article.

Pour les mesures à faible énergie cinétique (Ec ≤ 1,5MeV), toute l’énergie cinétique des électrons est fournie parl’accélérateur de Van de Graaf et le Linac est éteint et sert juste de chambre à vide pour le passage des électrons. Enrevanche, pour les mesures à forte énergie cinétique (Ec > 1,5MeV), les électrons sont accélérés jusqu’à 1,5MeV parl’accélérateur de Van de Graaf, puis par le Linac fournit le complément d’énergie cinétique nécessaire. Par exemple,pour la mesure à 4,5 MeV, 1,5 MeV d’énergie cinétique est fournie par le générateur de Van de Graaf et les 3 MeVrestants sont fournis par le Linac.

Les résultats de l’expérience sont regroupés dans la figure 3. Sur ce graphe, sont tracés les points expérimentaux :( v

c

)2en fonction de

Ec

me c2 , où me = 9,1×10−31 kg est la masse d’un électron. Deux courbes sont également tracées :( v

c

)2= 2

Ec

me c2 et( v

c

)2= 1−

[me c2

me c2 +Ec

]2

. Les points expérimentaux s’alignent sur la deuxième courbe.

FIGURE 3 – Les résultats de l’expérience de Bertozzi résumés sur un graphe, l’énergie cinétique est notée Ek , pour kinetic energy.

3/5

MPSI Approche documentaire

Document 3 Chocs élastiques entre particulesOn s’intéresse à une collision élastique (sans dissipation) entre un proton au repos, de masse mp = 1,67×10−27 kg

et un proton incident de vitesse −→v1 et de quantité de mouvement −→p1.On note −→v1

′ et −→p1′ la vitesse et la quantité du proton incident après le choc et −→v2

′ et −→p2′ la vitesse et la quantité de

mouvement du proton initialement immobile après le choc.

−→p1

−→p1′

−→p2′

Étudions cette collision en mécanique classique : on considère le système de deux protons dans un référentielgaliléen.

Le système étant isolé, sa quantité de mouvement est conservée, on a donc :

−→p1 =−→p1′+−→p2

′ (4)

Comme la collision est élastique, l’énergie cinétique est également conservée, on a donc :

1

2mp v2

1 = 1

2mp v ′2

1 + 1

2mp v ′2

2 . (5)

Les équations 4 et 5 permettent de montrer que −→p1′ · −→p2

′ = 0, soit −→p1′ ⊥−→p2

′ ou −→p1′ =−→

0 : après la collision, les deux

vecteurs impulsion sont orthogonaux (les cas −→p1′ =−→

0 correspond au cas où le proton incident est arrivé parfaitementcentré sur le proton immobile et reste immobile après le choc). Cette propriété n’est en revanche pas vraie enmécanique relativiste.

Des résultats expérimentaux sont représentés figure 4.

FIGURE 4 – Trajectoires dans une chambre à bulles. À gauche, un proton incident à la vitesse v = 150km/s percute un protonimmobile. À droite, un proton incident à la vitesse v = 270000km/s percute un proton immobile.

4/5

MPSI Approche documentaire

Questions1. Montrer qu’un développement limité de l’expression de l’énergie cinétique relativiste d’une particule quand v ¿ cpermet de retrouver l’expression de l’énergie cinétique classique.

L’expérience de BertozziOn néglige pour l’instant l’accélération ayant lieu dans le Linac.

2. À partir des données de la table 1, vérifier qu’on retrouve bien les résultats de la table de la figure 3.

3. Exprimer( v

c

)2en fonction de

Ec

me c2 dans les cas classique et relativiste. Conclure sur l’intérêt du graphe de la

figure 3.On s’intéresse maintenant à quelques détails expérimentaux.

4. Écrire la conservation de l’énergie mécanique et donner le lien entre l’énergie cinétique des électrons en sortie dudispositif et la différence de potentiel UVdG imposée par l’accélérateur de Van de Graaff. Quelle est la valeur maximalede UVdG que permet le dispositif expérimental ?5. Pour la détermination de l’énergie cinétique, on utilise l’échauffement de la cible en aluminium, mais cet échauffe-ment est proportionnel au nombre d’électrons arrivant sur la cible. Il faut donc déterminer le nombre d’électronsabsorbés par la cible. Comment le feriez vous ?6. Pour les énergies supérieures à 1,5 MeV, les électrons sont accélérés dans le Linac, après le détecteur d’entrée. Est-il

encore légitime de déterminer la vitesse des électrons avec la formule v = d

t, avec d = 8,4 m la distance entre les deux

détecteurs et t le temps de vol ? Commenter numériquement.7. Quelles précautions faut-il prendre dans le choix des câbles reliant les détecteurs à l’oscilloscope ?

Chocs élastiques relativistes

8. Montrer que les équations 4 et 5 permettent bien de montrer que −→p1′ · −→p2

′ = 0.9. Les deux images de la figure 4 sont-elles compatibles avec la mécanique classique ? Pourquoi ?

On souhaite dans cette partie étudier une collision élastique relativiste afin d’interpréter l’image de droite de lafigure 4. On suppose qu’un des protons est immobile avant le choc.

On a reproduit sur le schéma ci-dessous les quantités de mouvement des protons avant et après le choc, enreportant les angles mesurés sur la figure 4.

−→p1

−→p1′

−→p2′

β= 25°

α= 53°

10. À partir des données du texte, déterminer p1, donner sa valeur numérique en MeV/c (qui est bien une unitéd’impulsion).11. Utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour déterminer p ′

1 et p ′2 en fonction de p1, α et β. Faire

l’application numérique.12. Déterminer les rapports β = v/c de chaque proton, avant et après le choc. Montrer que l’énergie cinétiquerelativiste est bien conservée au cours du choc.

Références[1] W. BERTOZZI : Speed and Kinetic Energy of Relativistic Electrons. American Journal of Physics, 32:551–555, juillet

1964.

5/5