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1VARIABLE COMPLEJA

Mariano A. del Olmo

Dpto. de Fsica Teorica

Universidad de Valladolid

Indice general

1. Funciones de una variable compleja 7

1.1. Numeros complejos: primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Forma polar de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Races n-esimas de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1. Races nesimas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2. Races y potencias de un numero complejo . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Representacion matricial de los numeros complejos . . . . . . . . . . . 15

1.5. Topologa en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1. Representacion grafica de funciones de variable compleja . . . . 20

1.7. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1. Propiedades de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9. Esfera de Riemann y puntos en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10. Derivacion de funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10.1. Formulas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10.2. Derivabilidad de funciones reales de varias variables . . . . . . . 31

1.10.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.11. Funciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4 INDICE GENERAL

1.12. Funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Funciones elementales 41

2.1. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3. Funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4. Funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1. Propiedades de la funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.2. Ramas del logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3. Propiedades de la funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5. Potencias y raz n-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5.1. Potencia f(z) = zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5.2. Raz n-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Integracion en el plano complejo 61

3.1. Integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . . . . 61

3.2. Contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3. Integracion (curvilnea) en el campo complejo . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1. Propiedades de las integrales de contorno . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2. Reparametrizacion de contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.3. Longitud de arco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.4. Teorema fundamental del Calculo (para integrales de contorno) 69

3.3.5. Teorema de la independencia del camino . . . . . . . . . . . . . 70

3.4. El teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.1. Homotopa y Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5. Formula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.1. Indice de una curva cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

INDICE GENERAL 5

3.5.2. Formula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6. Consecuencias del teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6.1. Desigualdades de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6.2. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.3. Teorema de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.4. Teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.5. El teorema del modulo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4. Series de potencias y funciones analticas 89

4.1. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.1. Sucesiones y series de numeros complejos: conceptos basicos . . 89

4.1.2. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4. Teorema de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5. Productos y cocientes de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.6. Singularidades aisladas: su clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5. Calculo de residuos. Calculo de integrales 113

5.1. Calculo de residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2. El teorema de los residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3. Calculo de integrales definidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3.1. Integrales impropias del tipo f(x) dx . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.2. Transformadas de Fourier e

iaxf(x) dx . . . . . . . . . . . . 122

5.3.3. Integrales trigonometricas 2pi0

R(cos , sen ) d . . . . . . . . . 125

5.4. Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.5. Integrales con cortes de ramificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5.1. Transformadas de Mellin0xa1f(x) dx, a Z . . . . . . . . 130

6 INDICE GENERAL

5.5.2.0f(x) log x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.6. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Captulo 1

Funciones de una variable compleja

1.1. Numeros complejos: primeras definiciones

Los numeros complejos z se pueden escribir en terminos de dos numeros reales x e

y del modo siguiente z = x + iy, donde i es la unidad imaginaria que verifica que

i2 = 1. A los numeros reales x e y se les denomina parte real y parte imaginaria dez, respectivamente. As

x = Re z, y = Im z. (1.1)

El conjunto de los numeros complejos C tiene estructura de cuerpo con las operacionesde suma (+) y producto () definidas por

z1 + z2 (x1 + iy1) + (x2 + iy2) := (x1 + x2) + i(y1 + y2),z1 z2 (x1 + iy1) (x2 + iy2) := x1x2 y1y2 + i(x1y2 + x2y1).

(1.2)

La igualdad de dos numeros complejos z1 y z2 se define (teniendo en cuenta que como

conjuntos C = R2) del modo siguiente

z1 = z2 Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2.

Dado un numero complejo z = x+ iy, su complejo conjugado, z o z, se define como

z z = x iy. (1.3)

Podemos considerar la aplicacion conjugacion compleja que nos lleva cada numero

7

8 CAPITULO 1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA

complejo z en su complejo conjugado ( : C C). Sus principales propiedades son:z = (z) = z,

(z1 + z2) = z1 + z2,

z1 z2 = z1 z2,(z1z2

)=

z1z2, z2 6= 0.

(1.4)

Ejercicio 1.1. Demostrar las propiedades (1.4).

El modulo de un numero complejo z = x+ iy, que denotaremos por |z|, se define como|z| = +

x2 + y2. (1.5)

Las propiedades del modulo de un numero complejo son:

z = 0 si y solo si |z| = 0,|z| = |z|,|z1 z2| = |z1| |z2|,z1z2 = |z1||z2| , z2 6= 0,

|z|2 = z z

Desigualdad del triangulo :

{ |z1 + z2| |z1|+ |z2|,|z1 z2| ||z1| |z2||.

(1.6)

De la relacion (1.6.e) uno puede probar que

z1 1z=

z

|z|2 , si z 6= 0,

z1 = z, si |z| = 1.Ejercicio 1.2. Demostrar las propiedades (1.6).

1.2. Forma polar de un numero complejo

Desde un punto de vista geometrico, los numeros complejos se pueden identificar con

los punto del plano real mediante la correspondencia

z = (x+ iy) C (x, y) R2. (1.7)

1.2. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO 9

Esta relacion uno a uno entre C y R2 posibilita que los numeros complejos puedan serrepresentados mediante el plano real de forma que el eje real sea el eje horizontal y

el eje imaginario el eje vertical (Figura 1.1). Por ello es usual denominar a C planocomplejo.

CAPITULO 1. FUNCIONES ANALITICAS 3

El teorema del binomio de Newton es valido en el campo complejo:

(a+ b)n =

ni=0

(n

i

)aibni , a, b C, n N .

1.2. Modulo y argumento. Formula de de Moivre.

Races. Conjugacion.

Geometricamente, los numeros complejos se pueden identificar con los puntos delplano haciendo corresponder al complejo z = x+ i y el punto (x, y). De ah que elconjunto C reciba el nombre de plano complejo. Es tambien corriente cuando seutiliza esta representacion geometrica de C denominar eje real al eje horizontal yeje imaginario al vertical (fig. 1.1).

x

y

z

z

Figura 1.1: Plano complejo.

Si z = x+ i y C, se definen el modulo y el complejo conjugado de z respectiva-mente como sigue:

|z| =x2 + y2 (distancia al origen)

z = x i y (reflexion respecto del eje real)

= Re z = 12(z + z), Im z = 12i(z z)Propiedades:

i) z = z

ii) z + w = z + w

iii) z w = z w = 1/z = 1/ziv) |z| = |z|

v) zz = |z|2 =

z 6= 0 z1 = z|z|2|z| = 1 z = z1

Figura 1.1: Plano complejo

Sea z = x + iy un numero complejo, de acuerdo con lo anterior tiene asociado un

punto en el plano real R2, de coordenadas (x, y), con el que le podemos identificar. Ladistancia eucldea entre el punto (x, y) y el origen, (0, 0), es +

x2 + y2 que coincide

con |z|. Precisamente y , angulo que forman el eje horizontal con la recta que une(x, y) con el origen (0, 0) (ver Figura 1.2) constituyen las coordenadas polares del punto

(x, y) del plano real. Llamando = |z| se tiene que

x = cos , y = sen ,

con lo que

z = (cos + i sen ). (1.8)

El angulo se denomina argumento de z (arg z) y esta definido salvo un numero

entero de vueltas (modulo 2pi), es decir que si k es un numero entero arbitrario, el

argumento + 2pik representa el mismo argumento que . Este hecho esta ligado con

la periodicidad de las funciones trigonometricas, esto es:

cos( + 2pik) = cos , sen( + 2pik) = sen , k Z.

Si uno quiere que el argumento sea unico debe entonces restringirse a un intervalo

semiabierto I de longitud 2pi, por ejemplo [0, 2pi), (pi, pi], etc. A esta eleccion delintervalo se denomina tomar una determinacion del argumento: argI . En otras palabras,


CAPITULO 1. FUNCIONES ANALITICAS 4

vi) |z w| = |z| |w| (elevar al cuadrado) = z1 = |z|1vii) w 6= 0 = z/w = z/w, |z/w| = |z| / |w|

(consecuencia de iii) y vi))

viii) |Re z| |z| , |Im z| |z| ( |z| Re z, Im z |z|)Desigualdad triangular: |z + w| |z|+ |w||z + w|2 = (z + w)(z + w) = |z|2 + |w|2 + (zw + zw) = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw)

|z|2 + |w|2 + 2 |zw| = |z|2 + |w|2 + 2 |z| |w| = (|z|+ |w|)2.

Consecuencias:

i) ||z| |w|| |z w||z| = |(z w) + w| |z w|+ |w| = |z| |w| |z w| ;

cambiando z por w se obtiene |w| |z| |z w|.ii) |z| > |w| = 1|z w|

1

|z| |w|

1.2.1. Argumento

z

Figura 1.2: Definicion de argumento.

Dado 0 6= z C, existe R t.q.z = |z| (cos + i sen ) (fig. 1.2).

El numero esta definido modulo un multiplo entero de 2pi. Por ejemplo,

z = 1 = {0,2pi,4pi, . . . } = {2 k pi : k Z} .Definicion 1.4. arg z (argumento de z): cualquier t.q. z = |z| (cos +i sen ).= arg no es una funcion.

arg z = cualquiera de los angulos orientados formados por el vector z con el ejereal positivo.

Ejemplos:

arg i {pi/2 + 2 k pi : k Z}arg(1 i) {5pi/4 + 2 k pi : k Z} = {3pi/4 + 2 k pi : k Z} .

Figura 1.2: Forma polar de un numero complejo

argIz es el unico valor de argz que pertenece a I. Cuando I = (pi, pi], arg(pi,pi] sedenomina la determinacion principal del argumento.

A la representacion polar (1.8) de z se le denomina tambien forma trigonometrica o

modulo-argumental de un numero complejo.

En forma polar dos numeros complejos, z1 y z2 son iguales si y solo si |z1| = |z2| yarg z1 = arg z2 + 2pik, k Z.En la representacion polar la multiplicacion de numeros complejos se expresa de forma

simple. En efecto, sean dos numeros complejos zj = j(cos j + i sen j), j = 1, 2, su

producto se escibe como

z1 z2 = 1 2[cos 1 cos 2 sen 1 sen 2 + i(cos 1 sen 2 + cos 2 sen 1)].Usando las formulas trigonometricas de la suma de angulos obtenemos que

z1 z2 = 1 2[cos(1 + 2) + i sen(1 + 2)]. (1.9)De la expresion (1.9) inferimos, por un lado el conocido resultado de que |z1 z2| =|z1| |z2|, y por otro que

arg (z1 z2) = arg (z1) + arg (z2) mod 2pi.Notese que, en general, arg (z1 z2) 6= arg (z1) + arg (z2). As, por ejemplo,

arg(pi,pi](i) = pi/2 6= arg(pi,pi](1) + arg(pi,pi]i = pi + pi/2 = 3pi/2.

Si consideramos en (1.9) el caso particular de z1 = z2 = z tenemos que

z2 = 2(cos 2 + i sen 2).

1.2. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO 11

Y usando el metodo de induccion, llegamos al siguiente resultado

zn = n(cosn + i senn), (1.10)

valido para todo numero natural n = 1, 2, . . . (incluso para n = 0). Por otro lado, de

la forma polar de z se tiene que

zn = n(cos + i sen )n. (1.11)

De la igualdad entre estas dos ultimas expresiones, (1.10) y (1.11), obtenemos la cono-

cida formula de Moivre

cosn + i senn = (cos + i sen )n, (1.12)

siendo n = 0, 1, 2, . . .

Ejemplo 1.1. Calculo de cos 3 en funcion de .

De acuerdo con la formula de Moivre podemos escribir

cos 3 + i sen 3 = (cos + i sen )3

= cos3 3 cos sen2 + i(cos2 sen sen3 ).De la igualdad de numeros complejos obtenemos que

cos 3 = cos3 3 cos sen2 ,sen 3 = cos2 sen sen3 .

Dado un complejo z cuya expresion modulo-argumento viene dada por (1.8) la de su

complejo conjugado es z = [cos() + i sen()]. Ahora si z 6= 0, entonces es facilprobar que

1

z z1 = z

z z =1

[cos() + i sen()] = 1

(cos i sen ).

De la expresion anterior se puede ver que:

z1z2

=12

[cos(1 2) + i sen(1 2)], z2 6= 0; (1.13)

1

zn zn = 1

n[cos(n) + i sen(n)], z 6= 0. (1.14)

Ejercicio 1.3. Comprobar las expresiones (1.13) y (1.14).


1.3. Races n-esimas de un numero complejo

Sean z 6= 0 C y n N. Vamos a buscar todos los numeros complejos w tales quewn = z. (1.15)

A cada numero complejo w solucion de la ecuacion anterior (1.15), de existir, lo llama-

remos raz n-esima de z.

Como z 6= 0 si existe una solucion w sera no nula. Para resolver la ecuacion wn = zescribamos los complejos w y z en forma polar

z = z(cos z + i sen z), w = w(cos w + i sen w).

La ecuacion (1.15) en forma polar se reescribe como

nw(cos(nw) + i sen(nw)) = z(cos z + i sen z).

La igualdad de dos numeros complejos implica que

nw = z = w = 1/nz

nw = z + 2pik = w = zn+

2pik

n, k Z.

En principio k puede ser cualquier numero entero. Sin embargo, si se reemplaza k por

k + pn con p entero se tiene que

2pi(k + p n)

n=

2pik

n+ 2pip.

Por tanto, el angulozn

+2pik

nes igual al angulo

zn

+2pik

n+ 2pip puesto que ambos

difieren en un multiplo entero de 2pi. De este modo es suficiente con que k varie entre

0, 1, . . . , n 1, pues para cualquier otro valor de k, se iran repitiendo los valores de w.Es facil demostrar que los n valores angulares

w =0n+

2pik

n; k = 0, 1, . . . , n 1

son diferentes. Por tanto, la ecuacion con variable w dada por wn = z, tiene justamente

n soluciones que son

w = 1/nz

[cos

(zn+

2pik

n

)+ i sen

(zn+

2pik

n

)], k = 0, 1, . . . , n 1. (1.16)

En otras palabras, un numero complejo no nulo tiene n races nesimas (no nulas)

distintas.

1.3. RAICES N -ESIMAS DE UN NUMERO COMPLEJO 13

Ejemplo 1.2. Calculemos las races quintas de z = (3/2 + i/2).

Vemos que |z| = 1, arg z = 5pi/6, luego las races quintas vienen dadas por

cos

(pi

6+

2pik

5

)+ i sen

(pi

6+

2pik

5

), k = 0, 1, . . . , 4,

y explcitamente se escriben como

cospi

6+ i sin

pi

6=

3

2+

i

2,

cos17pi

30+ i sin

17pi

30= 0,207912 + 0,978148 i,

cos29pi

30+ i sin

29pi

30= 0,994522 + 0,104528 i,

cos41pi

30+ i sin

41pi

30= 0,406737 0,913545 i,

cos53pi

30+ i sin

53pi

30= 0,743145 0,669131 i.

Las races nesimas de z 6= 0 C tienen el mismo modulo: |z|1/n, de modo que todasellas estaran situadas sobre la circunferencia centrada en el origen y de radio |z|1/n.Como todas las races nesimas difieren en su argumento un multiplo de 2pi

nestan

dispuestas de forma equidistante sobre la circunferencia.CAPITULO 1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA 10

i

1 1

i

(a) Races cuartas

i

1 1

i

(b) Races octavas

Figura 1.2: Races de la unidad

De esta suerte, para dibujar todas las races n-esimas de z0 6= 0, primero encontraremos unade ellas, z1, y la situaremos en el plano complejo. Trazaremos la circunferencia centrada enel origen y de radio |z1|. Sobre esta circunferencia y, a partir de z1, giremos un arco de 2nradianes, para encontrar la segunda raz n-esima de z0. A continuacion giremos, en el mismosentido, otro angulo de 2n radianes para hallar la tercera y as sucesivamente.

1.5. Topologa en el plano complejo

Aprovechando la relacion biunvoca que existe entre el plano complejo C y el plano real R2

dada porx+ iy (x, y),

vamos a definir una topologa en C que tambien sea identica a la topologa metrica usualque existe en R2. Una topologa se define o bien dando el sistema de abiertos de la mismao, equivalentemente, dando los entornos de cada punto. Nosotros utilizaremos esta segundaestrategia.

De todas las maneras, supondremos que el lector conoce ya los elementos de la topologametrica y, en particular, de la topologa eucldea en el plano real R2, por lo que aqu pre-sentaremos un simple resumen de las ideas fundamentales.

Sean z y w dos numeros complejos. Llamaremos distancia entre z y w al modulo |z w|.Entonces:

Disco abierto centrado en z0 y de radio > 0 es el conjunto de puntos del plano complejoque distan de z0 menos que . Este disco se denota como D(z0, ). Tenemos entonces que

D(z0, ) = {z C; |z z0| < }.

Disco cerrado centrado en z0 y de radio > 0 es el conjunto de puntos del plano complejoque distan de z0 igual o menos que . Este disco se denota como D(z0, ). Entonces

D(z0, ) = {z C; |z z0| }.

Figura 1.3: Races cuartas y octavas de la unidad


1.3.1. Races nesimas de la unidad

Si consideramos z = 1 (z = 1 y z = 0) las races nesimas de la unidad son, segun la

formula (1.16), de la siguiente forma

wk = cos

(2pik

n

)+ i sen

(2pik

n

), k = 0, 1, . . . , n 1.

Teniendo en cuenta la formula de Moivre podemos comprobar facilmente que wk = wk

con w w1 = cos(2pin

)+ i sen

(2pin

).

Por ejemplo, las races octavas de la unidad son(cos(pi4

)+ i sen

(pi4

))k=

1

(2)k

(1 + i)k, k = 0, 1, . . . , 7.

De forma explcita

11/8 = {1, 12(1 + i), i,

12(1 + i), 1 1

2(1 + i), i, 1

2(1 i) }.

Si z es un numero complejo arbitrario distinto de cero y z1/n una de sus races nesimas

se puede probar que las n races nesimas de z vienen dadas por

z1/nk, k = 0, 1, . . . , n 1. (1.17)

La demostracion consta de dos etapas:

i) probar que z1/nk es una raz nesima de z para todo k = 0, 1, . . . , n 1;ii) comprobar que los numeros z1/nk, k = 0, 1, . . . , n 1 son todos distintos.

Ejercicio 1.4. Probar la relacion (1.17).

1.3.2. Races y potencias de un numero complejo

Es bien conocido que si r es un numero real positivo ym y n son dos numeros naturales,

entonces (rm)1/n = (r1/n)m, en el dominio de los numeros reales positivos. Sin embargo,

no ocurre lo mismo en el caso de un numero complejo z no nulo, ya que este tiene

exactamente n races nesimas y, por lo tanto, z1/n es, en realidad, un conjunto de n

numeros complejos.

As, por ejemplo, si m y n son primos entre s (zm)1/n = (z1/n)m como conjuntos (con

z 6= 0).

1.4. REPRESENTACION MATRICIAL DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 15

Sin embargo, cuando m y n no son primos entre s, los conjuntos de numeros (z1/n)m

y (zm)1/n no son, en general, identicos. Para comprobarlo, basta considerar el caso

cuando m = 4; n = 2. En efecto, sea z = (cos + i sen ), entonces

(z4)1/2 = 2(cos 2 + i sen 2)k, k = 0, 1,

siendo 0 y 1 las races cuadradas de la unidad (0 = 1, 1 = cos pi + i sen pi = 1).Por tanto

(z4)1/2 = (1)2(cos 2 + i sen 2).Luego (z4)1/2 es un conjunto de dos numeros como corresponde al numero de races

cuadradas de un numero complejo no nulo.

Por otra parte

z1/2 = (1)1/2(cos

2+ i sen

2

)son dos numeros, de modo que

(z1/2)4 = (1)42(cos 2 + i sen 2) = 2(cos 2 + i sen 2).es un unico numero que coincide con uno de los valores de (z4)1/2. Luego {(z1/2)4} esun subconjunto de {(z4)1/2}.

1.4. Representacion matricial de los numeros com-

plejos

Comenzaremos viendo como la multiplicacion por un numero complejo puede repre-

sentarse por una matriz.

Sea = a + ib un numero complejo arbitrario pero fijo. Consideremos la aplicacion

lineal (entre espacios vectoriales)

M : C R2 C R2z M(z) = z

entonces en la base canonica de R2 {1 (

10

), i

(01

)} la matriz asociada a la

aplicacionM viene dada por (a bb a

). (1.18)

En efecto, sea z = (x+ iy) luego

M(z) = z = (a+ ib)(x+ iy) = ax by + i(ay + bx). (1.19)


Sea la matriz de entradas reales

M =

(a11 a12a21 a22

)asociada aM en la base canonica. Entonces tenemos

M(z) = M (

xy

)=

(a11 a12a21 a22

)(

xy

)=

(a11x+ a12ya21x+ a22y

). (1.20)

Comparando (1.19) y (1.20) se obtienen las ecuaciones

ax by = a11x+ a12y, ay + bx = a21x+ a22y, (x, y) R2.

de donde se infiere que

a11 = a22 = a, a12 = a21 = b.

Luego

M =

(a bb a

). (1.21)

Por otra parte, los numeros complejos se pueden representar por matrices reales 2 2:

= a+ ib C M =(

a bb a

).

Notese que ||2 = detM.El conjunto de matrices

MC = {M =(

a bb a

): a, b R}

viene generado por

M1 =

(1 00 1

), Mi =

(0 11 0

),

es decir,

M =

(a bb a

)= aM1 + bMi.

La suma y la multiplicacion de matrices deMC se correponde con la suma y multipli-cacion en C como facilmente se comprueba. De modo que {MC,+, } {C,+, }.

1.5. TOPOLOGIA EN EL PLANO COMPLEJO 17

1.5. Topologa en el plano complejo

La relacion biunvoca (1.7) existente entre el plano complejo C y el plano real R2

permite definir una topologa en C identica a la topologa metrica usual que existe enR2.

Una topologa se define dando el sistema de abiertos de la misma o, equivalentemente,

dando los entornos de cada punto, que es el modo como lo presentamos aqu.

A continuacion describiremos simplemente los conceptos topologicos necesarios para

nuestros propositos.

Llamaremos distancia entre dos numeros complejos z y w al modulo |z w|.Disco abierto centrado en z0 y de radio > 0 (D(z0, )) es el conjunto de puntos del

plano complejo que distan de z0 menos que

D(z0, ) = {z C : |z z0| < }.

Disco cerrado centrado en z0 y de radio > 0 (D(z0, )) es el conjunto de puntos del

plano complejo que distan de z0 igual o menos que

D(z0, ) = {z C : |z z0| }.

Entorno de z0 C es cualquier conjunto conteniendo un disco abierto centrado en z0.En particular, un disco abierto centrado en z0 es un entorno de z0. En lo que sigue,

si no se dice lo contrario, por entorno de un punto z0 entenderemos un disco abierto

centrado en z0: D(z0, ).

Punto interior a un conjunto no vaco A C es un punto de A tal que tiene al menosun entorno completamente contenido en A. Esto es, si z0 es un punto interior a A

entonces > 0 tal que D(z0, ) A.

El interior de A es el conjunto de sus puntos interiores y se denota porA. Obviamente

A A.

Un punto z0 C es punto adherente de un conjunto no vaco A C si todo entornode z0 corta a A. Luego, si z0 es un punto adherente a A, D(z0, )

A 6= , > 0.

La adherencia de A es el conjunto de sus puntos adherentes y se denota por A. Ahora

se tiene que

A A.


Un conjunto A C es un conjunto abierto o, simplemente un abierto, si coincide consu interior: A =

A. En otras palabras, si contiene un entorno de cada uno de sus puntos

a A, > 0 : D(a, ) A.

Un conjunto A C es un conjunto cerrado, o simplemente un cerrado, si coincide consu adherencia, esto es A = A.

Sea B un subconjunto del conjunto A entonces A B := {a A : a / B}. Se diceque AB es el conjunto complementario de B con respecto a A.Se demuestra que un conjunto es abierto si y solamente si su complementario, con

respecto al plano complejo, es cerrado. Y tambien que un conjunto es cerrado si y solo

si su complementario es abierto.

Los unicos conjuntos abiertos y cerrados en C son el total C y el vaco .Sea un punto z0 A C. Se dice que z0 es un punto frontera de A si es un puntoadherente de A que no pertenece al interior de A. Es decir, Frontera(A) = A

A.

Un conjunto A C esta acotado si R > 0 t.q. A D(0, R). Un conjunto A C sedice que es compacto si es cerrado y acotado.

Por entorno (o disco) perforado de z0 C (D(z0, )) se entiende D(z0, ) {z0}, estoes D(z0, ) = {z C : 0 < |z z0| < }. De un modo similar, C = C {0}.Un conjunto A C es conexo si dados dos puntos del mismo se pueden unir medianteuna lnea poligonal totalmente contenida en A. En particular, dicha lnea poligonal se

puede elegir teniendo los lados paralelos a los ejes.

Notese que todo disco centrado en cualquier punto z0 C es un conjunto conexo.CAPITULO 1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA 12

z

w

Figura 1.3: Conjunto conexo

1.6. Funciones de variable compleja

Sea D una region del plano complejo, esto es, D es en subconjunto de C. Llamaremos fucionde variable compleja a toda aplicacion

f : D CEsta funcion se denota como f(z). Para cada valor z D, f(z) representa un unico numerocomplejo. As por ejemplo

f(z) = 0zn + 1z

n1 + . . .+ n1z + n

donde 0, 1, . . . , n son numeros comlejos fijos, es una funcion de variable compleja definidaen la region D C, es decir, aqu la region D en la cual f(z) esta definida es todo el planocomplejo. Si tuvieramos

f(z) =1

0zn + 1zn1 + . . .+ n1z + n,

entonces D sera todo el plano complejo, excepto aquellos valores de z que anulan el denom-inador y son, a lo mas, n.

Decamos que para cada z D, f(z) es un numero complejo. Por lo tanto, f(z) tiene suparte real, u(z), y su parte imaginaria, v(z). Las funciones u(z) y v(z) estan definidas entodo z D, pero son funciones reales de variable compleja. Esto es, para cada z D, u(z) yv(z) son numeros reales. Recordemos que el plano complejo puede identificarse con el planoreal mediante la identificacion del numero complejo z = x+ iy con el par de numeros reales(x, y). De esta manera, podemos escribir

f(z) = u(x, y) + iv(x, y),

con lo que las partes real e imaginaria de f(z), son funciones de D, identificado ahora comoun subconjunto de R2, en R. De esta manera:

u(x, y) : R2 R(x, y) u(x, y)

v(x, y) : R2 R(x, y) v(x, y),

Figura 1.4: Conjunto conexo

1.6. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 19

Por dominio entenderemos un subconjunto del plano complejo abierto y conexo.

Por region del plano complejo se considerara un subconjunto de C.

1.6. Funciones de variable compleja

Sea D una region del plano complejo. Llamaremos funcion de variable compleja a toda

aplicacionf : D C

z f(z).As, por ejemplo,

f(z) = 0zn + 1z

n1 + . . .+ n1z + n,

con 0, 1, . . . , n numeros complejos fijos, es una funcion de variable compleja definida

en la region D C. Sin embargo, la funcion

f(z) =1

0zn + 1zn1 + . . .+ n1z + n

no esta definida en aquellos valores de z que anulan el denominador (como maximo n

distintos). Es decir, D = C {races del denominador}.Puesto que para cada z D, f(z) C podemos considerar tanto la parte real, u(z),como la parte imaginaria, v(z), de f(z). Las funciones u(z) y v(z) estan definidas en

todo z D, pero son funciones reales de variable compleja (z D, u(z), v(z) R).Como ya hemos dicho, el plano complejo puede identificarse con el plano real mediante

la correspondencia del numero complejo z = x+ iy con el par de numeros reales (x, y).

De esta manera, podemos escribir

f(z) f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), (1.22)

con lo que las partes real e imaginaria de f(z), son funciones de D (considerado ahora

como un subconjunto de R2) en R. As pues:

u : R2 R, v : R2 R(x, y) u(x, y), (x, y) v(x, y).

(1.23)

Es decir, u(x, y) y v(x, y) son funciones reales de dos variables reales.

Ejemplo 1.3. Sea la funcion f(z) = z2.


Al ser una funcion polinomica esta definida para todo z C. Se puede descomponeren parte real e imaginaria teniendo en cuenta que si z = x+ iy entonces

z2 = (x+ iy)2 = x2 y2 + i2xy,de manera que

Re f(z) = u(x, y) = x2 y2, Im f(z) = v(x, y) = 2xy.Ejemplo 1.4. Sea f(z) = |z| =x2 + y2.Su dominio de definicion es tambien C. En este caso

u(x, y) =x2 + y2, v(x, y) = 0.

Ejemplo 1.5. Consideremos la funcion f(z) = 1/z.

Como1

z=

z

zz=

x iyx2 + y2

vemos que

u(x, y) =x

x2 + y2, v(x, y) = y

x2 + y2.

En este caso, f(z) esta definida en todo el plano complejo, excepto en el origen (raz

del denominador), es decir D = C {0} C.Ejemplo 1.6. Sea f(z) = |z| iy

Entonces

u(x, y) =x2 + y2, v(x, y) = y.

El dominio de definicion es C.

1.6.1. Representacion grafica de funciones de variable com-pleja

A diferencia de las funciones reales de una variable real que permiten representar en el

plano los pares (x, f(x)), en el caso de funciones de variable compleja f : A C Cesto no es as, pues para representar los pares (z, f(z)) necesitariamos un espacio cuadri-

dimensional.

La forma de soslayar este problema es pensar la funcion f como una transformacion

que lleva el conjunto A C en el conjunto f(A) C. Podemos as representar en unplano los puntos z del conjunto A de la forma habitual (Re z en el eje horizontal e Im z

en el eje vertical) y en otro plano los puntos de f(A) considerando Re f(z) en el eje

horizontal e Im f(z) en el eje vertical.

1.6. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 21

Ejemplo 1.7. Consideremos la transformacion f(z) = z2 que acabamos de ver en el

ejemplo 1.3.

Sus partes real e imaginaria son

Re f(z) = u(x, y) = x2 y2, Im f(z) = v(x, y) = 2xy.

Supongamos, por ejemplo que x 6= 0 entonces podemos escribir

y =v

2x,

sustituyendo en Re f(z) obtenemos que

u = x2 v2

4x2.

De manera que tenemos una familia de parabolas, una para cada valor de x 6= 0.En el caso de x = 0 obtenemos que (u = y2, v = 0).En las dos figuras siguientes se representan una familia de semirrectas y sus transfor-

madas por f(z) = z2.

In[97]:= ParametricPlot@Evaluate@rectasverD, 8t, ,AspectRatio Automatic, PlotStyle estilorectasD

Out[97]=

-2 -1 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

16 clase2B.nb

Familia de semirrectas con 2 x 2, 0 y.

In[98]:= ParametricPlot@Evaluate@cuadradoverD, 8t ,AspectRatio Automatic, PlotStyle estilorectasD

Out[98]=-4 -2 2 4

-5

5

clase2B.nb 17

Familia de parabolas transformadas por f(z) = z2 de las semirrec-tas 2 x 2, 0 y. La semirrecta y su parabola transformadapresetan el mismo color.


1.7. Lmites

Sean un abierto A C, una funcion f : A C definida en A {z0} (z0 A) y unnumero complejo l.

Se dice que l es el lmite de f(z) cuando z tiende a z0 (o en z0), y escribiremos

lmzz0

f(z) = l,

si > 0 > 0 tal que si z A y |z z0| < entonces |f(z) l| < .CAPITULO 1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA 14

z0

x

y

(a) ??

u

v

e

(b) ???

Figura 1.4: Lmites

Notemos que esta definicion quiere decir que para todo punto que este en el entorno centradoen z0 y de radio delta, salvo posiblemente z0, es decir, D(z0, ) {z0}, f(z) esta en unentorno centrado en 0 y de radio .

Consideremos ahora una funcion de dos variables reales g(x, y), definida en un entorno deun punto (x0, y0) del plano real R

2 (excepto quiza en el propio (x0, y0)). Diremos que g(x, y)tiende al numero real g0 si (x, y) tiende a (x0, y0) y escribiremos:

lm(x,y)(x0,y0)

g(x, y) = g0,

si > 0, > 0, tal que si (x x0)2 + (y y0)2 < , entonces |g0 g(x, y)| < .Utilizaremos esta nocion en nuestro proximo resultado.

Teorema 1.1. Sea f(z) una funcion definida en un conjunto D del plano complejo, tal queexista > 0 y un numero complejo z0 tal que D(z0, ){z0} D (es decir, f(z) esta definidaen todos los puntos de un entorno de z0, excepto quiza en el propio z0). Entonces existe ellmite

lmzz0

f(z) = 0 = u0 + iv0

y es 0 con parte real u0 y parte imaginaria v0 si y solamente si existen los siguientes lmites

lm(x,y)(x0,y0)

u(x, y) = u0 ; lm(x,y)(x0,y0)

v(x, y) = v0.

Notemos que , para que D(z0, ) {z0} D.Demostracion.- Supongamos, en primer lugar, que

lmzz0

f(z) = u0 + iv0 = 0.

Entonces, > 0, > 0 tal que si |z z0| < ,

|f(z) 0| = |u(x, y) u0 + i[v(x, y) v0]| =[u(x, y) u0]2 + [v(x, y) v0]2 < .

Figura 1.5: Lmites: discos centrados en z0 y en l.

1.7.1. Propiedades de los lmites

Las principales propiedades de los lmites son las siguientes:

1. Si existe lmzz0

f(z), este es unico.

2. Existe lmzz0

f(z) = l si y solo si lm(x,y)z0

u(x, y) = Re l y lm(x,y)z0

v(x, y) = Im l.

Las propiedades listadas a continuacion son similares al caso de variable real. Si existen

lmzz0

f(z) y lmzz0

g(z) entonces se tiene que:

3. lmzz0

[f(z) + g(z)] = lmzz0

f(z) + lmzz0

g(z)

4. lmzz0

[f(z) g(z)] = lmzz0

f(z) lmzz0

g(z)

5. lmzz0

f(z)

g(z)=

lmzz0

f(z)

lmzz0

g(z)si lm

zz0g(z) 6= 0 .

1.8. CONTINUIDAD 23

Demostracion:

La propiedad (1) se demuestra como en el caso real. En cuanto a la propiedad (2) puesto

que Re f y Im f son funciones reales de dos variables reales (1.22) y (1.23) basta tener

en cuenta la siguiente definicion:

Sea una funcion real de dos variables reales g(x, y), definida en un entorno de un punto

(x0, y0) del plano real R2 (excepto quizas en el propio (x0, y0)). Diremos que g(x, y)tiende al numero real g0 si (x, y) tiende a (x0, y0), y escribiremos

lm(x,y)(x0,y0)

g(x, y) = g0,

si > 0 > 0 tal que si (x x0)2 + (y y0)2 < entonces |g0 g(x, y)| < .Las restantes propiedades se demuestran de una forma similar al caso real.

1.8. Continuidad

Sean un abierto A C y una funcion f : A C. Se dice que f(z) es continua enz0 A si y solo si

lmzz0

f(z) = f(z0).

En otras palabras, f(z) es continua en z0 A si y solo si > 0 > 0 tal que si|z z0| < entonces |f(z) f(z0)| < .Notese que si la funcion f es continua en z0 entonces f esta definida en (todos los

puntos de un entorno de z0 incluido) z0.

La funcion f : A C (A abierto) se dice que es continua en A si y solo si es continuaen todos los puntos de A.

1.8.1. Propiedades

Podemos enunciar las siguientes propiedades de las funciones de variable compleja

continuas:

1. Sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces f es continua en z0 = x0 + iy0 si y solo si

u y v son continuas en (x0, y0).

2. Si dos funciones f y g son continuas en un punto z0 entonces f + g y f g soncontinuas en z0.


3. Si f y g son continuas en z0 y ademas g(z0) 6= 0 entonces f/g es continua en z0.4. Sean f : A C y g : B C continuas en z0 A y en f(z0) B, respectiva-

mente, entonces g f es continua en z0.

Demostracion: La propiedad (1) se demuestra teniendo en cuenta la definicion de con-

tinuidad para funciones de R2 en R que enunciamos a continuacion.

Una funcion real de dos variables reales g : A R2 R, con A abierto, es continuaen (x0, y0) A si > 0 > 0 tal que si

(x x0)2 + (y y0)2 < , entonces

|g(x, y) g(x0, y0)| < . Esto sucede si y solamente silm

(x,y)(x0,y0)g(x, y) = g(x0, y0).

En realidad las demostraciones son similares a las llevadas a cabo para demostrar las

propiedades de los lmites del apartado 1.7.1.

Sea un funcion f definida en una region D C. Diremos que f esta acotada si existeuna constante positiva K > 0 tal que |f(z)| < K z D. Es decir, el conjunto imagende D por f esta acotado

f(D) := { C : z D : = f(z)} D(0, K).

Se puede probar que si f es una funcion continua en un abierto A C y K A escompacto entonces f esta acotada en K.

Vamos a presentar un tipo de continuidad mas fuerte y menos general que el que

acabamos de definir y que tiene un caracter global.

Una funcion f : A C C es uniformemente continua en A si > 0 > 0 tal quesi z, z A con |z z| < entonces |f(z) f(z)| < .Notese que si f es uniformemente continua en A es continua en A como se ve facilmente

de las definiciones correspondientes.

En el caso de la continuidad uniforme, fijados un punto z A y > 0 el correspon-diente a este , es el mismo para todos los z K. Esto es lo que hace que la continuidaduniforme sea una propiedad global.

Sin embargo, esto no tiene porque ser cierto si f es continua en A pues la continuidad es

una propiedad local. Es decir, depende del comportamiento de la funcion en cada punto.

Luego, en general, aunque f sea continua en A no tiene porque ser uniformemente

continua en A.

El siguiente ejemplo ilustra tal diferencia.

1.8. CONTINUIDAD 25

Ejemplo 1.8. Sea la funcion f(z) = 1/z definida en el disco unidad perforado en el

origen D(0, 1) = D(0, 1) {0} = {z C : 0 < |z| < 1}.

Podemos escribir f en terminos de su parte real e imaginaria:

f(z) =1

z=

x

x2 + y2 i y

x2 + y2.

En R2 las funciones reales de dos variables u y v

u(x, y) =x

x2 + y2, v(x, y) = y

x2 + y2

son continuas en todos los puntos salvo en el (0, 0) al ser cocientes de polinomios en x

e y y que el denominador solamente se anula en el origen (0, 0). Luego f es continua en

todos los puntos salvo el origen del plano complejo no solo en D(0, 1). Sin embargo,f no es uniformemente continua en D(0, 1).

En efecto: para que un entorno de un punto z0 D(0, 1) de la forma D(z, ) este con-tenido en D(0, 1) basta que < mn{|z|, 1|z|}. Luego los centrados en puntos deD(0, 1) seran mas pequenos cuanto mas proximos esten al origen y, por lo tanto, vana tener que depender del punto, impidiendo as la convergencia uniforme.

De un modo mas preciso: sea z D(0, 1), con |z| < 12. Como f es continua en z,

> 0, > 0 tal que si |z z| < , entonces | 1z 1z| < .

| z |

!

z

Figura 1.6: Continuidad

De manera que fijando |z z| < llegamos a que 1z 1z = |z z||z| |z| < |z| |z| . (1.24)

Por otro lado, haciendo uso de la desigualdad del triangulo (1.6-6) tenemos que

||z| |z|| < |z z| < .


Distinguimos los casos |z| > |z| y |z| > |z|.i) Si |z| > |z| entonces ||z| |z|| = |z| |z| < |z| < |z|.ii) Si |z| > |z|, entonces es obvio que |z| > |z| .Luego en cualquier caso, si |z z| < se verifica que

|z| > |z| 1|z| 0, elijamos > 0 tal que

=

|z|(|z| ) (1.25)

con lo que |1/z 1/z| < . Despejando de (1.25) se obtiene que

=|z|2

1 + |z| .

Luego depende de z y, por lo tanto, no hay convergencia uniforme de la funcionf(z) = 1/z en D(0, 1).

Ahora bien, se puede demostrar que una funcion continua en un conjunto compacto es

uniformemente continua.

Ejercicio 1.5. Sea una funcion f continua en una disco abierto D(z0, 0). Supongamos

que existe un punto z D(z0, 0) tal que |f(z)| < |f(z0)|, que escribimos como z =z0 + e

i con 0. Probar que existiran dos numeros positivos y tal que

|f(z0 + ei)| < |f(z0)| , [ , + ].

1.9. Esfera de Riemann y puntos en el infinito

En algunas ocasiones es interesante anadir al plano complejo el punto del infinito, .De este modo a C

{} se denomina plano complejo extendido.Notese que cuando completamos la recta real R anadimos dos puntos , sin embargosolo uno en el caso complejo. Esto es debido a que C no es un conjunto ordenado adiferencia de R que si lo es.

1.9. ESFERA DE RIEMANN Y PUNTOS EN EL INFINITO 27

En el plano complejo extendido podemos definir operaciones donde este involucradodel modo siguiente:

z + =, z = si z 6= 0,+ =, =,z/ = 0,

para todo z C. Sin embargo, siguen apareciendo ciertas indeterminaciones como:

/, 0 , .

Aparecen nuevos lmites cuando ya el punto z o el lmite propiamente dicho o ambos

a la vez tienden a . As,lmz

f(z) = l si > 0 R > 0 t.q. |f(z) l| < siempre que |z| R,lmzz0

f(z) = si R > 0 > 0 t.q. |f(z)| > R siempre que |z z0| .Un modo geometrico de visualizar el plano complejo extendido y el punto del infinito

es a traves de la esfera de Riemann. Consideremos la proyeccion estereografica que nos

asocia a cada punto de la esfera un punto del plano complejo. La esfera de Riemann sin

el polo norte N coincide con el plano complejo C. El polo sur de la esfera S coincidecon el punto z = 0 del plano complejo y cada punto P de la esfera origina un punto

en el plano a traves de la interseccion de la recta NP con el plano: punto P. El polo

norte sera el punto del infinito. En la Figura 1.7 se muestra la proyeccion estereografica

de la esfera en el plano, mientras que en la Figura 1.8 presentamos el meridiano de la

esfera determinados por los puntos N y P y la proyeccion estereografica del mismo. La

siguiente direccion web [http://es.youtube.com/watch?v=6JgGKViQzbc] nos remite a

un video que ilustra la proyeccion estereografica de la esfera de Riemann.

Ejemplo 1.9. Transformacion de Moebius.

Viene dada por

f(z) =az + b

cz + d, (1.26)

tal que a, b, c, d C y ad bc 6= 0.Esta definida en el plano complejo extendido y es una biyeccion de C

{} en simismo.

Entre las transformaciones de Moebius podemos considerar las mas sencillas:

Translaciones: a 6= 0, b 6= 0, c = 0, d = a


Out[123]=

N

S

P

P'

Figura 1.7: Proyeccion estereografica

Inversion: a = 0, b 6= 0, c = b, d = 0

Dilatacion: a 6= 0, b = 0, c = 0, d 6= y a/d R.

Rotacion: a 6= 0, b = 0, c = 0, d 6= y |a/d| = 1.

En la siguiente direccionweb [http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY] se

puede contemplar un vdeo que ilustra las transformaciones de Moebius.

1.10. Derivacion de funciones de variable compleja

Sea f : A C con A C un conjunto abierto. Se dice que f es derivable (o diferen-ciable en el sentido complejo) en el punto z0 A si existe

lmzz0

f(z) f(z0)z z0 . (1.27)

A dicho lmite (numero complejo) se le llama la derivada de f(z) en z0 y se lo designa

como f (z0) (o tambiendf

dz

z=z0

).

1.10. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 29

N

S

P

P'

N

Figura 1.8: Proyeccion estereografica

Si ponemos z = z z0, entonces podemos reencontrar la expresion familiar

f (z0) = lmz0

f(z0 +z) f(z0)z

. (1.28)

Es facil probar que si una funcion f es derivable en z0, entonces es continua en z0. En

efecto:

lmzz0

(f(z) f(z0)) = lmzz0

[f(z) f(z0)

z z0 (z z0)]= lm

zz0f(z) f(z0)

z z0 lmzz0(z z0)= f (z0) 0 = 0.

Ejemplo 1.10. Funciones polinomicas.

f(z) = 0zn + 1z

n1 + . . .+ n1z + n, 0, 1, . . . , n Ces derivable en todo punto de C y con derivada

f (z) = 0nzn1 + 1(n 1)zn2 + . . .+ n1.Ejemplo 1.11. f(z) = z2.

Como caso particular calculemos la derivada de f(z) = z2 en un punto z0. De acuerdo

con la definicion (1.28)

f (z0) = lmz0

(z0 +z)2 z20

z= lm

z0z20 + 2z 0z + (z)2 z20

z

= lmz0

2z 0z + (z)2z

= lmz0

(2z 0 + z) = 2z0.


Ejemplo 1.12. Funciones racionales.

f(z) =0z

n + 1zn1 + . . .+ n1z + n

0zm + 1zm1 + . . .+ m1z + m, i, j C

es derivable en todo punto de C {races del denominador}.Ejemplo 1.13. f(z) = |z|2 es derivable solo en z = 0.

Como |z|2 = x2 + y2 entonces u(x, y) = x2 + y2, v(x, y) = 0. Ambas funciones soncontinuas en todo el plano real, puesto que u(x, y) = x2+y2 es una funcion polinomica

en ambas variables y v(x, y) es una funcion constante en las dos variables reales. Luego,

f es continua como funcion de z en todo el plano complejo.

Para ver que f(z) es derivable en z = 0, probaremos que existe el lmite

lmz0

f(z) f(0)z

= lmz0|z|2z.

Puesto que |z|2/z = zz/z = z entonces si z tiende a cero, su complejo conjugado ztambien tiende a cero. Luego:

lmz0

f(z) f(0)z 0 = lmz0 z = 0 = f

(0) = 0.

Sea ahora z0 6= 0. Consideremos la definicion de derivada (1.28)

lmzz0

f(z) f(z0)z z0 = lmz0

f(z0 +z) f(z)z

= lmz0

|z0 +z|2 |z0|2z

= lmz0

[z0 + z0

z

z+z

].

Veamos que este lmite no existe pues depende de la forma en la que z tienda a cero.

En efecto, sean Rez x = xx0, Im y = yy0, de modo que z = x+iy.Supongamos que y = 0, es decir que z tiende a cero a lo largo del eje real. Entonces

lmz0

[z0 + z0

z

z+z

]= lm

x0

[z0 + z0

x

x+x

]= z0 + z0 = 2 Re z0.

Ahora consideremos x = 0, esto es z tiende a cero a lo largo del eje imaginario. Se

tiene que

lmz0

[z0 + z0

z

z+z

]= lm

y0

[z0 +

iyiy

z0 iy]= z0 z0 = 2i Im z0.


Para que estos dos lmites sean iguales se debe verificar

Re z0 = Im z0 i = Re z0 = Im z0 = 0.

Pero como hemos suponemos que z0 = x0 + iy0 6= 0, ambos lmites nunca pueden seriguales, luego el lmite no existe y, por tanto, la funcion f(z) = |z|2 no es derivablez C {0} C.

1.10.1. Formulas de derivacion

Las formulas de derivacion en variable compleja generalizan las correspondientes formu-

las en variable real.

Supongamos dos funciones f y g definidas en un entorno del punto z0 C y derivablesen dicho punto. Se tiene que:

1. (f + g)(z0) = f (z0) + g(z0), , C.2. (f g)(z0) = f (z0)g(z0) + f(z0)g(z0).

3. Si g(z0) 6= 0 entonces (f/g)(z0) = f(z0)g(z0) f(z0)g(z0)

g(z0)2.

4. Regla de la cadena: sean f : A C derivable en z0 A y g : B C derivableen f(z0) B, , entonces [g f ](z0) = g(f(z0)) f (z0).

Ejercicio 1.6. Demostrar las formulas de derivacion.

1.10.2. Derivabilidad de funciones reales de varias variables

Sean A un conjunto abierto de R2 y una funcion u : A R. Se define la derivadaparcial de u con respecto a x en el punto (x0, y0) A como

u

x

(x0,y0)

:= lmx0

u(x0 +x, yo) u(x0, y0)x

(1.29)

cuando este lmite existe.

Analogamente la derivada parcial de u con respecto a y en el punto (x0, y0) A esu

y

(x0,y0)

:= lmy0

u(x0, y0 +y) u(x0, y0)y

(1.30)

cuando este lmite existe.


Diremos que estas derivadas parciales existen en un conjunto abierto A R2, cuandoexisten en todos los puntos de A. Las denotaremos entonces como u

x(x, y) y u

x(x, y)

(o simplemente ux ux y uy uy), respectivamente.

Sea la funcion u : A R con A R2 un conjunto abierto. Entonces u se dicediferenciable en el punto (x0, y0) A si existen las derivadas parciales u/x y u/yen (x0, y0) y si

lm(x,y)(x0,y0)

u(x, y) u(x0, y0) u/x|(x0,y0)(x x0) u/y|(x0,y0)(y y0)||(x, y) (x0, y0)

= 0.Notese que ||(x, y) (x0, y0)|| denota la distancia (eucldea) entre los puntos (x, y)y (x0, y0) de R2. El lmite anterior se puede reescribir usando la matriz jacobiana (omatriz derivada), que se define como la matriz de las derivadas parciales en cada punto

(x, y) A R2

Du(x, y) =

(u

x,u

y

).

En lo que sigue de esta seccion usaremos notacion vectorial: ~x = (x, y), y denotaremos

por Du(~x0)(~x ~x0) el producto matricial

Du(~x0)(~x ~x0) := Du(~x0)(

x x0y y0

).

As, u se dice diferenciable en el punto (x0, y0) A si existen las derivadas parcialesen ~x0 y si

lm~x~x0

u(x, y) u(x0, y0)Du(~x0)(~x ~x0)~x ~x0 = 0.Sea la funcion f : A R2 con A R2 un conjunto abierto. Si f = (u, v) conu, v : A R2 R, su correspondiente matriz jacobiana se define como la matriz delas derivadas parciales

Df(x, y) =

u

x,u

yv

x,v

y

(1.31)en cada punto (x, y) A R2.La funcion f se dice diferenciable en el punto (x0, y0) A si las derivadas parcialesexisten en ~x0 y si

lm~x~x0

f(~x) f(~x0)Df(~x0)(~x ~x0)~x ~x0 = 0.


Las anteriores definiciones de matriz jacobiana y de funcion diferenciable se generalizan

facilmente para funciones f : A Rm Rn.Se puede demostrar que si f : A Rm Rn es diferenciable en ~x0, entonces escontinua en ~x0.

El siguiente criterio, que simplemente enunciamos, nos da una condicion suficiente para

que una funcion sea diferenciable.

Teorema 1.1. Sea una funcion f : A Rm Rn tal que las derivadas parcialesfi/xj, (i = 1, 2, , n; j = 1, 2, ,m) existen en un entorno de un punto ~x A yson continuas. Entonces f es diferenciable en ~x A.

Las funciones que tienen derivadas parciales continuas se dice que son de clase C1 o

suaves.

1.10.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Vamos ahora a ver que condiciones son necesarias y suficientes para que una funcion de

variable compleja f sea derivable en un punto z0 perteneciente al interior del conjunto

en el que esta definida.

Si tenemos en cuenta el calculo de varias variables reales acabamos de ver que si la

funcion f es diferenciable las derivadas parciales ux, uy, vx, vy existen. Por otra parte

si las derivadas parciales existen y son continuas entonces f es diferenciable.

Una funcion de variable compleja f : A C con A C la podemos considerar comouna funcion real de variables reales f : A R2 R2 con f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) =u(x, y) + iv(x, y) y su matriz jacobiana vendra dada en cada punto (x, y) por (1.31)

Df(x, y) =

(u/x, u/yv/x, v/y

).

Como funcion real de variables reales f sera diferenciable (en sentido real) con derivada

la matriz jacobiana Df(x0, y0) si y solo si

lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) f(x0, y0)Df(x0, y0)[(x, y) (x0, y0)](x, y) (x0, y0) = 0. (1.32)Hemos dicho anteriormente que si una funcion de variable compleja f tiene derivada

en un punto se dice que es derivable o diferenciable (en el sentido complejo) en dicho

punto. Supongamos una f : A C con A C un conjunto abierto, derivable en


z0 A. Por tanto, existef (z0) = lm

zz0f(z) f(z0)

z z0 .De la definicion de lmite podemos escribir equivalentemente que

> 0 > 0 tal que si z0 A y |z z0| < =f (z0) f(z) f(z0)z z0

< .(1.33)

Ahora bien f (z0) f(z) f(z0)z z0 = f(z) f(z0) f (z0)(z z0)z z0

. (1.34)Como vimos en la seccion 1.4 el producto por el numeros complejo f (z0) se puedeescribir en terminos de una aplicacion linealMf (z0), cuya matriz en la base canonicade R2 denotarermos por Mf (z0) y viene dada por

Mf (z0) =

(Re f (z0) Im f (z0)Im f (z0) Re f (z0)

). (1.35)

Luego de las expresiones (1.33), (1.34) y (1.37) podemos escribir

lmzz0

f(z) f(z0)Mf (z0)(z z0)z z0 = 0. (1.36)Comparando la expresion (1.36) con la (1.32) correspondiente a la diferenciabilidad de

funciones de variable real inferimos que f es diferenciable en el sentido real en el punto

z0 = (x0, y0) con lo que la matrizMf (z0) coincide con la matriz jacobiana Df(z0) (1.31)

y por tanto (Re f (z0) Im f (z0)Im f (z0) Re f (z0)

)=

(u/x, u/yv/x, v/y

). (1.37)

De la igualdad (1.37) obtenemos:

1. las denominadas ecuaciones o condiciones de CauchyRiemann

u/x = v/y, u/y = v/x (1.38)

2.

f (z0) = u/x+ iv/x = v/y iu/y. (1.39)

Resumiendo, hemos probado que

Si f (z0) ={f es diferenciable en z0,

se verifican las ecuaciones de CauchyRiemann.


Acabamos de ver condiciones necesarias para que exista la derivada de f en un punto del

plano complejo. Tales condiciones son tambien suficientes como veremos a continuacion,

de manera que estamos en condiciones de enunciar el teorema de Cauchy-Riemann.

Teorema 1.2. (de Cauchy-Riemann)

Sean una funcion f = u+iv : A C C con A abierto y un punto z0 = x0+iy0 A.Entonces f es diferenciable en el sentido complejo ( f (z0)) si y solo si se verifica que:

1. f es diferenciable en el sentido real en (x0, y0).

2. En (x0, y0) las funciones u, v verifican las ecuaciones de CauchyRiemann

u/x = v/y, u/y = v/x.

Demostracion

i) La condicion necesaria la hemos demostrado lneas mas arriba.

ii) La condicion suficiente se demuestra facilmente como sigue. Si se verifican las ecua-

ciones de CauchyRiemann entonces la matriz jacobiana de f en z0 al ser tambien f

diferenciable en el sentido real vendra dada por

Df(z0) =

(u/x, v/xv/x, u/x

).

Esta matriz corresponde a la representacion matricial de la multiplicacion por un nume-

ro complejo (1.18) = u/x+ v/x, esto es Df(z0) = M. Luego

Df(z0)(z z0) = (z z0).

Al ser f diferenciable en el sentido real entonces la condicion de lmite (1.32) se puede

reescribir como

lmzz0

f(z) f(z0) (z z0)z z0 = lmzz0

f(z) f(z0)z z0 = 0. (1.40)

Por tanto, recordando la definicion de la derivada de f en z0 inferimos de la ultima

igualdad que esta existe y viene dada por , esto es

f (z0) = = u/x+ iv/x = v/y iu/y.

Ejemplo 1.14. Consideremos la funcion f(z) = z2.


Como vimos anteriormente en el ejemplo 1.3, las partes real e imaginaria de f(z) son:

u(x, y) = x2 y2, v(x, y) = 2xy.Estas funciones son polinomios en las variables x e y. Los polinomios son funciones

continuas que admiten derivadas parciales continuas en todos los puntos del plano

real. Por tanto u y v son diferenciables en todo R2.

Para comprobar si f es diferenciable en sentido complejo es suficiente, comprobar si

satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann. En este caso se tiene que

u

x= 2x,

u

y= 2y, v

x= 2y,

v

y= 2x.

Luego se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos del plano

real. Entonces la funcion f(z) es derivable en todos los puntos del plano complejo.

La derivada en el punto arbitrario z = x+ iy de f es

f (z) =u

x+ i

v

x= 2x+ 2iy = 2z.

Ejemplo 1.15. Sea la funcion f(z) = ex(cos y i sen y).

Las partes real e imaginaria de f(z) son, respectivamente:

u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sen y.Ambas funciones u y v son continuas en todos los puntos del plano R2 puesto que sonproductos de una funcion en la variable x continua en todo x R y una funcion en lavariable y continua en todo y R.Las derivadas parciales de u y v existen y son continuas en todo R2 pues las funciones(en una variable) exponencial y trigonometricas seno y coseno tienen derivadas de

cualquier orden y continuas en toda la recta real (funciones de clase C).

Calculando las derivadas parciales de u y v obtenemos

ux = ex cos y, uy = ex sen y, vx = ex sen y, vy = ex cos y.Luego se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos del plano

real. As pues, f(z) es derivable en todos los puntos del plano complejo. La expresion

de la derivada en el punto arbitrario z = x+ iy C esf (z) = ux + ivx = ex(cos y i sen y).

Ejercicio 1.7. Estudiar si las siguientes funciones son analticas:

f(z) = ex(cos y + i sen y),

f(z) = ex(cos y + i sen y),

f(z) = ex(cos y i sen y).

1.11. FUNCIONES ANALITICAS 37

1.11. Funciones analticas

En Teora de Funciones de Variable Compleja el concepto de funcion diferenciable en

el sentido complejo es esencial, aun mas que el de continuidad. Ademas en el caso de

funciones complejas diferenciables aparecen ciertas propiedades sorprendentes e intere-

santes. De este modo, podemos decir que el concepto de funcion analtica es quizas

el mas fundamental en Teora de Variable Compleja.

Definicion 1.1. Sea f : A C una funcion definida en un abierto A C. Diremosque f es analtica en z0 si f(z) es derivable en todos los puntos de un cierto entorno

de z0 contenido en A.

Se dira que f es analtica en un abierto A si f es analtica en todos los puntos de A.

Diremos que una funcion es analtica en un conjunto no abierto D C si es analticaen un abierto que contiene a D.

Las funciones analticas tambien se denominan regulares u holomorfas.

Una funcion se denomina entera si es analtica en todo el plano complejo. Por ejemplo,

las funciones polinomicas son funciones enteras.

Diremos que un punto z0 C es un punto singular o singularidad de una funcion f sidicha funcion no es analtica en z0 pero lo es en algun punto de todo entorno de z0.

Las principales propiedades algebraicas de las funciones analticas son las siguientes:

sean dos funciones, f, g, analticas en un punto z0 C. Entonces:

1. f + g es analtica en z0 para todo , C.

2. f g es analtica en z0.

3. Si g(z0) 6= 0 entonces f/g es analtica en z0.

4. Si f es analtica z0 y g es analtica en f(z0) entonces f g es analtica en z0.

Ejercicio 1.8. Sea f(z) una funcion continua en z0 y tal que f(z0) 6= 0. Probar queexiste un entorno de z0, D(z0, ), en el cual f(z) 6= 0 z D(z0, ).

El resultado de este ejercicio 1.8 es necesario para probar el apartado 3o del ejercicio

1.9.

Ejercicio 1.9. Demostrar las propiedades de las funciones analticas que acabamos de

enumerar.


Ejercicio 1.10. Comprobar que cualquier polinomio es funcion analtica z C (entera)y que cualquier funcion racional es analtica en todo z C{races del denominador}.Ejercicio 1.11. Sea f una funcion analtica en un dominio D C tal que |f | esconstante en D. Probar que f es constante en D.

1.12. Funciones armonicas

Consideremos una funcion u : A R2 R, tal que A es un conjunto abierto y f esde clase C2 en A. Diremos que u es armonica si verifica la ecuacion de Laplace

2u 2u

x2+2u

y2= 0.

El smbolo 2 se denomina laplaciano. Notese que como f C2(A) entonces existenlas derivadas parciales de segundo orden de u y son continuas en todo A.

Una sorprendente propiedad de cualquier funcion analtica es que tanto su parte real

como su parte imaginaria son funciones armonicas en A. Para probar dicha propiedad

haremos uso del resultado, que se demostrara mas adelante, que afirma que cualquier

funcion analtica es infinitamente diferenciable. Y, por tanto, su parte real como su

parte imaginaria son funciones infinitamente diferenciables, esto es, u y v admiten

derivadas parciales continuas a todos los ordenes.

Teorema 1.3. Supongamos que la funcion de variable compleja f = u+ iv es analtica

en un conjunto abierto A del plano complejo. Entonces u y v son armonicas en A.

Demostracion.

Derivando las ecuaciones de Cauchy Riemann u/x = v/y, u/y = v/x conrespecto a x la primera ecuacion y con respecto a y la segunda, obtenemos

2u

x2=

2v

xy,

2u

y2=

2v

yx. (1.41)

Puesto que las derivadas parciales de u y de v son continuas con respecto a las variables

x e y, podemos aplicar el lema de Schwarz obteniendose la igualdad de las derivadas

cruzadas:2v

yx=

2v

xy, (x, y) A.

Sumando las dos ecuaciones de (1.41) obtenemos

2u

x2+2u

y2= 0.

1.12. FUNCIONES ARMONICAS 39

Analogamente se demuestra que v satisface tambien la ecuacion de Laplace en A y es,

por tanto, armonica en A.

Si dos funciones reales de dos variables reales, u, v, definidas en un abierto A R2son armonicas y son, respectivamente, parte real y parte imaginaria de una funcion

analtica en A, entonces diremos que u y v son armonicas conjugadas.

Observese que una condicion necesaria para que una funcion real de dos variables reales

sea la parte real o la parte imaginaria de una funcion de variable compleja analtica es

que sea armonica.

Se puede demostrar que si u : A R2 R definida en un abierto A es armonica y siz0 A, entonces existe un entorno U de z0 contenido en A en el que esta definida unafuncion analtica f : U C tal que Re f = u.

Ejemplo 1.16. Consideremos la funcion u(x, y) = y3 3x2y.

Como esta funcion es un polinomio en x e y, admite entonces derivadas parciales

continuas para todos los ordenes en todos los puntos del plano real R2. Luego es unafuncion de clase C.

Para que u sea la parte real o la parte imaginaria de una funcion analtica en C (entera)es necesario que sea armonica. Calculamos sus derivadas parciales

u

x= 6xy,

2u

x2= 6y, u

y= 3y2 3x2,

2u

y2= 6y.

Por tanto, u(x, y) es armonica en todo R2.

Si u es la parte real de una funcion entera debe existir otra funcion v de clase C2 en R2

y que satisfaga, junto con u, las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Es decir, u y v deben

ser armonicas conjugadas. As pues, v(x, y) debe verificar:

v

y=

u

x= 6xy, v

x= u

y= 3y2 3x2.

Integrando la primera ecuacion, obtenemos que

v(x, y) = 3xy2 + (x),

siendo (x) una funcion arbitraria en x, derivable para todo valor de x. Integrando la

segunda ecuacion se tiene que

v(x, y) = 3xy2 + x3 + (y),


donde (y) es una funcion arbitraria de y. Comparando ambas expresiones de v(x, y)

encontramos que

v(x, y) = 3xy2 + x3 +K,dondeK C es una constante arbitraria. Se comprueba que v(x, y) satisface la ecuacionde Laplace.

Luego

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = y3 3x2y + i(3xy2 + x3 +K) = iz3 +K, K C.

Observese que u(x, y) y v(x, y) son diferenciables en todos los puntos del plano real y

que satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann en todos R2. Es decir f(z) es entera.

Ejercicio 1.12. Encontrar las funciones armonicas conjugadas a

u(x, y) = x2 y2, u(x, y) = sin x cosh y.

Captulo 2

Funciones elementales

A continuacion estudiaremos las funciones elementales de una variable compleja, que

son las mismas que en variable real: los polinomios, la funcion exponencial, las funciones

trigonometricas, las hiperbolicas, el logaritmo y la raz.

Las funciones polinomicas son funciones enteras, como hemos visto en el captulo an-

terior, y las restantes propiedades de los polinomios son las mismas que en variable

real.

2.1. Funcion exponencial

La funcion exponencial en variable real esta caracterizada por ser la derivada de ella

misma: f (x) = f(x). Con la condicion f(0) = 1 la solucion es unica f(x) = ex.

Siguiendo el caso real definiremos la funcion exponencial de la variable compleja z como

una funcion f(z) que satisface la propiedad f(z) = f (z) y que, ademas, cuando z seareal (z = x), recuperemos la exponencial real f(z) = ex.

Para encontrar la forma de la exponencial compleja podemos recordar que la funcion

exponencial real puede desarrollarse en serie de Taylor alrededor del origen (serie de

MacLaurin)

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ + x

n

n!+

Generalizando al caso imaginario la parte de la derecha del desarrollo y sustituyendo

x por iy, y R tendramos formalmente

eiy = 1 +iy

1!+

(iy)2

2!+ + (iy)

n

n!+

41

42 CAPITULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES

agrupando independientemente los terminos reales e imaginarios de la serie tenemos

eiy =

(1 y

2

2!+y4

4!+

)+ i

(y y

3

3!+y5

5!

)que corresponden a los desarrollos en serie de cos y y sin y, respectivamente. Luego

definimos

eiy := cos y + i sin y.

Para completar la definicion de ez con z = x + iy podemos tener en cuenta que en el

caso real ex+y = exey, de modo que podemos escribir

ez = ex+iy := exeiy.

Definicion 2.1. Sea z = x+ iy. Entonces la funcion exponencial de z se define de la

siguiente forma:

exp z ez := ex(cos y + i sen y).

Obviamente, si z es real (y = 0) recobramos la definicion usual de exponencial de una

variable real.

Las partes real, u(x, y), e imaginaria, v(x, y), de ez son, respectivamente,

u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sen y.

Ambas funciones son diferenciables en todos los puntos (x, y) del plano real y satisfacen

las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos. Por la tanto, la funcion ez es

entera.

La derivada de ez coincide con ella misma. En efecto,

d

dzez =

u

x+ i

v

x= ex cos y + i ex sen y = ez, z C.

Las principales propiedades de la funcion exponencial son las siguientes:

1. ez 6= 0, para todo z C:

|ez|2 = e2x cos2 y + e2x sen2 y = e2x |ez| = ex

Si ez = 0 |ez| = ex = 0. Pero como ex 6= 0,x R entonces ez 6= 0 z C.

2. Sea w 6= 0 C que en forma polar se escribira como w = (cos + i sen ).Podemos preguntarnos si existe z C tal que ez = w. La respuesta es afirmativa:

2.1. FUNCION EXPONENCIAL 43

como > 0, existe un unico x R (x = ln ) tal que ex = . Entonces w =ex(cos + i sen ) y, por tanto, w = ez con z = x+ i.

Sin embargo, z no esta unicamente definido. En efecto, si en lugar de conside-

ramos + 2pik con k Z se tiene que

ex+i(+2pin) = ex[cos( + 2pik) + i sen( + 2pik)] = ex(cos + i sen ) = w.

Por tanto, la funcion exponencial no es inyectiva.

3.

z C t.q. |z| = 1 z = cos + i sen ei, R.

4.

ez1ez2 = ez1+z2 , z1, z2 C.

Por induccion se prueba que

(ez)n = enz, n N.

5.ez1

ez2= ez1z2 , z1, z2 C.

6.

ez = ez, z C.

7. Si m y n son primos entre s

(ez)mn = e

mn(z+2piki), k Z, z C.

8. Si z1 = 1(cos 1 + i sen 1), z2 = 2(cos 2 + i sen 2), entonces

z1 z2 = 12ei(1+2),z1z2

=12ei(12).

Ejercicio 2.1. Demostrar las propiedades anteriores.


2.2. Funciones trigonometricas

Partiendo de las formulas:

eix = cos x+ i sen x, eix = cos x i sen x.podemos despejar:

cosx =eix + eix

2, sen x =

eix eix2i

.

Estas formulas son validas para el seno y el coseno de un numero real arbitrario x.

Debemos definir ahora el seno y el coseno de un numero complejo arbitrario z. Igual

que en el caso de la funcion exponencial compleja, queremos recuperar cuando z sea

real (z = x) la definicion usual de senx y cos x, que la derivada de sen z sea cos z y la

de cos z sea sen z como en variable real y que las formulas trigonometricas, al menoslas mas relevantes, se conserven en variable compleja.

Definicion 2.2. Se definen las funciones seno y coseno de un numero complejo, res-

pectivamente, por:

cos z :=eiz + eiz

2, sin z :=

eiz eiz2i

.

Las funciones as definidas son funciones enteras puesto que son combinacion lineal

de funciones enteras eiz. En realidad eiz es la composicion, f g, de dos funcionesenteras f(z) = ez y g(z) = iz.Si derivamos formalmente las funciones seno y coseno obtenemos que:

d

dzcos z = i

eiz ieiz2

= eiz eiz

2i= sen z (2.1)

d

dzsen z = i

eiz + ieiz

2i= cos z. (2.2)

Tambien tenemos que

sen2 z + cos2 z =

(eiz eiz

2i

)2+

(eiz + ieiz

2

)2= 1. (2.3)

Se puede definir las restantes funciones trigonometricas del modo usual:

tg z =sen z

cos z, cotg z =

cos z

sen z, sec z =

1

cos z, cosec z =

1

sen z.

Las funciones trigonometricas en variable compleja satisfacen las propiedades siguien-

tes:

2.2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 45

1.

cos(z + pi) = cos z, sen(z + pi) = sen z.Por tanto

tg(z + pi) = tg z, sen(z + 2pi) = sen z, cos(z + 2pi) = cos z.

La demostracion de estas propiedades es trivial. Usando estas propiedades y la

expresion (2.3) se puede demostrar que las formulas trigonometricas en el caso

real siguen siendo validas en variable compleja.

2. El calculo de las partes real e imaginaria de cos z

cos z =eiz + eiz

2=

eixey + eixey

2

=1

2ey(cosx+ i sen x) +

1

2ey(cosx i sen x) = cosxe

y + ey

2+ i sen x

ey ey2

= cosx coshy i sen x senhy.nos lleva a que

u(x, y) = cosx coshy, v(x, y) = sen x senhy.Por lo que respecta a sen z

sen z =eiz eiz

2i=

eixey eixey2i

=1

2iey(cosx+ i sen x) 1

2iey(cosx i sen x) = i cosxe

y + ey

2+ sen x

ey + ey

2= sen x coshy + i cosx senhy.

De esta manera:

u(x, y) = sen x coshy, v(x, y) = cosx senhy.

3. Calculemos el modulo de cos z:

| cos z|2 = cos2 x cosh2y + sen2 x senh2y = cos2 x(1 + senh2y) + sen2 x senh2y= cos2 x+ senh2y (cos2 x+ sen2 x) = cos2 x+ senh2y.

Analogamente, el modulo de sen z

| sen z|2 = sen2 x+ senh2y.De estas formulas observamos que como senh2y puede tomar cualquier valor real

positivo, entonces | sen2 z| y | cos2 z| pueden tener cualquier valor en R+ y noestar restringidos al intervalo [0, 1] como sen2 x y cos2 x.


La ecuacion cos z = w siempre tiene solucion en z fijado w C. Esta ecuacionda lugar a dos ecuaciones en las variables reales x, y (z = x+ iy)

Rew = cos x coshy, Imw = sen x senhy.

La solucion no es unica, ya que para todo entero k se tiene que cos(z+2pik) = w.

Lo mismo sucede con sen z. Notese que sen z y cos z llevan C sobre C, pero noson inyectivas.

4. Las soluciones de las ecuaciones cos z = 0 y sen z = 0 son los ceros de cos z y

sen z. Como cos z = 0 | cos z|2 = 0, los ceros de cos z son los mismos que losceros de | cos z|2, de modo que calcularemos los ceros de | cos z|2

| cos z|2 = cos2 z + senh2z = 0 cos2 x = 0, senh2y = 0.

De modo que

senh2y = 0 y = 0,cos2 x = 0 x = pi

2+ pin = pi

(n+ 1

2

), n Z.

Luego los ceros de cos z son zn = pi(n+ 1

2

)+ i0, es decir, exactamente los mismos

puntos en los que se anula cosx, cuando x es una variable real: la variable compleja

no anade ceros a la funcion coseno.

La misma situacion se origina con sen z: los ceros de sen z son los puntos zn =

npi + i0 con n entero.

2.3. Funciones hiperbolicas

Las funciones hiperbolicas en variable compleja se definen de un modo similar a como

se hizo para las funciones trigonometricas. complejas. Por tanto definamos:

cosh z :=ez + ez

2, senhz :=

ez ez2

, tgh z :=senhz

coshz.

Las funciones hiperbolicas coshz y senhz tienen las siguientes propiedades:

1. Son funciones enteras, al ser combinacion lineal de funciones enteras. Sus deriva-

das sond

dzcoshz = senhz;

d

dzsenhz = coshz,

exactamente igual que en variable real.

2.3. FUNCIONES HIPERBOLICAS 47

2. Verifican las mismas relaciones que en variable real. En particular

cosh2z senh2z = 1,cosh(z + 2piin) = coshz, senh(z + 2piin) = senhz, n Z.

3. Calculamos las partes real e imaginaria de coshz

coshz =ez + ez

2=

exeiy + exeiy

2

=1

2ex(cos y + i sen y) +

1

2ex(cos y i sen y)

= cos y

(ex + ex

2

)+ i sen y

(ex ex

2

)= cos y coshx+ i sen y senhx.

Es decir,

u(x, y) = coshx cos y, v(x, y) = senhx sen y.

En cuanto a senhz obtenemos de manera analoga que

u(x, y) = senhx cos y, v(x, y) = coshx sen y.

4. El calculo de los modulos de cosh z y senh z nos lleva a que

|coshz|2 = cosh2x cos2 y + senh2x sen2 y= (1 + senh2x) cos2 y + senh2x sen2 y = senh2x+ cos2 y,

|senhz|2 = senh2x+ sen2 y.5. Ceros de las funciones hiperbolicas coshz y senhz. Para la primera de ellas se

tiene que

|coshz|2 = senh2x+ cos2 y = 0implica que

senh2x = 0 x = 0cos2 y = 0 y = pi (n+ 1

2

).

Luego los ceros de la funcion coshz estan en los puntos zn = 0 + ipi(n+ 1

2

)con

n entero.

Contrariamente a lo que sucede con la funcion cos z, los ceros de coshz no aparecen

en variable real, donde la funcion coshx no se anula nunca. Observese que todos

los ceros de coshz aparecen en el eje imaginario.

Analogamente, la funcion senhz tiene infinitos ceros en los puntos zn = ipin,

con n entero. Mientras que en variable real senhx tiene un unico cero en x = 0,

senhz tiene ademas un numero infinito de ceros, todos ellos colocados sobre el

eje imaginario.


2.4. Funcion logaritmo

Como bien sabemos el logaritmo neperiano de un numero real positivo r es el valor

real, ln r (o logw) tal que eln r = r.

Igual que en los casos precedentes vamos a extender el concepto de logaritmo neperia-

no al plano complejo. Parece razonable con la experiencia de las funciones anteriores

comprobar si dado un w 6= 0 C existe otro complejo logw tal queelogw = w.

Escribamos w en forma polar ( = |w| y = argw) de modo que tenemoselogw = (cos + i sen ) = ei

Ahora teniendo en cuenta que dos numeros complejos son iguales si y solo si sus modulos

son iguales y sus argumentos difieren en un multiplo entero de 2pi. Considerando logw =

Re logw + i Im logw tenemos que

elogw = eRe logweiIm logw = ei = eRe logw = , Im logw = + 2pin,donde n Z. En variable real es bien sabido que la ecuacion

eRe logw =

con incognita Re logw admite una unica solucion de la forma

Re logw = ln

donde ln (o log ) es el logaritmo neperiano del numero positivo . Por tanto, obte-

nemos que

logw = ln + i( + 2pin) = ln |w|+ i(argw + 2pin), n Z.Luego el logaritmo de un numero complejo no nulo no es un solo numero complejo,

sino una coleccion infinita de numeros complejos: todos ellos con la misma parte real,

pero sus partes imaginarias difieren en un multiplo entero de 2pi.

Por tanto, logw no es una funcion de la variable compleja w, puesto que una funcion

es una correpondencia que a cada elemento de un conjunto dado le asigna uno y solo

uno de otro conjunto. El logw asigna a cada numero complejo w 6= 0 una coleccioninfinita de numeros complejos.

Parece obvio que si entre todos los numeros complejos de la coleccion infinita que

representa logw, para cada w 6= 0, se selecciona uno de ellos se tendra entonces unafuncion. Pero para ello debemos encontrar un criterio adecuado para hacer la eleccion.

2.4. FUNCION LOGARITMO 49

Recordemos que en el caso de que w fuera real positivo se tendra argw = 0 y logw =

lnw+ i2pin con n un entero arbitrario. Pero el logaritmo neperiano de un numero real

positivo w es uno de los posibles valores de logw: aquel para el cual n = 0.

Hasta ahora hemos considerado unicamente numeros complejos no nulos para calcular

su logaritmo. Si tomamos w = 0 no puede existir un z C tal que ez = 0, pues yavimos al estudiar la funcion exponencial que ez 6= 0 z C. Por tanto, log 0 no tienesentido.

Dado un w 6= 0 C tenemos que elogw = w. Vamos a analizar log ez con z = x+iy C:

log ez = log exeiy = ln ex + i(y + 2pin) = x+ iy + 2pini = z + 2pini, n Z.

Ahora bien si consideramos n = 0 = log ez = z, esto es similar al caso real ln ex = x.

2.4.1. Propiedades de la funcion logaritmo

1.

ln r1 r2 = ln r1 + ln r2, r1, r2 R+.

2.

log z1 z2 = log z1 + log z2, z1, z2 C.En efecto,

log z1 z2 = ln |z1| |z2|+ i(arg(z1 z2) + 2pin)= ln |z1|+ ln |z2|+ i(arg z1 + arg z2 + 2pin), n Z.

Por otro lado

log z1 + log z2 = ln |z1|+ ln |z2|+ i(arg z1 + 2pin) + i(arg z2 + 2pim)= ln |z1|+ ln |z2|+ i(arg z1 + arg z2 + 2pi(n+m)), n,m Z.

Y ambos conjuntos de numeros son iguales pues n+m es un entero.

3.

logz1z2

= log z1 log z2, z1, z2 C.

4. Si r R+ tenemos la siguiente relacion en variable real ln rn = n ln r con n =1, 2, . . . Sin embargo, en el caso complejo

{n log z} {log zn}, n > 1.


Efectivamente: sea z Cn log z = n(ln |z|+ i(arg z + 2pim)) = ln |z|n + i(arg z + 2pinm)), m Z.

Cuando m recorre Z, el producto nm toma valores

nm = 0,n,2n,3n, . . .Por otro lado

log zn = ln |zn|+ i(arg nz + 2pim) = ln |z|n + i(n arg z + 2pim)), m Z.Obviamente, el conjunto de valores nm y m cuando m recorre Z son distintos yel conjunto {nm}mZ esta contenido en {m}mZ = Z. Esta contencion es estrictasalvo para n = 1 en que ambos conjuntos coinciden.

5. Si r R+, ln r1/n = 1nln r con n = 1, 2, . . . . En el caso complejo tenemos tambien

que

ln z1/n =1

nlog z, n = 1, 2, . . .

En efecto, si z 6= 0 C,z1/n = |z|1/n exp (iarg z + 2pik

n), k = 0, 1, . . . , n 1.

De donde

n log z1/n = n

(ln |z|1/n + i

(arg z + 2pik

n+ 2pim

))= ln |z|+ i(arg z + 2pi(k + nm)),= ln |z|+ i(arg z + 2pi + s) = log z,

donde k = 0, 1, . . . , n 1, s Z. Puesto que{k + nm | k = 0, 1, . . . , n 1, con n N fijo, m Z} = Z.

Efectivamente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

si m = 1, k + nm = n,n+ 1, . . . ,1,si m = 0, k + nm = 0, 1, 2, . . . , n 1,si m = 1, k + nm = n, n+ 1, n+ 2, . . . , 2n 1,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Si m, n N son primos entre s. Entonceszm/n = exp

(mnlog z

).

Ejercicio 2.2. Demostrar esta ultima igualdad.


2.4.2. Ramas del logaritmo

Recordemos que si z 6= 0 C entonces log z esta bien definido aunque no es unafuncion, es lo que se denomina una funcion multivaluada.

Ahora bien, si consideramos arg z [0, 2pi) y n = 0 seleccionamos, por tanto, unsolo valor para log z y log z puede ser una funcion. Lo mismo sucede si, en lugar de

n = 0, escogemos otro n 6= 0, z C. Por consiguiente, se puede escoger una funcionlogaritmo de infinitas maneras, una por cada entero n. Cada una de ellas se denomina

una rama o determinacion del logaritmo.

Como es bien sabido en variable real, el logaritmo neperiano es la funcion inversa de

la funcion exponencial

x R ex 6= 0 ln ex = x,por tanto, vamos a utilizar esta misma idea en variable compleja.

En el caso complejo

z C ez 6= 0,es decir la funcion exponencial lleva C en C pero no es inyectiva pues ya demostramosque ez = ez+i2pin, n Z.Sin embargo, si nos restringimos a un subconjunto adecuado de C la funcion exponenciales inyectiva. As, si tomamos la banda

By0 = {z C | y0 Im z < y0 + 2pi} (2.4)ezBy0

es inyectiva. Notemos que By0 es una banda paralela al eje real y limitada por

las rectas Im z = y0 + 2pi por arriba e Im z = y0 por abajo que esta contenida en la

banda.

Estamos en condiciones de enunciar la siguiente proposicion:

Proposicion 2.1. La funcion exponencial ez es una biyeccion de By0 en C.Demostracion.

Inyectividad. Sean z1 = x1 + iy1 6= z2 = x2 + iy2 By0 y supongamos que ez1 = ez2 .Veamos que llegamos a una contradiccion.

En efecto,

ez1 = ez2 = ex1eiy1 = ex2eiy2 = ex1 = ex2 , y1 = y2 + 2pin, n Z.Como ex1 = ex2 = x1 = x2 tenemos finalmente que

ez1 = ez2 = x1 = x2, y1 = y2 + 2pin, n Z.


Pero si z1, z2 By0 sus partes imaginarias no pueden diferir en 2pi o mas, luego y1 = y2.Y, por tanto

Si z1, z2 By0 ez1 = ez2 = z1 = z2.

Sobreyectividad. Sea w = ei C y supongamos que existe un z = x+ iy By0 talque w = ez. Por tanto, escribimos

w = ez = ei = exeiy = x = ln , y = + 2pin, n Z.

Hemos obtenido no un solo z By0 sino un numero infinito de ellos difiriendo ensus partes imaginarias en un multiplo de 2pi. Sin embargo, la recta real es una union

disjunta de los intervalos de la forma [y0 + 2pim, y0 + 2pi(m+ 1)) con n entero

R =mZ

[y0 + 2pim, y0 + 2pi(m+ 1)) .

Por tanto, fijado , podemos escoger un n de forma que y = +2pin este en el intervalo

[y0, y0 + 2pi). De esta manera, podemos escoger z = x + iy con y0 y < y0 + 2pi. Esdecir, existe un z By0 tal que ez = w, w C. Hemos probado que ez es una aplicacion biyectiva de By0 sobre C {0} y, por tanto,existira la funcion inversa de C sobre By0 que sera tambien biyectiva

w C = z = logw By0 .

Como se puede demostrar facilmente, el plano complejo C es union disjunta de lasbandas de la forma By0+2pin = {z C | y0 + 2pin Im z < y0 + 2pi(n + 1)}, donden Z,

C =nZ

By0+2pin.

Por tanto, fijado w C, w tendra un logaritmo y solo uno en cada una de las bandasBy0+2pin. El numero real y0 puede escogerse arbitrariamente, por lo tanto, la particion

de C en bandas puede efectuarse de infinitas maneras.

Definicion 2.3. Sea la funcion exponencial ez = w de By0 sobre C. Llamaremosuna determinacion o rama del logaritmo a su funcion inversa, que denotaremos como

logy0 w.

Cuando se considera la determinacion logpi w, definida en la banda

Bpi = {z C | pi < Im z pi}, (2.5)


se dice que estamos tomando la determinacion principal del logaritmo. Esta banda

difiere de la que se obtiene por la definicion (2.4)

Bpi = {z C | pi Im z < pi}.

Ambas bandas son adecuadas y basta con ser consecuente con la definicion que tome-

mos, lo importante es que la anchura de ambas es 2pi.

Como acabamos de mencionar, y0 R lo escogemos arbitrariamente, pero una vezelegido nos proporciona una funcion logy0 w que asigna a cada w C su logaritmo enla banda By0 .

La funcion exponencial ez nos lleva la recta Im z = y0 sobre la semirecta = y0, que

es la semirecta conteniendo a todos los puntos del plano complejo cuyo argumento

coincide con y0.En lo sucesivo, sin perdida de la generalidad, bastara con considerar

y0 [0, 2pi) pues la recta = y0 coincide con la recta = y0 + 2pin con n Z.

Ejercicio 2.3. Demostrar que esta correspondencia ez : Im z = y0 = y0 esbiyectiva.

2.4.3. Propiedades de la funcion logaritmo

En lo sucesivo, llamaremos funcion logaritmo a una funcion del tipo logy0 z donde y0es un numero real arbitrario.

Sus principales propiedades son las siguientes:

1.

log z =kZ

logy0+2pik z, k Z.

2. Mientras que

exp(logy0 z) = z.

se tiene que

logy0(ez) = logy0(e

Re zeiIm z) = Re z + i(Im z + 2pik) = z + i2pik, k Z fijo,

pues la parte imaginaria de logy0 w ha de estar en el intervalo [y0, y0 +2pi), luego

y + 2pik [y0, y0 + 2pi).

3. En general

logy0 z1 z2 6= logy0 z1 + logy0 z2.


Por ejemplo, sean y0 = pi y z1 = z2 = 1. Entonces

logpi z1 z2 = logpi 1 = ln 1 = 0.

Pero

logpi(1) = ln 1ipi = ipi = logpi(1)+logpi(1) = 2ipi 6= 0 = logpi 1.

Sin embargo,

logy0 z1 z2 = logy0 z1 + logy0 z2, mod 2pii.

4. Continuidad: la funcion logy0 es continua en todo el plano complejo excepto en

el origen (donde no esta definida) y en la recta arg z = y0.

En efecto, tenemos que

logy0 z = lnx2 + y2 + i

(arc tg

y

x+ 2pik

), k Z fijo. (2.6)

Por mor de la simplicidad, supongamos que y0 = pi, con lo que la banda con-siderada sera la definida en (2.5). Esta banda es la imagen de C por la funcionlogpi z.

En cualquier punto (x, y) 6= (0, 0) la funcion lnx2 + y2 es continua y admitederivadas parciales continuas a todos los ordenes.

La funcion arc tg(y/x) no esta definida en el punto (0, 0). Vamos a analizar que

ocurre en los puntos de la forma {(0, y), y 6= 0}. Sea y > 0 , como

lmx0+

y

x= +, lm

x0y

x= .

entonces

lmx0

arc tgy

x=

pi

2+ 2pik, k Z.

Como Im logpi z debe de estar en el intervalo (pi, pi] entonces k = 0.Sea y < 0, ahora

lmx0+

y

x= , lm

x0y

x= +.

Por tanto

lmx0

arc tgy

x= pi

2,

pues pi/2 (pi, pi]. Vemos, por lo tanto no hay discontinuidad en el eje deordenadas, pero si en el semieje real negativo, pues arc tg(y/x) tiende a pi si nosacercamos por abajo (y < 0), y a pi si nos acercamos por arriba (y > 0).


En cambio, para todos los puntos (x, y) 6= (0, 0) la funcion arc tg(y/x) es indefi-nidamente derivable y sus derivadas son continuas.

Luego, la funcion logpi es continua en todo C excepto en el semieje real negativo(recta arg z = pi).

Otra manera de ver que logpi z

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