Documento Para Buenas Tareas

5/26/2018 Documento Para Buenas Tareas

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Estadstica Aplicada

M. I. Csar Enrique Estrada Gutirrez


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Objetivo

Proporcionar las herramientas fundamentales paraque sean capaz de organizar, analizar e interpretaradecuadamente los cuadros estadsticos y grficos;establecer conclusiones a partir de la lectura de los

mismos y puedan identificar e interpretar losprincipales estimadores estadsticos, as comoaplicar las tcnicas estadsticas adecuadas,establecer conclusiones a partir de resultados, cuya

finalidad es la toma de decisiones en aquellassituaciones que se tiene incertidumbre de realidadesdesconocidas.


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Temario (I)

Introduccin al anlisis estadstico Representaciones estadsticas y anlisis de

grficas

Descripcin de datos econmicos yadministrativos (medidas de posicin y devariabilidad)

Probabilidad

Introduccin a SPSS Distribucin de probabilidades para variables

aleatorias discretas


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Temario (II)

Distribuciones de probabilidad para variablesaleatorias continuas

Distribuciones de muestreo e intervalos de

confianza para la media Pruebas de hiptesis referentes al valor de la

media de la poblacin

La prueba Chi cuadradaAnlisis de varianza

Anlisis de regresin y correlacin lineal


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Bibliografa

Estadstica aplicada a la administracin y a laeconoma. Leonard J. Kazmier. Ed. Mc Graw Hill

Estadstica con SPSS para Windows. Juan CamachoRosales. Ed. Alfaomega

SPSS 11 Gua para el anlisis de datos. PardoMerino Antonio y Ruz Daz Miguel Angel. Ed McGraw Hill

Estadstica para la administracin y la economa.Berenson y Levin. Ed. Prentice hall

Anlisis estadstico con SPSS para windows.Visauta. Ed. Mc Graw Hill


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Introduccin al anlisis estadstico

Estadstica. Es el conjunto de tcnicas que seemplean para la recoleccin, organizacin,anlisis e interpretacin de datos. Los datos

pueden ser cuantitativos o cualitativos Estadstica aplicada. Sirve para tomar

mejores decisiones a partir de lacomprensin de las fuentes de variacin y de

la deteccin de patrones


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Estadstica descriptiva

Comprende las tcnicas que se empleanpara resumir y describir datos numricos.(grficas o anlisis computacional)

Ejemplo 1 Volumen anual de ventas del ao pasado, se

puede graficar en barras o lineas


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Estadstica inferencial

Comprende las tcnicas con las que con basenicamente en una muestra sometida a observacinse toman decisiones sobre una poblacin o procesoestadstico (requiere de probabilidad) Censo. Procedimiento para la medicin de las

caractersticas de todos los miembros de la poblacin

Estadsticas muestrales. Se refiere a lascaractersticas medidas de una muestra.

Ejemplo 2 Muestra de focos y revisin de los mismos hasta poder

estimarse la probabilidad de falla


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Variables discretas y continuas

Una variable discreta puede tomar valoresobservados nicamente en puntos aislados(proceso de conteo).

Una variable continua puede adoptar un valoren cualquier punto fraccionario a lo largo deun intervalo especificado Ejemplo 3

Discretos. Nmero de personas por hogar en unacolonia Continuas. Promedio de personas por hogar en

una colonia


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Obtencin de datos

Observacin directa. El investigador ejerce un controldeliberado de algunos o todos los factores quepueden influir en la variable Ejemplo 4

Una lnea de ensamble para detectarelementos defectuosos con base en uncriterio

Encuesta. Cuando la informacin se debe obtener de

fuentes individuales mediante entrevistas personales,entrevistas telefnicas o cuestionarios Ejemplo 5

Nivel de empleo en diferentes empresasmediante una encuesta a cada una de ellas


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Muestreo aleatorio

Es un tipo de muestreo donde todos loselementos de la poblacin de inters opoblacin objetivo tienen una oportunidad

conocida, usualmente igual de ser elegidos Muestreo simple

Muestreo sistemtico

Muestreo estratificado

Muestreo por conglomerados


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12

Muestreo aleatorio simple

Es aquel cuyos elementos se seleccionanindividualmente de la poblacin objetivoentera con base en el azar

Ejemplo 6 Uso de la funcin aleatorio de Excel


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13

Muestreo sistemtico

Es una muestra aleatoria, cuyos elementosse seleccionan de la poblacin de unintervalo uniforme en una lista ordenada

Ejemplo 7 Seleccionar al azar una cuenta bancaria y a partir

de ah elegir las siguientes nueve


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14

Muestreo estratificado

Los elementos de la poblacin sonprimeramente clasificados por el investigadoren distintos subgrupos o estratos sobre la

base de una o ms caractersticasimportantes Ejemplo 8

Las elecciones pasadas antes de la votacin


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15

Muestreo por conglomerados

Es un tipo de muestreo aleatorio donde loselementos de la poblacin ocurrennaturalmente en subgrupos Ejemplo 9

Un analista de un departamento estatal deseguridad econmica desea estudiar los ndicessalariales por hora que se pagan en el reametropolitana, sera complicado hacerlo

trabajador por trabajador, en cambio podraobtenerse una lista de las empresas en esa zona.El analista puede tomar una muestra simple deese conglomerado


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Problemas

En el rea de las mediciones estadsticas,como las representadas por cuestionarios, laconfiabilidadse refiere a la consistencia del

instrumento de medicin y la valideza suprecisin. Si un cuestionario ofreceresultados similares tras ser contestado pordos grupos equivalentes de informantes,

puede describrsele como confiable. Elhecho de que sea confiable garantiza por lotanto que sea valido?


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17

Problemas

En los siguientes tipos de valores, designe variablesdiscretas y variables continuasa) El nmero de unidades de un artculo en existencia

b) Razn de activos circulantes contra pasivoscirculantes

c) Tonelaje total embarcado

d) Cantidad embarcada en unidades

e) Volumen de trfico en una carretera de paga

f) Asistencia a la asamblea anual de una compaia


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18

Problemas

Cules son muestra y cules unapoblacin?a) El universo completo

b) Aplicacin de conceptos de probabilidadc) Inspeccin de cada artculo ensamblado

d) Inspeccin de cada dcimo artculoensamblado


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Trabajo de investigacin

Un auditor desea tomar una muestraaleatoria simple de tamao 50 de 9 600cuentas por cobrar de una gran empresa. Las

cuentas se enumeran secuencialmente de la0001 a la 9600. Use la hoja de clculo Excelpara obtener una lista de los 50 nmerosaleatorios requeridos y mndela por correo

electrnico


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20

Correo electrnico

[email protected]

[email protected]

Se crear un correo electrnico donde

mandar algunas prcticas y lecturascomplementarias [email protected]

Password essof Para entrar: http://owa.vivetelmex.com
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://o/http://o/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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21

Representaciones estadsticas y

anlisis de grficas

Distribucin de frecuencias. Es una tabla enla cual se agrupan en clases valores posiblesde una variable y donde se registra el

nmero de valores observadoscorrespondientes a cada clase


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22

Datos agrupados

Son los datos organizados en unadistribucin de frecuencias Ejemplo 10

Salario Semanal Numero de trabajadores (f)

$ 240-259

260-279

280-299300-319

320-339

340-359

7

20

3325

11

4

Total 100


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23

Lmites nominales

Son los valores incluidos en cada clase Ejemplo 11

Salario Semanal Numero de trabajadores (f)

$ 240-259

260-279

280-299

300-319

320-339340-359

7

20

33

25

114

Total 100


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24

Limites exactos de clase

Son los puntos especficos que sirven para separarclases adyacentes en una escala de medicin devariables continuas Ejemplo 12

Salario semanal

(lmites nominales)

Limites exactos de

clase

$ 240-259

260-279280-299

300-319

320-339

340-359

$ 239.50-259.50

259.50-279.50279.50-299.50

299.50-319.50

319.50-339.50

339.50-359.50


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25

Punto medio de clase

Se refiere a la suma del lmite inferior de laclase con el lmite superior dividido entre dos Ejemplo 13

Salario semanal

(lmites nominales)

Limites exactos de

clase

Punto

medio

$ 240-259

260-279280-299

300-319

320-339

340-359

$ 239.50-259.50

259.50-279.50279.50-299.50

299.50-319.50

319.50-339.50

339.50-359.50

$249.50

269.50289.50

309.50

329.50

349.50


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26

Intervalo de clase

Se identifica restando el lmite exacto declase inferior del lmite exacto de la clasesuperior

Ejemplo 14 Intervalo de clase=259.50-239.50=20


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27

Intervalo aproximado

Ejemplo 15 Intervalo aproximado=(360-240)/6=20

deseadasclasesdenmero

agrupadosnodatosenrmenor valo

agrupadosnodatosenrmay or valo

aproximadoIntervalo


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28

Histograma de frecuencias

Un histograma es una grfica de barras dedistribucin de frecuencias, se acostumbra colocarlos lmites exactos Ejemplo 16

0

5

10

15

20

25

30

35

239.50 259.50 279.50 299.50 319.50 339.50 359.50


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29

Polgono de frecuencias

Es una grfica de lneas de distribucin defrecuencias, donde suele identificarse el punto mediode cada clase Ejemplo 17

0

5

10

15

20

25

30

35

229.5 249.5 269.5 289.5 309.5 329.5 349.5 369.5


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30

Curva de frecuencias

Es un polgono de frecuencias pero suavizado Ejemplo 18

0

5

10

15

20

25

30

35

229.5 249.5 269.5 289.5 309.5 329.5 349.5 369.5


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Curtosis

Platicurtica: plana, con las observacionesdistribuidas en forma relativamente pareja

Leptocurtica: afilada, con las observaciones

concentradas en un estrecho rango devalores

Mesocurtica: ni plana ni afilada


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32

Asimetra

Asimtrica negativa

Simtrica

Asimtrica positiva


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33

Frecuencias acumuladas

Identifica el nmero acumulado de observacionesincluidas bajo el lmite exacto superior de cada clasede la distribucin Ejemplo 19

Salario semanal

(lmites nominales)

Limites exactos

de clase

superior

Nmero de

trabajadores

Frecuencias

acumuladas

$ 240-259

260-279280-299

300-319

320-339

340-359

$ 259.50

279.50299.50

319.50

339.50

359.50

7

2033

25

11

4

7

20+7=2733+27=60

25+60=85

85+11=96

96+4=100


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34

Ojiva

Se le denomina a la grfica de unadistribucin de frecuencias acumuladas

0

20

40

60

80

100

120

239.5 259.5 279.5 299.5 319.5 339.5 359.5


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Diagramas circulares

Es una figura en forma de pastel cuyaspiezas representan divisiones de unacantidad total, como podra ser la distribucin

de las ventas de una compaia

65%5%

5%

25%

PrincipalNichos

En Desarrollo

En crecimiento


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36

Problemas

En la siguiente tabla se enlistan los tiemposrequeridos para la conclusin de una tareade ensamble para una muestra de 30

empleados que presentaron su solicitud deascenso a un puesto de ensamble deprecisin

10 14 15 13 17

16 12 14 11 13

15 18 9 14 14

9 15 11 13 11

12 10 17 16 12

11 16 12 14 15


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37

Problemas (2)

Determine el tamao del intervalocorrespondiente Intervalo aproximado=(18-9)/5=1.80 Por lo que nuestro intervalo es conveniente

cerrarlo a 2.0, as que nuestra distribucin defrecuencias quedara de la siguiente forma

Tiempo en min. Nmero de empleados

9-1011-12

13-14

15-16

17-18

48

8

7

3

Total 30 Emp.


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38

Problemas (3)

La tabla con lmites exactos y punto medio paracada clase quedara de la siguiente forma

Tiempo en min. Punto medio Nmero de

empleados8.5-10.5

10.5-12.5

12.5-14.5

14.5-16.5

16.5-18.5

9.5

11.5

13.5

15.5

17.5

4

8

8

7

3Total 30 Emp.


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39

Problemas (4)

Elaborar un histograma en Excel

Elaborar el polgono de frecuencias en Excel

Elaborar la curva de frecuencias en Excel

Describir la curva de frecuencias


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40

Problemas (5)

Elaborar una distribucin de frecuenciasacumuladas ya) Trace la ojiva de porcentajes de esos datos

b) En que punto percentil se encontrara untiempo de ensamble de 15.5 minutos?

c) haga una grafica circular de los empleadoscon respecto a los tiempos


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41

Problemas (6)

Tiempo, en min. Frecuencia Frecuenciaacumulada % acumulado

8.5-10.5

10.5-12.5

12.5-14.5

14.5-16.516.5-18.5

4

8

8

73

4

12

20

2730

4*100/30=13.3

12*100/30=40

66.7

90100

Elaborar una distribucin de frecuenciasacumuladas


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42

Problemas (7)

Ojiva de la frecuenciaacumulada y delporcentaje acumulado

El porcentaje percentil

en 15.5 minutos es 80 La grfica circular se

muestra

0

20

40

60

80

100

120

8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5

13%

27%

27%

23%

10%

8.510.5

12.5

14.5

16.5


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43

Trabajo de investigacin 2

En la tabla siguiente se presentan las cantidades de 40prstamos personales utilizados para financiar la compra demuebles y aparatos elctricos. Ordene en una distribucin defrecuencias con un total de siete clases

a) Cul sera el intervalo de clase ms conveniente?

b) Elabore una distribucin de frecuencias iniciando con unlmite de clase inferior de 300 y aplicando el intervalo declase del inciso A

c) Elabore un histograma de distribucin de frecuenciasd) Elabore un polgono de frecuencias y una curva de

frecuenciase) Describa la curva de frecuencias resultantef) Elabore una distribucin de frecuencias acumuladas de la

distribucin de frecuencias y trace la ojiva con esos datosg) Genere una grfica circular

h) Entregue todos los resultados anteriores en Excel


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44


$832 $1100 $456 $1227

615 654 1290 854

652 873 400 2012

1800 666 1616 446

1100 728 1524 780

1300 1388 1000 870

2300 850 1890 600486 429 835 2000

1700 1423 700 380

1219 800 656 1490


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45

Descripcin de datos econmicos y administrativos

(Medidas de posicin y de variabilidad)

Medida de posicin. Es un valor calculado deun grupo de datos que sirve para describir astos de alguna manera


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46

Media aritmtica

Es la suma de los valores del grupo de datosdividida entre el nmero de valores

muestraunadeadescriptivMedia

poblacinunadeadescriptivMedia

n

X

N

X

X


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47

Media aritmtica

Ejemplo 20 Durante los meses del verano, ocho vendedores de

una empresa de servicios de calefaccin y aireacondicionado vendieron el siguiente nmero de

unidades centrales de aire acondicionado:8,11,5,14,8,11,16,11

unidadesN

X5.10

8

84


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48

Media ponderada

Es una media aritmtica en donde cada uno de losvalores se pondera de acuerdo con su importanciaen el grupo general. Las frmulas de la mediaponderada poblacional y muestral son idnticas

w

wXww

)(X


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49

Media ponderada

Ejemplo 21 El margen de utilidad en el ltimo ao fiscal de las

cuatro lneas de productos de una compaafabricante de mltiples bienes fue: Lnea A=4.2%;

Lnea B=5.5%; Lnea C=7.4%; Lnea D=10.1% Si sacamos la media con la frmula anterior quedara

Sin embargo, como las ventas de los cuatro productosno son iguales, este promedio no ponderado esincorrecto

%8.64

27.2 N

X


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50

Media ponderada

As que debemos observar la tabla de ventas

Con respecto a la frmula

Lnea de productos Margen de

utilidad (X)

Ventas (w) wX

AB

C

D

4.2%5.5%

7.4%

10.1%

$30,000,00020,000,000

5,000,000

3,000,000

1,260,0001,100,000

370,000

303,000

%2.5000,000,58$

000,033,3$)(

w

wX

w


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51

Mediana

La mediana de un grupo de elementos es elvalor del elemento inmediato cuando todoslos elementos de un grupo siguen, en

trminos de valor, un orden ascendente odescendente

De nuestro ejemplo 20, al ordenar en formaascendente, quedara 5,8,8,11,11,11,14,16,el valor de la mediana es:

X(8/2+1/2)=X4.5=11

)2/1()2/( nXMed


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52

Moda

Es el valor que ocurre ms frecuentementeen un conjunto de valores . Para nuestroejemplo anterior, la moda es 11


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53

Relacin entre media, mediana y moda

Cuando la curva graficada es simtrica, lamoda, mediana y media son iguales, cuandoes asimtrica positiva, la media siempre es

mayor que la mediana y la moda, viceversaen una asimtrica negativa

Cmo sera la curva para nuestro ejemploanterior?


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54

Uso de media, mediana y moda

Con respecto a poblacin El valor de la moda indica la posicin de la

mayora de los valores observados. Puede sertil como medida descriptiva de un grupo de la

poblacin, aunque slo si existe una modaclaramente perceptible

La mediana siempre es una medida excelentepara representar el nivel tpico de los

valores La media tambin es un valor excelente

siempre y cuando la poblacin sea simtrica,por lo que para datos de poblacin la mediana

es ms significativa


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55

Uso de media, mediana y moda

Con respecto a muestras El valor de la moda no es aceptable

La mediana es ms aceptable

La media para ste caso es mejor ya que esms estable Ejemplo 22

ndices salariales de los 650 empleados de una

empresa Una muestra aleatoria de 100 trabajadores


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56

Cuartiles, deciles y percentiles

Es lo mismo que la mediana, slo que loscuartiles dividen la muestra en cuartos, losdeciles en dcimos y los percentiles en 100

partes

)2/1()100/70(70

)2/1()10/3(3

)2/1()4/(1

percentil)imo(septuagsdecil)(tercer

cuartil)(primer

n

n

n

XPXD

XQ


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57

Problemas

En una muestra de las compras de 15 estudiantes enla tienda de una escuela primaria se observan lassiguientes cantidades de ventas, dispuestas enorden de magnitud ascendente: $ 1.00, 1.00,2.50,2.50, 2.50, 3.50, 4.00, 5.30, 9.00, 12.50, 13.50,24.50, 27.10, 30.90, 41.00 Determine la media,mediana y la moda

Media= $12.05 Mediana= X8= $5.30 Moda= $2.50 Dado que la media es sustancialmente mayor que la

mediana, la distribucin de valores es claramenteasimtrica positiva


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Problemas

Con base en la siguiente tabla, determine elporcentaje global de artculos defectuososensamblados durante la semana muestreada

Turno Porcentaje de artculosdefectuosos (X) Nmero de artculosen miles (w) wX

1

2

3

1.1%

1.5%

2.3%

210

120

50

2.31

1.80

1.15

%4.1380$

26.5$)(

w

wXwX


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59

Trabajo de investigacin (3)

El nmero de accidentes ocurridos en un mes dado en los 13departamentos de manufactura de una planta industrial fue:1,2,2,3,3,10,1,0,8,1,0,5,10. Calcule la media, la mediana y lamoda. Describa la distribucin de ndices de accidentes entrminos de asimetra

Supongamos que los precios de menudeo de artculosseleccionados cambian como se indica en la tabla siguiente.Determine el cambio porcentual medio en precios al menudeosin referencia a los gastos promedio incluidos en la tabla yposteriormente el cambio porcentual medio ponderado

Artculo Incremento

Porcentual

Gastos promedio por

mes

Leche

Carne de res

Ropa

Gasolina

8%

-2

-4

8

$30

40

50

60


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Medida de variabilidad en conjuntos de datos

Las medidas de posicin son tiles para laidentificacin del valor representativo de ungrupo de valores. Por su parte, las medidas

de variabilidad o dispersin se ocupan de ladescripcin de la variabilidad entre losvalores mediante diversas tcnicas: rango,rangos modificados, desviacin media,

varianza, desviacin estndar y el coeficientede variacin


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61

Rango

El rango, o R, es la diferencia entre losvalores ms alto y ms bajo incluidos en unconjunto de datos

Ejemplo 23 Durante un mes de verano, los ocho vendedores

de una empresa de equipos de calefaccin y aireacondicionado vendieron los siguientes nmerosde unidades: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11

Rango= My-Mn = 16-5 = 11 unidades


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62

Rango modificado

Es un rango que se construye eliminandoalgunos de los valores extremos de cada unade las porciones finales de la distribucin. El50% central es el rango entre los valores en

el 25 punto percentil y el 75 punto percentilde la distribucin. De este modo, tambin esel rango entre el primer y tercer cuartiles dela distribucin. Por este motivo, el rango del

50% central suele llamrsele rangointercuartil (RIC) RIC=Q3-Q1


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Rango modificado

Ejemplo 24 Los datos de ventas de unidades centrales

presentados en el ejemplo anterior son en

orden ascendente los siguientes:5,8,8,11,11,11,14,16. En consecuencia, elnmero de observaciones es N=8 Q3= X[(75N/100)+(1/2)]= X[6+(1/2)]= X6.5= 12.5

Q1= X[(25N/100)+(1/2)]= X[2+(1/2)]= X2.5= 8 RIC= Q3-Q1= 12.5-8= 4.5


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Desviacin media

Se basa en el valor absoluto de la diferencia entrecada valor del conjunto de datos y la media del grupo

n

XX

N

X

||

||

muestraladeDMA

poblacinladeDMA


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65

DMA

Ejemplo 25 Durante un mes de verano, los ocho vendedores de una

empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionadovendieron los siguientes nmeros deunidades:8,11,5,14,8,11,16,11

Media aritmtica o es 10.5 de acuerdo con el ejemplo anterior

X X- |X-|

5

8

8

11

11

11

14

16

-5.5

-2.5

-2.5

0.5

0.5

0.5

3.5

5.5

5.5

2.5

2.5

0.5

0.5

0.5

3.5

5.5

21.0

21/8=2.6unidades


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66

DMA

Por lo tanto, podemos decir que en promedio,la venta de unidades de equipo de aireacondicionado de un vendedor difiere en 2.6

unidades respecto de la media grupal, encualquier direccin


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67

Varianza

La varianza se asemeja a la desviacinmedia absoluta en que se basa la diferenciaentre cada valor del conjunto de datos y lamedia del grupo, pero se distingue de ella en

un muy importante aspecto, cada diferenciase eleva al cuadrado

N

x

XV

2)(2

)(


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68

Varianza

A diferencia de lo que ocurre con las demsestadsticas muestrales, la varianza de una muestrano equivale exactamente, en trminos de clculo, ala varianza de una poblacin. En esencia en esta

frmula se incluye un factor de correccin, a fin deque la varianza muestral sea un estimador insesgado

1

)( 22

n

XXs


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69

Desviacin estndar

En general es difcil interpretar el significadode la varianza, porque las unidades en lasque se expresa son valores elevados al

cuadrado. Debido en parte a esta razn, esms frecuente el uso de la raz cuadrada dela varianza, representada por la letra griega o por s en el caso de una muestra. A esto

se le llama desviacin estndar


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70

Desviacin estndar

Las frmulas son:

1

)(

)(

2

2

muestralaDe

poblacinlaDe

n

Xx

N

x

s


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71

Desviacin estndar

Ejemplo 26 Durante un mes de verano, ocho vendedores de una

empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionadovendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11

La media aritmtica o es 10.5 de acuerdo con el ejemploanterior

X X- (X-)2

5

8

811

11

11

14

16

-5.5

-2.5

-2.50.5

0.5

0.5

3.5

5.5

30.25

6.25

6.250.25

0.25

0.25

12.25

30.25

86.00


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72

Desviacin estndar

3.375.108

862)(

N

x


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73

Clculos simplificados

1

22

2

222

22

22

muestraladeestandarDesviacin

1smuestraladeVarianza

poblacinladeestndarDesviacin

poblacinladeVarianza

n

XnX

N

NX

s

n

XnX

N

Nx


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74

Desviacin estndar

Ejemplo 27 Durante un mes de verano, ocho vendedores de una

empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionadovendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11

Media aritmtica o es 10.5 de acuerdo con el ejemploanteriorX X2

5

8

811

11

11

14

16

25

64

64121

121

121

196

256

968

3.375.108

)5.10(8968 222

N

NX


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75

Uso de la desviacin estndar

Cuando existe una distribucin de valores, tantosimtrica como mesocrtica, la curva de frecuenciasde una distribucin se le llama curva normal, siempreque ocurre una curva semejante a esto, 68% de los

valores quedan dentro del margen de la desviacinestndar y 95% quedan incluidos dentro de unmargen de dos unidades de desviacin estndar

68% 95%


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76

Descripcin de datos

Ejemplo 28 Las cuentas de energa elctrica de una zona

residencial correspondientes al mes de juniotienen una distribucin normal, si se calculaque la media de estas cuentas es de $84.00con una desviacin estndar de $24.00, deello se desprende que 68% de las cantidadesfacturadas estn entre $60.00 y $108.00, ascomo que 95% de los valores estn entre$36.00 y $132.00


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77

Coeficiente de variacin

Indica la magnitud relativa de la desviacin estndaren comparacin con la media de la distribucin de lasmedidas, expresada como porcentaje, es til cuandose desea comparar la variabilidad de dos conjuntos

de datos en relacin con el nivel general de losvalores (y por lo tanto con la media)

100Muestra

100Poblacin

X

sCV

CV


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78

Coeficiente de variacin

Ejemplo 29Respecto a dos emisiones de acciones ordinarias de la

industria electrnica, durante el periodo de un mes fue de$150 con una desviacin estndar de $5 para las acciones Ay de $50 con una desviacin estndar de $3 para lasacciones B. Con base en la comparacin absoluta, lavariabilidad del precio de las acciones A fue mayor a causade una mayor desviacin estndar. Pero en cuanto al nivelde los precios se deben comparar mediante el coeficiente devariacin

Aaccioneslasque

variablesmsvecesdoscasifueronBaccioneslasqueConcluimos

%0.610050

3100)(

%3.3100150

5

100)(

BCV

ACV


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79

Coeficiente de asimetra de Pearson

Mide la desviacin respecto de la simetraexpresando la diferencia entre la media y la medianaen relacin con la desviacin estndar del grupo demedidas

sMedX

Med

)(3muestraladeAsimetra

)(3poblacinladeAsimetra


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80

Pearson

Ejemplo 30Con respecto a los datos de ventas deequipos de aire acondicionado, la media es10.5, la mediana 11 y la desviacin estndar3.3 por lo que el coeficiente de asimetra es

Asimetra= 3(-Med)/= 3(10.5-11.0)/3.3=-0.45

Por lo que la distribucin de cantidades deventas es en cierto modo asimtrica negativao sesgada a la izquierda

bl


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81

Problemas

Una muestra de 20 obreros obtuvo los siguientessalarios por una semana dada, redondeados al dlarms cercano y dispuestos en orden ascendente:$240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 255, 255,265, 265, 280, 280, 290, 300, 305, 325, 330, 340.

Determine:a) El rangob) EL RICc) DMAd) Varianza

e) Desviacin estndarf) Varianza y desviacin estndar con la frmula

alternativag) El Coeficiente de variacinh) El coeficiente de asimetra de Pearson

bl


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82

Problemas

a) Rango. R=My-Mn=$340-240=$100

b) RIC=Q3-Q1=X(3n/4+1/2)-

X(n/4+1/2)= X(15.5)-X(5.5)=295-240=$55

c) Se debe obtenerprimero la media

muestral=X=$5410/20=$270.50

X X-X |X-X| (X-X)2

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 240.00 -$ 30.50 $ 30.50 $ 930.25

$ 255.00 -$ 15.50 $ 15.50 $ 240.25$ 255.00 -$ 15.50 $ 15.50 $ 240.25

$ 265.00 -$ 5.50 $ 5.50 $ 30.25

$ 265.00 -$ 5.50 $ 5.50 $ 30.25

$ 280.00 $ 9.50 $ 9.50 $ 90.25

$ 280.00 $ 9.50 $ 9.50 $ 90.25

$ 290.00 $ 19.50 $ 19.50 $ 380.25

$ 300.00 $ 29.50 $ 29.50 $ 870.25

$ 305.00 $ 34.50 $ 34.50 $ 1,190.25

$ 325.00 $ 54.50 $ 54.50 $ 2,970.25

$ 330.00 $ 59.50 $ 59.50 $ 3,540.25

$ 340.00 $ 69.50 $ 69.50 $ 4,830.25

Total $ 572.00 $21,945.00

P bl


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83

Problemas

Por lo que el DMA de la muestra quedara:

d) La varianza sera

e) La desviacin estndar

60.28$20

00.572$||

N

X

00.1155120

00.21945

1

)( 22

n

XXs

99.33$00.1155 s

P bl


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84

Problemas

f) Ocupando las frmulas obtenemos

g) Dado que X=$270.50 y s=$33.99 CV=s/X*100=33.99/270.50=.1256*100=12.6%

h) Asimetra=3(X-Med)/s=3(270.5-260)/33.99=0.93

Por lo que concluimos que la distribucin de los datossalariales es ligeramente asimtrica positiva

9.331155muestraladeestandarDesviacin

115519

)5.270(201485350

1smuestraladeVarianza

1

222

2

22

n

XnXs

n

XnX

T b j d i i i 4


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85


Las siguientes calificaciones en examen dispuestas en ordenascendente fueron obtenidas por 20 estudiantes inscritos en uncurso de anlisis de decisin:49,46,67,75,80,82,82,85,87,89,89,89,89,89,89,89,93,94,97,100.

Determinea) El rangob) EL RICc) DMAd) Varianza

e) Desviacin estndarf) Varianza y desviacin estndar con la frmula alternativag) El coeficiente de variacinh) El coeficiente de asimetra de Pearson

P b bilid d


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86

Probabilidad

Histricamente se han desarrollado tres enfoquesconceptuales para definir la probabilidad: losenfoques clsico, de frecuencias relativas y subjetivo.De acuerdo con el enfoque clsico

Dado que este enfoque permite determinar valores deprobabilidad antes de que sean observadoscualesquiera eventos muestrales, tambin se leconoce como enfoque a priori

)()()(

SNANAP

P b bilid d


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87

Probabilidad

Ejemplo 31 En un mazo de naipes debidamente barajado

que contiene 4 ases y otros 48 naipes, laprobabilidad de obtener un as en una solaextraccin es de: 4/52=0.077

E i d b bilid d


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88

Expresin de probabilidad

La probabilidad de un evento se indica con elsmbolo P. As, P(A) denota la probabilidadde que ocurra el evento A en una solaobservacin o experimento.

M i


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89

Momios

La razn de momios a favor de la ocurrenciade un evento es la razn del nmero relativode resultados, representados por a, a favorde A respecto del nmero relativo deresultados, representados por b, que noestn a favor de A: Momios=a:b (lase a a b)

M i


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90

Momios

Ejemplo 32 Supongamos que un xito se define como la

extraccin de cualquier naipe con figura o deun as de un mazo debidamente barajado de52 naipes. Dado que 16 de los 52 naipes sonya sea sota, reina, rey o as. Por lo tanto, losmomios asociados al xito son 16:36. Por lotanto la probabilidad de xito es

P(A)=N(A)/N(S)=a/(a+b)=16/(16+36)=16/52

Eventos mutuamente excluyentes y no


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91

y y

excluyentes

Excluyentes. Son eventos que no puedenocurrir al mismo tiempo, por ejemplo sacar unrey y un as al mismo tiempo

No excluyentes. Son eventos que puedenocurrir al mismo tiempo, por ejemplo sacar unas y un trebol

R l d l di i


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92

Reglas de la adicin

Excluyentes P(A o B) =P(AB)=P(A)+P(B)

No excluyentes P(A o B) =P(A)+P(B)-P(A y B)

Ejemplo 33 Cul es la probabilidad de extraer un as o un

rey? = 4/52+4/52=8/52

Cul es la probabilidad de sacar un as o untrbol o ambos en una sola extraccin? =4/52+13/52-1/52=16/52

Eventos independientes, eventos


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93

p ,

dependientes y probabilidad condicional

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia ono ocurrencia de un evento no tiene ningn efecto en laprobabilidad de ocurrencia del otro evento. Dos eventosson dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia

de un evento afecta la probabilidad de ocurrencia delotro evento Ejemplo 34.

Una moneda es independiente en cada

lanzamiento Obtener un as en una baraja es dependiente,

puesto que para la siguiente extraccin slo sepodr sacar una probabilidad de 3/51 P(A)=P(A|B)

R l d l lti li i


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94

Reglas de la multiplicacin

Se refieren a la determinacin de laprobabilidad de la ocurrencia conjunta de A yB. Existen dos variantes de la regla de lamultiplicacin si los eventos sonindependientes o dependientes Para eventos independientes

P(A y B)=P(A B)=P(A)P(B)

Para eventos dependientes P(A y B)=P(A)P(B|A)

P(B y A)=P(B)P(A|B)

Ej l d lti li i


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95

Ejemplos de multiplicacin

Ejemplo 35 Si una moneda equilibrada se lanza dos veces, la

probabilidad de que ambos lanzamientos den porresultado sol es:

Ejemplo 36 Supongamos que se sabe que un conjunto de 10

partes de repuesto contiene ocho partesaceptables y dos partes defectuosas. Cul es laprobabilidad de que las dos partes seleccionadassean defectuosas?, cul es la probabilidad deque sean aceptables?

4

1

2

1

2

1

aceptables

90

56

9

7

10

8

Teorema de Ba es


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96

Teorema de Bayes

En su forma algebraica ms simple, el teorema deBayes consiste en la determinacin de laprobabilidad condicional del evento A dada laocurrencia del Evento B. Sin embargo, la especialimportancia del teorema de Bayes es que se aplica

en el contexto de eventos secuenciales y, adems,que la versin de clculo de la frmula es la basepara determinar la probabilidad condicional de queun evento haya ocurrido en la primera posicinsecuencial una vez que un evento en particular hasido observado en la segunda posicin secuencial

)'|()'()|()(

)|()()|(

ABPAPABPAP

ABPAPBAP

Diagramas de rbol


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97

Diagramas de rbol

Ejemplo 37 Supongamos que contamos con dos urnas U1 y U2. La

urna 1 contiene 8 pelotas rojas y 2 pelotas verdes,mientras que la urna 2 contiene 4 pelotas rojas y 6pelotas verdes, si se selecciona aleatoriamente una

urna y de ella se selecciona aleatoriamente una pelota,el proceso y las probabilidades secuenciales puedenrepresentarse mediante un diagrama de rbol.

.50

.50

U1

U2

R

V

R

V

.80

.20

.40

.60

Ejemplos del teorema


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98

Ejemplos del teorema

Ejemplo 38 Supongamos que observamos una pelota verde en el

segundo paso, cul es la probabilidad de que la urna1 haya sido seleccionada en el paso uno?

25.040.0

10.0

)60.0)(50.0()20.0)(50.0(

)20.0)(50.0(

)|()()|()(

)|()()|(2211

111

UVPUPUVPUP

UVPUPVUP

Permutaciones


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99

Permutaciones

Ejemplo 39 Tres miembros de una organizacin social se

ofrecen como voluntarios para fungir comodirigentes el siguiente ao en los puestos de

presidente, tesorero y secretario. El nmerode maneras (permutaciones) en los que lostres pueden asumir los puestos es:

n!=3!=(3)(2)(1)=6 maneras

Cuando nos interesan las permutaciones deun subgrupo se ocupa la frmula

)!(

!

rn

nPrn

Combinaciones


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100

Combinaciones

En el caso de las permutaciones, el orden deacomodo de los objetos es importante. En elcaso de las combinaciones, lo que nosinteresa es el nmero de diferentesagrupaciones de los objetos que puedenocurrir sin reparar en su orden (hacerlo enclase)

)!(!!rnr

nPrn

Problemas de probabilidad


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101

Problemas de probabilidad

Determine el valor de la probabilidad aplicable acada una de las siguientes situaciones La probabilidad de accidentes industriales en un ao.

Una muestra aleatoria de 10 empresas con 8 000

empleados, report la ocurrencia de 400 accidentes La probabilidad de acertar a un nmero ganador en un

juego de ruleta, los nmeros son 0, 00 y del 1 al 36

Respuesta 1. P=400/8000=0.05

Respuesta 2. P=1/38

Problemas de adicin


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102

Problemas de adicin

Determine la probabilidad de obtener un as (A), unrey (R) o un dos (D), al extraer un naipe de un mazodebidamente barajado de 52 naipes

De 300 estudiantes de administracin, 100 estnactualmente inscritos en contabilidad y 80 estnactualmente inscritos en estadstica aplicada. Estascifras de inscripcin incluyen a 30 estudiantesinscritos en ambos cursos. Cul es la probabilidadde que si se elige a un estudiante al azar estinscrito en contabilidad o en estadstica?

Respuesta 1. P=4/52+4/52+4/52=12/52 Respuesta 2. P=100/300+80/300-30/300=150/300=.5

Problemas de multiplicacin


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103

Problemas de multiplicacin

En general, la probabilidad de que un prospectorealice una compra despus de haber sidocontactado por un vendedor es P=0.40. Si unvendedor selecciona aleatoriamente tres prospectosde un expediente y establece contacto con ellos,cul es la probabilidad de que los tres realicen lacompra?

De 12 cuentas contenidas en un expediente, cuatrocontienen un error de procedimiento en su saldo. Siun auditor selecciona aleatoriamente dos de estascuentas, cul es la probabilidad de que ninguna de

ellas contenga un error de procedimiento? elabore undiagrama de rbol para representar este proceso demuestreo secuencial

Solucin de problemas de multiplicacin


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104

Solucin de problemas de multiplicacin

Problema 1. Dado que los compradores sonindependientes entre s P=.40x.40x.40=0.064 Problema 2. Los eventos de este ejemplo son

dependientes, porque el resultado de la primeracuenta muestreada afecta las probabilidades para la

segunda por lo que P=8/12x7/11=56/132=0.42

E1

E1

E2

E2

E2

E2

4/12

8/12

3/11

8/11

4/11

7/11

Problemas teorema de Bayes


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105

Problemas teorema de Bayes

Se sabe que la caja A contiene una moneda de un centavo yuna moneda de 10 centavos. Mientras que la caja B contienedos monedas de 10 centavos. Se elige aleatoriamente una deellas, de la que despus se selecciona aleatoriamente unamoneda.

a) Elabore un diagrama de rbol para describir esta situacin

de eventos secuenciales.b) Si en el primer paso se selecciona la caja A, cul es la

probabilidad de que en el segundo se seleccione unamoneda de 10 centavos?

c) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de 10

centavos, cul es la probabilidad de que provenga de lacaja A?d) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de un

centavo, cul es la probabilidad de que provenga de lacaja A?

Solucin teorema de Bayes


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106


a) P(D|A)=1/2=0.50

b)

A

B

C

D

C

D

1/2

1/2

1/2

1/2

0

1

33.0)()()(

)(

)1)(())((

))((

)|()()|()(

)|()(

)(

)()|(

31

21

41

41

21

21

21

21

21

BDPBPADPAP

ADPAP

DP

AyDPDAP



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107


c)

Los cinco individuos que componen la direccin de una pequeaempresa manufacturera sern sentados juntos en un banquete.a) Determine el nmero de diferentes disposiciones posibles de

los asientos para los cinco individuosb) Supongamos que slo tres de los cinco directivos se les

pedir representar a la compaa en el banquete. Cuntasdiferentes disposiciones sern posibles en la mesaconsiderando que pueden ser elegidos tres cualesquiera delos cinco individuos?

1)(

)(

)()())((

))((

)|()()|()(

)|()(

)(

)()|(

41

41

21

21

21

21

21

BCPBPACPAP

ACPAP

CP

AyCPCAP

Permutaciones y combinaciones


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108

Permutaciones y combinaciones

Solucin al anterior P=n!=5x4x3x2x1=120

P=n!/(n-r)!=5!/(5-3)!=60

En relacin con el problema anterior, supongamos

que no nos interesa el nmero de diferentesdisposiciones de asientos posibles, sino el nmerode diferentes agrupaciones de los tres (de cinco)directivos que podran asistir al banquete. Cuntas

diferentes agrupaciones hay? C=n!/r!(n-r)!=5!/3!(5-3)!=10



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109


Determine lo siguiente: La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados

una vez lanzados sea de siete Obtenga la probabilidad equivalente de los momios

siguientes: 2:4 de que un competidor consiga un avance

tecnolgico 8:3 de que un nuevo producto sea rentable

De un total de 800 empleados, 400 participan en el plan dereparto de utilidades de una empresa (P), 600 disponen decobertura de seguro de gastos mdicos mayores (M) y 200participan en ambos programas. Cul es la probabilidad de

que un empleado aleatoriamente seleccionado: participe en al menos uno de los dos programas no participe en ningn programa?



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110


Durante un periodo especfico, 70% de las emisionesde acciones ordinarias de una industria con slo 8compaas elevaron su valor en el mercado. Si uninversionista elige aleatoriamente dos de estas

emisiones. Cul es la probabilidad de que el valor de mercado

de ambas haya aumentado durante este periodo?

Supongamos que un inversionista elige aleatoriamentecuatro de esas emisiones accionarias. Elabore un

diagrama de rbol para describir los diversosresultados posibles de la secuencia de cuatroemisiones



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111


Supongamos que contamos con dos urnas U1 y U2, y que U1contiene tres pelotas rojas y dos pelotas verde, mientras que U2contiene dos pelota roja y cuatro pelotas verdes. Si seselecciona aleatoriamente una urna y despus de esa urna seobtiene una pelota roja. Cul es la probabilidad de que la urnaseleccionada haya sido U1?

Supongamos que hay siete diferentes lugares de capacitacinpara asignar siete empleados en el programa preliminar decapacitacin administrativa de una empresa. De cuantas maneras diferentes pueden ser asignados los

siete individuos a los siete lugares distintos?

Si slo se dispone de seis diferentes lugares para los sietecandidatos. De cuntas maneras diferentes puedenasignarse los siete lugares distintos a cuatro de los sieteindividuos?

Distribucin de probabilidad para


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112

variables aleatorias discretas

Qu es una variable aleatoria? Es un evento numrico cuyo valor se

determina por medio de un proceso aleatorio

Distribucin de probabilidad. Es cuando se le

asignan valores X a una variable aleatoria, yasea mediante un listado o una funcinmatemtica.

La suma de las probabilidades de todos los

resultados numricos posibles debe ser iguala 1.0

Variable aleatoria discreta


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113

Variable aleatoria discreta

Es cuando todos los posibles valoresnumricos de la variable pueden enlistarseen una tabla junto con sus respectivasprobabilidades.

Variable aleatoria continua


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114

Variable aleatoria continua

Todos los posibles valores fraccionarios de lavariable no pueden enlistarse, motivo por elcual las probabilidades se determinan pormedio de una funcin matemtica.

Descripcin de una variable aleatoria


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115

discreta

Lo mismo que en el caso de recolecciones dedatos muestrales y poblacionales a menudoes til describir una variable aleatoria entrminos de su media, varianza y desviacinestndar.

La media a largo plazo de una variablealeatoria X se le conoce como valor

esperado, se expresa por E(X) y se da porla frmula: E(X)=XP(X)

Valor esperado


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116

Valor esperado

Ejemplo 40 El nmero de vagonetas solicitadas en renta en una

agencia de alquiler de automviles durante un periodode 50 das, se identifica en la siguiente tabla. Obtengael valor esperado de la variable discretaDemanda

posible X

Nmero de das Probabilidad

P(X)Valor ponderado

X[P(X)]

3

4

5

6

7

8

3

7

12

14

10

4

50

0.06

0.14

0.24

0.28

0.20

0.08

1.0

0.18

0.56

1.20

1.68

1.40

0.64

E(X)=5.66

Varianza de una variable aleatoria

di


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117

discreta

Se expresa como V(X), se calcula respecto aE(X) como la media de la distribucin deprobabilidad y se tienen dos frmulas parasacarla:

2Frmula)]([)()(

1Frmula)()]([)(

22

2

XEXEXV

XPXEXXV

Varianza y desviacin estndar


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118

Varianza y desviacin estndar

Ejemplo 41

Obtener la varianza del ejemplo anterior con la frmula dos

Por lo tanto la varianza es

V(X)=33.78-5.662=33.78-32.04=1.74

Desviacin estndar= raz cuadrada de lavarianza=1.32

Demanda

posible X

Probabilidad

P(X)Valor ponderado

X[P(X)]

Demanda

cuadrada (x2)

Cuadrado

ponderado x2P(X)

3

45

6

7

8

0.06

0.140.24

0.28

0.20

0.08

1.0

0.18

0.561.20

1.68

1.40

0.64

E(X)=5.66

9

1625

36

49

64

0.54

2.246.00

10.08

9.80

5.12

E(x2)=33.78

Distribucin binomial


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119


Es una distribucin de probabilidad discretaaplicable como modelo para situaciones detoma de decisiones en las que puedesuponerse que un proceso de muestreo

responde a un proceso de Bernoulli, que es: Cada observacin tiene dos resultados xito

y fracaso Las observaciones constituyen eventos

independientes La probabilidad de una observacin a otra es

constante



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120


Para esta formula se requiere de los siguienteselementos: El nmero establecido de xitos X

El nmero de ensayos u observaciones y

La probabilidad de xito de cada ensayo p

p)-(1qdonde)!(!

!),|(

xnxqp

XnX

npnXP



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121


Ejemplo 42 La probabilidad de que un prospecto de venta

aleatoriamente elegido realice una compra es de 0.20,si un representante de ventas visita a seis prospectos,la probabilidad de que realice exactamente cuatroventas se determina de la siguiente forma:

01636.080.020.0)!46(!4

!6

)20.0,6|4(

24

pnXP



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122


Ejemplo 43 Con respecto al ejemplo anterior, la

probabilidad de realizar cuatro o ms ventasse determina de la siguiente forma

P(X4|n=6,p=0.20)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)

De acuerdo con el ejemplo anterior =0.01636+0.001536+0.000064=0.016960



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123


Para obtener el valor esperado, la varianza yla desviacin estndar de una distribucinbinomial se ocupan las siguientes frmulas: Ejemplo 44

E(X)= np= 6(0.20)= 1.2 ventas

V(X)= npq= 6(.20)(.80)= 0.96

= raz de la varianza= 0.98

Distribucin hipergeomtrica


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124

s buc pe geo c

Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo de cadaelemento muestreado tomado de una poblacin finita deelementos, no se aplica el proceso de Bernoulli, porqu cuandose eliminan elementos de la poblacin existe un cambiosistemtico en la probabilidad de xito por lo que para este tipo

de casos se ocupa la frmula de distribucin hipergeomtrica,con los siguientes elementos: N= nmero total de elementos dela poblacin, T= nmero total de xitos incluidos en lapoblacin, X= nmero establecido de xitos y n=nmero deelementos de la muestra

n

N

XT

XnTN

nTNXP ),,|(

Distribucin hipergeomtrica


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125

p g

Ejemplo 45 De seis empleados tres han permanecido en la

compaa por cinco o ms aos. Si de este grupo deseis se elige aleatoriamente a cuatro empleados. Laprobabilidad de que exactamente dos de ellos tenganuna antigedad de cinco o ms aos es:

60.015

33

!2!4

!6!1!2

!3

!1!2

!3

4

6

2

3

2

3

4

6

2

3

24

36

)4,3,6|2(

x

nTNXPEl 1! es elcomplemento

para llegar a3!

El 2! es elcomplementopara llegar a6!

Distribucin de Poisson


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126

Se ocupa para determinar la probabilidad deocurrencia de un nmero establecido deeventos cuando stos ocurren en uncontinuum temporal. Este proceso se llama

proceso de Poisson, aunque es semejante alBernoulli, se distingue de l en que loseventos ocurren a lo largo de un intervalo detiempo temporal. En pocas palabras se

define la distribucin de Poisson cuando laprobabilidad que se requiere sacar sucede demanera X en un lapso.



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127

La frmula para determinar la probabilidad de unnmero establecido de xitos X en una distribucinde Poisson es:

Por lo general esta media se representa como y

significa el nmero medio de eventos a largo plazoen la dimensin temporal. El nmero e es laconstante 2.7183, base de los logaritmos naturales.

!)|(

XeXP

x



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128

En un departamento de reparacin de maquinaria serecibe un promedio de cinco llamadas de serviciopor hora. La probabilidad de que en una horaaleatoriamente seleccionada se reciban

exactamente tres llamadas de servicio es: Ejemplo 46

1404.06

00674.0125

!3

5)0.5|3(

53

xe

XP

Problemas


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129

Se ha determinado que el nmero de camiones decarga que arriban cada hora a una bodega sigue lasiguiente distribucin de probabilidad

Calculea) Nmero esperado de arribos X por horab) La varianzac) La desviacin estndar

Nmero decamiones (x) 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

Problemas


130/212

130

Demanda

posible X

Probabilidad

P(X)Valor ponderado

X[P(X)]

Demanda

cuadrada (x2)

Cuadrado

ponderado x2P(X)

0

1

2

3

4

5

6

0.05

0.10

0.15

0.25

0.30

0.10

0.05

1.0

0

0.10

0.30

0.75

1.20

0.50

0.30

E(X)=3.15

0

1

4

9

16

25

36

0

0.10

0.60

2.25

4.80

2.50

1.80

E(x2)=12.05

a) (X)=3.15 camiones

b) V(X)=E(X2)-[E(X)]2=12.05-3.152=12.05-9.9225=2.1275

c) =raz cuadrada de V(X)=1.46 camiones

Problemas distribucin binomial


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131

A causa de las condiciones econmicas imperantes,una empresa informa que 30% de sus cuentas porcobrar a otras empresas comerciales estnsobrevencidas. Si un contador toma una muestraaleatoria de cinco de esas cuentas, determine laprobabilidad de cada uno de los siguientes eventos:a) Ninguna de las cuentas est sobrevencida

b) Exactamente dos cuentas estn sobre vencidas

c) Tres o ms estn sobrevencidas

Problemas distribucin binomial


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132

00243.0100243.01)70.0()30.0(!0!5

!5)5(

02835.070.00081.05)70.0()30.0(!1!4

!5)4(

1323.049.0027.010)70.0()30.0(

!2!3

!5)3(

16308.000243.002835.01323.0)5()4()3()30.0,5|3()

3087.0343.009.010)70.0()30.0(!3!2

!530.0,5|2()

16807.016807.011)70.0()30.0(!5!0

!5

)30.0,5|0()

05

14

23

32

50

xxxdondeP

xxxdondeP

xxXdondeP

xPxPxPpnxPC

xxpnxPB

xxpnxPA

Problemas distribucin

hipergeomtrica


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133

hipergeomtrica

Un gerente selecciona aleatoriamente a n=3individuos de un grupo de 10 empleados parala formacin de un equipo asignado a unproyecto. Suponiendo que cuatro de los

empleados fueron asignados anteriormente aun proyecto similar, determine la probabilidadde que exactamente dos de los tresempleados hayan tenido experiencia previaen proyectos de este tipo

Solucin hipergeomtrica


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134

p g

30.0120

66

!7!3

!10!2!2

!4

!5!1

!6

3

102

4

1

6

3

10

2

4

23

410

)3,4,10|2(

x

nTNXP

Problemas Poisson


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135

Un promedio de cinco personas por hora realizantransacciones en una ventanilla de serviciosespeciales de un banco comercial, cul es laprobabilidad de que entre 10 y 12 personas realicentransacciones en la ventanilla de serviciosespeciales durante una hora en particular?

00343.0!12

5)5|12(

00824.0!11

5)5|11(

01813.0!10

5)5|10(

0298.000343.000824.001813.0)12()11()10(

)0.5|1210(

512

511

510

eXP

eXP

eXP

XPXPXP

XXP



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136

j g

Un vendedor ha descubierto que la probabilidad derealizar varias ventas por da, dada la posibilidad devisitar a 10 prospectos de venta, es la que serepresenta en la tabla. Calcule el nmero esperadode ventas por da, la varianza y la desviacinestndar

Nmero deventas (x)

1 2 3 4 5 6 7 8

Probabilidad 0.03|0.16| 0.3| 0.35| 0.19| 0.2| 0.05|0.07



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137

Supongamos que 30% de los empleados de unagran empresa estn a favor de la representacinsindical, y que se contacta una muestra aleatoria de20 empleados en solicitud de una respuestaannima. Cul es la probabilidad de que cuatroestn a favor de la representacin?

Diez de los 30 estudiantes de un grupo escolar estninsatisfechos con el texto que se emplea. Si unamuestra aleatoria de cuatro estudiantes esinterrogada sobre el libro de texto, determine laprobabilidad de que

a) Exactamente tres de los cuatro estn insatisfechosb) Tres estudiantes o ms se muestren insatisfechos con

el libro



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138

Un promedio de siete personas por hora hacen usode una caja bancaria automtica durante el horariopico de compras en una tienda departamental. Cules la probabilidad de que

a) Exactamente 4 personas usen la caja durante unahora aleatoriamente seleccionada.

b) Menos de cinco personas usen la caja durante unahora aleatoriamente seleccionada.

c) Ninguna persona la use durante un intervalo de 10

minutos.

Distribuciones de probabilidad para

variables aleatorias continuas


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139

variables aleatorias continuas

A diferencia de una variable aleatoriadiscreta, una variable aleatoria continuapuede adoptar cualquier valor fraccionariodentro de un rango definido de valores. Dado

que existe un nmero infinito de medidasfraccionarias posibles, no se pueden enlistartodos los posibles valores con suprobabilidad correspondiente

Variables aleatorias continuas


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140

En la grfica siguiente la probabilidad de que unembarque aleatoriamente seleccionado tenga unpeso entre 6 000 y 8 000 es igual a la proporcin delrea total bajo la curva

0

20

40

60

80

100

120

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0

Distribucin normal de probabilidad


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141

Se refiere a la curva normal, la cual es tantosimtrica como mesocrtica y es importante por tresrazones: Se sabe que las medidas obtenidas en muchos

procesos aleatorios siguen esta distribucin

Suelen servir para aproximar otras distribuciones deprobabilidad, como la binomial y de Poisson

Como veremos en el captulo siguiente, lasdistribuciones de estadsticas como la media muestral

y la proporcin muestral tienen distribucin normalcuando el tamao de muestra es grande



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142

Como sucede en todas las distribucionescontinuas de probabilidad, un valor deprobabilidad de una variable aleatoriacontinua slo puede determinarse para un

intervalo de valores, la curva de probabilidadde una variable con distribucin normal estdada por

]2/)[(

2

22

2

1)(

Xexf

Distribucin normal estndar


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143

Es la distribucin normal de probabilidad con =0 y=1. Un valor z reformula el valor de X original entrminos del nmero de unidades de la desviacinestndar por las cuales el valor original difiere de lamedia de la distribucin. Un valor negativo z, indicaraque el valor de X original estaba por debajo del valorde la media

Xz



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144

Ejemplo 47 Se sabe que el ciclo de vida de un componente

elctrico sigue una distribucin normal con una mediade =2000 y una desviacin estndar de =200horas, la probabilidad de que un componente

aleatoriamente seleccionado dure entre 2 000 y 2 400horas se determina de la siguiente manera:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800

5apendicealacuerdode,4772.0)24002000(

0.2200

20002400

Xp

Xz

-3 -2 -1 0 1 2 3



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145

Ejemplo 48 Con respecto al problema anterior, supongamos que

nos interesa la probabilidad de que un componentealeatoriamente seleccionado dure ms de 2 200 horas

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800

0.15870.3413-.500002200)P(X

5apndiceelconacuerdode,3413.0)10(

0.1200

20002200

Zp

Xz

-3 -2 -1 0 1 2 3

Puntos percentiles para variables con

distribucin normal


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146

distribucin normal

Un punto percentil en una curva normalestndar nos sirve para hacer el procesoinverso, es decir, encontrar el valor de X Ejemplo 49

En una curva normal estndar, el 90 puntopercentil se refiere al 50 punto de la izquierda dela curva + el 40 punto del lado derecho, as quecon el apndice sacamos el valor ms cercano a

0.4000 y es 0.3997, por lo que el valor asociadoa Z = +1.28, el signo es positivo porque el 90punto percentil es mayor que la media

Puntos percentiles para variables con

distribucin normal


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147

distribucin normal

Para encontrar el valor de X, despejando lafrmula tenemos que X=+z Ejemplo 50

Para el ejemplo anterior tenemos que

X = 2 000 + (1.28)(200) = 2 256 hrs.

Ejemplo 51 Si sacamos el 10 percentil tenemos que

X = 2 000 + (-1.28)(200) = 1 744 horas.

Aproximacin normal de

probabilidades binomiales


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148


Cuando el nmero de observaciones o ensayos n esrelativamente grande, la distribucin de probabilidad normalpuede servir para aproximar probabilidades binomiales. Unaregla conveniente es que tal aproximacin resulta aceptablecuando n30 y tanto np como nq5

Cuando la distribucin de probabilidad normal se usa comobase para aproximar un valor de probabilidad binomial, la mediay desviacin estndar se basan en el valor esperado y en lavarianza del nmero de xitos de la distribucin binomial

npqestDesvnpmedia

..




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149


Para llevar a cabo una probabilidad binomialusando curvas normales, se debe consideraralgo que se conoce como correccin porcontinuidad. Esta correccin se lleva a cabo

usando los siguientes parmetros Reste 0.5 de X cuando se requiera P(XXi)

Reste 0.5 de X cuando se requiera P(XXi)




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150


Ejemplo 52 En relacin con un grupo extenso de prospectos de

venta se ha observado que el 20% de contactadospersonalmente por un representante de ventasrealizarn una compra. Si un representante de ventas

contacta a 30 prospectos, podemos determinar laprobabilidad de que 10 o ms realicen una compra, enreferencia a las probabilidades binomiales

Si sacamos la solucin ocupando lo que se vio en las

diapositivas 120-124 tenemos P(X

10|n=30,p=0.20)=0.0355+0.0161+0.0064+0.0022+0.0007+0.0002+=0.0611




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151


Continuacin ejemplo 52 Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva

normal Es n30?, si n = 30 Es np5?, si, np = 30(0.20) = 6 Es nq 5?, si, nq = 30(0.80) = 24 Para la correccin por continuidad tenemos que tomar

a X 10, por lo que se debe restar 0.5 y queda de lasiguiente forma

0548.04452.05000.0)19.2,0.6|5.9(

4452.060.119.2

0.65.9

19.28.480.20.30

0.620.30

XP

xz

xxnpq

xnp


probabilidades de Poisson


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152

probabilidades de Poisson

Cuando la media de una distribucin de Poissones relativamente grande, la distribucin normal deprobabilidad puede servir para aproximarprobabilidades de Poisson. Una regla convenientees que esta aproximacin es aceptable si 10.0

..estDesv

media


probabilidades Poisson


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153


Ejemplo 53 El nmero promedio de llamadas recibidas en

un departamento de reparacin de maquinariapor turno de 8 horas es de 10.0. Cul es la

probabilidad de que en el turno se recibanms de 15 llamadas?

Si sacamos la solucin ocupando lo que sevio en las diapositivas 127-129 tenemos: P(X>15|=10.0)=P(X=16)+P(X=17)+ =0.0217+0.0128+0.0071+0.0037=0.0488




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154


Continuacin ejemplo 53 Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva

normal, ya que 10

0409.04591.05000.0)0.10|15(

4591.074.1

16.3

0.105.15

16.310

10

XP

xz

Problemas


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155

El proceso de empaque de una compaa productorade cereales para el desayuno ha sido ajustado paraque cada empaque contenga un promedio de =13.0onzas de cereal. Por supuesto que no todos lospaquetes contienen 13.0 oz a causa de fuentesaleatorias de variabilidad. La desviacin estndar delpeso neto real es =0.1 oz y se sabe que ladistribucin de pesos sigue la distribucin normal deprobabilidad. Determine la probabilidad de que un

paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y13.2 oz de cereal.

Problemas


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156

5apndiceelconacuerdode,4772.0)20(

0.21.0

0.132.13

Zp

Xz

Respecto al problema anterior, cul es la probabilidad de que el peso delcereal exceda 13.25 onzas?

0062.04938.05000.0)5.2(

5.21.0

0.1325.13

Zp

X

z

Problemas binomiales y de Poisson


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157

Se sabe que 70% de las personas que acuden a unimportante centro comercial realizan al menos unacompra. En una muestra de n = 50 individuos, cules la probabilidad de que al menos 40 personasrealicen una o ms compras cada una?

0823.04177.05000.0)24.3,0.35|5.39(

4177.039.124.3

0.355.39

24.35.1030.70.50

0.3570.50

XP

xz

xxnpq

xnp

Problemas binomiales y de Poisson


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158

Se sabe que las llamadas de servicio lleganaleatoriamente y en calidad de proceso estacionarioa un promedio de 5 por hora. Cul es laprobabilidad de que en un turno de 8 horas sereciban al menos 50 llamadas de servicio? Puesto que =5x8=40 y excede a 10, entonces

podemos usar la distribucin normal de probabilidad,para aproximar el valor de probabilidad de Poisson

048504515050000)040|550(

4515.066.132.6

405.50

32.640

40

XP

xz



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159

Las calificaciones reportadas en una pruebade aprovechamiento de vigencia nacionalpara graduados de preparatoria tiene unamedia de = 80 con la desviacin estndar

= 10. La distribucin de calificaciones esaproximadamente normal. Cul es laprobabilidad de que la calificacin de unindividuo aleatoriamente elegido seencuentrea) entre 80 y 95b) entre 70 y 90



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160

La media de una prueba de aprovechamientode vigencia nacional es = 80 con = 10.Las calificaciones siguen una distribucinnormal. Qu calificacin se encuentra en el

a) 50 punto percentilb) 30 punto percentil

c) 90 punto percentil?



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161

En relacin con los varios miles de artculosalmacenados por una empresa de pedidospor correo, existe una probabilidad global de0.10 de que un artculo en particular

(incluidos tamao y color especficos, etc.),no est en existencia. Si un embarquecomprende pedidos de 200 artculosdiferentes, cul es la probabilidad de que 20o ms artculos no estn en existencia?



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162

Durante el periodo pico de 8 a 10 p.m. deuna estacin de servicio automovilstico llegaun promedio de un auto cada 5 minutos.Cul es la probabilidad de que ms de 25

autos arriben a la estacin en demanda deservicio entre las 4 y 5 p.m.?

Distribuciones de muestreo e

intervalos de confianza para la media


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163

p

Un parmetroes un valor de resumen para unapoblacin o proceso

Una estadstica muestrales un valor de resumenpara una muestra

Para emplear una estadstica muestral comoestimador de un parmetro, debe ser aleatoria deuna poblacin

Distribucin de muestreo. Se refiere a la

distribucin de los diferentes valores que unaestadstica muestral podra adoptar en muchasmuestras del mismo tamao




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164

p

Un estimador puntuales el valor numrico de unaestadstica muestral empleado para estimar el valorde un parmetro, una de sus caractersticas msimportantes de un estimador es que sea insesgado

Un estimador insesgadoes una estadsticamuestral cuyo valor esperado es igual al parmetropor estimar

Ambos mtodos de muestreo garantizan que lamuestra sea insesgada, aunque no eliminan el errorde muestreo

As entonces, por lo general disponemos de unamuestra aleatoria, por lo que se debe reconocer queel valor de la estadstica muestral variar de unamuestra a otra a causa de la variabilidad delmuestreo aleatorio o error de muestreo




165/212

165

p

Ejemplo 54 (error de muestreo)Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5

14.95

14.96

14.95

15.03

14.99

15.07

15.08

14.94

15.09

14.98

15.05

14.99

14.71

14.94

14.88

14.98

14.96

15.20

15.31

15.21

XMed

S

14.9714.96

0.039

15.0215.03

0.067

15.0315.02

0.052

14.8814.91

0.119

15.1715.08

0.149

Distribucin de muestreo de la media


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166

La distribucin de muestreo de la media se describedeterminando la media de dicha distribucin, la cual es el valoresperado E(X) y la desviacin estndar de la distribucin de lasmedias muestrales, designada como x

Cuando los parmetros de la poblacin o proceso sonconocidos, el valor esperado, error estndar y la frmula delerror estndar de la media con el factor de correccin por finitudincluido de la distribucin de muestreo de la media es:

correccindefactorelconestndarError1

estndarError

esperadoValor)(

N

nN

n

n

XE

x

x



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167

Ejemplo 55 Supongamos que la media de una poblacin muy

grande = 50.0 y que la desviacin estndar de lasmedidas es = 12.0. Determinamos la distribucin demuestreo de las medias muestrales para un tamao

de muestra de n = 36 en trminos del valor esperado yel error estndar de la distribucin. Si la poblacinfuera de 100, obtenga el error estndar

60.1)80.0(21100

361002.0

1

estndarError2.036

12

esperadoValor0.50)(

N

nN

n

n

XE

x

x



168/212

168

El efecto de este factor de correccin essiempre reducir el valor que de otra forma secalculara. Por regla general, la correccin esinsignificante y puede omitirse cuando

n


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169

Si la poblacin o proceso del cual se tomauna muestra tiene una distribucin normal,tambin la distribucin de muestreo de lamedia tendr distribucin normal, sin importar

el tamao de la muestra. No obstante, quocurre cuando una poblacin no tienedistribucin normal? por increble queparezca, el teorema del lmite central permite

la aplicacin de la distribucin normal a estasdistribuciones de muestreo

Teorema del lmite central


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Cuando el tamao de la muestra es mayor oigual a 30 resuelve muchas de lassituaciones poblacionales adversas

Determinacin de probabilidades para

la media muestral


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Dado que conocemos la media y desviacin estndarde la poblacin se puede hacer uso de la frmula dedistribucin normal estndar, slo que en la frmulase hace uso del error estndar de la media, porqueste es la desviacin estndar de la variable X

X

z

X

Ejemplo 56


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172

Un auditor toma una muestra aleatoria de tamaon= 36 de una poblacin de 1000 cuentas, el valormedio de las cuentas por cobrar para la poblacin es= $260.00, con la desviacin estndar de lapoblacin =$45.00. Cul es la probabilidad de que

la media muestral sea inferior a $250.00?

0918.04082.05000.0)033.1(500.0)33.1(

33.15.7

260250

50.76

00.45

36

00.45

00.260)(

zPZp

Xz

n

XE

x

x

Ejemplo 57


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El departamento de control de calidad de unaempresa de refrescos lleva un registro de la cantidaddel liquido con que se llena su botella gigante. Lacantidad de refresco en cada botella es crtica, perovaria un poco de botella a botella. La empresa no

quiere que las botellas se llenen con menor cantidadporque esto ocasionara problema respecto a laexactitud de lo que se especifica en la etiqueta. Porotro lado, las botellas tampoco deben contener

exceso de refresco porque la compaa estararegalando su producto, con lo que se reduciran lasganancias

Ejemplo 57 Continuacin


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De acuerdo con los registros la cantidad de refrescoen las botellas sigue una distribucin normal. Lacantidad media por botella es 31.2 onzas y ladesviacin estndar poblacional es .4 onzas. Hoy alas 8 de la maana el tcnico de control tomo una

muestra aleatoria de 16 botellas de la lnea dellenado. La cantidad media de refresco en estasbotellas fue de 31.38 onzas. Es este resultado pocoprobable?, Es probable que el proceso est

llenando con demasiado refresco las botellas?, dichode otra manera El error muestral de 0.18 onzas espoco probable?



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3.5%0.0359

.4641-.500031.38)P(xtablaslasDe

80.1

16

4.

20.3138.31

n

Z X

Ejemplo 58


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Una asociacin de gasolineras estima que en unagasolinera se venden en promedio 20000 galonesdiarios, la forma de la distribucin no se conoce. Enuna muestra que se tomo ayer de 70 gasolineras, lamedia fue de 19480 y la desviacin estndar de 4250

galones es razonable la aseveracin de que lamedia poblacional sea de 20000 galones?, Cul esla probabilidad de tomar una muestra con elestadstico dado la poblacin propuesta?, Qu

suposiciones hay que hacer?



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Como la muestra es suficientemente grandese puede sustituir la desviacin estndarpoblacional con la desviacin estndarmuestral

15.39%0.1539

.3461-.5000)94801P(xtablaslasDe

02.1

70

4250

2000019480

n

sZ X

Trabajo de Investigacin 8


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El salario promedio por hora de los plomerosde una determinada regin es de 28 dlaresCul es la probabilidad de tomar unamuestra de 50 plomeros y encontrar un

salario medio por hora de 28.50 o ms?. Ladesviacin estndar de la muestra es 2dlares por hora



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En estados unidos la edad promedio en laque los hombres se casan por primera vez es24.8 aos. No se conoce ni la forma ni ladesviacin estndar de la poblacin Cul es

la probabilidad de encontrar una muestra de60 hombres que la edad promedio a la quese casaron sea de 25.1 aos o ms?.Supngase que la desviacin estndar

muestral es de 2.5 aos



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En un estudio reciente realizado por una asociacinde taxistas se encontr que la tarifa media entre dospuntos de una ciudad es de 18 dlares y ladesviacin estndar de 3.50. Si se toma una muestrade 15 tarifas Cul es la probabilidad de que la

media muestral este entre 17 y 20 dolares? Una empresa fabricante de camiones asegura que el

peso medio de sus camiones cuando estntotalmente cargados es 6000 libras y que ladesviacin estndar es 150 libras. Supongase que la

poblacin sigue una distribucin normal. Seseleccionan aleatoriamente 40 camiones y se pesan.Entre qu limites se encontrar el 95% de lospesos?

Intervalos de confianza para la media

con el uso de la distribucin normal


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181

Los intervalos de confianza para la media seelaboran por lo general con el estimador insesgado Xen el punto medio del intervalo. Cuando estgarantizado el uso de la distribucin normal deprobabilidad, el intervalo de confianza para la media

se determina mediante

X

X

zs

Zx

X

mediantedesconoce,sepoblacinladelacuandoO

Intervalos de confianza para la media

con el uso de la distribucin normal


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182

Los intervalos de confianza de uso msfrecuente son los intervalos de confianza de90, 95 y 99%. Los valores de z requeridos

junto con estos intervalos se muestran en la

siguiente tabla:Z (nmero de unid ades de desv iacin

estndar r especto de la media)

Pro po rc in de rea en el

intervalo

1.645

1.96

2.58

0.90

0.95

0.99

Ejemplo 59


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183

Durante una semana dada, una muestra aleatoria de30 empleados por hora seleccionada de un grannmero de empleados de una empresamanufacturera tiene un salario medio muestral de X= $180, con una desviacin estndar muestral de

s = $14.00. Estimamos el salario medio de todos losempleados por hora de la empresa con unaestimacin por intervalo tal como para que podamostener una confianza del 95% de que el intervalo

incluye el valor de la media de la poblacin de lasiguiente manera:

Ejemplo 59 continuacin


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]02.185,98.174[)30

14(96.1180

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