Dossier de Candidature à un Poste de Maitre de ConférenceElie BRETIN

Etat civil

Né le 30 avril 1982, à Niamey (Niger)Nationalité française,

Adresse Professionelle : CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées PolytechniqueRoute de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France

Tél. : (+33)1 69 33 46 10

E-mail : bretin@cmap.polytechnique.frHomepage: www-ljk.imag.fr/membres/Elie.Bretin/

Situation administrative

2009 – 2011 Post-Doctorant, CMAP.Centre de mathématiques appliquées, Ecole Polytechnique.

2008 – 2009 Attaché Temporaire d’Enseignement et de Recherche, ENSIMAG.École nationale supérieure d’informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble

2005 – 2008 Doctorant, LJK, bourse BDI CNRS.Laboratoire Jean Kuntzmann, Grenoble

2005 – 2008 Moniteur d’enseignement supérieur en Mathématques, ENSIMAG.École nationale supérieure d’informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble

Cursus universitaire

2005 –2009 Thèse de doctorat de Mathématiques, LJK, Grenoble.Spécialité : Mathématiques AppliquéesTitre : Mouvements par courbure moyenne et méthode de champ de phase

2004 –2005 Master Recherche de Mathématiques Appliquées, (Mention : Bien) .Université Joseph Fourier, Grenoble

2002 –2005 Ingénieur en Informatiques et Mathématiques Appliquées, (Mention : Bien) .ENSIMAG, INPG, Grenoble

Expérience de Recherche

2009 – 2011 Post-Doctorant en Mathématiques Appliquées, CMAP, CMAP.Sous la direction de : Habib AMMARI (Directeur de Recherche CNRS)Sujet : Methodes inverses pour la transformée de Radon sphérique atténuée,Mots clefs : Méthodes inverses, équation des ondes atténuées, tranformée de Radonsphérique

2005 – 209 Doctorat de Mathématiques Appliquées au LJK, soutenue le 21 avril 2009.Sous la direction de : Valérie PERRIER (Professeur INPG, équipe MGMI) etEric BONNETIER (Professeur UJF, équipe EDP)Sujet : Mouvements par courbure moyenne et méthode de champ de phase,Mots clefs : Méthode de champ de phase, mouvement par courbure moyenneanisotrope, méthode spectrale, analyse multirésolution, curvelets.Jury composé de :

M. COTTET Georges-Henri, PrésidentM. CHAMBOLLE Antonin, RapporteurM. GOUT Christian, RapporteurM. MISBAH Chaouqi, ExaminateurM. BELLETTINI Giovanni, ExaminateurM. OUDET Edouard, Examinateur

2005 Stage de Master-Recherche, Avec Valérie PERRIER et d’Eric BONNETIER.Sujet : Curvelets pour la croissance cristalline

Responsabilités collectives2007 – 2008 Représentant élu des doctorants au conseil du LJK.

juin 2007 Membre du comité d’organisation du congrès SMAI 2007.

CompétencesProgrammation ADA, C, C++, C#, JAVA

Software Matlab, Scilab, Maple

Graphique Gimp, Xfig

OS Linux, Windows

Langues Anglais : lu, écrit, parlé

ACTIVITES D’ENSEIGNEMENTVoici un bref descriptif de mes différents enseignements que j’ai effectué à l’ENSIMAG, tout d’aborden tant que moniteur, puis en tant que ATER :

• 2007 – 2008 , Moniteur en mathématiques appliquées à l’ INP Grenoble (ENSIMAG).• 2008 – 2009 , ATER à l’ENSIMAG, en section 26, mathématiques appliquées.

Monitorat à l’ ENSIMAG

TD d’Analyse mathématique, 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3)Années scolaires: 2005–2008Volume horaire: 12 séances de TD d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD

Effectif: une classe de 40 étudiantsCours: Valérie PERRIER

Nous abordons dans ce Td les différentes notions suivantes : Bases Hilbertiennes, Série de Fourier, transfor-mée de Fourier de fonctions, distributions, et enfin transformée de Fourier de distributions tempérées. UnTP Scilab est aussi organisé sur deux séances en salles machines. Il porte généralement sur les propriétés dela transformée de Fourier discrète ( phénomène de Gibbs ) et son utilisation pour la résolution d’équationsau dérivées partielles.

TD de probabilité-statistique, 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3)Années scolaires: 2005–2008Volume horaire: 18 séances de TD d’1 h 30 : 24 heures équivalent TD

Effectif: une classe de 40 étudiantsCours: Yvan PIGEONNA

Ce TD est divisé en deux parties : il contient tout d’abord les bases des probabilités avec les notions demodèles et mesures du hasard, de variables aléatoires réelles et de vecteurs aléatoires. Un deuxième voletplus applicatif concerne les statistiques avec une introduction aux statistiques descriptives, aux estimationsparamétriques et enfin aux tests d’hypothèses.

Projet de méthodes numériques : 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3)Années scolaires: 2005–2008Volume horaire: 1 semaine de TP : 26 heures equivalent TD

Effectif: une classe de 40 étudiantsResponsable : Jean DELLA DORA

Ce projet est présenté sous la forme d’une succession de TPs, se déroulant durant une semaine entière. Ila pour objectif la découverte du logiciel SCILAB et du langage LATEX ( un rapport de TP écrit en LATEXest demandé à la fin de chaque séance de TP). La thématique des TPs illustre essentiellement des prob-lèmes d’interpolations polynômiales et d’intégrations numériques, des notions découvertes précédemmenten cours.

ATER à l’ ENSIMAG

TD d’Eléments finis , 2ieme année de l’ENSIMAG (niveau M1)

Années scolaires: 2008–2009Volume horaire: 12 séances de TD d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD

Effectif: une classe de 15 étudiantsCours: Emmanuel MAITRE

Ñous abordons dans ce TD les notions suivantes : Espace de Sobolev, Théorème de trace et inégalités dePoincaré, méthode de Galerkin, maillage conforme et enfin méthodes d’éléments Finis P1 et P2.

TP d’Eléments finis , 2ieme année de l’ENSIMAG (niveau M1)

Années scolaires: 2008–2009Volume horaire: 12 séances de TP d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD

Effectif: une classe de 15 étudiantsCours: Emmanuel MAITRE

Les 12 séances sont réparties en trois TPs. Un premier TP, sous MATLAB, compare les méthodes d’élémentsfinis P1 et P2 pour la résolution de l’équation de Poisson en dimension 1. Un deuxième TP, effectué cettefois-ci sous FREEFEM++, illustre l’intérêt de ces méthodes pour la résolution d’équation aux dérivéespartielles dans des domaines de résolutions complexes. Enfin, dans un troisième temps, les étudiants im-plémentent en C + + le coeur de la méthode d’éléments finis P1, dans le cas de l’équation de Poisson endimension 2.

TD de méthodes numériques , 1ieme année de l’ENSIMAG

Années scolaires: 2008–2009Volume horaire: 12 séances de TD d’1 h 30 : 2 ×18 heures equivalent TD

Effectif: deux classes de 40 étudiantsCours: Guillaume JAMES

Nous abordons dans ce TD les différentes notions suivantes : méthode des différences finies (discrétisationnumérique , principe du maximum, convergence de la méthode ), résolution de systèmes linéaires ( Gauss,factorisation LU, Cholesky, méthode du gradient) et enfin résolution d’EDO par la méthode de Newton.

Encadrement de TER , 2ieme année de l’ENSIMAG

• Avec Guillaume JAMES, "Effets non linéaires dans la dynamique d’ouverture de l’ADN"

• Avec Thomas MILCENT, "Comparaison des méthodes level-set et champ de phase pour la simulationde mouvement par courbure moyenne"

ACTIVITES DE RECHERCHEPublications, Preprints, rapports

Rapports[1] Curvelets et équation de champs de phase, stage de M2, Université Joseph

Fourier(juin 2005).[2] Curvelets pour la croissance cristalline, Thèse de Doctorat de l’INPG, soutenue

publiquement le 21 avril 2009.Evolution d’interfaces

[1] A modified phase field approximation for mean curvature flow with conserva-tion of volume, Mathematical Methods in the Applied Sciences (accepté), Avec M.BRASSEL.

[2] Phase field method for mean curvature flow with boundary constraints,(Preprint), Avec V. PERRIER.

[3] Consistency result for a non monotone scheme for anisotropic mean curvatureflow, Interfaces and Free Boundaries (soumis), Avec E. BONNETIER et A. CHAM-BOLLE.

[4] Regularization of discrete contour by Willmore energy, Journal of MathematicalImaging and Vision (accepté), Avec J.O. LACHAUD et E. OUDET.

Imagerie

[1] Photo-acoustic imaging for attenuating acoustic media, Chapter in a Lec-ture Notes in Mathematics Volume, Springer-Verlag, 2011, Avec H. AMMARI, V.JUGNON, et A. WAHAB.

[2] On the Green function in visco-elastic media obeying frequency power law,Mathematical Methods in the Applied Sciences (accepté), Avec L. G. BUSTOS et A.WAHAB.

[3] Coherent interferometry algorithms for photoacoustic imaging, (soumis), AvecH. AMMARI, J. GARNIER, V. JUGNON .

[4] Time reversal in attenuating acoustic media, (Preprint), Avec H. AMMARI et A.WAHAB.

[5] Some Anisotropic Viscoelastic Green Functions, (Preprint), Avec A. WAHAB.

Communications orales

Posters :

Mai 2007 Simulation d’un mouvement par courbure moyenne anisotrope (prix de meilleurposter), Congrès SMAI 2007, Praz sur Arly.

Juillet 2006 Nonlinear approximation with generalized curvelets, Conférence "wave 2006",EPFL.

Séminaires :

Décembre 2010 Algorithme itérative pour la transformée de Radon sphérique atténuée, Groupede travail CEA Saclay.

Octobre 2010 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenneanisotrope, Groupe de travail MAP5, Université de Paris 5.

Mars 2010 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenneanisotrope, Séminaire au CMAP, Ecole Polytechnique.

Janvier 2010 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenneanisotrope, Séminaire au LMAH, Université du Havre.

janvier 2009 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenneanisotrope, Rencontre PPF Dysco 2009, (Annecy).

Décembre 2008 Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenneanisotrope, Séminaire du LAMA, Université de Chambéry.

Mai 2008 Convergence d’un nouvel algorithme pour les mouvements par courburemoyenne anisotrope, Canum 2008, Saint Jean de Monts.

Mai 2008 Méthodes numériques pour les mouvements d’interfaces, Séminaire équipeMGMI (LJK), Grenoble.

Octobre 2006 Approximation non linéaire, des ondelettes 1D aux curvelets, Groupe de travailMGMI, Grenoble.

Octobre 2006 Utilisation d’ondelettes pour la compression, Séminaire compréhensible, UniversitéJosephe Fourier, (Grenoble).

Contexte mathématiques et résumé des résultats obtenus en thèse

Mes recherches portent sur le développement de méthodes numériques "efficaces" pour l’approximationde mouvements d’interfaces géométriques. Ces évolutions apparaissent naturellement dans de nombreuxsystèmes physiques et biologiques, notamment en croissance cristalline. L’exemple phare est le mouvementpar courbure moyenne : un flot de mouvement par courbure moyenne Ω(t) est défini comme l’évolutiond’une interface dont la vitesse normale est proportionnelle à la courbure moyenne :

Vn = κ.

Cette dynamique peut s’obtenir comme le flot de gradient du périmètre

P (Ω) =ˆ∂Ω

1ds.

Plus précisément, nous nous sommes focalisés sur les méthodes de champ de phase, une alternative auxméthodes level-set, elles aussi basées sur une description implicite de l’interface. Ces méthodes permettentd’obtenir des approximations du mouvement par courbure moyenne en suivant l’évolution des lignes deniveau des solutions uε de l’équation d’Allen-Cahn [AC79],

ut = 4u− 1ε2W′(u).

Le paramètre ε est un paramètre d’approximation qui représente l’épaisseur de "l’interface diffuse", etW désigne un potentiel double puits positif. Les méthodes d’éléments finis ou de différences finis semi-implicites sont usuelles pour obtenir des approximations numériques des solutions de ces équations. Dansce travail, nous avons préféré utiliser un algorithme basé sur un splitting d’opérateurs, où les termes dediffusion sont traités de manière exacte dans la base de Fourier. L’intérêt est d’obtenir ainsi une méthodede résolution inconditionnellement stable, plus précise et dont l’implémentation reste très simple en dimen-sions supérieures à 2.

Extension pour la conservation de volume

Nous nous sommes ensuite intéréssés à la simulation de mouvement par courbure moyenne avec conservationdu volume : [Gag86] où la vitesse normale de l’interface vérifie

Vn = κ− 1|∂Ω|

ˆ∂Ωκds.

Classiquement, les méthodes de champ de phase conduisent [BS97, RS92] à l’équation

ut = 4u− 1ε2W′(u) + 1

ε21|Q|

ˆQW′(u(t, x), x)dx,

où le terme 1ε2

1|Q|´QW

′(u)dx peut être interprété comme un multiplicateur de Lagrange, qui préserve lamasse des solutions uε. Bien qu’aucune preuve rigoureuse de convergence de ce modèle ne soit encoreétablie, les tests numériques montrent un ordre de convergence en O(ε) seulement, ce qui se traduit enpratique par des pertes de volumes conséquentes dans les simulations, limitant ainsi l’efficacité de cesméthodes.

Plutôt que d’utiliser un multiplicateur de Lagrange, nous avons pensé à modifier le potentielW pour intégrerla conservation de volume. Nous avons alors étudié un modèle de champ de phase d’approximation demouvements par courbure moyenne avec terme de forçage : Vn = κ+ g,

ut = 4u− 1ε2

[W ′(u)− εg

√2W (u)

],

pour lequel, nous avons établi une preuve de convergence en O(ε2 log(ε)2). Ce résultat s’obtient en démon-trant un principe de comparaison, puis en explicitant une sous-solution et une sur-solution de l’équationpour obtenir un contrôle sur l’évolution des lignes de niveau des solutions de l’équation.

Cette démarche a finalement conduit à l’équation

ut = 4u− 1ε2

(W′(u)−

´W ′(u)dx´ √2W (u)dx

√2W (u)

).

Les résultats numériques que nous avons obtenu exhibent un ordre de convergence en O(ε2), ce qui réduitconsidérablement les pertes de volume par rapport au modèle original. Ce travail a fait l’objet d’un articleco-écrit avec Morgan Brassel.

Traitement de zones d’inclusion-exclusion

Nous nous sommes aussi intéressés à l’évolution d’une interface Ω(t), obtenue comme le flot de gradientdu périmètre pénalisé

JΩ1,Ω2(Ω) =´

∂Ω 1σ si Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2,

+∞ sinon

où Ω1 et Ω2 sont deux domaines de Rd donnés.

L’approche champ de phase habituelle consiste à résoudre l’équation d’Allen Cahn dans Ω2 \ Ω1 avec desconditions de bord de type Dirichlet sur ∂Ω1 et ∂Ω2 :

ut = 4u− 1ε2W

′(u), dans Ω2 \ Ω1

u|∂Ω1 = 1, u|∂Ω2 = 0

Or, l’utilisation de ces conditions de bord influence l’ordre de convergence de ce modèle de champ de phase,qui apparaît maintenant en O(ε ln(ε)) seulement. Cet ordre correspond en fait à la taille de l’interface dif-fuse. L’approximation numérique de ces solutions nécessitent aussi l’utilisation de méthode d’éléments finis,qui s’avèrent beaucoup plus couteuses en pratique que les approches par Fourier introduites précédemment.

Pour toutes ces raisons, nous avons cherché à introduire une alternative à ce modèle, en imposant lescontraintes de bord à l’aide d’une pénalisation sur le potentiel double puits W utilisé. Nous avons ainsiconsidéré des énergies de la forme

Jε,Ω1,Ω2(u) =ˆ

Rd

(ε

2|∇u|2dx+ 1

εWΩ1,Ω2(u, x)

)dx,

où le potentiel WΩ1,Ω2 dépend des domaines Ω1, Ω2. Cette démarche conduit ainsi à l’équation d’Allen-Cahn

ut = 4u− 1ε2∂sWΩ1,Ω2(u, x),

dont les solutions peuvent maintenant être approchées via des algorithmes numérique basés sur un splittingd’opérateurs plus Fourier. Sous la condition suivante,

WΩ1,Ω2(s, x) =

W1(s) si x ∈ Ω1

W2(s) si x ∈ Ωc2

W (s) sinon,

etW1(s) = W (s) pour s ≥ 1/2W1(s) ≥ max(W (s),W (1/2)) pour s ≤ 1/2

etW2(s) = W (s) pour s ≤ 1/2W2(s) ≥ max(W (s),W (1/2)) pour s ≥ 1/2,

,

nous avons établi un résultat de Γ-convergence de Jε,Ω1,Ω2 vers cWJΩ2,Ω1 . L’ordre de convergence de cenouveau modèle apparaît aussi en O(ε2 ln(ε)2). Ce résultat fait l’objet d’un preprint, co-écrit avec ValériePerrier.

Exemple de mouvement par courbure moyenne obtenu avec notre approche où la zone d’inclusionΩ1 est composée de deux anneaux

Tension de surface anisotrope

Une troisième partie de mon travail s’intéresse à la simulation numérique de mouvements par courburemoyenne anisotrope, définis comme le flot de gradient du périmètre anisotrope

Pγ(Ω) =ˆ∂Ωγ(~n)ds,

où γ : Sd−1 → R+ représente la tension surface anisotrope. En dimension 2 les vitesses normales desinterfaces vérifient

Vn = γ(~n)κγ ,

où la courbure anisotrope est donnée par κγ = κ (γ(~n) + γ′′(~n)). La formulation champ de phase usuellede ce mouvement est l’équation d’Allen-Cahn anisotrope [BP96] :

ut = div(φo(∇u)φoξ(∇u)

)− 1ε2W′(u),

où pour tout ξ ∈ Rd, φo(ξ) = |ξ|γ(ξ/|ξ|).La difficulté numérique vient de l’opérateur de diffusion anisotrope

4φu = div(φo(∇u)φoξ(∇u)

),

qui est fortement non linéaire. Les méthodes classiques de résolution ont en effet un coût de calcul biensupérieur au coût des méthodes utilisées dans le cas isotrope.

Nous avons alors introduit une approximation de cette équation,

ut = 4φu−1ε2W′(u), (1)

dans laquel, nous utilisons un opérateur 4φu de symbole σ(ξ) = −4π2φo(ξ)2, obtenu comme le linéariséde 4φ dans l’espace de Fourier. L’implémentation de ce modèle est alors très facile (multiplication dansla base de Fourier) et les calculs deviennent très rapides. Les tests numériques montrent de très bonnesqualités d’approximation et indiquent que la méthode converge en O(ε).

Nous avons de plus établi la consistance d’un algorithme de Bence Merriman Osher [MBO92] pour lesmouvements par courbure moyenne anisotrope lorsque le noyau de diffusion utilisé est associé à l’opérateur4φ et défini par

K(x) =ˆ

Rde−4π2φo(ξ)2e2iπ x·ξdx.

Nous nous sommes inspirés des travaux d’Ishii, Pires et Souganidis [IPS99]. La difficulté de ce travailprovient du fait que le noyau de la chaleur anisotrope K n’est pas positif, et n’admet pas de momentd’ordre 2, deux hypothèses à priori nécessaires dans la preuve de [IPS99].

En regardant de plus près ce noyau et en utilisant des techniques d’interpolation d’espaces, nous avonsmontré qu’il admet des moments d’ordre s < 2, et que les intégrales

´V |x|

sK(x)dx, sur les hyperplans Vde Rn, restent positives et cela, malgré la non positivité de K.

Ces estimations se sont finalement révélées suffisantes pour généraliser la preuve de consistance aux noyauxK. Ces travaux, co-écrit avec Eric Bonnetier et Antonin Chambolle, ont été soumis.

Le cas d’anisotropies non convexes a aussi été abordé. De la non convexité résulte un certain nombrede complications car le périmètre anisotrope associé n’est pas semi-continu inférieur et la notion mêmed’évolution d’interfaces par courbure moyenne anisotrope n’est pas clairement définie. D’un point de vueapproximation champ de phase, contrairement au laplacien anisotrope 4φ qui possède un caractère "ford-ward backward parabolic" lié à la non convexité de l’anisotropie, l’opérateur 4φ conserve lui de bonnespropriétés. L’utilisation de cet opérateur peut être ainsi interprétée comme une régularisation du modèleoriginal.

Les simulations numériques obtenues (voir figure ci-dessous) par nos algorithmes montrent notamment desinterfaces dont l’évolution correspondrait au flot de gradient d’une énergie composé du périmètre anisotropeet de termes d’ordre supérieur comme des énergies de courbure. L’utilisation de notre opérateur pourraitdonc permettre, par l’intermédiaire d’un algorithme de Bence Merriman Osher, de donner une définitionpropre de mouvement par courbure moyenne anisotrope non convexe. Ces travaux, présentés dans le sep-tième chapitre du manuscrit de thèse, seront prochainement soumis à publication.

Exemple de mouvement par courbure moyenne anisotrope non convexe

Curvelets pour le cas d’anisotropies avec dépendance spatiale.

Une troisième partie de thèse concerne la généralisation de la linéarisation de l’opérateur 4φ par rapportà la base de Fourier lorsque l’anisotropie utilisée φo(x, ξ) dépend maintenant de la localisation spatialex. Nous avons alors cherché à linéariser cet opérateur par rapport à une nouvelle base dont les élémentsseraient suffisamment localisés à la fois en fréquence (comme les éléments de Fourier) mais aussi en es-pace, afin de traiter la dépendance spatiale en x. L’utilisation des ondelettes a alors été envisagée, maisces base d’analyses multirésolution n’étaient pas suffisament localisées en fréquences. Nous nous sommesalors dirigés vers le frame de curvelets, vérifiant une échelle parabolique et présentant de meilleurs pro-priétés que les ondelettes pour une telle démarche. Nous avons alors généralisé le concept de curvelet en

donnant la construction d’une nouvelle famille d’ondelettes géometriques, les β-curvelets, et pour lequels,nous établissons un résultat d’approximation non linéaire. Ce travail est une généralisation du résultatd’approximation non linéaire obtenu par Candès et Donoho [CD00].

Travaux effectués après la thèse

Minimisation de l’energie de Willmore sous contrainte :

A la suite de ma thèse, j’ai commencé une collaboration avec Jacques-Olivier Lachaud et Edouard Oudet surdes problèmes d’approximation d’objets discrèts. Le but est ici de déterminer une "bonne" approximationd’un ensemble Ω0, à partir d’une pixélisation Ωa de ce dernier. Les propriétés de pixélisation nous permettentde définir, à partir de Ωa, deux ensembles notés Ω1 et Ω2 qui vérifient les inclusions Ω1 ⊂ Ω0 ⊂ Ω2. Unesolution consiste alors à choisir, parmi les Ω vérifiant la contrainte Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2, l’ensemble Ω∗ quiminimise l’énergie de Willmore :

Ω∗ = argmin

ˆ∂Ωκ2dσ ; Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2,

où κ représente la courbure à l’interface.

Ω1

Ω2

Etape de pixélisation

Nous avons alors comparé trois méthodes numériques différentes pour l’approximation de la solution Ω∗,dont l’une d’elles, est basée sur une approche de type champs de phase. Plus précisément, une approxi-mation de l’énergie de Willmore

´∂Ω κ

2dσ est donnée (voir les travaux "On a modified conjecture of DeGiorgi" de Roger et Schatzle) par

Fε(u) =ˆ

Rd

1ε

[ε∆u− 1

εW ′(u)

]2dx.

Nous avons alors pris en compte la contrainte Ωint ⊂ Ω ⊂ Ωext par pénalisation, en considérant, commepour le traitement de conditions de bord, les potentiels pénalisésWΩ1,Ω2 . Les résultats numériques obtenusindiquent de bonnes stabilités de la méthodes par champ de phase. Ce travail a fait l’objet d’un articleaccepté à JMIV.

Exemple numérique, Ωa et Ω∗ obtenu par une approximation champ de phase

Travaux effectués en post-doc

J’effectue actuellement un post-doc au CMAP sous la direction d’Habib AMMARI, financé par un projetDIGITEO île de France, et en collaboration avec les équipes de recherche du CEA LIST et du LRI. Dansce projet, le CMAP est essentiellement concerné par le déploiement d’algorithmes itératifs pour l’inversionde la tranformée de Radon sphérique avec ou sans atténuation.La transformée de Radon sphérique est définie par

RΩ[f ](y, r) =ˆSrf(y + rξ)dσ(ξ), (y, r) ∈ ∂Ω× R+,

où S représente la sphère unité. Nous avons porté un intérêt tout particulier à cette transformée car elleintervient naturellement dans la détection de source en photo-acoustique : la problèmatique consiste àreconstruire une pression initiale p0 à partir des mesures des pression p(y, t) sur le bord d’un domaine Ω,où p est solution de l’équation des ondes

1c20∂ttp−∆p = p0∂tδt, dans Ω× R+.

comme par exemple en dimension 2 avec Lorsque Ω est un cercle de rayon 1, il existe, comme pour latransformée de Radon classique, des formules d’inversion [FPR04, Kun06, Ngu09] de type rétroprojection :

p0(x) = 14π2R

∗ΩBRΩ[p0](x),

où R∗Ω est l’adjoint de RΩ,R∗Ω[g](x) =

ˆ∂Ωg(y, |y − x|)dσ(y),

et B est un filtre défini par

B[g](x, t) =ˆ 2

0

d2g

dr2(y, r)ln(|r2 − t2|)dr.

.

Application dans le cas de données tronquées, atténuées

Dans les situations idéales, les formules précédentes permettent de bien reconstruire la source initialep0, ce qui n’est plus le cas lorsque les données g(y, t) = p(y, t) deviennent limitées. Nous nous sommesalors intéressés au problème de minimisation suivant

p0 = argmin‖Q (RΩ[x]− g) ‖2L2(Ω) + η‖∇x‖l1(Ω),

,

où η‖∇x‖l1(Ω) est un terme de régularisation de type variation totale et Q est un préconditionneur. D’unpoint de vue numérique, nous avons utilisé l’approche de Beck et Teboulle [BT09] ainsi qu’un algorithmePrimal-Dual pour traitement du terme de régularisation TV. Finalement, nous avons observé qu’un choixjudicieux de Q, explicite à partir du filtre B, permettait aussi d’accélérer encore un peu plus ces algorithmesde minimisation.

Un enjeu important concerne aussi la correction du phénomène d’atténuation qui apparaît naturellementdans toutes applications physiques où la pression p devient solution d’une équation des ondes atténuées.Un modèle couramment utilisé est par exemple le modèle thermo-visqueux, qui s’écrit

∂ttpa −∆pa − a∂t∆pa = p0∂tδt,

où a représente un coefficient d’atténuation. Lorsque a est constant, il est alors possible de relier l’ondeidéale p en fonction de l’onde atténuée pa, sous la forme pa = Lp, où L est un opérateur d’atténuationqui s’explicite dans le cas thermo-visqueux par

Lφ(y, t) =ˆ

R

ˆR+

1√1 + 2iπaω

φ(y, s) exp(

2iπs ω√1 + iaω

)exp (2iπωt) dsω.

La correction de l’atténuation peut alors s’effectuer en inversant la relation pa = Lp puis en utilisant lesalgorithmes d’inversion de la tranformée de Radon sphérique. Mais une des difficultés vient de l’opérateurL, qui est mal conditionné et qui rend cette stratégie délicate.

Nous avons alors étudié précisément les propriétés de l’opérateur L et nous avons introduit un développe-ment asymptotique de ce dernier par rapport au coefficient d’atténuation a ( supposé petit en pratique )sous la forme

Lφ =k∑j=0

ajLkφ+ o(ak).

Ce développement nous a ainsi permis d’obtenir des approximations asymptotiques de l’inverse de L eno(ak), afin de reconstruire l’onde idéale p à partir de l’onde atténué pa.

Ce travail a fait l’objet d’un chapitre de livre co-écrit avec H. Ammari, V. Jugnon, et A. Wahab.

Plus récemment, nous venons d’écrire un preprint présentant une adaptation de ce travail pour les al-gorithmes de type renversement temporel. L’intérêt vient d’une plus grande flexibilité de ces méthodescontrairement à l’utilisation de transformée de Radon sphérique, qui ne traite pas le cas de coefficientd’atténuation a(x) non constant ou encore l’utilisation d’un domaine Ω quelconque.

Cas d’ondes elastiques atténuées

Nous nous sommes aussi intéressés à la correction d’effets d’anisotropie pour le cas d’ondes elastiques.Ces modèles sont en effet plus précis que les modèles d’ondes acoustiques lorsque l’on regarde l’évolutiond’ondes dans la plupart des matériaux. L’équation s’écrit maintenant

ρ∂2u

∂t2− (λ+ µ)∇(∇ · u)− µ∆u = F,

où λ et µ représente les coefficients de Lamé. Un modèle visquo-elastique classique s’écrit de plus

ρ∂2ua∂t2

− (λ+ µ)∇(∇ · ua)− µ∆ua − (ηs + ηp) ∂t∇(∇ · ua)− ηs∂t∆u = F,

où ηp et ηs sont les coefficients d’atténuation. Afin d’établir une relation simple entre u et ua, nous avonstout d’abord explicité une expression fonction de Green Gηs,ηp , obtenue à partir d’une décomposition deHodge de l’onde u. Puis, en se restreignant au cas où λ → ∞, ce qui correspond à négliger les onde depression, nous avons enfin réussi à expliciter un opérateur d’atténuation L satisfaisant ua = Lu. Ce travaila été co-écrit avec A. Wahab et L. Guadarrama Bustos.

Nous venons aussi de terminer avec A. Wahab une généralisation de ce travail pour le cas d’équationsdes ondes élastiques anisotropes visqueuses, où nous donnons une expression explicite de la fonction Greenpour des cas particuliers d’anisotropies relativements simples.

Cas de milieux aléatoires

Généralement, lorsque l’on cherche à reconstruire des sources à partir de mesures des solutions des équationsd’ondes

∂ttp− c(x)2∆p = 0,

les vitesses d’onde c(x) sont rarement connues explicitement. Les méthodes d’imagerie n’utilisent générale-ment qu’une approximation c0 de ces dernières, ce qui génère en pratique beaucoup d’instabilité. C’estnotamment le cas pour la transformée de Radon sphérique,

I(x) = R∗Ω[q](x) =ˆ∂Ω

ˆRq(y, ω) exp (−iω|x− y|) dωdσ(y), où q = BW[p],

où le rapport signal sur bruit est très faible.

Une technique de stabilisation, les "Coherent Interferometry Algorithms", consiste alors à rétroprojeter, nonpas le signal filtré mais une corrélation de celui-ci. Cette technique de reconstruction s’écrit pour le cas dela transformée de Radon sphérique sous la forme,

I2(x)=ˆ∂Ω

ˆ∂Ω

ˆR

ˆR

exp(−(ω1 − ω2)2/(2Ω2d)) exp(−(y1 − y2)2/(2X2

d))

q(y1, ω1) exp (−iω1|x− y1|) q(y2, ω2) exp (−iω2|x− y2|)dω1dω2dσ(y1)dσ(y2),

où Ωd et Xd représentent deux paramètres de stabilisation.

A noter que lorsque ces paramètres Ωd et Xd tendent vers +∞, alors I2(x)→ I(x)2 et, plus ces paramètressont petits, plus la reconstruction est stable mais aussi moins précise.

Dans un article écrit (soumis) avec H. Ammari, J. Garnier et V. Jugnon, nous présentons une analyse destabilité de cette méthode de reconstruction ainsi que des résultats numériques qui témoignent de l’intérêtde cette approche. Plus précisément, l’analyse de stabilité est basée sur le modèle de vitesse c(x) suivant

1c(x)

= 1c20

(1 + σcµ

(x

xc

)),

où µ est un processus Gaussien normalisé de covariance

E[σcµ

(x

xc

)σcµ

(x′

xc

)]= σ2

c exp(−2|x− xc|2

2x2c

),

et xc représente une longueur caractéristique de corrélation du bruit. L’intérêt de ce formalisme est depouvoir estimer directement les espérances et variance des intégrales I(x) et I2(x).

Projet de recherche

Evolution d’interfaces

J’ai développé dans mes travaux de thèse un ensemble d’outils numériques pour la simulation de mou-vements d’interfaces. J’ai notamment proposé de nouvelles techniques pour le traitement d’énergie desurfaces, de condition de contact ou encore de conservation de volume.

Dans un premier temps, certains de ces modèles mériteraient une attention suppplémentaire, comme parexemple :

Le cas de mouvement par courbure moyenne conservé

Les tests numériques montrent que l’équation

ut = 4u− 1ε2W′(u) + 1

ε2

´W′(u(t, x))dx´ √

2W (u(t, x))dx

√2W (u(t, x)), (2)

converge avec un ordre d’erreur enO(ε2 ln(ε)2). Pour l’établir rigoureusement, on ne peut utiliser l’argumentusuel du principe de comparaison (à cause du terme non local). Très récemment (Mars 2009), Xinfu Chen,Danielle Hilhorst et Elisabeth Logak ont donné une preuve de convergence de l’équation

ut = 4u− 1ε2W′(u) + 1

ε21|Q|

ˆQW′(u(t, x))dx,

vers le mouvement par courbure moyenne conservé, sans utiliser ce principe de comparaison. On pourraitessayer d’adapter cette preuve dans le cas de l’équation (2) et essayer de retrouver l’ordre de convergenceen O(ε2 ln(ε)2) observé numériquement.

Modèles de croissance cristalline

Nous avons introduit un opérateur de diffusion anisotrope linéaire pour l’approximation de mouvement parcourbure moyenne anisotrope. Il devrait être intéressant de l’utiliser pour d’autres modèles de croissancecristalline, comme ceux par exemple qui décrivent l’évolution de croissance de dendrites [KWJ98]. Dansce cas, les modèles de champ de phase sont relativement simples et s’écrivent comme un couplage d’uneéquation d’Allen Cahn anisotrope avec un champ de température. L’avantage serait ici de pouvoir traiter,grâce à l’utilisation de cet opérateur, le cas d’anisotropies non convexes. Nous pourrions ainsi analyser etmieux comprendre l’influence de ce type d’anisotropies sur l’évolution de dendrites. La figure ci-dessousprésente deux simulations numériques de croissance de dendrites obtenues avec notre opérateur de diffusionanisotrope linéarisé ∆φ.

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

Exemple de croissance de dendrites

Simulations de cellules biologiques

Enfin, j’aimerais aussi m’intéresser à la simulation numérique d’évolution de cellules biologiques. Plusieursmodèles de champ de phase ont en effet été récemment introduit [DLW04, BKM05] pour étudier le com-portement de vésicules et de globules rouges dans un écoulement fluide. Ces modèles font intervenir uncouplage fluide structure et les formulations champ de phase permettent d’intégrer toutes sortes d’énergiesde surface à l’interface des cellules. Un de mes objectifs serait d’exploiter pour ces modèles, les variantesde traitement des conservations de masse, de conditions de contact ou encore d’énergies de courbure quej’ai introduit dans mes travaux antérieurs. Nous pourrions ainsi obtenir des algorithmes numériques plusefficaces.

Approximation d’images et de surfaces à l’aide d’une énergie de courbure

Modèles multiphases pour l’approximation d’images pixélisées

Un des avantages des méthodes de champs de phase est d’être particulièrement bien adaptées aux problèmesmultiphases. Nous avons présenté dans un premier travail avec J.O. Lachaud et E. Oudet une méthodenumérique pour l’approximation d’objets pixélisés. Une extension de ce travail consisterait à reconstruiredes images plus complexes et composées de plusieurs couleurs. A chaque couleur sera associée une fonctionφi solution d’une équation de champs de phase. En ajoutant une contrainte de la forme

∑φi = 1, toutes

ces équations seront couplées afin d’assurer qu’à chaque point de l’image soit associé une unique couleur.Les premiers tests numériques (voir ci-dessous) sont assez concluants, et mériteraient d’être comparés auxtechniques plus classiques développées en traitement d’image.

Exemple d’approximation d’une image 3 couleurs :

Energie de courbure et reconstruction de surface 3D

Un autre axe de recherche serait d’analyser plus précisément le potentiel de l’énergie de Willmore commeterme de régularisation pour la reconstruction de surfaces 3D à partir de données tronquées. Nous avonsdéjà abordé le cas lié à une pixélisation, et nous souhaitons maintenant généraliser ces techniques envue d’applications à d’autres types de limitation de données. Nous avons par exemple déjà testé cetteapproche pour le post-traitement de données issues d’IRM. Dans ce contexte, les données représententdes coupes 2D du cerveau, et l’objectif est de reconstruire des surfaces 3D à partir d’un nombre limité decoupes. La technique consiste alors à minimiser l’énergie de Willmore (approché par la méthode de champde phase) couplée avec des termes d’attaches aux données, forçant la surface reconstruite à coïncideravec l’information issue des données. La figure suivante présente un test préliminaire, témoignant du fortpotentiel de cette démarche. A gauche sont représentés les coupes 2D et à droite la reconstruction obtenuepar minimisation de Willmore.

Exemple d’approximation 3D d’une surface à partir d’un nombre limité de coupes 2D.

(3) Imagerie, problème inverse et régularisation

Depuis le début de mon post-doc, je m’intéresse à différentes techniques d’imagerie liées aux équations desondes. Nous avons déjà abordé un certain nombre de méthodes, parmi lesquelles, la transformée de Radonsphérique, les techniques de renversement temporel ou encore les "Coherent Interferometry Algorithms".

Un grand nombre de questions restent liées à l’adaptation de ces algorithmes pour des modèles d’ondesplus générales, prenant en compte de l’anisotropie, de l’atténuation ou encore de la non linéarité dans lesmodèles d’ondes. Par exemple, le cas d’atténuation a déjà été traité mais uniquement pour des atténua-tions constantes : un projet future serait donc d’adapter notre démarche à des atténuations variables. Demême, nous avons déjà abordé la question de l’anisotropie en explicitant dans des cas particuliers seulementl’expression des fonctions de Green, et une généralisation de ce travail pourrait être envisagé par la suite.

Par ailleurs, beaucoup de questions en imagerie medicale conduisent à des problèmes inverses mal posésqui nécessitent des techniques de régularisation. Or le modèle de régularisation influence énormément lareconstruction de la solution recherchée et celui-ci doit être choisi avec précaution. Précédemment, pour leproblème de données tronquées issues de la transformée de Radon sphérique, nous avions observé qu’unerégularisation de type TV permettait de mieux reconstruire la solution par rapport à une régularisationquadratique plus classique. Des questions qui pourront donc m’intéresser par la suite seraient de couplerdes techniques d’imagerie médicales avec des algorithmes de régularisation plus sophistiqués développés entraitement d’image, afin de stabiliser ces méthodes tout en dégradant le moins possible leurs reconstructions.J’ai déjà eu l’occasion en thèse de travailler sur des problèmes liés aux ondelettes et aux curvelets etplus récemment sur différents algorithmes pour la minimisation de ROF. Il pourrait être aussi intéressantd’essayer d’utiliser des techniques d’imagerie non locales, dont les démarches semblent avoir des liens étroitsavec les stratégies de corrélation des algorithmes Cint (Coherent Interferometry Algorithms).

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