Lógica matemáticaContenido I 1 Encuadre 2 Proposiciones
Proposiciones simples y compuestas Terminos de enlace de
proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
3 Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
4 Proposiones logicas Valores de verdad de una proposicion Tablas
de verdad para &,∨,¬,⇒,⇔
Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional
Contenido II Bicondicional
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Tautologas y contradicciones Equivalencias logicas
5 Reglas de inferencia Definiciones basicas Reglas primitivas
Encuadre
Objetivo
Aplicar los conceptos de logica matematica, conjuntos y algebra
booleana en el analisis, planteamiento y solucion de problemas en
el area de Informatica.
Encuadre
Temas
Encuadre
Bibliografa
• Introduccion a la logica matematica. Suppes, Patrick; Hill,
Shirley. Reverte. 2004. • Matematicas discretas. Johnsonbaugh,
Richard. Prentice Hall.
1999, 4ª Edicion.
Encuadre
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i=0;i<ocgs.length;i++){if(ocgs[i].name=='MediaPlayButton0'){ocgs[i].state=false;}}
Encuadre
En una nacion republicana, cuyos ciudadanos deben ser guiados por
la razon y la persuasion y no por la fuerza, el arte del
razonamiento es de primordial importancia. -Thomas Jefferson
Encuadre
enganar nuestra percepcion, un argumento ingenioso puede enganar
nuestro pensamiento. • El buen razonamiento esta
basado en principios, pero cuando los violamos es muy probable que
seamos enganados –o que por descuido nos enganemos a nosotros
mismos- Figura: Cascada, M.C. Escher
Encuadre
Revisa
2a =a + b 2a − 2b =a + b − 2b
2(a − b) =a + b − 2b 2(a − b) =a − b
2 =1
Proposiciones
• Con el estudio de la logica se persigue llegar a ser preciso y
cuidadoso. • La logica tiene un lenguaje exacto • Se necesita de un
conjunto de reglas que sean perfectamente claras
y definidas y que esten libres de las vaguedades de nuestro
lenguaje.
Proposiciones
Proposiciones
• Son el material de nuestro razonamiento. • Una proposicion afirma
que algo es (o no es) el caso; Todas las
proposiciones son o verdaderas o falsas. • Es posible que la verdad
de algunas proposiciones nunca se conozca. • Ejemplo:
Existe vida en algun otro planeta
Proposiciones
• Las preguntas: • Las ordenes: • Las exclamaciones:
¿Por que? Por que no se pueden afirmar o negar. La verdad y la
falsedad siempre se aplican a las proposiciones, pero no se aplican
a las preguntas, ni a las ordenes ni a las exclamaciones.
Proposiciones
Dos oraciones diferentes pueden tener el mismo significado y usarse
para aseverar la misma preposicion.
Mara gano la eleccion La eleccion fue ganada por Mara
Proposicion Es el termino que utilizamos para referirnos a aquello
para lo que las oraciones declarativas se utilizan normalmente,
para aseverar.
El termino enunciado no es un sinonimo exacto de proposicion, pero
en logica se utiliza en el mismo sentido.
Proposiciones
Ejemplo 2.1 ¿Cuales de las siguientes son proposiciones?
1 La Tierra es no plana. 2 (2)(3) = 5 3 ¿Habla usted aleman? 4 3x +
4 = 0 5 Barra el piso. 6 La temperatura en la superficie solar es
de 100C. 7 El sol saldra manana.
Proposiciones
Solucion
(1) y (2) son proposiciones (3) es una pregunta, por lo que no es
una proposicion. (4) es una afirmacion declarativa, es verdadera o
falsa dependiendo del valor de x. (5) es una orden, no una
proposicion. (6) es una oracion declarativa que puede ser verdadera
o falso por lo que s es una proposicion. (7) es una proposicion,
verdadera o falsa. Habra que esperar hasta el da siguiente para
verificar su veracidad.
Proposiciones
Determine si es una proposicion o no 1 El 2 de febrero de 2009 fue
miercoles. 2 El codigo postal de Oscar, en Los Angeles, es 70762. 3
Escuchen, mis ninos, y oiran la cabalgata de medianoche de Paul
Revere. 4 Ceda el paso al peaton. 5 5+9=13 y 4-2=1 6 5+9=14 o 4-2=0
7 Algunos numeros son positivos 8 Porfirio Daz fue presidente de
Mexico en 1899. 9 Los accidentes son la principal causa de muertes
en ninos menores de 10 anos.
10 ¿A donde vas a ir manana? 11 Comportate y sientate. 12 Un litro
de leche pesa menos de un kilo.
Proposiciones Proposiciones simples y compuestas
Tipos de proposiciones
• Simple o atomica: Es aquella proposicion que solo hace una
aseveracion. • Hoy es lunes • La empresa trabaja de lunes a
sabado.
• Compuesta o molecular: Proposicion que contiene una o mas
proposiciones simples, utiliza terminos de enlace. • Hoy es lunes y
no hay clase • Apruebo el examen o presento examen
extraordinario.
La proposicion molecular se ha constituido con dos proposiciones
atomicas y el termino de enlace “y”.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Terminos de enlace
Las palabras de enlace son de gran importancia. Por ejemplo, el
termino de enlace en la proposicion
Hoy hay baile y manana entramos tarde a clases
es el termino y.
Terminos de enlace
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Identifica el termino de enlace
1 La luna no esta hecha de queso verde. 2 El viento arrastra las
nubes o llovera hoy con seguridad. 3 Si estamos en diciembre
entonces llegara pronto la Navidad. 4 El terreno es muy rico y hay
suficiente lluvia.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Escribe proposiciones dentro de los parentesis 1 O ( ) o ( ) 2 ( )
o ( ) 3 A la vez ( ) y ( ) 4 ( ) y ( ) 5 No ( ) 6 Si ( ) entonces (
) 7 Si ( ), ( ) 8 Si no ( ) entonces no ( ) 9 No ocurre que (
)
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.1 Utilizar el parentesis para poner de manifiesto la
forma de las siguientes proposiciones moleculares.
1 Juan esta aqu y Mara ha salido. 2 Si x+1=10 entonces x=9. 3 O
Mara no esta aqu o Juan se ha ido. 4 Si x=5 o y=2 entonces z=9. 5
Si x¿4 y z¿0, x+z¿4. 6 Si ella disparo el arma o el no usaba
chaleco antibalas entonces Jose esta muerto. 7 x = 1 y z = 2. 8 No
ocurre que 0 = 1. 9 Si xy = 0, o x = 0 o y = 0.
10 No ocurre que si x + 0 = 10 entonces x = 5.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.2 Senalar cada proposicion atomica con una A y cada
proposicion molecular con una M. Escribir junto a cada proposicion
el termino de enlace utilizado.
1 Mi hermano se caso en Colima. 2 Manana es domingo. 3 Mara es
menor de 18 anos, al igual que su amiga Alma. 4 La esposa de Pedro
adora los Bon Ice y los raspados. 5 Si Carlos Slim vende su
compana, entonces German Larrea sera
feliz. 6 Si Luisito Rey es bueno entonces el Chapo es inocente. 7
Tengo cuatro hermanos varones o tengo cuatro hermanas.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.3 Realizar el ejercicio 1 A, pagina 3-4 del libro de
Suppes P., Hill S. Primer curso de logica matematica.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Simbolizacion de proposiciones
El uso de smbolos en logica simplifica el manejo de las
proposiciones.
Usaremos letras mayusculas para representar proposiciones
como
A, B, P, Q, R , S, T
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Simbologa de proposiciones
Hace calor → P
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Simbologa de proposiciones
Esta manchado → P
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Simbologa de proposiciones
→
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Actividad 2.4 Simbolizar las proposiciones siguientes sustituyendo
las proposiciones atomicas por letras mayusculas. No utilizar V, F
ni C.
1 La comida sera hoy a las tres en punto. 2 El gran oso negro
andaba perezosamente por el camino de abajo. 3 La musica es muy
suave o la puerta esta cerrada. 4 A este perro grande le gusta
cazar gatos. 5 El pregunta por su pipa y pregunta por su escudilla.
6 Luis es un buen jugador o es muy afortunado. 7 Si Luis es un buen
jugador, entonces parcipara en el pardo del
colegio.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
8 California esta al oeste de Nevada y Nevada al oeste de Utah. 9
Muchos estudiantes estudian Logica en el primer ano de
carrera.
10 Los gatos no acostumbran a llevar mitones. 11 Si los gatos
llevan mitones, entonces los gatos pueden llevar
sombreros. 12 Se puede encontrar a Juana en casa de Susana. 13 A
las focas no les crece el pelo. 14 Si Mara canta, entonces es
feliz. 15 Los alumnos mayores no estan en la lista antes que los
jovenes. 16 La asignatura preferida de Jaime es Matemacas. 17 Si
aquellas nubes se mueven en esa direccion, entonces tendremos
lluvia.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
18 Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgaran.
19 Esta proposicion es atomica o es molecular. 20 El sol calentaba
y el agua estaba muy agradable.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Simbologa de terminos de enlace
Y Conjuncion &,∧, · O Disyuncion ∨, +, || Si . . . entonces . .
. Condicional ⇒, →,− > No Negacion ∼. ¬, !
Alt 170 ¬ Alt 126 ∼
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Actividad 2.5 Realizar los ejercicios 3B, 3C y 3D de las paginas 11
y 12 del libro de Suppes.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
Actividad 2.6 Simbolizar las proposiciones siguientes,
completamente, utilizando el smbolo logico correspondiente para los
terminos de enlace. Indicar la proposicion atomica que corresponde
a cada letra.
1 Juan vive en nuestra calle y Pedro en la manzana contigua. 2 Los
discos antiguos de Jose son buenos pero los modernos son
todava mejores. 3 Metio la nariz y ya saco tajada. 4 El sol
desaparece detras de las nubes y en seguida empieza a
refrescar.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
5 El reactor se elevaba a nuestra vista y dejaba tras s una fina
estela blanca.
6 Juana tiene trece anos y Rosa quince. 7 Jorge es alto y Andy es
bajo. 8 La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar
son
tambien equinodermos. 9 Hoy es da treinta y manana sera
primero.
10 El juego ha empezado y llegaremos tarde. 11 Si hace suficiente
fro, entonces el lago se helara. 12 Si las luces estan encendidas,
entonces la familia Alvarez esta en
casa.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de
enlace
13 Si dos pulsaciones se atraviesan, continuan conservando la forma
original.
14 Si pierde usted el autobus, entonces tendra que andar. 15 Si
usted se dirige hacia el norte, entonces llegara a Canada manana.
16 Si es un acido, entonces contiene el elemento hidrogeno. 17 Si
dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco. 18 Si x es
igual a dos, entonces x mas uno es igual a tres. 19 Si hoy es
siete, entonces el viernes es nueve. 20 Si su produccion crece,
entonces Juan podra estabilizar el precio.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Agrupamiento y parentesis
( ) & ( )
Una proposicion que no contenga &,∨,¬, no necesita colocarse
entre parentesis
((P) ∨ (Q)) &(R)
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
El metodo mas claro de poner de manifiesto la dominancia de un
termino de enlace es usar el termino en la forma gramatical mas
completa, ordinariamente compuesto de dos partes, una de las cuales
se escribe al principio de la proposicion molecular: • A la vez ( )
y ( ) • O ( ) o ( ) • Si ( ) entonces ( )
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Ejemplo Considerese la proposicion: O el esta equivocado y yo tengo
razon, o quedare sorprendido.
Poniendo parentesis:
O ( el esta equivocado y yo tengo razon), o quedare
sorprendido.
Simbolizando la proposicion:
(P&Q) ∨ S
Si el parentesis estuviera colocado en otra forma:
P&(Q ∨ S)
La expresion sera: A la vez el esta equivocado y yo tengo razon o
quedare sorprendido.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.7 Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes
es una conjuncion, por lo que el termino de enlace mayor o
dominante es y. Poner los parentesis adecuadamente para indicar que
y es dominante.
1 P ∨ Q&S 2 Q ∨ R&S 3 Q&R ∨ T 4 P ∨ R&R 5 R&P →
T
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.8 Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes
es una disyuncion. Poner los parentesis adecuadamente para indicar
que o es dominante.
1 P ∨ Q&S 2 Q ∨ R&S 3 Q&R ∨ T 4 P ∨ R&R 5 R ∨ P →
T
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Simbolizar las proposiciones matematicas siguientes: 1 Si x es
mayor que 3, entonces x es igual a 4 o x es igual a 5. 2 Si a la
vez x es menor que 5 y x es mayor que 3 entonces x es igual
a 4. 3 y = 5 y si x < y entonces x < 5. 4 O x es mayor que 6
y x es menor que 8 o x no es igual a 6. 5 Si x + 3 > 5 y y − 4
> 1 entonces x + y > 3.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Eliminacion de algunos parentesis
Regla 1 ⇒ es mas potente que los otros terminos de enlace.
• (P&Q)⇒ R se puede escribir simplemente como
P&Q ⇒ R
P ⇒ Q ∨ R
En la expresion (P ⇒ Q) ∨ R
no se puede eliminar el parentesis. La expresion
A⇒ (B ⇒ C) tiene un significado diferente de
(A⇒ B)⇒ C
Eliminacion de algunos parentesis
Regla 2 El signo de negacion ¬ es mas debil que cualquiera de los
otros tres terminos de enlace.
• (¬P)&Q se escribe ¬P&Q • P ∨ ( Q) se escribe P ∨ ¬Q •
(¬P)⇒ (¬Q) se puede escribir ¬P ⇒ ¬Q • Pero el parentesis es
necesario en la expresion ¬(P&Q).
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.9 Utilizando las reglas de prioridad sobre la potencia
de los smbolos, anadir los parentesis necesarios para que el
termino de enlace dominante sea el que se indica.
1 condicional P ⇒ Q ∨ R 2 disyuncion P ∨ Q&R 3 conjuncion R ⇒
S&T 4 negacion ¬R&S 5 condicional P ∨ Q ⇒ ¬R 6 negacion ¬P
⇒ Q 7 conjuncion A&B ⇒ C 8 disyuncion M ⇒ N ∨ P 9 negacion ¬P ∨
¬Q 10 conjuncion ¬A ∨ ¬B&¬C
Proposiones logicas Valores de verdad de una proposicion
Valores de verdad de una proposicion
Tal y como lo mencionamos antes, una proposicion afirma que algo es
(o no es) el caso; todas las proposiciones son o verdaderas (V) o
falsas (F).
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Negacion
La negacion de un enunciado verdadero lo vuelve falso, y la
negacion de un enunciado falso lo vuelve verdadero. Tabla de verdad
para la negacion:
P ¬P V F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Conjuncion
Dados dos enunciados cualesquiera, P y Q, solamente existen cuatro
grupos de valores de verdad posibles que puedan contener. Estos
cuatro casos posibles, y el valor de verdad de la conjuncion en
cada uno de ellos, pueden exponerse como sigue: • Donde P es
verdadera y Q es verdadera, P&Q es verdadera. • Donde P es
verdadera y Q es falsa, P&Q es falsa. • Donde P es falsa y Q es
verdadera, P&Q es falsa. • Donde P es falsa y Q es falsa,
P&Q es falsa.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para la conjuncion
P Q P&Q V V V V F F F V F F F F
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Disyuncion
La disyuncion de dos enunciados se forma al combinar dos
proposiciones con el termino de enlace “o”, dichos componentes se
llaman “disyuntos” (o “alternativas”). La palabra “o” tiene dos
significados. Por ejemplo: • Los recargos se cancelaran en caso de
enfermedad o desempleo. • Cuando en un restaurante dice en el menu
“cafe o postre”.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Disyuncion
Utilizaremos la “o” en el primer sentido, es decir, como disyuncion
inclusiva o debil. Una disyuncion de este tipo es falsa solo en el
caso de que ambos disyuntos son falsos. • Donde P es verdadera y Q
es verdadera, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es verdadera y Q es
falsa, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es falsa y Q es verdadera, P ∨
Q es verdadera. • Donde P es falsa y Q es falsa, P ∨ Q es
falsa.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para la disyuncion
P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Condicional
El enunciado componente que sigue al “si” se llama antecedente, y
el enunciado componente que sigue a “entonces” es el
consecuente.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para el condicional
P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Observe, la siguiente proposicion condicional:
Si x < 2, entonces x < 4
es verdadera para cualquier numero x sea cual sea. • Si 1 < 2,
entonces 1 < 4 • Si 3 < 2, entonces 3 < 4 • Si 4 < 2,
entonces 4 < 4
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Ejemplo 2.2 Determine si la proposicion es verdadera o falsa.
¬ [¬ (Estocolmo es la capital de Noruega ∨ Pars es la capital de
Francia) ∨ ¬ (¬Londres es la capital de Inglaterra&Roma es la
capital de Espana)]
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Bicondicional
El bicondicional es un termino de enlace que corresponde a la
expresion si y solo si. Se simboliza con ⇔. Por ejemplo, la
expresion
P ⇔ Q corresponde a la proposicion compuesta P si y solo si Q.
Tambien se conoce como doble implicacion o equivalencia.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para el bicondicional
P Q P ⇔ Q V V V V F F F V F F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
La tabla de verdad para el bicondicional se determina por la
conjuncion y el condicional.
P ⇔ Q significa lo mismo que (P ⇒ Q)&(Q ⇒ P)
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para
cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
En general, una proposicion compuesta puede tener muchas partes
componentes, siendo cada una de estas una proposicion por s misma,
representada por alguna variable proposicional. Si una proposicion
compuesta S contiene n proposiciones componentes, habra necesidad
de tener 2n renglones en la tabla de verdad para S. Esta tabla de
verdad puede construirse como sigue.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para
cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
I
Una tabla de verdad para una proposicion cualquiera puede
construirse como sigue: • Las primeras n columnas de la tabla estan
marcadas por las
variables proposicionales componentes. Se incluyen columnas
adicionales para todas las combinaciones intermedias de las
variables, y esto culmina en una columna con la proposicion
completa.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para
cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
II
• Bajo cada uno de los primeros n encabezados, se ha anotado las
2n
posibles n-tuplas de valores de verdad para las n proposiciones
componentes. • Para cada renglon se calcula, en secuencia, todos
los valores de
verdad restantes.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para
cualquier proposicion
Ejemplo 2.3
P Q R ¬P ¬P ∨ Q ¬R (¬P ∨ Q) &¬R
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para
cualquier proposicion
Ejemplo 2.4 Para el enunciado
(¬P&R) ∨ (¬Q&¬P)
• Elabore una tabla de verdad • Suponga que P es verdadero, Q es
falso y R verdadero. Obtenga el
valor de verdad de este enunciado.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para
cualquier proposicion
Ejemplo 2.5 Elabore la tabla de verdad para
1 (¬B&¬A) ∨ (¬A&C) 2 (¬P&Q) ∨ ¬Q
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Tautologas y contradicciones
Una proposicion que es verdadera para todos los valores posibles de
sus variables propositivas se denomina tautologa. Por
ejemplo:
P ∨ ¬P
Tautologas y contradicciones
A una proposicion que es falsa para todos los valores posibles de
sus variables propositivas se denomina contradiccion o falacia. Por
ejemplo:
P&¬P
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Proposiciones condicionales Si P y Q son proposiciones, a la
proposicion
P ⇒ Q
se le llama proposicion condicional o implicacion. La
proposicion
Q ⇒ P es la recproca de P ⇒ Q. La contrapositiva de P ⇒ Q es la
proposicion
¬Q ⇒ ¬P
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Ejemplo 2.6 De la recproca y la contrapositiva de la implicacion
“Si esta lloviendo entonces me mojo”.
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Calcule la tabla de verdad de la proposicion
(P ⇒ Q)⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Teorema 2.1 Cada una de las siguientes proposiciones es una
tautologa.
1 (P&Q)⇒ P 2 (P&Q)⇒ Q 3 P ⇒ (P ∨ Q) 4 Q ⇒ (P ∨ Q) 5 ¬P ⇒ (P
⇒ Q) 6 ¬(P ⇒ Q)⇒ P 7 (P&(P ⇒ Q))⇒ Q 8 (¬P&(P ∨ Q))⇒ Q 9
(¬Q&(P ⇒ Q))⇒ ¬P
10 ((P ⇒ Q)&(Q ⇒ R))⇒ (P ⇒ R)
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Actividad 4.10 Verifica que cada una de las proposiciones en el
Teorema 2.1 es una tautologa.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Equivalencias logicas
Se dice que P y Q son logicamente equivalentes si P ⇔ Q es una
tautologa. Se denota P es equivalente a Q por P ≡ Q. Por ejemplo P
⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P, pues
(P ⇒ Q)⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
1 P ∨ Q ≡ Q ∨ P 2 P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Conmutativas • P ∨ Q ≡ Q ∨ P • P&Q ≡ Q&P
Asociativas • P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R • P&(Q&R) ≡
(P&Q)&R
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Propiedades
Distributivas • P ∨ (Q&R) ≡ (P ∨ Q)&(P ∨ R) • P&(Q ∨ R)
≡ (P&Q) ∨ (P&R)
Idempotentes • P ∨ P ≡ P • P&P ≡ P
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Propiedades
Negacion
1 ¬(¬P) ≡ P 2 ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P)&(¬Q) 3 ¬(P&Q) ≡ (¬P) ∨
(¬Q)
En ocasiones se hace referencia a la propiedad 1 como la doble
negacion. Las propiedades 2 y 3 de la negacion se llaman leyes de
De Morgan.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Actividad 4.11 Demostrar todas las propiedades anteriores de las
equivalencias logicas.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Leyes de absorcion
1 P ∨ (P&Q) ≡ P 2 P&(P ∨ Q) ≡ P 3 (P&Q) ∨ ¬Q ≡ P ∨ ¬Q 4
(P ∨ Q)&¬Q ≡ P&¬Q
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Si T es una tautologa y M es una contradiccion 1 (T &P) ≡ P 2
(T ∨ P) ≡ T 3 (M&P) ≡ M 4 (M ∨ P) ≡ P
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Teorema 2.2 1 (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q) 2 (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P) 3 (P ⇔ Q) ≡
(P ⇒ Q)&(Q ⇒ P) 4 ¬(P ⇒ Q) ≡ (P&¬Q) 5 ¬(P ⇔ Q) ≡ (P&¬Q)
∨ (Q&¬P)
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Definiciones basicas
Turnstile El smbolo ` se conoce como turnstile o torniquete.
Secuencia Un numero de proposiciones separadas (que corresponden a
las premisas de un argumento), por comas y seguidas por ` en modo
horizontal o bien, en renglones y seguidas por una lnea
horizontal.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Ejemplo 3.1 P&Q → R, ¬R&P ` ¬Q
P&Q → R ¬R&P ¬Q
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Prueba o demostracion Es una secuencia de lneas que contienen
proposiciones. Cada proposicion es una suposicion o el resultado de
aplicar una regla de demostracion a proposiciones previas en la
secuencia.
Anotacion A la derecha de cada proposicion hacemos una anotacion
que especifica la regla de demostracion que se aplico y a cuales
proposiciones previas para conducir a la proposicion dada.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Conjunto de suposiciones Contiene a las suposiciones en las cuales
la proposicion dada depende.
Numero de lnea A la izquierda, escribimos el numero de lnea de la
prueba.
Prueba para argumento dado Es una prueba cuya ultima proposicion es
la conclusion del argumento y depende unicamente en las premisas
del argumento.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Ejemplo 3.2 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion
Anotacion
1,2 (7) P → Q&R 6→ I(3)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Reglas primitivas
Suposicion Se supone cualquier proposicion. Anotacion: Sup Conjunto
de suposiciones: El numero de lnea
Nota: Cualquier cosa se puede suponer en cualquier momento. Algunas
suposiciones son utiles y otras no.
Ejemplo 3.3 1 (1) P ∨ Q Sup
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Conjuncion
Dadas dos proposiciones en las lneas m y n, concluimos una
conjuncion de ellas. Anotacion: Conj(m, n) Conjunto de
suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.4 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion
Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 1,2 (3) P&Q Conj(1,2) 1,2 (4)
Q&P Conj(1,2) 1 (5) P&P Conj(1,1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.5 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion
Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 1,2 (3) P&Q Conj(1,2) 1,2 (4)
Q&P Conj(1,2) 1 (5) P&P Conj(1,1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Simplificacion
Dada una proposicion que es una conjuncion en la lnea m, concluimos
cualquiera de las proposiciones que forman la conjuncion.
Anotacion: Simp(m) Conjunto de suposiciones: Las mismas que
en la lnea m
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.6 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion
Anotacion 1 (1) P&Q Sup 1 (2) Q Simp(1) 1 (3) P Simp(1)
Ejemplo 3.7 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion
Anotacion 1 (1) P&(Q → R) Sup 1 (2) Q → R Simp(1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Adicion
Dada una proposicion en la lnea m, concluimos cualquier disyuncion
que la tenga como disyunto. Anotacion: Ad(m) Conjunto de
suposiciones: El mismo que en
la lnea m.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.8 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1)
P Sup 1 (2) P ∨ Q Ad(1) 1 (3) (R ↔ ¬T ) ∨ P Ad(1)
Ejemplo 3.9 1 (1) Q → R Sup 1 (2) (Q → R) ∨ (P&¬S) Ad(1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Modus Tollendo Ponens
Dada una proposicion en la lnea m que es una disyuncion y otra
proposicion en la lnea n que es una negacion de uno de sus
disyuntos concluimos el otro disyunto. Anotacion: MTP(m, n)
Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
El orden de m y n es irrelevante.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.10 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P ∨ Q Sup 2 (2) ¬P Sup 1,2 (3) Q MTP(1,2)
Ejemplo 3.11 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P ∨ (Q → R) Sup 2 (2) ¬(Q → R) Sup 1,2 (3) P MTP(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.12 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P ∨ ¬R Sup 2 (2) R Sup 1,2 (3) P MTP(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Prueba condicional
Dada una proposicion en la lnea n, concluimos un condicional que la
tiene como consecuente y cuyo antecedente aparece en la prueba como
una suposicion en la lnea m. Anotacion: PCond(m→ n) Conjunto de
suposiciones: Las suposiciones en la lnea n
a excepcion de m. El antecedente debe estar presente en la prueba
como una suposicion. Las lneas m y n podran ser las mismas.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.13 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) ¬P ∨ Q Sup 2 (2) P Sup 1,2 (3) Q MTP(1,2) 1 (4) P → Q PCond(2→
3)
Ejemplo 3.14 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P Sup
(2) P → P PCond(1→ 1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.15 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) R Sup 2 (2) P Sup 2 (3) P → R PCond(2→ 1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Modus Ponendo Ponens
Dada una proposicion condicional en la lnea m y otra proposicion
condicional que es el antecedente en la lnea n, concluimos el
consecuente del condicional. Anotacion: MPP(m, n) Conjunto de
suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.16 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P → Q Sup 2 (2) P Sup 1,2 (3) Q MPP(1, 2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Reduccion al absurdo Dadas tanto una proposicion como su negacion
en las lneas m y n, concluimos la negacion de alguna suposicion que
aparezca en la prueba en la lnea k . Anotacion: RAA(m, n)k Conjunto
de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n excluyendo k
La proposicion en la lnea k es conocida como la suposicion de
reduccion. La conclusion debe ser la negacion de esta. Las
proposiciones en las lneas m y n deben ser la negacion una de la
otra.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.17 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P → Q Sup 2 (2) ¬Q Sup 3 (3) P Sup 1,3 (4) Q MPP(1, 3) 1,2 (5)
¬P RAA(2, 4)3
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.18 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P ∨ Q Sup 2 (2) ¬P Sup 3 (3) ¬P → ¬Q Sup 2,3 (4) ¬Q MPP(2, 3)
1,2,3 (5) P MTT(1, 4)3 1,3 (6) P RAA(2, 5)2
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.19 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P Sup 2 (2) Q Sup 3 (3) ¬Q Sup 2,3 (4) ¬P RAA(2, 3)1
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Bicondicional
Dadas dos proposiciones condicionales con las formas P → Q y Q → P
en las lneas m y n, concluimos un bicondicional con P en un lado y
Q en el otro. Anotacion: Bicon(m, n) Conjunto de suposiciones: La
union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.20 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P → Q Sup 2 (2) Q → P Sup 1,2 (3) P ↔ Q Bicon(1,2) 1,2 (4) Q ↔
P Bicon(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Separar el bicondicional
Dado una proposicion bicondicional P ↔ Q, concluimos ya sea P ↔ Q o
Q ↔ P. Anotacion: SBicon(m) Conjunto de suposiciones: El conjunto
de
suposiciones en la lnea m.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.21 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1
(1) P ↔ Q Sup 1 (2) Q → P SBicon(1) 1 (3) P → Q SBicon(1)
Encuadre
Proposiciones
Simbología de proposiciones y de los términos de enlace
Términos de enlace dominante
Tablas de verdad para &,,,,
Tautologías y contradicciones