Dr. Zombory László Elektromágneses terek - …mkkonyvkiado.hu/wp-content/uploads/2015/04/Dr_Zombory_Laszlo_Ele… · © Hungarian edition M őszaki Könyvkiadó Kft., Budapest,

Hungarian edition Mszaki Knyvkiad Kft., Budapest, 2008

Minden jog fenntartva. 1

Dr. Zombory Lszl

Elektromgneses terek



Dr. Zombory Lszl




Dr. Zombory Lszl


Mszaki Kiad, Budapest, 2008



Kempelen Farkas Felsoktatsi Digitlis Tanknyvtr vagy ms ltal kzreadott digitlis tartalom a szerzi jogrl szl 1999. vi LXXVI. tv. 33. (4) bekezdsben meghatrozott oktatsi, illetve tudomnyos kutatsi clra hasznlhat fel. A felhasznl a digitlis tartalmat kpernyn megjelentheti, letltheti, elektronikus adathordozra vagy paprra msolhatja, adatrgzt rendszerben trolhatja. A Kempelen Farkas Felsoktatsi DigitlisTanknyvtr vagy ms weblapjn tallhat digitlis tartalmak zletszer felhasznlsa tilos, valamint kizrt a digitlis tartalom mdostsa s tdolgozsa, illetve az ilyen mdon keletkezett szrmazkos anyag tovbbi felhasznlsa is. A jelen digitlis tartalom internetes kzreadst a Nemzeti Kutatsi s Technolgiai Hivatal 2009-ben nyjtott tmogatsa tette lehetv.

Szakmai lektor: Dr. Veszely Gyula Nyelvi lektor: Krsz Katalin Szerkesztette: Ling Jnos Dr. Zombory Lszl, 2008 Hungarian edition Mszaki Knyvkiad Kft., 2008 Kiadja a Mszaki Knyvkiad Kft. Felels kiad: Orgovn Katalin gyvezet igazgat Felels szerkeszt: Ling Jnos A knyv formtuma: A4. Terjedelme: 31,375 (A5) v e-mail: [email protected] www.muszakikiado.hu



TARTALOMJEGYZK ELEKTROMGNESES TEREK BEVEZETS 1. AZ ELEKTROMGNESES TEREK ALAPVET SSZEFGGSEI A tlts. Az elektromos tr Mozg tltsek, az ram Az idbeli vltozs A kzegek hatsa a tr szerkezetre Maxwell-egyenletek Gauss-ttel Stokes-ttel Mi jellemz a Maxwell-egyenletekre? Energiasrsg s energiaramls A Maxwell-egyenletek egyrtelm megoldhatsga Az elektrodinamika felosztsa a Maxwell-egyenletek alapjn 1. Idtl fggetlen jelensgek 2. Idfgg jelensgek A Maxwell-egyenletek tiszta szinuszos idbeli vltozs esetn A Poynting-vektor szinuszos idfggs esetn



2. AZ ELEKTROMGNESES TR S KZEG KLCSNHATSA A diplus A diplus alkalmazsa A kzegek hatsa a trre

Trjellemz vektorok a kzegek hatrn

A trvektorok trstrvnyei 3. ELEKTROSZTATIKA S STACIONRIUS RAMLSI TR Poisson-egyenlet, Laplace-egyenlet, Coulomb-potencil A fmelektrdk tere Az elektrosztatika egyenleteinek egyrtelm megoldsa Kapacits. Az elektrosztatikus tr energija Kondenztorok Rszkapacitsok Stacionrius ramlsi tr 4. STACIONRIUS RAM MGNESES TERE Vonalszer vezetkben foly ram tere Mgneses skalrpotencil

Stacionrius ramok mgneses tere kzeg jelenltben Magnetosztatika. Permanens mgnesek A mgneses tr energija, n- s klcsns induktivits Klcsns indukci, nindukci



5. SZTATIKUS, STACIONRIUS FELADATOK MEGOLDSI MDS ZEREI Analitikus megoldsok

Ismert tltseloszls tere homogn kzegben

Fmelektrdok homogn izotrp kzegben

Helyettest tltsek mdszere Integrlegyenletek mdszere Parcilis differencilegyenletek Varicis formalizmus Numerikus mdszerek A vges differencik mdszere A vges elemek mdszere Momentumok mdszere Elektrosztatikai feladatok vltoz esetn

Analitikus megoldsok Numerikus mdszerek Tovbbi feladatok Mgneses tr szmtsa vektorpotencilbl Parcilis differencilegyenlet Varicis formalizmus lland mgnesek 6. KONCENTRLT PARAMTER HLZATOK Egyenram hlzatok Tetszleges idfggs hlzatok



7. TVVEZETKEK Elosztott paramter hlzatok A tvregyenletek megoldsa szinuszos gerjeszts esetn Specilis tvvezetkek Idelis vezetk Kis csillapts vezetk Torztsmentes vezetk Fzis- s csoportsebessg Lezrt tvvezetk Klnleges lezrsok Hullmimpedancia Rvidzr Szakads Idelis vezetkszakasz sszetett vezetkhlzatok Idelis vezetk specilis lezrssal Hullmimpedancia Rvidzr Szakads Tiszta reaktns lezrs ltalnos lezrs Tvvezetkek illesztse Illeszt ktkapuk 1. Soros reaktancia 2. Prhuzamos reaktancia



3. Illeszts kt csonkkal 4. Illeszts transzformtorral Tvvezetk-rezgkr Tvvezetkek idtartomnybeli vizsglata 1. Kezdetirtk-feladat 2. Peremrtk-feladat 3. Kezdetirtk- s peremrtk-feladat A menetdiagramok mdszere ltalnos tranziensek 8. ELEKTROMGNESES HULLMOK KELTSE A Hertz-diplus sugrzsa A Hertz- diplus tvoli tere A tvoli tr legfontosabb tulajdonsgai A kisugrzott teljestmny A Fld hatsa a tr kialakulsra Kzpen tpllt egyenes huzalantennk tere 9. ELEKTROMGNESES HULLMOK TERJEDSE Skhullmok A skhullmok tvvezetkmodellje A skhullmok vezet kzegben



10. CSTPVONALAK, REGREZONTOROK Fzissebessg, diszperzi, hatrfrekvencia A mdusfggvnyek A cstpvonalban halad teljestmny Cshullmok tglalap keresztmetszet csvekben Nyitott hullmvezetk regrezontorok Dielektromos rezontorok IRODALOMAJNLS FGGELK Elektromgneses SI-mrtkegysgek Alapvet llandk Fnysebessg Vkuum permeabilitsa Vkuum permittivitsa Elemi tlts sszetett vektoropercik Descartes-fle koordinta-rendszerben Ms koordinta-rendszerben Integrlttelek



BEVEZETS Ez az elektronikus knyv az elektromgneses terek egyik lehetsges trgyalst ismerteti. Ez a trgyalsmd lnyegben Maxwell klasszikus egyenletein alapul, s azokat kifejtve veszi sorra a jelensgeket. Ennek megfelelen alapveten fenomenologikus, teht nem rinti a mikrofizikai htteret, belertve a kvantumfizikai megfontolsokat is. Az elektromgneses terek trgyalsa a szoksos vektoranalitikai appartust hasznlja s nem rinti a relativitselmlet kalkulust. sszefoglalva: a knyv az elektromgneses tereket abban a mlysgben s olyan mdon trgyalja, ahogyan ez a mszaki felsoktats magasabb vfolyamain szoksos. Ennek megfelelen felttelezi az alapvet matematikai s fizikai (elektrotechnikai, villamossgtani) ismeretek birtoklst. A szerz e helyen is ktelessgnek rzi, hogy a megksznje Veszely Gyula professzornak a trsszerzsggel egyenrtk lektori munkjt. Ugyancsak kszni a Mszaki Kiad munkatrsainak a m lelkiismeretes gondozst.



1. AZ ELEKTROMGNESES TEREK ALAPVET SSZEFGGSEI Az elektromgneses tr fizikai ertr. Az ertr vektortr, amelyben a trbeli erhatst vektorok fejezik ki. Az erteret gyakran meznek nevezzk, ha meg akarjuk klnbztetni a geometriai trtl. Az elektromgneses trben er hat minden olyan testre, amelynek (elektromos) tltse van. Az elektromos tlts az elemi rszecskk megszntethetetlen, marad tulajdonsga. Mai tudsunk szerint ltezik legkisebb tlts, az elektron, illetve a proton tltse. Ktfle minsg elektromos tlts van, amelyek egymstl eljelben klnbznek. Az elektron tltse megllapods szerint negatv, a proton pozitv eljel. Az elektromgneses ert a Lorentz-trvny rja le, amelynek alakja az ltalunk hasznlt SI-mrtkrendszerben F = Q(E+vB), (1.1) ahol F az er, newton [N], Q a (kismrtk) rszecske tltse, coulomb [C], E az elektromos tr-erssg [A/m], v a rszecske sebessge [m/s], B a mgneses indukci vektora, tesla [T]. (Az SI-egysgeket lsd a 1. fggelkben.) Az elektromgneses teret az (1.1) sszefggs alapjn kt vektor jellemzi. Az elektromos trerssg vektora mindig ert fejt ki a rszecskre. A mgneses indukcivektor csak mozg rszecskre fejt ki erhatst. Ez az er mindig merleges a mozgs pillanatnyi sebessgre, ezrt nem vltoztatja meg a rszecske energijt. Newton msodik trvnybl (nem relativisztikus sebessgek esetn)

( )dd

m Qt

= = + v F E v B . (1.2)

Ebbl

d

dm Q

t=vv vE , (1.3)

ahol m a tlttt rszecske tmege, v a sebessge, mivel a jobb oldalon a v(vB) zrus rtk. Az (1.3) egyenlet mindkt oldalt integrlva

2 2

2

11 1

2kin

d 1d d

d 2

t tt

tt t

W m t m Q tt

= = = v

v v vE . (1.4)

A tlts. Az elektromos tr A tlts az elektromos tr jelenltnek jelzje, s egyidejleg az elektromos tr ltrehozja, a tr forrsa is. Igen korai tudomnyos felismers, hogy a tltsek egymsra ert fejtenek ki, a tltsek kztt er hat. Azonos eljel tltsek tasztjk, ellenkez eljelek vonzzk egymst. Az erhats kvantitatv kifejezse a Coulomb-trvny. E szerint a tltsek kztt hat er



1 22

0

1

4

Q QF

r= , (1.5)

ahol Q1 s Q2 a pontszer tltsek nagysga [C], r a kztk lv tvolsg [m], 0 a vkuum per-mittivitsa: 8,856 1012 [F/m], F a tltsekre hat er [N = kgms2]. Az er a tltseket sszekt egyenes irnyba mutat s az azonos eljel tltseket tasztja egymstl, az ellenkez eljel tltseket vonzza egymshoz. Ha teht a tltsek szmrtkt eljellel helyettestjk a kpletbe, a pozitv eljel er taszt, a negatv eljel vonz (1.1. bra).

1.1. bra. Ponttltsek kztt hat er (Coulomb-er)

A Lorentz-trvny rtelmben az egysgnyi pontszer tltsre hat er az elektromos trerssg. Legyen az 1.1. bra elrendezsben Q2 egysgnyi tlts, amelyet az 1.2. brn az origba helyezett Q tltstl indul r helyvektor jell ki.

1.2. bra. Trerssg = egysgnyi tltsre hat er

Ebbl kvetkezen a pontszer tlts ltal ltrehozott trerssg

e20

1

4

Q

r= E r , (1.6)

ahol re az r irnyba mutat egysgvektor. A trerssg ltal lert teret (mezt) a trerssg abszolt rtkvel arnyos vektorokkal brzolhatjuk az 1.3. bra szerinti mdon.



1.3. bra. Trerssg ponttlts kzelben

1.4. bra. Ponttlts ervonalai

A teret az ervonalakkal brzolhatjuk (1.4. bra). Az ervonalak rintje mindentt a trer irnyba mutat. A tltsek erhatsai fggetlenek. A fggetlen erk eredje az ervektorok sszege, maga is vektor. Ilyen mdon tetszleges tltselrendezs tere szmthat s ervonalas brzolsa bemutathat. Az elektromos tltsek ltal ltrehozott tr vizsglatnl feltteleztk, hogy a tltsek mozdulatlanok. Ezrt az elz elrendezseknl a tltseket rgztettnek kpzeltk el. Miutn a tltsek egymsra is erhatst fejtenek ki, vkuumban, szabadon mozg tltsek esetn az egyszer sztatikus kp csak elvi szemlltets, a tltselrendezs tartsan nem llhat fenn. A Coulomb-trvny kvetkezmnye, hogy a pontszer tlts kzppont gmbfelleten a trerssg mindentt merleges a gmbfelletre s az abszolt rtke lland. Az A gmb-fellet s az E trerssg szorzata a gmb belsejben lv tltssel arnyos (1.7).



2 020

14

4

QE r Q

r

= = (1.7)

Ha a trerssg helyett bevezetjk az eltolsi vektort a 0=D E (1.8) defincival, akkor eltntethetjk az arnyossgi tnyezt, a permittivitst. Ekkor DA=Q . (1.9) Az elektromos tr ltalnos trvnynek sajtos alakjt talltuk meg. Az ltalnos trvnyhez bevezetjk a fluxus fogalmt. A fluxus a vektormez felleti integrlja. A fellet normlis egysgvektort n-nel jellve a v mez fluxusnak defincija

A A

d dA = = vn v A , (1.10)

ahol dA = ndA a felletelem vektora. A fellet normlis vektort ltalban tetszs szerinti irnyba vlaszthatjuk, de zrt felleten megllapods szerint a fellet ltal bezrt trfogatbl kifel mutat. Az elz elrendezsnkre belthat, hogy az eltolsi vektormez fluxusa a gmbfelleten a fellet ltal bezrt trfogatban lv tlts

DA

A Q = =D d . (1.11)

Az (1.11) sszefggs nemcsak egy pontszer tlts, hanem tetszs szerinti tltselrendezs esetn igaz az elektromos tr egyik alaptrvnye. Felfedezjrl Gauss-trvnynek nevezzk. A trvny ms tltseloszlsok esetn is igaz: lehet trben, felleten vagy vonal mentn elosztott (1.1. tblzat).



1.1. tblzat. A tlts tpusai

Tltstpus Tltssrsg sszes tlts

Trfogati

3

C

m

V

dQ V=

Felleti

2

C

m

A

dQ A=

Vonal menti

C

mq

l

dQ q l=

Pontszer

[ ]CQ

ii

Q Q=

A Gauss-trvnyt a legltalnosabb (trfogati) tltseloszlsra rjuk fel

A V

d d A V= D , (1.12)

ahol az A fellet V trfogatot hatrol fellet, s a jobb oldali integrlba valamennyi tltseloszls tltst belertjk. A Coulomb-trvny egy msik fontos felismersre is mdot ad. Vizsgljuk meg a tr ltal vgzett munkt, amit az erhats egy zrt plyn mozg tltsen vgez. Brmilyen elmozduls esetn a pontszer tlts terben az elmozdulsnak van radilis (sugrirny) s arra merleges (tangencilis) sszetevje az 1.5. brn lthat mdon.

1.5. bra. Elmozduls elektromos ertrben

Munkavgzs csak a sugrirny elmozduls irnyban trtnik, a tangencilis elmozduls merleges az erre. A kis elmozdulson vgzett munka



2

0

dd

4

Q rW

r= . (1.13)

Tetszs szerinti vges ton vgzett munka teht csak a mozg tlts origtl val kezdeti s vgs tvolsgtl fgg

vg

kezd

20

d

4

r

r

Q rW

r= . (1.14)

Nyilvnval, hogy zrt ton trtn mozgs esetn a vgzett munka zrus. Tetszs szerinti sztatikus teret ltrehoz tltsek pontszer tltsek sszegeknt rhatk fel. Az erhatsok fggetlenek, teht elektrosztatikus trben ltalnosan igaz, hogy tltssel zrt ton vgzett munka zrus

= 0 dlE . (1.15) Az ilyen tulajdonsg ertereket konzervatv ertrnek nevezzk. Kvetkezmnye, hogy kt klnbz ton, amelynek kezd- s vgpontja azonos, a vgzett munka azonos, hiszen a zrt grbt kt rszre vgva (1.6. bra) azt kapjuk, hogy a klnbz utakon vgzett munka csak az t kezd- s vgpontjtl fgg.

( )( )( )( )1 2 1 2

P P P P

P P P P

0

l l l l

E E E E + = = dl dl dl dl . (1.16)

1.6. bra. Zrt integrlsi t

A tetszs szerinti Q nagysg tltsen vgzett munka elektrosztatikus trben



2 2 2

1 1 1

d d dP P P

P P P

W F QE = Q E QU= = = l l l (1.17)

alakba rhat, ahol

2

1

P

P

U E = dl (1.18)

a kezd- s vgpont kztti feszltsg, amelyet voltban [V] mrnk. Az elbbiek rtelmben a feszltsg csak a kezd- s vgpont fggvnye, az ttl fggetlen. Az t vgpontjt gondolatban rgztve, a feszltsg csak a kezdpont fggvnye lesz. Ez a fggvny a skalrpotencil

( )0P

P

r E = dl . (1.19)

Mrtkegysge a volt. A skalrpotencil a tr egyszerbb lersa, mint a trerssg vektormezeje, mert minden ponthoz egy skalris mennyisget rendel a vektor hrom komponense helyett. A skalrpotencil egy additv konstans erejig hatrozatlan. Ha megvltoztatjuk az integrls vgpontjt ralt-ra, akkor a potencil kifejezse

( ) ( )alt 0 alt

0

alt

P P

d d d konstansP P P

P

r r = = + = + E l E l E l . (1.20)

A potencil vonatkoztatsi pontjt teht tetszlegesen vlaszthatjuk meg. Ez a vlaszts a kt pont kztti feszltsg rtkt vltozatlanul hagyja

( ) ( )0 0 02 2

1 1 0 1 2

12 1 2d d d d dP P PP P

P P P P P

U E E E E E r r = = + = = l l l l l . (1.21)

A feszltsg teht potencilklnbsg. A pontszer tlts ternek potencilja a Coulomb-potencil

( )0

20 0 0

d 1 1

4 4

P

P

Q r Qr

r r r

= =

. (1.22)

Az elzek alapjn csak a radilis elmozduls irnyba kell integrlnunk, s a potencil csak a ponttltstl mrt tvolsgtl fgg. A Coulomb-potencil vgpontjt (a potencil zrus rtkt) rendszerint a vgtelenben vlasztjuk (r0 ). Ekkor a potencil alakja



( )0

1

4

Qr

r

= . (1.23)

Az gy kapott potencil azt a munkavgzst jelenti, amely a Q tlts terben egysgnyi tltsnek az r tvolsgra juttatshoz szksges. A trbl a potencilt knnyen meg tudjuk hatrozni. Igaz-e a fordtott llts is: meg tudjuk-e hatrozni a teret a potencil ismeretben? Az (1.19) sszefggsbl kvetkezik, hogy a potencil megvltozsa elemi kicsi dl szakaszon: d d = E l . (1.24) A matematikbl ismert, hogy skalrfggvny megvltozst elemi kicsi szakaszon a gradiensfggvny rja le ldgradd = . (1.25) Derkszg koordinta-rendszerben

gradx y z

= + +

i j k , (1.26)

ahol i, j s k a koordintatengelyek irnyba mutat egysgvektorok. Az (1.24) s az (1.25) sszevetsbl a trerssg minden pontban a skalrpotencil negatv gradienseknt szmolhat grad=E . (1.27) Az eddigiekben feltteleztk, hogy a tltsek mozdulatlanok. Mozg tltsek, az ram A mozg tltsek hozzk ltre az ramot. Ha a trbeli tltssrsg v loklis sebessggel mozog, ramsrsget hoz ltre:

=2m

A vJ . (1.28)

Az elemi dA felleten tfoly ram d dI = J A . Ha az ram kis keresztmetszet, vonalszer zrt vezetken folyik, akkor a vezetken foly sszes ram a vezetk mentn nem vltozik: I A vA = =v n . (1.29)



Nem ez a helyzet, ha a vezetket valahol megszaktjuk. Az ram a szakadsi helyre folyamatosan tltseket szllt, illetve elmozgat onnan. Ezrt a tlts felhalmozdik, illetve lecskken a szakads kt oldaln (1.7. bra).

1.7. bra. Megszaktott ram

A szakadst krllel zrt fellet belsejben kis dt id alatt a tlts megvltozsa [ ]d d C A sQ I t= = , (1.30) ahol a befoly ram szembefolyik a fellet normlis vektorval (befel folyik a zrt trfogatba), ez okozza a negatv eljelet. Az (1.30) kifejezsbl a tlts vltozsnak sebessge

d

d

QI

t= , (1.31)

ahonnan az 1.1. tblzat alapjn

dV

Q v= , (1.32)

helyettestssel

A

d d d 0

d VV

t+ = J A . (1.33)

Ez a kifejezs az ram folytonossgi egyenlete, amely idben nem vltoz esetben a

=A

0d AJ (1.34)

egyenletre egyszersdik.



A Lorentz-ertrvny szerint a mozg tltseket a mgneses tr eltrti. Az els megfigyelt jelensg azonban a fordtottja volt: rammal tjrt vezet kzelben a mgnest fordult el. Ennek ismeretben Ampre hosszas ksrletsorozattal bemutatta, hogy az ramok hatnak egymsra s lerta a klcsnhats trvnyt is. Ez alakilag klnbzik a kvetkezkben bemutatott trvnytl, de tartalmilag megegyezik vele. Kt prhuzamos vezetkben foly ram vonzza egymst, ha az ramok azonos irnyak, ellenkez esetben tasztja. Az ram a tltsek ramlsa. A Lorentz-ertrvny alapjn a jelensget gy magyarzhatjuk, hogy az ram mgneses teret hoz ltre s ez a mgneses tr erhatst fejt ki a msik ramban mozg tltsekre. Eddig a trben eloszl s a vonalszer ramrl volt sz. Elvben ltezik felleten foly ram is (1.2. tblzat). 1.2. tblzat. Az ramok tpusai

ramtpus ramsrsg sszes ram

Trben eloszl

2m

A J

A

dI = J A

Felleten eloszl

m

A K

S

dI s= K n ,

ahol n a felleten fekv ds velemre merleges, szintn a felletben fekv vektor.

Vonalram

(lineris ram)

[ ] AI

kk

I I=

Az ramok erhatsnak trvnyt kt prhuzamos, igen kis keresztmetszet, vezet l hosszsg szakasza kztt vkuumban a kvetkez sszefggs rja le

1 202

I I l

d

=F , (1.35)

ahol d a vezetkek tvolsga. A kpletbe SI-mrtkegysgben az ramot amperben [A] helyettestjk. Definci alapjn az ram 1 A erssg, ha a kt vezetk 1 m hosszsg szakasza kztt 2 107 N er hat. Ehhez a 0 rtkt, amely a vkuum permeabilitsa

7 24 10 N/A rtknek kell vlasztanunk. Az elektrodinamikban a N helyett az albbi egyenlsglnccal definilt mennyisget hasznljuk

T A

N W s m V A s mm

= = = .

Ezzel

7 70T H

4 10 4 10A m m

= =

. (1.36)



Fontos tudnunk, a vkuum permeabilitsa definilt mennyisg. Az elzkben mr jeleztk: az rammal tjrt vezet a mgneses tr indiktora, de ugyanakkor a mgneses tr forrsa is. A vkony vezetkben foly ramnl a mozg tltseknek a vezetk tengelyvel prhuzamos sebessge van (legalbbis a sebessgek tlagt tekintve). A Lorentz-ertrvny-nek (1.1) megfelelen a vezetkre merleges hats gy magyarzhat, hogy a mgneses indukci merleges a vezetkek kzs skjra. A szimmetrik miatt (a vezetk mentn eltolsi, a vezetk krl elforgatsi invariancia ll fenn) a vezetkben foly ram ltal gerjesztett tr mgneses indukcijnak ervonalai a vezetkre merleges skban kr alakak. Ez azt is jelenti, hogy az indukci rtke csak a vezetktl mrt tvolsgtl fgg (1.8. bra).

1.8. bra. Egyenes vezetk ramnak indukcivonalai

A vezetkben foly ramra hat er: a mgneses teret ltrehoz ram (legyen az I2) l hosszsg vezetkszakaszra es tltsnek s a tlts tlagsebessgnek szorzata 2 vAI l l Qv= = , ahonnan az (1.1) s az (1.35) felhasznlsval

02 d

IB

= . (1.37)

A szimmetria felhasznlsval brmely, az ramot krllel zrt grbre

0I= B dl . (1.38) Az ramot krl nem lel grbre

= 0dlB . (1.39) Az velemeket az indukcivonalakra illeszked (tangencilis) s arra merleges sszetevkre bontva az (1.38)(1.39) integrlhoz csak a tangencilis komponenseken vgzett sszegzs ad jrulkot. A fenti formult egyszersti a mgneses trerssg bevezetse. Defincija



0

BH

= . (1.40)

Ezzel az (1.30) a kvetkez alakba rhat

I= H dl . (1.41) Ez a trvny ltalnosan is rvnyes, ha I az integrls zrt tja ltal kifesztett felleten tfoly eljeles ram. (Pozitv, ha a felleti normlis irnyba folyik, negatv ellenkez esetben. A felleti normlist s az integrlsi t krljrst a jobbcsavar-szably rendeli egymshoz.) A trvny neve gerjesztsi trvny. Gyakran Ampre nevhez kapcsoljk, de ez tves. Ampre az (1.35) sszefggssel tartalmilag azonos sszefggst lltott fel. Az (1.37) sszefggst Biot s Savart ismerte fel. A BiotSavart-trvny rszletes alakjval ksbb tallkozunk. Az indukci fluxust meghatrozhatjuk brmely felletre. Klnleges szerepe zrt fellet esetn van. A fluxust szmtva szrevehetjk, hogy alkalmasan vlasztott csvek mentn a fluxus brmely keresztmetszetben azonos rtk (1.9. bra).

1.9. bra. Mgneses tr fluxuscsve

A fluxusvonalakkal hatrolt alakzat brmely keresztmetszetn azonos a fluxus. Brmely zrt fellet trfogata kitlthet kis keresztmetszet fluxuscsvekkel. Ezek metszsi keresztmetszetn a fellettel mindig pros szm felletet kapuk, amelyeken a fluxus abszolt rtke azonos, de pronknt ellenkez eljel. gy a trfluxusok eljeles sszege zrus

= 0d AB . (1.42) Ezt az (1.12)-vel sszevetve, a kvetkezket llthatjuk: mgneses tlts nem ltezik. Az (1.42) egyenletet nha mgneses Gauss-trvnynek nevezik. Gyjtsk ssze az eddigi sszefggseinket



=L A

d d AJlH (1.42a)

=L

0d lE (1.42b)

A

d 0= B A (1.42c)

A V

d dV= D A (1.42d)

Ezek az egyenletek az idben vltozatlan terek alapvet sszefggsei. Az elektromos s a mgneses terek fggetlenek egymstl, nincsen kzttk kapcsolat. Az idbeli vltozs Faraday nevhez fzdik az a felismers, hogy brmely zrt grbe ltal kifesztett felleten thalad fluxus idbeli vltozsa elektromos trerssget hoz ltre (indukl). Ha a zrt grbe egy vezet keret, akkor a keret kt kzeli vgpontja kztt

iU t

=

(1.43a)

feszltsg jn ltre, a keret mintegy integrlja a keletkezett trerssget (1.10. bra).

1.10. bra. Faraday indukcitrvnye



A trerssget a majdnem zrt vezet oly mdon integrlja, hogy az induklt trerssg addig mozgatja el a tltseket, amg az ered trerssg (az Ei induklt s az Es sztatikus tr sszege) a vezetben zrus nem lesz. A vezetk vgpontjaiban felhalmozdott tlts csak a lgrsben hoz ltre teret.

( )

( )2

i i s

L A 1

d d dUt

= =

E l B A E l . (1.43b)

A negatv eljel a Lenz-trvnyt fejezi ki: az induklt feszltsg ltal keltett ram cskkenteni igyekszik a fluxus vltozst. (A parcilis derivlt itt azt jelzi, hogy a keret alakjnak vltozsbl szrmaz fluxusvltozst figyelmen kvl hagyjuk, nem trgyaljuk a mozgsi indukcit.) Az (1.43) sszefggsbe a mennyisgek definciit behelyettestve a

L A

d dAt

=

E l B (1.44)

egyenletre jutunk. Nyilvnval, hogy idben vltoz mennyisgek esetn az (1.42a) egyenlet nem lehet helyes. Az idfgg ram ugyanis az (1.33) alapjn idben vltoz tltst produkl. Az idben vltoz tlts idben vltoz elektromos teret gerjeszt. Ezrt az (1.12) felhasznlsval a kvetkezkppen alaktjuk t az (1.41) egyenletet

I A A

d dt

= +

H dl J A D A , (1.45)

ami az integrls s az idbeli derivlis sorrendjt felcserlve (az integrlsi tartomnyok nem fggnek az idtl!)

L A A

d d dt

= + D

H l J A A ,

azaz

L A

d dt

= + D

H l J A (1.46)

alakba rhat. Ebbl az egyenletbl kvetkezik az (1.33) egyenlet. Ha ugyanis a jobb oldali integrlst zrt felleten vgezzk, a bal oldali integrlsi grbe pontt zsugorodik, az integrl rtke zrus. Miutn a jobb oldali integrl minden zrt felletre zrust ad s az (1.12) felhasznlsval az eltols fluxusa a trfogatban lev tltssel egyenl, visszakapjuk az (1.33) folytonossgi egyenletet. A (vezetsi) ram kiegsztse az eltolsi rammal Maxwell felismerse. Az eltolsi ram srsge az eltolsi vektor idbeli derivltja. Ezzel a felismerssel indult a modern elektrodinamika s bizonyos rtelemben a modern fizika diadaltja.



A kzegek hatsa a tr szerkezetre Az eddigi megfontolsaink mind vkuumra vonatkoztak. Ezt a kzeget az 0 permittivits s 0 permeabilitssal jellemeztk. (Hallgatlagosan rintettk az ramot jl vezet kzegeket, de nem elemeztk.) Vkuumban (szabad trben) D s E, H s B lineris, homogn izotrp kapcsolatban vannak. Ms kzegek jellemzsnek is legegyszerbb mdja, ha lineris, homogn, izotrp sszefggst feltteleznk, azaz

BHED

1 ; == , (1.47)

ahol 0r = s 0r = a kzeg permittivitsa s permeabilitsa. r s r a relatv permittivits s permeabilits. Bonyolultabb az ram sszefggse a trerssggel. A legkzenfekvbb esetben az ram s az elektromos trerssg sszefggse szintn lineris, homogn s izotrp EJ = , (1.48)

ahol S

m

a fajlagos vezetkpessg (nem a felleti tltssrsget jelli.) Sajnos ez az

sszefggs egyszer esetekben sem igaz, ha az ramot nem elektromos hats kelti, hanem pl. galvnelem. A nem elektromos hatsokat az Eb beiktatott trerssggel jelljk, s gy az ram teljes kifejezse inhomogn ( )bEEJ += . (1.49) Ezzel egytt is az egyszer (1.48) sszefggs a differencilis Ohm-trvny. Vges A keresztmetszet, l hosszsg egyenes vezetken a konduktv (vezetsi) ram:

1A

I JA El Ul R

= = = (1.50)

Az egyenletekben szabadon mozg tltsek esetn (1.28) alak konvektv ramok is megjelenhetnek. Mirt szksges E s D, illetve H s B megklnbztetse? Lttuk, hogy vkuumban a kifejezsek egyszerbb ttelre vezettk be, D-t s H-t, fizikailag nem hordoztak j tartalmat. Ez azonban kzegekben nem igaz. Itt lesen sztvlik E s B, valamint D s H szerepe. Elbbiek a valdi trmennyisgek, amelyek a Lorentz-trvnyben az erhatsrt felelsek. Utbbiak a gerjesztett mennyisgek, amelyek a teret gerjeszt tltsekkel s ramokkal llnak kzvetlen kapcsolatban. Kzegben a tr- s a gerjesztett vektorok kztti sszefggs az arnyossgon tl is hordoz fizikai tartalmat. Ennek htterrl a kvetkez fejezetben lesz sz. Egyenleteink fenomenologikusok. Ez azt jelenti, hogy a jelensgeket s kapcsolatukat rjk le s nem foglalkoznak a mikrofizikai httr viselkedsvel, a mikrofizikai mennyisgek s a fenomenologikus lers makrofizikai jellemzinek kapcsolatval.



Maxwell-egyenletek Mieltt sszegyjtennek az egyenleteket, hangslyozzuk, hogy a ngy alapegyenletet integrlok kztti sszefggsek formjban fogalmaztuk meg. A felhasznlsok sorn gyakran a differencilegyenleti forma is megfelel. A kt formalizmus kztti sszefggst kt matematikai ttellel (az integrlredukcis ttelekkel) hozzuk ltre. Gauss-ttel A matematika Gauss ttele szerint

V A

div d dV = v v A , (1.51)

ahol v a vektortr, A a V trfogatot hatrol zrt fellet, divv skalr rtk elsfok vektorderivlt. Descartes-rendszerben

yx zdivvv v

x y z

= + +

v , (1.52)

mg a koordinta-rendszertl fggetlen definci

V 0 A

1div dlim V

= v v A , (1.53)

ahol az A ltal hatrolt V trfogat gy zsugorodik egy pontra, hogy legnagyobb lineris mrete a zrushoz tart. Stokes-ttel

=A L

d d rot lvAv , (1.54)

ahol v a vektortr, az A fellet hatrgrbje L, s a krljrs a fellet normlishoz jobbcsavar-szably szerint van hozzrendelve; rotv vektor rtk vektorderivlt, amely Descartes-fle koordinta-rendszerben:

y yz x z xrotv vv v v v

y z z x x y

= + + v i j k .

A knnyebb megjegyezhetsg vgett gyakran determinns formban rjuk fel



x y z

rot

x y z

v v v

=

i j k

v , (1.55)

ahol i, j , k az x, y, z irny egysgvektorok. Koordintafggetlen defincija szerint

V 0

A

1rot lim d

V= v A v (1.56)

ahol a hatrrtkkpzs szablyai az elzvel megegyeznek. a vektorilis szorzs jele. A rotci brmely e egysgvektor irnyba mutat komponense

=L

0Ad

A

1limrot lvve , (1.57)

ahol a skbeli L grbe skja e-re merleges, A zrushoz tart, mikzben a hatrgrbe legnagyobb tmrje is zrushoz tart. L krljrsa s az e normlis jobbcsavar-szably szerint vannak sszerendelve. Alkalmazzuk a Stokes-ttelt pldul az (1.46) sszefggsre

L A A

rot d dt

= = + D

H dl H A J A . (1.58)

A jobb oldali egyenlsg minden A felletre igaz. Ez csak gy lehetsges, ha az integranduszok majdnem mindentt azonosak. Az sszefggs teht minden ponthoz (pontosabban minden pont kicsiny krnyezethez) a

rott

= +D

H J (1.59)

differencilegyenletet rendeli. Ez az I. Maxwell-egyenlet differencilis alakja. Ismt csak pldakppen alkalmazzuk a matematika Gauss-ttelt az (1.12) egyenlet bal oldaln

A V V

d div d dV V= = D A D . (1.60)

Az elbbi argumentcival az integrandusok (majdnem mindentt) azonosak, azaz =Ddiv . (1.61) Hasonlan talaktva az (1.42) s az (1.44) egyenleteket az 1.3. tblzatban lthat differencilegyenletekhez jutunk.



1.3. tblzat. Maxwell-egyenletek

Integrlformban Differencilis formban

L A

d dt

= + D

H l J A (1.46)

rott

= +D

H J (I)

L

d dt

= B

E l A (1.44)

rott

= B

E (II)

A

d 0= B A (1.42)

div 0=B (III)

A V

d dV= D A (1.12)

div =D (IV)

Az (I)(IV) differencilegyenletek ltalban a Maxwell-egyenleteknek. Tudomnytrtneti rdekessg, hogy Maxwell sokkal bonyolultabb formban rta fel egyenleteit s az eredetiekkel egyenrtk fenti ngy egyenletet kveti vezettk le az eredetiekbl. A Maxwell-egyenletek a kzegektl fggetlenl rjk le az elektromgneses tr jelensgeit. A kzeg figyelembevtele az E s B trvektorok s a D, H gerjesztett vektorok, valamint a vezetkzegekben a J s a trvektorok kapcsolatt ler konstitcis egyenletek. Ezek alkotjk a kiterjesztett egyenletek (V) csoportjt. A mr vizsglt egyszer lineris, izotrp, nem diszperzv kzegben ( )b , , EEJHBED +=== . (Va, b, c) A konstitcis egyenletekkel az egyenletrendszer teljes. Visszavezethet ugyanis kt vektortr, pldul E s B rotcijt s divergencijt ler egyenletekre. A vektoranalzis alapttele (Helmholtz-ttel) rtelmben igen ltalnos felttelekkel minden vektortr egyrtelmen kifejezhet a rotcija s divergencija ismeretben. Mi jellemz a Maxwell-egyenletekre? 1. Az egyenletek differencilegyenletek. Mr a folytonossgi egyenletnl megllaptottuk,

hogy a differencilegyenletek egy pont kicsiny krnyezetnek viszonyait rjk le. Pontosabban: egy kicsiny krnyezetben megadjk a vizsglt fizikai mennyisgek vltozsnak kapcsolatt. Ezrt ezek az egyenletek felttelezik, hogy a hatsok a kzvetlen szomszdsgban mkdnek, azaz kzelhatsi trvnyek. Ez a szemllet a fizikai tr (mez) ltre fekteti a hangslyt. Ez ellenttes a tvolhatsi trvnyekkel, mint amilyen a Coulomb-trvny vagy az ramok egymsra hatsnak trvnye. A kzelhatsi trvnyek szerint a hatst tvolba a mez kzvetti, gy ennek ugyanolyan fizikai tulajdonsgokat kell rtelmeznnk, mint a tltsnek vagy az ramnak. A kzelhatsi szemlletet esetnkben az



eltolsi ram bevezetse, s ennek kvetkeztben a gerjesztseket elhagy, azoktl fggetlenl terjed elektromgneses hullm tmasztja al.

2. Az egyenletek evolcis egyenletek. Ez azt jelenti, hogy a tr pillanatnyi (s esetleg

mltbeli) rtkeinek ismeretben lerjk a tr alakulst, vltozst a jvben. s valban: a trjellemzk pillanatnyi rtkei meghatrozzk azok idbeli derivltjait a vizsglt trrsz minden pontjban. gy a trjellemzk idbeli vltozsa minden pontban nyomon kvethet.

3. Az egyenletek megoldst rendszerint adott idpillanattl kezdve keressk. A jelensg

ellett az gynevezett kezdeti felttelek segtsgvel adjuk meg. Az (I) egyenlethez D kezdeti rtkeit kell ismernnk a vizsglt trrszben. Ezekre vonatkoz feltteleket a (IV) egyenlet szab meg: csak olyan kezdeti D vektort vlaszthatunk, amelynek divergencija megegyezik a kezdeti tltseloszlssal. A tovbbiakban az (I) egyenlet mindkt oldalnak divergencijt vve

div rot 0 div div div div divt t t

= = + = + = + D

H J J D J , azaz rviden

div 0t

+ =

J . (1.62a)

Ez az ram folytonossgi egyenletnek differencilis alakja. Lthatjuk: D gy vltozik, hogy a folytonossgi egyenlet minden idpillanatban automatikusan teljesl. Hasonlan, a B vektor kezdeti rtke eleget kell tegyen a (III) egyenletnek. Az elz gondolatmenettel

( )div 0 div f r ,t

= =

B B (1.62b)

azaz a mgneses indukci divergencija idtl fggetlen, csak a helytl fgg. Miutn ez a mennyisg kezdetben zrus, a tovbbiakban mindvgig zrus marad. 4. Az egyenletek megoldst kereshetjk zrt trrszben vagy nyitott (vgtelen) trben. Az

els esetben a zrt trrszen kvl a klvilgban szerepl gerjesztsek hatst gy vesszk figyelembe, hogy a trrszket hatrol zrt felleten peremfeltteleket runk el. Ezek ltalban a teret jellemz vektorok, vagy azok egyes komponensei. Nyitott tr esetn a mez egyes vektorainak, illetve komponenseinek a vgtelenben megfelel hatrrtkhez kell tartaniuk.

Vgezetl: elemezve a (I)(V) egyenleteket, felismerhetjk, hogy csak elektromos s mgneses mennyisgeket tartalmaznak. Egytt teht zrt rendszert kpeznek, amely alkalmas az elektromgneses jelensgek lersra, de nem kapcsolja ssze azokat a fizika ms gaival. Ahhoz, hogy az elektrodinamikt elhelyezzk a fizika tudomnyterletn, szksgnk van egy olyan mennyisg elektromgneses defincijra, amely a fizika lehetleg minl szlesebb terletein szintn rtelmezett. Ilyen mennyisg lehet az er. Van olyan lers, amelyik a Maxwell-egyenletek rendszert az (1.1) Lorentz-ervel egszti ki. Mi a msik ltalnos mennyisget definiljuk: az energit.



Energiasrsg s energiaramls A Maxwell-egyenletek ltal lert kzelhats jellegbl kvetkezik, hogy az elektromgneses mez energija a konfigurcis geometriai trben elosztva helyezkedik el. Egy pont krnyezetben az energia megvltozsa s az itt eltn energia megjelense egy msik pont krnyezetben csak az energia ramlsa tjn kpzelhet el. A w energiasrsg s az S energiaram vektora kztt teht a tlts s ram folytonossgi egyenlethez hasonl sszefggsnek kell fennllnia

div 0w

t

+ =

S . (1.63)

Knnyen belthat, hogy ez a trvny nem igaz. A tltssel ellenttben, amely nem keletkezik s nem tnik el, az elektromgneses energia keletkezik s eltnik. Az energiamegmarads trvnye valamennyi energiafajtra egytt rvnyes, kln az elektromgneses energira nem. Az elektromgneses energia pldul cskken, amikor a kzeget melegti. A kzeggel val klcsnhatst a Lorentz-trvny (1.1) rja le. Munkt csak az elektromos trer vgez, a mgneses erhats mindig merleges a rszecske sebessgre. Belthat, hogy egysgnyi trfogat, elektromosan tlttt anyagon a teljestmny EJ. A (mechanikai) teljestmny er sebessg formban szmthat. Esetnkben ez egy tltsre EF Q= , a trfogategysgre EF = . A teljestmnysrsg teht = = = =p Fv Ev E v EJ . Pozitv p esetn a tr vgez munkt a kzegen, teht a tr energiasrsge cskken. Ezt is figyelembe vve a kvetkez egyenletet keressk

divw

t

= +

S EJ. (1.64)

Azt felesleges hangslyozni, hogy az egyenletnek a Maxwell-egyenletekkel teljes sszhangban kell llnia. Ez biztos, ha az (1.64) egyenletet azokbl szrmaztatjuk. A levezetst Poynting 1884-ben vgezte el. EJ-re szksgnk van, ezrt (I)-et megszorozzuk E-vel. A szimmetria vgett szorozzuk meg (II)-t H-val. A jobb oldalon azonos eljeleket kapunk, ha ezek utn a msodik egyenletbl kivonjuk az elst

rot rott t

= B D

H E E H H E EJ . (1.65)

Hasznljuk fel a ( )div rot rot = E H H E E H azonossgot. Nmi rendezs utn kapjuk:

( )divt t

+ = + D B

E H E H EJ . (1.66)

Az sszefggst Poynting-ttelnek nevezzk. Az (1.66) Poynting-ttel akkor felel meg egyrtelmen az (1.64) sszefggsnek, ha BHDE d dd +=w (1.67)



teljes differencil. Lineris sszefggseket felttelezve ekkor a w energiasrsg alakja

222

1

2

1

2

1

2

1HEw +=+= HBED . (1.68)

Ezt az energiasrsget tekintjk a (VI) egyenletnek a Maxwell-egyenletek teljes rendszerben. Klnbz krlmnyek kztt az esetek egy rszben dw nem teljes differencil. Ilyenkor w nem adhat meg zrt alakban a teret jellemz mennyisgek fggvnyeknt. Ez a helyzet pldul hiszterzises karakterisztikk vagy ersen vesztesges kzegek esetn. Vizsgljuk meg az (1.66) jobb oldaln ll tagokat. Hasznljuk fel az ram (V) kifejezst: ( )bEEJ += , ahonnan

JEJ

JE b2

=

. (1.69)

Az els tagot nem nehz azonostani: ez az egysgnyi trfogatban az ram ltal keltett Joule-h. A Joule-h mindig pozitv, az eljeleket figyelembe vve mindig cskkenti az elektromgneses energit. A msodik tag eljele az ram s a beiktatott tr vektora kztti szgtl fgg. A skalris szorzat pozitv, ha az ram a tr irnyban folyik. Ekkor az elektromgneses energia nvekszik, ellenkez esetben cskken. Az energiaramlst ler S vektort Poynting-vektornak nevezzk. Definil egyenlete

2 2

V A VA W, = =

m m m m =

S E H . (1.70)

A vektor az irnyra merleges felletegysgen idegysg alatt thalad energia amint ezt a mrtkegysge is jelzi. A Poynting-ttelben azonban a divergencija szerepel. A ttelt nem srti, ha S-et kiegsztjk egy divergenciamentes vektorral. (Brmely vektortr rotcijt kpezve divergenciamentes vektorteret kapunk.) A ma ltalnos felfogs szerint (ezt tmasztjk al relativisztikus meggondolsok is) az S vektor egyrtelm, s az (1.70) alaknak van valdi fizikai tartalma. Az (1.66) differencilis sszefggs. A gyakorlatban vges trfogatra integrlis mrlegegyenletet lehet ksrletileg igazolni. Az integrlis mrlegegyenlet

( ) +=

+

A VV

d dd2

1

2

1 VV

tEJAHEHBED , (1.71)

amelyik kiemeli, hogy a trfogatban az energia megvltozsa egyrszt a trfogatban lejtszd folyamatok kvetkezmnye, msrszt a trfogatot krlvev zrt felleten traml energia fggvnye. Az elektromgneses trben energia ramlik, s erre az energiamegmaradsi trvny rvnyes. Az elektromgneses tr impulzussal is rendelkezik s az impulzusra is rvnyes a megmaradsi ttel. Az impulzus srsge (ami rtelemszeren vektormennyisg)



0 02 21 1

c c

= = =g E H E H S . (1.72)

A Maxwell-egyenletek egyrtelm megoldhatsga Az (I)(V) axiomatikus egyenletrendszerrel kapcsolatban felmerl: ltezik-e megoldsa, s ha igen, milyen felttelek mellett egyrtelm. Az els krdsre a vlasz ltalban igen nehz, s jelents matematikai appartus ignybevtelt felttelezi. A msodik krdsre a vlaszads sokkal egyszerbb. A tovbbiakban bebizonytjuk, hogy egyenleteink egyrtelm megoldshoz egyrszt ismernnk kell a vizsglt tr minden pontjban a trerssgek rtkt a 0t t= kezdeti idpontban, msrszt a hatrol fellet minden pontjban vagy E, vagy H tangencilis komponensnek rtkt a t0 kezdeti idponttl a vizsglt t idpontig. Ez megfelel a Mi jellemz a Maxwell-egyenletekre? szakaszban a kezdeti s peremfelttelekrl mondottaknak. Felttelezzk, hogy az , , anyagllandk az idtl s a trerssgektl fggetlenek. A beiktatott trerssgek hely- s idfggse adott. Bizonytsuk alaptlete a matematikbl jl ismert: a bizonytand llts ellenkezjrl lltjuk, hogy ellentmondshoz vezet. Esetnkben ttelezzk fel, hogy az egyenleteknek kt eltr megoldsa ltezik: E s E, H s H, amelyek kln-kln eleget tesznek a kezdeti s peremfeltteleknek. Miutn mindkt vektorpr a Maxwell-egyenletek megoldsa, nyilvnvalan az E0 = E E

, H0 = H H klnbsgk is az, hiszen az egyenletek linerisak.

Ezrt a klnbsgi trre is rvnyes a Poynting-ttel, vagyis

( ) ( )2

2 2 00 0 0b 0 0 0

V V V A

1 d d d d

2V V V

t

+ = +

JE H E J E H A . (1.73)

A jobb oldalon ll msodik s harmadik integrl eltnik. A msodik integrlban szerepl beiktatott klnbsgi tr mindig zrus: E0b = Eb

Eb = 0. A harmadik integrlban szerepl

klnbsgi trvektorok kzl legalbb az egyiknek csak normlis komponense van a felleten, mert a megoldsvektorok tangencilis komponense a felleten azonos, a klnbsgi vektor teht zrus. Ennek kvetkeztben a klnbsgi Poynting-vektornak nincsen normlis komponense a felleten, az integrl zrus. Vgezetl teht az (1.73) sszefggs az albbi egyenletre redukldik

( )2

2 2 00 0

V V

1 d d

2V V

t

+ =

JE H . (1.74)

A jobb oldalon ll integrl nem lehet negatv. Ez nemcsak matematikai alakjbl, de fizikai tartalmbl (Joule-h) is kvetkezik. Ekkor a bal oldalon ll integrl (a negatv eljelet figyelembe vve) idben nem nvekedhet. A t = t0 kezdeti pillanatban felvett rtke zrus (mirt?) s miutn nem vehet fel negatv rtket, zrus marad. Ez az integrl alakjbl kvetkezen csak akkor lehetsges, ha "' ,"' azaz , , HHEE0H0E 00 (1.75)



A kt klnbznek felttelezett megolds teht azonos, a megolds egyrtelm. Megjegyzsek: 1. A megolds egyrtelmsgt belttuk, de ahogy erre utaltunk nem tudjuk, hogy egyltaln ltezik-e

megolds. Erre a krdsre jval nagyobb matematikai eszkztrral felvrtezve lehet vlaszt adni. 2. A gondolatmenet nem alkalmazhat idben nem vltoz (sztatikus, stacionrius) terek esetn. Ekkor ugyanis

(1.74) bal oldaln az id szerinti derivlt eltnik, fggetlenl a tr viselkedstl. Az ilyen feladatokban a kezdeti rtk nem rtelmezhet, ezek peremrtk-feladatok. Megoldsuk egyrtelmsgre ksbb visszatrnk.

3. Amennyiben a megoldst az egsz trben keressk, a hatrfellet helyett a vgtelenben kell felttelt kitznnk. Ezt a sugrzsi felttelek megadsval teljesthetjk. Ezek kt egyenrtk alakja

( ) ( )ErHHrE 00

, (1.76)

ahol a vgtelenben vett hatrrtket jelenti, r 0 a kifel mutat egysgvektort. A fenti sszefggsek biztostjk, hogy az elektromgneses tr kifel halad hullmknt viselkedjen, amely

vges energit szllt. 4. Az egyrtelm megolds bizonytsban alapvet, hogy az energia a trmennyisgek ngyzetes (teht nem

negatv) kifejezse. Ez a gyakori eset (pldul a mozgsi energia mv2) mskor is felhasznlhatv teszi a gondolatmenetet.

Az elektrodinamika felosztsa a Maxwell-egyenletek alapjn Az elektrodinamika valamennyi jelensgt a Maxwell-egyenletek rjk le, amelyek ltalnos tr- s idfgg egyenletek. A jelensgek a vltozktl fggen oszthatk fel. A trbeli vltozst elhanyagolva elejtjk az ertr (mez) vizsglatt, amelynek specifikuma a trbeli kiterjeds s vltozs. Ha a trbeli vltozstl eltekintnk, csak idbeli vltozsokat vehetnk figyelembe. Vannak csak idtl fgg elektromgneses jelensgek! Ezek a koncentrlt paramter hlzatok jelensgei. A hlzategyenletek s a Maxwell-egyenle-tek kapcsolatra mg visszatrnk. Ezt elre bocstva az egyenletek kt nagy jelensgkrt tartalmaznak: idtl fggetlen s idfgg jelensgeket. 1. Idtl fggetlen jelensgek

rjuk fel a Maxwell-egyenleteket idfggetlen 0t

=

esetre, ltalnosabb konstitcis

egyenletekkel. rot 0=E (1.77a) rot =H J (1.78a) div =D (1.77b) div =B 0 (1.78b) PED += 0 (1.77c) 0( )= +B H M (1.78c) Az els felismers, hogy idtl fggetlen esetben az elektromos jelensgkrt ler egyenletek, az (1.77a, b, c) teljesen fggetlenek a mgneses egyenletektl. Az (1.77) egyenletcsoport ltal lert jelensgkr az elektrosztatika. Az (1.78) egyenletek csak akkor fggetlenek az elektromos trtl, ha J = 0. Ez az eset a magnetosztatika jelensgkre. Ha 0J , de az ram s a tbbi mennyisg idben nem vltozik, ez a stacionrius ramls jelensgkre. Az (1.62a) folytonossgi egyenlet rtelmben ekkor div J = 0 s az ramra vonatkoz alapegyenletek



( )brot 0, div 0, = = = +E J J E E (1.79) Az egyenletek teljes analgiban vannak a = 0 trtlts nlkli elektrosztatika egyenleteivel. Krds, hol lehetnek a tr forrsai? Vlasz: az elektrdkon elhelyezked felleti tltsek ltrehozhatjk a teret. A stacionrius mgneses tr egyenletei az (1.78) egyenletek, amelyekben J-t adottnak tekintjk, illetve az (1.79)-bl hatrozzuk meg. A ksbbiekben ltni fogjuk, hogy az idtl fggetlen jelensgek magukban rejtik azt a felttelezst, hogy a fnysebessg vgtelen nagy. Ilyen rtelemben nyilvn csak kzelt megoldst jelentenek. 2. Idfgg jelensgek A Maxwell-egyenletek teljes rendszert jelentik. A jelensgkrt sszefoglalan elektromgneses hullmoknak nevezzk. Van azonban egy kevsb definilt alesetnk, amikor az eltolsi ramtl eltekintnk: a hullmtan jelensgei kztt eltekintnk az elektromos tr vltozsa ltal keltett mgneses trtl.

A t



( )rot j = + = +H J E j E , (1.82) rot j= E H . (1.83) (1.82) felttelezi, hogy csak E tr ltal ltrehozott vezetsi ram szerepel az egyenletben. Az (1.82) egyenletet az

( ) ( ) ( )"~

~

j ' j = = (1.84) komplex permittivits bevezetsvel mg egyszerbb alakba rhatjuk. Itt lthatan a vesztesgeket rja le. Ez a vesztesg nemcsak a vges vezetkpessgbl, hanem ms mikrofizikai hatsokbl is szrmazhat. A vesztesgeket jellemzi a vesztesgi szg. A vesztesgi szgre

'

" tg

= . (1.85)

Hasonlan rtelmezhet a komplex permeabilits

( ) ( ) ( )"~

' j = , (1.86) ahol a kpzetes rsz a permittivitshoz hasonlan a vesztesgeket reprezentlja. Az egyenletekben a komplex amplitdkhoz hasonlan a komplex anyagllandkat sem jelljk kln. gy az els kt Maxwell-egyenlet alakja homogn kzegben ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rot , rot; j ; ; j ; = = H r E r E r H r . (1.87) Monokromatikusak az egyetlen frekvencin lejtszd tiszta szinuszos folyamatok. A ki-fejezst az optikbl klcsnztk, grgl egyszn, egyetlen sznt tartalmaz jelents. Monokromatikus esetben az paramterknt jelenik meg az egyenletben. Tbbfrekvencis esetben a trjellemz vektorok s az anyagjellemz mennyisgek is a frekvencia fggvnyei. A Poynting-vektor szinuszos idfggs esetn A Maxwell-egyenletek komplex alapjbl energia-mrlegegyenlet vezethet le. Ennek kvetkezmnyeit egy aspektusa kivtelvel nem hasznljuk a tovbbiakban. Ezrt a levezetst s az energiaegyenletet nem rszletezzk. A Poynting-vektor komplex alakja, a komplex Poynting-vektor definciszeren

( )*2

1HES = , (1.88)

ahol * a komplex konjugltat jelli.



Az szorzt az indokolja, hogy amplitdkkal (cscsrtkkel) szmolunk. A komplex Poynting-vektornak ltalban van vals s kpzetes rsze is. Ennek megfelelen a felleti integrlja a zrt felleten traml hatsos s medd teljestmnyt adja

A

dP jQ+ = S A . (1.89)

A hatsos teljestmny a vesztesgeken talakul elektromgneses energia mellett az elektromgneses sugrzssal eltvoz energit is tartalmazza. A medd teljestmny a negyedperidusonknt oda-vissza raml elektromgneses energit szlltja, amely a trben trolt.



2. AZ ELEKTROMGNESES TR S KZEG KLCSNHATSA A diplus A mgneses tr alapegyenleteibl kvetkezik, hogy mgneses tlts nem ltezik. Az anyagok mikrostruktrjnak ismeretben tudjuk, hogy az elektromos tlts is igen kiegyenslyozott, hiszen egy atom ssztltse zrus. Ezrt a (nemionizlt) atom kifel nem hoz ltre a Coulomb-potencilnak megfelel teret. Felmerl a krds: ltezik-e zrus ssztlts elemi tltselrendezs, amely zrustl eltr teret s potencilt hoz ltre? Ha ilyen nem ltezne, a permanens mgnesek viselkedst a Maxwell-egyenletek alapjn nem tudjuk lerni. Szerencsre van ilyen tltselrendezs, a diplus. A diplus kt, egymstl igen kis tvolsgra elhelyezked, azonos abszolt rtk, de ellenttes eljel tlts egyttese. A diplus szerkezete olyan, hogy a tltseket nem engedi a Coulomb-er hatsra elmozdulni. Helyezzk a kt tltst egymstl l tvolsgra az orig kzelbe a 2.1. brn lthat mdon D pontba.

2.1. bra. A diplus potenciljnak levezetshez

A tltselrendezs ltal ltrehozott potencil a P pontban

( )0 0 0

1 1 1 1 1

4 4 4

Q Q Q QP

r r r r+ +

= = = + r l r

. (2.1)

Ha az l tvolsg r-nl sokkal kisebb, a zrjelben ll kifejezs kzelthet az albbi mdon

r

1grad

11Dlrlr

+

, (2.2)



ahol jelltk, hogy a differencilst a D pont koordinti szerint vgezzk. Ezzel a kzeltssel

( ) D1

grad4

QP

r

0

l. (2.3)

Az elemi diplust gy szrmaztatjuk, hogy a kt tltst minden hatron tl kzeltjk egymshoz, mikzben a Ql = p szorzat lland marad. Ekkor p elnevezse: diplusnyomatk vagy diplusmomentum, mrtkegysge: Cm. A (2.3) egyre kisebb hibval adja meg a tltselrendezs potenciljt, mg hatresetben

( ) D0

1grad

4P

r

= p . (2.4)

Ltezik elemi dipl? Nem, de adott tltseloszls tere igen jl kzelthet vele. Az absztrakci ugyanolyan jelleg, mint a pontszer tlts. Tudjuk, hogy kzelts, de elfogadjuk s szmolunk vele. Megjegyzs: Aki a Dirac--t ismeri, ltja, hogy a pontszer tlts srsgfggvnye egy trbeli (hromdimenzis) Dirac-. A diplus tltssrsge derivltja. A szmtsok sorn ltalban a P pont koordinti szerinti derivltakkal szmolunk. (Gondoljunk csak a trkiszmtsra a potencilbl!) Ezrt (2.4)-ben is ttrnk a P pont koordinti szerinti derivlsra. Miutn

( ) ( ) ( )2 2 2D P D P D Pr x x y y z z= + + , (2.5) nyilvnval, hogy a P s D szerinti derivltak csak eljelben klnbznek. Ezrt

0

1( ) grad

4 PP

r= p

. (2.6)

Megllapods szerint a p diplnyomatk a negatv tltstl a pozitv tlts irnyba mutat. A potencil msik kifejezse

( ) 2 20 0

1 1

4 4

p cosP

r r

= = 0pr , (2.7)

ahol r0 az r irnyba mutat egysgvektor, a p s r ltal bezrt szg. Nmi szmolssal igazolhat, hogy a trerssg kifejezse

( ) ( )3 30

31

4P

r r

=

00

pr pE r . (2.8)

A pontszer tlts 1/r2 tvolsgfggsnl a diplus tere a vgtelenben gyorsabban, 1/r3 arnyosan tnik el. Vizsglhat diplus viselkedse elektromos trben? Homogn tr lthat a 2.2. brn.



2.2. bra. Diplus homogn ertrben

E=E i , (2.9) ( )cos Ql sin = +p i j . (2.10) Az ered er ( ) 0Q Q+ = + = + =F F F E E . (2.11) A diplusra teht nem hat (transzlcis) er, forgatnyomatk azonban igen ( )Q Q= = = = T r F l E l E p E . (2.12) A (2.9) s a (2.10) sszefggs felhasznlsval sinT pE = . (2.13) A nyomatk teht az elektromos tr irnyba igyekszik beforgatni a diplust. Ha a mez nem homogn, a diplusra a forgatnyomatkon kvl ered er is hat, a diplus elmozdul a trben. A diplus alkalmazsa Adott tltseloszls tert viszonylag pontosan akarjuk szmtani. Hatrozzuk meg azt az egyszer eloszlst, amelynek potencilja jl kzelti a tltseloszlst! Ha a tvolsg elegenden nagy s a tr finomabb rszletre nem vagyunk kvncsiak, a tltseloszls helyettesthet egyetlen ponttltssel a 2.3. bra szerinti mdon.

( )0 0 0

1 1 1 1d d

4 4 4V V

QP V V

r R R

= = = , (2.14)

ahol az r R az egsz tltselrendezsre kzeltssel ltnk. Az R rtkt egy, a tltsen belli pont hatrozza meg. A kzelts semleges (Q = 0) tltselrendezsnl nem ad rtkelhet eredmnyt.



2.3. bra. Helyettest tltselrendezs szmtsa

Ez a helyzet nem olyan ritka, hiszen az atomok s az azokbl felpl struktrk pozitv s negatv ssztltse alaphelyzetben azonos. De a kzelts mindenkppen romlik, ha az R tvolsg annyira lecskken, hogy a tr nem tekinthet gmbszimmetrikusnak. ljnk ekkor az albbi kzeltssel: a d helyvektorral rendelkez dV trfogat r tvolsgt a P ponttl hatrozzuk meg gy, hogy a d vektor R helyvektorra vett vetlett kivonjuk a helyvektorbl, azaz r R 0d r , (2.15) ahol r0 az R irny egysgvektor. Ha a P pont tvolsga elegenden nagy, a kt vektor kzel prhuzamos, a (2.15) kzelts hibja igen kicsi.

A potencil kifejezsbe helyettestend 1

r kzeltse

1 1 1 1 1

11

r R R R RR

= = +

0

00

r dr dr d

, (2.16)

ahol az 1/R magasabb rend tagjait elhanyagoltuk. A potencilfggvny:

( ) 20 0 0 0

1 1 1 1 1d 1 d d d

4 4 4 4V V V VP V V V V

r R R R R

= = + = +

0 0dr r

d (2.17)

A fenti kifejezs

dV

V Q= s dV

V = d p (2.18)

jellssel

( ) 20 0

1 1

4 4

QP

R R

= + 0pr (2.19)



alakba rhat. Lthat, hogy a trbeli tltseloszls egy ponttltssel s egy p diplnyomatk diplussal helyettesthet, ahol Q s p az eloszlsbl a (2.18) sszefggs alapjn szmthat. Megjegyzsek:

1. A potencil (2.19) formulja egyrtelmen a fggvny 1

R hatvnyai szerinti sornak els kt tagja. A sor

termszetesen folytathat. A magasabb rend tagok gynevezett multiplusok potenciljai, a sor a potencil sorfejtse multiplus-potencilok szerint. A magasabb rend tagok egytthatinak szmtsa egyre bonyolultabb. Szksg van r, ha a szimmetria miatt a diplusmomentum zrus. Ilyen tulajdonsga van pldul a CO2-molekulnak. 2. Ha az ssztlts nem zrus, definilhat a tltskzppont a tmegkzpponthoz hasonlan. A tlts kzppontjnak defincija

d d 0V V

V V = tkd r , (2.20)

azaz

d

dV

V

V

QV= =

tk

dp

r

, (2.21)

az nknyesen felvett D origbl mrve. Elvi jelentsg a kvetkez felhasznlsi plda. Ismerjk a felleti tltst s potenciljt

0

1 d

4 A

A

r=

. (2.22)

Ezen a felleti tltsen a potencil folytonos, azaz azonos a fellet kt oldaln. A potencil normlis irny derivltja vltozik a 2.4. brn lthat mdon.

2.4. bra. A felleti tlts potenciljnak meghatrozshoz



A Gauss-ttelt alkalmazva az brn lthat felletre s a bezrt trfogatra

0 02 12 1

d d dA A An n n n

= + =

,

ahonnan

201

+=

nn

. (2.23)

Kpzeljk el ezek utn azt a diplus analgijra kialaktott helyzetet, hogy kt azonos abszolt rtk, de ellenkez eljel felleti tltssrsggel elltott rteget igen kzel helyeznk el egymshoz! Az elrendezst ketts rtegnek nevezzk (2.5. bra).

2.5. bra. Ketts rteg potencilja

A ketts rteg a dA n n nyomatk diplusok folytonos elosztsa a felleten. Itt n a kt fellet tvolsga, n a negatv tlts fellettl a pozitv tlts fel irnytott, a felletre merleges egysgvektor. Ha a felletek kztti tvolsg gy cskken, hogy a n szorzat lland marad, az idelis ketts rteget kapjuk. Ennek jellemzje a

nn= ,m

C (2.24)

a ketts rteg felleti nyomatka. A ketts rteg dA felleteleme elemi diplnak tekinthet dA diplusnyomatkkal. Ennek hozzjrulsa a ketts rteg potenciljhoz a (2.4) sszefggs alapjn:

Adr

1grad

4

1d

0

= .

A teljes ketts rteg potencilja a sok elemi diplus potenciljnak sszegzsvel kaphat



0 0 0

1 1 1 1 1 1 grad d grad d d

4 r 4 r 4 rA A AA A A

n

= = =

. (2.25)

A ketts rtegen a potencil normlis irny derivltja folyamatosan halad t, viszont a potencil ugrik, eltr rtk a ketts rteg kt oldaln. Igazolhat, hogy 021 / = . (2.26) A felleti tlts s a ketts rteg potencilja s trerssge a vges vastagsg elrendezsek tulajdonsgnak hatrrtkeknt rtelmezhet. A ketts rteg jelentsge, hogy a termszetben fellp struktrk igen j modellje lehet. Plda: az l szervezetek sejtfalnak kt oldaln ellenttes tlts halmozdik fel s potencilklnbsg van. A sejtfal modellje elektromos szempontbl a ketts rteg. A kzegek hatsa a trre A konstitucis egyenletekben a lehet legegyszerbb felttelezssel ltnk: az intenzitsvektorok s a gerjesztett vektorok kztt homogn, lineris s izotrp sszefggs ll fenn. A mez klcsnhatsa a kzeggel ennl bonyolultabb sszefggseket is teremthet. A kzegekben tr hatsra diplusok alakulnak ki. Egyes esetekben, pldul ferromgneses kzegekben a diplusok a trtl fggetlenl, llandan lteznek. A tovbbi megfontolsokat elektromos diplus esetre tesszk. Az alapsszefggsek mgneses diplus esetn lnyegben azonosak. A dielektrikumokat a bennk elhelyezked diplusok srsge jellemzi. Legyen N az egysgnyi trfogatban lev diplusok szma. Ekkor a diplussrsget a kzegben a polarizci vektora adja meg

3 2

1 CC m

m mNQ N= = =P l p . (2.27)

A diplussrsg mrtkegysge s dimenzija megegyezik az eltolsi vektorval (s a felleti tltssrsgvel). Ez lehet vletlen, de aligha az. A diplussrsg hatsnak vizsglata eltt nzzk meg, mirt is alakulnak ki a diplusok. Elre kell bocstani, hogy a kzegek elektromosan ltalban semlegesek, a pozitv s negatv tltsek sszege megegyezik, s gy egszben semlegestik egymst. Ez ll az anyag kisebb rszeire, atomokra s molekulkra is. Az elektromos tr hat az atomok s molekulk tlttt rszecskire, s igyekszik azokat elmozdtani. A pozitv s negatv rszecskk ellenkez irnyba mozdulnak el. Elszakadni egymstl azonban nem tudnak, mert az atomot, illetve molekult sszetart erk ezt megakadlyozzk. A deformldott anyagrszecske pozitv s negatv tltseinek kzppontja tbb nem esik egybe, s ez mindaddig fennll, amg a kls elektromos tr hat. A tr jelenltben teht a kzeg meghatrozott diplussrsggel rendelkezik. Ttelezzk fel, hogy a tr hatsra kialakult diplussrsg egyenletes eloszls. Ekkor a kzeg belsejben a szembefordul pozitv s negatv tltsek semlegestik egymst. Ms a



helyzet a dielektrikum felletn (2.6. bra). A felleten a tltssrsg ppen a kompen-zlatlan polarizcis tlts P=pol . (2.28)

2.6. bra. Diplusok a kzegben

Ttelezzk fel, hogy a dielektrikum egy skkondenztor lemezei kzt helyezkedik el (2.7. bra). A kondenztor fegyverzetn legyen a teret s gy a polarizcit is ltrehoz valdi tltssrsg. A Gauss-ttelt alkalmazva a dielektrikumon belli teret a teljes felleti tltssrsg hozza ltre

2.7. bra. Polarizlt dielektrikum

0

pol

=E , (2.29)

ahonnan a (2.28) sszefggs felhasznlsval



PED +== 0 . (2.30) ltalnossgban (2.30) vektorilis megfeleljt hasznljuk (lsd 1.77c) PED += 0 . (2.31) A (IV) =Ddiv egyenletbl (2.31) behelyettestsvel s nmi rendezs utn kapjuk, hogy

( )0

1div div

= E P , (2.32)

amit (2.29) sszefggssel sszehasonltva ltjuk, hogy a polarizcis tlts ltalnossgban a diplussrsg negatv divergencija (2.8. bra).

2.8. bra. Ha P polarizcivektor divergencija klnbzik zrustl, trtlts lp fel

A (2.31) sszefggsnek az egyenletek felrsa szempontjbl akkor van jelentsge, ha ismerjk a P s E kztti kapcsolatot. Kis trerssg esetn a mennyisgek arnyosak s egy irnyba mutatnak: 0 e=P E , (2.33) ahol e (>0) az elektromos szuszceptibilits. Ezzel (2.31)-bl ( ) EEED ==+= r0e0 1 , (2.34) ahol az r relatv permittivits defincijt is megadtuk. A mgneses trben a divB = 0 llts alapjn a tr ltrehozsban a mgneses tlts nem, csak mgneses diplusok jtszhatnak szerepet. A B s H kzti kapcsolat (2.31)-gyel analgiban a ( )MHB += 0 (2.35) alakba rhat, ahol M a mgnesezettsg, a mgneses diplsrsg vektora (lsd 1.78c). Lineris esetben



m=M H , (2.36) ahol m a mgneses szuszceptibits. Ezzel ( )m 0 01 r = + = , (2.37) amely teljes analgiban van az elektromos jelensgekkel. Az alapvet klnbsg e s m nagysgrendjben van. Amg az elektromos szuszceptibits rtke ltalban 1 s 20 kztt van, br ennl nagyobb rtkek is elfordulnak, a mgneses szuszceptibilits rtke nem ferromgneses anyagokra 102 < m < 10

4 nagysgrend. A nem ferromgneses anyagok a teret gyakorlatilag nem befolysoljk. Ferromgneses anyagokra m akr a 106-t is elrheti. Ferromgneses anyagoknl illuzrikus a lineris modellel szmolni. Ilyenkor a konstitutv relci nemlinris: B = F(H). (2.38) A nemlineris kapcsolat a 2.9. brn lthat.

2.9. bra. Mgneses hiszterzis

A legszembetnbb, hogy a fggvny nem egyrtk. B aktulis rtke az ellettl fgg. Lineris sszefggst csak kezeletlen anyagok s igen kis terek esetn kapunk. r rtke 10 s 104 kztti.



Trjellemz vektorok a kzegek hatrn

A vizsglt trrszekben a kzegek inhomognek lehetnek. Ennek leggyakoribb formja, hogy elrt felleteken az , s kzegjellemzk hirtelen vltoznak. Az ugrsszer vltozs kvetkeztben a trjellemz vektorok is ugrsszeren vltozni fognak. Ennek az ugrsnak a meghatrozsa a kvetkez clkitzs.

Mint az elektrodinamika valamennyi feladatt, ezt is az alapegyenletekkel oldjuk meg a szemlletes integrlis egyenleteket felhasznlva.

Az elektromos trerssg vizsglathoz a hatrfellet kzelben vegynk fel egy kis hurkot (2.10. bra) a fellet mentn.

2.10. bra. Elektromos trerssg kzegek hatrn

Az (1.44) egyenletbl

AB

lE d d =

l A t, (2.39)

amit az adott geometrira alkalmazva

1t 2t dB

E l E l l lt

=

. (2.40)

Zsugortsuk a hurkot a felletre, azaz dl 0. Ekkor (2.40) jobb oldala eltnik, mivel t

B

nem tart a vgtelenhez,



E1t = E2t, (2.41)

azaz a fellet kt oldaln az elektromos trerssg tangencilis komponense azonos, a tangencilis komponens folytonos.

Ez az sszefggs vektorilis formban ( ) 0EEn 12 = alakba rhat, ahol n a hatrfelletre merleges, az 1 jel kzegbl a 2 jel kzegbe mutat egysgvektor.

Sajtos esetet kapunk, ha az egyik kzeg idelis vezet. Idelis vezetben , 1/0. A kzegben a trerssg, s gy tangencilis komponense is zrus, mivel tetszleges ramsrsg esetn E = J/ = 0. Ennek megfelelen idelis fmfelleten a trerssg tangencilis komponense zrus

Et = 0. (2.42)

Ms szavakkal: idelis fm felletre az elektromos trerssg mindig merleges.

Hasonlan a mgneses trerssgre az (1.46) egyenletbl

d dl A

= H l J A . (2.43)

Az egyenletbl az elzekhez hasonl megfontolssal elhagytuk a t D tagot.

A 2.10. brn lthat hurokra, illetve az ltala krlvett felletre integrlva (E helyre H-t helyettestve)

1t 2t dH l H l J l l = . (2.44)

Van ltjogosultsga azt felttelezni, hogy J dl lland marad a hatrtmenet sorn. Ez a felleti ram, amelynek srsge

dl 0

A d lim m

l

=J K . (2.45)

Ezzel a felleti ramsrsggel

H1t H2t = , (2.46)

azaz a felleten a mgneses trerssg tangencilis komponense a felleti ram srsgnek megfelel rtkkel ugrik. (2.43)-bl kvetkezik, hogy (2.46) a K vektor H1t H2t-re merleges komponensre rvnyes. Ezrt vektorilisan az

( ) KHHn 12 = (2.47) sszefggs rvnyes a 2.11. brn lthat mdon.



2.11. bra. Mgneses tr folytonossgi felttele

Felleti ramsrsg hinyban a mgneses trerssg tangencilis komponense folytonos.

Ferromgneses kzegben , ezrt H = B/ = 0, a mgneses trerssg zrus. A kzeg felsznn nem lehet tangencilis trerssg-komponens s gy a kls trben is

Ht = 0, (2.48)

azaz ferromgneses kzeg felsznn a mgneses trerssg merleges.

Idelis vezet felsznn elenysz vkony szabad tltsrteg tud kialakulni. Ez nem tvesztend ssze a szigetelk felsznn kialakul polarizcis tltssel, ami a diplusok kompenzlatlan tltsnek kvetkezmnye s helyhez kttt.

A vezet felsznn kialakul tltsekre hat a Lorentz-er, a tltsek felleti ramot hoznak ltre. Miutn vgtelen j vezetben az elektromos trerssg eltnik, az (1.36) egyenlet rtelmben a mgneses indukci is eltnik s gy a mgneses trerssg is zrus, feltve, hogy a kzeg permeabilitsa vges. Ezrt az gy kialakul felleti ram megegyezik a mgneses tr tangencilis komponensvel

H2t = , (2.49)

vektorilis formban

KHn 2 = . (2.50)

A tovbbi kt trvektor eltren viselkedik. Ennek oka, hogy amg az E s H vektorok rotcijra vonatkozik a Maxwell-egyenlet, addig a BD s vektorok divergencijrl kapunk adatot.

A mgneses indukcira vonatkoz hatrfelttel megllaptshoz helyezznk egy lapos hengert a hatrfelletre a 2.12. bra szerint oly mdon, hogy a hatrfellet normlis vektora s az A felletek normlis vektora egy irnyba mutasson.



2.12. bra. Mgneses indukcivektor kzegek hatrn

A henger felletre a (III) Maxwell-egyenlet integrlis alakjt alkalmazva kapjuk, hogy

2n 1ndiv d dV A

V B A B A d= = + B B A , (2.51)

ahol d a henger palstjn fellp fluxus.

Zsugortsuk a hengert a felletre oly mdon, hogy dl s gy d is tartson zrushoz. Vgezetl kapjuk, hogy

2n 1n 0B A B A = , (2.52)

ahonnan

B2n = B1n. (2.53)

Teht a felleten a mgneses indukcivektor normlis komponense folytonos. Vektor-jellssel

( ) 0= nBB 12 . (2.54) Hasonl gondolatmenettel az eltolsi vektorra (B helyre D-t helyettestve)

( )2n 1n d d dV A

V l A D A D D A d = = + , (2.55)

ahol d az eltolsi vektor fluxusa a henger palstjn. Ez a mennyisg dl cskkensvel a nullhoz tart. Nem ez a helyzet a dl A tltssel, ha a hatron felleti tlts van. Ekkor

lim dl = , (2.56)

dl 0

s vgl

D2n D1n = . (2.57)

A (2.57) jelentse, hogy az eltolsi vektor normlis komponense ugrik, ha a kzeghatron felleti tlts van. Ellenkez esetben az eltolsi vektor normlis komponense folytonos.

Vektorilis formban

( ) =2 1D D n . (2.58)



Ha az egyik kzeg idelis vezet, abban E = 0 s gy D = 0 is igaz ( ) . Ekkor E s D is merleges a hatrfelletre, s

; D E= =

. (2.59a, b)

Az ramsrsgre a folytonossgi egyenlet alapjn az elzekhez hasonl gondolatmenettel a kvetkez egyenlet rhat fel

2n 1n FdivJ J K t

+ =

. (2.60)

Ez a felleti tltssrsgre rvnyes folytonossgi egyenlet. A benne szerepl divF a felleti ram divergencija. A felleti tlts a trfogati ramok nlkl is vltozhat, ha felleti ram formjban folyik.

A trvektorok trstrvnyei

Az elzekben lttuk, hogy a trjellemz vektoroknak csak az egyik komponense folytonos. A msik komponens rtke az anyagjellemzktl fgg.

A 2.13. brn lthatjuk a villamos trvektorok viselkedst egy hatrfelleten, ha ott nincs felleti tlts. A felletre merleges irnnyal bezrt szgekre:

1t 1n 1t 1n1 1

2 2t 2n 2t 2n 2

tg

tg

E / E D / D

E / E D / D

= = = . (2.61)

2.13. bra. Elektromos tr trstrvnye

rdemes megvizsglnunk azt a helyzetet, amikor az egyik permittivitsrtk jval nagyobb, mint a msik. 1 esetn tg 2 0, azaz a trerssg kzeledik a felletre merleges



llapothoz. Ilyenkor tg 1 >> tg 2; azaz 1 >> 2; 1 90o. A trerssg vektora a fellethez

hajlik a nagy permittivits kzegben. A tr mintegy besrsdik a fellet kzelben.

Mgneses trjellemzkre is a (2.61) alkalmazhat, mutatis mutandis. E helyre H-t, D helyre B-t s helyre -t helyettestve a formula s a meggondolsok rvnyben maradnak.

Stacionrius, idben vltozatlan esetben az ram vektorra az analgik alapjn (2.61) vltozatlanul rvnyes, D helybe J-t s helybe -t helyettestve. ltalnos esetben ilyenkor a kt kzeg felletn tlts keletkezik, s D merleges komponense nem megy t folytonoson a felleten. A felleti tltssrsg

2 12n 1n n2 1

D D J

= =

, (2.62)

ami csak az 2/2 = 1/1 specilis esetben zrus.

Az elzekben lttuk, hogy ezek a megfontolsok idben vltoz terek esetn nem rvnyesek.



3. ELEKTROSZTATIKA S STACIONRIUS RAMLSI TR Poisson-egyenlet, Laplace-egyenlet, Coulomb-potencil Az elektrosztatika alapegyenletei vkuumban: rot 0=E , div =D , ED 0= . (3.1a, b, c) A 1. fejezetben lttuk, hogy a (3.1a) egyenlet kvetkeztben az elektromos trerssget a skalrpotencil gradiensvel fejezhetjk ki, azaz grad= E , (3.2) s (3.1b)-bl

0

div

=E (3.3)

felhasznlsval addik a

0

div grad

= . (3.4)

A div grad ketts derivlt olyan gyakran fordul el a vektoranalzisben, hogy kln szimblumot s elnevezst kapott. A div grad = (3.5) a Laplace-opertor. Descartes-koordintkban

2 2 2

2 2 2x y z = + +

. (3.6)

A (3.4)(3.6) sszefggs felhasznlsval az ismert tltseloszls potenciljnak egyenlete a Poisson-egyenlet

0

= . (3.7)

A tr azon helyn, ahol nincsen tlts, az egyenlet tmegy a homogn Laplace-egyenletbe 0 = . (3.8) A (3.7) megoldsa a kvetkez:



A pontszer tlts ternek ismeretben kiszmthat a Q tlts potencilja, az n. Coulomb-potencil. ( ) 0= vlasztssal a Coulomb-potencil alakja

0

1

4

Q

r

= . (3.9)

Egy elemien kicsi dV trfogatban elhelyezked tltst ponttltsnek tekinthetnk, gy hozzjrulsa egy kiterjedt tltseloszls potenciljhoz

( )

0

d1

4

Vd

=

r

r r. (3.10)

Ezen potencilok szuperpozcija eredmnyezi a teljes tltseloszls potenciljnak (3.11) kifejezst a 3.1. bra szerinti mdon.

( ) ( ) V

=

d4

1

V0 rrr

r

(3.11)

3.1. bra. A (3.11) formula rtelmezshez

A fenti megolds nem matematikai, hanem fizikai alapon szletett. A szigor matematikai levezets bebizonytja, hogy a Poisson-egyenlet megoldsa eleget tesz a

A A

1 1 1 1 1d d d

4 4 4V A A

r r n n r

= +



egyenletnek, ahol r a dV trfogatelem tvolsga attl a ponttl, ahol a potencilt keressk. A fenti kifejezs a zrt A fellettel hatrolt V trfogatban rvnyes. A jobb oldal els tagja a (3.7) egyenletre tekintettel a trfogatban elhelyezked tlts hatst rja le. A szigor matematikai levezets ennek a tagnak a megjelensvel a Maxwell-egyenletekbl szrmaztatva eljut a Coulomb-potencilig. gy a Coulomb-trvny a Maxwell-egyenletek kvetkezmnyeknt addik. A jobb oldal msodik s harmadik tagja a vizsglt trfogaton kvl elhelyezked tltsek hatst jelenti meg a vizsglt trfogatban. Ltjuk: ehhez meg kell adni (s elegend is megadni) a hatrol felleten a potencil s normlis irny gradiense rtkt. A kt kifejezs nem fggetlen, ezrt egymstl fggetlenl nem adhat meg. A ksbbiekben bebizonytjuk, hogy a hatrol felleten elegend vagy a potencil, vagy a normlis irny derivltja megadsa a feladat egyrtelm megadshoz. Ezrt a fenti kifejezs inkbb azonossg, mintsem szmtsi utasts. Fizikai tartalma azonban rendkvl rdekes. A jobb oldal msodik tagja a felleti tltsrteg potencilja, mg a harmadik tag ketts rteg. gy a fizikai tartalom nyilvnval: a vizsglt trfogaton kvli tltsek hatsa gy is figyelembe vehet, mintha a felleten felleti tlts s ketts rteg lenne. Ezeken a felleteken a trerssg, illetve a potencil ugrik. Ez az ugrs ppen akkora, mint az elrt hatrfelttel, teht ha tlts s ketts rteg fizikailag jelen volna a felleten, ez azt jelenten, hogy a felleten kvl a potencil s a trerssg is zrus. A zrt felleten belli tlts is helyettesthet a felletre tett tltssel s ketts rteggel, mikzben bell zrus teret s potencilt feltteleznk. Specilis esetben, ha a fellet ekvipotencilis, elegend a felleti tltsrteg helyettest tltsknt. Ezt a tnyt az integrlegyenleteket alkalmaz megoldsi mdszernl felhasznljuk. Az egsz trben trtn potencileloszls meghatrozsa esetn a fenti egyenlet jobb oldalnak msodik s

harmadik tagja eltnik. Ennek felttele, hogy tlts csak a vges trrszben legyen. Ekkor a potencil R

1, a

potencil derivltja 2

1

R arnyban tnik el a vgtelenben. Mindkt integrandusz teht

3

1

R nagysgrend,

mikzben az integrlsi fellet R2-tel arnyos. R esetn teht az R

RR

1~

1 23

rendben tnik el az integrl.

Ezrt az egsz trben a megolds (3.11) alakjban rhat le. Megjegyzsek: 1. A potencil (3.11) alak kifejezsbe a felleti, vonalszer s ponttltsek is belertendk. Kzlk a

felleti tltsnek kitntetett szerepe van (fmelektrdk felletn s klnbz kzegek hatrfelletn), ezrt a potencilok kifejezsben gyakran kln is szerepeltetjk

( ) ( ) ( )0 0

1 1d d

4 4V A

R R

= + r r

r , (3.12)

ahol R = r r .

A kifejezsben csak vatosan lehet kezelni a vonalszer s a pontszer tlts potenciljt, mivel szingulris tulajdonsgak, a vgtelenhez tartanak, ha megkzeltjk a tltst, azaz R0.

2. Ktdimenzis feladathoz jutunk, ha az elrendezs az egyik koordinta mentn vgtelen. Ez a

gyakorlatban azt jelenti, hogy az elrendezs hossza vltozatlan keresztmetszettel olyan nagy, hogy a vgek hatstl a vizsglt trkzben eltekinthetnk. Ekkor (3.12)-ben a vgtelen hossz vonaltlts ternek ismeretben az 1/R helybe ln(1/R)-t rhatunk

( ) ( ) ( )0 0

1 1 1 1 d d

2 2ln A ln l

R R

= + r r r . (3.13)

3. A fenti megfontolsokat szabad trben kialakul mezre tettk. Amennyiben a tltsek polarizlhat

szigetelk krnyezetben helyezkednek el, a tr szmtsi mdszerei klnbzhetnek attl fggen, hogy a dielektrikum homogn (az egsz tr azonos kzeggel van kitltve), vagy inhomogn trrszenknt vltoz permittivitssal.



A) Homogn dielektrikum esetn vlaszthatunk: vagy a valdi s polarizcis tlts sszegeknt kiadd szabad tltssel szmolunk, vagy a valdi tltsekre rjuk fel a Poisson-egyenletet. Els esetben, szabad tltssel szmolva,

szabad div = P , (3.14) amivel

szabad

0

= . (3.15)

Valdi tltsekre:

= . (3.16)

B) Trrszenknt vltoz permittivits esetn a valdi tltssel clszer szmolni. A dielektrikumok

hatrfelletn a trvektorok folytonossgi felttelei rvnyesek. A Poisson-egyenlet megoldsakor az E tangencilis komponensnek folytonossga

21 = , (3.17) az eltoldsi vektor normlis komponensnek folytonossga

1 21 2n n

=

(3.18)

alakba rhat, ahol a n

jells a gradiens felletre merleges komponense

grad n

=

n . (3.19)

4. Az elektrosztatika alapegyenlete helyfgg permittivits esetn is felrhat. A folytonosan vltoz

fggvnnyel lerhat permittivits fizikailag nem relis. A trrszenknt lland permittivitst az elzekben vizsgltuk.

A fmelektrdk tere Az eddigiekben elre megadott trbeli (felleti stb.) tltseloszls tert kerestk. Ennek a feladatnak kicsi a gyakorlati jelentsge, hiszen a legritkbb esetben ismerjk a tltsek eloszlst. A gyakorlati elektrosztatika alapfeladatai a kvetkezk: 1. Ismerjk az elektrdok geometrijt. Mindegyik elektrda potencilja adott (s

termszetesen lland). Keressk a tr minden egyes pontjban a potencilt (s trerssget), mikzben mindentt rvnyes a = 0 egyenlet, azaz az elektrdok kztti trben nincsen tlts!



2. Ismerjk az elektrdok geometrijt, valamint minden egyes elektrda ssztltst. Keresend a tr minden pontjban a potencil (s trerssg), mikzben a = 0 egyenlet mindentt rvnyes, az elektrdokon kvli trben nincs tlts.

Tmr fm esetn magtl rtetdnek tekintjk, hogy az elektrdk belsejben nincsen tlts, csak a felletkn. Becsljk meg azt az idt, ami alatt az eredetileg esetleg ltezett tltseloszls eltnik a kzegbl. Induljunk ki a folytonossgi egyenletbl

div 0t

+ =

J (3.20)

s helyettestsk J divergencijt az albbi mdon

=== DEJ divdiv div (3.21)

a homogn kzegben. Ezzel a

0t

+ =

(3.22)

egyenlethez jutunk, amelynek megoldsa

( ) ( )0rel

t, expr t r

=

, (3.23)

ahol a relaxcis idt csak a kzegjellemzk szabjk meg

=rel . (3.24)

J vezetnek vegyk pldaknt a rezet

s197

120

rel 106,1107,5

1085,8

===

.

Az eredeti tlts gyakorlatilag azonnal eltnik. A mikrofizikai hatsok figyelembevtelvel valamivel

nagyobb s1010 1514 relaxcis idt kapunk. J dielektrikumokban a relaxcis id akr napokat is kitehet.

Az elektrosztatika egyenleteinek egyrtelm megoldsa Az 1. fejezetben igazoltuk, hogy a Maxwell-egyenletek megoldsa igen ltalnos felttelek mellett egyrtelm. Mr ott megjegyeztk, hogy az idben nem vltoz terek esetn a levezets nem alkalmazhat. A tovbbiakban bemutatjuk, hogy zrt trfogatban a megolds egyrtelm, ha a trfogat hatrolfelletn a potencil vagy a trerssg normlis komponense (ez a felleti tltssrsgnek felel meg) adott. A bizonyts homogn kzeget felttelez. A bizonyts elvgzshez szksgnk van az gynevezett Green-ttelre. Ez a ttel a matematika Gauss-ttelnek kzvetlen folyomnya. Alkalmazzuk a Gauss-ttelt az grad =u (3.25)



vektorfggvnyre, ahol s folytonosan differencilhat skalrfggvnyek. Az u -t a Gauss-ttelbe helyettestve kapjuk, hogy

( )div grad d grad dv A

V = A . (3.26)

A vektoranalzisbl ismert, hogy

( )div div grad = +v v v , azaz

( )div grad div grad grad grad grad grad = + = + , (3.27) amit (3.26)-ba helyettestve kapjuk, hogy

( ) grad grad grad V A

dV + = dA .

-t s -t cserljk fel.

( ) ( )grad grad grad V A

dV + = dA

kivonva kapjuk a Green-ttelt:

( ) d dV A

V An n

= . (3.28)

Abban a sajtos esetben, ha = , a ttel alakja

( )2grad d dV A

V An

+ =

. (3.29)

Ttelezzk fel, hogy a vizsglt trrszperemen: vagy adott (Dirichlet-peremfelttel), vagy n

adott

(Neumann-peremfelttel). Mindkt felttelrendszer fizikailag kzenfekv. A bizonyts sorn felttelezzk, hogy a feltteleknek eleget tev kt klnbz megoldsa ltezik az azonos tltssrsghez tartoz = / Poisson-egyenletnek. A kt megolds klnbsge

1 2 = , (3.30) a peremfelttelek nullk, s mivel a kt megoldsra vonatkoz Poisson-egyenletben a tltseloszls azonos, a klnbsgi megoldsra 0 = . A (3.29)-be -t helyettestve

( )2V

grad d dA

V An

+ =

(3.31)

ahonnan az elzkben elmondottak alapjn



( )2grad d 0V

V = , (3.32)

ami csak grad = 0 esetn teljesl, teht a vizsglt trfogatban lland. (Ismt a ngyzetes kifejezs integrlja a bizonyts kulcsa!)

Dirichlet-peremfelttel esetn a peremen zrus, teht zrus kell legyen a trfogatban is. gy 21 = , a klnbzknek felttelezett megoldsok azonosak. Neumann-peremfelttel esetn a megoldsok additv lland erejig azonosak. A potencilok additv llandja ugyanarra az elektromos treloszlsra vezet. A (3.31) egyenlet jobb oldalt tekintve nyilvnval, hogy az egyrtelmsg vegyes peremfelttel esetn is

fennll. Megadhatjuk teht -t a perem egy rszn s n

-t a perem msik rszn.

Nyilvnval, hogy a Poisson- s gy a Laplace-egyenlet megoldsban is a hatrol felleten nem adhatjuk

meg egyszerre s n

rtkt. Az egyenlet megoldsa brmelyik peremfelttel megadsa esetn egyrtelm.

A kt megolds azonban ltalban nem feleltethet meg egymsnak. Megjegyzsek: 1. Az elz meggondolsok az n. bels peremrtk-feladatok. A hatrol felleten vges trfogatot fognak krl, a vizsglt trfogat koordinti nem tartanak vgtelenhez. A vgtelent is tartalmaz trben szmtott potencil, az n. kls peremrtk-feladat. A keresett fggvny viselkedsre a vgtelenben kln feltteleket kell elrnunk. A gyakorlatban mindig vges tltsmennyisget tteleznk fel az elektrdokon. Ugyanakkor a vgtelenben a potencil legalbb 1/r mdon kell a nullhoz tartson. 2. A homogn trnl ltalnosabb, azaz itt nem vizsglt elrendezs, amikor a kzeg trrszenknt homogn, azaz a permittivits trrszenknt lland. Ebben az esetben is bizonythat, hogy a megolds Dirichlet- vagy Neumann-peremfelttelek esetn egyrtelm. A bizonyts azonban olyan matematikai appartust s meggondolsokat ignyel, amelyek messze tlmutatnak jelenlegi clkitzseinken. Kapacits. Az elektrosztatikus tr energija Tekintsnk egy magban ll elektrdt! Ha az elektrdt feszltsg al helyezzk, a felsznn tlts jelenik meg. (A folyamatot gy kell elkpzelnnk, hogy feszltsgforrst kapcsolunk az elektrd s a 0 potencil pont kz. Utbbi a teljes trben elvben a vgtelen, a gyakorlatban egy tvoli s lehetleg nagy kiterjeds elektrd.) A Maxwell-egyenletek linerisak, ha a kzeg is lineris, azaz a permittivitsa nem fgg a trerssgtl. (A helytl fgghet, a kzegnek nem kell homognnek lennie.) A linearits kvetkeztben az elektrdn megjelen tlts s az elektrd potencilja arnyosak egymssal, ktszer akkora tlts ktszer akkora potencilt hoz ltre. A tlts s az elektrdapotencil hnyadost kapacitsnak nevezzk:

U

QC = , (3.33)

ahol U az elektrd vgtelenhez viszonytott potencilja.

A kapacits csak a geometria s a kzegjellemzk fggvnye, s mint ilyen, az elrendezs sajtos jellemzje. Mrtkegysge a farad [F]. Pldaknt tekinthetnk egy homogn kzegben magban ll r0 sugar gmbt. Keressnk olyan helyettest tltselrendezst, amelynek a terben a gmb ekvipotencilis fellet. Ez a tltselrendezs a ponttlts. A ponttlts potencilja a Coulomb-potencil



0

1

4

Q

r

= ,

amelynek zrus rtke a vgtelenben van. Ha az r0 sugar gmb U potencilon van, akkor

0 0

1

4

QU

r= ,

ahonnan

004 rU

QC == (3.34)

az r0 sugar, magban ll gmb kapacitsa. Amint ltjuk, a gmb kapacitsa arnyos a sugarval. (rdekessg, hogy az 1900-as vek els felben a kereskedelmi forgalomban lv kondenztorok kapacitsnak rtkt sokszor a velk egyenl kapacits gmb sugarval adtk meg, azaz a kapacitsok rtkt cm-ben mrtk; 1 cm 1,1 pF-nak felelt meg.) A meggondolsbl nyilvnval, hogy homogn permittivits kzegben 0 helybe -t kell helyettesteni. Ez azt jelenti, hogy a kapacits r-szeresre n.

Egyszer pldn mutassuk be, hogy a kapacits inhomogn dielektrikum esetn is csak az elrendezs fggvnye. Fedje az r0 sugar gmbt egyenletes vastagsg (0) dielektrikum a 3.2. bra szerinti mdon.

3.2. bra. Rtegzett dielektrikum



A Gauss-ttel rtelmben mindentt

24 r

QD

= ,

ebbl kvetkezik az

2

1

4

QE

r= , 10 rrr ;

2

0

1

4

QE

r= , 1rr .

A potencil egyszer szmtssal

1 0 1

1 1 1

4 4

Q Q

r r r

= +

, 10 rrr ,

0

1

4

Q

r

= , 1rr ,

ahonnan

+

= 10

01

104 rrr

rrC , (3.35)

ami csak az elrendezs (a geometria s a kzegjellemzk) fggvnye. Az elemi hlzatelmletbl ismert, hogy a tlttt kondenztorban trolt energia

22

1CUW = . (3.36)

Kapcsolat van az elektromgneses trben trolt energia s a (3.36) energiakifejezs kztt. Az elektrosztatikai tr energiasrsge

2e1

2W = E , (3.37)

gy az egsz trben trolt energia

2e1 1

d d2 2V V

W V V= = E ED . (3.38)

Helyettestsk E helybe a grad jellst



( ) ( )e1 1 1 1

d grad d div d div d2 2 2 2V V V V

W V V V V = = = ED D D D , (3.39)

ahol felhasznltuk a div( ) div grad = +D D D azonossgot, s a Gauss-ttellel egytt:

e1 1

div d2 2V A

W V = D D dA . (3.40)

A felleti integrl a vgtelenben eltnik, hiszen a vgtelenben 1/r-rel, D pedig 1/r2-tel

arnyos. gy az integrl hatrrtke 22

1 1lim 4 0r

rr r

= .

A felleti integrlt a vges tvolsgban azokra a felletekre is ki kell terjesztennk, amelyek vagy D szakadsait krlfogjk s gy kizrjk a vizsglt trfogatbl. Esetnkben D-nek az elektrda felletn lv tltsen van ugrsa. A zrt elektrda felletn Dn = , s gy (3.40) sszefggs felrhat a kvetkez alakban

e1 1

d d2 2V A

W V A = + , (3.41)

amelyben a felleti integrl a felleti normlis vlasztsa miatt vlt eljelet. A (3.41) kifejezs a trben elosztott e

Documents

Dr. Zombory László Elektromágneses terek - …mkkonyvkiado.hu/wp-content/uploads/2015/04/Dr_Zombory_Laszlo_Ele… · © Hungarian edition M őszaki Könyvkiadó Kft., Budapest,