TRACÉ D'UN ANGLE QUELCONQUE à la règle et au compas (pp. 1-6)

Jean Jacquelin

DRAWING OF ANY ANGLE using compass and straightedge (pp. 7-13)

Translated by Claire Jacquelin

La méthode de construction à été publiée dans le magazine

QUADRATURE n°52, p.4, avril 2004

Edité par EDP Sciences, 17 av. du Hoggar, PA de Courtabœuf, 91944 Les ULIS, France

http://www.edpsciences.org/quadrature/

Texte original : Tracé des angles en degrés : 24 juillet 2003 [Mis à jour : avril 2009]

Compléments : Tracé des angles en radians et en grades : 18 mai 2009.

Mesure d'un angle quelconque à la règle et au compas : 4 janvier 2010.

Traduction : Août 2012

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TRACÉ D'UN ANGLE QUELCONQUE à la règle et au compas

Jean Jacquelin

Les constructions géométriques "à la règle et au compas" ont une origine très ancienne,

puisque ce sont les Grecs de l'époque d'Euclide qui ont commencé à les codifier.

Seulement un petit nombre d'angles peuvent être construits en respectant ces conventions.

La plupart des angles ne sont donc pas constructibles "à la règle et au compas" comme

l'entendaient les Grecs anciens. Par exemple, cette impossibilité est démontrée dans le cas de

l'angle de 20 degrés (qui sera pourtant considéré plus loin, en application).

Dans le même ordre d'idées, on sait partager un angle en deux, en traçant sa bissectrice.

Mais on ne sait pas le partager en trois : c'est le fameux problème de la trisection de l'angle, dont

l'impossibilité a été prouvée par les théories modernes. Voici qui nous entraînerait bien loin, dans

un domaine qui a passionné nombre de mathématiciens et dont l'une des étapes essentielles est la

théorie de Galois.

Notre but est bien plus modeste : La mesure d'un angle étant donnée par un nombre entier

ou non, tracer cet angle avec une grande précision (en principe meilleure que 0,01°) par une

méthode simple et générale, utilisant seulement la règle et le compas. En cela, on s'affranchit de

la condition d'exactitude théorique qui est, de toute façon, mise à mal en pratique par les

déviations inévitables des tracés réels.

Quelle que soit la mesure de l'angle que l'on veut construire, on peut toujours se ramener

au tracé d'un angle inférieur à 30° et même moins, en soustrayant des valeurs que l'on sait

classiquement obtenir avec exactitude (90°, 60°, 45°, 30°, etc.).

Par conséquent, il suffit de décrire la méthode dans le cas d'un angle dont la mesure est

un nombre, entier ou non, compris entre 0 et 30°.

En fait, c'est une coïncidence assez étonnante qui est à l'origine de cette méthode :

L'angle dont la tangente vaut 5/8 est égal à 32,005... degrés, donc remarquablement proche de

32°.

- On commencera par construire cet angle très proche de 32°. Pour ce faire, on tracera un triangle rectangle ayant ses petits cotés dans le rapport de 5 à 8.

- Ensuite, les divisions successives par deux du plus petit angle de ce triangle (par le tracé des bissectrices) donnent la série des puissances de deux : 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4 etc.

- On sait que n'importe quel nombre peut être atteint en ajoutant les éléments convenables de cette série (*). L'addition des angles correspondants permet ainsi d'obtenir n'importe quel angle souhaité.

(*) Remarquer la relation avec l'écriture en base binaire de la valeur numérique de l'angle, exprimée en degrés.

Il est fort à parier que les petites déviations de tracé seront des causes d'erreur bien plus

importantes que la différence initiale entre 32,005 et la valeur exacte 32. On peut s'attendre, en

pratique, à un résultat au moins aussi bon, pour ne pas dire plus, qu'avec le meilleur des

rapporteurs. Voilà qui devrait réjouir l'élève distrait qui aurait oublié cet instrument !

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La figure jointe montre la construction à la règle et au compas d'un angle de 20° par exemple. En théorie, l'angle obtenu vaudrait 20,003... degrés. La différence de 0,003... est tout à

fait négligeable par rapport aux imprécisions graphiques.

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TRACE D'UN ANGLE QUELCONQUE (en radians)

Pourquoi cherche-t-on toujours à tracer des angles exprimés en degrés ? Pourquoi les

angles en radian n'ont-ils pas la même faveur du public ? Seraient-ils moins prestigieux les uns

que les autres ?

Laissons cette question aux bons soins des psychologues et des historiens des

mathématiques.

De même que pour les angles exprimés en degrés, notre but sera modeste : La mesure

d'un angle étant donnée par un nombre entier ou non de radian(s), tracer cet angle avec une

grande précision (précision relative théoriquement meilleure que 0,0001) par une méthode

simple et générale, utilisant seulement la règle et le compas. En cela, on s'affranchit de la

condition d'exactitude théorique qui est, de toute façon, mise à mal en pratique par les déviations

inévitables des tracés réels.

Construction de l'angle de 1 radian :

Une construction aussi simple que possible pour l'angle de 1 radian, est obtenue en

constatant la coïncidence suivante :

6 3

arctg arctg 1,000083..7 10

+ =

Inutile de commenter le tracé qui en résulte (figure suivante) :

Construction d'un angle quelconque :

Il n'y a aucune difficulté, hormis les inévitables imprécisions graphiques des tracés à la

règle et au compas, à obtenir les multiples et les sous multiples de l'angle unité (1/2, 1/4, 1/8,

etc.) par le tracé des bissectrices successives.

Puisque tout nombre, entier ou non, peut être approché avec autant de précision que l'on

veut en ajoutant les éléments convenables de cette série dichotomique, on voit que tout angle

peut être tracé par cette méthode.

L'erreur relative théorique, inférieure à 1/10000, est tout à fait négligeable par rapport aux

erreurs matérielles, ne serait-ce que celles dues à l'épaisseur des traits.

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TRACE D'UN ANGLE QUELCONQUE (en grades)

Dans le même ordre d'idées, la mesure d'un angle étant donnée par un nombre entier ou

non de grades, tracer cet angle avec une grande précision par une méthode simple et générale,

utilisant seulement la règle et le compas.

Construction de l'angle de 128 grades :

Une construction aussi simple que possible pour l'angle de 128 grades, est obtenue en

constatant la coïncidence suivante :

[en grades]

1 2 2arccos arcsin 1,000076..

128 7 3

+ =

La figure suivante montre comment réaliser le tracé correspondant :

Construction d'un angle quelconque :

Par les tracés successifs des bissectrices de l'angle initial de 128 grades, on obtiendra la

série des angles de 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, etc. si nécessaire, ou seulement le début de la série

selon ceux dont on a besoin.

Comme précédemment, l'angle quelconque souhaité sera obtenu en ajoutant les éléments

convenables de cette série dichotomique.

L'erreur relative théorique, inférieure à 1/10000, est tout à fait négligeable en pratique.

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MESURE D'UN ANGLE QUELCONQUE A LA REGLE ET AU COMPAS

Il s'agit du problème inverse de celui dont il a été question précédemment :

Un angle (αααα) est donné par son dessin et on cherche à mesurer sa valeur exprimée en degrés. Il n'est pas besoin d'explication complémentaire pour comprendre comment la méthode

suivante devrait être adaptée aux mesures en radians ou en grades : il est évident qu'au lieu de

commencer par construire un angle de 32 degrés, ce sera un angle de 1 radian, ou de 128 grades,

selon l'unité de mesure d'angles choisie.

- On commencera par construire l'angle très voisin de 32° selon la méthode indiquée

précédemment.

- Si l'angle (α) donné est plus grand que celui très voisin de 32°, on devra construire les

puissances de 2 successives (64°, 128°,…) sans aller jusqu'à un angle plus grand que (α).

- Par tracé des bissectrices successives de l'angle très voisin de 32°, on construira la série

des angles très voisins de (16°, 8°, 4°, …) jusqu'au plus petit angle nécessaire pour obtenir la

précision souhaitée pour la mesure.

- En déduisant successivement de l'angle donné les angles convenables de cette série, on

obtiendra la mesure de (α).

Il est clair que le processus est comparable à celui qui permet de passer à l'écriture en

base 2 d'un nombre donné : On soustrait au nombre la plus grande puissance de 2 telle que le

reste soit positif. Et on répète l'opération avec les restes successifs.

La méthode n'a donc rien d'original. Son rappel ici n'a pour but que de faire le pendant à

la méthode de construction d'un angle quelconque qui a été décrite dans les pages précédentes.

La figure suivante illustre le processus pour un exemple d'angle donné (on n’a pas

poursuivi pour les fractions de degré, en raison de la réduction de lisibilité) :

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DRAWING OF ANY ANGLE

using compass and straightedge

Jean Jacquelin

Translated by Claire Jacquelin

The construction method was first published in the magazine

QUADRATURE n°52, p.4, April 2004

Edited by EDP Sciences, 17 av. du Hoggar, PA de Courtabœuf, 91944 Les ULIS, France

http://www.edpsciences.org/quadrature/

Original text: "Tracé des angles en degrés " : July 24, 2003 [Updated : Avril 2009]

Additions: "Tracé des angles en radians et en grades" : May 18, 2009.

"Mesure d'un angle quelconque à la règle et au compas" : January 4, 2010.

English translation: August 2012

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The geometric constructions with "compass and straightedge" are of ancient origin.

Indeed, it was the Greeks mathematicians of Euclid’s time who began to codify them.

Only few angles can be drawn while respecting these conventions. Most angles cannot be

drawn using “compass and straightedge”, as understood by the ancient Greeks. For instance, that

is the case of the 20 degree angle (yet, which we will consider later on in example) which is

demonstrated as impossible.

In the same line of thinking, we know how to divide an arbitrary angle in two, by drawing

its bisector. However, we do not know how to divide it in three: that is the famous “angle

trisection” problem, the impossibility of which was proven by the modern theories. This could

lead us very far away, to an area which fascinated number of mathematicians and in which the

Galois theory is fundamental.

Yet our aim is more modest: the measure of an angle being given by an integer or not, our

goal is to draw this angle with high precision (as a matter of fact, better than 0.01°) thanks to a

simple and general method, using only compass and straightedge. This allows us not to be bound

to the prescription of perfect accuracy which, in practice anyways, is hopeless due to the

inevitable inherent deviations of the drawings.

Whatever the measure of the angle we want to draw, we can always come down to an

angle lower than 30°, or even less, by subtracting values which we know classically how to

obtain with accuracy (90°, 60°, 45°, 30°, etc.).

Consequently, it is sufficient to describe a method applicable to any angle in the range of

0 to 30°.

In fact, a rather surprising coincidence is at the origin of this method: the angle, which

tangent is worth 5/8, equals 32.005 degrees, thus outstandingly close to 32 °.

- We shall start by drawing this angle very close to 32°. To do so, we shall draw a

right triangle with leg to 5 and 8 unit length. - Then, the successive divisions by two of the smallest angle of this triangle (by

drawing the bisectors) give the series of the powers of two: 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4 etc. - We know that any number can be reached by adding elements of this series (*).

By adding the suitable angles we can obtain any wished angle.

(*) Notice the relation with the writing in binary base of the numerical value of the angle, expressed in degrees.

Under most likelihood, the small deviations in the drawing are more significant than the

initial difference between 32.005 and the exact value of 32. In practice, we can expect a result

just as good, or maybe even more so, than with the best of the protractors. Here is some news

which should delight any absent-minded student, who would have forgotten his instrument!

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The below figure shows, for example, the drawing with compass and straightedge of a 20° angle. In theory, the obtained angle would be worth 20.003 degrees. However, the deviation of

0.003 is of no significance considering the drawing inaccuracies.

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DRAWING ANY ANGLE (in radians)

Why do we always try to draw angles expressed in degrees? Why do angles in radian not

have the same favour of the public? Would they be less prestigious than the others? Let us leave

this question to the psychologists and historians of mathematics.

As for angles expressed in degrees, our aim is quite modest: the measure of an angle

being given by an integer or not, our goal is to draw this angle with high precision (relative

theoretical precision, better than 0.0001) thanks to a simple and general method, using only

compass and straightedge. This allows us not to be bound to the prescription of perfect accuracy

which, in practice anyways, is hopeless due to the inevitable inherent deviations of the drawings.

Drawing an angle of 1 radian:

What appears to be the simplest construction of a 1 radian angle can be obtained by noticing

the following coincidence:

6 3

arctg arctg 1,000083..7 10

+ =

It is useless to comment on the following figure which derives from this observation:

Construction of any angle:

It is easy to obtain the multiple and the submultiple of the unit angle (1/2, 1/4, 1/8, etc.)

by drawing the successive bisectors, except for the inevitable graphic inaccuracies of drawings

with straightedge and compass.

Because any number, integer or not, can be approached with as much precision as we

want by adding the suitable elements of this dichotomous series, this method can therefore be

used to draw any angle

The relative theoretical deviation, lower than 1/10000, is insignificant compared to the

practical deviations, if only from the thickness of the lines.

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DRAWING OF ANY ANGLE (in gradians)

In the same line of thinking, the measure of an angle expressed in gradians being given

by an integer or not, we would like to draw this angle with high precision with a simple and

general method and only straightedge and compass.

Drawing of the angle of 128 gradians:

What appears to be the simplest construction of an angle of 128 gradians, is obtained by

noticing the following coincidence:

[en gradians]

1 2 2arccos arcsin 1,000076..

128 7 3

+ =

The following figure shows how to proceed:

Drawing of any angle:

Except for the inevitable graphic inaccuracies of drawings with straightedge and

compass, drawing the successive bisectors makes it easy to obtain the series of angles (64, 32,

16, 8, 4, 2, 1, 1/2, etc.) or only the first items of the series if sufficient.

As previously, any angle will be designed by adding the suitable elements of the

dichotomous series.

The relative theoretical error, lower than 1/10000, is, as before, insignificant in practice.

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MEASURE OF ANY ANGLE USING STRAIGHTEDGE AND COMPASS

The problem here is the contrary to the preceding one: now, an angle (αααα) is given by its drawing and we try to measure its value expressed in degrees.

There is no need for additional explanations to understand how the following method can

be adapted to the measures in radians or in gradians. It is obvious that we would begin by

drawing an angle of 1 radian or 128 gradians, according to the chosen unit, instead of drawing a

32 degree angle.

- We shall begin by building the angle very close to 32 ° according to the method

indicated previously.

- If the given angle (α) is bigger than that very nearby angle of 32 °, we will have to

draw the successive powers of 2, i.e. 64 °, 128 °, without exceeding α.

- By drawing of the successive bisectors of the angle of 32 °, we build the series of the

angles of (16 °, 8 °, 4 °, etc.) up to the smallest angle needed to obtain the desired precision

for the measure.

- By deducting successively from the given angle the suitable angles of this series, we

get the measure of (α).

Obviously, this process is comparable to the one allowing writing in binary base a given

number: we subtract from the number the highest power of 2 so that the remainder would be

positive. Then we repeat the operation.

This method has thus nothing original. We wished to remind it only so that is can be

linked to the construction method of any angle as described in the preceding pages.

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